Hwang năm 2016 đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm tối ưu và thiết lập điều kiện cần chobài toán điều khiển tối ưu của lớp hệ Karman xem trong [15].. Mastrogiacomo trong [10] đã đưa ra
Tính cấp thiết của đề tài
Để đạt được thành công trong công việc, chúng ta thường có xu hướng can thiệp vào quá trình phát triển Tuy nhiên, việc can thiệp không đúng cách có thể làm cho tình hình trở nên tồi tệ hơn.
Sự can thiệp đúng mức là việc tác động vào hệ thống một cách hợp lý và hiệu quả để đạt được kết quả tối ưu Để can thiệp thành công, chúng ta cần phân tích kỹ lưỡng các yếu tố ảnh hưởng và xác định thời điểm, phương pháp can thiệp phù hợp, nhằm tối đa hóa lợi ích và giảm thiểu rủi ro.
Để can thiệp hiệu quả vào một hệ thống hay công việc, trước tiên cần mô tả rõ ràng hệ thống đó, đây là bước quan trọng trong việc giải quyết vấn đề Trong toán học, giai đoạn này được gọi là mô hình hóa, trong đó có sự tham gia của các yếu tố điều khiển mà chúng ta có thể tác động vào Sự can thiệp này, dù là của con người hay máy móc, sẽ phát sinh chi phí và lợi nhuận Hiệu số giữa chi phí và lợi nhuận được gọi là giá của tác động, và mục tiêu là đưa ra quyết định tối ưu để giảm thiểu giá điều khiển.
Mô hình có tham số thời gian được gọi là mô hình động học, cho phép phân tích theo trình tự thời gian và tính toán bước tiếp theo dựa trên các bước trước Tác động tuần tự theo thời gian này được gọi là điều khiển, và điều khiển đạt được kết quả không kém hơn bất kỳ phương pháp điều khiển nào khác.
Cuối cùng, hoạt động của con người chủ yếu là thực hiện các điều khiển Khi hoạt động diễn ra một cách hài hòa, điều đó có nghĩa là chúng ta đang áp dụng những điều khiển chấp nhận được Để đạt được thành công tối ưu, việc sử dụng các điều khiển tối ưu là rất quan trọng.
Trong khuôn khổ đề tài này, chúng tôi trình bày một số kết quả về bài toán điều khiển tối ưu cho một lớp phương trình đạo hàm riêng.
Bài toán điều khiển tối ưu ra đời từ những năm 50 của thế kỷ XX, với những công trình nổi bật của các nhà toán học Xô Viết, đặc biệt là L.C Pontriagin, người đã phát triển nguyên lý cực đại để xác định các điều kiện cần cho các quá trình tối ưu Bắt nguồn từ các bài toán tối ưu hóa cổ điển như bài toán biến phân và bài toán quy hoạch động, điều khiển tối ưu nhằm tìm kiếm các quá trình tối ưu cho các hệ thống điều khiển được mô tả bằng các phương trình toán học Đến nay, lý thuyết điều khiển tối ưu đã phát triển mạnh mẽ, đạt được nhiều kết quả quan trọng và sâu sắc.
Các hệ điều khiển, hay các hệ thống có đối tượng điều khiển, đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán thực tiễn và ứng dụng khoa học công nghệ Chúng được áp dụng trong mô hình điều khiển máy bay, ôtô và tàu hỏa, cho phép điều chỉnh các đối tượng nhằm ảnh hưởng đến hoạt động của hệ thống và phục vụ mục đích tối ưu hóa cho con người.
Gần đây, nghiên cứu về bài toán điều khiển tối ưu cho lớp phương trình parabolic đã thu hút sự chú ý, đặc biệt là trong các trường hợp cụ thể Năm 2016, J Hwang đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm tối ưu và thiết lập điều kiện cần cho bài toán điều khiển tối ưu trong hệ Karman Tiếp theo, vào năm 2017, C.T Anh và T.T.M Nguyệt đã tiến hành nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình Navier-Stokes-Voigt, đạt được điều kiện đủ tối ưu cấp cho vấn đề này.
Bài toán điều khiển tối ưu với nhớ trong mô hình đã được nghiên cứu hạn chế và chỉ mới được trình bày gần đây Năm 2013, P Canasa và cộng sự đã chứng minh sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm cho bài toán điều khiển tối ưu Bolza trong không gian vô hạn chiều đối với một lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Tiếp theo, vào năm 2014, F Confortola và E Mastrogiacomo đã đưa ra tiêu chuẩn điều khiển tối ưu cho lớp phương trình phản ứng khuếch tán ngẫu nhiên có chứa nhớ Sự tồn tại nghiệm tối ưu và điều kiện tối ưu cũng được đề cập trong các tài liệu tham khảo khác.
Bài toán điều khiển tối ưu cho các phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là những phương trình có chứa nhớ, đang là một thách thức lớn với rất ít nghiên cứu hiện có Chưa có điều kiện cần và đủ nào được xác định cho vấn đề này, điều này cho thấy sự cần thiết phải mở rộng và hoàn thiện các kết quả khoa học đã đạt được Chính vì vậy, tác giả quyết định nghiên cứu đề tài “Bài toán điều khiển tối ưu của một lớp phương trình khuếch tán không cổ điển chứa nhớ”, nhằm đóng góp vào lĩnh vực này.
Mục tiêu của đề tài này là chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tối ưu và thiết lập các điều kiện cần và đủ cho bài toán điều khiển tối ưu có chứa số hạng nhớ Khó khăn chính là sự xuất hiện của số hạng nhớ −R∞, điều này đặt ra thách thức trong việc tìm kiếm nghiệm tối ưu.
0 κ(s)∆y(t−s)ds như trong phương trình (2.1) bên dưới Hơn nữa, chúng tôi xét bài toán với giả thiết tổng quát nhất hiện nay cho nhân nhớ κ (như trong [3, 11])
Mô hình khuếch tán có chứa nhớ không chỉ bị ảnh hưởng bởi các yếu tố hiện tại mà còn bởi các yếu tố trong quá khứ, giúp cung cấp cái nhìn chính xác hơn về quá trình khuếch tán trong các vật liệu như chất lỏng có độ nhớt cao ở nhiệt độ thấp Hơn nữa, tốc độ tiêu hao năng lượng của mô hình này nhanh hơn so với quá trình phản ứng khuếch tán thông thường.
Trong bài viết này, chúng tôi giải quyết những thách thức liên quan đến phương trình có chứa nhớ, yêu cầu phân tích trong không gian pha phức tạp Chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại của nghiệm tối ưu và xác định các điều kiện cần và đủ cho bài toán điều khiển tối ưu với phương trình parabolic có chứa nhớ.
Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là mở rộng kết quả của bài toán điều khiển tối ưu cho các phương trình đạo hàm riêng chứa nhớ Chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm tối ưu và thiết lập điều kiện cần và đủ cho bài toán điều khiển tối ưu với phương trình khuếch tán không cổ điển Đề tài "Bài toán điều khiển tối ưu của một lớp phương trình khuếch tán không cổ điển chứa nhớ" hy vọng sẽ góp phần hoàn thiện hệ thống lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết điều khiển tối ưu cho các phương trình cụ thể có ứng dụng thực tiễn.
• Nhằm tìm hiểu về bài toán điều khiển tối ưu của lớp phương trình đạo hàm riêng chứa nhớ dưới các điều kiện tốt nhất cho nhân nhớ.
• Các kết quả và ý tưởng của đề tài, về mặt toán học
Mở rộng kết quả của bài toán điều khiển tối ưu cho các lớp phương trình đạo hàm riêng có chứa nhớ, đồng thời giải quyết những vấn đề chưa được nghiên cứu, đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học cả trong và ngoài nước.
– Có thể sử dụng trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm cho một số lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến khác.
Kết quả và ý tưởng của đề tài có thể được ứng dụng để nghiên cứu các bài toán điều khiển tối ưu trong kỹ thuật, vật lý và cơ học.
• Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình khuếch tán không cổ điển có chứa nhớ.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài tập trung vào việc xác định sự tồn tại của nghiệm tối ưu, đồng thời khảo sát các điều kiện cần và đủ để đạt được tối ưu cho bài toán đã được đặt ra.
Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp Compact và các phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận, kết hợp với phương pháp năng lượng và các kỹ thuật giải tích hiện đại, chúng ta có thể nghiên cứu hiệu quả bài toán điều khiển tối ưu.
Đóng góp của đề tài
Đề tài nghiên cứu đã đạt được một số kết quả chính sau đây:
• Chứng minh sự tồn tại nghiệm tối ưu của bài toán điều khiển tối ưu cho lớp phương trình khuếch tán không cổ điển có chứa nhớ.
Để tối ưu hóa bài toán điều khiển tối ưu cho lớp phương trình khuếch tán không cổ điển có chứa nhớ, cần xác định rõ các điều kiện cần và đủ Kết quả chính của nghiên cứu này đã được tổng hợp và trình bày trong một bài báo khoa học chuyên ngành.
Nguyen Duong Toan, Optimal control of nonclassical diffusion equations with memory, Acta Applicandae Mathematicae, 2019 (Submitted).
Additionally, the findings of this article were presented at the seminar titled “Stability and Control Problems for Partial Differential Equations,” led by Associate Professor Cung The Anh from the Institute for Advanced Study in Mathematics, in December 2017.
Cấu trúc đề tài
Một số khái niệm và không gian hàm cơ bản
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày lại các không gian hàm cơ bản, khái niệm về đạo hàm suy rộng và không gian Sobolev cùng với một số tính chất quan trọng của chúng Cuối chương, chúng tôi cũng sẽ giới thiệu một số mô hình điều khiển tối ưu Nội dung này được tham khảo từ các tài liệu [13, 19].
1.1.1 Đạo hàm suy rộng Định nghĩa 1.1 Giả sử u, v ∈L 1 loc (Ω)và một đa chỉ số α Ta nói rằng v là đạo hàm suy rộng cấp α của u nếuR
Ω vϕdx đúng với mọi hàm thử ϕ ∈C 0 ∞ (Ω).
- Hàm u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp α thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp α.
- Một hàm u(x) có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa thông thường.
- Nếu hàm có đạo hàm suy rộng cấp α nhưng chưa chắc đã có đạo hàm cấp bé hơn hoặc bằng α.
- Hàm u(x) có đạo hàm suy rộng cấp α thì đạo hàm đó là duy nhất.
- Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω 0 ⊂Ω.
Ví dụ Với u(x) = |x|, x ∈ [−1,1] có đạo hàm suy rộng trong khoảng [−1,1]. Tuy nhiên, hàm này không có đạo hàm thường tại x= 0.
1.1.2 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.2 Không gian Sobolev là không gian bao gồm tất cả những hàm u(x) ∈ L p (Ω), sao cho với mỗi đa chỉ số α, α 6 k đạo hàm yếu D α u tồn tại và thuộc L p (Ω), được trang bị chuẩn kuk W k p (Ω)
- Nếu p = 2 ta có H k (Ω) = W k 2 (Ω) (k = 0,1,2 ) là không gian Hilbert,
H 0 (Ω) = L 2 (Ω) Định nghĩa 1.3: a) Cho {u m} ∞ m=1, u ∈ W p k (Ω), ta nói rằng u m hội tụ đến u trong W k p (Ω) nếu lim m→∞ ku m − u k W k p (Ω) = 0, ký hiệu u m → u trong W k p (Ω) b) Ta nói u m → u trong W k p,loc (Ω) nếu u m → u trong W k p (Ω 0) với Ω 0 ⊂⊂ Ω Định nghĩa 1.4: Bao đóng của C 0 ∞ (Ω) trong W p k (Ω) được ký hiệu là o.
W k p (Ω)nếu và chỉ nếu tồn tại các hàm u m ∈C 0 ∞ (Ω)sao cho u m → u trong W p k (Ω) Ta coi u ∈ o
W p k (Ω) như là tập hợp những hàm W k p (Ω) sao cho
W 2 k (Ω). Định lí 1.1 Không gian H 1 (Ω), H 0 1 (Ω) là không gian khả ly.
- Do L 2 (Ω) là không gian phản xạ nên H 1 (Ω) cũng là không gian phản xạ.
∂x i ∈L 2 (Ω),∀i = 1, n thì u∈ H 1 (Ω). Định lí 1.2 Với mỗi k = 0,1,2 và 1≤ p 0), với C() = (p) −q/p q −1
• Bất đẳng thức H¨older : Giả thiết 1≤ p, q ≤ ∞, 1 p + 1 q = 1 Khi đó nếu u∈L p (Ω), v ∈L q (Ω) thì ta có:
Bất đẳng thức Gronwall cho rằng nếu x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối trên khoảng [0;T] và thỏa mãn điều kiện dx/dt ≤ g(t)x + h(t) hầu hết mọi t, với g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0;T], thì ta có x(t) ≤ x(0)e^G(t) + một hằng số.
Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và dx dt 6 ax+b, thì x(t) 6 (x(0) + b a)e at − b a.
• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Choξ(t) là một hàm khả tích, không âm trên[0, T]và thỏa mãn với hầu khắptbất đẳng thức tích phân ξ(t) ≤C1
Z t 0 ξ(s)ds+C2, với C 1 , C 2 là các hằng số không âm Khi đó ξ(t) ≤ C 2 (1 +C 1 te C 1 t ), với hầu khắp t, 0≤t ≤T.
• Bất đẳng thức Poincaré Giả sử Ω x∈ R n : a i < x i < b i , i= 1, n
|∇u| p dx với 1 ≤ p < ∞, C là hằng số không phụ thuộc vào u(x).
1.2.2 Một số định nghĩa và định lý Định nghĩa 1.7 Ta nói rằng không gian Banach E được nhúng liên tục vào không gian Banach F nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Định lí 1.3 Giả sử Ω là miền bị chặn trong R n và 1 ≤ p < n Khi đó không gian
W 1 p (Ω) được nhúng liên tục vào không gian L n−p np (Ω) Hơn nữa, với mọi hàm u ∈
W 1 p (Ω) ta có bất đẳng thức kuk
Hằng số chỉ phụ thuộc vào n và p Một không gian Banach E được gọi là nhúng compact vào không gian Banach F (ký hiệu: E b F) nếu tồn tại một toán tử tuyến tính đơn trị từ E vào F, biến một tập bị chặn trong E thành một tập tiền compact trong F Theo định lý 1.4, nếu Ω là miền bị chặn trong R n, thì không gian
W m p (Ω) nhúng compact vào a) không gian L q (Ω) nếu q < np/(n−p), p < n; b) không gian C Ω nếu p > n.
Bổ đề Aubin-Lions khẳng định rằng nếu X₀, X và X₁ là ba không gian Banach với X₀ và X₁ là không gian phản xạ, đồng thời X₀ nhúng compact trong X và X nhúng liên tục trong X₁, thì với 1 < p, q < +∞, các điều kiện này tạo ra những kết quả quan trọng trong phân tích toán học.
Khi đó W nhúng compact trong L p (0, T;X).
Ta nhắc lại một điều kiện đủ cho sự hội tụ yếu trong L p (Ω).
Bổ đề 1.2 khẳng định rằng nếu Ω là miền bị chặn trong R^n x R^t và dãy {g_n} với g_n ∈ L_q(Ω) thỏa mãn điều kiện kg_nk_{L_q(Ω)} ≤ C (C dương), g_n hội tụ hầu khắp g trong Ω và g ∈ L_q(Ω), thì g_n hội tụ đến g trong L_q(Ω) khi n tiến đến vô cực Định nghĩa 1.9 giới thiệu khái niệm hội tụ yếu trong không gian Banach thực X, với dãy {u_k} hội tụ yếu đến u* nếu hu*, u_k i → hu*, u với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn u* ∈ X* Cuối cùng, định nghĩa 1.10 nêu rõ dãy {f_n} trong X* hội tụ *-yếu đến f ∈ X* nếu với mọi u ∈ X, hu, f_n - fi → 0 khi n tiến đến vô cực, và sự hội tụ *-yếu tương đương với hội tụ yếu trong không gian phản xạ X = (X*)*.
Giới thiệu mô hình điều khiển tối ưu
Bài toán điều khiển tối ưu ra đời từ những năm 50 của thế kỷ XX, với những công trình nổi bật của các nhà toán học Xô Viết, đặc biệt là L.C Pontriagin, người đã phát triển nguyên lý cực đại để xác định các điều kiện cần cho các quá trình tối ưu Xuất phát từ các bài toán tối ưu hóa cổ điển như bài toán biến phân và bài toán quy hoạch động, điều khiển tối ưu nhằm tìm kiếm các quá trình tối ưu cho các hệ thống điều khiển được mô tả bằng các phương trình toán học Đến nay, lý thuyết điều khiển tối ưu đã đạt được nhiều kết quả đáng kể và sâu sắc.
Các hệ điều khiển được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán thực tiễn và trong lĩnh vực khoa học công nghệ, như mô hình điều khiển máy bay, ôtô và tàu hỏa Chúng cho phép điều khiển các đối tượng nhằm tối ưu hóa sự vận hành của hệ thống, phục vụ cho các mục đích của con người.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày một số mô hình kế hoạch hóa tài chính quan trọng, bao gồm mô hình cân đối sản xuất - tiêu dùng và mô hình vốn đầu tư Bên cạnh đó, còn nhiều mô hình khác như mô hình phân bổ lao động và vốn đầu tư, cũng như bài toán điều tiết nguồn nước, sẽ được đề cập thêm.
1.3.1 Mô hình cân đối sản xuất - tiêu dùng
Giả sử sử dụng y kg thóc giống để gieo trồng, ta sẽ thu được F(y) kg sản phẩm khi đến kỳ thu hoạch Trong kỳ tiếp theo, một phần thóc c được sử dụng để tiêu dùng, mang lại lợi tức q(c) sau khi trừ chi phí Phần thóc còn lại sẽ được dùng để gieo trồng cho vụ sau Do đó, số thóc y_t được dùng để gieo trồng tại thời điểm t được mô tả bởi mô hình động học.
• Xét trên khoảng thời gian t=m, m+ 1, , n
• Tại thời điểm t ta có y t kg thóc mang gieo trồng và c t kg thocs mang ra tiêu dùng.
• Mối liên hệ giữa thời kì t và thời kì tiếp theo t+ 1 là y t+1 = F(y t ) − c t+1 , t =m, m+ 1, , n−1.
• Lợi tức thu được ở thời điểm tlà q(c t ); lợi tức thu được trên khoảng thời gian m, m+ 1, n bằng tổng lợi tức của từng thời kì
Mục đích của chúng ta là hãy đưa ra chiến lược tiêu thụ sản phẩm c m+1 , c m+2 , , c n để làm cực đại phiếm hàm lợi tức J.
Chiến lược được đề xuất cần tuân thủ các ràng buộc nhất định Chẳng hạn, trong trường hợp không được phép vay mượn, điều kiện phải thỏa mãn là 0 ≥ c t < F(y t−1) đối với mọi t từ m đến n.
Số thóc thu được sau một thời gian thường bị ảnh hưởng bởi các yếu tố ngẫu nhiên như thời tiết, bão lụt, dẫn đến mô hình phụ thuộc vào các yếu tố này Khi đó, sản lượng thóc sẽ được biểu diễn dưới dạng hàm F(y t , s t+1), với (s t) là một quá trình ngẫu nhiên đáp ứng các giả thiết nhất định Động học của mô hình trong trường hợp này được mô tả qua phương trình sai phân ngẫu nhiên y t+1 = F(y t) − c t+1, với t bắt đầu từ m đến n.
1.3.2 Mô hình vốn đầu tư
Khi đầu tư vào lĩnh vực kinh tế nhằm thu lãi, chúng ta có thể chia số tiền thành hai loại: loại I chiếm tỷ lệ α t được gửi vào ngân hàng với lãi suất σ t, và loại II với tỷ lệ β t dành cho mua cổ phiếu có khả năng sinh lợi τ t Thị trường cổ phiếu luôn biến động và rủi ro, do đó τ t là đại lượng ngẫu nhiên, trong khi lãi suất σ t thường ổn định và đã biết trước Mô hình động học của đầu tư vốn tại thời điểm t được thể hiện qua công thức x t = (α t σ t + β t τ t )x t−1, với điều kiện 1≥α t ≥0 và α t + β t = 1.
Mục tiêu của chúng ta là xác định tỷ lệ đầu tư α t và β t trong từng thời kỳ để tối đa hóa số tiền x n vào thời điểm cuối cùng n Điều này dẫn đến bài toán tối đa hóa hàm phiếm J = x n (hoặc chính xác hơn là J = E x n) khi biết chuỗi (x t) tuân theo phương trình (1.1).
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNHKHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN CHỨA NHỚ
Đặt bài toán
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R^3 với biên đủ trơn ∂Ω, và Q = Ω × (0, T) là trụ phụ thuộc thời gian Chúng ta tiến hành cực tiểu hóa phiếm hàm mục tiêu dạng toàn phương, phản ánh trạng thái tại thời điểm cuối cùng và hàm giá.
|u(x, t)| 2 dxdt, trong đó, y là biến trạng thái và u là biến điểu khiển - phải thỏa mãn phương trình khuếch tán không cổ điển dưới đây
Bài toán điều khiển tối ưu của hệ động lực chứa nhớ là một thách thức tự nhiên trong nhiều mô hình khoa học kĩ thuật Vấn đề này thường xuất hiện khi nghiên cứu hiệu suất tối ưu của hệ thống, trong đó đầu vào không xảy ra ngay lập tức mà cần một khoảng thời gian nhất định để tác động.
Trong nghiên cứu bài toán (2.1), chúng ta giả định rằng các hệ số α T và α Q là các số thực không âm, với ít nhất một hệ số dương để đảm bảo hàm mục tiêu không tầm thường Tham số γ, đại diện cho chi phí điều khiển, cũng được xác định là một hằng số dương Bên cạnh đó, dữ liệu ban đầu, tập điều khiển chấp nhận được và hàm phi tuyến đều phải thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(H1) Điều kiện ban đầu y 0 là một hàm cho trước trong không gian H 0 1 (Ω).
Các trạng thái mong muốn y T ∈ H 0 1 (Ω) và y Q ∈ L 2 (Q) Tập điều khiển chấp nhận được, kí hiệu bởiU ad , là tập khác rỗng, lồi, đóng trong không gian L 2 (Q).
(H2) Hàm phi tuyến f ∈ C 2 (R,R) thỏa mãn yf(y)> −a 0 y 2 −C 0 , (2.2)
F(y) y 2 ≥0, (2.5) trong đó 0 < a 0 < λ 1 , với λ 1 > 0 là giá trị riêng đầu tiên của toán tử
−∆ trong miền Ω dưới điều kiện biên Dirichlet và F(y) = Ry
0 f(s)ds là nguyên hàm của hàm f.
Hàm κ(s) là một hàm không âm có dạng κ(s) = ∫₀^+∞ s à(r)dr, trong đó à ∈ L¹(R⁺) là hàm liên tục giảm Đặc biệt, hàm này thỏa mãn điều kiện κ(s) ≤ θà(s) với θ > 0 và mọi s > 0 Tương tự như trong tài liệu [14], chúng ta có bất đẳng thức à(r+s) ≤ M e^(-δr) à(s), với M ≥ 1, δ > 0, và mọi r ≥ 0, s > 0 Do đó, từ bất đẳng thức này, ta có à₀(s) ≤ 0 với mọi s > 0.
Tương tự như [12], một biến mới phản ánh lịch sử (quá khứ) được đưa ra, đó là, η t (x, s) =η(x, t, s) Z s 0 u(x, t−r)dr, s≥ 0, suy ra
Do à(s) =−κ 0 (s) nờn bài toỏn (2.1) cú thể viết lại dưới hệ sau
Trong bài viết này, các ký hiệu kã k và (ã) được sử dụng để biểu thị chuẩn và tích vụ hướng trong không gian L²(Ω) Ký hiệu H = L²(Ω), V = H₀¹(Ω) và |ã|, (ã, ã); kã k, ((ã, ã)) đại diện cho chuẩn và tích vụ hướng tương ứng trong không gian H.
V Ta cú,V ⊂H ≡H 0 ⊂V 0 Chỳng tụi sử dụng kớ hiệuk ã k V 0 cho chuẩn trong khụng gian đối ngẫu V 0 , và hã,ãi V 0 ,V cho tớch đối ngẫu giữa hai khụng gian V 0 và V.
Ta kí hiệuL p (0, T;X)là không gian Banach,là tập các hàm ánh xạ từ(0, T) vào không gian Banach thực X, với chuẩn kyk L p (0,T ;X) :=kyk L p (0,T ;X) Z T 0 ky(t)k p X dt
! 1/p , 1≤p 0, tồn tại một hằng số dương C δ sao cho
Chú ý rằng ky n k 2 ≥λ 1 |y n | 2 và giả sử δ = λ 4 1 , ta có
Mặt khác, từ (2.3) và phép nhúng V ,→L 6 (Ω), ta được
F(y 0 )dx 6C(1 +ky 0 k 5 L 5) 6C(1 +ky 0 k 5 ) (2.14) Kết hợp (2.11) và (2.13) - (2.14), ta được
Từ (2.11) và (2.15), ta được {y n } là bị chặn trong W 1,2 (0, T;V) Từ đó , ta có
Sử dụng (2.3) và phép nhúng V ,→ L 6 (Ω) một lần nữa, ta có kf(y n )k 3/2
Từ (2.11) và (2.16) ta suy ra rằng
Vì vậy f(y n ) * χ trong L 3/2 (0, T;L 3/2 (Ω)) theo dãy con.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng χ = f(¯y) Áp dụng Bổ đề Aubin-Lions, ta có y n → y¯ mạnh trong L 2 (Q), dẫn đến y n → y¯ hầu khắp trong Ω×[0, T] Do f là hàm liên tục, nên f(y n ) → f(¯y) hầu khắp Ω×[0, T] Theo (2.17) và Bổ đề 1.3, ta suy ra f(y n ) * f(¯y) trong L 3/2 (0, T;L 3/2 (Ω)) theo dãy con.
Do đó, χ = f(¯y), dẫn đến cặp (¯y,u)¯ là cặp chấp nhận được theo điều kiện (2.7) Bằng cách lập luận tương tự, ta cũng có thể xác nhận rằng z đáp ứng điều kiện ban đầu z(0) = z 0.
Cuối cùng, chúng ta cần chứng minh rằng J¯ = J(¯y,u) Phiếm hàm mục tiêu J bao gồm các chuẩn bình phương, do đó J = J(v) là lồi Hơn nữa, J(v) liên tục trong không gian W 1,2 (0, T;V)×L 2 (Q), điều này cho thấy J = J(v) là nửa liên tục dưới yếu.
Do (¯y,u)¯ là cặp chấp nhận được, và J¯là đạt infimum với mọi cặp chấp nhận được, từ đó ta thu được J¯=J(¯y,u) Định lí được chứng minh.¯
Điều kiện cần và đủ tối ưu của bài toán điều khiển tối ưu cho lớp phương trình khuếch tán không cổ điển chứa nhớ 27
Điều kiện cần tối ưu cấp một
Trong phần này, chúng tôi sẽ thiết lập các điều kiện tối ưu cấp một cho bài toán Để người đọc dễ dàng theo dõi, chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong giải tích lồi Giả sử X là một không gian Hilbert với tích vô hướng được ký hiệu là (ã, ã), và U là một tập con lồi đúng của X Chúng tôi định nghĩa N U (u) và T U (u) là nún phỏp tuyến và nón tiếp tuyến của U tại điểm u ∈ U.
Một phần tửω ∈ X được gọi là một hướng khả thi tạiu ∈U nếu tồn tạiδ > 0 sao cho u+ω∈ U vẫn đúng với mọi ∈(0, δ).
Nón của hướng khả thi tại u ∈ U sẽ được kí hiệu bởi F U (u) Do U là lồi, ta có (xem [4])
Trong trường hợp X = L²(Q), U = U_ad và u = ¯u, điều khiển u¯ được định nghĩa là tối ưu địa phương nếu tồn tại một hằng số ρ > 0 thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét điều khiển tối ưu địa phương u¯ liên kết với trạng thái y, với điều kiện rằng 27 đúng với mọi u ∈ U ad và kuưuk¯ L 2 (Q) ≤ ρ Theo định lý 3.1, tồn tại các nghiệm yếu ¯ λ, ¯ η¯ t của phương trình liên hợp Những yếu tố này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích các trạng thái liên kết và điều khiển tối ưu trong hệ thống.
(3.2) với mọi ω(T) ∈V và ζ T ∈L 2 à (R + , V) Hơn nữa, ta cú
Như một trường hợp đặc biệt, bất đẳng thức biến phân
(¯λ+γu)¯ ã(vưu)¯ ≥ 0, ∀v ∈ U ad (3.4) cũng thỏa mãn.
Để chứng minh, trước tiên ta nhắc lại rằng z(t) = (y(t), η t ) và z 0 = (y 0 , η 0 ) Giả sử h là một hướng khả thi tại u, với ¯u= ¯u+βh, trong đó u∈U ad và β là một hằng số đủ nhỏ thuộc R + Giả sử z là biến trạng thái liên kết với u, ta có thể viết z = (¯y,η) +¯ β(m, η 1 t ) +β(r, η t 2 ), trong đó (m, η 1 t ) là một nghiệm yếu của phương trình.
(3.5) và (r, η t 2 ) là nghiệm yếu của phương trình
Sử dụng lập luận tương tự như chứng minh của Định lí 3.2 trong [3], ta suy ra (3.5) có một nghiệm yếu m thuộc trong không gian L ∞ (0, T;V) và
Bây giờ, bất kì β > 0, ta chứng minh rằng (3.6) cũng có duy nhất nghiệm yếu r ∈W 1,2 (0, T;V); và η t 2 thuục vào L 2 (0, T;L 2 à (R + , V)).
Nhân phương trình thứ nhất của (3.6) với r(t) và lấy tích phân trên toàn
Sử dụng giả thiết (H2) và phép nhúng V ,→ L 4 (Ω), ta được
Kết hợp (3.7) - (3.9), ta được d dt |r(t)| 2 +kr(t)k 2 +kη t 2 k 2 1,à
Vì vậy, từ (3.10) ta có d dt |r(t)| 2 +kr(t)k 2 +kη t 2 k 2 1,à
6 2` λ 1 (|r(t)| 2 +kr(t)k 2 +kη t 2 k 2 1,à ) +C |f 0 (¯y)| 2 +|f 0 (¯y+θβm)| 2 km(t)k 2 Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta được
Nhân phương trình thứ nhất của (3.6) với r t và áp dụng giả thiết (H2) cùng với bất đẳng thức (3.11), qua một số bước tính toán, chúng ta có được r t ∈ L 2 (0, T; V) Do đó, r thuộc không gian W 1,2 (0, T; V), và η 2 t thuộc không gian L ∞ (0, T; L 2 à (R + , V)) Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra điều này.
Ta có thể viết lại phương trình thứ nhất của (3.6) như sau r t −∆r t −∆r−
Nhân (3.12) với r ∈ L 2 (0, T;V), sau đó lấy tích phân trên toàn Ω và Sử dụng(2.4), (3.8), ta được
Từ (2.3), (3.11) và phép nhúng V ,→ L 6 (Ω), ta có
+βC. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta được
Tích phân từ 0 đến T cho thấy rằng kr(t)k L 2 (0,T ;V ) → 0 và kη 2 t k 2 L 2 (0,T ;L 2 à ( R + ,V )) → 0 khi β → 0 + Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng phương trình liên hợp tuyến tính kết nối với một nghiệm yếu ¯λ,ζ¯ t thuộc vào không gian W 1,2 (0, T;V).
L 2 (0, T;L 2 à (R + , V)) Ta định nghĩa W 0 là một khụng gian con đúng tuyến tính của W 1,2 (0, T;V) như sau
W 0 ={(m 1 , ζ 1 t )∈ W 1,2 (0, T;V)ìL 2 (0, T;L 2 à (R + , V)) : (m 1 (0), ζ 1 0 ) = (0,0)}. Định nghĩa toỏn tử S :W 0 → L 2 (0, T;V 0 )ìL 2 (0, T;L 2 à (R + , V 0 )) là
Khi đó S là một đẳng cấu, vì vậy toán tử liên hợp
S ∗ : L 2 (0, T;V)ìL 2 (0, T;L 2 à (R + , V)) →W 0 ∗ cũng là một đẳng cấu Khi đó, bất kì (g,0) ∈ W 0 ∗ tồn tại duy nhất (¯λ,η¯ t ) ∈
L 2 (0, T;V)ìL 2 (0, T;L 2 à (R + , V)) sao cho S ∗ (¯λ,η¯ t ) = (g,0) trong W 0 ∗ Với bất kì (ω, ζ 1 t ) ∈ W 0 , ta có hS ∗ (¯λ,η¯ t ),(ω, ζ 1 t )i W 0 ∗ ,W 0 =h(g,0),(ω, ζ 1 t )i W 0 ∗ ,W 0 , suy ra hS(ω, ζ 1 t ),(¯λ,η¯ t )i L 2 (0,T ;V 0 )ìL 2 (0,T ;L 2 à ( R + ,V 0 )), L 2 (0,T ;V )ìL 2 (0,T ;L 2 à ( R + ,V ))
Chúng ta sẽ chứng minh rằng λ¯ t thuộc L 2 (0, T;V) với g 1 thuộc L 2 (0, T;H) Để thực hiện điều này, cần phải đánh giá một số hạng nhất định Để thuận tiện trong quá trình theo dõi, chúng ta sẽ đặt
Do (¯λ,η¯ t ) ∈ L 2 (0, T;V) ìL 2 (0, T;L 2 à (R + , V)), ta dễ dàng thu được G(t) ∈
L 2 (0, T;V 0 ) +L 2 (0, T;L 2 à (R + , V 0 )) Ta cũng cú thể xột g 1 như một phần tử của
Chỳ ý rằng, doω(x, t) ∈L 2 (0, T;V), ta thấy rằngω(x, t) ∈ L 2 (0, T;L 2 à (R + , V). Đặt g =g 1 +g 2 trong (3.14), ta được hω t −∆ω t ,λi¯ L 2 (0,T ;V 0 ),L 2 (0,T ;V )
Từ (3.16), sử dụng tích phân từng phần, ta được
C 0 ∞ (0, T), ta được (ω, ζ 1 t ) ∈ W 0 Từ (3.18), lấy (ω(t), ζ 1 t ) = (φ(t)v, ϕ(t)ζ), ta được
0 φ 0 (t)hv−∆v,λ(t)i¯ V 0 ,V dtZ T 0 φ(t)hG(t), vi V 0 ,V dt, (3.19) với
Z ∞ 0 à(s) ∆¯λ, ζ(s) dsdt= 0. (3.20) với mọi φ(t), ϕ(t) ∈C 0 ∞ (0, T) Khi đó (3.19),(3.20) có thể viết lại như sau
0 φ 0 (t)hλ(t)¯ −∆¯λ(t), vi V 0 ,V dtZ T 0 φ(t)hG(t), vi V 0 ,V dt. Áp dụng Bổ đề 1.1 trong [20, p.250], ta có
G(t)φ(t)dt, (3.21) với mọi φ ∈C 0 ∞ (0, T) Xét toán tử L: V → V 0 được định nghĩa bởi hL(u), vi V 0 ,V = (u, v) +h∆u, vi V 0 ,V
Khi đó L là một đẳng cấu, liên tục và L −1 là cũng liên tục Chúng ta có thể viết lại (3.21) như sau
Từ tính chất của tích phân Bochner [24, p.134], ta có
L −1 (G(t))φ(t)dt. Điều này đúng với mọi φ ∈ C 0 ∞ (0, T), vì vậy ta thu được sự tồn tại của đạo hàm λ¯ t =−L −1 G theo nghĩa yếu Do G∈L 2 (0, T;V 0 ), ta có ¯λ t ∈L 2 (0, T;V).
Vì vậy, ta suy ra
Từ đẳng thức trên và (3.19) cho ta
Z ∞ 0 à(s)∆¯η t (s)ds−f 0 (¯y)¯λ(t), vi V 0 ,V dt, với mọi φ ∈C 0 ∞ (0, T) Vì vậy, ta được hλ¯ t (t)−∆¯λ t (t), vi V 0 ,V =−hG(t), vi V 0 ,V , (3.22) với mọi v ∈ V và với hầu khắp t∈(0, T).
Tiếp theo, tích phân từng phần vế trái của (3.18), ta được h¯λ(T)−∆¯λ(T), ω(T)i V 0 ,V +h−λ¯ t + ∆¯λ t , ωi L 2 (0,T ;V 0 ),L 2 (0,T ;V )
Z ∞ 0 à(s) ∆¯λ, ζ 1 t (s) dsdt= 0. Đặtv =ω(t)trong (3.22), sau đó lấy tích phân từ0tớiT và Sử dụng(3.23), ta được hλ(T¯ )−∆¯λ(T), ω(T)i V 0 ,V =α T (¯y(T)−y T , ω(T))−
Z ∞ 0 à(s)(ζ 1 T ,∆¯η T )ds, với mọi (w, ζ 1 t ) ∈ W 0 Do ω(T), ζ 1 T là tựy ý trong V, L 2 à (R + , V)
, ta có λ,¯ η¯ t thỏa mãn phương trình cuối của (3.2) Từ điều này và (3.22) suy ra rằng ¯λ,η¯ t là một nghiệm yếu của phương trình (3.2).
Cuối cùng, chúng ta sẽ thiết lập điều kiện cần tối ưu Ta có
Do r → 0 trong L 2 (0, T;V) khi β → 0 + , ta có M β → 0 khi β → 0 + Chia
J(y, u)−J(¯y,u)¯ cho β và lấy giới hạn khi β →0 + , ta được α T
Nhân tương ứng phương trình thứ nhất và thứ hai trong (3.2) và (3.5) với (m, η 1 t ) và λ,¯ η¯ t
, sau đó lấy tích phân trên toàn miền Q và sử dụng tích phân từng phần, ta được α T
Kết quả trên, kết hợp với (3.24) cho ta bất đẳng thức
Bất đẳng thức (3.25) có thể đúng với mọi hướng khả thi h tại u Với bất kỳ v ∈ U ad, v − u¯ cũng là một hướng khả thi, do đó ta có thể đặt h = v − u¯ và nhận được (3.4) Thay (3.25) vào (3.3) từ (3.1), ta từ đó thu được điều cần chứng minh.
Điều kiện đủ tối ưu cấp hai
Trước hết ta có bổ đề sau:
Bổ đề 3.1 xác định rằng trong một không gian Hilbert X với tích vô hướng (., ), nếu U là một tập con lồi và n là phần tử không thuộc tập N U (u)∪ −N U (u), thì có một kết quả quan trọng liên quan đến các phần tử u và n trong U và X.
F U∩(u+C) (u) =T U (u)∩ C, với C là không gian con đóng của X được định nghĩa bởi
Định lý 3.2 nêu rõ rằng nếu cặp v¯ = (¯y,u)¯ là cặp chấp nhận được và cả v¯ cùng trạng thái liên hợp λ¯ đều thỏa mãn điều kiện cần tối ưu cấp một, tức là đáp ứng phương trình (3.2) và bất đẳng thức (3.3), thì cặp v¯ cũng cần thỏa mãn điều kiện đủ cấp hai.
(3.26) với mọi h ∈ T U ad (¯u)∩ C(¯u), với (m, η 1 t ) là nghiệm duy nhất của bài toán sau:
(3.27) Khi đó tồn tại ε >0 và ρ >0 sao cho
J(v) ≥J(¯v) +εkuưuk¯ 2 L 2 (Q) (3.28) đúng với mọi cặp chấp nhận được v = (y, u) với kuưuk¯ L 2 (Q) ≤ρ, suy ra u¯ là một điều khiển tối ưu địa phương liên kết với trạng thái y.¯
Giả sử \( h \) trong \( F U_{ad} \cap (\overline{u} + C(\overline{u})) \) và \( \overline{\lambda} + \gamma \overline{u} \in N U_{ad}(\overline{u}) \cup -N U_{ad}(\overline{u}) \) Đặt \( u = \overline{u} + \beta h \), ta có \( u \in U_{ad} \cap (\overline{u} + C(\overline{u})) \) với \( \beta \in \mathbb{R}^+ \) đủ nhỏ Giả sử \( y \) là một trạng thái liên kết với biến điều khiển \( u \), ta có thể viết như sau \( y, \eta_t \).
+β 2 ϑ, η 3 t với (m, η 1 t ),(δ, η 2 t ) là nghiệm yếu của phương trình sau
(3.30) với 2 β 2 (f(¯y+βm)−f(¯y)) = 2 βf 0 (¯y)m +f 00 (¯y +θβm)m 2 ; và (ϑ, η 3 t ) là một nghiệm yếu của phương trình sau
Thực hiện lập luận như chứng minh của Định lí 3.2 trong [1], ta thu được rằng (3.29),(3.30) có tương ứng nghiệm yếu (m, η t 1 ),(δ, η 2 t ) ∈ W 1,2 (0, T;V) ×
L 2 (0, T;L 2 à (R + , V)), và với bất kỡ β > 0, bài toỏn (3.31) cũng tồn tại một nghiệm yếu (ϑ, η 3 t ) ∈W 1,2 (0, T;V)ìL 2 (0, T;L 2 à (R + , V)).
Hơn nữa, nhân (3.29) 1 với −∆m, và chú ý rằng m(x,0) = 0;η 1 0 = 0, ta được m, η 1 t
Tương tự như chứng minh của Định lí 3.1, ta đượcϑ → 0trongL 2 (0, T;V) khi β → 0 + Ta có J(y, u)−J(¯y,u)¯ ≥0 Mặt khác ,
Nhân tương ứng phương trình đầu và phương trình thứ hai của (3.2) với δ và η t 2 , sau đó lấy tích phân từ 0 đến T, ta được
Z ∞ 0 à(s) ∆¯λ(x, t), η 2 t ds dt= 0 (3.34) Lấy tích phân từng phần trong phương trình (3.33), ta có
(3.35) Nhân tương ứng phương trình đầu và phương trình thứ hai của (3.30) với ¯λ và η¯ t , sau đó lấy tích phân từ 0 đến T ta được
Z ∞ 0 à(s)(∆δ,η¯ t )dsdt (3.37) Lấy tích phân từng phần trong phương trình (3.37), ta được
Kết hợp (3.34), (3.35),(3.36) và (3.38) và phương trình cuối của (3.2), ta được α T
Q f 00 (¯y +θβm)m 2 λdxdt,¯ với m là nghiệm duy nhất của bài toán (3.27).
Giả sử rằng điều kiện cần cấp một và điều kiện đủ cấp hai được thỏa mãn, nhưng điều kiện (3.28) không được thỏa mãn Khi đó, với mọi ε > 0 và ρ > 0, tồn tại u ε,ρ thuộc U ad sao cho độ lệch ku ε,ρ −uk¯ L 2 (Q) nhỏ hơn hoặc bằng ρ.
J(y ε,ρ , u ε,ρ ) < J(¯y,u) +¯ εku ε,ρ −uk¯ 2 L 2 (Q), với y ε,ρ là trạng thái liên kết với điều khiển u ε,ρ Từ đó , bất kì k ∈ Z + , tồn tại cặp chấp nhận được (y k , u k ) sao cho
J(y k , u k )< J(¯y,u) +¯ 1 kku k −uk¯ 2 L 2 (Q) (3.40) và ku k −uk¯ L 2 (Q) 0, h k ∈ F U ad (¯u), và kh k k L 2 (Q) = 1, trong khi t k → 0 khi k → ∞ Do kh k k L 2 (Q) = 1, tập {m k } bị chặn trong W 1,2 (0, T;V), với m k là nghiệm duy nhất của phương trình (3.27) có vế phải là h k Từ đó, ta có thể trích một dãy con (h k) và (m k) hội tụ yếu đến ˜h ∈ L 2 (Q) và m˜ ∈ W 1,2 (0, T;V) Vì W 1,2 (0, T;V) là nhúng compact trong L 2 (Q), nên m k → m˜ trong L 2 (Q) khi k → ∞, suy ra m˜ là nghiệm duy nhất của bài toán (3.27) với vế phải của phương trình thứ nhất là ˜h.
Dựa vào điều kiện cần cấp một (3.3), (3.32), (3.39), (3.40) và Bổ đề 3.2, cùng với một số đánh giá như trong Định lý 5.1 trong tài liệu [2], ta có ˜h thuộc T U ad (¯u)∩ C(¯u) và q( ˜m, ˜h) ≤ 0 Kết quả này mâu thuẫn với (3.26), từ đó chứng minh được định lý.
Bổ đề 3.2 Giả sử 0< θ