Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Khảo sát tính đối xứng của bài toán Micz-Kepler 9 chiều bằng lý thuyết nhóm

Phanquan trọng nhất trong chương | mà người đọc can chú ý là các nhóm ma trận và số tham số của chúng, các vi tử và hằng số cấu trúc của nhóm Lie, điều kiện dé một nhóm trở thành nhóm đố

MỤC LỤC

MỤC LỤC Trang

Chương 1: Tong quan vẻ lý thuyết nhóim :- 2: 22222222 22222102212251225222 22222 |

1.1 Đại cương về nhóm - 22 ©©222221192EEE2EE221121112211121221112211121112 2222-20 2

1.2 Đại cương vẻ lý thuyết biểu điễn nhóm 2:22 22c 22 2S 2222222 2zrrev 111.3 Lý thuyết nhóm trong cơ học HQDEIỂEisiiissiiisiiisiiiaiii1112011136113111231161138514251388 131.4 Đại cương về nhóm Lie - 22 2222z2SE22EEZE2211E73117311721122211711122122c2e 15Chương 2: Bai toán MICZ — Kepler 9 chiều - ¿2 2 2 22522210222022222222222 28

2.1.iB3iitoẩn(MIZE=IEEBÏBF:;: :-::::-::: ::::::-5:::-:::2:222212221222122212123121112212120122532520552 29

2.2 Phép biến đổi Hurwitz mở rộng -©222- 222 22222221122222102211211272122 322.3 Mối liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán MICZ-Kepler 9

Chương 3: Đối xứng trong bài toán MICZ-Kepler 9 chiều sccccccccccces 36

3.1 Đỗi xứng không gian SO(9) 2-22-2222 2222322212211 2117 1122112212 0x ee 373.2 Đối xứng Am SOCIO) cccccccsccssssessseesssesssessvessvens ens vensenssvensvansvsssvansvanavennvenveesvees 383.3 Đối xứng động lực SO(10,2) s-ccscccsccesccssczssersrrsrrrsrrrsrrra 39Kết luận Q 20222022 22s re 44Hướng phát triển đề tài 22-2222 22202211221111122211221112211120222 cyeg 44

Tài liệu tham KHẢ0‹::::::::::cc:-c:cccGccoieoipbiDoiiiiitiiSE28101261205141555631803618515ã8855555ã868 45 PRU HE sí¿:cc:c::c:¡:nccicpitoiioipiiiiitiotitiititittdtiatitdistiaitiasaiastsai 46

Chương 1: Tổng quan về lý thuyết nhóm

Khi nghiên cứu các đối tượng vật lý, chúng ta gặp phải một tính chất rất đặc biệt —tính chất đối xứng Nói cụ thé hon, đó là:

1) Tính chất đối xứng của không gian và thời gian trong các hệ quy chiều quán

tính, dẫn đến những định luật bảo toàn quen thuộc (định luật bảo toàn năng

lượng, định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn momen xung lượng ).

2) Tinh chất đối xứng của các cau trúc vật chất như tinh thé, phân tử, các hạt cơ

bản, dẫn đến những phương pháp phân loại các mức năng lượng hay một số

đại lượng khác.

Tính chat đối xứng của các đối tượng tự nhiên có thê được nghiên cứu bằng một bộmôn toán học trừu tượng gọi là lý thuyết nhóm Nói chung, lý thuyết nhóm đã cungcấp cho vật lý học một phương pháp gọn và chính xác, bô sung cho các phươngpháp khác Trong một số bài toán đặc biệt, có thẻ nói rằng một số mặt của vấn đềchỉ có thé giải quyết bằng công cụ của lý thuyết nhóm Do đó chương | trình bàytóm tắt về lý thuyết nhóm, đặc biệt là nhóm Lie và ứng dụng của lý thuyết nhómtrong vật lý học dé người đọc có thé hiéu va theo dõi các chương tiếp theo Phanquan trọng nhất trong chương | mà người đọc can chú ý là các nhóm ma trận và số tham số của chúng, các vi tử và hằng số cấu trúc của nhóm Lie, điều kiện dé một nhóm trở thành nhóm đối xứng của một hệ vật lý.

1.1 Đại cương về nhóm

1.1.1 Cấu trúc nhóm

1.1.1.1 Định nghĩa nhóm Cho một tập hợp G, trong đó có xác định một luật hợp thành nào đó, gọi là phép

nhân, cho phép lập từ mỗi cặp phan tử x, y G một đại lượng xác định nào đó gọi

Mọi tập con H của nhóm G cũng làm thành một nhóm đối với phép nhân của nhóm

G và gọi là nhóm con của nhóm G.Tất nhiên đơn vị e và toàn bộ nhóm G đều là những nhóm con của G Hai nhóm con này gọi là nhóm con tầm thường Nhữngnhóm con không tam thường gọi là nhóm con thực sự

1.1.1.3 Nhóm giao hoán

Nếu xy = yx ¥x,yeG [1.1-4]

thì hai phan tử x, y gọi là giao hoán với nhau.

Nếu [1.1-4] đúng với mọi x và y thì nhóm G gọi là một nhóm giao hoán hay nhómAbel Đối với nhóm giao hoán, phép nhân hay gọi là phép cộng Đơn vị ký hiệu là

0, nghịch đảo của x ký hiệu là — x Nhóm gọi là nhóm cộng.

1.1.1.4 Nhóm tuần hoàn

“

Ký hiệu x.v x= x

aba

Phan tử x" gọi là lũy thừa bậc n của x

Một nhóm trong đó các phần tử đều là những lũy thừa bậc khác nhau của cùng mộtphân tử gọi là nhóm tuần hoàn

Một nhóm tuần hoàn tat nhiên là giao hoán.

1.1.1.5 Nhóm hữu hạn, vô hạn và liên tục

Số phan tử của nhóm gọi là cấp của nhóm Nếu cap là một số giới nội thì nhóm gọi

là hữu hạn Trong trưởng hợp ngược lại thì nhóm gọi là vô hạn Một nhóm vô han

có các phan tử biến thiên liên tục gọi là nhóm liên tục

Ta có:

Peels!

1.1.2.2 Nhóm C, Tập hợp C, = {e ø}

với o là phép phản chiều qua một mặt phẳng nào đó (cũng ký hiệu là ø) rõ ràng làmột nhóm tuần hoàn, hữu hạn, cấp hai Phép nhân ở đây được hiểu theo nghĩa thựchiện liên tiếp các phép biến đôi thuộc nhóm (phép biến đôi đơn vị e và phép phảnchiếu ø) Ta có:

nhóm Phép nhân là phép thực hiện liên tiếp các phép quay trong mặt phẳng

Phan tử nghịch đảo: (Ci) =C!‘ do C? =e [1.1-5]

Nhóm nay là một nhóm hữu hạn tuần hoàn cap n

Phép nhân là phép nhân thông thường các số phức.

Nhóm Z, = ZJ" là nhóm tuần hoàn điền hình, cấp n

1.1.2.5 Nhóm RỶTập hợp tat cả các vector a của không gian ba chiều với phép cộng thông thường.làm thành một nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu là RỶ

Don vị là vector 0

Phan tử nghịch dao: a’ = ~ a

Nói riêng, ta có những nhóm sau:

Rõ ràng tập hợp này làm thành một nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu là Ts.

Tương tự như thể, tập hợp tất cả các phép tịnh tiễn trong không gian tuyến tính n

chiêu cũng tạo thành những nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu là Tạ.

Tập hợp tat cả các phép quay trong không gian ba chiều quanh một điểm có định

nao đó rõ ràng cũng làm thành một nhóm, ký hiệu là SO(3), với phép nhân quan

niệm là sự thực hiện hai phép quay liên tiếp nhau Các phần tử của nhóm ký hiệu là

g,(@) với k là trục quay còn ø là góc quay.

Don vị: e= g, (0) với mọi k.

Phan tử nghịch đảo: ø;'(ø)= g, (—ø).

Nhóm SO(3) là một nhóm liên tục, không giao hoán Nhóm SO(2) là nhóm con của SO(3).

n đều có nghịch đảo tính theo phương pháp thông thường.

Vậy tập hợp tat ca các ma trận cấp n xác định trên C và có định thức khác không làm thành một nhóm liên tục, không giao hoán với phép nhân ma trận thông thường.

Nhóm này gọi là nhóm ma trận cấp n Nhóm ma trận là nhóm điện hình nhất.

-1, 0

#“| (=O

với L, là ma trận đơn vị cấp r.

Gọi A là phép biến đôi đang xét, theo điều kiện bat biến, ta có:

(Az) g(Az)=2* (A*gA)z =z" gz

Từ đó ta có được điều kiện cho các ma trận A thuộc nhóm:

A’gA=8

Nhóm các ma trận thỏa [1.1-8] gọi là nhóm g — Unita n chiều

Nói riêng, khi p = 0 hay q=0, ta có nhóm:

Nhóm này gọi là nhóm Unita, đơn module n chiều.

Các nhóm SU(2) và SU(3) có những ứng dụng vật lý rat quan trọng

[1.1-7]

[1.1-8]

[1.1-9]

[1.1-10]

1.1.3.5 Nhóm SU(p, q) SU(p.g)=U(p.g)SL(p+4,C)

Nhóm này gọi là nhóm g - trực giao thực n chiều.

Nói riêng, khi p = 0 hay q =0, ta có nhóm O(n)

0(n)=0(0,n) = 0(n,0)

làm bat biến dạng toàn phương x‘x.

Điều kiện cho các ma trận A thuộc nhóm O(n)

A“Á=ÁA' =1, [I.1-13]

Nhóm này gọi là nhóm trực giao thực n chiêu.

Nhóm trực giao thực ba chiều O(3) đã xét trước đây là một trường hợp riêng của

nhóm này Nhóm O(3) có vị trí rất quan trọng trong vật lý học

1.1.3.8 Nhóm SO(p, q)

SO(p.g)= O(p.4)SL(p+4.R)

Điều kiện cho các ma trận A thuộc nhóm SO(p, q)

A“gA=g deLA=l [1.1-14]

Nhóm này gọi là nhóm g — trực giao thực, don module.

Nói riêng, khi p = 0 hay q = Ö ta có nhóm SO(n)

SO(n} = SO(0,n) = SO(n,0)

làm bat biến dang toàn phương xŸx và có định thức bằng đơn vị

Điều kiện cho các ma trận thuộc nhóm SO(n}

ATA= ÁA' =1, deL4=l [1.1-15]

Nhóm nay gọi là nhóm trực giao thực n chiêu, don module hay là nhóm quay trongkhông gian n chiều Các nhóm SO(2) và SO(3) đã xét trước đây là những trường

hợp riêng của nhóm này.

1.1.3.9 Nhóm Sp(2n, C)

Là nhóm gồm các phép biến đổi phức thuộc nhóm GL(2n, C) làm bat biến dạng

?*hz, với z là vector phức 2n chiều và

Điều kiện cho các ma trận thuộc nhóm SP(2n, R)

A “hA =h [I.I—I8] Nhóm này gọi là nhóm symplectic thực, 2n chiêu.

1.1.3.11 Nhóm Sp(2p 2q)

Là nhóm gồm tat cả các phan tử của nhóm SU(2p, 2q) làm bất biến dang toàn

phương phản xứng x°hx nói trên.

Nói riêng, khi p= 0 hay q = Ø ta có nhóm Sp(2n)

Các nhóm con G, và G; gọi là các nhân tử trực tiếp của nhóm G và chỉ có phan tử

chung là đơn vị e của nhóm Có thê mở rộng định nghĩa này cho trường hợp nhiều

1.2 Đại cương về lý thuyết biéu diễn nhóm

1.2.1 Phép biéu diễn nhóm

Cho một không gian tuyến tính n chiều M, và một nhóm D các phép biến đổi nào

đó trong không gian đã cho Lại cho một nhóm G nào đó, phép đồng cấu:

G->D

gọi là một phép biêu diễn của nhóm G trong không gian M, Ta gọi M, là không gian biểu dién, n là chiêu biểu diễn, phép đồng cấu gọi là phép biểu diễn tuyến tínhnếu D là nhóm biến đổi tuyến tính (nhóm ma trận) Nếu ngược lại thì biểu diễn gọi

là phi tuyến tính Từ nay trở vẻ sau, chủ yếu ta chỉ xét các biểu diễn tuyến tính.

Theo định nghĩa, ta có:

D(gh)=D(g)D(h), g,h=G, D(g),D(h)=D {1.2-1]

D(e)=1, [1.2-2]

D(g*)=[D(s)] [12-3]

1.2.2 Phép biéu diễn don vị

Là phép biêu điển đặc biệt khi

D(g)=1 YgeG [1.2-4]

1.2.3 Biéu diễn T,

1.2.3.1 Không gian đồng nhất Cho một nhóm G các phép biến đổi tuyến tính trong một không gian M nao đó Nếuvới mọi cặp điểm x, y của không gian M, ta luôn tìm được một phan tử g của nhómsao cho gx = y, thì nhóm G gọi là nhóm bắc cầu của không gian M và không gian M

gọi là không gian đồng nhất của nhóm G Tất nhiên, nhóm SO(3) chăng hạn không

phải là nhóm bắc câu của không gian Euclid ba chiêu thông thường, vì rằng không

có một phan tử nào của nhóm có thé chuyên một điểm của không gian đó thành mộtđiểm khác cách gốc O gan hơn hay xa hơn Trái lại mặt cầu là một không gian đồng

nhất của nhóm SO(3) Ta chú ý rằng toàn bộ không gian Euclid ba chiều thôngthường như thé chia thành những không gian dong nhất của nhóm SO(3), các khônggian này là những mặt cầu có bán kính khác nhau

1.2.3.2 Biểu diễn T,Tiếp theo, cho một không gian đồng nhất M nao đó của nhóm G, và gọi L là tập hợptat cả các hàm y(x) có đối số x M Thể thì không gian L gọi là bat biến đối với

nhóm G nếu, khi đã chứa hàm y (x), nó sẽ chứa mọi hàm w⁄(zx), g e G

Bây giờ giả sử không gian L là bat biến đối với nhóm G và đặt:

Điều này chứng tỏ rằng các toán tử T,, làm thành một biểu dién của nhóm G trong

không gian L các hàm y(x).

Theo định nghĩa chung của ma trận của toán tử, nếu y, là cơ sở của không gian L.

nhóm Lie mà chúng ta sẽ dé cập đến một cách day đủ hơn ở phan sau) Chang hạn,

đó có thê là nhóm tịnh tiến trong không gian ba chiều thông thường mà ba tham số

là ba thành phan của vector tịnh tiến a; hay là nhóm SO(2) có tham số là góc quay

ø; hay là nhóm SO(3) mà ba tham số là các thành phan của vector quay trên ba trục

tọa độ Trong các trường hợp nay, T; phụ thuộc một cách liên tục vào các tham SỐ

của nhóm và các đại lượng

Các nhóm đối xứng cơ bản trong vật lý có hai nguồn gốc:

1) Các tính chất đồng nhất và đăng hướng của không gian và thời gian (trong

các hệ quy chiều quán tính)

2) Các tính chat đối xứng của các tình thé, phân tử, hạt cơ bản Nói cụ thể hơn,

ta có các nhóm đối xứng sau:

a Tính đồng nhất của không - thời gian bốn chiều: nhóm tịnh tiến Ty

trong không gian Minkovsky bốn chiều.

b Tính đăng hướng của không gian ba chiều: nhóm SO(3)

c Tính đối xứng phải - trái (gần đúng): nhóm C,.

d Tính đăng hướng và đổi xứng phải trái của không gian ba chiều: nhóm

0(3)=SO(3)@C,.

Tinh đối xửng các phân tử: các nhóm điểm

Tính đối xứng các tinh thé: các nhóm không gian.

Tính đối xứng giữa các hạt cơ ban: các nhóm SU(n)

Z 1â mộ Tính đối xứng giữa các hệ quy chiếu quán tính:

¡ Trong lý thuyết phi tương đối tính: nhóm Galileo

ii Trong lý thuyết tương đối tính: nhóm Lorentz O(3, 1)

1.3.3 Lý thuyết nhóm và các đại lượng bảo toàn

Cho toán tử biéu điễn T, của nhóm G:

T,®(4)=®(s"4}

Tác dung trong không gian Hillbert (không gian các trạng thai lượng tử) và ký hiệu

@(4)= H(4)®(¿) Ta được:

T,[H(a)®(4)]=T,ø(4)=e(s '4)= H(e '4)®(ø'a)= H(s `4)T,®(4)

Nếu G là nhóm đối xứng thì theo [1.3-1]:

H(q)=H(s '4)

Từ đó ta được giao hoán tử sau:

[7,,H(q)|=0 ve =6 [1-3-2]

[1.3-2] cho ta thay rằng:

T =const (tích phân chuyên động) (1.3-3]

Từ đó ta thay răng nếu nhóm đối xứng G là một nhóm liên tục thì các vi tử:

1, =const (tích phân chuyển động) [1.3-4]

1.3.4 Các toán tử động lực

Các kết quả [1.3-3] và [1.3-4] cho phép suy ra biéu thức toán tir của các đại lượngđộng lực trong cơ học lượng tử, xuất phát từ các tính chất đối xứng của không gian

và thời gian: cụ thê là toán tử năng lượng (Hamiltonian), toán tử xung lượng và toán

tử momen xung lượng.

1.4 Đại cương về nhóm Lie

SLin, C), U(n) Up q) SU(n), SU(p gq), SO(n, €), SO(n), SO(@p q), Sp(2p 2q).

Sp(2n), Sp(2n, C) đều là những nhóm Topo

1.4.1.3 Tham số của nhóm TopoCác nhóm Topo có thé có vô số hay hữu hạn một số tham số thực Ta chỉ xét nhữngnhóm có một số hữu hạn tham số.

Chang hạn, nhóm SO(1,1) (nhóm Lorentz đặc biét), là nhóm có dạng:

x'=xchy + x„shự

Xụ = xshiy + x chy

Có một tham số là y (0 <y <+z} với tgy =iV/c, trong đó V là vận tốc tươngđối giữa các hệ quy chiếu.

Nhóm này làm bất biển dang toàn phương x? - x?

Người ta đã tính được số tham số của các nhóm ma trận sau (có thê dựa vào số phân

tử ma trận độc lập với nhau):

SO(21 + 1), SO(p, q) Het) Jpaqa ais |

Sp(2l) (21 + 1)

1.4.1.4 Không gian tham số của nhóm Topo

Ta có thể quan niệm các tham số của nhóm Topo làm thành một không gian nào đó,gọi là không gian tham số hay không gian nhóm Mỗi phần tử của nhóm là mộtđiểm của không gian đó Chang hạn:

Nhóm SO(2) có tham số là góc quay ø, không gian tham số là [0.2z] trong đó haimút đồng nhất như nhau (không gian này tương đương với vòng tròn theo nghĩa

Topo).

Nhóm SO(3) ở đó mỗi phan tử được xác định bởi mút của vector quay (đặt trên trụcquay), không gian nhóm là quả cầu bán kính z, hai điểm đối tâm trên mặt cầu làđồng nhất như nhau (do các góc quay biến thiên từ 0 đến x và do hai điểm đối tâm

mô tả cùng một phép quay như nhau).

1.4.2 Nhóm Lie

1.4.2.1 Các tiên đề của cấu trúc nhóm Topo

Ta hãy phát biêu các tiên đề của cầu trúc nhóm cho nhóm Topo Ta chỉ xét các

nhóm Topo dưới dạng nhóm các phép biến doi liên tục f:x— x' của không gian,

vì đây là trường hợp quan trọng nhất trong các ứng dụng vật lý Ta có các tiên đè

sau:

1) Phép nhân phải kín: tích của hai phép biến đôi liên tiếp nhau của tập hợp các

phép biến đổi đang xét phải thuộc tập hợp đó Điều nay có nghĩa là nêu ø ={a7]

là tập hợp giá trị của các tham số tương ứng với phép biến đôi thứ nhất:

Các giá tri c là những ham nao đó của a và b: c= ®(a;b) hàm @nay chính là luật

hợp thành (phép nhân) của nhóm các phép biến đôi không gian mà ta đang xét.

Chăng hạn, luật hợp thành của nhóm SO(2) là:

Công thức này chính là công thức cộng vận tốc Einstein.

Nói chung thì biéu thức của luật hợp thành là khá phức tạp.

2) Phép nhân phải có tính chất kết hợp: ta phải có

[#(2)#(5)]«(c)= ø(2)[s(ð)z(c))

3) Trong tập hợp các phép biến đỗi đang xét, phải tồn tại một phần tử e, mà

ta gọi là phần tử đơn vị sao cho ta luôn luôn có:

g(a)e=eg(a)= g(a)

với mọi tập hợp giá trị a của các tham số Như thé, biểu diễn theo luật hợp thành œ,

ta phải có một tập hợp giá trị a, = ta } nào đó của các tham số sao cho:

®(a;a,)= ®(a,:a)= a, (¢(az)=e)

với mọi tập hợp giá trị a của các tham số.

Với các nhóm SO(2), SO(1,1) các giá trị ag = 0 Nói chung bang cách đỗi gốc tọa

độ trong không gian tham số ta có thé giả thiết rang ag = 0

Tương ứng với mọi phép biến đôi g(a) của tập hợp các phép biến đổi đang xét, luônluôn phải có tôn tại một phép biến đôi thuộc tập hợp gọi là phép biến đôi nghịchdao của g(a) và ký hiệu là g “(a), thỏa mãn điều kiện:

g(a)g '(a)=& '(a)e{(a)=e

hay, biéu diễn điều kiện trên theo ham ©, ta phải có điều kiện sau: với mọi tập hợpgiá trị a của các tham số, luôn luôn phải tn tại một tập hợp giá trị nào đó cua cáctham số sao cho:

qb(a;Z) = (aa) =a,

Từ điều kiện này (với một sỐ suy luận nào đó dé bảo dam tinh chặt chẽ), ta suy ra @

là một hàm W nào đó của a:

a=¥(a)

Ví dụ, với các nhóm SO(2) hay SO(1,1) có ag = 0 thì:

a=W(a)=-a

1.4.2.2 Nhóm Lie

Vì các tham số của các nhóm Topo là những tham số thực, nên các hàm œ và W là

những hàm thực Mặt khác dựa vào định nghĩa của các nhóm Topo, trong đó tính

liên tục của tích các phan tử của nhóm và tính liên tục của các phan tử nghịch đảo

phải được bảo đảm, ta thấy rằng với các nhóm Topo thì các ham ® và W phải làcác hàm liên tục của các đối số

Nếu ta đưa ra điều kiện chặt chẽ hơn, buộc các hàm @ và ¥ là các hàm giải tích, tức là có đạo hàm mọi cấp theo tất cả các đối số, thì mọi nhóm Topo có một số tham

số hữu hạn thỏa mãn điều kiện giải tích này gọi là nhóm Lie Tuy nhiên người ta cóthê chứng minh rằng mọi nhóm Topo có số tham số hữu hạn thực tế đều là những

nhóm Lie (bài toán Hillbert số V).

Như thé, các nhóm GL(n, C), GL(n, R), SL(n, C), SL(n, R), Uín), Uíp, q), SU(p, q).SU(n), SO(n, C), SO(n), SO(p, q) Sp(2n, C), Sp(2p, 2q) Sp(2n) đều là những nhómLie, vì đó là những nhóm Topo có số tham số hữu hạn

1.4.3 Các định lý Sophus Lie về nhóm Lie

1.4.3.1 Tính giải tích và tính đồng nhất của nhóm Lie

Dé tiền hành nghiên cứu nhóm Lie về mặt cau trúc, trước hết ta chú ý đến hai điểm

quan trọng sau:

1) Theo định nghĩa, nhóm Lie có tính giải tích, nên ta có thé nghiên cứu các

nhóm Lie một cách địa phương nghĩa là có thé hạn chế ở các phép biến đôi

vi phân, xét cấu trúc nhóm tại lân cận của mọi phần tử của nhóm

2) Mat khác, một nhóm đều có tính đồng nhất, nghĩa là với mọi cặp phan tử g¡,

g> của nhóm, bao giờ ta cũng có thé tìm được hai loại phép biến đôi gọi làphép tịnh tiến phải và phép tịnh tiền trái thực hiện bởi các phan tử h và | déđưa g¡ đến trùng với ga:

h= 8 gs 12, ah =&; (tinh tien phai).

1=g,9;': 2, olg, =g, (tinh tiền trái).

Do đó, lân cận các phan tử khác nhau của nhóm Lie có thê biến thành nhau bởi cácphép tịnh tiến phải hoặc trái Như thé, không cần thiết phải nghiên cứu cấu trúc củacác nhóm Lie tại mọi lân cận các phân tử của nhóm mà chỉ cần xét tại lân cận mộtphan tử nào đó của nhóm là du; chăng hạn, dé đơn giản ta xét lân cận phan tử đơn vịcủa nhóm Tóm lại dé nghiên cứu cầu trúc của nhóm Lie, ta chỉ cần nghiên cửu cautrúc địa phương của nhóm tại đơn vị Theo phương hướng đó, ta sẽ đi đến các định

lý thuận vẻ cấu trúc địa phương của nhóm Lie.

1.4.3.2 Tham số cốt yếuGiá sử có một nhóm Lie các phép biến đổi, phụ thuộc vào r tham số

được thỏa mãn Vì các lượng a” là những ham độc lập của các lượng a” nên hạng

của ma trận Đø/ĐDa không quá r - 1 Do đó có ton tại một hệ r ham không đồng

nhất bằng không c7 (a) của các tham số a thỏa mãn các đăng thức:

Cae Ca®

éa Ga” 8a”

Vi phương trình này chỉ liên quan đến các hàm của ø (các lượng c”(øœ) trong

phương trình không chứa biến số x), nên các hàm F; — xem như ham của biến số a

- và từ đó, các hàm f; đều thỏa mãn phương trình [1.4-2] Đó là kết quả của giả thuyết a là không cốt yêu.

Ngược lại, néu có phương trình [I.4-2] thì sẽ ton tại r - Í nghiệm độc lập với nhau

:,,œ, ư,, Và là những hàm của a Mọi nghiệm của phương trình [1.4-2] sẽ là

2 rt

những ham của các nghiệm ø đó Thanh thử, nếu các ham f; thỏa mãn phươngtrình [I.4-2] thì các ham đó sẽ đồng thời là những hàm của x và a, một điều mâu

thuẫn với giả thuyết tham số a là cốt yếu.

Tóm lại, điều kiện cần và đủ dé tham số a là cốt yếu là các hàm ƒ, không thỏa mãn

bat kỳ phương trình nào có dạng như [1.4-2] trong đó c* (z) không đồng nhất bằngkhông.

1.4.3.3 Các hằng số cấu trúc Bây giờ ta trở lại với nhóm các phép biến đỗi [1.4—1] với gia thuyết các tham số a làcốt yếu Trong không gian & đó nhóm các phép biến đổi tác dụng, ta hãy chọn haiđiểm x và xp nào đó Ta có thé đi từ điểm xạ đến điểm x + dx bang hai cách hoặc

f[f(xu:a):ða Ì= f (x,;a + da)

Do đó, theo tiên đề 1 và 2, luật hợp thành ® của nhóm Lie đang xét là:

®(a;öa) =a+ da, (®(a;0) = a) [1.4-6]

Từ đăng thức này, ta được:

da’ = pt’ (a)da‘ [1.4-7]

VỚI:

ht, (a) — eb’ L R

Dinh thức | (a}| là khác không vì nếu |¿?(a} =0 thì từ [1-4-7] ta sẽ tìm được một

hệ da’ #0 sao cho da” =0, một điều vô lý, vì các hệ thức đa” =0 và da’ =0 đềucùng tương ứng với phép biến đổi đơn vị Vì lý do đó, từ [1.4-7] ta có thê viết:

ða" =A" (a)da’ [1.4-8] trong đó 2% (a) là ma trận ngược của ma trận yw? (a), nghĩa là

Thay các giá trị [1.4-8] của da” vào về trái của [1.4-10], ta được các phương trình:

dx, =u‘, (x)A% (a)da” [1.4-12]

c Oi _ Oe a aga +ửc [z- ¿so {1.4-14] OMe

ox, ex, Ga?

Nhân hai về của [1.4-14] với zZ,z¿ và chú ý đến [1.4-9], ta được:

C,==C? [1.4-17]

Tiếp theo, vì về trái của [1.4-15] không phụ thuộc vào a, nên về phải của [1.4-15]

cũng không phụ thuộc vào a, tức là ta có

Các lượng X„ gọi là những vi tử của nhóm Lie dang xét Tất nhiên, theo định

nghĩa, số vi tử bằng số tham số cốt yếu của nhóm Dé dang tính toán và thay đượcrằng các vi tử X_ thỏa mãn giao hoán tử sau

[X„3, |=€X, [1.4-21]

1.4.3.5 Các định lý Sophus Lie thuận

Những kết quả thu được ở trên cho phép phát biểu: nếu có một nhóm Lie các phépbiến đôi [1.4-1] thì các hàm x; sẽ thỏa mãn hệ phương trình [1.4-13], trong đó các

hàm ø(x) thỏa mãn hệ thức 15] và các hàm 2ƒ (a) thỏa mãn các hệ thức

[1.4-18], còn các hằng số cầu trúc C2, có mặt trong hệ thức đó thỏa man điều kiện phảnđối xứng [1.4-17] và điều kiện [1.4-22] (cũng thường gọi là đồng nhất thức Jacobicho các hằng số cấu trúc).

1.4.3.6 Các định lý Sophus Lie dao

Có thé giải bài toán ngược lại Sophus Lie đã đi đến các kết qua sau:

1) Nếu có những hàm x,(x,;z)= /,(x„:đ) thỏa mãn các phương trình [1.4-13]

thì các ham đó sẽ xác định một nhóm Lie các phép biến đôi trong một không

gian n chiều nao đó.

2) Nếu có những hàm #‡ (x) thỏa mãn các phương trình [1.4-15] thì sẽ tồn tại

những hàm A;(a) nao đó thỏa mãn các phương trình [1.4-18] sao cho các

phương trình [1.4-13] là khả tích.

3) Nếu có một hệ thông hãng số c thoa man diéu kién phan dối xứng

[1.4-17] và đồng nhất thức Jacobi [1.4-22] thi sẽ tôn tại những ham ø¿ (x) nào đó

thỏa man các phương trình [1.4-15].

Ba điểm này thường được gọi là các định lý Sophus Lie đảo cơ bản Như thể, theo

các định lý Sophus Lie đảo, nếu đi từ đưới lên trên, ta thấy rằng nếu có một hệ

r?(r=1)/2 hang số C2, thỏa mãn các điều kiện phản đối xứng và đồng nhất thức

Jacobi thì sẽ xác định một nhóm Lie các phép biến đối liên tục nào đó, nhận hệ hằng

số C2, nói trên làm hãng số cau trúc của mình.

1.4.3.7 Các vi tử dang khác của phép biến đổi liên tục tuyến tính

Ta chú ý rằng các phép biến đổi dé cập đến trong các định lý Sophus Lie (thuận vàdao) là những phép biến đi liên tục có thé tuyến tính hay phi tuyến tính

Trong trường hợp đặc biệt nhóm gồm các phép biến đôi tuyến tính thực hiện bởi các

Từ đó, đặt

J,=-l, {1.4-25]

và lưu ý rằng x là một điểm tùy ý, ta thu được các hệ thức sau

[J„.1„ ]=Cz.9, [1.4-26]

Như thé các lượng J, và J, cũng thỏa mãn các giao hoán tử giéng như các hệ thức

[1.4-21] cho các vi từ X„ Vi lý do đó, các lượng J, và J, cũng được gọi là các vi

tử của nhóm các phép biến đôi liên tục tuyến tính.

1.4.4 Vi tử và hằng số cấu trúc của một số nhóm quan trọng

1.4.4.1 Nhóm tịnh tiến trong không gian n chiều Phan tử của nhóm là g: x—> x'=x+ø

Tham số của nhóm: a={a'}, (¡=1,2, ,n)

Từ đó, các phép tính đạo hàm thông thường cho ta các hang số cau trúc của nhóm:

Gi ~x “Cis =i, Ch - -Ch =I

Tất ca các hang số cau trúc khác đều bằng không.

1.4.4.4 Nhóm g ~ trực giao n chiều (SO(n) hoặc SO(p, q))Bây giờ ta xét nhóm các phép biến đổi tuyến tính bảo toàn dạng toàn phương cơ bản

x gx=g,x'x* của một không gian n chiều nào đó, trong đó ¢ là metric

[X„.X.„]=¡(s, Xu T— Bas Xe + EÄ — Bar Xz)

với ø„ xác định bởi metric ø ở [1.4-32]

Chương 2: Bài toán MICZ - Kepler 9 chiều

Năm 1931, Dirac công bỗ một công trình chứng minh sự tồn tại đơn cực từ và từtích về mặt lý thuyết đồng thời giải quyết bài toán tương tác giữa điện tử và đơn cực

từ Trong cơ học lượng tử cũng tôn tại một bài toán tương tự như vậy, bài toán

Coulomb quen thuộc, nghiên cứu tương tac giữa điện tử và hạt nhân mang điện tích

Ze (nguyên tử đồng dang Hydro) Bài toán MICZ-Kepler chính là bài toán Coulomb

mở rộng với sự có mặt của đơn cực từ Dirac tại hạt nhan, hạt nhân vừa mang điện tích và từ tích như vậy được gọi là dyon Nhu vậy bài toán MICZ-Kepler là bài toán tương tác của hệ hai hạt: điện tử và dyon, trong đó điện tử tương tác với điện trường và từ trường của dyon.

Chương 2 tóm tắt bài toán MICZ-Kepler 9 chiều và gồm có 3 mục Nội dung chính

của chương 2 trình bày về các vi tử SO(8) biéu diễn tương tác giữa điện tử và đơncực từ của dyon; tiếp theo là sự tương đương giữa bài toán đao động tử điều hòa 16chiều và bài toán MICZ-Kepler 9 chiều sau khi áp dụng phép biến đôi Hurwitz mởrộng dé chuyên biêu diễn tọa độ giữa không gian 9 chiều và không gian l6 chiềuthực Chương 2 cung cấp những kiến thức cơ sở dé ta có thé dé đàng nghiên cứutính đối xứng trong bài toán MICZ-Kepler 9 chiều ở chương 3, thông qua việcnghiên cứu tính đối xứng trong bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều, vì hai bàitoán này tương đương nhau về mặt toán học.

Trong chương này và chương 3, nếu không có chú thích gì thêm, các chỉ số ký hiệutheo mẫu ty Latin lay giá trị từ 1 đến 8, các chỉ số ký hiệu theo mẫu tự Hy Lạp nhậngiá trị từ 1 đến 9.

2.1 Bài toán MICZ - Kepler

2.1.1 Phương trình Schrodinger của bài toán MICZ-Kepler

Như ta đã biết, bài toán MICZ-Kepler chính là bài toán Coulomb mở rộng với sự

có mặt của đơn cực từ Dirac tại hạt nhân Trong các công trình [8, 9], bài toán

MICZ-Kepler 9 chiều được các tác giá xây dựng như là bài toán Coulomb 9 chiềuvới sự có mặt của đơn cực SO(8) mà ta sẽ dé cập chi tiết ở [2.1.2].

Toán tử Hamilton và phương trình Schrodinger của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều

được việt như sau:

trong đó Z là điện tích hat nhân trong tương tac Coulomb; Fla năng lượng cua hệ:

hệ đơn vị nguyên tử được sử dụng m = e = # =1 Trong phương trình [2.1-2], toán tử xung lượng suy rộng được định nghĩa:

#,==i = -Ä(Ô, *%=-ik, [2.1-3]

) ỒN,

trong đó các vi tử O, và hàm A,(r) biểu diễn tương tác giữa điện tử với đơn cực từ

của dyon.

Khác với bài toán Coulomb, hàm sóng trong [2.1-2] không chi phụ thuộc vào biến

số không gian r mà còn phụ thuộc vào 7 biến số góc đ.đ,.đ,.œ,.đ,.ư,.ư, mà ý

nghĩa của chúng sẽ được làm rõ ở [2.1.2].

Các vi tr Ô„(j#k} trong không gian (r,ø,ø} chỉ phụ thuộc vào 7 biến số góc

@,.0;,0,,0,,@,,@,,@, và có dạng tường minh được cho trong [A2] Các vi tử Ô,

phản đối xứng theo chỉ số (jk) (ô, =-Ô, } có tat cả 28 vi tử như vậy và chúng thỏa

mãn các giao hoán tử của nhóm SO(8):

[OQ |=¡(3„Ô, -Fy Oy +8,Ô„ -„Ô,)} [2-1-4]

do đó ta có thé gọi đơn cực từ của dyon là đơn cực SO(8).

Trong trường hợp hàm sóng không phụ thuộc vào các biến số góc mà chi phụ thuộc

vào biến số không gian r thì [2.1-2] là phương trình cho nguyên tử đồng dangHydro trong không gian 9 chiều và ta có bài toán Coulomb 9 chiều

Trong trường hợp tổng quát, khi hàm sóng còn phụ thuộc vào 7 biến số góc

$,.0,,0,0,,@,,0,,0, thì xuất hiện thêm tương tác giữa điện tử với đơn cực SO(8)của dyon và ta có bài toán MICZ-Kepler 9 chiều

ta nhận thay có tất cả 7 vì tử của don cực SO(8) (0, = 0 nếu j = k) Điều này gợi ý

cho ta định nghĩa một bộ bảy các thế vector biểu diễn cho từ trường của don cực

SO(8) như sau:

Ay, =(TÃ,.— Ag Ấy + Ay + A+ A, + Ay, — Ay,0) [2.1-7]

~

Ay, =(+A,,-A,,+4,+A,,+4,,-A),-A),- 4,0)

A;, =(-A,,-A,,+ Ay.+ A,,— Ay,— Ay, + A,.+ A,.0)

Ta có thé kiểm tra các tinh chat sau đây của bộ bay thé vector:

(—A;,+A ) NA, Aly F(r+%) [ ]

cũng như tính chất của bộ ba thé vector đơn cực Yang SU(2) cho không gian 5 chiều:

2.2 Phép biến đối Hurwitz mở rộng

Phép biến đổi Hurwitz mở rộng được xây dựng dé chuyên biểu diễn tọa độ giữa không gian 16 chiều và không gian 9 chiều, nghĩa là néu cho ta tọa độ một điểm bat

kỳ trong không gian này thì ta sẽ tìm được tọa độ của một điểm tương ứng trongkhông gian kia Ý nghĩa của phép biến đôi này sẽ được làm rõ ở [2.3]

2.2.1 Phép biến doi xuôi

Trong phan này ta sẽ viết lại phép biến đổi Hurtwitz mở rộng được công bố trongcông trình [8] đồng thời đưa ra một số công thức thỏa mãn điều kiện Euler:

Các ma trận F, là đối xứng hoặc phản đối xứng, cụ thể ta có Iƒ =P, với k= 1, 3, 4,

7, 8 trong khi đó TP) =-F, với k = 2, 5, 6; ngoài ra nó còn thỏa mãn tính chất sau:

Mr, +P, =26,1,

[2.2-4]

Pt +T,TJ =2ð,!.

Từ biểu thức trên cùng tính chất đối xứng và phản đôi xứng của các ma trận T, ta

có thê suy ra được tích bất kỳ hai ma trận [2.2-3] nào khác nhau đều là ma trậnphản đối xứng.

2.2.2 Phép biến đổi ngược

Ta định nghĩa thêm 7 biến số phụ (ø,.ư;.#;.:,.,.ổ #,) :

Trong đó các hàm số b,(¢@) chỉ phụ thuộc vào các biến số góc:

b, =c0s{ 4 ]eo| # Joos, b, = cos| # }e {Ệ sin a,

|-b, -b, -b, -b, -b, -b, -b, b,|

Ma trận A (de) còn có các tinh chat:

det H(¢a)=1, H” =H" [2.2-9]

Đến đây ta thay rõ vai trò của các biến số góc (œ,,œ,.œ;.œ,,d,#,,ø,) đối với phép

biển đôi Hurwitz mở rộng, các vi tử của đơn cực SO(8) @, trong không gian (r,a,¢) còn có thé biéu diễn qua công thức tổng quát:

Từ tính chất [2.2-4] của các ma trận F, và tử [2.2-10] ta dé dang kiêm tra lại các

toán tử Q,, là phản đổi xứng theo chỉ số (jk), có tat cả 36 toán tử, trong đó có 8 toán

tử bằng không và 28 toán tử khác không như ta đã biết

2.3 Mi liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán

MICZ-Kepler 9 chiều

Áp dụng phép biến đồi ngược [2.2-6] cho các toán tử xung lượng suy rộng [2.1-3],

ta nhận được dạng tưởng minh của các toán tứ xung lượng suy rộng trong không

gian 16 chiều (u,v):

[2.3-1] rất có ích trong việc xây dựng nhóm đối xứng động lực SO(10,2) VỀ Sau.

Sử dụng phép biến đổi ngược [2.2-6] và biéu thức cụ thể của 7 biến số góc(0.0 @,.@,0,,@,) ta có thé đưa phương trình Schrodinger của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều [2.1-2] về dạng sau:

trong đó @= V-2E còn Z trở thành năng lượng của hệ, phương trình [2.3-2] viết

dưới dạng không thứ nguyên.

Ở phương trình [2.1-2], néu ta xét điện tử ở trang thái liên kết E <0 thi tan số góc

@ là số thực, phương trình [2.3-2] mô ta dao động tử điều hòa đăng hướng 16chiều Như vậy, mối liên hệ giữa bai toán đao động tử điều hoa dang hướng 16chiều và bài toán MICZ-Kepler 9 chiều chỉ tồn tại khi điện tử trong bài toán MICZ-Kepler ở trạng thái liên kết

Chú ý là trong phương trình [2.3-2] và phương trình [2.1-2], £ và Z thay đôi vai trò cho nhau Tuy nhiên kết quả giải phương trình thu được hàm sóng là không thayđôi vì vậy để nghiên cứu đối xứng của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều [2.1-2] ta

có thé xây dựng nhóm đối xứng cho đao động tử điều hòa 16 chiều [2.3-2].

Chương 3: Đối xứng trong bài toán MICZ-Kepler 9 chiều

Trong vật lý học, chúng ta có thẻ thay sự đối xứng và sự suy biến trạng thai của một

hệ luôn liên quan đến nhau Ta xét một ví dụ đơn giản và quen thuộc trong cơ họclượng tử, một hệ vật lý 3 chiều có tính đối xứng không gian, hay đối xứng quay,biểu dién bởi nhóm SO(3) thì xuất hiện hiện tượng suy biến đối với cách địnhhướng của vector momen xung lượng toàn phần J hoặc cụ thể hơn là suy biến đốivới trị riêng của một hình chiều (thông thường là J,).

Tuy nhiên khi nghiên cứu sâu hơn các nhóm đối xứng quay, các nhà vật lý nhận thay hiện tượng suy biến trong một hệ có thé có những nguồn gốc khác, không phải

do sự đối xứng của không gian Sự suy biến trạng thái của hệ có thé xuất hiện khi

phương trình Schrodinger của hệ được giải trong các hệ tọa độ khác nhau, hoặc

được giải bằng những phương pháp toán học khác nhau trong cùng một hệ tọa độ.Hơn thế nữa, các nhà vật lý nhận thay rằng các hiện tượng suy biến đặc biệt trênluôn liên quan đến một nhóm đối xứng nào đó Sự đối xứng này hoàn toàn khác về bản chất với đối xứng không gian thông thường vì nguồn gốc của chúng là phi hình học Tính đối xứng trên gọi là đối xứng động lực, nó là hệ quả của việc phương

trình Schrodinger của hệ vật lý có những dạng khác nhau.

Chương 3 dành cho việc nghiên cứu tính đối xứng không gian và đối xứng động lựctrong bài toán MICZ-Kepler 9 chiều Ta cần nhắc lại một sự kiện quan trọng làtrong các bài toán MICZ-Kepler N chiều (N = 3, 5) tồn tại đối xứng không gian

SO(N), đối xứng ấn SO(N+1) và đối xứng động lực SO(N+1,2) (1-5, 7] Trong bài

toán Kepler 9 chiều của chúng ta N = 9, ta sẽ chứng minh bài toán Kepler 9 chiều tồn tại đối xứng không gian SO(9), đối xứng an SO(10) và đối xứng

MICZ-động lực SO(10,2).