Bài tập giữa kỳ môn học toán cao cấp 1

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN... Theo công thức Lagrange tồn tại α ∈x, y sao cho fx−fy=f 'α... Bài 6: Sử dụng Maclaurin để tính các giới hạn sau:... Hãy tìm hàm tổng chi phí và hàm chi ph

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

CƠ SỞ TẠI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH



BÀI TẬP GIỮA KỲ

MÔN HỌC: TOÁN CAO CẤP 1

GV: THS NGUYỄN VĂN HƯNG

LỚP: D21CQMR01-N NHÓM THỰC HIỆN: NHÓM 2

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

Trần Thị Huệ (nhóm trưởng) N21DCMR027Nguyễn Thị Thương (tích cực) N21DCMR055Phạm Trần Nhật Quỳnh N21DCMR048

Lê Thị Hoài N21DCMR025Nguyễn Minh Thọ N21DCMR052Trần Mai Anh N21DCMR005Nguyễn Ngọc Quế Anh N21DCMR003Nguyễn Minh Hoàng N21DCMR026Nguyễn Gia Thùy Dung N21DCMR014Nguyễn Đình Long N21DCMR034Nguyễn Mai Quân N21DCMR047

Đỗ Thị Như Ý N21DCMR071Quách Thị Bảo Trân N21DCMR061

Hồ Ngọc Bích N21DCMR011Ngô Tuyết Uyên (tích cực) N21DCMR066Lường Thị Xuân N21DCMR070Nguyễn Minh Nhật (tích cực) N21DCMR041Lâm Hữu Nghiêm N21DCMR038Phạm Nguyễn Hữu Vương N21DCMR069Lang Thị Hậu N21DCMR021

Hồ Thị Nhã Trúc N21DCMR063Nguyễn Phương Thảo N18DCMR068

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng 2 năm 2022

8)f (x)=¿

Giải:

Vậy k = 1 thì hàm số liên tục trên R

2 Tìm điều kiện của k để hàm số liên tục trên (-1,1)

Vậy k = 2 thì hàm số liên tục trên (-1,1)

+ x4

−9 x +8=0

Có nghiệm trên đoạn [0,2]

Có 2 nghiệm trên khoảng [-1,2]

Giải:

Gọi f ( x ) =x5

+x4

−9 x+ 8=0

 Có một nghiệm trên đoạn [0,2]

Ta có: f (x) liên tục trên R nên nó liên tục trên đoạn (0,2)

f (0) = −8

f (2) = 22

f (0) (2) < 0 Vì vậy phương trình trên có ít nhất một nghiệm trên đoạn (0,2)f

Vì (x) là đa thức nên liên tục trên Rf

Suy ra (x) liên tục trên đoạn f ¿1;0], [0;2]

−9 x+8 0= có 2 nghiệm trên đoạn [−1,2]

Bài 5: Cho hàm cung và hàm cầu

Bài 6: Sử dụng các định nghĩa, chứng minh các đẳng thức sau:

Bài 7: Tính các giới hạn sau:

4

1−sin 2 x tan 2 (π

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

=> Hàm số không có đạo hàm tại x0 =0

Vâ fy hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x0 =0

Theo công thức Lagrange tồn tại α ∈(x, y) sao cho f(x)−f(y)=f '(α) (x− y )

hay |arctanx −arc tany|=|x − y| 1

1+α2

Do 0< 1

1+α 2≤1 nên ta suy ra:

1+α 2≤|x − y|

2 |cos x −cos y|≤|x − y|∀ x , y ∈ R

Giải:

Ta có hàm f(a)=cosaxác định và liên tục trên [x ; y] và có đạo hàm y ' =f '(a)=−sina

trên (x ; y)

Theo công thức Lagrange tồn tại a ∈(x , y) sao cho f(x)−f(y)=f '(a) (x− y)

Hay |cosx cosy− |=|x − y|.|−sinx|

Do |−sinx|≤ 1 nên ta suy ra

2 Khai triển Taylor hàm số f(x)=1+3 x +5 x2

−2 x3 theo lũy thừa của (x +1)

+1x

2

+ 165 x + 2948

Bài 6: Sử dụng Maclaurin để tính các giới hạn sau:

Bài 10: Cho hàm tổng chi phí C(Y)=aY +b , 0<a<1 , b>0 , Y ≥ 0

1 Tìm hàm xu hướng tiêu dung cận biên MPC(Y)

2 Cho biết ý nghĩa kinh tế của hệ só a trong biểu thức của hàm số đã cho Giải:

C(Y)=aY +b , 0<a<1 ,b>0 , Y ≥ 0

1 C’(Y) = a > 0

2 Vâ fy khi Y tăng mô ft đơn vị thì chi tiêu tăng mô ft khoảng b{ng xấp xm a đơn vị

Bàt 11: Cho hàm tổng chi phí C(Y)=aY + b , 0 <a<1 ,b 0 , Y ≥ 0>

câ ‰n biên giảm dần hay không?

 Nếu MPL > APL => Chi phí hàm bình quân tăng

 Nếu MPL < APL => Chi phí hàm bình quân giảm

 Nếu MPL = APL => Chi phí hàm bình quân đạt cực đại

Bài 15:

Vâ fy C(S) luôn tăng ∀S ≥ 0

Nên S = 0 cho mức sản lượng cho chi phí thấp nhất

Vâ fy π(S)luôn luôn giảm và nhâ fn max tại S = 0

Vâ fy mức sản lượng S = 0 thì lợi nhuâ fn là lớn nhất

Bài 17:

1 Cho hàm tiêu dùng C(Y)=0.6 Y +0.2√Y +300 , Y ≥ 0

dung thay đổi như thế nào?

nhận được

lao độn gtăng 10% thì sản lượng thay đổi bao nhiêu %

nhuận thu được là tối đa

Giải:

 Câu 1:

1 1ưu)du

2ln(1 +√1− a

2

+a2)+a2

+2 +1dt =∫¿ ¿2 ¿ =

−2 tan(x

2)+1+ C

(2) I = ∫cos (x)3

1+sin(x)dx

= ∫cos(x) .cos(x)

1+sin (x ) dx = ∫(1−sin1+sin (x)(x)) d (sin x)=

∫(1 −sin(x)) d(sin(x))=sin(x)−sin (x )

¿ 7 ln 2−

2

I =10 ln 3 – 10 ln 2−5

2 −7 ln2+72

1 2(u+1)du

Bài 11: Cho hàm đầu tư I =60 t và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là 85 Hãy tìm hàm quỹ vốn V (t ).

MC =32+18 −12 S S 2 và chi phí cố định FC=43 Hãy tìm hàm tổng chi phí và hàm chi phí khả biến.

Hàm chi phí khả biến

V (C)=C(S)−FC=32 S +9 S2

−4 S3

MC =12 e 0,5S và chi phí cố định FC=36 Hãy tìm hàm tổng chi phí.

MR =40 S−16 e 0,4 S Hãy tìm hàm doanh thu.

Hiển nhiên, khi S=0 thì doanh thu bán hàng R(0)=0

20 ×0−40 e 0,4 S +C=0 C=40

Vậy hàm doanh thu là R(S)=20 S2

−40 e 0,4 S

+40

doanh thu R(S) và hàm cầu

nhập Y và C=800 khi Y=0 Hãy xác định hàm tiêu dung C(Y).

Vậy hàm tiêu dung C(Y) có dạng: C(Y) = 0.8Y + 800

tính thặng dư của người tiêu dùng

Vậy giá trị cân b{ng thị trường là ( 6; 4)

→Thặng dư c}a người tiêu dùng là :

Vậy giá trị cân b{ng c}a thị trường là ( 64;7)

(1) Thặng dư c}a nhà sản xuất được tính theo công thức

(2) Thặng dư c}a người tiêu dung được tính theo công thức

CHƯƠNG 4: HÀM NHIỀU BIẾN

Bài 1: Tìm miền xác định c}a các hàm số sau:

D f= {(x , y ) ∈ R2 | x2+ y2 ≤ 1}

Hàm số liên tục theo từng biến riêng lẻ

*Xét tính liên tục c}a hàm số theo 2 biến:

Hàm số f(x,y) không liên tục trên cả 2 biến tại (0,0)

Bài 6: Cho hàm lợi ích

U = 3xy − ¿ 2x2

− y2 , x,y ¿ 0

1 Tại x0 = 50 , y0 = 60 , nếu tăng x 1 đơn vị và y không thay đổi Hỏi lợi ích thay đổi như thế nào?

Giải:

Lợi ích cận biên c}a hàng hóa x đối với người tiêu dùng là :

MU = δU

δx (50,60)= 3.60 4.50=−20 −

Nếu người tiêu dùng tăng mức dụng hàng hóa x thêm 1 đơn vị ( tn 50 lên 51)

và giữ nguyên hàng hóa y trong 1 ngày thì lợi ích giảm khoảng 20 đơn vị

Giải:

Lợi ích cận biên c}a hàng hóa y đối với hàng tiêu dùng là

MUy = δU δy(50,60)=3.50−2.60=30

Hàm MUy = 30 biểu thị lợi ích tăng thêm khi người tiêu dùng có thêm 1 đơn vị hàng hóa y trong điều kiện số đơn vị hàng hóa x không thay đổi

Hãy tính tính hệ số co giãn của hàm cầu theo giá và hàm cầu theo thu nhập Giải:

Hệ số co giãn c}a hàm cầu theo thu nhập Y là :

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Ta thấy A(x,y), B(x,y) là hàm thuần nhất bậc 2

Khi đó pt viết dưới dạng:

Trường hợp 1:

Xét 3 t=−2−t2

=0⇔[t=2

x + C = - t – ln|1-t| + C1 2 <=> x + t + ln|1-t| = C

<=> x + (x+y) + ln|1-x-y| = C

Vậy nghiệm tổng quát là: x + (x+y) + ln|1-x-y| = C

Bài 4: Giải phương trình: