MỤC LỤC
(Tiêu chuẩn Bochner) Ham g xác định trên R có giá. trị trên không gian Banach X là hàm hầu tuần hoàn néu và chỉ nếu họ. Khi đó các khẳng định sau đây là đúng:. i) f là hàm giới nội và liên tục đều;. ii) Nếu fy=g thì g là hàm hầu tuần hoàn;. giá trị trên X liên tục đều và giới nội) thì f' là hàm hau tuân hoàn;.
Như vậy ta đã chứng minh được đẳng thức Sp(u) = supp. Nếu ƒ là hàm hầu tuần hoàn có giá tri trong X,. một ho các toán tử tuyến tính giới nội trên X thod mãn các điều kiện. ii) Toán tử sinh của nhóm liên tục mạnh (U(t)) ¿ep là toán tử tuyến. Tập Spap(u) là phần bù của tập các điểm hầu tuần hoàn được gọi là phổ hầu tuân hoàn của u. iii) Néu un giới nội đêu Vn €N; uạ*u trên mọi tập compact và. Vi S bất biến trên AP(R, X) nên nó cảm sinh nhóm liên tục. Tiêu chuẩn phổ cho tính hầu tuần hoàn của hàm. Nếu một trong các điều kiện sau được thoả mãn:. i) X không chứa không gian con nào đẳng cấu với không gian co;. ii) Miền giá trị của u là compact tương đối yếu, thì u(t) là hàm hầu tuần hoàn.
Chúng ta ký hiệu APZ(X) là không gian tất cả các dãy hai phía trong.
Vì A(A) liên tục trên C, nên tồn tại lân cận (Ào) của Xo trong mặt phẳng. Đẳng thức nay chứng tỏ f(A) cũng có thể thác triển giải tích ở lân cận U(Ao). Trong khi phát biểu và chứng mình các kết quả trên, chúng ta luôn giả thiết ma trận đặc trưng của phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện det A(A) #0.
Tính chất phổ của nghiệm tìm được phụ thuộc vào phổ của ma trận đặc. Rừ ràng số nghiệm của phương trỡnh là vụ hạn, tuy nhiờn, số nghiệm nàm.
Khi đó, các kết quả sau đây đã trở thành mẫu mực của phương trình vi phân. Phương trình (2.14) có nghiệm duy nhất tuần hoàn. Mở rộng kết quả trên, xét cho hệ phương trình. nghiệm tuần hoàn với chu kỳ T khi và chỉ khi nó có nghiệm giới nội. Việc chứng minh dựa vào phương pháp điểm bất động của ánh xạ sau chu. Nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng đưa được về phương trình dạng:. nghiên cứu vẫn dựa vào sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ sau chu kỳ. Việc mở rộng định lý Massera đối với các nghiệm hầu tuần hoàn gặp rất. nhiều khó khăn. Điều này được thể hiện qua khẳng định của A. Phương trình vi phan thường:. không có nghiệm hầu tuần hoàn. Tuy nhiên, gần đây việc nghiên cứu nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình vi phân đã được N.V. Minh cùng các đồng nghiệp đã nghiên cứu va cho. ra nhiều kết quả đối với lớp các phương trình:. Các tác gia đã su dụng các phương pháp mới:. 1) Phương pháp sử dụng nửa nhóm tiến hóa để nghiên cứu cấu trúc phổ của. nghiệm giới nội;. 2) Phương pháp phân rã nghiệm giới nội theo các tập phổ:. 3) Phương pháp tổng các toán tử giao hoán;. 4) Phương pháp biến thiên hằng số trong không gian pha. Chúng tôi đã áp dụng các phương pháp trên để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm.
Trước khi phát biểu và chứng minh định lý, chúng ta chứng minh một số. Toán tứ K trên BUC(R,C") được gọi là toán tử ôtônôm nếu K là toán tử tuyến tính giới nội và giao hoán với nhóm. Nếu po là hàm ma trận n x n có các phần tử la các ham có biến phan giới nội trên [—r, 0Ì thì toán tử L được xác định bởi công.
Từ giả thiết và tớnh giới nội, rời rac của ỉ;(A), Ay là tập đúng giới nội va. Nếu phương trình (2.1) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T trờn R thỡ rừ ràng nghiệm đú là nghiệm giới nội. Thật vậy, đối với phương trình dạng trễ, nếu tồn tại nghiệm giới nội trên.
Day là phương trình vi phân ham có tré đã được nhiều tác giả nghiên. Chính vì lý do này, mục tiếp theo đây chúng ta sẽ nghiên cứu và đưa ra.
Sử dụng phép biến đổi Carleman của cả hai vế của phương trình (2.1) và áp dụng định lý Fubini vẻ đổi thứ tự lấy tích phân như ở mục. Vậy nghiệm giới nội, liên tục đều của phương trình (2.1) là hàm hầu tuần hoàn. Nghiệm giới nội hâu tuần hoàn của phương trình vi phan thường đã được trình bày trong [44, tr.
Tập S được gọi là tập có cơ sở hữu hạn nguyên nếu tồn tại tập. Giả sử các giả thiết của định lý 2.5.1 déu thỏa mãn, thêm vào đó f là hàm tựa tuần hoàn. Khi đó nếu phương trình (2.1) có nghiệm giới nội, liên tục đều thì cũng có nghiệm tựa tuân hoàn.
Đó là chỉ ra được các trường hợp phương trình vi phân hàm có hàm trung tính nếu có nghiệm giới nội và liên tục đều.
Tuy nhiên, đối với phương trình sai phân có trễ trung tính cho thấy không có. Khái niệm atomic ở đây tương tự như khái niệm atomic trong lý thuyết phương trình vi phan hàm [54]. Bang cách kiểm tra trực tiếp, chúng ta có thể chỉ ra rằng Sv là nghiệm của phương trình (3.1) với số hạng cưỡng bức Sy.
Với k là số âm, cũng bằng tính toán trên, chúng ta có thể chi ra. Sử dung phép biến đổi Carleman cả hai vế của dang thức (3.20) và áp dung. Bây giờ, chúng ta đi chứng minh nguyên lý Massera đối với phương trình sai phân dạng trung tính có trễ.
Điều đó có nghĩa rằng mọi nghiệm của phương trình (3.46) là hầu tuần hoàn tiệm cận. Trong quá trình chứng mình, chúng ta chỉ ra sự giới nội của Y(t) dẫn đến sự giới nội của X(t).