1.4. Đại cương về nhóm Lie
1.4.3. Các định lý Sophus Lie về nhóm Lie
1.4.3.1. Tính giải tích và tính đồng nhất của nhóm Lie
Dé tiền hành nghiên cứu nhóm Lie về mặt cau trúc, trước hết ta chú ý đến hai điểm
quan trọng sau:
1) Theo định nghĩa, nhóm Lie có tính giải tích, nên ta có thé nghiên cứu các
nhóm Lie một cách địa phương. nghĩa là có thé hạn chế ở các phép biến đôi vi phân, xét cấu trúc nhóm tại lân cận của mọi phần tử của nhóm.
2) Mat khác, một nhóm đều có tính đồng nhất, nghĩa là với mọi cặp phan tử g¡, g> của nhóm, bao giờ ta cũng có thé tìm được hai loại phép biến đôi gọi là phép tịnh tiến phải và phép tịnh tiền trái thực hiện bởi các phan tử h và | dé đưa g¡ đến trùng với ga:
h= 8 gs 12, ah =&; (tinh tien phai).
1=g,9;': 2, olg, =g, (tinh tiền trái).
20
Do đó, lân cận các phan tử khác nhau của nhóm Lie có thê biến thành nhau bởi các phép tịnh tiến phải hoặc trái. Như thé, không cần thiết phải nghiên cứu cấu trúc của các nhóm Lie tại mọi lân cận các phân tử của nhóm mà chỉ cần xét tại lân cận một phan tử nào đó của nhóm là du; chăng hạn, dé đơn giản ta xét lân cận phan tử đơn vị của nhóm. Tóm lại dé nghiên cứu cầu trúc của nhóm Lie, ta chỉ cần nghiên cửu cau trúc địa phương của nhóm tại đơn vị. Theo phương hướng đó, ta sẽ đi đến các định
lý thuận vẻ cấu trúc địa phương của nhóm Lie.
1.4.3.2. Tham số cốt yếu
Giá sử có một nhóm Lie các phép biến đổi, phụ thuộc vào r tham số
a= ja” }.(Z =12,..,r):
xx'=f (Ga), X=(H Xe). [1.4-1]
Các tham số a gọi là cốt yeu nếu không thé tìm được r - 1 hàm độc lập của a:œ,,Œ,,....œ, „ sao cho các đồng nhất thức có dang:
Fi (msc ror a“è= RẰNG 8ù)
được thỏa mãn. Vì các lượng a” là những ham độc lập của các lượng a” nên hạng
của ma trận Đứ/ĐDa khụng quỏ r - 1. Do đú cú ton tại một hệ r ham khụng đồng nhất bằng không c7 (a) của các tham số a thỏa mãn các đăng thức:
Cae
c*(a) Ca®
Như vậy, mọi ham f(a) của các lượng đó đều thỏa mãn phương trình:
=0, (đ=l,...r;2=L....r—1)
Ah aa"
„7 oh _ 7 Gh ea” _
[1.4-2]
éa Ga” 8a”
Vi phương trỡnh này chỉ liờn quan đến cỏc hàm của ứ (cỏc lượng c”(ứœ) trong phương trình không chứa biến số x), nên các hàm F; — xem như ham của biến số a
- và từ đó, các hàm f; đều thỏa mãn phương trình [1.4-2]. Đó là kết quả của giả thuyết a là không cốt yêu.
21
Ngược lại, néu có phương trình [I.4-2] thì sẽ ton tại r - Í nghiệm độc lập với nhau
:,,œ,...ư,, Và là những hàm của a. Mọi nghiệm của phương trình [1.4-2] sẽ là
2 rt
những ham của cỏc nghiệm ứ đú. Thanh thử, nếu cỏc ham f; thỏa món phương trình [I.4-2] thì các ham đó sẽ đồng thời là những hàm của x và a, một điều mâu
thuẫn với giả thuyết tham số a là cốt yếu.
Tóm lại, điều kiện cần và đủ dé tham số a là cốt yếu là các hàm ƒ, không thỏa mãn
bat kỳ phương trình nào có dạng như [1.4-2] trong đó c* (z) không đồng nhất bằng
không.
1.4.3.3. Các hằng số cấu trúc
Bây giờ ta trở lại với nhóm các phép biến đỗi [1.4—1] với gia thuyết các tham số a là cốt yếu. Trong không gian & đó nhóm các phép biến đổi tác dụng, ta hãy chọn hai điểm x và xp nào đó. Ta có thé đi từ điểm xạ đến điểm x + dx bang hai cách. hoặc
Xụ > x+dx = ƒ (x:ða) [14-3]
hoặc:
xạ >x+dš =f (x,,a+da) [1.4-4]
với các giá trị a được xác định theo phương trình:
x=f(x,;4) [1.4-5]
Như vậy, từ [1.4-3], [I.4-4] và [14-5] ta có:
f[f(xu:a):ða Ì= f (x,;a + da)
Do đó, theo tiên đề 1 và 2, luật hợp thành ® của nhóm Lie đang xét là:
đ(a;ửa) =a+ da, (đ(a;0) = a) [1.4-6]
Từ đăng thức này, ta được:
da’ = pt’ (a)da‘ [1.4-7]
VỚI:
ht, (a) — eb’ L R
22
Dinh thức | (a}| là khác không vì nếu |¿?(a} =0 thì từ [1-4-7] ta sẽ tìm được một hệ da’ #0 sao cho da” =0, một điều vô lý, vì các hệ thức đa” =0 và da’ =0 đều cùng tương ứng với phép biến đổi đơn vị. Vì lý do đó, từ [1.4-7] ta có thê viết:
ða" =A" (a)da’ [1.4-8]
trong đó 2% (a) là ma trận ngược của ma trận yw? (a), nghĩa là
AS (a) ue (a)=ð7 [1.4-9]
Nhung từ phép biến đôi [1.4-3] ta lại có:
dx, =u',(x)da" [1.4-10]
trong đó:
¡ of, |
x)= 1.4-11
ul (x an. [ |
Thay các giá trị [1.4-8] của da” vào về trái của [1.4-10], ta được các phương trình:
dx, =u‘, (x)A% (a)da” [1.4-12]
hay:
=u! (x)A" (a) [1.4-13]
Điều kiện khả tích:
ax ax
⁄
&a°0a" GaGa”
của hệ phương trình [1.4-13] lại cho các hệ thức:
a ^ ort
c Oi _ Oe a aga +ửc [z- ¿so {1.4-14] OMe
ox, ex, Ga?
Nhân hai về của [1.4-14] với zZ,z¿ và chú ý đến [1.4-9], ta được:
us = —H; Tản (a)=;(x) [1.4-15]: a
: 62£ 6Ä,
ới C7 = 1.4-16
với C; (a) Es = a Ve
là những lượng phản đối xứng theo các chỉ số z va v
23
C,==C? [1.4-17]
Tiếp theo, vì về trái của [1.4-15] không phụ thuộc vào a, nên về phải của [1.4-15]
cũng không phụ thuộc vào a, tức là ta có
eC; (a)
Ga”
Nhung vi các tham số a là cốt yếu, nên theo [1.4-2] và [1.4-11], ta phải có
ul (x)=0
ea’
Điều này chứng tỏ các lượng Ci, là những hing số. Các hằng số này gọi là hằng số cau trúc của nhóm Lie đang xét. Các hằng số cấu trúc chiêm vị trí cơ bản trong lý thuyết các nhóm Lie.
Từ [1 .4-6] và [1.4-11] ta có thé suy ra các hệ thức sau
CA. OR:
Se Se ce aay [1.4-18]
oa ea’ _Á
1.4.3.4. Vi tử
Bây giờ cho F(x) là một hảm nảo đó của x. Khi có một phép biến đổi vi phân x=>x+đv thì theo [1.4-10], ham F(x) chịu một phép biến đổi cảm ứng có dạng
F(x) > F(x)+4F(x)
trong do:
OF (x OF
dF (x)= bày = oF ut éa° =da°X_F [1.4-19]
ỒN, Ox,
X, =u — ,(ơ=l,2,...r} [1.4-20]
ox,
Các lượng X„ gọi là những vi tử của nhóm Lie dang xét. Tất nhiên, theo định nghĩa, số vi tử bằng số tham số cốt yếu của nhóm. Dé dang tính toán và thay được rằng các vi tử X_ thỏa mãn giao hoán tử sau
[X„3, |=€X, [1.4-21]
24
Hệ thức hết sức quan trọng này nêu lên mỗi quan hệ giữa các hang số cau trúc của
nhóm Lie và các vi tử của nó.
Tiếp theo, dựa vào đồng nhất thức Jacobi
[[Xz.X,].Xô |*[[X..X.].X; ]+[[ XX, ].x„ =0
Ta có thé dé dàng suy ra từ [1.4-21] các hệ thức sau cho các hằng số cau trúc
CC? +CzCP +CCt =0 [1.4-22]
1.4.3.5. Các định lý Sophus Lie thuận
Những kết quả thu được ở trên cho phép phát biểu: nếu có một nhóm Lie các phép biến đôi [1.4-1] thì các hàm x; sẽ thỏa mãn hệ phương trình [1.4-13], trong đó các
hàm ứ(x) thỏa món hệ thức [1.4-15] và cỏc hàm 2ƒ (a) thỏa món cỏc hệ thức [1.4-
18], còn các hằng số cầu trúc C2, có mặt trong hệ thức đó thỏa man điều kiện phản đối xứng [1.4-17] và điều kiện [1.4-22] (cũng thường gọi là đồng nhất thức Jacobi cho các hằng số cấu trúc).
1.4.3.6. Các định lý Sophus Lie dao
Có thé giải bài toán ngược lại. Sophus Lie đã đi đến các kết qua sau:
1) Nếu có những hàm x,(x,;z)= /,(x„:đ) thỏa mãn các phương trình [1.4-13]
thì các ham đó sẽ xác định một nhóm Lie các phép biến đôi trong một không
gian n chiều nao đó.
2) Nếu có những hàm #‡ (x) thỏa mãn các phương trình [1.4-15] thì sẽ tồn tại
những hàm A;(a) nao đó thỏa mãn các phương trình [1.4-18] sao cho các phương trình [1.4-13] là khả tích.