Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Cơ sở: Về tính giải được của một lớp bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm

HO CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC DE TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CAP CƠ SỞ MÃ SÓ: CS.2010-19-100 VẺ TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN HAM Chi nhiém dé tai: P

nol (*4đ3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

DE TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CAP CƠ SỞ

MÃ SÓ: CS.2010-19-100

VẺ TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN

CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN HAM

Chi nhiém dé tai: PGS.TS NGUYEN ANH TUAN

THU VIEN

1O-C HI-MINE

THÀNH PHO HỒ CHÍ MINH

2011

MỤC LỤC

c5 0)0 0 T0 No umem=s 2

TERE TAT KẾT QUÁ NGHIÊN GI akaeedseeejecaeseeec 3

NO ĐUNG CA BẢO CÁO loi nghi há: cha G(á0 s6 ccoiizracece 5

TAD LIỆU THÁM KH O¡G664620220GQS52GGáib giá tá0006ãx 10

Lip KT yoctuttodNGGGtUGGG0000d26/00320022/002c0/0992629-x< 11

TOM TAT KET QUA NGHIÊN CỨU

DE TAI KHOA HOC VA CONG NGHE CAP TRUONG

Tên đề tài: Vẻ tính giải được của một lớp bài toán biên cho hệ phương trình

vi phân hảm

Mã số: CS 2010.19 100.

Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nguyễn Anh Tuan.

Tel: 0908651144 E-Mail: nguenanhtuan2512@Gmail.com.

Cơ quan chủ trì dé tai: Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chi Minh.

Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện:

Tiên sỹ Martina Kuchynkova, bộ môn toán giải tích, khoa khoa học,

trường Đại học tổng hợp Masaryk Cộng hòa Czech.

Thời gian thực hiện: từ thang 4/2010 đến thang 4/2011.

1 Mục tiêu nghiên cứu:

-Nghiên cứu điều kiện đủ cho việc giải được của một lớp bài toán biên

cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với các điều kiện biên

khác nhau được xây dựng bằng phương pháp đánh giá tiên nghiệm.

ham đo được uw: R->R" là hàm liên tục và bị chặn, ®©: 7 —> R”TM là ma

trận hàm với biến phân bị chan., C, e #*.

3 Kết quả chính:

Kết quả chính của đề tài thu nhận được gồm bài báo sau:

Martinkova Kuchinkova, Nguyen Anh Tuan, On the solvability of

some linear boundary value problem for generalized equations of

the pantograph.Southeast Asian Bunlletin of Mathematics (2007)

31 1123-1136.

Implementing Institution: Ho Chi Minh City University of Pedagogy.

Cooperating Institution: Department of Mathematical Analysis, Faculty

of Science, Masaryk University.

Individuals attend the subject:

Martina Kuchynova, Ph.D., Department of Mathematical Analysis,

Faculty of Science, Masaryk University.

Duration: From April, 2009 to April, 2010.

1) Objectives:

- Constructing an effective criterion of solvability of boundary value

problems for system of ordinary differential equations with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates.

2) Main contents:

- On the bounded interval I=[a, b] we construct an effective criteria for

the solvability of the generalized equation of the pantograph

x'()=Š)P()x(z,())+ £(0),

tai

with the general linear boundary conditions

bx(t)=u(t), veel, [x(t}®(t)=C,

Wher P(t)e L(1,RTM") (i=1,2, ,m), f(t) e L(1,R"),r,:1 > R (i=1,2, m)

are measurable functions, u: R => R” is a continuous and bounded function,

®:/— R”” is a matrix function with bounded variation, and Cụ € R"

3) Results obtained:

Martinkova Kuchinkova, Nguyen Anh Tuan, On the solvability of

some linear boundary value problem for generalized equations of

the pantograph.Southeast Asian Bulletin of Mathematics (2007) 31 1123-1136.

NOI DUNG CUA BAO CÁO

I.Tính cấp thiết và tổng quan về đề tài:

Lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân hàm ra đời từ thế kỷ 18 như một công cụ để giải quyết các bài toán vật lý, cơ học Tuy nhiên đến nay

nó còn phát trién mạnh nhờ các ứng dụng rộng rãi và to lớn trong các lĩnh

vực khác nhau của cuộc sống như: vật lý, cơ học, kỹ thuật công nghệ, nông nghiệp, sinh học và kinh té

Song nghiên cứu và phát triển theo hướng này thực sự phát triển mạnh và

thu được nhiều kết quả mới bắt đầu từ năm 1997 do nhóm các nhà toán học

Grudia và Cộng hòa Czech dưới sự dẫn dắt của giáo sư viện sỹ I.Kiguradze,

viện trưởng viện toán hoc Tbilisi.

Từ các kết quả của I, Kiguradze và Bedrich Puza trong thời gian trên cho hệ

phương trinh vi phân hàm và mở rộng các kết quả của các tác giả trong các

bai báo {1}, [2], [6], [7], [8] [9] ta được các kết quả của đề tài.

H Nội dung chính của đề tài.

Trên đoan I=[a, b] xét phương hệ phương trình vi phân tuyến tính đối số

P.(t)< L(I,&”*) (i=1,2, ,m), f(t) L(1,R"),r,:! => R (I=1,2, ,m) là các

hàm đo được u: RR" là hàm liên tục và bị chặn, ®: 7 > # ”” là ma

trận hàm với biến phân bị chặn., C, e 8” Trong (2) tích phân được hiểu

là tích phân Lebesgue- Stieljes.

Nghiệm của bài toán (1).(2) là véc tơ ham x: 7 —> R” liên tục tuyết đối và

thỏa (1) hầu khắp nơi trên I và thỏa điều kiện biên (2).

Các trường hợp đặc biệt của điều kiện biên (2) là:

-Điều kiện Cauchy

Nếu ®(t)=(1- 7,,,,)(#))&, khi +7 vat e7

- _ Điều kiệu biên tuần hoàn;

x(t) =u(t),khi tel, x(b)—x(a)=C, (4)

Nếu ®(/)=(!~ z„„„¡(£))E, khi t7.

- _ Điều kiện biên nhiều điểm:

x(t)=u(t),kAi tel, Š'A,x(t,)= B (5)

Nếu ©(t)= 34,4, (t) với tt, e 1, Aye R°(& =1,2, 7)

“#=l

- _ Điều kiện dạng tích phân:

bx(t)=u(s),khitel, [A(t)x(t)#=C,

Nếu ®(r)= [A(s)as,¢ e[a,6], A(t)e r([a,b], R"),

Trước hết ta nhắc lại một kết quả quan trọng của I.Kiguradze và B.Puza

trong cho hệ phương trình vi phân hàm tuyên tinh:

Xét hệ phương trình vi phân hàm tuyến tinh:

AND =(s)()+4() (6

Với điều kiện biên:

I(x)=C, (7)

Trong đó p: C(I,R"*)—> L(/,R") là toán tử tuyến tinh bị chặn mạnh( tức

là p là một toán tử tuyến tính và tổn tại một hàm khả tích z;: 7 —> # sao cho:

Từ [4] ta có kết quả quan trọng sau:

Định lý 1: Bài toán (6), (7) có nghiệm duy nhất khi va chỉ khi bài toán

thuần nhất tương ứng (60), (79) chỉ có nghiệm tam thường.

Từ định ly | triiiện được ngay hệ quả sau:

Hệ quả 2: Bài toán (1), (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán thuần

s,=Šz(s)f| IES Š14lJn.6 )4 ay

del fel jel te

Khi đó bài toán (1), (2) có nghiện duy nhất.

Định lý 4: Đặt ¢, = min{t, : k=1,2, v} gid sử hoặc ma trận A,= Š 4, là

)# tol sot 1 sal

Khi đó bài toán a, (5) “i duy nhat nội nghiệm.

Hệ quả 5: Giả sử r(S)<1 với

0/0093/0/00)93/ 060) 0?)

Khi đó bài hi (1), (4) có iy nhất) một Hghờớ,

Hệ quả 7: Giả sử

A, = [at

s,=Š |z(r,)# | +|\ IÈ]*@jz(s) ))|?(s)|&4 (18)

Hoặc A, =@,

A, = Š fal fel (s))|P(s)|dsat (19)

là ma trận không suy biến và r(S,)<1, trong đó

8 = PA (a), +{ns1 5 ]A0lJ.(as)a#+

*lÈ x)# Me 53 oo ÍP, (a,s)dsdt

Khi đó bài toán ( 1), (6) có ấu nhất một nghiệm.

Định lý 8: Giả sử ma trận A, được định nghĩa bởi ( ) là ma trận không suy

|Šz{2| +S os ES paola1 j=l i=l jel

Khi đó bài toán (1), (6) có một nghiệm duy nhất.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

{1} Cermak, J, Linear differential equations with several unbounded delays,

Archiv Math, 36 426-427, (2000).

[2] Cermak, J, Kundrad, P Linear differential equations with unbounded

delays and a forcing term, Abstract and Appl Analysis 4, 337-345 (2004).

[3] Kiguradze, 1, Boundary Value Problems for Systems of Linear Ordinary Differential Equtions (in Czech), Masaryk university, Brno, 1997.

[4] Kiguradze, I, Puza B, Boundary Value Problems for Systems of Linear

Ordinary Differential Equations, Folia Fac Sci Mat Masarykianae

Brunensis, Mathematica 12,2003.

[5] Kuchynkova, M, Non-local linear boundary value problems for systems

of functional differential equations, J of Electrical engineering 12/8, 20-23

(2003).

[6] Kundrat, P, On asymptotic propertics of solutions of the difference

equations Ax(t)=~~œx(t)+ bx(r(f)), Proceedings of ICDEA Conference 2003.

Brno, to appaer.

[7] Lenhninger, H, Liu, Y: The functional differental equations

y’ = Ay(t)+ By(qt)+ f(t), European J, App, Math 9, 81-91 (1998).

[8] Lim, E, B, Asymptotic behaviour of solutions of the functional differential

equations x' (t)= Ax(At)+ Bx(t), A>0,J, Math, Anal, App, 55, 794-808

( 1976).

[9] Ockendon, J, R, Tayler, A, B, The dynamics of a current collection system for an electric locomotive, Proc, Roy, Soc, Lond, A 332 447-468

(1971).

Phụ Lục

12

Southeast Asian Bulletin of Mathematics (2007) 31: 1123-1136 Southeast Asian

Bulletin of Mathematics

© SEAMS 2007

On the Solvability of Some Linear Boundary Value

Prob-lems for a Generalized Equation of the Pantograph

Martina Kuchynkova

Department of Mathematics, Masaryk University, JanáÈkovo nám 2a, 662 95 Brno,

Czech Republic

Nguyen Anh Tuan

Department of Mathematics, College of Education, 280 Duong Vuong, Ho Chi Minh

City, Vietnam

E-mail: nguyenanhtuan2512Ø8grmmail com

AMS Mathematics Subject Classification (2000): 3410

Abstract On the bounded interval / = [a,b], we construct an effective criteria for the

solvability of the generalized equation of the pantograph

z( = D> P.(tz(s()) + F(t)

sel

with the general linear boundary condition

°

z(t) = u(t) for t ¢ 1, / z(t) đ®(t) = co,

where #2 are L-integrable nxn matrix functions, ƒ is L-integrable n-dimensional vector

function, 7, : / — R are measurable functions, u - R — R" is a continuous and bounded function, ® : ƒ — R°TM*" is a matrix function with bounded variation, and @ € R" This form of boundary conditions covers the initial, multi-point and periodic boundary

conditions.

Keywords: Generalized equation of the pantograph; Effective criteria of the solvability;

Multi-point boundary value problem; Integral boundary value problem.

1, Statement of the Problem

1124 Martina Kuchyaková and Nguyen Anh Tuan

On the bounded interval / = [a, 6), we consider the following linear differential

equation with deviating arguments

where P, € L(I,R"*"), f € LU,R"), r, : 1 — R are measurable functions,

u:R — Ñ" is a continuous and bounded function, ® : / — R"*" js a matrix

function with bounded variation, and cọ € R° The integral in condition (2) is

understood as a Lebesgue-Stieltjes one.

By a solution of (1), (2) we understand that an absolutely continuous vectorfunction z : J —+ R" satisfying equation {1) almost everywhere on ƒ and verifies

condition (2).

Remark If m = 2 and r;(t) = ¢ then system (1) represents the equation of the

pantograph that is frequently studied in the literature (usually for n = 1), The

paper (|9], 1970) about simulation of an electricity transmission between wiring

and locomotive increased the interest in the equation of the pantograph In theliterature, there are some authors who have studied the asymptotic behaviour of

solutions for t + +00 and their numerical approximations (see {1}, [2], [6], [7] (8]

and references therein) They used the criteria of the existence and uniqueness

of a solution of the Cauchy problem

If m = 1 and 7,{t) = t or 7,(t) = ¢ fori = 1,.,.,m then we get a special type

of system (1) - the system of ordinary linear differential equations, if 7(t) < ¢for: = 1, ,m then we talk about the system with delayed arguments

Note also that some criteria of the solvability of the linear system with one layed argument and linear system of functional differentia] equations (in general

de-meaning) are published in [5}.

By a special choice of the function ®, we obtain from (2) the following

bound-ary conditions:

~ initial condition

a(t) = u(t) fort ¢l, 2z(to)=c (3)

if D(t) = (1 = Xịs„za|(f))E for t € 1, where to € I,

On the Solvability of Some Linear Boundary Value Problems 1125

if ®(£) = yaa Agri, a(t) for t,t, € l and Ay € R"*"(k= ae) B

- integral condition

x(t) = u(t) lor t ¢ J, [sexta =e (6)

if ®(£) = (ý A(s)ds fort € J and A(t) € L(J,R"*").

2 Basic Notation

Let J = {a,b}, R =| - 00,400f, R, = [0,+00] and x¿ be the characteristic

function of the interval /, ie.,

1 fortel .xi0 = {4 fort gl!

Also, let R” be the space of n-dimensional column vectors 2 = (#Z¿)j ¡ with

elements z, € R (12 = l m} and the norm

n

llzil = >> laut;

s=l

We use R"*" to denote the space of n x n matrices X = (Z¿)„„, with

elements ry € R (¢,k = 1, ,m) and the norm

WX) = 3” bral:

tkol

RY = ((r)Ÿ-¡ ER": 2, 20 (8 = l, n)h

Re" =({a) la € Ro": xa 2 0 (ik = 1, ,)}:›

If z,y € R® and X.Y € R**", then

r<yoy-zeER", X<Ye@eY -X ER";

lz| = (lesb) IXI = (lziel Meets

We now let X~! be the inverse matrix to the matrix X € R®*";

r(X) be the spectral radius of the matrix X € R"*";

E the unit matrix;

© the zero matrix:

and C(/,R") be the space of continuous vector functions z : J — R" with

norm

llzllc = max{|lz(®)|| : + € 1);

1126 Martina Kuchyeková and Nguyen Anh Tuan

Ifa = (r,)? y € CUR"), then

lzle = (||#allc)7` ¡:

Also, we denote C(/,R") the space of absolutely continuous vector functions

rd + R"; C(UL.R"**) the set of continuous matrix functions X : ƒ — R”*X",

If X = (zu )",-, € C(1.R"**"), then

|Xịc = (llz¿llc)J+-¡:

Let (1, R*) be the space of Lebesgue integrable vector functions zr : J — R*

with the norm

In this Section, we establish some effective criteria of the unique solvability of

the problem (1), (2) by using the results and methods in |4].

Put

a if r,(t)<a

r?() = $ r,(Ð iÍ a < nit) <b.

6 r(t) >b

Proposition 1 The problem (1), (2) is untquely solvable tý and only if the

corre-sponding hornogeneous problem

ar T 2„xi(n())(0z(z/(0) 0á)

ƒ z(t)d®(t) = 0 Ca)

has only the trivial solution.

On the Solvability of Some Linear Boundary Value Problems 1127

For the sake of transparentness, for any ¢,¢ € J, and i,j = 1, ,m, we set

P(t)

Xi(7;{8))|P;(s)| ds}, P.;(.t) = XI(T: Pu(t) = P„(tt).

Theorem 1 Let to = min{t, : & = ],2, , v} Suppose that either the matriz

A= >0 Ae (7)

kewl

is nonsingular and r(S\) < 1, where

8 = Š` Isl) Pale + IA D3 [ “ xi(m(®)IPi(Đ|dt — (ñ)

or Ay = ©, the rnatrt+

do= do ae [` xrín(0))P(0át (8)

k=1i=l to

is nonsingular and r(S2) < 1, where

S= Se xr(s)8i/ +lAs'IS SY lái Patt) a (8:)

k=Liel jel

Then the problem (1), (5) has @ unique solution.

The other criteria of the solvability of the multi-point boundary value problem

can be derived by using the characteristic of delayed arguments.

Theorem 2 Let to = min{t, : & = l,2, ,U} Suppose that etther the matriz

A, given by (7) is nonsingular — <1, where

1128 Martina Kuchyñková and Nguyen Anh Tuan

Then the problem (1), (5) hes a unique solution

Corollary 1 Let r(S) < 1, where etther

§=3)|x®)P|L or S=

sel

TM

Sox P| +o Pole.

tel i=l yet

Then the problem (1), (3) has a unique solution

Corollary 2 Let

A=Š" [ xine

be a nonsingular matriz and let r(S) < 1, where either

S=P halt) Pile + ANDO Y Pla de

iel toi jel

or

s=|° xi), + IP¿Ir +S Pe De.

tel (s1 “1 tml yet

Then the problem (1), (4) has a unique solution

Theorem 3 Let either 5

A=$ fae) Í xiín(s))B(s)ded (10)

be nonsingular matriz and r(S2) < 1, where

= SSI fae + AOS? Ễ !A(0J / Py(a,s) dsdt+

is] j=l iw) jal “8

3` ulrP, M252 J IA(9)I ƒ P,,(a,s) ds di.

t=l a t=) z=17®

+

On the Solvability of Some Linear Boundary Value Problems 1129

Then the problem (1), (6) has a unique solution,

Theorem 4 Suppose that either the matrer Ay given by (9) is nonsingular matnz

1 [exon], tev rata > ƒ \aco) Í P,,(a,s) ds dt.

tel o a tot pet tol pet

Then the problem (1), (6) has a unique solution.

Remark Analogous criteria for multi-point boundary value problem for linear

systems of ordinary differential equations were published in [3] (see Theorem 4.2

and Corollary 4.2) The assertions are identical for nonsingular A, while the

results for Ay = © and nonsingular Ay are not published yet

Theorems given in this paper for linear systems of differential equations with

deviating argument correspond to Corollary 1.3.3 and Corollary 1.3.11 in [4]

in the case when the matrix A, is nonsingular The results with A; = 8 and nonsingular Ay have been published only for a periodic boundary value problem.

4 Proofs of the Main Results NÓ mee =

It is obvious that p : C(/,R") — L(/,R") is a linear operator and q €

L(I,R") Moreover, ||p(z)(t)|| < a(f)|lzllc: for any z € C(7,R") and almost all