Đề tài nghiên cứu khoa học: Chứng minh ở trường phổ thông: Nghiên cứu lịch sử, khoa học luận, didactic và điều tra thực trạng dạy học về chứng minh ở trường phổ thông Việt Nam hiện nay

Kết quả của các nghiên cứu này không chỉ cho phép xây dung cơ sở cho việc soạn thảo chương trình và sách giáo khoa, mà còn là cân cứ xây dựng những giải pháp đổi mới cách day và học về c

BO GIÁO DUC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG DAI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN -TIN

BAOCAOTONG KET _

DE TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CAP BO

Mã số: B 2002 - 23 - 25

Tên đề tài

Nghiên cứu lịch sử, khoa học luận, didactic va điều tra

thực trang day học về chứng minh ở trường phổ thông

Viet Nam hiên nay

Chủ nhiệm đẻ tài : TS Lê Văn Tiến

Người tham gia nghiên cứu : TS Đoàn Hữu Hai

Thời gian thực hiện : Từ tháng 4 / 2002 đến tháng 6 / 2004

TP Hồ Chí Minh 2004

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN -TIN

thực trạng dgy học về chứng minh ở trường phổ thông |

Việt Nam hiện ngy

Cơ quan chủ trì : Trường ĐHSP tp Hồ Chí Minh

Chủ nhiệm dé tài : TS Lê Văn Tiến

- Cán bộ giảng day khoa Toán - Tin, trường DHSP tp HCM

Người tham gia nghiên cứu : TS Đoàn Hữu Hải

— Phó trưởng phòng đào tạo, trường ĐHSP tp HCM

Thời gian thực hiện : Từ tháng 4 / 2002 đến tháng 6 / 2004

TP Hồ Chí Minh 2004

MỤC Lục

ĐI Tà co gu ung uc bilan Siecle wl

Chương 1 : Cac đặc trưng khoa học luận của khái niệm chứng minh _— 4

Mở dau _ A

A Đặc trng KHL của khái niêm chứng minh qua các giai đoạn lịch sử khác nhau

1 Chứng minh trong giải đoạn Hy Lap cổ sist s38

1 Nguồn gốc và nghĩa của khái niệm chứng minh eS eae -ñ

I, Chứng minh ở thể kĩ 17, 18 - Bước ngoặt đầu tiên : Chứng minh là soi sáng _.

IH Chứng mình ở thé ki 19 và 20 - Bước ngoặt thứ hai : Chứng minh tính phi mau

thuần wd

B Tiền để (prémisse) trong chứng minh HT 5 x44 | |

€ Mắt số kết luận sư phạm rút ra từ phan tích khoa hoe luận 12

Chương 2 : Một số xu hướng nghiên cứu về day học chứng minh ở Pháp và Việt

Nam

Al, Gsud xà Guichard 14

A2 Balachelf (1988) ow NS

A3 Duval xà Egret (1989) AY

Ad Arsac Chapiron, Colonna, Germain, Guichard và Mante (1992) man.

AS Giorgiutt, Hilt Houdchine, (Q98) st

B Nghiên cứu về chứng minh ở Việt Nam aie — 5.

Bi Nguyễn Bá Kim (2092) it

82 Nguyễn Văn Lac (1996) 3 es ype eet k8

C Kết luận «hương 2

Chương 3 : Chứng minh trong chương trình và sách giáo khoa THCS Việt Nam

am

A, Chương trình và sách giáo khoa Hình học 7 giai đoạn 1990 - 2900 32

B Chương srinh và Sách giáo khoa thí điểm Hình học 7 (2001-2002) 33

BI A | en ee et ee a ere,

Chương 4 : Một phần thực trang dạy học chứng minh ở trường THCS Việt Nam

(nghiên cứu thực nghiệm)

A, Điều tra giáo viên

B1 Thực nghiệm đối với học sinh lớp 7 (năm học 2001/2002) 50 B2 Thực nghiệm đổi với học sinh lớp 8 (năm học 2003/2004)

B3 Kết luận phan B '

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

Đặt vấn đề

1 Tính cấp thiết của dé tài

Suy luận diễn địch nói chung và chứng minh nói riêng là một nội dung cơ bản của của

chương trình toin học ở trường phổ thông Tuy nhiên nội dung này luôn dat ra vô van khó khan

đối với học sinh ''Học sinh không biết chứng minh” là câu than phiến mà ta có thể nghe thường

xuyên ở đa số giáo viên THCS.

Mat khác, ny chỗ chiếm một vị trí quan trong trong chương trình cai cách giáo đục (1980

-2000), vấn dé suy luân và chứng minh đã bi tình giản đáng kể trong chương trình thí điểm từ nam

2000 Nhiều chứng minh đã bị loại bỏ Dac biệt, chương trình hình học THCS ting cường họat

động thực nghiệm nhấn mạnh khả nang quan sát, dự đoán Vì sao lại có sự thay đổi này ?

Tang cường quan sát-thực nghiệm và giảm nhẹ suy luận chứng minh phải ching là một giải

pháp tốt 2 Cuóc cải cách những năm 1980 và những nam 1990 ở Cộng hoà Pháp cũng đi theo xu

hướng này Sau hơn 20 năm thực hiện, quan điểm này vẫn còn gây tranh cai Hơn nữa người ta da

và đang ghi nhận những hau quả xấu ở học sinh Pháp về khả nang suy luận và chứng minh Tuy

nhiên, một điều cần nhấn mạnh là : Bất chấp các khiếm khuyết, hiện nay quan điểm thực nghiệm” vẫn là một trong những cơ sở định hướng cho day học toán ở trường phổ thông cộng hòa Pháp và

được sự tắn thành cua nhiều nhà nhà giáo dục khong chỉ ở Pháp mà cả ở nước ngoài.

Nói chung, "Tế chức dạy học chứng minh như thế nào ?" là một vấn dé phức tạp, khó khan

Nó lôi cuốn sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.

Trong một số nước (kể cả ở Việt Nam), việc tim câu trả lời cho câu hỏi này thường dẫn tới

những nghiên cứu theo quy trình : Nghiên cứu lí luận —» diéu tra thực trạng — DE xuất biện pháp

sư phạm —> Kiếm chứng bing thực nghiệm Nghiên cứu If luận thường dua vào những kết quả củatriết học, tAnm lí học, giáo dục hoc, sư phạm rhưng không quan tâm tới những nghiên cứu về

khoa học luận lịch sử toán học.

Nhiều công tinh nghiên cứu? đã chỉ ra một số khiếm khuyết của tiếp cân theo quy trình trên

và làm rõ vai trò đác biết quan trọng của nghiên cứu khoa học luân trong nghiên cứu khoa học

cũng như trong thực hành day học toán.

Cũng cần nhấn mạnh : Quan điểm sư phạm đang phổ biến hiện nay trong niều nước là :

"Thực hiện một vự day học théa mãn hon khoa hoc luận và tôn rong hon quy trình nhận thức của học xinh"

Quất triệt quan điểm này dẫn tới nhấn mạnh trên mối quan hệ mật thiết giữa nghiên cứu

khoa học luận và nghiên cứu didactic.

Từ đó, phương pháp luda nghiên cứu việc tổ chức dạy học một đối tượng trí thức, được mô tả

trong so đồ sau dang được áp dung trong nhiều nước :

* Xem chỉ tiết ở trang 2?)

3 Như của Ariguv M (1291), Ð wtcrJ-L (1977), Lê Thị Hoài Châu và Lê Ván Tiến (2003),

Tổ chức dạy học toán

Nghiên cứu khoa

học luận

Chi chú : Tổ chức day học toán được hiểu theo nghĩa rộng (biến xoan CT và SGK, tổ chức các cổng đoan

day hoc wong iớp,.) Nehiên cứu didactic beo hàm các nghiên cứu : CT và SGK, điểu tra thực trang, tổng kết

kính nghiệm từ các công trình nghiên cứu didactic khắc,

Ở Việt Nam, đã có nhiều công trình nghiên cứu vẻ lịch sử toán Nhưng đường như chưa có

công trình nghiên cứu khoa học luận thực sự nào về một đối tượng trì thức cụ thể Đặc biệt, chưa

cố một quan tâm thích đáng nào về vai trò và tầm quan trọng của nghiên cứu này Ngoại trừ công

trình của Lê Thị Hoài Châu và Lé Văn Tiến (2003) có trình bày một cách hệ thống khái niệm nghiên cứu khoa học luận và vai trò của nó với một số minh họa khá thú vị.

Từ những nhận xét trên, chúng tôi nghĩ rằng việc nghiên cứu khoa học luận lịch sử về khái

niệm chứng minh và việc nghiên cứu thực trang day và học chứng minh ở trường phd thông hiện

nay ở Việt Nam và một số nước khác trở nên hoàn toàn cấp thiết Kết quả của các nghiên cứu này không chỉ cho phép xây dung cơ sở cho việc soạn thảo chương trình và sách giáo khoa, mà còn là

cân cứ xây dựng những giải pháp đổi mới cách day và học về chứng minh, Đó là hai yếu tố nhằm

nâng cao chất lượng day học nội dung này.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu tổng quát của để tài là làm rõ các yếu tố khoa học luận và didactic làm cơ sở nếntang cho nghiên cứu tổ chức dạy học chứng minh

3 Nhiệm vụ cụ thể của đề tài

1 Lam rõ quá trình hình thành và phát triển của khái niệm chứng minh trong lịch sử, các đặc

trưng khoa học luận của nó.

Phân tích một số xu hướng nghiền cứu trong và ngoài nước, liên quan tới day học chứng

minh.

3 Lam rõ một phân thực trạng day va hoc chứng minh trong hình hoc ở trường THCS Việt

Nam, một số khó khăn và nguyên nhân của chúng, những khiếm khuyết của chương trình

và sách giáo khoa hiện hành.

tw

Kết quả của những nghiền cứu trên là cơ sở cho việc tiến hành một dé tài khác về « Tổ chức

day học chứng minh » mà chúng tôi du định tiến hành sau khi kết thúc đề tài này.

So với mục tiêu dang kí ban đấu của dé tài, chúng tôi đã thực hiện một vài điều chỉnh : Han

2

chế vào việc nghiên cứu chứng minh trong hình học ở bậc THCS và chỉ điều tra một phần thực trạng day học chứng minh Những điều chính này xuất phát từ các lí đo sau đây :

- Mục dich của chúng tới là thực hiện một nghiên cứu so sánh giữa CT và SGK cũ với CT

và SGK thí điểm Tuy nhiên ở thời điểm thực hiện để tài chỉ mới có SGK các lớp 6, 7 8 được đưa

vào thí điểm.

- Đối tượng chứng minh có thể được dé cập trong nhiều phân mda và cấp lớp Nhưng chủ

yếu vẫn là trong hình học nhất là ở bac THCS Đó là giai đoạn mở đấu cho việc dạy hoe chứng

minh, Chính ở cấp độ nay mà học sinh gap nhiều khó khan nhất Hấu hét các công trình nghiên cứu về chứng mình ở nude ngoài cũng quan tàm chủ yếu đến hình học ở câp độ này,

- Việc xin phép tiến hành điều tra thực nghiệm (phỏng vấn giáo viên và thực nghiệm trên

học sinh) trong các lớp thi điểm rất khó khan, Da số các trường đều từ chôi,

- Khinh phí thực hiện để tài khá co hẹp trong khi riêng viớc thực hiện các nhiệm ve : và Ð

ở trên đã là một công việc khá đồ 86 và khó khan, Một mat vì việc sưu tắm các tài liệu lien quan

không may dé dang Mat khác việc đọc phân tích và tổng hợp các tài liệu này đòi hỏi rất nhiễu

thời gian và công sức.

4 Phương pháp nghiên cứu

Đó là phương pháp luận nghiên cứu thể hiện trong sơ dé ở mục 1 Cụ thể trong pham vi dé

4 Thực nghiệm điều tra một phần thực trang dạy học chứng minh ở trường THCS.

5 Tổ chức nói dung bao cáo

e Dat vin dé

e Chương | : Các đác trưng khoa học luân của chứng minh.

¢ Chương 2 : Một so xu hướng nghiên cứu vé day học chứng minh ở Pháp và Việt Nam

e Chương 3 : Chứng minh trong chương trình và sách giáo khoa hình học THCS Việt Nam

e Chương 4 : Một phan thực trạng về day học chứng minh ở trường THCS Việt Nam (nghiên

cứu thực nghiệm)

® Kết luận.

Chương 1

Các đặc trưng khoa học luận của chứng minh

Mở đầu

Trong chương nay chúng tôi không tiến hành một nghiền cứu khoa học luận từ các tư

liệu gốc về lịch sữ hình thành và phát triển của khái niệm chứng minh mà thực hiện môi phan

tích tổng hợp các công trish nghiên cứu khoa hoc luân và sư phạm đà biết Công việc này

không chỉ có mục đích néu lên các đặc trưng khoa học luận của đối tượng này ma còn đưa ca

những nhận xét và nhữag giả thuyết về mat sư phạm làm cơ sở định hướng cho việc tổ chức

day học chứng minh ở trường phổ thông.

Cu thể hơn chương nay có mục đích làm rõ một phần nào đó cầu trả Wi cho các cdu hỏinhư : Chứng minh là gì ? Vì sao phải chứng minh ? Chứng minh xuất hièn và tiến triển ra xảo ?

Nó có những đặc trưng gì ?

Có thể có người sẽ ngạc nhiên khi chúng tôi phân tích kết hợp các công trình về khoa học

luận và didactique trong chương này Nhưng quả thực các nhà nghiên cứu về lịch sử của chứng

minh đều thừa nhận rằng khó có thể làm rõ mội cách chính xác những thời điểm phát triển củađối tượng nây cũng như những quan niệm khác nhau về chứng minh Một trong các sguyên

nhân là do thiếu các tài liệu lịch sử gốc

Chính vì thể agười ta đã chấp nhận một hướng tiếp cận mới : Thưc hiện một sự “di - vé”

giữa nghiên cứu lich sử va nghiên cứu didactique Rất thông thường ta chỉ có một chiều trong

mổi quan hệ giữa hai kiểu nghiên cứu này (nghiên cứu lịch sử là od xở cho nghiên cứu didactique : nó cho phép dat ra những câu hỏi, những giả thuyết, nhừng định hưởng cho tổ

chức day hoc), mà không có chiều ngược lại Nhưng trong trường hợp của chứng mình, điều thú vị là một số công cu được phát triển trong didactique lại có thể đưa đến một cách nhìn mới

những vấn dé trong lịch sử, cho phép giải quyết nhiêu cuộc tranh cãi trong công đồng các nhà

nghiên cứu gợi ra những cau trả lời mà nghiên cứu thuần túy lịch sử chưa thực hiện được haycho phép để ra các giả thuyết liên quan với đối tượng này, Vấn để sau đó là nghiên cứu trở lại

lịch sử để thin cách hợp thức hóa gia thuyết.

Chúng tôi nghĩ, day là một nét mới về phương pháp luận nghiên cứu mà ta có thể học

tập.

Các tư liệu làm cớ sở cho phân tích trên là các nghiên cứu từ [IJ (3), |5 đến 18} (xem

thư muc tham khảo),

Điểm tựa didactique

Với quan điểm phương pháp luân nghiên cứu mà chúng tôi vừa nói ở trên để hiểu rõ hun

những đặc trưng khoa học luận của khái aiệm chứng minh, chúng tôi để cập trước hết một số

kết quả trong nghiên cứu của N.Balacheff (1988) Đây là một nghiên cứu vừa khoa học luận

vừa đidacuque, Nhưng những kết quả đạt được trong phạm vi didactique sẽ cho phép làm rõ

4

hee một số điểm về mat lịch sử.

Đối với Balachelf, chứng mình trước hết là công cu hợp thác hóa wong cộng đồng các nhà

toán học Nghiên cứu thực nghiệm những cuộc tranh luận giữa các nhóm học sinh đã dan ông

túi hân biệt các khái niệm Giải thích, Kiểm chứng và Chứng minh :

Giải thích thuộc cấp đỏ người phát ngồn (người nói) và ahằm làm cho người khác hiểu

dae chân lý của mot mệnh để mà người nói đã nắm được.

Khi lời giải thích được cậng đồng xem là cớ tinh thuyết phục nó sẽ cú cơ chế Kiểm chứng

đối với công đồng đó (khía cánh xã hội của Khai niệm kiểm chứng).

Khi kiểm chứng liên quan đến một phát biểu toán học và cộng đồng núi trên là công đồng

cac nhà toán học thì tròng rrưỡng hựp này, va chỉ trong trường hợp này kiểm chứng trở thành

mot chứng minh : có một hòa thuận xã hội giữa các nhà toán học về các qui rắc phải man thù

để phép chứng minh được ding đắn Trong tường hợp này chứng minh là một dang văn han

(điscours) rất đặc biệt :

* Đó là một dây các phá: biểu được tổ chức theo những qui tắc xác định ; một phát biểu hoặc

được biết là đúng, hoặc được suy diễn từ những phát biểu trước đó bằng mội qui ide say diễn nit ra từ lập hop nhitng qui tắc đã xác định Đặc trưng cho chứng mình như là một kiểu vốn

bắn chính là hành thuắc được quy tắc hod một cách chặt ché cáa nó.” (Balachecff 1988)

Những phân biệt trên iam nổi bat tink chất xã hội sâu sắc của chứng minh với tư vách là

kết quả của một quy trình kiểm chứng đặc biệt, Các quy trình kiểm chứng được tiến hành với

mục đích hợp thức hóa mộ: khẳng định nào đó Các quy trình này phụ thuộc đồng thời vào chủ

thể (người tạo ca chúng) vào người đối thoại và tình huống liên quan,

Phân biệt ưên có thể được sơ đổ hóa như sau:

Giải thích

Kiểm chứng

Chứng mình

Từ một thực nghiệm đổi với học sinh, ông đi tới vide phan loai các kiểu kiểm chứng sau :

- — Kiểm chứng kiểu “Chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ” : Khẳng định chân lí của một

phán đoán bằng cách kiểm tra một vài trường hợp cu thể và không đặt ra vấn để hợp

thức hóa.

Kiểm chứng kiểu “Thí nghiệm quyết đoán” : là qui ưình hợp thức hoá mot phán

đoán bằng cách đoán nhận trên một trường hợp được cho là ít riêng biết nhất Cách làm

nay về cơ han vẫn thuộc kinh sphiệm nhưng khác với chủ nghĩa kinh nghiện ngây thơ ở chỗ vấn dé khái quát hoá được đặt ra thực sự.

- _ Kiểm chứng kiểu “Thi đụ “đại diện " và thực nghiệm thầm trong óc ” : Kiểm chứng

này cố trình bay rò ràng những lý lé vẻ tính hợp thức của một phán đoán bằng cách

thực hiện những thao tác trên một đối tượng dae biệt, nhưng lại được chủ thể xem như

là không cú tính đác hiệt va riêng rẽ mà đại điện cho cả một lớp cá thế.

Kiểm chứng kiểu “Tinh tuần trên các thông báo * : kiểm chứng không đựa vào kinh

5

nghiệm Đó là những cách xây dựng của trí tuệ dưa trên những khái niệm, định nghĩa.

tính chất tường mình

Balacheff cũng định nghĩa Suy luận (raisonnement) như là hoạt động trí tuệ thao tác

thông tin dé tạo ra các thông tin mới từ các dif liệu đã cho

A Đặc trưng KHL của khái niệm chứng minh

qua các giai đoạn lịch sứ khác nhau

I Chứng minh trong giai đoan Hy Lạp cổ

Như đã nói ở trên, rất khó xác định một cách chính xác thời điểm ra đời của đổi tượng

chứng minh Tuy nhiên hấu như các nhà nghiền cứu đểu thỏa thuận chấp nhận rằng chứng minh nảy sink vào thời Hy Lap cổ (khoảng thế ki thứ Š trước công nguyên).

Nói đó là thỏa thuận vì điểu này không muốn nói rằng trước đó, trong thời kì cổ đại,

không có những dấu vết là mam mống của chứng minh Bằng chứng là người ta đã um thấy nhừng Kiểm chứng và Giải thích xuất hiện một cách tách rời, hay những “kiểm tra” như trong

toán học Ai Cập, toán học Ấn Đô Nói cách khác, Kiểm chứng tôn tại trước chứng mình (Kiểm

chứng “tiền chứng minh") Như Barbin (1988) đã viết :

“Không có chứng minh trong toán học Ai Cập hay toán học babylon, ngọai trừ nếu ta xem

việc nhóm lại cúc tiến trình giống hệt nhau có thể làm nên các kiểm chứng"

Chẳng hạn, ở Aicập thời cổ đại các phép tính mà thay giáo thực hiện thường được “chứng mình” bằng việc kiểm ura kết quả đạt được Phương pháp này đặc biệt thích hợp với các bài

toán “Giải phương trình” (nhất là khi điều kiên của ẩn là số nguyên hay hữu tỷ) hay các tìnhhuống xã hội liên quan tới vấn để mua bán, chia phần

Li do chủ yếu của việc chấp nhân chứng minh nảy sinh vào thời Hy Lap cổ là ở chỗ trong

thời kì này, người ta sử đụng một cách hệ thống các chứng minh Hơn nữa, các chứng minh này

lai xuất hiện đồng thời với các thông báo tổng quát và xu hướng tiên dé hóa.

1, Nguồn gốc và nghĩa của khái niệm chứng mình

Trong giai đoạn này chứng minh xuất hiện như môi hành vi xã hội trong một nhóm

người có cùng suy nghĩ, cùng hiểu biết giao tiếp với nhau và có mục đích t#yếf phục người

khác Nói cách khác, chứng minh lấy nghĩa là Thuyết phục.

Barbin cũng làm rõ rằng trong những chứng minh của Euclide hay của Archmède “diéu

lạ lắng chủ yếu là làm sao để thuyết phục và làm sao tránh được tất cả những nhận xét có thể dẫn tdi sự "hở sườn” đổi vá: những kè dém pha Chẳng hạn tất cả những xem xét về tính v2 hạn

đều được tránh, phương pháp phần chứng thường được dùng và không bao già có những giải

thích về cách mà chung mình đã được tạo ra.”

Một đặc điểm đóng chú ý khác cũng cho phép củng cố quan điểm lịch sử này là : cácchứng minh Hy Lap hầu như không tách rời các sơ 46, hình vẽ Ngoài ra, người Hy Lap khôngháo giờ đặt đối lap hai yếu tố sơ đồ và chứng minh, ưái lại một sơ để có thể giữ vai trò một

chúng mình.

Về mặt xã hội, việc nhờ đến tính rõ ràng của hình, của ogữ cảnh, thậm chí đến thứ bậc

xã hội là những phương tiện hợp thức hóa được ngắm ẩn thừa nhận

6

Nhiều nhà nghiền cứu (như Arsac, Barhin ) chia sẻ ý kiến cho rằng quan niệm chứng

mình như thuyết phục gắn liền với su ra đời của nên đân chủ trong đời sống chính trị của thời

kì Hy Lạp cổ này: Tất cả những công việc của “nhà nước” (cité) đều là đối tượng của các cuộc

tranh luận tự đo và công khai Thói quen biện lí tranh luận được chuyển từ lĩnh vực chính trị

sang toán học.

Tuy nhiên, nghiên cứu trong didactique lai dẫn Arsac (1992) tới mot giả thuyết khác về

nguồn gốc của chứng minb Giả thuyết khởi đầu trong didactique mà ống dựa vào là :

*Trong toán học tải cả déu bắt nguồn từ việc giải bài toán Chính vì để giải các bài toản

mà các khải niệm và các phương pháp được sáng ige ra, và chuỗi những bài tadn liên tiếp giải thích cho sự tiến triển của toán học”.

Từ đó ông giả thuyét rằng sự ra đời của chứng minh còn có thể xuất phát từ mong muốn

giải quyết một số vấn để toán học chuyên biệt.

Ong đưa ra các lí do của giả thuyết này như sau :

- Một mat, có sự tràng hợp vẻ mat lịch sử (trong khoảng thời gian gan một thế kỉ) giữa sự

ra đời của "hình học” và sự ra đời của “triết hoe” và nền dân chủ

- Mặt khác, cũng có sư trùng hyp về mặt lịch sử giữa sự xuất hiện phép chứng minh với

việc giải các bài toán về “tính vô ti" như là một khám phá kép : một mặt, số 2 không có căn bậc hai hữu ti và mat khác đường chéo của hình vuông vô ước với cạnh của nó.

Theo ông, các kiểm chứng liên quan tới tính vô tỉ trong phạm vi số học kéo theo việc sửđụng một cách tự nhiên suy luận bằng phản chứng

Điều thú vị là ngày nay dường như ai cũng cho rằng chứng minh bang phan chứng là rấtkhó đối với học sinh, và do đỏ người ta quan niêm nên tránh để cập chúng ngay từ giai đoạnđầu của dạy học chứng minh Thể nhưng nghiên cứu lịch sử đã dẫn Arsac tới khẳng định rằng: Suy luận hằng phản chứng xuất hiện một cách tự nhiên ở người Hy Lạp cổ và nó xuất hiện

trước tất cả những chứng minh Nói đến kiểu kiểm chứng về sự không ta tai cân bậc hai của 2

trong thời kì Hy Lạp cổ ông viết :

*Kiếu kiểm chúng này chỉ sử dụng suy luận bằng phản ching và những tính chất chẩn, lẻ,

mà không cần đến một tiến trình tiên đề hóa và tiến trình chứng minh”.

2 Quy trình chứng minh

Mắt câu hỏi khác cũng được các nhà nghiên cứu quan tâm làm rõ là : Nếu xcm chứng

minh như là thuyết phục thi làm thể nào để chứng mình ? Về vấn để nay Barhin (1988) viết :

“Trước hết, cân thiết là người đái thoại phải thừa nhận một vài điểm : Dé là nhitng lí lẽ

đầu tiên mà trong tac nhầm Kléments d’Euclide chúng có tên là các định để (postulats) hay các

yêu cẩu (demandes) Sau dé, can lam sao cho người đối thoại chấp thuận Suy luận điền dich

được thitc hiện vii muc dich nay.”

Theo ống, sẽ rất khó khăn để thuyết phục (chứng minh) vì những người đối thoái có thé

rất hướng bỉnh.

Hoi với người Hy Lap cổ :

“Phép chứng mink đưực tiến lành theo cách tổng hợp, tức là từ cái đã biết đến cái chưa

biết Các tư liệu của người Hy Lạp cổ trình bày định nghĩa các đất tượng nhưng không cho biếtcách tạo ra chủng như thế nào, Những ta liệu này cho thấy việc dàng chứng minh chỉ nhấm mục

đích thayết phục chứ không có dấu vết nào của sự nghiên cứu” (Barbin, 1994)

IL Chứng minh ở thế kỉ 17, 18 - Bước ngoặt đầu tiên : Chứng minh là soi

sáng

Những chỉ trích chủ yếu (của Torricelli, Deseartes, Pascal, Arnauld, Wallis ) về các

chứng minh trong thời kì trước (của Euclide, Archimède, ) là :

- không làm rd vì sao lại để nghị chứag minh một kết quả ado đó Nói cách khác, không

cho biết mệnh để cần chứng minh có được từ đâu ;

- không chỉ rõ phương tiên khám phá nghĩa là không cho biết làm thế nào có được

Trước hết, Euclide tiến hành dung các doi tượng sau : A B

Hình vuông ABDC tưung điểm E của AC, điểm F trên

đường AC nốt dài sao cho EF = EB, hình vuéng AFGH

Sau đó ông chứng minh rằng diện tích của chữ nhật HBDKbằng diện tích hình vuông AHGE c D

Đối với Descartes, kết quả trên hoàn toàn đúng Nhưng ông K

không thỏa mãn, vì người ta không biết vì sav Euctide lai khám

phá ra cách dựng điểm H như vậy, Ong moog muốn biết được quy trình sinh ra khám phá này

của Euclidc.

Một ví dụ khác ; chứng minh của Archiméde về định lí “Diện tích của hình tròn bằngmột nửa tích của đô dài đường tròn và bán kính của nó.” Đã bí phê bình là ít có tính chất soi

sáng Suy luận bằng phản chứng sử dụng trong chứng minh này không làm rõ lí do thực sự

cũng như phương pháp khám phá ra kết quả đó Phê bình này là động cơ dẫn một số nhà toán

học tới việc khám phá ra một phương pháp mới : Phương pháp của những cái không phán chia

được (méthode des indivisibles) Phương pháp này xuất hiện như một phương tiện để hiểu và

để khám phá Rất lâu sau đó nó mới dẫn tới một chứng minh định lí trên Chứng minh này

được đánh giá là “soi sáng hơn cho kết quả” (theo Giorgiuui.], 1998).

Chính thế kỉ 17 đã đánh dấu một bước ngoặt quan trọng trong quan niệm về chứng minh:

Chứng minh không còn được quan niệm đế thuyết phục, mà có mục đích soi sáng, làm rd Người ta nhấn mạnh trên việc thiết lap kết quả (mệnh để cắn chứng minh) và giải thích các phương pháp giải Những phương pháp này thường được đặt tên là “pkưưng phdp kham phá `.

Để làm rõ đặc trưng của hước ngoặt này, Barbin đã viện dẫn lời của Descartes từ tác

zh#m “Suy ngẫm siêu hình hoc” :

“C6 hai cách chứng mình + một là, ching mình bằng phân tích hay giải; hai là, chứngminh bằng tổng hop hay cấu thành

Phép phân tích chỉ ra con đường đáng, theo đó về mặt phương pháp, một sự việc đợc tạo

ra nhé thể nào đến mức nếu có độc gid nào muốn theo cách đó mà di thì không nhang

hiểu được cặn kẽ điều cần chứng minh còn biến nó thành của mình, y như tự minh sáng tạo

ra nó vậy.

Phép tổng hợp vận dụng đến một loạt những định nghĩa, tiên dé, định lí và cd những yêu

cầu khác nó nhằm chiếm dược sự đông tình của độc giả cho đà họ có ngoan cố đến đâu

E

chăng nữa; nhưng nó không làm thỏa mãn hoàn toàn tâm trí của những người ham hye

hỏi, bởi lẽ nó không chi ra bằng cách nào md sự việc được hình thành”.

Trong tác phẩm “Các yếu tố hình học”, Clairaut (1765) nói rằng ông "hết sức tránh gắn cho những mệnh đề dưới hình thức của định If, tức là những mệnh dé trong đó người ta chứng

minh điều nay, diéu khác là đúng mà không néu rõ họ đã khám phd ra chúng như thế nào”

Còn Cournot (1841) thi viết : “gười ta có thể làm thỏa man mọi điểu kiện của một dây

chuyên logic mà không soi sảng gì cho tri tuệ về các quan hệ cơ bản giữa cúc ý tưởng và những

lý thuyết mà người ta dp dụng Tôi thú nhận là tái không coi trọng sự chết chẽ quá đáng trong

việc chứng mình một định lý bằng việc chỉ ra một cách rõ rùng nguồn gốc của định lý ấy cũng

nhu mốt liên quan giữa nó và các chân IX toán học khác."

Những phát hiểu này minh chứng một điểm quan trong cẩn nhấn mạnh : Ở đây, chứng

mình không chỉ có vai trò hợp thức hóa chân ii một mệnh để mà còn có chức năng khám phá

và tạo ra kết quả.

Hơn nữa, trước đó vào năm 1823, Legendre đã đưa ra định nghĩa sau

-“Tién đề tà một tính chất mà bdn thân nd đã rõ ràng

Một định lý là chân lý đã trở nên rõ rang nhờ mội say luận goi là chứng minh.”

Như vậy chứng minh xuất hiện như ja cái tạo ra sự rö rằng.

Để hiểu rõ hơn, ta lấy ví dụ về một chứng minh của Legendre (lấy theo Arsac, 2001) :

Định lí : Qua một điểm nằm trên một đường thẳng có thể kẻ được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho.

Chứng mình : th

M

“Quả thực, giả sử rằng thoat đầu đường thẳng AG nằm trên AC, sau đó quay xung quanhđiểm A : Nó tạo nên hai góc kế MAC và MAB Một góc, chẳng han MAC trước hết rất bénhưng sẽ lớn dan Còn góc thứ hai MAB trước Liên lớn hơa MAC sẽ giầm dan tới 0

Góc MAC thoát tiền bé hơn MAB, sau đó trở nên Ida hơn góc này Do đó, có một vị trí

AM của đường thẳng chuyển động mà ở đó hai góc này sẽ bằng nhau và rõ ràng chỉ có một vị

trí như vậy.”

II Chứng minh ở thé kỉ 19 và 20 - Bước ngoặt thứ bai : Chứng minh tính

phi mâu thuẫn

Vào khoảng năm 1827, không đồng ý với định nghĩa phép chứng minh mà Legendre đưa

ra Irước đó, Bolzano phan bác lại :

“Trong khoa bọc, các phén chẳng mình không thé chỉ là những qui trình tạo ra cái hiển

nhiên mà phải là những nền ting : cần vạch ra nên tang khách quan của chân lý cân

chúng minh.”

Nói cách khác, một số nhà bác học không đồng ý với quan niệm rằng : cái đưa đến sự rö

9

rang là một chứng minh.

Chính từ quan điểm này ma Bolzano đã không xem giải thích hình học và cả chứng minh của Cauchy về định lí giá trị trung gian như là một chứng minh” Ông viết :

“Tuyệt nhiên không có gì có thể phản bác về tính đúng đắn và tính hiển nhiên của định li

hình học này Nhưng rõ ràng cũng có một lỗi không thể chấp nhận được [ } vì người ta đã dua

trên những ghỉ nhận hình học để suy ra những chân lí toán học thuần túy [ ] Trong khoa học,

các chứng minh không thể là các phương pháp giản đơn nhằm đa: được sự rã ràng (évidence)

mà trước hết phải là nhitng cơ sở, Can phải làm rõ nên tang khách quan của chân lí cần chứng

minh.” (trích theo Barbin, 1988).

Bolzano cũng bác bỏ các chứng minh đựa trên tư tưởng chuyển động và thời gian (như

chứng minh của Legendre trình bày ở trền).

Nhà bác học ý Nardi cùng viết : “Tất cd những sự rõ ràng là chắc chắn trong khi khôngphải mọi sự chắc chắn đều rề ràng”

Các phát biểu này đánh dấu một sự ngất quăng Io thứ 2 vẺ nghĩa của chứng minh :

Chứng minh bay giờ được quan niệm là wo ra sự kkông mâu thuẫn Như vậy, một mệnh để là

đúng khi nó không mâu thuẫn với hệ tiên để, với các mệnh để đã biết,

Sau này, sư ra đời của hình học Phi Octit đã cing cố thêm quan niệm này Ding thời cơ

chế của các tiên đề thay đổ: : đó không còn là những chân lý hiển nhiên đối với mọi người, mà

là những giả thiết tự do không bị bất cứ ràng buộc nào.

Trong cuốn “Hình học và kinh nghiệm” của mình, Einstein viết :

*Điều duy nhất mà ta phải đặt ra là tính hợp thức của các tiên để ƒ } các tién dé phải

được quan niệm một cách hoàn toàn hình thức, tức là không có gì liên quan đến trực giác

hay kinh nghiệm Các tiên dé này là những sáng tạo tự do của trl tuệ con người ƒ ) Những

từ như *điểm", "đường" rang hình học tiên dé cần phải được hiểu là những khái niệm

không có nội dung nao."

° & Phát biểu định lý giá uj trung gien và chứng minh của Cauchy : Nếu hàm số f liên tục trên đoạn {4; b} và nếu e

là một số giữa f(a) và í(b) thì tổa tại x © fa; b] sao cho f(x) = c.

Ching mink : ĐỀ thiết lập ménh để trên, chỉ cần chứng td rằng dường cong phương trình y = ((x) cất dường thẳog

phương trình y =c tai một hay nhiều điểm trong khoảng giữa ahing tang, độ wong ứng với các hoành độ u và b.

Từ giả thiết thì điểu này là r0 rang Quả thuc, hàm số đã cho liên tục giữa các cận x = 4 và x = b Dường cong

phương trình y = (x) đi qua

\ điểm tương ứng với các tọa độ a, [[A),

2 điểm tung ứng với các lọa độ b, Md),

s liÊn we giữa bai điểm này, Vi tang đô không đổi c của đường thing phương trình y = c nẦm giữa các tung 66 fla) và f(b) cla hai điểm đang xết, cho nền đường thẳng nhi đi qua giữa hai điểm này, aehia là trong khoảng nói

trên nó không thé khong gap đường cong.

© Phat biểu định 3í giá trị trung gian và chứng minh của Bolzano : Nếu hàm số thực M(x) bón uc trên đoàn fa: bị

và nếu € nằm giữa Ka) và f(b), tì tồn tại xố c giữa a về b sao cho ffc) = C.

Chứng minh ; Giả sử chẳng hạn A = fla) <€ < ÍŒh) = B Những số x của khoảng (a; b) sao cho ffx) < C đểu bé

hơn b Ching cố một cần trền đống c.

Với < x s b, ta có Í(x) aC.

Theo tính liền tục, f(e) là giới ban của f(x) khi x dain về c Lấy x >e, như vậy f(x) > Cs gioi han của f(x) Ít ra sẽ

aC, do đó f(c) > C.

Theo định oyhia của cận trên đúng, thn tei những x bé hơn c và gắn ¢ bao nhiêu cũng được, đối với chúng {x} <

Cyc là gidi hạn cổa những x nầy ; [(c) là gti hạn của các f(x) mating ứng Do đó fic) < C.

, Từ đó ta có fc) =€ (Trích theo Giorgiut.(, 1998)

10

Những nhận xét trên cho phép ta hình dung ra bước chuyển từ cái mà Hilbert gọi là "Các

hé tiên để nội dung” trong Elément đ'Euclidc sang “Cae hề tiên để hình thức” ở Hilhert và

Zermelo,

Nghiên cứu khoa học luận xẻ suy luận cho thấy : ương một "hệ tiền dé nội dung” các mệnh để nguyên thủy có thể được hình thành một cách độc lập với nhau và không xứ dụng

những quyết định thude cùng một trường quan niềm Một số định nghĩa hoặc mot sổ tiên để có

thể tương ứng với việc làm rõ đặc trưng của các đổi tượng đơn giản mà với chúng người ta tiếp

cận trực tiếp được xà hoào toàn doc lập với các mệnh để xác định chúng hoặc tử đó đặt ra vấn

để về sự ta tại Chỉ cẩn đọc qua danh mục 23 định nghĩa 5 định để và 9 khái niêm chung

trong phan mở đầu của Các yếu tỷ Euclide, cuốn | để nhân ra điều đó Chức ning của chúng là

phân định ranh giới các khái niệm về các đối tượng chứ không phải là hình thành các đổi tượng Các khái niệm vẻ đốt tượng cùng có thể đạt được bằng trực giác nhờ biểu điện các hình hình học theo các tính chat topo, afin chiếu, méưic của chúng.

Còn trong các "hè tiên để hình thức” các tiên để hình thành một “hệ thống các mệnh để”, hệ này xác định một *đốt tượng - cấu trúc” Vì vậy, các định nghĩa không thể được xem xét một cách tách hiệt mà trong mối quan hệ với hé thống được hình thành hởi chúng Điều

này dan đến sự đòi hỏi về tính phi mâu thuẫn trong hệ các mệnh để Sự tốn tại của các đối

tượng được xác định như thế có thể chÏ phụ thuộc vào một điều kiện phi mâu thuẫn này Theoquan điểm này các hé tiên để hình thức sẽ được gọi một cách chính xác hơn là “các hé tiên đểcấu trúc”, Bởi lẽ các đối tương được xác định như thế không hoàn toàn có cùng bản chất vớicác đối tượng trong các hệ tiên dé nội dung : “46 là những quan hệ cơ bản được xác định chứkhông phải các đối tưởng mà các quan hè này đưa trên chúng” (Nichanian 1979, p.76) Như

thế Hilbert wu tiện cho các quan hé “nằm trên ”, "ở giữa ", “tương đẳng vii”, “song xong

với ”: "việc mô tả chính xác và phù hợp với mục đích toán học vé các moi quan hệ nay (giữa

các điểm, các đường thẳng và các mat phẳng) được cho bởi các tiên để hình học” (Hilbert,

1971 n.11) Vì vậy chức nắng của các định nghĩa wong một hệ tiên để hình thức là nếu lên

cấu trúc ngữ nghĩa chung cho các tap hợp đối tương Cách cho các đối tượng trong các hệ tiên

để nói dung và hệ tiên dé hình thức là không giống nhau

B Tiền dé (prémisse) trong chứng minh

Theo nghĩa hiện dai ngày nay ta hiểu tiển để là những khẳng định (những mệnh dé đúng

hoặc sai về mật toán bọc”), mà ong môi chứng minh ta không quan tâm đến chan lí khách

quan của chúng Các git thiết đã cho trong bài toán chứng mình là các tiền để Nhưng ngoài ra

tiển để còn có thể là : tiền để, định 1í định nphĩa, mot mệnh để đúng đã biết, một mệnh để hệ

quả của các bước say luän trước đó Như vậy, số lượng các tiền để gia tăng dan dần theo tiến

trình chứng mình.

Tuy nhiên cũng có những kiểu tiện để không hiện diện tường minh trong mo chứag

minh, nhưng thực sự can thiết cho chứng minh ấy Chẳng hạn, trong chứng mình định lí về Lổng ba góc ong của lam giác bất kì ABC, ta thường vẽ đường thẳng d qua A và song song

* Chẳng hạn, xét chứng minh ou đây của mệnh để : “Nếo 2 = -2 thì 4 = 4":

2 = -3 (theo gui thet) 242) = 627 =4 = 4(DPCM)*

Tromg chưng minh wén minh dt 2 = -2 đóng vai trà như bền để, dù rằng về mặt chắn lý khách quan đó 12 mệnh

để sai,

với BC Các suy luận sau đó dựa wén hình vừa tạo ra, Như vậy, ở đây ta đã dựa vào một tiền

để ngắm ẩn "tổn ti duy nhất đường thẳng d qua A và song song với BC " Để hiểu rõ hơn

điều này, ta chỉ cần so sánh hai phép đựng sau : Dựng đường tròn O ngoai tiếp tam giác ABC ;

Dựng đường ưòn O ngoai tiếp tứ giác ABCD Rõ ràng : “TỎn tại đường won O ngoai tiếp tam

giác ABC” luôn có thể dùng như tiền để, trong khi nó có thể không như vậy trong trường hợp

tứ giác.

Netz (1999) phan biết hai loại tiến để :

- Tiên để tương đổi (prémisse relative) : đó là các tiến dé mà tính đúng đấn đã biết ở

đâu đó: Tiên để và định ìí đã biết, những mệnh để (đúng) đã được chứng minh, những mệnh

để mà người đọc có thể chứng minh một cách dé dàng (những tién để ngầm ẩn).

- Tién để tuyết đối (prémisse absolue) hao ham tất cả các ến để không thuộc loại trên : Giả thiết rẻng trong từng bai toán các mệnh dé rút ra từ việc đọc các thông tin trên hình hay biểu đổ và cá những cái rõ rằng “nội tại” hay trực giác ưong đó ta sử dụng các tính chất mà

chúng không phải là kết quả từ các tiên để

Phân tich của Asac (2001) chứng tỏ rằng, wong các giai doan phát triển của khái niệm

chứng minh cả hai loại tiền để trên đều tổn tại (đắc biệt là những tiên để tuyệt đối) Chẳng

hạn trong nhiều chứng minh Hy Lạp thường áp dung “luật” : “Một cái không thể bằng cái lớn

hơn nó” Đó là một sư hiển nhiên trực giác không dựa trên những quy tắc da thỏa thuận trong

toán học Hy Lạp.

Hilbert là người duy nhất chỉ sử dung các tiên để hay các kết quả đã có wrong các chứng

minh của mình, mà không nhờ đến các tién dé có được từ việc đọc trên hình hay những "hiển

nhiên” trực giác.

C Một số kết luận sư phạm rút ra từ phân tích khoa học luận

Những nghiên cứu khoa học luận lịch sử của khái niệm chứng minh đã dẫn tới các kết

luận thú vị vẻ mặt sự pham Chúng là cơ sở cho việc hình thành các ý tưởng, các giả thuyẾt và

quan điểm vé day học chứng minh

1, Nghiễn cứu trước cho thấy hai yếu tố chủ yếu tạo động cơ cho sự nảy sinh chứng minh

đó là :

- Mau thuẫn ndi tại của toán hoc (van để về tinh vô tl, vô ước, ) mà việc giải quyết nócho phép chứng minh xuất hiện như một công cụ giải quyết vấn đẻ “Madu thuẫn này tác độngtrong hệ thong các mệnh đề todn học, nd được sừ dụng để tạo ra cúc kết quà toán học” (Barbin,

1988).

- Máu thuẫn tác động trong hoạt đông xã hội dẫn tới như cầu thuyết phục người khác Trong trưởng hựp này chứng mình có cơ chế của một công cu hợp thức hóa trong một công đồng và lấy oghia của thuyết phục và làm rỡ.

Điều nay gợi nên ý tưởng về việc làm nảy sinh chứng minh trong hệ thống day học cốtính đến đồng thời hai yếu tố trên Như vậy, vấn để là tạo ra những tinh huống học tập trong

đó học sinh phải đổi diện với những mâu thuẫn toán học cần giải quyết (giải các bài toán) và

cả những máu thuẫn có tính xã hôi tao ra nhu cẩu và tính cẩn thiết tranh luận, biện lí hay giải

thích trong một công đồng nào đó (chẳng hạn giữa các nhóm học sinh).

2 Quan niệm chứng minh như là một loại kiểm chứng đặc biệt dẫn tới một định hướng tổ

chức day học chứng minh ở trường phổ thông qua hai giai đọan khác nhau :

12

- Giai đoạn "Tiền chứng minh" : Tổ chức cho hoc sinh thực hiện các kiểm chứng trong

những tình huống trong đó tinh cẩn thiết của việc hợp thức hóa một khẳng định xuất hiện mài

cách tự nhiên như là vấn để của học sinh chứ không như đòi hỏi của giáo viên.

Trong giai đoan đầu tiên này, nên quan niệm chứng minh để thuyết phục và lầm rõ Do

đó, nên dat học sinh vào những tinh huống trong đó họ phải đối diện với tính bap bênh, không

chấc nhắn của kết quả mà ho đạt được, họ phải có được nhụ cấu tạo ra các kiểm chứng nhắm

tới gat bè tinh bap bênh này và để giải thích thuyết phục người khác

- Giat đoạn học tập chứng minh : Bước chuyển vào chứng minh phải được thực hiện sao

cho chứng minh xuất hiện như là công cụ cẩn thiết để giải các bài toán Các bài toán này phảicho phép nảy sinh các mâu thuắn trong toán học, và chứng minh sẽ xuất hiện như phướng ấn

"chấp nhận được” cho việc giải quyết mâu thuẫn này Nói cách khác, việc đưa vàu chứng

minh dude tạo động cơ bởi tính cần thiết nội tại của toán học

3 Trong day học hiện nay, chứng minh bằng phản chứng thường được quan niệm là rấtkhó và phức tạp đối với học sinh Nhưng nghiên cứu lịch sử lại cho thấy dường như lọai chứng

minh này lai nảy xinh sớm nhất Vậy thì, rong hệ thống day học, cẩn dành một vị trí như thế

nào cho chứng phản chứng ? Việc day học chứng minh ở trường phổ thông có thể bất đầu từsuy luận phan chứng hay không ? Để trả lời cầu hỏi này cần tiến hành những nghiên cứu thực

nghiệm trên thực tế day học.

13

Chương 2

Một số xu hướng nghiên cứu

về day học chứng minh ở Việt Nam va Phap

A Nghiên cứu về chứng minh ở Cộng hòa Pháp

Những nghiên cứu về chứng minh trong day học toán ở Pháp đều xuất phát từ ghi nhận

về nhữag khó khăn và thất bại của đa số học sinh trong việc học tập chứng minh Chúng tôitrích đẫn một vài trong các ghi nhận này :

“Những khó khăn và chắn ndn mà nhiễu học sinh lớp 8 và cả những học sinh các lp sau

để hiểu được chứng minh là gì, làm chứng minh hay soạn thảo một ching minh như thế nào, trờ

thành nhitng rào cản lớn nhất và dai ddng nhất gây trở ngại cho dạy học toán hoc.” (R.Duval

và MA.Egret, 1989).

“Cdi tạo động cơ cho nghiên cửu các chiến luge day học mới của chúng tôi đó là ghỉ nhận

về thất bại tổng thể của học sinh lớp 8 khi thiết lập một chứng minh, nhất là trong hình hoc.”

(D.Gaud và J.P.Guichard, 1984).

Mặt khác, có rất nhiều công trình nghiên cứu về chứng minh ở Pháp cả vẻ phương diện

khoa học luận hay didacdque, Ở đây, chúng tôi chỉ phân tích một số công trình đai điện nhất

cho các khuynh hướng khai thác sâu vé mặt didactique Những nghiên cứu chủ yếu vẻ khoa

học luận đã được sử dung trong chương 1.

Al Gaud và Guichard

1, Gaud và Guichard (1984) : “Hoc tập chứng minh”

1 Quan điểm xuất phát

"Nghiên cứu của chúng tôi vê học tập chứng minh không dựa trên sự nhập môn vào suy

luận hay trên chứng minh như là công cụ kiếm chứng, mà chủ yếu là trên chứng minh vái tu

cách là diễn đạt một suy luận diễn dịch Vấn đề là dạy cho học sinh soạn thảo các chứng mình

ngắn (2 hay 3 bước suy luận), dạy cho đa số học sinh biết trả lời câu hải “Ching mình rằng ”,nghĩa là tạo ra những văn bản diễn dịch như giáo viên mong đợi [ ] Học tập này nhdm tới việchọc tập phương pháp : Suy tuận bằng điều kiện đủ qua việc lựa chọn các dữ kiện đã cho.”

Trên quan điểm : ay, nghiên cứu của các tác giả dựa trên những giả thuyết công việc sau

đây:

- Những suy luận “tinh tế hơn" (chứng minh bằng phản chứng, đối chứng ) khó có thể

đưa vào trong thời gian đầu, nên chỉ hạn chế vào chứng minh diễn dich

- Khó khăn của chứng minh thể hiện ít nhất ở hai cấp độ : Số bước suy luận sơ cấp và số

thông báo được vận dụng (định nghĩa, tiên để, định lí).

- Khó khăn của chứng minh thể hiện ở hai mặt : logigue và soan thao Do vay cần tách

rồi hai thời điểm ở mỗi cấp độ học tập

- Việc tìm kiếm chứng minh và soạn thảo chứng minh có nhữag khó khăn chuyên biệt.

l4

Do đó nên tách rời hai thời điểm này,

- Trong hình học lip 8 cái quan trọng là phương pháp, Các phương pháp này thay đổi

tầy theo loại hình học (hình học tổng hợp, hình học của các phép biến hình, hình học vectơ.

hình học giải tích), Do vậy, việc lựa chọn bài tập phải tùy thuộc vào phươag pháp vận dụng.

- Linh hội kl.át mềm và phương phap là tách rời từ cấp độ logic và trình hay.

- Học sinh học bằng cách làm, mà không phải bằng cách nhìn người khác làm Do đó cần

ưu tiên hoat đông giải các hài toán.

Như vay, các tác gid đã dựa ưên một quan niệm xem chứng minh như một nhiệm vụ đã

được thuật toán hóa, theo aghia là nó nhấn mạnh trên các thao tác logic bắt đầu từ một tập

hợp các thông háo 14 đo đó chứng minh 3à đối tượng của một su giảng day tường minh.

Từ đó các tác già Ja triển khai một chiến lược học tập chứng minh Chiến lược này tập

trung trên việc học tận các quy trình chứng mình mà không quan tâm đến nghĩa của chứng

minh Đặc hiết cố gắng làm rũ mặt hcuristiques

® Với moi khải niềm hay mỗi phương pháp, xác định một đanh sách các thông báo Đó

là những thông háo thường gap nhất trong khi giải các bai tap.

® Tìm các bài tập có sử dụng các thông báo nay,

3 Triển khai tình huống

3.1 Pha md đầu : Đó là pha cảm nhận công việc can giải quyết Nó có thể được cho dưới

nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn dưới dạng :

Các hoat đông gợi lên sư aghi ngờ và cho thấy rằng việc nhìn hình, việc đo đạc trên

hinh là khôag đủ để giải thích điều mà người ta nói Do đó, nó gơi ra nhu cầu phải trình

bảy các "lí do” và để làm điểu đó cẩn sử dụng các tính chất đã biết,

Các hoạt đồng lam rõ sứ van hành của các thông báo toán học đã biết bất đầu từ các

Puzzle (hình ghép! được HS tạo ra và xử dụng Từ đó đi vào các quy tắc của hoat động

chứng mình.

32 Pha 2: Một phiếu “Théng báo = bài tap” đầu tiền về một chủ để nào đó sẽ được phát cho

HS Phiếu này bao gốm các thông báo, các khái niệm mà học sinh đã biết hoặc một vài thông

báo mới dite đưa vào ma người ta công nhận là ding GV cũng lưu ý cho HS rằng những thông háo này là cong cụ xắn có đuy nhất cho phép trả lời cho các chu hỏi dat ra.

- Mỗi thông báo trong phiếu nói wen sẽ được phân tịch dưới góc db phương pháp : Nó cho

phép chứng mình cái gì ? Để chứng minh cẩn biết cái gì ? Điều này cho phép mỗi học sinh làm

các phiếu vẻ phương pháp giải Chẳng hạn :

15

Phiếu 1 ; Hình bình hành

Làm sao để chứng minh mới tứ giác là hình bình hành ?

Phương pháp l :

Phương pháp 2:

Những phiếu như vậy được làm trên giấy carton, sấp xếp theo thứ tự chữ cái được bổ

sung suốt nam và được sử dung để giải các bai tập

- HS giải các bài tap đã cho trong phiếu theo quy tình sẽ làm rõ trong mục 4

3.4 Pha 3 : Kiểm tra viết bao gồm hai hay ba hài tập tương tự như đã làm trong phiếu ở trên.

3.5 Chuyển qua phiếu khác hoặc kiểu hoạt động khác.

4 Quy trình giải bài tập (công việc của học sinh)

- Pha | : Đọc để bài, vẽ hình,

- Pha 2 : Lập danh sách các dữ kiện (giả thiết kết luận)

- Pha 3 : Tìm kiếm chứng minh

- Pha 4 : Soạn thảo chứng minh.

Phân tích chi tiết một số pha.

© Pha 3 (tim kiếm chứng minh) : Có thể thực hiện hoat động bằng lời, nhưng tốt nhất là

yêu cầu HS học sinh xây dựng các biểu 44 chứng minh như sau :

Mỗi học xinh chuẩn bị các phiếu bằng bìa cứng

Phiếu màu hình chữ nhật (chẳng hạn màu hồng, canh 4cm và 7cm) trêa đó sẽ ghi các

thông báo (định nghĩa, định lí, tính chất, tiền để )

Các phiếu màu tring kích thước tương tự dành để ghi từng dữ kiện đã cho (giả thiếU và

kết luận,

Trên bảng người ta đặt phiếu kết luận bến phải hay phía dưới và các phiếu di kiện ben

trái (hay phía trên) Bất đầu tử kết luận học sinh phải tìm các phiếu thông báo màu hồng chophép có được kết luận này Từ đó xây dung một biểu đỗ chứng minh,

Bước ! :

Giả thiết Kết luận

ABC vuông tại A

thông báo mau hồng trước phiếu kết luận Viết hai phiếu khác gắn như sau :

| oeA (} gidc vuông

ABCD là hình bình hành

Bước 3 : Tim trong phiếu nhan đề HÌNH BINH HANH nội dung : “làm sao để chứng minh một

tứ giác là hình bình hành” để chon phương pháp thích hợp nhất và làm tương tự như bước 2.

Từ đó có được một biểu đồ chứng minh tổng thể.

Bước 4 : Từ biểu đỗ tổ chức chứng minh trên, mỗi học sinh thực hiện soan thảo chứng minh.

Có thể làm việc tập thể, chẳng han với các bài tập chứng minh có trong phần lí thuyết.

II Gaud và Guichard (1988) : “Hình học ở lớp 8 - nhập môn vào chứng minh”

So với công trình nghiên cứu trước, công trình này thể hiên sự tiến triến trong quan niệm

của các tác giả về day học chứng minh Cụ thể hơn, những nghiên cứu khoa học luận lịch sử

chứng minh đã ảnh hưởng đến quan niệm của các tác giả về dạy học chứng minh Đặc biệt,

đưa vào nghiên cứu của Blacheff_ các Lác giả đã nhấn manh vấn để nghĩa của chứng minh

Đặc trưng của tiến trình mà các tác giả để nghị là như sau :

- Phân biệt giữa kiểm chứng và chứag minh Từ đó, xác định quy trình giang dạy chứng

minh phải trai qua bước học tập các kiểu kiểm chứng Sau đó chứng minh được định nghĩa như

là một kiểu kiểm chứng tuân thủ những quy tắc xác định.

- Tính đến sự cần thiết thực hiện các suy luận trên các đối tượng “li dng” Tức là quan

tâm tới mối quan hệ giữa suy luận và các đối tượng trên đó ta thực hiện các suy luận

- Phân biệt hai mặt của chứng minh : thuyết phục và giải thích Chứng minh để thuyết

phục liên quan tới một kết quả không thấy được agay là rõ ràng Như vậy, nó cho phép đi đến

? Nghĩa là các đối lượng hình học (khác với các đổi tượng vật li, như một hình về trên giấy).

17

kết luận một kết quả nào đó là đúng (kết quả đó có đúng không ?) Chứng minh để giải thích

gắn liền với kết quả mà học sinh thấy ruột cách rõ rang (Giải thích vì sao nó lại đúng ?).

Nghiên cứu của các tác giả thể hiện mong muốn tính đến đồng thời hai mặt :

- Mặt nghĩa của chứng mình : làm cho HS hiểu được vì sao phải chứng minh nhờ vào các

tình huống hợp thức héa® (chứng minh để thuyết phục, hay giải thích).

~ đặt kĩ thuật và thuật tof chứng minh.

A2 Balacheff (1988)

Bnlachetff (1982)

Trước hết tác giả chỉ rõ hai khiếm khuyết chủ yếu sau đây của thực tế đạy học về chứng

minh.

- Để day hoc chứng minh, thông thường người ta trình bày các chứng minh trước mắt học

sinh, sau đó yêu cầu họ làm tương tự Như vậy, bất chước là cách thức day học phổ biến nhất.

Trong tiến trình này, chứng minh không xuất hiện như một công cụ kiểm chứng, một phương

tiện hợp thức hóa, mà như một kiểu văn bản đặc biệt và người ta nhấn mạnh: trên cấu trúc của

nó.

- Các tình huống day học chứng minh đã tước đi ở học sinh trách nhiệm về “cái đúng”.

Thông thường các bài toán vé chứng mish đều được trình bay dưới dạng “Chứng minh rằng ”.

Nói cách khác, mệnh dé cần chứng minh luôn được khẳng định là đúng Vấn để còn lại đối với

học sinh là tìm ra mot chứng mỉah Hơn aữa, tiêu chuẩa đánh giá một chứng minh như thế nào

là tốt không được trình bày một cách rõ rằng, mà nó phụ thuộc chủ yếu vào mỗi giáo viên.

Trong ngữ cảnh này, chứng minh chỉ xuất hiện như một kiểu tu từ học chuyên biệt được đặc

trưng bởi hình thức ngôn ngữ và cấu trúc của nó

Balacheff viện dẫn phát biểu của một học sinh (trich lại từ Galbrait, 1979) để minh

chứng hậu quả của việc học tập wong những tình huống như trên :

"Chứng minh một cái gì dé trong toán học nghĩa là bạn đã biết làm như thế và diéu này chứng tỏ rằng bạn đã hiểu, rằng bạn là một học sinh giỏi về vấn dé nay.”

Theo Balacheff, để học xinh hiểu được nghĩa của chứng minh trước hết cẩn làm sao

cho chứng mình xuất hiện với học sinh như là một công cụ hiệu quả để thiết lập tính hợp thức

của một mệnh đề Đề làm diéu này, cắn khám phá và tính đến tính hợp lí (rationalité) mà

thoat tiên đã có ở học sinh, cần biết được tính hợp lí này hoat động ra sao, tiến ưiển thế nào.

Bắt đầu từ tính hợp lí này mà học sinh xây dựng nghĩa của chứng mình

Bước tiếp theo là xây dựng những tình huống cho phép chuyển giao cho học sinh tráchnhiêm về “cái ding”

Balacheff (1988)

Nội dung nay đã đước trình bay trong chương 1 Ở đây chỉ nhấn mạnh lại rằng nghiền

cứu của Balachcíf nhấn mạnh trên nghĩa của khái niệm chứng minh: Chứng minh được xemnhư là một công cụ hợp thúc hóa tong công đồng các nhà toán học (và do đó, trong day hoc

"Tink huống hợp thức hóa này khác với tinh huống hyp thức hóa đưa ta bởi C,Brơosseuu : Nó chỉ dẫn tới thấy

được tinh clin thiết của chứng minh, chứ không dẫn tới một chứng minh.

18

nó là công cụ hợp thức hóa trong công đồng học sinh).

A3 Duval và Egret (1989)

Các tác giả ghi nhận rằng, để giúp cho đại đa số học sinh vượt qua được những khó khăn

và chán nản trong học tap chứng minh, hiện có hai giải pháp the hiện trong một số nghiên cứu

là :

- Nhấn mạnh trên việc phát triển các kha năng suy luân : nhấn mạnh trẻn học tập một xổ

quy tình, trên thao tác các phép toán logique.

- Phát ưiển những tiến trình tư duy tự nhiên hơn như « biện li » (argumentation) — nó có

thể xuất hiện một cách tư phát trong các cuộc tranh luận hay nghiên cứu các + ấn dé mở, Như

vậy nó nhấn mạnh trên vice khám phá hoạt động nội tại trong một đối tượng.

Tuy nhiên các tác giá cùng phê bình rằng cả hai giải pháp này vẫn chưa đủ cho phép

học sinh di thẳng vào việc học tập chứng minh, Vì, theo họ, chứng minh là một hoạt động nhận

thức chuyên biệt và việc học tập nó không gần liên với tình huống tương tác xã hội, cũng

không lẻ thuộc vào hout đông khám phá nội tai trong một đối tượng Hơn nữa, sư khác biết giữa chứng minh và biện lí là rất lớn.

Họat động nhận thức tương ứng với chứng minh có hai đặc trưng chuyên biết so với các

hình thức suy luận khác (quy nap, biện lí giải thích, ) :

- Hoat động chứng minh cho phép nối khớp các thông báo theo cơ chế của các thông báo

mà không phải theo nghĩa thay nôi dung) của chúng.

- Hoat dong này tiến triển theo sự thay thế lần lượt các thông báo mà không phải theo

« đây chuyển » các thông háo.

Hai đặc trưng này xác định cấu trúc cơ bản của chứng minh và chứng minh được hiếu

như là một tổ chức điển dich các thông báo Rất thông thường các dấu nối (liên từ : vì do đó.

cho nén ) cho phép đánh dấu cơ chế của các thông báo Tuy nhiên, theo các tác giả chứng

mình xuẩt hiện như một dang vấn ban bao hàm trong đó tất cả các thông báo nhưng không thể

hiện sự tương dang ngữ nghĩa ma thường hay được đòi hỏi trong suy luân kiểu «biện li»

Trong một tổ chức điển dịch, dầy các thông báo được tạo ra bởi việc thiết lập một thông

báo mới hằng cách thay thể một số thông báo đã biết trước đó (giả thiết, kết luận của bước thay thế trước đó _).

Từ đó, cấu trúc của chứng minh được hình dung như một dây chuyển nhiều mất xích.

Mỗi mắt sich (một cung chuyển đổi hay một bước chứng minh - gọi là một đơn vị cơ sở của tổ

chức điền dịch) có cấu trúc ah sau :

Một hay nhiều đ$ểu

1

Thay thể Thông báo mới

19

khác nhau và cơ chế này thay đổi theo các bước chứng minh Chẳng hạn, trong hước này thông

báo có cơ chế của kết luận, nhưng ở bước sau nó lại có cơ chế tiền để, trong Goh huống khác

lai lấy cơ chế quy tắc thay thế (luận cứ) Các thong háo được nối khớp với nhau theo cơ chế và

độc lập với nội dung của thông háo

Từ đó, chứng minh là một day các mắt xích có cấu trúc tam nguyên, mà không phải nhị

nguyên như ta thường thấy, chẳng han dưới dang : xì AB = AC nên tam giác ABC cân tai A,

Trên cơ sở phan tích trên theo các tác giả để làm dé dàng cho việc học tap chứng minh,

cap giải quyết hai vấn để :

- Làm thế nao để học sinh ý thức về sự khác biệt giữa cơ chế và nghĩa của thông háo.

- Làm thế nào để học sinh ý thức được rằng chứng minh đựa tên thao tác thay thé (thao

tác gắn với tiến trình tính toán hơn là tiến trình « biến lí » trong tương tác xã hội) ?

Theo cấc tác giả cẩn để nghị học sinh giải quyết một kiểu nhiệm vụ cho phép ho nhân

ra và sử dụng được các thông báo theo cơ chế mà không phải theo nội dung của chúng

Để dat được mục dich này, giải pháp của các tác giả dựa trên 4 nguyên tắc sau :a) Làm rõ cấu trúc ngắm ẩn của tổ chức diễn dịch bằng cách xây dựng những graphc

những sơ đỗ mang lưới của các mệnh để.

b) Nối khớp hiểu diễn cấu ưrúc ngắm ẩn và ngôn ngữ tự nhiên

Việc xây dựng các graphe hay sơ để mạng lưới phư rên vẫn không đủ làm cho học sinh

ý thức vẻ tính độc đáo của tiến trình điển dịch so với « biện lí » Do vậy, cẩn thiết phải nối

khớp xây đựng những graphe hay sơ đổ này với sản phẩm ngôn ngữ.

c) Tách rời tuyệt đổi hai nhiệm vụ : Nhiệm vy chuyên biệt cho tiến trình chứng minh lànhiệm vu tổ chức (soan thảo) khi đã có tất cả các đữ liệu (uển đề kết luận quy the thay thế ).Còn ahiệm vụ thứ hai là Om kiếm chứng minh,

đ) Chỉ dành cho việc trình bày cấu trúc cơ sở một chức năng chuyển tiếp Tránh nguy cơ

làm cho việc hoc chứng minh chỉ còa quy vào việc học tập một số Graphe hay sơ đổ thể hiện

cấu trúc vơ sở của chứng mình Từ đó cần lưu ý về họat động xây dựng các ghaphe hay sơ đỗ :

- Chúng phải được chính HS xây dựng.

- Chúng phai là phương tiên khách quan hóa và phương tiện kiểm tra cái mà HS hiểu

hay văn bản mà họ tạo ra.

- Chúng phải được xem như là một sản phẩm cá nhân, không lấy điểm đánh pid Nó như

là môi bản nhán làm cơ sở cho chứng minh.

A4, Arsac, Chapiron, Colonna, Germain, Guichard và Mante (1992)

1 Mục đích nghiên cứu

Xây dung và đưa vào thực nghiệm các tình huống học tập nhằm hướng dẫn cho hoe sinhlớp 6 tiếp căn dn dẫn với suy luận diễn dich và chuẩn bị cho các em sau này hoc vẻ chứngmình ở lớp 8 Cu thể là giúp học sinh tinh hôi các quy tắc tranh luận toán học sau đây (đượcphát hiểu phù hợp với cấp độ lớp 6) :

-Mội phát biểu toán học hoặc đúng hoặc sai

- Một phản ví dụ là đủ để bác bỏ một phát biểu.

~ Trong toán học, để wanh luận người ta dựa ưên một xố tính chất hoặc định aghĩa đã

phát biểu r rang và được thừa nhận.

-Trong toán học, các ví dụ xác minh cho một phát biểu nào đó không đủ để chứng 16

20

ring phát biểu đó là đúng.

- Trong toán học, một sự xác nhận trén hình vẽ không đủ để khẳng định phát biểu là

đúng.

Nghiên cứu này sau đó đã được biên tắp thành một tác phẩm nhan để “Nhập môn suy

luận diễn địch ở trường trung học cơ sé" (Xem bản dịch của Đoàn Hữu Hải 1995) Mục đích

là giới thiêu cho giáo viên toán các ưrường THCS các tình huống học tap trêo, như là một tài

liêu tham khảo.

2 Quan điểm của cúc tác giả trong việc xây dựng và triển khai các tình huống

Về chứng minh :

se Phân biệt các khái niệm : Giải thích kiểm chứng chứng minh và suy luân, cũng như he

thững các kiểu kiểm chưng như cách hiểu cua Balacheff.

® Phân biệt hai chức nang của chứng mình :

- Chứng minh để thuyết phục : Nghĩa là đưa ra mot lí lẽ mà người đối thoại không thể

phé phán Chủ yếu là trả lời cho câu hỏi : Điều đó có đúng không ?

- Chứng minh để hiểu (lầm rô) Chủ yếu là tra lời câu hỏi : Vì sao điều đó đúng ?

Về học tập :

Dựa trên các giả thuyết về học tập sau đây có nguồn gốc từ thuyết kiến tạo.

® Trí tuệ của học sinh không bao gid trống rỗng.

s Việc lĩnh hôi kiến thức không theo kiểu xếp chồng mà cũng không theo kiểu tuyến tính

Từ đó với một khái niệm cho trước, chừng nào học sinh chưa shan thức được tính không đấy

đủ vẻ quan niệm của mình thì chúng sẽ giữ lại những quan niệm thiếu sót ấy Do đó, học tậpđược quan niệm như là sự làm mất đi các ý tưởng cũ, để thu được các ý tưởng mới

© Người học chỉ thực su hiểu được một khái niệm toán hoc khi nào họ cảm thấy cần khái

niệm đó để giải quyết vấn để của mình Cu thể trong trường hợp chứng minh, thì phép chứng

minh chỉ có ý nghĩa đối với học sinh nếu nó thể hiện như là một công cụ cẩn thiết dé kiểm

chứng.

® Những cuộc tranh luận giữa học sinh sẽ tạo thuận lợi cho việc lĩnh hội kiến thức của ho.

Những giả thuyết này dẫn tới việc tìm những tình huống học tận cho phép học sinh :

Sử dụng các kiến thức riéng của mình.

-_ Ý thức được sự khiểm khuyết của kiến thức ấy

-_ Linh hội được kiến thức mới thích vag tốt hơn với tình huống đất ra.

3 Đặc trưng của các tình huống đạy học đã được nghiên cứu và thực nghiệm

Trong hoạt động giải bài toán chính học xinh phải có rách nhiệm về những gi mà ho tạo

ra, chính họ phải quyết định vẻ tính đúng sai trong các quyết định của mình (có một sự ủy thác

tình huống).

Giáo viên không gợi ý vẻ phương pháp lẫn kết quả, không khẳng định hay bác bỏ các

21

kết quả ấy Chính học sinh sẽ ưanh luận về điểu đó Chỉ sau khi tranh luận đã kết thúc giáo

viên mới chỉ rõ lời giải nào, giải thích nào đã giữ lại là đúng hay sai.

© Tiến trình hoat động

-Pha ! : Nghiên cứu cá nhân.

Pha 2 : Làm việc theo nhóm để wo ra một áp phích giới thiệu kết quả hay ý kiến của nhóm,

với giải thích nhằm thuyết phục các nhóm khác về tính hợp thức của kết quả.

Pha 3 : Tranh luận vẻ các áp phích

Pha 4 : Tổng hợp các quy tắc ranh luận và tính không đẩy đủ của một vài kiểm chứng đã được

nêu lên trong pha 3.

s Một ví dụ minh họa về bài toán được chọn trong heat động :

Trong biểu thức nn — n + 11, nếu ta thay n bằng bất kì một số tự nhiên nào, phải chang

bao giờ cũng dat được một số cả ding hai ước số ?”

Mục tiêu chủ yếu của hoat động này là nhằm thể chế hóa các quy tắc kiểm chứng sau :

- Một phản ví dụ đủ để chứng minh một phát biểu toán học là sai.

- Các ví dụ, dd nhiều bao nhiêu cũng không đủ để chứng 16 rằng một phát biểu toán học

là đúng.

L.ưu ý : Nghiên cứu này đặt trong bối cảnh là việc giảng dạy các yếu tố tập hợp và logic

đã bị loai bỗ khỏi chương trình toán phổ thông ở Pháp.

AS Giorgiutti, Hilt, Houdebine, (1998)

1, Ghi nhận ban đầu và quan điểm xuất phat

Trước đây ñgười ta thường quan niệm rằng chứng minh là một cách viết tự nhiên của

toán hoc Như vậy một HS khi đã hiểu được vấn để thì không khó khăn gì để soan thao một

van bản toán học giải thích cho những ý tưởng của mình Từ đó trong chương ưình cầng như

trong đào tao giáo viên những kiến thức về soạn thảo các chứng minh không được để cập một

cách tường mình.

Trong những năm gắn đây, những nghiên cứu về học tập đã làm rõ Am quan trong của

việc đọc xà viết wong toán học cũng như wong các môn học khác Đặc biết trong thực tế

thưởng gặp ahững HS hiểu rất tết vấn để và suy luận nhưng lại không có khả nang soạn thảođược chứng minh Điều này minh chứng tính phức tạp của kiểu văn bản đặc trưng cho chứng

minh.

Từ đó, quan điểm xuất phát wong nghiên cứu của các tic giả là :

"Day học chẳng mình khóng chỉ là dạy học suy luận và học gidi một xố bài toán, đó cũng

là dạy học soạn thảo một số kiểu văn ban có cấu trác rất đặc biệt liên quan với các hoạt động

trên.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu chiến lược day học vé chứng minh thông qua việc hue đọc và học viết một

kiểu văn bản có cấu trúc đặc biệt Từ đó, đưa ra những phương tiện hành động cho phép mỗi

"Vai m= |1 thì số nay là 121 (có ba đức wy,

22

giáo viên tự chọn lựa chiến lước day học của mình.

3 Chiến lược đạy học về chứng minh

Thue hành trên các van bản toán học ngay từ lớp sấu.

Sử dung các công cv mới : Các phan mềm day học.

a) Thực hành trên các văn bản toán học ngay từ lớp 6, 7

Tân dung tất cả các cử hồi để học sinh nắm được cách doc và viết những văn bản toánhọc như : Ki giải bài toán chướng trình dựng hình để toán tường thuật vé công việc nghiên

ou,

© Bắt đầu từ các bài viết của học sinh :

- Hoat động “phiên dịch” : Chẳng hạn từ hai văn bản cùng mô tả việc dựng một hìnhnào đó (một văn ban của học sinh và một văn han của giáo viên) có thể tổ chức các họat đông

sau:

a) Lam rõ sự khác biệt giữa hai văn bản,

b) Cho một văn ban của HS mô tả việc dung một hình khác và yêu cầu HS viết lại theo mẫu văn bản của giáo viên (hoặc ngược lại).

- Bài tường thuật vê nghiên cửa :

TS chức cho học sinh viết những bài mô tả lai nghiên cứu của chúng Nghĩa là chính học

sinh phai mô tả bằng văn viết day những hoạt động mà các cm đã thực hiện trong nghiên cứu

việc giải các bài toán toán học.

Công việc này tất nhiên phải gắn liên với họat đông giải toán và rất thuận lợi cho việc tổ

chức học tap dưới hình thức "Tranh luận khoa học ”.

Trong kiểu họat động này việc đánh giá không nhấn mạnh trên kết quả nghiên cứu ma

trên tính rõ rang trong mô tả những khám phá của họ, những tiến trình và những lí lẽ mà họ đã

cu,

Vị du minh hoa (đã được thực nghiệm boi nhóm Montpclicr, 1992) :

“Hay kể lại bằng cách viết vào giấy những giai đoạn nghiên cửa khác nhau, những nhận

xẻ!, nhitng trợ giáp những quan tải mà em dd làm, và chúng đã giáp em tìm ra phương pháp

xidé hay fam cho em thay đổi phương pháp Sẽ rất tốt nếu em có thể giti lai giấy nháp, làm rô

thei gian tà cách 16 chức nghiên cứu.”

“Hay giải thích cho một bạn về lài giải mà em đã tim thấy lừm phải thuyết phạc ban về

lính chính xác của kết quà mà em dat được.”

Lisi ích của hoạt đồng này theo các tác giả là :

- Cho nhép khắc phục những chướng ngại vẻ xuạn thảo : tạo ra niềm tín ở họcsinh về khả năng soạn thao một văn bản, khắc phục được tình trang soạn thảo theo kiểubat chước mà không thực sự hiểu được lợi ích và ý nghĩa của soạn thảo này

- Cho phép giáo viên hiểu được khả năng phân tích, khả năng suy nghĩ về tình

huống của học sinh, khó khán của họ.

23

© Dùng những văn bản chuyên biệt :

Văn ban chứng minh đòi hỏi nhiều từ (nhất là các lên từ) thường được đùng khác với

cách ding trong một văn hin thông thường (đỉnh, đáy, cat nếu và chỉ nếu, ) Có thể cho HS

làm quen với việc dùng các từ này bằng các họat động, chẳng hạn hoạt động “BS sung các từ

hay com từ thích hợp vào khoảng chấm chấm" trong một văn bản “khuyết”.

© Lời giải bài toán :

Nói chung, cấu trúc lời giải một bai toán khác với cấu trúc của một chứng minh Soan

thảo lời giải bài toán thườag là trình bày một dãy các bước cho phép đạt được một kết quả và

làm rõ những công thức xin dụng Ngược lại, soạn thảo một chứng minh có mục dich làm rõ

cách mà một kết qua nàc #ó đã được nối khớp với những định tí, tính chất đã học Điều này

gây khó khăn cho việc he: tập chứng minh.

Để khắc phục, có th? để nghị HS soạn thảo những lời giải bài toán mà nó thể hiện như

một giải thích.

© Chương trình dun; hình :

Ba kiểu họat đông của học sinh có thể tính đến :

- Viết các vin bản mô tả một hình để sao cho người đọc để đàng đựng lại được

chơi, còn học sinh thì phả: đoán ra các quy thc này mới có thể thành công.

Các cuộc tranh luá» ưong lớp sẽ cho phép thay đổi quan niém sai 14m này, vì nó chophép mỗi học sinh trình bay quan điểm của mình, đối chứng với các quan điểm khác và thay

đổi quan điểm đó mà khôag phải do tuần theo mệnh lệnh của giáo viên.

© Tổ chức những heat động ngôn ngữ xung quanh “nguyén nhân”, “hệ quả” và các lượng

Jừ : Chẳng hạn :

- Cho một văn bản +a yêu cầu HS gạch chân màu đỏ các cụm từ chỉ nguyên nhắn gạch

chắn màu xanh các cụm tử chỉ hệ quả

- Cho một số câu thể hiện mối quan hệ nhân quả Yêu cầu HS viết lại câu đó bằng cách

dùng cum 1ừ “Bởi vi" nhưng không làm thay đổi nghĩa của câu

- Cho một sổ câu khẳng định Yêu cẩu HS sử dụng các từ "nếu", “thi” để ghép hai

khẳng định thành một cấu thé hiện một khẳng định đúng.

c) Dé cập chứng minh

@ Thời điểm dé cậa : ngay từ lớp 7.

@ Cách để cập chứag minh :

® Bắt đầu từ những chứng minh phức tap:

Tự tưởng : Người 1z không thể hiểu được một tư tưởng mới hất dav từ các ví dụ quá đơn

24

giản Những ví dụ đầu tiền phải đủ phức tạp và da dang để làm nổi rõ các thuộc tinh bản chất

và làm biến mất các thuộc tính bể ngoài không bản chất Can xây dựng nghĩa của chứng minh

tước khi xác định các quy tắc của nó Một chứng minh chỉ có nghĩa khi mà ưong chứng minh

sự nổi khớp các tính chất khác nhau được sử dụng không quá hiển nhiên Từ đó :

- Tránh tuyết đối các chứng minh mà chân lí của mênh để cẩn chứng minh quá rõ ràng

vé mặt trực giác như trong bài toán sau :

Cho hình ¡hang ABCD đáy AB và CD Trung điểm của AD là L Điểm J là hình

chiếu song song thea phương AB của 1 trên BC.

a) Chứng minh rằng 1J/DC/AB

b) Chứng minh rằng J là trung điểm cia BC

- Đưa vào những chứng minh dưa trên những kiến thức mà học sinh đã nắm rất vững

- Tránh những chứng minh chỉ có một bước suy luận.

- Cần chuẩn bi những tiến trình tổng thể : không chỉ bó hẹp vào những chứng minh cóthể tổ chức theo môi day tuyến tính các bước suy luận, cẩn tính đến cả những chứng minhbằng phản chứng

- Không thể chế héa quá sớm : không nên chỉ từ một số chứng minh đớn giản đã vôi thể

chế hóa mot số tư tưởng về chứng minh trước khi nấm được nghĩa thực sự của tư tưởng này.

Chẳng han việc thể chế hóa như :"ưong một bước chứng minh cân phải có một định lí, giả

thiết xà kết luận” chi on làm vào cuối lớp 8.

® Làm rõ giả !È:ết tcái đã cho)

Đây không phải là mục đích học tập nhưng rất cẩn thiết vì nó là điểm tựa cho chứng

mình.

Ngoài những cách thông thường nên dé nghị các họat động khác nhau Chẳng hạn các

hoạt dong sau đây.

CF cất nhau tai trung điểm của mỗi đường, Hon nữa AF và BC song song với nhau va AI’ = BC,

Do đó, Ala trang điểm của EV vì A, E và F thẳng hàng và AI = AM,

Từ vén baa trên hãy viết :

Rodi}: Giá xử C là một dường tròn tầm O, đườag kính AB và Ð là một điểm của đường

tro này xao cho AD= AO, Đường vuông góc với OD tại A cắt đường tròn C ở E Chứng minh

rằng OADE là một bình thoi,

Hài 2 : Giả xử C là một dường tròa tâm O, đường kính AB D và E là hai điểm của đường

tron này sao cho tứ giác OADE là một hình hình hành Chứng minh rằng OADE là môt hình

thoi.

25

Chitng minh } : | |.

® Trình bày chứng minh dước các hình thức “không văn ban” ; Sơ đô hình cây, bằng (gid

thiết kết luận, căn cứ, _ )

Chú ý hoat đông trong đó chính HS (hay nhóm HS) tự thiết lập các kiểu trình bay này.

d) Dạy học định lí

® Đọc và viết định lí :

- Tranh luận trên phát biểu của định If.

- Đưa vào định lí theo tiến tình : Phỏng đoán > Định lí

- Họat động “Tim định lí bị mất” Chẳng hạn họat động sau :

Sau đây là một phần của một chứng minh ong đó định lí (nh cha) hay định nghĩa được sử dụng đã bị xóa mãi,

“Ta biết rằng EFGH là một hình bình hank và Góc H vuông Do đó EPGH là hình chữ

e) Đảm bảo tính tự do trong sọan thảo chứng minh

Tính tư đo trong soan thảo văn ban là một trong các động cơ của việc học tập san thảo.

Chứng minh cũng nim trong trường hợp này Các văn bản chứng minh phải thật đa dạngnhưng chặt chẽ Không nên gò vào những khuôn mẫu chứng minh có sến và cần tránh ba tưtưởng sai lắm sau :

- Chứng minh phải được viết theo thứ tự (chẳng han đi từ giả thiết đếa kết luận)

- Sự đa dạng của các từ nối (liên từ) làm cho việc đọc chứng minh khó khăn hơn.

- Những văn ban "thuần khiết" thì dễ soan thảo và dễ đọc

B Nghiên cứu về chứng minh ở Việt Nam

Nhìn chung, ở Việt Nam, rất hiếm những công trình nghiên cứu chuyên biệt về dạy học

chứng minh Hơn nữa, không có một công trình nào để cập đến mặt khoa học luận của đối

lượng này ,

V1 thế, trước hết chúng tôi bude phải xem xét chứng minh chủ yếu trong các giáo ưình PPDH toán THCS hay THPT, Trong trường hợp này « chứng mình » không xuất hiện như một đối tượng nghiên cứu trung tim, ma chỉ xuất hiện như một bộ phận cấu thành nềa nội dung của

chương « Những tình huống điển hình trong dạy học môn toán », cụ thể hơn là trong phần dạyhọc định lí toán học Tuy nhiên, chúng tôi chỉ han chế trong cuốn sách “Phuong pháp dạy họcmôn toán” của Nguyễn Bá Kim (2002) vì nó phan ánh gan như đầy đủ tư tường của các cuốn

sách khác về cùng chủ dé chứng minh.

26

B1 Nguyễn Bá Kim (2002)

Theo tác giả, để tao điều kiện cho việc phát triển ở học sinh năng lực chứng minh cần

quán triệt ngây từ những hước ban đấu dạy học chứng minh (nghĩa là từ THCS) các tư tưởng

chủ dao sau day :

4) Goi đông cứ chứng mình.

bì Tập luyện cho học sinh những hoat đông thành phần trong chứng minh

¢) Hướng dẫn cho học sinh những tri thức phương pháp trong chứng minh

d) Phân bắc chứng minh.

Với các tư tưởng chủ đao a, b và d thì giai đoan quan wong nhấn can quán triệt l4 cấp

THCS, còn THPT là nơi để cùng cố và hoàn thiện.

a) Gợi động cơ chứng minh

Lam cho học sinh thấy được su cắn thiết phải chứng minh một mệnh dé toán hoc, nghĩa

là gơi nhu cầu nhận thức Điều này cho phép phát huy tính tích cực tư giác học tập của học

xinh.

« Y tưởng + ở phương pháp : Làm cho học sinh ý thức được rằng việc kiểm nghiệm những

ví dụ riêng lẻ về nguyên tắc không đủ để chứng minh một mệnh để khái quát (đoạn trích của

tác giả từ tư tưởng của Walsch 1975).

¢ Biên pháp : Dùng hình về, các ví du thực tế để cho học sinh thấy hạn chế của thirnghiêm Tuy nhiên tác giả không làm rõ việc tổ chức họat động này ra sao

Qua doc giáo trình, chúng tôi hình dung chính giáo viên là người chịu trách nhiệm chỉ ra

những khiểm khuyết đó cho học sinh, từ đó « gợi động cơ chứng minh ».

Ilein nữa, việc dùng hìah tao ra một mâu thuẫn, như Barbin (1988) đã viết : « Giáo viên

day how xinh cần nghĩ ngờ vào những kết quả đạt được tit hình về trong một vài trường hợp đặcbiệt, nhưng chính giáo viên lại dựa trên sự nghỉ ngờ này để làm che học sinh Ý thức được về tínhcần thiết của chứng mình, Diễu gì sé xẩy ra néu học sink nghỉ ngờ về chừng minh được làm trên

một bình đặc biệt những được giả sit tà hình nào đó ? ».

bị Tập luyện cho học sinh những: họat động thành phần trong chứng minh

© Ý tưởng :

- Tập luyện các hoat đông trí tuệ chung : Phản tích, tổng hợp, so sánh, trữu tượng

hóa khát quát hóa

-Tập luyện những quy tắc kết luận logic thường đùng những không được trình

bay tưởng minh.

¢ Biện pháp : Nhấn mạnh ngắm ẩn các quy tấc kết luận logic qua các ví dụ cụ thé, để

học xinh lĩnh hỏi mệt cách rõ ràng (Như vay chúng tôi nghĩ, đó cũng là công việc của giáo

viên).

€) Hướng dẫn cho học sinh những tri thức phương phúp trong chứng minh

Tri thức phướng pháp trong chứng: minh :

- Trí thức về các quy tắc kết luận logic Biến pháp : Tập luyện những hoat động

an khớp với những guy lắc đó.

“Tri thức phương pháp luân và chứng minh : suy ngược, xuy xuôi, quy nạp toán

học, chứng minh bằng phan chứng Biên pháp : Thông báo phương pháp ở những cơ hôi

thích hợp.

21

-Tri thức vẻ chiến lược giải toán chứng mich có tính chất tim đoán Biện pháp :

tập luyện những họat đông ăn khớp với trị thức đó.

d) Phân bậc chứng minh,

- Hiểu chứng minh

- Trình bày lai được chứng minh.

- Độc lập tiến hành chứng minh.

Như vay, chúng tôi hiểu tư tưởng học tập về chứng minh ở đây là học tận bằng bất chước

: Trước hết học sinh phải hiểu được chứng minh và trình bay được lời giải sau đó mới tự mình

thực hiện một chứng minh.

B2 Nguyễn Văn Lộc (1996)

1 Tư tưởng chủ đạo : Thể hiện rd nét trong tên cuốn sách của tác giả “Rèn luyện kĩ năng lập

luận có căn cứ cho hoc sink THCS thông qua day hình học `.

Theo tác giả, quá trình day học suy luận và chứng minh trong hình học có thể chia ranhiều cấp đô như sau :

s Lớp 6 : Chuyển tiếp từ học bằng quan sát, thực nghiệm ở tiểu học sang tiếp thu kiến

thức bằng suy diễn ở THCS

Ý tưởng :

- Giai đoan 1 : Kế thừa wi thức trực quan ở Tiểu học

- Giai đoan 2 : Tạo cơ sở cho suy diễn chặt chẽ ở lớp 7

Biện pháp :

Với giai đoạn 1, sử dụng các hình thức câu hỏi và bài tập thực hiện vai trò chuyển tiếp

như :

Bài tập diễn đạt bằng lời, dưới hình thức các khẳng định có một trong hai tính chất

đúng hoặc sai về các quan hệ cho trên hình vẽ.

Bài tập phân loai tình huống hằng hình vẽ của cách điển đạt bằng lời.

Với giai đoạn 2,

© Lớp 7 : rèn luyện kĩ năng suy luân diễn địch

2 Hai giai đoạn hình thành kĩ năng lập luận có căn cứ qua dạy hình học lớp 6 -7

© Giai đoan | - Chuẩn bj tiền dé “vat chất” : Dạy học xinh nắm vững các khái niệm và

tính chất hình hục bằng cách bồi dưỡng các kĩ năng phân tích cấu trúc logic của chúng.

s Giai đoan 2 “Thực su day lap luận có căn cứ :

Day sử dụng các tiên dé vật chất đã chuẩn bị vào thực hành vận dụng kiến thức, bằngcách hổi đường các kĩ năng suy luận van dụng khái niêm, tính chất và kĩ năng giải toán tổng

hop.

Biện pháp : Xây dựng và xử dung cầu hỏi bài tập ứng với mỗi kĩ năng.

3 Quy trình hình thành kĩ năng lập luận có căn cứ

© fu tưởng chỉ dao:

4) HS phải biết lập luận có căn cứ để học hình học, đồng thai HS học hình học để có

những kĩ năng này.

25

b) Hình thành ki năng này trên cơ sở khai thác đúng mức nội dung chương trình sách giáo

khoa Hình học, phù hợp tâm lí lứa tuổi làm nổi bật những căn cứ của suy luận

c) Hình thành ki nang trên cơ sở luyện tập từng mau quy tắc suy loần khi học Ìí thuyết

cũng như khi văn dụng kiến thức.

d) Hình thành kĩ năng chủ yếu bằng cách xây dung và sử dung hè thống câu hỏi và bai

tập thích hợp.

© Hình thức tổ chức day học :

Bước 1 : GV tổ chức cho HS cả lớp làm chung bài mẫu hoặc doc phân tích, nắm + ửas

cấu trúc bài giải mẫu

Bước 2 : HS tự làm các bài luyén tập theo mẫu, sau khi HS làm xong, GV thu các bàilàm của HS

Bước 3 : GV tổ chức cho cả lớp thảo luận để đưa ra lời giải đúng của các hài tắp mà học

xinh đã làm.

C Kết luận chương 2

Việc phân tích, tổng hợp các nghiên cứu về chứng minh ở trên đã cung cấp nhiều thông

tin và ý tưởng quý giá về dạy học chứng minh, gợi ra những công đoạn và hoạt động liên quan rất thú vị Đặc biết nõ cho phép làm rõ hai quan điểm suf pham chủ yếu sau đây về day học

chứng minh ở trường phổ thong thể hiện qua các công trình nghiên cứu này.

1.Ở Pháp

Quan điểm tập trung trên logic và thuật toán

Quao điểm này thể hiện trong các công trình của Gaud và Guichard (1984) Duy al và

Egret (1989) hay Giorgiutti (1998)

Theo khuynh hướng nay, chứng mịnh xuất hiện như một đối tượag được thuật toán hóa,

theo nghĩa nhấn manh vào thao tác logic trén tập hợp các thông báo, wén tính độc lập của hình

thức so với nội dung các mệnh dé, wEn mat kĩ thuật chứng minh Nó ít quan tâm đến nghĩa của

chứng minh với tư cách là một công cụ hợp thức hóa.

Từ đó, người ta coi trọng việc học tân soan thảo các văn bản chứng minh và học phươớng nhấp chứng minh.

Tư tưởng tăng cường các chứng minh mẫu, những cách trình bày mau (đi từ giả thiết đến

kết luận, học dùng “nếu thì ) hay coi trọng việc thiết lập các sơ đồ mạng lưới các phaphc

chứng minh cũng nhắm tới hai mục đích học tập này.

Trong quan điểm này lại có hai tư tưởng trái ngược nhau khi dé cập chứng minh

Chẳng han, Giorgiutti (1998) khuyên để cập chứng minh bắt đẫu từ những ví du phức tap

và đa dang (nghia là chứng minh bao gốm nhiều hước suy luân), tránh những chứng minh chi

có một bước suy luận Không bắt đấu từ các ví dụ trong đó chân lí của mệnh để cần chứng

minh quá rõ rang vẻ mặt trực giác.

Ngược lại, Gaud vaf Guichard (1984) thì lại muốn bắt đấu hằng việc dạy cho học xinh

soạn thảo những chứng minh ngắn (2 hay 3 bước suy luân).

Quan điểm nhấn mạnh đặc trưng khoa học luận của chứng minhĐối lap với khuynh hướng trên, khuynh hướng ưu tiên mat khoa bọc luận của chứng

29

minh lại nhấn manh trên nội dung của các tình huống toắn hoc trên việc xây dựng “nghĩa”

Quan điểm này cũng nhấn manh ưên đặc trưng "ương tác xã hội” của chứng mình.

Điểm manh của nó thể hiện ở các mal :

- Cho nhép chứng, minh lấy nghĩa như là một công cu hep thức hóa.

- Cơ hội nhấn mạnh trên vai trò trung tâm của HS, trên hoat động của HS : HS được đặt

trong những tình huống cho phép suy luận nảy sinh một cách tự phát nhỡ vào những mâu thuẫnnay sinh trong quá trình tướng tác Mau thuẫn này là đông cử cho các tranh luần những giải

thích của chính HS.

Quan điểm trên thể hiện rõ trong công trình của Ballacheff (1988), Arsac (1995).

2 Ở Việt Nam

Vì không có một aphiên cứu khoa học luận nào về chứng minh cho nên các nghiên cứu

về dạy học chứng minh ở trường phổ thông hấu như không tinh đến một đặc trưng khoa học luận nào của đối lượng này Do đó, quan điểm chủ yếu vẫn là tập trung trên logic và thuật

toán, mà không tính đến việc xây đựng nghĩa cho khái niễm chứng minh, Hơn nữa việc học

chứng minh chủ yếu được tiến hành theo kiểu bất chước,

Trong cả hai nước, da xố các nghiên cứu đều chú trọng đặc biệt đến giai đoạn khởi đầu

va học tập chứng minh ở bắc THCS Điều này minh chứng khó khăn của bước chuyển từ tiếpcán hình học hằng quan sat thực nghiệm sang tiếp cân hình học bang suy luân diễn dịch và do

đó, khó khăn của dạy học chứng mình - hiểu tượng của cách tiếp cận thứ hai này,

30

Chương 3

Chứng minh trong chương trình va sách giáo khoa

THCS Việt Nam

Mở đầu

Tương tự như những nghiên cứu ở Pháp, ở đáy chúng tôi quan tâm đặc biệt đến giai đoạn

khởi dau của việc học tập suy luận và chứng minh Đó chính là giai đoạn chuyển tiếp giữa hai cách tiếp cận hình học : Hình học quy nạp — thực nghiệm và Hình học suy diễn” Theo tuyển

thống chương trình hình học ở lớp 6 và lớp 7 luôn là chương trình thể hiện sự chuyển tiếp này.

Kết quả trong chương 3 chủ yếu được rút ra tờ các nghiên cứu sau đây

e Lê Văn Tiến (2002) Quan điểm « thực nghiệm » trong day học toán ở trường phổ thông

Tạp chỉ khoa hoc, ĐHSP tp HCM Tập 30 số 2.

« Lê Van Tiến (2002) Chương trình và sách giáo khoa Toán đang thí điểm hiện nay ởtrường THCS, nhìn từ quan điểm « thực nghiệm » trong Toán học 8áo cáo tai hội nghị Toán học

toàn quốc lan thứ 6, tổ chức tại Huế.

s Lê Văn Tiến, Trấn Thị Tuyết Dung (2004) Suy luận và chứng minh trong day học

toán ở trường THCS Tạp chi khoa học -Ttrường DHSP tp.HCM Tập 36, số 2.

© Tran Thị Thanh Hương (2002) Nghiên cau mới liên hệ giữa kiến thức về chitng minh

trong hình học được giảng day cho sinh viên Cao đẳng su phạm và cho học sinh Trung học cơ

sd Luận văn Thạc sĩ Didactic toán Người hướng dẫn : Lé Văn Tiến

¢ Trần Thị Tuyết Dung (2002) Nghiên cứu didactique bước chuyển từ Hình học “quansát - thực nghiệm” sang Hình học “say diễn", Luận văn Thạc sĩ Didactic toán Người hướngdẫn : Lê Văn Tiến và Đoàn Hữu Hải

Người đọc có thể tham khảo nghiên cứu chỉ tiết trong các tài liệu trên, Ở đây, chúng tôi

chỉ trình bay những kết quả chính của việc phan tích chương trình (CT), sách giáo khoa (SGK)

A Chương trình và sách giáo khoa Hình học 7 giai đoạn 1990 - 2000

1, Hình học được xây dựng chat chế theo phướng pháp tiên dé Đối tượag Suy luận và chứng

minh chiếm một vị trí quan trong trong chương trình Hình học lớp 7.

2 Những kiến thức liên quan tới đối tượng này được thiết lập qua hai giai đoạn nối tiếp nhau ;

giai đoan ngẫm ẩn và giai đoan tường minh.

® Trong giai đoạn ngdm ẩn (trước khi đứa vào các khái niệm Định lí và Chứng minh) :

Các thuật ngữ Suy luận Lập luận và Chứng minh không được đưa vào, nhưng ngay từ bài học

đấu tiéa của SGK Hình học 7 những suy luda dién dich phức tạp (từ 6 bước suy luận trở lêa)

da hiện diện trong lời giải của tất cả các bài toán được đưa vào trong phẩn lí thuyết Yêu cầu suy luận thể hiện chủ yếu qua biểu tượng “giải thích vì sao ?”.

® Trong giai đoạn tường minh (từ khi đưa vào các khái niệm Định lí và Chitng minh),

các khái niệm Định lí Chứng minh, Lập luận và Suy luận được trình bay rõ rằng với một vài

mô tả và nid hình “chứng mình mẫu”, Từ nay yêu cầu suy luận và chứng minh xuất hiện chủ yếu qua biểu tượng "Chứng minh rằng ” Dang bài tập "đóng" : "Chứng minh rằng " chiếm

vị tri quan trọng nhất trong SGK.

3 Có một sự cách biệt giữa CT, SGV với SGK Chẳng hạn, trong khi CT đòi hỏi :

“Sách giáo khoa Hình học 7 chỉnh lí cá ý thức dẫn dất học sinh từng bước đi vào suy luân hình học từ dda giản đến phức tạp, mặc dò ở giat đoạn đầu lớp 7, vẫn dành cho “trực giác” mút v{ trí cần thiết trong nhân thức hình hoc.”

va SGV yêu cầu rèn luyện k$ năng suy luận và chứng minh theo lược đổ:

« Giải thích vì sao? —» Chứng minh rằng

© Môi hước suy luận — Một day vài ba suy luận

Tap lap luậa theo mẫu ~> Ý thức về lập luận

thì trong SGK, nhiều suy luận khá phức tap (chứa từ 6 bước suy luận trở lên) đã xuất hiện ngay

từ những bài học đầu tiền Hơn nữa, vai trò của trực giác rất hạn chế Có chang nó chỉ giới han

trong việc về và quan xát các hình hình học.

Đặc biết, không có một tình huống não cho phép ndi khớp giữa Hình hoc quan sát thực

nghiệm (mà học sinh đã làm quen trước lớp 7) với Hình học suy diễn ở lớp này

Bài học hình học đấu tiên ở lớp 7 đánh dau một sư ngất quãng đột agôt của hdp đồng

didactic wong việc học tập hình học Trước day, người ta có quyền rút ra những kết quả từ ghi

nhân thực nghiệm, còn từ bay giờ việc này “bị cấm” ; kết quả đạt được chỉ hợp pháp khi nó

được rút ra bằng suy luận

Như vậy, thể chế không cho học sinh những cơ hội thay đối cách đặt vấn để về hoc tập

hình học.

4 Việc rèn luyện cách lập luận, cách chứng minh chủ yếu được tiến hành theo kiểu “phô bay” (par osIcasion) Cả CT và SGV đều khuyên tăng cường các bài toán mẫu các lập luận và

chứng minh mẫu SGK đã tên trọng tư tưởng chỉ đạo này Như vậy, qua các “mẫu” này thể chế

hy vọng học sinh có thể học được cách suy luận và chứng minh theo kiểu “bat chide”,

Những phân tích trên cho phép đặt ra một vài câu hỏi, mà theo chúng tôi, rất cẩn thiết

được trả lời :

- Học sinh lớn 7, thậm chí lớp 8 và lớp 9, có ứng xử như thế nào trước những kết quả hình

học đạt được từ ghi nhận thực nghiệm như các cm đã từng gặp trước lớp 7 ?

Kiểu học bằng bất chước như thể chế mong muốn có đủ để học sinh hiểu được thế nào là

chứng minh ? như thế nào là soạn thảo một chứng minh? Quan niệm nào mà học sinh (lớp

1, 8 và 9) có được về suy luận và chứng minh ?

- Làm thế nào xây dựng những tình huống cho phép thực hiện sự nối khớp Hình học quan sắt

- thực nghiệm và Hình học suy diễn ? Những tình huống sào cho phép học sinh thay đổicách đặt vấn để về học tập hai loại hình học này ?

- _ Việc đào tạo ở trường CĐSP có tính đến những đặc trưng nêu trên của mối quan hệ với đối

tượng Suy luận và chứng minh trong thể chế dạy học ở lớp 7 trường THCS ?

B Chương trình và Sách giáo khoa thí điểm Hình học 7 (2001-2002)

1, Quan điểm tiên để trong xây dựng hình học đã bị loại bd (ít nhất trong CT) Giảm nhẹ lí

thuyết, tăng cường thực hành Coi trong vai trò của quy nap, thực nghiệm Vị trí của suy luận

và chứng minh bị thu hẹp ở cấp độ lớp 7 Chính xác hơn, suy luận và chứng minh chủ yếu bị

đẩy lên lớp 8 và lớp 9.

2 Đã xuất hiện các hoạt động góp phan thực hiện bước chuyển từ Hình hoc quan sát sangHình học suy diễn và cho phép tiếp cận suy luận Chẳng hạn :

Hoạt động thực nghiệm Dae biệt là hoạt động adi khớp Thực nghiệm / Lí thuyết

- Hoạtđộng “Tập suy luận”.

Hoạt động ngôn ngữ trên các mệnh để toán học : làm quen với cách diễn đạt “Nếu thì "; diễn đạt bằng lời các mênh để; làm quen không tường minh định 1í thuận, định 1í đảo; sử

dung kí hiệu;

3 Quan điểm thực nghiệm” đã được vận đụng trong CT và SGK mới Cụ thể, một số bài học đã

được tổ chức theo tiến trình gốm các bước sau đây :

- Do đạc, gấp hình, quan sát trên các đối tương cụ thé,

- Dự đoán.

- Nghiền cứu lí thuyết : suy luận để hợp thức hoá dự đoán

Lân đấu tiên CT và SGK mới đưa vào pha “Du doda” Pha này đóng một vai trò đặcbiệt cho phép nối khớp giữa hai thời điểm : thời điểm nghiên cứu thực nghiệm (đo đạc, gấp

hình, quan sát ) và thời điểm nghiên cứu lí thuyết, và do vậy góp phản thực hiện bước

chuyển từ Hình học quan sát sang Hình học suy diễn Nó tạo thuận lợi cho học sinh ý thức

được rằng : kết quả đạt được bằng ghi nhận thực nghiệm chì có cơ chế phỏng đoán, nghĩa là có

* Xem nghiên cứu bổ sung trong phẩn C.

‘ 33

thể đúng hoặc sai, và như vây got ca như cấu phải suy luận, chứng minh để hợp thức hoá kết

quả dự đoán Nó cho phép thoát khỏi rang buộc của hap đồng cũ trong việc học tập hình học

trước lớp 7 ràng buộc thee đó hee sinh có quyển đạt được một kết quả lí thuyết nhờ vào ghi

nhận thực nghiệm (từ đo đạc quan sát hình vẽ ),

Tuy nhiên, vị trí của nha dự đoán trong SGK quá khiêm tốn Ít hoạt đông đưa vio pha

này Hoạt động nối khớp Thue nghiệm / Li thuyết chỉ có vị wi rất mỡ nhạt Da số hoạt dong

được tố chức theo quy tình : nghiéa cứu thực aghiệm, nêu kết quả lí thuyết sau đó được côngnhận hay chứng minh, không có pha phòng đoán Hoạt động lập suy luận chủ yếu là tập trungvào việc giải thích, chứng minh một tính chất toán hoc hay mốt định lí đã được khẳng định

trước đó Nghĩa là, các tính chat định lí aay không có đặc trưng của mệt phỏng đoán, vì tính

đúng đắn của nó đã được khẳng định ngay từ đầu

© Mở rông qua SGK Hình học 8, chúng tôi cũng ghi nhận vẻ sự lạm dung tư tưởng

« thực nghiệm » ;

Để thay cõ điểu này trước hết cắn nhấc lại rằng : việc adi khớp hai thời điểm « Thực

nghiệm » và « Nghiên cứu lí thuyết » đóng vai trò mấu chốt, quyết định sự thành công của hoạt đông toán học, Chính việc nghién cứu If thuyết cho phép hợp thức hoá kết quả đạt được từ

ghi nhận thực nghiệm (hợp thức hoá dự đoán) Còn nếu dùng một thực nghiệm khác để kiểm

tra kết quả này thì chỉ có tác dung củng cố hay hác bỏ đự đoán đó Hơn nữa, mục đích của

chúng ta là làm cho học sinh ý thức được tính thích đáng của các kết quả đạt được bằng suy

luận và tính « bất hợn pháp » của kết quả rút ra chỉ từ ghi nhận thực nghiệm Tuy nhiên.

nguyên tắc và mục đích này bị vì phạm khá nhiều wong SGK Hình học 8.

Chẳng han, nồi dung bài tap Ì0 (trang 66) là :

« Cho tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ô vuông (h.21) Quan sát đoán nhận xem

các tứ giác đó là hình gì sau đó dáng thước và êke để kiểm tra lại dự đoán đó »

Còn trong phần mờ đầu bai « Hình chữ nhật » (rang 92), SGK viet:

« Với một chiếc êke, ta có thể nhận biết được một tứ giác là hình chữ nhật Với một

chiếc compa, ta cũng có thể làm được điều đó ».

Mac dù đổi với các tác giả sách giáo khoa, cụm từ «kiém tra lại dự đoán » có thể không

đồng nghĩa với « chứng minh tính đúng đắn của dự đoán » Nhung, đứng ưước những tình

huống như trên, học sinh lớp 8 có thể hiểu : họ có quyển rút ra một khẳng định toán học chỉ

nhờ vào ghi nhận các kết quả đạt được từ thực aghiệm đo đạc !

Ta có thể thấy sự lam dung này thể hiện trong nhiều hai tập khác như : bai tập 7 trang

65, bài tận 10 trang 66, bài Lap 24 trang 75, bài tập 48 Wang 84

Tám lại, việc van dung quan điểm thực nghiệm trong SGK thí diém còn nu vời, chứa triệt

đề.

4 Hầu hết các hoạt động góp phan thực hiện bước chuyển từ Hình học quan sát sang Hình học

suy diễn và cho phép tiếp cận suy luận, chứng minh như đã nều ở trên không được mô tả một

cách rõ rằng, nhất là hoạt dong ngôn ngữ trên các mệnh để toán học (làm quen với cách diễn

34

đạt “Nếu thì.,.”; diễn đạt bằng lời các mệnh để; làm quen không tường minh định lí thuận,

định lí đảo; sử dụng kí hiểu).

Han nữa, các hoạt đông ngôn ngữ này chiếm một ví trị rất mờ nhạt trong xách giáo khoa.

5 Hoạt động chiểm vị trí quan trọng nhất vẫn là hoạt đồng chứng minh, xuất hiện sau khi đưa

vào các khái niệm Định lí và chứng minh,

Tiếp cận một chứng minh được thực hiện qua các giai đoạn : tập suy luận: đưa vào khái niệm

chứng minh; học trình bay một chứng minh qua các bài tập dang : "Điển vào chỗ trống” sắp

Xếp các mệnh dé theo mot trật tư hợp lí, phát hiện các khẳng định va những căn cứ của khẳng

định trong một chứng minh.

Những kết qua đạt được từ phân tích CT và SGK về đối tượng “suy luận và chứngminh”, dẫn chúng tỏi đến việc dat ra một xố câu hỏi sau đây :

Phải chăng những hoạt đông chuyển tiếp mà chúng tôi đã làm rõ ở trên là đủ cho phép học

xinh ý thức đưc rằng : từ nay một kết quả đạt được từ ghi nhận thực nghiệm chi có cơ chếcủa một phdng đoán ? và rằng : chỉ có thể khẳng định được tính đúng đấn của kết quả này

nhờ vào suy luận chứng minh ?

- Giáo viên có ý thức được bước chuyển từ Hình học quan sát - thực nghiệm sang Hình học

suy điễn không ? nếu có, họ thực hiện bước chuyển này như thế nào ? Họ đã làm thế nào

để học sinh ý thức được rằng : từ nay một kết quả đạt được từ ghi nhận thực nghiệm chỉ có

cơ chế của một phỏng đoán ? và rằng : chỉ có thể khẳng định được tính đúng đắn cba kết

quả này nhờ vào suy luận chứng minh ? Họ có tính đến những hoạt động mà chúng tôi đã

làm rõ ở trên không ?

C Quan điểm thực nghiệm trong SGK thí điểm (Một nghiên cứu bổ sung)

Để làm rõ hơn những phân tích trong phần B, chúng tôi bổ sung một nghiên cứu của Lé

Văn Tiến (2002) Nghiên cứu này đã được báo cáo tại hội nghị Toán học toàn quốc lan thứ 6

tổ chức tại Huế năm 2002 và đã được đăng trong tạp chí khoa học của trường ĐHSP tp.HCMtập 30 số 2 năm 2002 Một xố nôi dung đã được trình bày trong phản B Tuy nhién, để dim

bao tính logic, tính hệ thống va tiện cho việc theo đối chúng tôi trình bày nguyên văn báo cáo,

mà không cất xén nòi dung nào.

Chung trình và sách giáo khoa Toán đang thí điểm hiện nay

Ở trường THCS, nhìn tif quan điểm « thực nghiệm » trong toán học

Chắc chắn nhiêu người (đác biệt nhiều nhà toán học) sẽ ngạc nhiên rước quan niệm cho

rằng Toán học là một khoa học thực nghiệm Mặc đò không phủ nhân nguồn gốc thực nghiệm

của Toán học, nhưng với họ Toán học luôn là một khoa học suy diến,

Trong phạm vi bài này tôi không có ý định trình bày những quan điểm khác nhau trước

câu hòi « Thực nghiệm có nhái là một đặc trưng cơ bản của Toán học hay không ? » hay phân

tích sự khác biệt giữa phương pháp Thực nghiệm trong Toán học và phương pháp Thực

35

nphiệm trong các khoa học thực nghiệm khác (như Sinh học Hoá học, Vật li )”” Tôi chỉ

muốn làm rõ quan điểm thực nghiệm đã được vận dụng như thé nào trong day học toán ở

trường phổ thông Cộng hòa Pháp, những khiém khuyết và hậu quả của nó Sau đó tôi sẽ đi tìm

câu trả lời cho câu hỏi : có hay không quan điểm thực nghiệm trong chương trình và xách giáo

Toán đang thí điểm hiện nay ở trường THCS của chúng ta kinh nghiệm nào rút ra được từ

trường hợp của nước Pháp,

1 Quan điểm thực nghiệm trong đạy học toán ở Cộng hoà Pháp

Sau thất bại của thời kì toán học hiện đại những năm 1960 và 1970'”, câu hỏi : « Toán

học có phải là một khoa hoc thực nghiệm 2 + đà trở thành chủ để của nhiều cuộc tranh luân

trong cộng đồng các nhà khoa học sư pham và giáo dục Pháp để cuối cùng ườ thành mx

trong những biểu tượng cơ ban nhất của các cuớc cải cách sau đó ở nước nay — những cuộc vải cách chống lại quan điểm toán học hiện dai.

Sư iva chon khoa học luận và sư phạm của các cuộc cai cách sau 1980 thé hiện ở một sẻ

điểm cơ ban sau :

Toda hoc không còn được quan niệm là « ngôn ngữ cấu trúc » như trong cuộc cải cách

toán học hiện đại - một toán học luôn tổn tại vĩnh viễn mà như là kết quả hoạt động của con

người dat đồng thời rong thời gian và không gian Tính mục đích của Toán học này là giải các

bài toán nay sinh từ sự phát triển nội tại của Toán học, của các lĩnh vực khoa học khác hay từ

thực tế cuộc sống Tránh chủ aghia hình thức vốn coi nhẹ tiếp thu trực giác của học sinh vàtách rời uiến trình sư pham khỏi thực tế, khỏi kinh nghiệm va hành đông Hình thức hóa va líthuyết hóa chỉ được đưa vào đẩn dần theo nhu cấu giải quyết các vấn đề

Tư tưởng chủ đạo của các nhà cải cách là thực hiện một sự day học thỏa mãn hơn khoa học luận và (On trong hơn quy trình nhận thức của học sinh Học toán là học phát hiện, dat ra

và giải quyết các bài toán là hoc xem xét lai các bài toán đưới ánh xáng của các công cu lí thuyết nảy sinh từ quá trình giải quyết các vấn để,

Việc nghiên cứu đào sâu các khái niệm và các bài toán đựa đồng thời rên mặt định tính

và định lượng.

Đặc biệt, mật thực nghiệm được xem như là đậc trưng cơ bản của Toán học cắn giảngdạy Nghiên cứu thực nghiệm và nghiên cứu lí thuyết chỉ là những thời điểm khác nhau củacùng một hoạt Gong toán học Việc nối khớp hai thời điểm nay wd nên hoàn toàn mau chốt Từ

đó, người ta mong muốn hoạt động toán học của học sinh được triển khai qua các thời điểm

khác nhau :

- Thời điểm quan si nhiễu ví dụ, đối tượng cự thể và kết quái số hoặc dé thị (mặt địnhlung),

- Thời diém trình bày các phing đoán (mặt dịnh tính)

- Thời điểm kiếm tra thực nghiệm phóng đoán bằng các thừ nghiệm trên những đối !/ng

cụ thé khác (định lượng) Người ta củng cố hay bác bd phẳng đoán.

- Thời điểm nối khdp lí thuyết : Hợp thức hoá phỏng doán Từ đó mội khái niềm hay một

° Việc phan hiệt này là cắn (iG, vi không ít người khí tranh luận về vấn để trên đã nhầm lẫn khi đồng nhất hai

kiểu hoạt đông thức nghiếm,

!'2cuộ& cải cách này lÀ một thẩm họa quốc 1€, khiến cả một thể hệ bị hy xinh trong học toán » ‹ Hoằng tuy

(2001).

36