Năm 1931, Dirac công bỗ một công trình chứng minh sự tồn tại đơn cực từ và từ tích về mặt lý thuyết đồng thời giải quyết bài toán tương tác giữa điện tử và đơn cực
từ. Trong cơ học lượng tử cũng tôn tại một bài toán tương tự như vậy, bài toán
Coulomb quen thuộc, nghiên cứu tương tac giữa điện tử và hạt nhân mang điện tích
Ze (nguyên tử đồng dang Hydro). Bài toán MICZ-Kepler chính là bài toán Coulomb
mở rộng với sự có mặt của đơn cực từ Dirac tại hạt nhan, hạt nhân vừa mang điện tích và từ tích như vậy được gọi là dyon. Nhu vậy. bài toán MICZ-Kepler là bài toán tương tác của hệ hai hạt: điện tử và dyon, trong đó điện tử tương tác với điện trường và từ trường của dyon.
Chương 2 tóm tắt bài toán MICZ-Kepler 9 chiều và gồm có 3 mục. Nội dung chính của chương 2 trình bày về các vi tử SO(8) biéu diễn tương tác giữa điện tử và đơn cực từ của dyon; tiếp theo là sự tương đương giữa bài toán đao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán MICZ-Kepler 9 chiều sau khi áp dụng phép biến đôi Hurwitz mở rộng dé chuyên biêu diễn tọa độ giữa không gian 9 chiều và không gian l6 chiều thực. Chương 2 cung cấp những kiến thức cơ sở dé ta có thé dé đàng nghiên cứu tính đối xứng trong bài toán MICZ-Kepler 9 chiều ở chương 3, thông qua việc nghiên cứu tính đối xứng trong bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều, vì hai bài toán này tương đương nhau về mặt toán học.
Trong chương này và chương 3, nếu không có chú thích gì thêm, các chỉ số ký hiệu theo mẫu ty Latin lay giá trị từ 1 đến 8, các chỉ số ký hiệu theo mẫu tự Hy Lạp nhận giá trị từ 1 đến 9.
29
2.1. Bài toán MICZ - Kepler
2.1.1. Phương trình Schrodinger của bài toán MICZ-Kepler
Như ta đã biết, bài toán MICZ-Kepler chính là bài toán Coulomb mở rộng với sự
có mặt của đơn cực từ Dirac tại hạt nhân. Trong các công trình [8, 9], bài toán
MICZ-Kepler 9 chiều được các tác giá xây dựng như là bài toán Coulomb 9 chiều với sự có mặt của đơn cực SO(8) mà ta sẽ dé cập chi tiết ở [2.1.2].
Toán tử Hamilton và phương trình Schrodinger của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều
được việt như sau:
ủ,„ =“A=+4,2,+.6,0, -4, [2.1-1]
: 2° Sr er
ln ws l1- ~ Z
<#,#,+=—rỉ,ỉ,„ -— |W(r.ứ.+)= EV (r,g.@) . [2.1-2]
2 §rˆ “or
trong đó Z là điện tích hat nhân trong tương tac Coulomb; Fla năng lượng cua hệ:
hệ đơn vị nguyên tử được sử dụng m = e = # =1. Trong phương trình [2.1-2], toán tử xung lượng suy rộng được định nghĩa:
#,==i = -Ä(Ô, *%=-ik, [2.1-3]
) ỒN,
trong đó các vi tử O, và hàm A,(r) biểu diễn tương tác giữa điện tử với đơn cực từ
của dyon.
Khác với bài toán Coulomb, hàm sóng trong [2.1-2] không chi phụ thuộc vào biến số không gian r mà còn phụ thuộc vào 7 biến số góc đ.đ,.đ,.œ,.đ,.ư,.ư, mà ý
nghĩa của chúng sẽ được làm rõ ở [2.1.2].
30
2.1.2. Tương tác giữa điện tử và đơn cực từ của dyon
2.1.2.1. Đơn cực từ SO(8)
7 biến số phụ á.ó..d,.2,.+,.#,.#, dùng dé mô tả những tính chất nội tại liên quan đến từ tích của dyon thông qua các vi tử Ô,. Về sau ta sẽ thấy ở [2.2.2], 7 biến số phụ trên còn liên quan đến các phép biến đôi giữa không gian 9 chiều và 16 chiều.
Cỏc vi tr ễ„(j#k} trong khụng gian (r,ứ,ứ} chỉ phụ thuộc vào 7 biến số gúc
@,.0;,0,,0,,@,,@,,@, và có dạng tường minh được cho trong [A2]. Các vi tử Ô,
phản đối xứng theo chỉ số (jk) (ô, =-Ô, }. có tat cả 28 vi tử như vậy và chúng thỏa
mãn các giao hoán tử của nhóm SO(8):
[OQ |=¡(3„Ô, -Fy Oy +8,Ô„ -„Ô,)}. [2-1-4]
do đó ta có thé gọi đơn cực từ của dyon là đơn cực SO(8).
Trong trường hợp hàm sóng không phụ thuộc vào các biến số góc mà chi phụ thuộc vào biến số không gian r thì [2.1-2] là phương trình cho nguyên tử đồng dang Hydro trong không gian 9 chiều và ta có bài toán Coulomb 9 chiều.
Trong trường hợp tổng quát, khi hàm sóng còn phụ thuộc vào 7 biến số góc
$,.0,,0,0,,@,,0,,0, thì xuất hiện thêm tương tác giữa điện tử với đơn cực SO(8) của dyon và ta có bài toán MICZ-Kepler 9 chiều.
2.1.2.2. Bộ bảy thé vector:
Các hàm A, (r) trong [2.1-3] chi phụ thuộc vào biến số không gian r:
A = vz 2.1-5~ Xứ) r(r+x,) |
Xét thành phần tương tác với don cực SO(8) trong biểu thức của toán tử xung lượng
suy rộng [2.1-3]:
A, (r)Ô, (ger), [2.1—6]
31
ta nhận thay có tất cả 7 vì tử của don cực SO(8) (0, = 0 nếu j = k). Điều này gợi ý cho ta định nghĩa một bộ bảy các thế vector biểu diễn cho từ trường của don cực
SO(8) như sau:
Ay, =(TÃ,.— Ag. Ấy + Ay + A+ A, + Ay, — Ay,0) [2.1-7]
Ay, =(+A,,-A,,+4,+A,,+4,,-A),-A),- 4,0)~
A;, =(-A,,-A,,+ Ay.+ A,,— Ay,— Ay, + A,.+ A,.0)
Ta có thé kiểm tra các tinh chat sau đây của bộ bay thé vector:
° r-*
ơ=". `. “Oe aren” [2.1-8]
“|
hoàn toàn tương tự tính chất của thế vector đơn cực từ Dirac trong không gian 3 chiều:
4 = 1
& r(r+x;)
(—A;,+A ) NA, Aly F(r+%) [ ]r-x
cũng như tính chất của bộ ba thé vector đơn cực Yang SU(2) cho không gian 5 chiều:
a= Tim yaar te),]
“S$
Ara = r(rt+x pea)|
lá [2.1-10]
A,, = re yest m0),
= r-x.
XAG, =0, Ay, A,, =0y Pen
Xs
32
2.2. Phép biến đối Hurwitz mở rộng
Phép biến đổi Hurwitz mở rộng được xây dựng dé chuyên biểu diễn tọa độ giữa không gian 16 chiều và không gian 9 chiều, nghĩa là néu cho ta tọa độ một điểm bat kỳ trong không gian này thì ta sẽ tìm được tọa độ của một điểm tương ứng trong không gian kia. Ý nghĩa của phép biến đôi này sẽ được làm rõ ở [2.3].
2.2.1. Phép biến doi xuôi
Trong phan này ta sẽ viết lại phép biến đổi Hurtwitz mở rộng được công bố trong công trình [8] đồng thời đưa ra một số công thức thỏa mãn điều kiện Euler:
F=+jX,X, =U,U, +W,V,.. [2.2-1]
Phép biến đồi trên có dạng tường minh như sau:
X,= 2T, ), La VÀ
[2.2-2]
Xy =U,U, —V,V,.
Các ma trận F, có dạng:
r= 8 0 L r,=|#4% 0
0ỉ | O Baa,
r= a, 0 r,= a oO r= % —lỉ,Œ, | (22-3)
` L0 &y O -a, ia,a@, 0
r= 0 -iPa,a, r.= 0 -đứ, T.= 0 @
° |iđơ,ứ, o | "| pa, 0 | " la of;
I0 0 .ứ = ak ‘
trong đú f= , &= * | là cỏc ma trận Dirac: ứ, là cỏc ma trận Pauli.
0 -/[ * |e, 0 :
Các ma trận F, là đối xứng hoặc phản đối xứng, cụ thể ta có Iƒ =P, với k= 1, 3, 4, 7, 8 trong khi đó TP) =-F, với k = 2, 5, 6; ngoài ra nó còn thỏa mãn tính chất sau:
Mr, +P, =26,1,
[2.2-4]
Pt +T,TJ =2ð,!.
33
Từ biểu thức trên cùng tính chất đối xứng và phản đôi xứng của các ma trận T, ta có thê suy ra được tích bất kỳ hai ma trận [2.2-3] nào khác nhau đều là ma trận phản đối xứng.
2.2.2. Phép biến đổi ngược
Ta định nghĩa thờm 7 biến số phụ (ứ,.ư;.#;.:,.,.ổ..#,) :
Hà u, Uy Me
am =arclan—, @, =arctan—, @,=arctan—, @, =arctan—
tt, tí, H, HN
2yu +ưỷ +Hỷ +u} ? ue + tutu,
+ q ơ >
HỆ +u5 +HỆ +MỆ THỆ — un —H) —H
[2.2-5]
2yu; + +u2 ju? +)
¢, = arctan $+,
uy ty —Mš uy
2 ue +, Sig ty
ỉ, = arctan mm
Hệ + ft; — uy
@ = arctan
Phép biến đôi ngược được xây dựng dưới dang tường minh như sau:
mm
[2.2-6]
vA, ($a)
` J2(rtxz) 7
Trong đó các hàm số b,(¢@) chỉ phụ thuộc vào các biến số góc:
b, =c0s{ 4 ]eo| # Joos, b, = cos| # }e {Ệ sin a,
2 2 2
b= cos( 4) sin [& eos a, b, = cos{ js [%)sin a,
- _ (2.2-7)
b. =sin volt) a, by = walt “ jee a,
2. =
Các yếu tố ma trận H„(đœ) cũng chi phụ thuộc vào biến số góc như vậy và có thé
k2 [= t2 |®#- —— | kẻ
biéu diễn qua ở (gar):
34
b -b b bị -b -b, bì b b b -b, b bk -b -b b, -b b, ho bề -b, ho kb, . -b, -b, -b ho bh bk kb
A(éa)= :
2.2-8
(42) b. -b, b -bh bb, -b by aii
b, b, -b -b, -b, bì b,ụ b, -b, bh b -b b -b bb
|-b, -b, -b, -b, -b, -b, -b, b,|
Ma trận A (de) còn có các tinh chat:
det H(¢a)=1, H” =H" [2.2-9]
Đến đõy ta thay rừ vai trũ của cỏc biến số gúc (œ,,œ,.œ;.œ,,d,#,,ứ,) đối với phộp
biển đôi Hurwitz mở rộng, các vi tử của đơn cực SO(8) @, trong không gian (r,a,¢) còn có thé biéu diễn qua công thức tổng quát:
^ 1. & r Cg, ô h.. Lô
==iÍI-ở.Ì)ÍrT s 2.2-10
2, (a9) zit -\ : rm Đó, ” sa]
trong đú ứ,,— >,—> đều được biểu diễn qua (z,ứ} .Sở,
ou Ou,
1
Từ tính chất [2.2-4] của các ma trận F, và tử [2.2-10] ta dé dang kiêm tra lại các toán tử Q,, là phản đổi xứng theo chỉ số (jk), có tat cả 36 toán tử, trong đó có 8 toán tử bằng không và 28 toán tử khác không như ta đã biết.
2.3. Mi liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán MICZ-Kepler 9 chiều
Áp dụng phép biến đồi ngược [2.2-6] cho các toán tử xung lượng suy rộng [2.1-3],
ta nhận được dạng tưởng minh của các toán tứ xung lượng suy rộng trong không
gian 16 chiều (u,v):
35
[2.3-1]
i 1. é ề
#$ =——Ì| u,——-Y,— |.
2r êu, “Ôw
[2.3-1] rất có ích trong việc xây dựng nhóm đối xứng động lực SO(10,2) VỀ Sau.
Sử dụng phép biến đổi ngược [2.2-6] và biéu thức cụ thể của 7 biến số góc (0.0... @,.@,0,,@,) ta có thé đưa phương trình Schrodinger của bài toán MICZ- Kepler 9 chiều [2.1-2] về dạng sau:
trong đó @= V-2E còn Z trở thành năng lượng của hệ, phương trình [2.3-2] viết
dưới dạng không thứ nguyên.
Ở phương trình [2.1-2], néu ta xét điện tử ở trang thái liên kết E <0 thi tan số góc
@ là số thực, phương trình [2.3-2] mô ta dao động tử điều hòa đăng hướng 16 chiều. Như vậy, mối liên hệ giữa bai toán đao động tử điều hoa dang hướng 16 chiều và bài toán MICZ-Kepler 9 chiều chỉ tồn tại khi điện tử trong bài toán MICZ-
Kepler ở trạng thái liên kết
Chú ý là trong phương trình [2.3-2] và phương trình [2.1-2], £ và Z thay đôi vai trò cho nhau. Tuy nhiên kết quả giải phương trình thu được hàm sóng là không thay đôi. vì vậy để nghiên cứu đối xứng của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều [2.1-2] ta có thé xây dựng nhóm đối xứng cho đao động tử điều hòa 16 chiều [2.3-2].
36