Luận án tiến sĩ toán học: Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm của phương trình vi phân hàm dạng trung tính

CHƯƠNG 2 NGHIỆM GIỚI NỘI, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN VÀ NGHIỆM TỰA TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM DẠNG TRUNG TÍNH 2.1 Đánh giá phổ của nghiệm giới nội.... Ngay cả những phương trình rấ

MỤC LỤC

MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUAN BỊ

Lt Tấm hữu tiểu loan ce ew ew eee me ew HD

1.2 Phổ của hàm

số -1.3 Phổ của dãy giới nội và dãy hầu tuần hoan

1.4 Dãy hầu trầnhoàn

1.5 Phânrãphổ Ặ ee eee 1.6 Các toán tử giao hoán và phổ của chúng

l7 C- nửa nhóm (C- Semigroups)

1.8 Phương trình vi phân dạng trung tính

1.8.1 Phương trình tổng quát

1.8.2 Phuong trình thuần nhất

CHƯƠNG 2 NGHIỆM GIỚI NỘI, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN VÀ NGHIỆM TỰA TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM DẠNG TRUNG TÍNH 2.1 Đánh giá phổ của nghiệm giới nội

2.2 Định lý Massera về nghiệm giới nội

2.2.1 Giới thiệu về định lý Massera

|

2.2.2 Định lý Massera về nghiệm giới nội 42

2.3 Phương trình vi phân ham dạng trung tính (2.1) có me Ay KHÔNH BEML a xỉ ri vàn b6 em 49 2.4 Đánh giá phổ hầu tuần hoàn va phổ Bohr của nghiệm của phương trình (2.1) 51

2.4.1 Đánh giá phổ hầu tuẩnhoàn 52

2.4.2 Đánh gid phổ Bohr của nghiệm phương trình ie) nhi E19 1 KẾ en KEE4@#Mx Sw& 6đ an 2.5 Nghiém hầu tuần hoàn và tựa tuần hoan 57

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH ROI RAC, THUẦN NHẤT VÀ ÁP DỤNG 61 3.1 Phuong trình trung tính rờirạc 61

Sel GIAN HH G aes umsuwatewe rae eee ms ax 61 3.1.2 Dang điệu tiệm cận của các nghiệm phương trình sai phân có trễ trungtinh 62

3.2 Áp dụng đối với phương trình toán tử 74

32.1 Nghiệm tunhoàn 77

3.2.2 Nghiệm hầu tuầnhoàn 78

3.3 Dáng điệu tiệm cận của phương trình thuần nhất 80

3.4 Sự tương đương tiệm cận 87

KET LUAN 90

CAC CONG TRINH CUA TAC GIA DA CONG BO CO LIEN

QUAN DEN LUAN AN 91

TAI LIEU THAM KHAO 92

t2

MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Ñ,Z,R,C := là các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số thực và số phức.

X, Y := là các không gian Banach phức.

D(X) := là tập các toán tử tuyến tính liên tục trên X.

C(2J,X) := {ƒ: R C J — X sao cho ƒ liên tục trên J}.

Ci= C([-r, 0],C”).

BUC(R, X) := là tập các hàm giới nội va liên tục đều

L=tzeC: l = 1} là đường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức.

A := là tập con đóng trên Œ

A(X) := là tập hợp tất cả các hàm có giá trị trên X và có phổ nằm trong A

Span := bao đóng tuyến tính.

£x(ÄX) := {(Œa)nez : Ln € X, sup||za|Ìx < co}.

neZ

{S(t)} := là nửa nhóm dịch chuyển.t>0 `

AP(R,X) := {ƒ € BUC(R,X) sao cho ƒ hầu tuần hoàn }.

APZ(X) := là không gian tất cả các dãy hai phía trong không gian Banach

X hầu tuần hoàn theo nghĩa Bohr.

p(T) := là tập giải của toán tử T.

R(A,T) := là toán tử giải của toán tử T tại À

ơ(T) := là phổ của toán tử 7`

Sp(ƒ) := phổ Beurling của hàm ƒ

Ø;(ƒ) := là phổ của hàm hầu tuần hoàn ƒ theo nghĩa Bohr

Spap(u) := là phổ hầu tuần hoàn của ham +

R(C) := là miền giá trị của toán tử C.

Fp := là biến đổi Fourier của hàm ¿ được xác định bởi:

Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân là một

trong những lĩnh vực trung tâm của lý thuyết phương trình vi phân Từ cuối

thế kỷ XIX, đầu thế kỷ XX, H Poincaré và A Lyapanov đã khởi xướng việc

nghiên cứu này bằng những công trình xuất sác, đặt nền móng cho lý thuyết

định tính của phương trình vi phân Trước đó, người ta thường nghiên cứu

phương trình vi phân bằng cách tích phân nó để tìm nghiệm tường minh Tuy

nhiên, không phải lúc nào việc tích phân các phương trình vi phân cũng thực

hiện được Ngay cả những phương trình rất đơn giản cũng có thể không tích

phân được, hoặc nếu tích phân được thì biểu thức tích phân quá phức tạp, cản

trở việc nghiên cứu các tính chất của chúng Đó cũng là lý do chính dẫn các nhà toán học đến việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mà không nhất thiết phải tìm chúng một cách tường minh.

Những bài toán lớn của lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình

vi phân là nghiên cứu tính ổn định và tính dao động của nghiệm một phương

trình cho trước Nếu như các khái niệm và phương pháp của Lyapanov về ổn

định vẫn là nền tảng cho các nghiên cứu ngày nay thì phương pháp ánh xạ sau chu kỳ của Poincaré cũng vẫn là công cụ chính để nghiên cứu nghiệm tuần

hoàn Đặc biệt, đầu thế kỷ XX, khái niệm hàm số hầu tuần hoàn của Bohr đã cho phép các nhà toán học tiến sâu hơn trong việc nghiên cứu tính dao động

điều hoà của nghiệm phương trình vi phân.

Chúng ta trở lại với một bài toán đơn giản dưới đây của giải tích toán học.

là điểm khởi đầu cho nhiều ý tưởng lớn trong giải tích điều hoà và của lý

thuyết định tính phương trình vi phân: Giả sử ƒ là hàm số một biến số liên

tục, tuần hoàn chu kỳ J’ Dat

F(a) = | s(t) (1)

Câu hỏi dat ra là khi nao F(x) cũng là ham tuần hoàn chu kỳ T Bang ly

luận sơ cấp, ta có thể chỉ ra F(x) có dạng: F(x) = G(x) + az, trong đó

Ngay sau khi đưa ra khái niệm hàm số hầu tuần hoàn, Bohr cũng đã chứng

minh được một kết quả tương tự Việc mở rộng kết quả của Bohr cho lớp hàm

hầu tuần hoàn lấy giá trị trong không gian Banach thực sự là một thách thức.

Người ta đã tìm được các điều kiện đủ bổ sung để kết quả trên của Bohr vẫn

đúng [97].

Năm 1950, trong một công trình nổi tiếng của mình, Massera [104] đã nhìn

nhận bài toán của giải tích như trường hợp riêng của bài toán sau:

dx h

a = Ale + fl), c eR (2)

trong đó A(t), f(t) là liên tục, tuần hoàn cùng chu ky 7' Dùng phương pháp

điểm bất động của ánh xạ sau chu kỳ, Massera đã chứng minh rằng (2) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ J’ khi va chỉ khi nó có một nghiệm giới nội.

Kết qua của Massera đã được nhiều nhà nghiên cứu phương trình vi phân

quan tâm mở rộng Đặc biệt, năm 1974, S.N Chow và J Hale [32] đã công

bố một mở rộng của định lý Massera cho lớp phương trình vi phân hàm dang

trễ:

U = Lx + f(t), (3)

trong đó f liên tục, tuần hoàn chu kỳ 7, LC: C{[—r, 0Ì, R”) — IR” liên tục,

r > 0,2;(0) := x(t + 6),0 € [—r,0Ì Phương pháp chứng minh cua S N.

5

Chow và J Hale về cơ bản vẫn dựa theo phương pháp điểm bất động của ánh

xạ sau chu kỳ Những kết quả của S N Chow và J Hale đã được nhiều người

tiếp tục mở rộng cho các lớp phương trình vi phân hàm Đặc biệt phải kể đến

các kết qua của Y Hino, I Macay, S Murakami, T Naito, J S Shin,

Cũng cần nhận xét rằng trong công trình nổi tiếng của Bohr, Massera cũng

như những tác giả sau này, điều kiện tồn tại một nghiệm giới nội là một

điều kiện tiên quyết Sau này, điều kiện trên thường được gọi là tiéu chuẩn

Massera trong các công trình về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm Việc

tìm các điều kiện để tiêu chuẩn Massera xảy ra cũng là một vấn đề phức tạp

là đề tài gần đây của một số tác giả như T Naito, J S Shin Trong một số

trường hợp, tiêu chuẩn Massera có thé được kiểm tra dễ dàng Chẳng hạn, đối

với bài toán (1) thì đó là điều kiện:

T

J f(t)a(t) =0,

0

đối với (2) thì đó là điều kiện về các nhân tử Floquet khác 1, còn đối với (3),

tiêu chuẩn Massera được kiểm chứng nếu

det(¿£€T — Le’) # 0,V€ ER.

Nói chung, tiêu chuẩn Massera có thể kiểm chứng được trong trường hợp

”không cộng hưởng” Trong trường hợp này, người ta có thể chứng minh được

sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn.

Trở lại kết quả của Bohr đối với ham hầu tuần hoàn, năm 1974, A M Fink

đã chỉ ra được rằng tồn tại các hàm số hầu tuần hoàn a(t) va f(t) để phương

dx

—=A t

với f là hầu tuần hoàn, có nghiệm giới nội trên R, thì nghiệm giới nội đó

phải là hầu tuần hoàn Mặc dù vậy, kết quả này không thể hiểu là sự mở rộng

của định lý Massera cho nghiệm hầu tuần hoàn.

Những kết quả và phương pháp nghiên cứu nghiệm hầu tuần hoàn gần đây

của N.V Minh , S Murakami, T Naito, đã khơi dậy mối quan tâm về định

lý Massera cho nghiệm hầu tuần hoàn Như chúng ta đã biết, đối với trường

hop ham f(t) hầu tuần hoàn, phương pháp điểm bất động của ánh xa sau chu

kỳ mất tác dụng Các tác giả trên đã đề xuất phương pháp dùng giải tích điều

hoà và kỹ thuật phân rã phổ để nghiên cứu các bài toán trên Đây là công

cụ rất hùng mạnh, cho phép tiếp cận nhiều lớp phương trình trừu tượng trong

không gian Banach.

Trong bản luận án này, chúng tôi tiếp tục dùng phương pháp của các tác

giả trên để nghiên cứu nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình vi phân hàm

trung tính có dạng: :

Bet = Da; + f(t), (5)

trong đó f(t) hầu tuần hoàn theo nghĩa Bohr, D, L : C'({[—r,0],C”) + C"

là các toán tử tuyến tính giới nội và dạng rời rạc của chúng cũng như các ứng

dụng.

Trong phần tài liệu tham khảo, độc giả có thể xem các kết quả ở các công

trình của tác giả đã công bố có liên quan đến luận án [1, 2, 3, 4, 5].

Luận án này gồm phần mở đầu và 3 chương.

Chương | dành cho các kiến thức chuẩn bi Các kết quả của chương này

đã biết trong các tài liệu khác nhau, được tập hợp lại một cách hệ thống để

độc giả tiện theo dõi.

Chương 2 dành cho việc nghiên cứu các nghiệm giới nội, nghiệm hầu tuần

hoàn và tựa tuần hoàn Khó khăn chính trong phần này đó là thực hiện tính

toán trong đánh giá phổ, kỹ thuật phân rã phải thực hiện không thông qua nửa

nhóm tiến hoá, vì như ta đã biết, bài toán Cauchy đối với phương trình hàm

trung tính nói chung không giải được Sự phân rã phổ đã được thực hiện thông

qua khái niệm toán tử ôtônôm trên các không gian hàm tương ứng Các kết

quả chính của chương này được công bố trên các công trình [2, 3].

Chương 3 dành cho việc nghiên cứu phương trình trung tính rời rạc, phương

trình thuần nhất và ứng dụng Việc nghiên cứu phương trình rời rạc thường

nảy sinh một cách tự nhiên trong lý thuyết phương trình vi phân vì các lý do

khác nhau Đặc biệt trong phần này chúng tôi ứng dụng một kết quả để nghiên

cứu nghiệm của phương trình tiến hoá không đặt chỉnh liên kết với một nửa nhóm cho trước.

C-Đối với phương trình thuần nhất, khái niệm hàm hầu tuần hoàn tiệm cận

tỏ ra thích hợp để nghiên cứu các điều kiện phổ Cuối cùng, chúng tôi nghiên

cứu một số lớp phương trình đặc biệt Các kết quả của chương này được công

bố trên các công trình [1, 4, 5].

Các kết quả cơ bản của luận án đã được đăng và nhận đăng ở các tạp chí

trong nước và ngoài nước [1, 2, 3, 4, 5] và đã được báo cáo ở các hội nghị

khoa học và xemina sau:

- Hoi nghị Khoa học ngành Toán- Tin học lần thứ II, Khoa Toán-

Cơ-Tin hoc, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Dai học Quốc gia Hà nội, 2000;

- H6i nghị Toán học Toàn quốc, Huế, tháng 9 năm 2002;

- Hội nghị Khoa học lần thứ XV, Trường Dai học Mỏ- Địa chất Hà nội,

2002;

- Xemima ”Phương trình vi phan” của liên Trường Đại học Khoa học Tự

nhiên Hà nội- Đại học Sư phạm Hà nội:

- Xemima ”Phương trình vi phân” Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học

Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội;

- Xemima tại Tổ Giải tích Khoa Toán- Cơ- Tin hoc, Trường Đại học Khoa

học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội.

2k ok ok

Luận án đã được hoàn thành tại Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội dưới sự giúp đỡ tận tâm của

PGS TSKH Nguyễn Văn Minh và GS TS Nguyễn Thế Hoàn Tác giả xin

phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thày Nguyễn Văn Minh và thày

Nguyễn Thế Hoàn.

Tác gia xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thay, các bạn trong Xemina ”Phương

trình vi phân” liên Trường Dai học Khoa học Tự nhiên va Dai học Sư phạm Hà

nội, Xemina ”Phương trình vi phân” của Tổ Giải tích Khoa Toán- Co- Tin học

đã thường xuyên giúp đỡ và tạo môi trường tốt để tác giả học tập và nghiên

4

cứu.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thày, các cô trong Khoa Toán-

Cơ-Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên (Trường Đại học Tổng hợp trước đây) đã

giảng dạy và sẵn lòng giúp đỡ tác giả hơn 30 năm qua.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán- Cơ- Tin học, Phòng Sau Đại học và các phòng ban chức năng Trường

Đại học Khoa học Tự nhiên và Trường Đại học Mỏ- Địa chất đã tạo điều kiện

thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập, công tác và nghiên cứu.

Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp đã thường xuyên quan tam, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành

luận án.

Luận án sẽ không thể hoàn thành nếu thiếu sự cảm thông quan tâm chăm

sóc và ủng hộ nhiệt tình của những người thân trong gia đình tác giả.

Đây là món quà tính thần xin được tặng tất cả những người thân yêu nhất.

10

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm hầu tuần hoàn

Định nghĩa 1.1.1 7) Tap E € R được gọi là tập trà mật tương đối

trên R nếu 3È > 0 sao cho V đoạn {a,a + f| trên R đều chứa ít nhất

một điểm của E,

(4¢>0:vae R= la,a+đjn E z 0).

2) Cho ƒ:R — X là hàm liên tục SốT được gọi là € chu kỳ của f

nếu: sup ||ƒ(f +7) — f(t)|| < <

3) Cho f : R — X là hàm liên tục Ham f được gọi là ham hầu tuần

hoàn nếu với mọi € > 0 tập hợp các số e chu kỳ của f là tập tương

đối trà mật, tức là Ve > 0, 3£ = /(e) > 0 sao cho môi đoạn |a,a + fÌ

chứa ít nhất 1 điển T = T(€) thoả mãn

sup || ƒ(f + z) — fll < <.

teR

Định lý 1.1.1 (Tiêu chuẩn Bochner) Ham g xác định trên R có giá

trị trên không gian Banach X là hàm hầu tuần hoàn néu và chỉ nếu họ

Hg := {g,(t) = g(t+7),r € R} là compact tương đối trong C(R,X).

Định lý 1.1.2 /97, tr 1-7} Giả sử ƒ, fn, (nm = 1,2 ) là các hàm hầu

tuân hoàn Khi đó các khẳng định sau đây là đúng:

i) f là hàm giới nội và liên tục đều;

II

ii) Nếu fy=g thì g là hàm hầu tuần hoàn;

iii) Nếu f' € BUC(R,X) (không gian các hàm xác định trén R có

giá trị trên X liên tục đều và giới nội) thì f' là hàm hau tuân hoàn;

iv) Alda toán tử tuyến tính giới nội từ X — Ä :

(Af)(t) := Af(t),t € R = (Af) cũng là hàm hau tuần hoàn;

v) Nếu g hầu tuần hoàn, f liên tục trên R(g) thì f(g(t)) là ham hau

tuân hoàn;

vi) ƒ,g là hầu tuần hoàn + f + g hau tuân hoàn;

vii) Nếu ƒ là hau ae hoàn trên R thi Ye > 0 ton tai đa thức

lượng giác P.(t -> b;e'st sao cho sup || f(t) — P.(Ð|| <.

teRviii) Néu g là ham "hấu tuần hoàn thì giới han:

Do đó, nếu P(t) = » a¿€'^*f (a, € X) thi M{P(t)} = > agœ(Àk).

Với mỗi À ER hàm ‹ e ` là hàm hầu tuần hoàn Do đó có:

Phổ Carleman của hàm liên tục, giới nội ký hiệu là Ø(u):

o(u) = {€ € R ma phép biến đổi Fourier- Carleman của u không thể thác

triển giải tích ở lân cận bất kỳ của điểm 7€}

Mệnh dé 1.2.1 Giả sử u € BUC(R,X) Khi đó o(u) = Sp(u).

Chứng minh Xem [122, tr 22].

Với mệnh đề trên đối với các hàm liên tục đều và giới nội chúng ta sẽ

không phân biệt các khái niệm phổ Beurling và phổ Carleman và sẽ chỉ dùng

iii) Nếu œ€(€C\ {0} > Sp(af) = Sp(†);

iv) Nếu Sp(gn) C A,Vn > Sp(ƒ) c A;

v) Nếu A là toán tử đóng, f(t) € D(A), Vt € R va Af € BUC(R,X)

Vi du 1.2.2 Voi u€ BUC(R, X) là ham tuần hoàn chu ky T thì:

Sp(u) = {Ap = 2mn/T;u„ạ # 0,n € Z},

trong đó u„ là hệ số Fourier thứ n của u

Chứng minh Ta xét biến đổi Fourier- Calerman của + với

Tương tự với ReA < 0 ta cans được kết qua như trên.

Vậy ñ(A) = (1— er)” Iieờng t)dt, VÀ ma Red # 0.

Từ đó ta thấy (A) giải tích — C\ cu

Mat khác tai A, = 2mn/Tthì tuạ=— =f e~lÀntu t)dt là hệ số Fourier thứ

7, của tu.

Do đó Sp(u) = {An = 2710/7; un # 0,n € 2}

Đó là điều phải chứng minh.

Vi dụ 1.2.8 Cho hàm u € L'(R,X) và u € BUC(R,X), khi đó Sp(u) = suppt

Chứng minh Vì với u € BUC(R, X) thi u có độ tang dưới cấp mũ

nên theo định nghĩa chúng ta có:

Từ đó suy ra nếu € £ Sp(u) thi GA) có thác triển giải tích quanh lân

cận i€ do đó Ø(À) = 0 trên lân cận của € nên € £ suppu Ngược lại, nếu

€ ¢ suppô thì &(A) = 0 trên một lân cận của € Vậy ti(A) = 0 liên tục trên

15

một lân cận (2€) của 7€ Theo định ly Morera suy ra & giải tích trên đó, vì vậy € ¢ Sp(u) Như vậy ta đã chứng minh được đẳng thức Sp(u) = supp.

Nhận xét 1.2.1 Với hàm u € BUC(R,X)n L!(R,X) thì u có độ tăng dưới cấp mũ nên biến đổi Fourier là có nghĩa.

Phổ Bohr Nếu ƒ là hàm hầu tuần hoàn có giá tri trong X,

: mm :

a(A, f) := lim — f e ”⁄ƒ(f)dfVÀ và chỉ có đếm được giá trị À dé

a(À, ƒ) # 0 Người ta gọi tập ø„(ƒ) := {A € R/a(A, ƒ) # 0} là phổ Bohr

Định nghĩa 1.2.1 i) Mét nhóm liên tục mạnh (U(t)) ep trên X la

một ho các toán tử tuyến tính giới nội trên X thod mãn các điều kiện

sau:

a) U(0) = I, trong đó I là toán tử đồng nhất;

b) U(t)U(s) = U(t + s),Vt, s € R;

c) Ánh xạ t + U(t)x liên tục theo t với mỗi + cố định, tức là

lim |U(t)x — z|| = 0,Yz € X

ii) Toán tử sinh của nhóm liên tục mạnh (U(t)) ¿ep là toán tử tuyến

tính A: D(A) C X > X được định nghĩa như sau:

U(€t)+ — z

Agr := lim ,Vx € D(A) mà giới han trên tôn tại.

t0

ili) Todn tử giải của toán tử A tại À được ký hiệu là R(X, A), được

xác định như sau: R(\, A) := (A — A)"!,VA € p(A) := {uw € C mà

(u— A) có nghịch đảo giới nội }.

Vi dụ 1.2.5 Cho không gian hàm BUC(R, X), trên đó chúng ta định

nghĩa toán tử dịch chuyển S(t) như sau:

[S()7](s) := f(t+s),Vt,s ER, ƒ < BUC(R, X).

Dé thấy S(t),t € R là nhóm các toán tử giới nội trên BUC(R, X).

vì S(t) fll = supl|5Œ)ƒlI(s) := supl| f(t + s)|| = [IF

seR seR

Do đó, ||S(t)|]| = 1,£ € R.

Hon nữa, tinh liên tục đều của các hàm trong BUC(R, X) kéo theo tính

liên tục mạnh của S.

That vay, || F(t+8)— /(3)|| = ||SŒ)/(s)— f()|| = ||S)ƒ — Fl] nen

lim (S(t) f — f) = 0 Do đó (S(t)),¢ € R có toán tử sinh: A(u) = ư.

t0 m5 1

ĐẠI HỌC 2UOC GIÁ HÀ NỘI |

17 TRUE T9; THONG TIN Tau vies

J t› / ry

Ne Veli |g If |

Bổ dé 1.2.1 Với các khái niệm trên, Vu € BUC(R, X) ta có iSp(u) =

ơ(?D,), trong đó D, là toán tử sinh của nhóm các toán tử dịch chuyển

(S(t)),t € R hạn chế trên M, := Span{S(t)u,t R}

Chứng minh Xem [9].

Vậy (S(t)),¢ € R là nhóm liên tục mạnh và được gọi là nhóm các toán

tử dịch chuyển

Mệnh đề 1.2.3 Xem [118, tr 4-9] Cho U là một nhóm liên tục

mạnh với toán tử sinh A Khi đó ta có các khẳng định sau:

i) Tồn tại > 0 và M > 0 sao cho | (¿) | < Me";

ii) Néu ReX > w với được cho ở phan i) thì a tử giải được

%

biểu diễn theo công thức tích phân sau: R(A, A) = ƒ e"X*U()dt.

0

Khái niệm phổ Arveson của một nhóm chỉ được định nghĩa cho nhóm giới

nội, tức là nhóm U thoả mãn điều kiện sau: sưp||U(0) || < +00.

Định nghĩa 1.2.2 Cho U là nhóm giới nội, liên tục mạnh Khi đó,

chúng ta có định nghĩa phổ Arveson của nhóm U, ký hiệu Sp(U) là

tập hợp sau:

Sp(U) := {£ € R;Ve > 0 Ay € L`(R) : suppFy € (£—e,€+e), p(U) # 0},

trong đó (Fy)(s) := e*e(t)dt.

Kết quả Giả sử là nhóm liên tục mạnh va A là toán tử sinh của U.

Khi đó, iSp(U) = ø(4) [17, tr 213].

18

Với mỗi y € X, ta ký hiệu:

X, = Span{U(t)y,t € R}; U,(t) := U(t)|_ ,Ay

A, là toán tử sinh của U, trên X,.

Định nghĩa 1.2.3 Phổ Arveson của đối với nhóm U, ky hiệu Sp” (y)

và được xác định:

Sp’ (y) := {€ € R/Ve > 0 đọ € Lˆ(R) : SuppFy C (£—e,£+e), @¿(U,) # 0}.

Kết quả iSp” (y) = iSp(U,) = o(Ay,).

Pd ^ ^ `

Pho hau tuân hoàn

Định nghĩa 1.2.4 Gid sử u € BUC(R,X), điểm À € R được gọi là

điểm hầu tuần hoàn của hàm u nếu tôn tại lân cận Vy của À sao cho

Vụ € L1(R) mà Fy C Vy thì @ *tu là hầu tuần hoàn.

Tập Spap(u) là phần bù của tập các điểm hầu tuần hoàn được gọi

là phổ hầu tuân hoàn của u.

ii) Nếu Spap = Ũ thì uc AP(R, X);

iii) Néu un giới nội đêu Vn €N; uạ*u trên mọi tập compact và

Spap(tun) CA Wn,ACR thì Spap(u) C A,.

19

Một cách tiếp cận khác của khái niệm phổ hầu tuần hoàn.

Trước hết xét nhóm dịch chuyển S trên không gian BUC(R, X) với toán

tử sinh 2 Vi S bất biến trên AP(R, X) nên nó cảm sinh nhóm liên tục

mạnh trên Y := BUC(R,X)/AP(R, X); 5()H(u) = II(S(t)u), trong

đó €ClR,u€ BUC(R,X), II: BUC(R,X) — AP(R,X) là ánh xa

thương Giả sử D là toán tử sinh của S, khi đó:

iSpap(u) = iSp” (H(u)) = ø(Đnụ)):

Tiêu chuẩn phổ cho tính hầu tuần hoàn của hàm

Định lý 1.2.8 Gia sử X là không gian không chứa cọ (không gian

Banach các dãy hội tụ về 0), u € BUC(R,X) và Sp(u) đếm được

Khi đó u € AP(R,X)

Dinh lý 1.2.4 Gid sứ u € BUC(R,X) và Sp(u) đếm được Nếu một

trong các điều kiện sau được thoả mãn:

i) X không chứa không gian con nào đẳng cấu với không gian co;

hoặc,

ii) Miền giá trị của u là compact tương đối yếu,

thì u(t) là hàm hầu tuần hoàn

1.3 Pho của dãy giới nội và dãy hầu tuần hoàn

Xét /„(X) là không gian tất cả các dãy giới nội trong không gian Banach

X, 9 := {9n}nez C X với chuẩn ||g|| = sup||øa||,/9(k) là toán tử dich

Tì

chuyển thứ k trong £,.(X), nghĩa là (S(k)9),„ = Ủng gu

Định nghĩa 1.3.1 Tap rất cả các số À trên đường tròn đơn vị Ì` mà

20

tai đó g(A) được xác định:

x A*1S(n)g, — V|A| >1,

g(A) =

- yr 'S(—n)g, VIA] < 1,

không thác triển giải tích duoc trong bất kỳ lân cận nào của À trong

mặt phẳng phức được gọi là phổ của day g := {9n}nez và ký hiệu

o(9).

Ví dụ 1.3.1 Tim phổ của day:

a:= { a(n) :a(n + 1) = Aga(n), Vn € Z, a(0) # 0, |Ao| = 1}.

Rõ rang a(n) = Aja(0)

T ¬Á <1:Tact 5 Q = -ương tự | | acũngcó ô(A) » Ts

Vậy o(g) = {e?,k =1,2, , N}.

Mệnh dé 1.3.1 Cho g := {g(n)}nez la day hai phía giới nội trong

X thì các khẳng định sau đây là đúng

i) o(g) đóng;

ii) Nếu {g"} là dãy trong €x(X) hội tụ đều về g sao cho a(g") C

A,Vn€Ñ,A đóng thì ơ(g) CA;

li) Nếu g € €(X), A là toán tử tuyến tính bi chặn trên không gian

Banach X thì øơ(Ag) C ơ(g), trong đó (Ag)n := Agn, Vn € Z

iv) o(z)= o(3| 18 = §(1); Mz := Span{ S(n)z,n € Z\.

Chứng minh Xem [109].

1.4 Day hau tuần hoàn

Định nghĩa 1.4.1 Day © := {z„}acz trong không gian Banach X

được gọi la dãy hầu tuần hoàn nếu nó thuộc không gian con

APZ(X) := Span{ÀAz,À € Tx € X} trong đó (Äz)(t) := Xz,T' là

đường tròn đơn vi của C,t € 2

Ví dụ 1.4.1 z 40,2 € X,À ET; ƒ := {ƒfn}aez = (ÀA"z),

hau tuân hoàn Hơn thế ø(ƒ) = {A}

„ là dấy

=

cá.

Mệnh dé 1.4.1 (Liên hệ giữa ham hâu tuần hoàn va dãy hầu tuần

hoàn) Giả sử f là hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bohr, x := { ƒ(n)},n €

Z thì x là dãy hầu tuần hoàn có o(x) C ơ() := e'›)

Chứng minh Xem [46].

Mệnh đề 1.4.2 Nếu X không chứa không gian con đẳng cấu với co

và © € /x(X) mà a(x) đếm được thì x là hầu tuần hoàn

Chúng ta ký hiệu APZ(X) là không gian tất cả các dãy hai phía trong

không gian Banach X hầu tuần hoàn theo nghĩa Bohr Từ định lý xấp xi dãyhầu tuần hoàn, APZ(X) là bao tuyến tính đóng của tất cả các dãy đa thức

lượng giác, tức là day {#(m)} có dạng:

Chúng ta xét không gian con WZ CC BUC(R,X) gồm các ham v €

BUC(R, X) sao cho

eSplv) :— ơ(u) CS, U So, (1.1)

trong đó R là tập số thực, X là không gian Banach, 5, S› C T là các tập

con đóng rời nhau của đường tròn đơn vị Chúng ta ký hiệu

iu = Span{S(t)v,t € R} bao tuyến tính đóng trong BUC (R, X)

của {S(t)v,t € R}, (S(t));¢ € R là nhóm dịch chuyển trên BUC(R, X) tức là S(t)u(s) = v(t+s); Vt,sER.

23

Định lý 1.5.1 Với các khái niệm và giả thiết trên thì không gian hàm

M có thể phân tích thành tổng trực tiếp M = Mì@ Ma sao cho u € M,

khi và chỉ khi o(v) C S; với i = 1,2

Chứng minh Ký hiệu A; C BUC(R,X) là tập hop các hàm + €

BUC(R, X) sao cho o(u) C S; với ¡ = 1,2 Rõ ràng rằng A; C M Rõ

ràng các không gian A; là các không gian con tuyến tính đóng của M và

Ay Ag = {0}.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh M = A; @ Ag Để hoàn thành việc chứng

minh, chúng ta phải chỉ ra với phần tử v bất kỳ, 0 € M, chúng ta có:

U = V1 + Uo, trong đó vy € Ay, v2 € Ag

Như chúng ta đã biết, xem [9],

trong đó + là đường bao j5) rời đối với Sz Do đó chúng ta có

o(S(1)| mp2) Cả), ơ(S(1)|„„p:) C So (1.4)

Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng U = 0ị + 1a, trong đó vy = Plv € Ay và

U — UỊ := Vo € Ag Chúng ta chứng minh:

(0) C Sj; j7 = 1,2 (1.5)

Thật vậy, chúng ta chỉ ra M,, = ImP1 Rõ ràng, từ sự bất biến của Jm.P}

đối với phép dịch chuyển, chúng ta có M,, C ImP! Bay giờ chúng ta chỉ

24

ra điều ngược lại Cho € ImP! C M, Khi đó, theo định nghĩa tôn tại

day {2n}nen C Span{S(t)v,t € R} sao cho y = lim Zp.

Điều này chỉ ra rang, y € AM,, Do đó, sử dụng định lý ánh xa phổ yếu va

phương trình (1.5) eP(%1) = o(S(t)|,, ) = ø(5(1)|„p¡) C Sh Từ định

1 v

nghĩa v; € Ay và don giản v2 € Ao.

1.6 Các toán tử giao hoán va pho của chúng

Dưới đây, chúng ta liệt kê một vài tính chất phổ của các toán tử tuyến tính

giới nội giao hoán.

Bổ đề 1.6.1 Cho X là không gian Banach phức va U,V là các toán

tử tuyến tính giới nội trên X sao cho UV = VŨ (giao hoán) Khi đó,các khẳng định sau là đúng:

o(U+V) Cơ(U) + ơ(V),

trên X va A là tập con đóng của đường tròn đơn vị I’ trong C Khi đó, chúng

ta định nghĩa toán tử A, trên A(X) như sau:

(Aqz)(n) := Az, = Ax(n), Vx € A(X),Vn € Z,

(S,x)(n) := zÍn + 1), Vz € A(X), Vn € Z

Dé dang chứng minh được bổ dé sau:

Bổ đề 1.6.2 Cho A CT là tập đóng Khi đó:

i) SA giao hoán với Ax,

li) o(A,) = ơ(A).

Để đơn giản, chúng ta ký hiệu: AyP(X) := A(X)n APZ(X) Mat

Định nghĩa 1.7.1 Cho X là không gian Banach và C là toán tử tuyển

tính liên tục đơn ánh trong L(X) Họ {T(t);t > 0} trong L(X) được

gọi là C- nửa nhóm nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

) T(U)=:

ii) T(t+s)C =T(t)T(s) với t,s > 0;

iii) T(-)x: [0, +00) + X liên tục với bất kỳ + € X;

iv) Tén tại số M > 0 và \ ER sao cho \|T(t)|| < Me*,‡ > 0.

Chúng ta định nghĩa toán tử A như sau:

26

Ap 1 fin, 2 SE HOF vu e DAI,h—>+0 h

Khi đó, A được gọi là toán tử sinh của (T(t)),t > 0 Như chúng ta

đã biết, A đóng nhưng nói chung tập xác định của A không trù mật

trong X.

Bổ dé 1.7.1 Cho C là toán tử tuyến tính liên tục đơn ánh và (T(t))

t > 0 la C- nứa nhóm với toán tử sinh A Khi đó, các kết luận sau

Các thông tin về C’- Semigroups có thé xem trong [13, 26, 30, 32, 37].

1.8 Phuong trinh vi phan dang trung tinh

Để có được thông tin chi tiết, có thể tham khảo [54, tr 255-264]

1.8.1 Phương trình tổng quát

Gia sử r > 0 Ta định nghĩa Œ := C([—r, 0], R”).

Cho (ơ,ó) € R x C, xét hệ tuyến tính:

© [Da = La, + f(t), t>ơ, (1.7)

27

trong đó ƒ € Li và với mọi ClR, D(t):C > R", và L(£) : Œ > R"

được xác định bởi

D(¿)ó = 4(0) — / d[u(t, 6)]4(0), Lít)ó = J d[n(¿,6)]ø(9).

Nhân 7: R xIR — R**", ((,0) ++ n(t,@) đo được theo (£, 8) sao cho

n(t, 0) = 0 với 0 > 0; n(t, A) = n(t, —r) với 8 < —r,n(t,) liên tục trái

theo Ø trên (—r, 0) và có biến phan giới nội theo Ø trên [—r, 0] với mỗi t Hon

thế nữa có m € Lie ((-00, +00), R) sao cho Var,_,.)n(t, -) < m(t).

Nhân ¿ : R x R > R"*", (t,0) ++ p(t,@) do được theo (f,Ø) sao cho (£,Ø) = 0 với Ø > 0, w(t, A) = u(t, —r) với 6 < —r, u(£,6) là liên

tục trái theo Ø trên (—7r,0) và có biến phân giới nội trên [—r, 0} đều theo f

sao cho t —> D(f)ó liên tục theo mỗi ó Hon thế nữa, /¿ là atomic đều tại 0,tức là Ve > 0, đổ > 0 sao cho Wart_su(,Ø) <e VtER

Dinh lý 1.8.1 Giả sử điều kiện đối với n và được thoả mãn Với

bất kỳ ơ ER, GE C(I-r, 0,R") và h € £‡“Í, co), R") cho trước,

tôn tại duy nhất nghiệm x(-,0,¢) xác định liên tục [|ơ — r,œ) thoả mãn hệ 1.7 trên [ơ,+œ).

Định lý 1.8.2 Gid sit các điều kiện của định lý 1.8.1 được thoả mãn,

khi đó nếu x = z(ơ,ó, f) là nghiệm của hệ 1.7 trên [s, +00) sao cho

Le = Ó, thi với t > ơ:

t

a(t) = XÍt,0ơ)h() +f X(t,ø)dh(ø),

trong đó:

t

h(t) =D(øơ)¿ + / [e(t, 08+ơ— t)|d(9) =

J estore —njotorirs f sas

28

và X(t,s) = I+ p(r,s),t > s là ma trận nghiệm của phương trình

tích phân

t

X(t,s) =I+ [axta)jula,s —a)- | Xt.a)n(a,s —a)da.

s

Hệ quả 1.8.1 Gid sử rằng các điều kiện của định lý 1.8.1 thoả mãn.

Khi đó, nếu +(ơ,@,h) là nghiệm của hệ (1.7) trên |ơ,+oo) sao cho

Lz =Ó, thì tôn tại các hằng số dương c và y sao cho

trong đó Wari_;oj —> 0 khi s > 0 #(ó) được ký hiệu là nghiệm của

phương trình (1.8) với zo(Ó) = ó.

Bổ dé 1.8.1 Toán tử nghiệm T(t); t > 0 xác định bởi:

là cy nửa nhóm với toán tử sinh

_ đó

=e

(1.9)

Ag

Nếu A xác định từ (1.9) thì (4) = P,(A) và

À €ơ(4) + det A(A) = 0, A(A) =ÀDe* — Le”.

Với bất ky À € o(A), không gian vectơ nghiệm ăạ() có số chiều hữu han

và số nguyên k sao cho M)(A) = N(AI — A)* và có phan tích thành tổng

trực tIếp:

Œ=N(À- A) @R(A— AJ.

Giả sử A là tập hữu han {À¡, Àa, , Ap} giá trị riêng của hệ phương trình

(1.9) và cho:

Oy = = {orrdrsnnd ro}, Ba = diag By,, Bà,, , By, }

trong đó ở; là cơ sở của không gian sinh bởi các vecto riêng của À; và

By, là ma trận được xác định bởi Ady, = ÓA,Bà,,J = 1,2, ,p Khi đó

By, chỉ có một giá trị riêng A; va bất kỳ vectơ a cùng chiều với vectơ óẠ.nghiệm T(f)daa với giá trị ban đầu ¢)a tại t = 0 có thể được xác định trên(—oo, +00) bằng hệ thức:

T(t) = o\a = d,aea q 10)

a(8) = óa(0)e””,—r < 9 <0.

Hon thế nữa tồn tại không gian con Q) của C sao cho T(t)Q) C Qè với

tất cả ý > 0 và C = Py ® @) trong đó

Py = {9 E Cló = ya VỚI vecto a nao đó fs

Dinh lý 1.8.8 Ham ma trận A:C—>C"*":

acy a(1— feta a-| e°d[n( (9) zeC

là ma trận đặc trưng của A và tương đương với:

30

CHƯƠNG 2

NGHIỆM GIỚI NỘI, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN VÀ

NGHIỆM TỰA TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

HÀM DẠNG TRUNG TÍNH

2.1 Đánh giá phổ của nghiệm giới nội

Trong chương này, chúng ta xét phương trình:

d

Het = La; + f(t), (2.1)

trong đó D, L là các toán tử tuyến tính giới nội từ C := C({—r, 0Ì, C") vào

C”, ƒ là hàm liên tục đều và giới nội từ R vào C” Theo Dinh ly Riesz, các toán tử D và L có thể biểu diễn dưới dạng:

D¿= J du(0)2(8), Lộ = J dn(0)ó(0) (22)

=F

trong đó //(-),7J(-) là các hàm ma trận cỡ n x ?› xác định trên [—r,0] mà

các phần tử là các hàm có biến phân giới nội.

Với mỗi A € C, chúng ta ký hiệu:

A(A):=ADe* — Le*, (2.3)

0 0

trong đó De* := f du(0)e?; Le* = ƒ dn(d)e.

A(A) được gọi là ma trận đặc trưng của phương trình (2.1) Chúng ta gọi:

32

ø(D,L) := {A € C sao cho 3A~1(2)} và o(D, L) :=C\ ø(D, L) lan

lượt là tập giải và tập phổ của phương trình (2.1) Rõ ràng với A € C, A(A)

là ma trận hàm giải tích theo A Chúng ta luôn giả thiết det A(A) # 0.

Bổ dé 2.1.1 Với các giả thiết và các ký hiệu ở trên, chúng ta có các khẳng định sau:

i) p(D,L) là tập mở trong C và o(D,L) là tập đóng và rời rac;

ii) — A~}(À) là hàm ma trận giải tích trên p(D, L).

Chứng minh.

i) Gia sử Ag € C;Ao € ø(D,L), Xo cố định bất kỳ Để chứng minh

p(D, L) là tập mở, chúng ta phải chứng minh tồn tại lân cận U(Ao) của Agtrong sao cho Ư(Ào) C ø(D, L) và VÀ € Ư(À\) đều tồn tại A~1(A)

Thật vay, A(A) = A(Ao) — [A(Ao) — A(A)], nén

A(A) = AQdo){ 2 = A"!(A)[A(s)=AO)]} 24)

Do Ào€ ø(D,L) nên 3ATÌ(2¿).

Vì A(A) liên tục trên C, nên tồn tại lân cận (Ào) của Xo trong mặt phẳng

NF

iL sao cho | A(Ao) = A() |< TAO) 0 € U(,o).

Khi dé: |] Aé#(Ag)[A(Ag) - A(A)] II< : 2,

Do đó, ma trận J —AW!(Xo) [A(Ao) —A(A)] khả nghịch VÀ € U(Xo).

Từ (2.4) suy ra A(A) khả nghịch VÀ € U(Àq) Hay U(^Aog) C p(D,1) Vậy ø(A, L) là tập mở Hiển nhiên, tập z(JD, A) = C\p(D, L) là tap đóng Mặt khác do A(A) giải tích trên C và det A(A) # 0 nên số không điểm của det A(A) là rời rac Vậy o(D, L) đóng và rời rac.

ii) Do tính chất của các toán tử D và L, các hàm ma trận D2e*, Le*

là các hàm ma trận giải tích trên C, cụ thé là A(A) = ÀDe* — Le” có

các phan tử là các hàm giải tích trên C Theo công thức tính ma trận nghịch

đảo, A~!(X) có các phần tử là các hàm đại số của các phan tử của A()

33

nên A~!(À) cũng là hàm ma trận giải tích trên p(D, L) Bổ đề 2.1.1 đã được

chứng minh.

Bổ đề 2.1.2 Gid sử x(-) là nghiệm của phương trình (2.1) trên R, sao

cho x(t) giới nội trên R, khi đó:

Thay cận và đổi thứ tự lấy tích phân (theo định lý Fubini), chúng ta có:

0 +00

= Day + f du()[ | a(t + 8)e~^0+9 eat] =

LA 4

0 +00

= | dn(0)| | c(t + 0)e*"*% J T [/ + { + er aet| + f(A).

Đổi biến tích phân, đặt € = f + 0, chúng ta có:

0 +00

— Day + | e**du(6) z(€)e *Sd£| = ot , u LJ |

edn a(€ ©)e 4£] f(A).

Hoàn toàn tương tự, chúng ta cũng có (2.6).

Tóm lại, VÀ € C; ReX # 0, chúng ta có (2.6) Dựa vào công thức (2.6),

chúng ta đi chứng minh các kết luận i), ii) của bổ dé 2.1.2

i) Giả sử Ag ¢ Sp(f) và Ào £ ơ;(A), chúng ta sẽ chứng minh Ay ¢ Sp(z).

Thật vậy, do Ag ¢ ø;(A) và ø;(A) là tập đóng, rời rac nên có lân cận Uj (Ag)

của \g trong C sao cho VÀ € ¡(^q), tồn tại A~1(A) giải tích theo À Khi

đó, từ (2.6), chúng ta có:

#(A) = A“!J)ø(A)+A“1()/0) 2.7

Do \y ý Sp(f) nào có lân cận U2(Àg) của Ào, sao cho f(A) có thể

thác triển giải tích trong lân cận ;(Ào) Điều đó chứng tỏ rằng trong lân

cận (As) = U(A) ñ Ua(2Ày) vế phải của (2.7) giải tích nên #(À) có

thể thác triển giải tích ở lân cận U(Ag), hay Ao ý Sp(z) tức là Sp(x) C

36

Sp(f) Vai(A).

ii) Gia sử Ag ¢ Sp(x) Theo định nghĩa #(À) có thể thác triển giải tích ở

lân cận U(Ag) của Ag Từ (2.6), chúng ta có:

#F(A) = oA) — AO@)20I.

Đẳng thức nay chứng tỏ f(A) cũng có thể thác triển giải tích ở lân cận U(Ao)

hay Ào ¢ Sp(f) Tức là Sp(ƒ) C Sp(z)

Nhận xét 2.1.1 Trong khi phát biểu và chứng mình các kết quả trên,

chúng ta luôn giả thiết ma trận đặc trưng của phương trình (2.1) thỏa

mãn điều kiện det A(A) #0 Chúng ta có thể chỉ ra lớp phương trình

vi phân hàm dang trung tính thường gặp thỏa mãn điều kiện do

Vi dụ 2.1.1 Xét phương trình (2.1) với D là toán tử atomic tại 0, tức

là Dọ = ó(0) — ƒ du(8)o(9) và Varu < 1 Khi đó, phương trình

(2.1) có det A0) # 0.

Thật vậy, ma trận đặc trưng của phương trình (2.1) là:

A(A) =ADe* — Le*.

Điều đó chứng tỏ rang với |À| đủ lớn, chúng ta có: || A ||>|| B || Do đó,

A(A) = A+ B là ma trận khả nghịch với || đủ lớn hay det A(A) 0 với

|A| đủ lớn, tức là det A(A) # 0.

Nhận xét 2.1.2 Kết quả của bổ đề 2.1.2 là khá hoàn chỉnh Tính

chất phổ của nghiệm tìm được phụ thuộc vào phổ của ma trận đặc

trưng và hàm cho trước ở vế phải và tính chất phổ của nghiệm thu

được bao giờ cũng phức tạp hơn phổ của hàm cho trước.

Tuy nhiên, việc tính toán nghiệm của phương trình đặc trưng không hoàn

toàn đơn giản vì đây là các phương trình siêu việt.

Ví dụ 2.1.2 Xér phương trình (2.1) với D,L là các toán tu được xác định:

Dọ=ó(0); Lộ = -+ó(—1); r7=—1; + là hằng số cho trước.

Phương trình (2.1) là phương trình vi phân:

5 z() = —xz(t =1) + £0) 2.8)

Ma trận đặc trưng của phương trình (2.8) là:

A(A) =ÀDe* — Le”.

Phuong trình đặc trưng của phương trình (2.8) là:

Để tìm nghiệm của hệ, chúng ta giải phương trình (2.10), Ø được thế vào

(2.9) nhận được œ tức là có À Phương trình (2.10) tương đương với:

Rõ ràng số nghiệm của phương trình là vô hạn, tuy nhiên, số nghiệm nàm

trên trục ảo là không quá 1 nên số phần tử của o;(A) không quá 1.

2.2 Định lý Massera về nghiệm giới nội

2.2.1 Giới thiệu về định lý Massera

Xét phương trình vi phân thường trong R:

#() = f(t), (2.11)

trong đó f(t) là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T trên R Nghiệm tổng

quát của phương trình (2.11) là:

trongđó a=— ale f s)ds; G(t) là hàm tuần hoàn chu kỳ 7'.

Vậy thì, nhì tuần hoàn > ø = 0 © F(t) giới nội.

Điều này có thể phát biểu như sau Nếu f(t) là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T trên R, thì nghiệm x(t) của phương trình (2.11) cho bởi công

thức (2.12) là hàm tuần hoàn khi và chỉ khi x(t) giới nội, khi đó x(t) cũng