Giải bài toán tối ưu hóa ứng dụng bằng matlab maple tối ưu hóa tĩnh và điều khiển tối ưu phần 2

PHAN I: ĐIỀU KHIỂN TÔI ƯU e Điều khiển tối ưu hệ mở e Điều khiển tối ưu thời gian e Điều khiển tơi ưu hệ tuyến tính 63 se eet yt ° LF FRA Pada #3018 ? _ Sis° | oF out gthatt » Bid hy eA tà wh, p eh wer ei edie CHUONG 6: DIEU KHIEN TOI UU HE MO BAI TOAN Gọi x =(xị, X„);0 =(u,, ú,): Biển trạng thái tà điều khiển Cho + _ Hệ PTVP cấp hệ động lực: (x, u) tới điều kiện đầu tai t, hodc dieu kién cudi tai t, *_ Tiêu chuẩn tối tru (mục tiêu): Ju) =g(x(t)+ f(x,)dt > a) @ Có thể: g=0 í,=\ Tìm điều khiển tối ưu tr (Ð, quỹ đạo x'(t) va gid tri J(u’), Phương pháp giải tổng quát: “_ Xây dựng hàm Hamillon: H@,u,p) =~6 + Š`p,{ “_ Xây dựng PTVP liên hợp: 2H lì Pilts) = Py @) @) Khi diém cuối bắt buộc thuộc vào tập đích S, (x) =0, giá trị p,(t,) xác định theo transversality condition: Tổng quát: p(t,) YA LVS (x(t); AL >0 a Dic biệt: Đối với hệ PTVP tun tính, phim hàm mục tiêu có dạng tồn phương thì: p(t,)= grad[g(x(t,))] = “ Đặt 2(t) = fy; 2(0) = > J(u)=g(x(t,))+Z(t,) 6) + Gradient H theo w: + -ãi a Tìm w theo x tà p từ điều kiện: gH=ŸF ou =0~>u = u(x,p) ©6 ® [ Diéu kién tong quat: H(p’,x’,u") = max H(p’,x",u) ] “_ Thay quan (7) (1),(4) ,(5), nhận (1°), (49, (5° “- Giải (1), (49, (5) theo điều kiện biên thoi gian từ L =0 đến t Trong dé: x, p, u, gH: céc vécta Các thí dụ: Các thí dụ 6.1 đến 6.6: Giải toán tới dạng khác điều kiện biên tà tiêu chuẩn tối wu theo phương pháp biến phân Thi du 6.7: Dùng nguyên lý Pontryagin Thí dụ 6.8: Giải toán tới điều khiển giới hạn Thi du 6.9: Lap trình tổng qt, phương pháp biến phân Thí dụ 6.1 trình tổng qt, pháp lặp điều khiển Thí dụ 6.11: Giải xi tà giải ngược phương trình tỉ phân Thí dụ 6.1 Điểm cuỗi cỗ định Cho hệ động lực mô tả PTVP: X+‡k=u Tiêu chuẩn tối ưu có dạng: f= J = be ot +i 4324 pur) uta dt Hãy tìm điều khiển tối tru u'(t) cho hệ chuyển từ trạng thái đầu tề vi tri can bing tà làm tiêu chuẩn tối tru J Giải Đưa PTVP trang thái hệ uề hai PTVP cấp1 tới điều kiên biên Kam %5 X;y+u x,(0) 107 X2(0) = Xạn; Xị(t,) =0; x;(t,) =0 Dua vio biến liên hop p, xdy dung him Hamilton va tim quan u & p a) H =2 GÌ +x xiểuP)+ px + p‡(h Điều kiện: 2H KT PTVP đối u ` hop Pr (2) A P= 4, Tiéu chuẩn tối tru Tiêu chuẩn tối tru có dạng: ] = [ot +xX) +uổt?)dt —> Dua vio bién trạng thái phụ z(t) thoả mãn PTV?: + +wu?) 2(0)=0 Khi đó: J =2(t,) Thay quanhệ (*) vio PTVP (1) tà (3); @) Xị=X; Ky =o, + Pe Bị =X ụ Pa =%2-Pi+P2 pote +E) 4) Điều kiện biên: x, (0) = x4;X; (0) = X97; (t,) =0;x2(t,) = 0; 2(0) =O Chú ý: a)_ Khi điều khiển w bị ràng buộc, quan lệ (*) tìm tie nguyen ly Pontryagin b)_ Khi điểm cuối x(t) bi ràng buộc tập đích SỊx)=0, phải xác định p(t) theo điều kiện transversality Cho giá trị 115 X4(0) = X95 X2(0) = Xap 5% (ty) =05x3(t,)=0 Hệ PTVP (4) giải Maple > # DKTU 6.1:Dat > > restar' # Phuong > PTL:=D PT2 = z(t£) ith (plots) : trinh vi phan (x1) (t) =x2(t) ; trang thai: (x2) (t) =x2 (t) #p2 (t) /mu*2; PT3:=D(p1) (t)=x1 (t) ; PT4:=D (p2) (t) =x2 (t)p1 (t) +p2(t) ; PTS:=D(z) (t)= „5# (x1 () ^2+x2 (t) ^2+p2 (t) ^2/nu^2) ; PTI = D(x!) = x2(0) PT2 := D(x2)(1)= —x2(1)+ PT3 := D(p1J()= p2(r) „2 x1) PT4 = D(p2)(1) = x(t) ~ pl(t) + p2() PT§ := D(z)(1) = 0.5 xI(f)Ê + 0.5 x21)?+ 354 > # So1 > # Dieu 730.2; kien T= 1.0 "02 bien: =x1 (0)2,x2 (0) “2.5, x1 (T£) =0, x2 (T£) =0, Z(0)=0; DKB := xI(0) = 2, x2(0) = 2.5, xI(1.0) = 0, x2( 1.0) = 0, 2(0)= > # Giai PTVP theo numeric > solution:=dsolve ((PT1,PT2,PT3,PT4,PT5,DKB) ,numeric) ; (t) /mu^2; u(t solution := proc (x_byp) end proc 1u(1) := 25.00000000p2(7) > # Ve thi: > odeplot (solution, [t,u(t) ,color=red, style = POINT] ,t=0 T£,title="DIEU KHIEN TOI vu") ;odeplot (solution, [[t,x1(t) ,color= blue, thickness=2] , [t,x2(t) ,color=magenta, thickness=2]],t=0 T £,title="QUY DAO THEO THOT GIAN") ;odeplot (solution, [x1 (t) ,x2(t) ,color=blue, thickness=2] , „.Tf,tỉtle="QUY DAO PHA"); DIEU KHIENs To! UU ees se _2600000000°g2 QUY DAO THEO THOI GIAN x1,x2 QUY DAO PHA x2 o + 05 x1 is > # Xac dinh phiem ham muc tieu: > solution (Tf) ;Jopt:=rhs (solution (TE) [6]); [1= 1.0, pl(1) = -3.90616925642132751 p2(/ = 0.761000533306186444 x1(1) = 0., )., 2(1) = 6.6785 1737530171539 Jopt := 6.67851737530171530 > Nghiem giai tich co dang phuc tap! 69 Thí dụ 6.2 Điểm cuỗi cỗ định, ưu uễ lượng Cho PTVP hệ: (0) =xụ; y(0) = yạ x(2n) =0; y(2n) =0, é Xác định ĐKTƯ tà trạng thái tương ứng Giải PTVP trang thái x=y ÿ=-xtu Tiêu chuẩn tối wu: J= [u(t)dt > X(0) = xọ; y(0) = yạ; x(2m) =0; y(2x) =0 a) Ham Hamilton , Quan u & p H=-u? +p,y+p2(-x+u) Fi _-au+p,-0 54-2 eC) Phương trình vi phân lién hop @) Phiém hàm mục tiêu J=z(2n) #=u?; z(0)=0 Thay (*) vio (1) va (3) ta hệ PTVP tơi điều kiện biên xey Sa Pa @) 4) =PP: x(0) = x9; ¥(0) = Yo: x(2n) =0; y(2n) =0; 2(0)=0 Hệ PTVP (4) giải Maple sau > # DKTU 6.2:Dat J = z(t£) > restart;with (plots) : > # Phuong trinh vi phan trang thai: >_PT1:=D (x) (E) =y (t) ; PT2 :=D (y) (t)=-x(t)+1/2*p2 (t) ; PT3 (p1) (t)=p2(t); PT4 (p2) (t) 1(E); PTS:=D (2) (t)=p2 (t) ^2/4; PTI :=D(v)0) =y() PT2 = D(y)(t)= 80) + p21) PT3 = D(pl n= pr) PT4 :=D(p2)(0)==p1(t) PTS ;=D(\(0)=„ p2)? > # Dieu kien bien & Tim nghiem dang so va ve thi: > DRB:=x (0) =1, x(2*Pi) =0,y (0) =0,y (2*Pi) =0, (0)=0; solution:=dsolve ({PT1,PT2,PT3,PT4,PTS ,DKB) ,numeric) ; DKB := x(0)= 1, x(2 x) = 0, (0) = 0, y(2 x)= 0, 2(0) =0 solution := proc (x byp) end proc > u(t) 5*p2(t) ;odeplot (solution, [t,u(t)],t=0 6.282,title =" DIEU KHIEN TOT UU") ;odeplot (solution, [t,x(t)] ,t=0 6.282,title =" x TOI vu"); 4) = 05 p2) DIEU KHIEN Tol UU x TO! UU, > # Gia tri phiem ham muc tieu: Jopt=z(2Pi) > solution (6.28318) ;Jopt:=rhs (solution (6.28318) [6]); [1= 6.28318, pl(1)= -0.636619826893451978 p2() = -0.32654887286779652810", x(£) = -0.26956237336392689010"S, y(¢) = 0.41835222226573304210"!, 2{1) = 0.318309897572346454 Jopt := 0.318309897572346456 > # Dieu kien bien tong quat & Tim nghiem dang giai tich > DKBTQ:=x(0)=x0,x(2*Pi)=0,y(0)=y0,y(2*Pi)=0,2(0)=0; DKBTQ := x(0) = x0, x(2 ) =0, y(0) = y0, y(2 x) = 0, (0) =0 > nghiem:=dsolve({PT1,PT2,PT3,PT4,PTS,DKBTQ}) ; (yO + +2x0 8) :=|Y()= 31 cos(t)(x0-+2y0-n)_1 : sin(r) nghiem 2x0 cos(1) sin(t) — 230 " x0 cos(1)? 230(; nh) s89+ 5) cos() agli ——.= © \ } ( | sey? Ụ 20280) gy: x ( 220 (—Zeos(s) + $' sine) © 72 90 cos(t) sin() cos(r) © — gaya F(x,xdata) = xị.xdata + x;.sin (xđata)+ xạ.xdata`, điểm x0 = (0.3, 0.4, 0.1] Dau tién, viét ham F function F = myfun(x,xdata) F = x(1)*xdata.*2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata.*3; Tiếp đến thực lệnh % Assume you determined xdata and ydata experimentally xdata = [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8.1.3 7.9 10.0 5.4]; ydata = [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3]; x0 = [10, 10, 10] Starting guess (x,resnorm] = lsqourvefit(@myfun,x0,xdata,ydata) Kết thu được: xe 0.2269 Sai lệch 0.3385 0.3021 xesnorm = 6.2950 10 Ham Isqlin Công dụng Giải tốn bình phương bé tuyến tính có ràng buộ Cú pháp x = Isqlin(C,d,A,b) 1aq1in (C,d,A,b,Aeq,beq) xxx on 1sq1in (C,d,A,b,Aeq,beq, 1b ,ub) Isqlin(C,d,A,b,Aeq,beq, 1b, ub, x0) x = lsqlin(C,d/A,b,Aeq,beq, 1b, ub, x0 options) [x,resnorm] [x,resnorm, Mô tả Asqlin( ) residual] = 1sqlin( Câu lệnh x = 1sglin(C,d,A,b) giải ) hệ phương trình đại số tuyến tính Cx=d theo nghĩa bình phương bé nhất, với ràng buộc Ax