Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Khảo sát năng lượng tương quan positron - electron trong phân tử đồng oxit

Vì vậy trong phạm vi khoá luận nay, tôi ap dụng phương pháp biến phân Monte Carlo trong mô hình Born - Oppenheimer để khảo sat năng lượng tương quan electron - positron trong phân tử đồn

KHAO SÁT NĂNG LƯỢNG TƯƠNG QUAN

POSITRON - ELECTRON TRONG

CBHD: ThS Trịnh Hoa Lang SVTT: Pham Thj Phu

TP HO CHÍ MINH - 2010

Toàn thể các thầy cô khoa vật lý trường Đại Học Sư Phạm Tp Hỗ Chí Minh, đã truyền đạt

cho tôi những kiến thức quý bấu trong suốt bốn năm học tại trường.

Người thân và tất cả các bạn đã động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận

Một lần nữa tôi xin cảm ơn tất cd mọi người và xin nhận nơi tôi lòng biết ơn sâu sắc nhất.

Thành phố Hồ Chí Minh tháng 5 -2010

Sinh viên thực hiện:

Phạm Thị Phú - K32.

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIET TAT

I: thế ion của nguyên tử

CuO: phan tử đồng oxit

a.u: Đơn vị nguyên tử (atomic unit).

LOI MỜ DAU

Positron là phan hat của electron được khám phá lý thuyết bởi Paul Dirac năm 1928, sau

đó được Carl D Andersen quan sát thực nghiệm năm 1932 Và ngày 15 tháng 3 năm 1933, sau

khi tạp chí khoa học Mỹ chuyên dé vật lý xuất bản bài "electron mang điện đương” bởi Carl D

Andersen của viện công nghệ California, lịch sử thực nghiệm positron bắt đầu

Trong thực nghiệm huỷ positron, đựa vào đặc tính huỷ electron - positron mà positron có

phạm vi ứng dụng rất lớn như: Sử dung positron để phát hiện khuyết tật trong vật liệu bằng

phương pháp đo phổ thời gian sống, CT (Computed Tomography) trong công nghiệp để pháthiện lỗ hổng vật liệu Trong y hoc, positron được ứng dụng vào công nghệ máy PET (Positron

Emission Tomography) dùng phô biến trong chuẩn đoán và theo đối bệnh ung thư Các kết quả

thực nghiệm được đo gián tiếp thông qua thời gian sống của positron hoặc xung lượng huỷ cặp electron — positron trong môi trường khảo sát Và những kết quả thực nghiệm nay sẽ được giải thích chính xác hon nếu chúng ta xét đến tương tác electron - positron.

Từ những năm 50, đã có rất nhiều nhà khoa học áp dụng các lý thuyết lượng tử để giảithích sự huỷ positron trong môi trường chất rin nhưng hầu như rất phức tạp và không đạt kết quả

mong muốn Ngày nay, phương pháp biến phân Monte Carlo đang được áp dụng rộng rãi cho

các hệ lượng tử như nguyén tử, phân tử, vật lý chất rắn Phương pháp này tính toán đơn giản vàgiải quyết tốt các vấn dé của thế giới vi mô Vì vậy trong phạm vi khoá luận nay, tôi ap dụng

phương pháp biến phân Monte Carlo trong mô hình Born - Oppenheimer để khảo sat năng lượng tương quan electron - positron trong phân tử đồng oxit Nội dung khóa luận gồm bốn chương:

Chương 1: Tổng quan về hệ positron - electron.

Chương 2: Phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử.

Chương 3: Ấp dụng phương pháp VMC cho phân tử đồng oxit khi có positron

Chương 4: Các kết quả tính toán

CHUONG1 TONG QUAN VE HE ELECTRON - POSITRON

Electron là một trong những hat cơ bản cấu thành nên vật chất, có phan hat là positron.

Positron mang điện dương có cùng khối lượng, cùng spin, momen từ và độ lớn điện tích với

electron Nếu positron gặp electron, chúng có xác suất huỷ cặp phan lớn tạo ra hai tia gamma

năng lượng 511 Kev.

I.1.Cơ chế liên kết positron với vật chất

Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng một số nguyên tử và ion nguyên tử có thể liên kết

với một positron như là liu, heli, natri, canxi, magie, đồng, kẽm, bạc Số nguyên tử này được

tìm thấy ngày càng nhiều Và cấu trúc của các hệ này được xác định là lớn để positron có thể

thắng lực đẩy của hạt nhân và liên kết với các electron hoá trị Một số hệ như là e*Be bao gồm

một positron chuyển động quanh nguyên tử beri phân cực Trong khi trong các hệ khác e Na,

e*Cu, e*O có thể được mô tả tốt nhất bằng một positronium chuyển động quanh lõi mang điện

Na”, Cu”, O” Ngoài ra một vài hệ có khả năng có hai positron đã được tìm thấy.

1.1.1.Positron liên kết với nguyên tử

Tương tác giữa nguyên tử và positron là đẩy nhau tại mọi điểm Điều này thể hiện sự khó

khan trong liên kết của nguyên tử với positron, Song đám mây điện tích electron của nguyên tử gần positron có thể tự điều chỉnh làm cho tương tác giữa positron và nguyên tử là tương tác hút,

Khi đó đám mây electron khi này bị phân cực Và nếu thế hút phân cực lớn hơn thế đẩy của hạt

ˆ a’: ` er tan a, 2

-nhân đôi với positron thì trạng thái liên kết tốn tại.

+

e

Hình 1.1 Mé hình positron liên kết với nguyên tử, đám mây điện tích cud electron ở gần

positron thay đổi

Khi thê ion cia nguyên tử I < 0,250 Hartree ( năng lượng liên kết của positronium) thi positron chỉ liên kết với nguyên tử khi năng lượng liên kết của positron với nguyên tử lớn hơn

0,250 - I, ngược lại hệ positron- nguyên tử sẽ tách thành positronium và ion đương ( trạng tháinguyên tử khi mất một electron )

1.1.2.Liên kết của positronium với lõi nguyên tử

Các electron hoá trị trong nguyên tử liên kết lỏng lẻo với hạt nhân Và khi thé ion của

nguyên tử I < 0.250 Hartree thì một trong các electron hoá trị này sẽ bị hút vào positron, tạo

thành một positronium ( kí hiệu Ps ) Positronium bao gồm một electron và một positron liên kết

với nhau, nó tương tự như nguyên tử hydro về mặt điện tích trong đó positron được xem như

proton Positronium có khối lượng rút gọn bằng nửa khối lượng của electron, có bán kính bằng

hai lần bán kính của nguyên tử hidro Do positron và electron đều có spin bằng 1⁄2 và mô menquỹ đạo 1=0 nên khi chúng kết hợp với nhau có thể hình thành hai trạng thái:

> Trạng thái spin đối song có momen góc | = 0 và spin toàn phần s = 0 được gọi là trạng thái

singplet, hình thành paraPositronium (p-Ps) có một trạng thái là 'Sy.

>» Trạng thái spin song song cố | = 0 và s = 1, được gọi là trạng thai triplet, hình thành

orthoPositronium có ba trạng thái: '.T 3S, aS.

Do vậy, xác suất hình thành orthopositronium là % còn xác suất hình thành para positronium

va chạm với các electron, ion nút mạng và các phonon đao động mạng Quá trình va chạm xảy

ra liên tiếp làm cho các positron nhanh chóng mất năng lượng và trở thành positron nhiệt Quá

trình này được gọi là quá trình nhiệt hoá positron Thời gian nhiệt hoá phụ thuộc vào năng lượng

ban đầu của positron Theo Bergersen Hautojarvi: positron có năng lượng khoảng 2 Mev có thời

gian nhiệt hoá nhỏ hơn 20 ps Trong khi thời gian sống của positron trong kim loại là khoảng

200ps Nên positron bị nhiệt hoá trước khi huỷ cặp.

Hình 2 : Qué trình hu¥ positron.

Khi positron nhiệt gặp electron trong môi trường vật chất thì chúng có thể huỷ cặp ngaylập tức hoặc chúng kết hợp với electron hoá trị của nguyên tử trong môi trường vật chất tạothành Ps Nếu trạng thái spin của cặp huỷ là trạng thái singlet ( s = 0 ) thi quá trình huỷ chủ yếu

là huỷ2yz Còn trạng thái spin của cặp huỷ là trạng thái triplet thì sự huỷ chủ yếu là huỷ 3z.

Nếu có mặt của một hạt thứ ba là electron hoặc hạt nhân nguyên tử của môi trường thì có thể

xảy ra quá trình huỷ ly ( theo định luật bảo toàn động lượng ) Trong đó trường hợp hủy cặp

sinh hai gamma là chủ yếu còn trường hợp sinh ra ba gamma và một gamma có xác suất rất nhỏ

nên có thể bỏ qua.

CHƯƠNG2_ PHƯƠNG PHÁP biến phân MONTE CARLO LƯỢNG TỬ

Mục đích: trình bày tổng quan về phương pháp biến phân Monte Carlo, cách dp dụng

phương pháp này cho hệ lượng tử, mô hình hàm Hamilton và hàm sóng thử cho hệ e - p.

Các nội dung chính:

> Nguyên lý biến phân.

> Phương pháp biến phân Monte Carlo.

> Quy trình thuật toán Monte Carlo lượng tử.

> Áp dụng phương pháp VMC cho hệ lượng tử

> Xấp xi Hamilton.

> Hàm sóng thử.

2.1.Nguyên lý biến phân

Việc tìm lời giải gần đúng cho phương trình Schodinger của hệ nhiều hạt xuất phát từ

nguyên lý biến phân, được phát biểu như sau:

Giá trị trung bình của Hamilton A được tính với hàm sóng thử w, không bao giờ thấp hơn

giá trị năng lượng trạng thái cơ bản eo của Hamilton A được tính với hàm sóng trạng thái cơ bản

Wo.

Từ nguyên lý biến phân ta thấy, luôn có khả năng tìm được một giới hạn trên đối với năng lượng trạng thái cơ bản Và nó là một phương pháp xấp xỉ tốt nhất trong việc tìm kiếm các năng

lượng trạng thái cơ bản.

Giả sử hàm sóng thử w là hàm sóng trang thái cơ bản của Hamilton thì khi đó giá trị trung bình của Hamilton là:

Thay (2.2) vào (2.1) ta được

Phương pháp VMC trực tiếp áp dụng nguyên lý này Trong đó chon hàm sóng thử phụ thộc

vào các tham số biến phân rồi thay đổi các tham số biến phân này để cực tiểu hoá năng lượng

trung bình Nếu hàm sóng thử được chọn là tốt có đủ bậc tự do biến phân thì kết quả đạt được

có độ chính xác rất cao

2.2.Phương pháp biến phân Monte Carlo (VMC)

Trong vật lý chất rắn, phương pháp VMC thường mô tả mô hình hệ hữu hạn như mô tả một

ô mô phỏng hơn là mô hình hệ vô hạn Ở đây chúng ta chọn mô hình hàm Hamilton và hàm

sóng thử phù hợp cho hệ nhiều hạt, áp dụng nguyên tắc biến phân lên giá trị trung bình của hàm

hamilton:

Ut) [#7 {„(r)d#

Để tim năng lượng trung bình, ta phải thực hiện các phép tính tích phân trên (2.6) Tuy

nhiên việc tính tích phân này là rất phức tạp mà ta không thể tính toán bằng giải tích toán học.

Các phương pháp tích phân cổ điển như phương pháp Gauss-Legendre không còn phù hợp cho

hệ nhiễu hạt Hiện nay thuật toán lý tưởng để giải quyết vấn dé này là phương pháp VMC

Phương pháp VMC gồm có 3 bước cơ bản:

Bước 1: Xây dựng hàm sóng thử y,(r.a@)cho hệ gồm N hạt ở vị trí

r= (Tụ, rạ ,ry ) và phụ thuộc vào bộ tham số œ = (ơi, @¿, , Ø )

Bước 2: Xác định giá trị trung bình của hàm Hamilton

fv) Hy rar

(#)

Bước 3: Thay đổi khoảng chạy nhỏ nhất của các tham số biến phân trong thuật toán

rồi quay trở lại bước một.

Sau khi thực hiện một loạt các bước chạy tham số a , ta ghi nhận giá trị năng lượng và

phương sai tương ứng Vẽ đổ thị biểu dién sự phụ thuộc của năng lượng, sai số tương đối vào các tham số Sau đó tìm giá trị cực tiểu của năng lượng và sai số tương đối trong dai các tham số

biến phân Kết quả thu được phụ thuộc vào dạng xấp xỉ hàm sóng và mô hình ham Hamilton

Do đó việc lựa chọn hàm sóng thử và mô hình hamilton cho ô mô phỏng là rất quan trọng,quyết định mức độ thành công của việc mô tả đặc trưng của hệ vô hạn

2.3 Quy trình thuật toán monte carlo lượng tử

Thiết lập những tham số của hệ

Những đặc trưng của hệ

Hình 2.1 Sơ dé guy trình thuật toán Monte Carlo lượng từ [4]

Quy trình thuật toán Monte Carlo lượng tử gồm hai bước chính:

> Thiết lập trạng thái cân bằng Metropolis:

Thiết lập các electron ban đầu ở các vị trí ngẫu nhiên đồng nhất trong 6 mô phỏng Sau đó

dịch chuyển mỗi bước dịch chuyển sẽ tạo ra các bước ngẫu nhiên mà chấp nhận hay loại bỏ

tuần theo thuật toán Metropolis sử dụng hàm sóng thử cho hệ nhiều hạt Thực hiện một số bước

dich chuyển đủ lớn để đảm bảo hệ đã đạt được trạng thái cân bằng và những electron được phân

bố ngẫu nhiên theo phân bố |¥,(R¥ Đối với hầu hết những tính toán đã thực hiện thì cẩn sử

dụng 25% của tổng số bước dịch chuyển Monte Carlo của mỗi một electron để tạo ra những vị

trí cân bằng.

> Thực hiện tính toán Monte Carlo:

Khi hệ đạt được trạng thái cân bằng thì các đại lượng quan tâm như năng lượng của hệ

được tích luỹ Mỗi một lan dịch chuyển được tạo ra thì các đại lượng quan tâm được tính và được

cộng dồn vào quá trình tổng Khi tạo ra đủ những bước dịch chuyển, giá trị trung bình được tính

2.4.Áp dụng phương pháp VMC cho hệ lượng tử.

Để áp dụng phương pháp này, đầu tiên ta xây dựng mô hình cho hệ lượng tử, sau đó ta lựa

chọn hàm sóng thử phù hợp với mô hình đó Tiếp đến ta tính xác suất phân bố hầm sóng:

Phương trình (2.12) là bước giải quyết đầu tiên của phương pháp VMC cho hệ lượng tử Sau

khi làm gọn hàm năng lượng E, (+) ta thực hiện trên máy tính các bước sau:

Các bước thực hiện chương trình tính toán VMC

Đầu tiên cố định số bước Monte Carlo và số bước nhiệt hoá Chọn giá trị khởi tạo cho r, các

tham số biến phần và tính lự,œ}: Xác định kích thước bước nhắy để di chuyển hạt từ r đến vị trí

mới.

ứng.

Khởi tạo của E và phương sai tương ứng.

Bắt đầu tính toán Monte Carlo với một số chu trình cho trước

Bước 1: Gieo số ngẫu nhiên cho vector vị trí r.

Bước 2: Thực hiện bước thử Monte Carlo.

Bước 3: Di chuyển vị trí thử: r` =r +œ, với œ là một số ngẫu nhiên gieo trong khoảng [0, 1].Bước 4: Lập tỉ số p(r)/pữ`), nếu:

: n) >ø thì thiết lập bước nhẩy mới ngược lại ta dừng tại vị trí này.

pr

Bước 5: Nếu bước nhảy được thiết lập ta gan: r=r’

Bước 6: Tính giá E; và phương sai ứng với giá trị của r này.

Khi phép thử Monte-Carlo kết thúc, ta tính giá trị trung bình của E¿ và độ lệch chuẩn tương

2.5.Xấp xỉ Hamilton

Trong hệ e -p, các hạt đều mang điện nên chúng tương tac với nhau theo nhiều cơ chế:

lực Coulomb, tương tác spin-qui đạo, tương tác từ Để mô tả các tương tác phức tạp đó ta sử

dụng trường thế tương tác cặp U(r, - r) với i+], khi đó hàm Hamilton có dang:

AY 2 & _ —

H= -3 v:+Š§ ()+2 DUG -7)

Om =) 2 i (2.13)

Để đơn giản ta sử dung hệ qui chiếu nguyên tử, trong đó :=m=l và hàm Hamilton được

viết lại như sau:

— | AY = N : - | NX ; -_ =

H=->>.V, +2 (+> UG -r) (2.14)

= j-1 = j-1

Trong phương pháp biến phân Monte Carlo, người ta thường sử dung xấp xi Bom

-Oppenheimer [8] thì Hamilton cho hệ nhiều hạt gồm các electron, positron và các ion có dang:

7 lẻ tà

H=-7 2 Ven s5.

| e Ly e

K22 “sử =a |r.=»;| (2.15)

I fp lan lượt là véc tơ toa độ của electron thứ ¡ và positron

d,, dy là véc tơ tọa độ của ion thứ ? và m.

Zn, Z„ là điện tích của ion thứ n và mm.

Số hạng đầu tiên trong (2.15) là tổng động năng của N electron, số hạng thứ hai là động

năng của positron; số hạng thứ ba là thế năng tương tac giữa electron và ion, số hạng thứ tư là

thế năng tương tác giữa positron và ion; số hang thứ năm là thế năng tương tác giữa electron

-electron, số hạng thứ sáu là thế năng tương tác iữa positron — electron và số hạng cuối cùng làthế năng tương tac giữa ion — ion

2.6.Hàm sóng thử

Hệ e - p là hệ các hạt fermion không đồng nhất, trong đó có sự tương tác giữa các hạt với

nhau Lực tương tác giữa electron và hạt nhân nguyên tử lệ nghịch với khoảng cách Nên

trong tinh thể ta chỉ xét các nguyên tử lân cận với nguyên tử chứa electron mà ta đang khảo sát.

Khi đó ham sóng toàn phan của hệ electron-positron có dang như sau:

Yel] yoy Tes 20,7 *ứ,) (2.16)

Trong đó:

,(r,): hàm sóng của electron thứ i trong ô mô phỏng Hàm sóng này được xấp xỉ như là

tổ hợp tuyến tính các hàm sóng quỹ đạo:

(2.17)

ên tử thứ n và tổng được lấy trên tất cả các

nguyên tử trong 6 mô phỏng C„¡ là hằng số chuẩn hóa.

ự„(r„) là hàm sóng của positron, tương tự hàm sóng của electron nhưng chỉ khác ở các

tham số trong hàm sóng

ov o-p 2 2 x

Còn 2 ứ,}w¿ ` Up) là hệ số Jastrow thể hiện sự tương quan giữa electron-clectron,

electron-positron.

2.6.1 Hàm sóng riêng phần

Hàm sóng #(r) của electron hay positron trong trường nguyên tử xuyên tâm có thể được mô

tả bằng một trong các dang xấp xi sau:

> Dạng Slater:

Hàm sóng kiểu Slater là hàm sóng thường được sử dụng trong những tính toán cấu trúc

electron trong nguyên tử, được định nghĩa như sau:

Hàm sóng Laguerre có ưu điểm hơn ham sóng Slater và Gauss là nó trực giao ứng với mỗi

một giá / với mọi À„:

CHƯƠNG 3 _ ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP VMC CHO PHAN TỬ ĐỒNG OXIT KHI

>» Giải phương trình Schrodinger.

z Xác định phương sai của năng lượng.

Để xây dựng hàm sóng thử cho hệ trước hết ta đi khảo sát cấu hình và cấu trúc của cácnguyên tử oxy và đồng

3.1 Khảo sát nguyên tử oxy

Oxy là một nguyên tế phi kim, có tính oxy hóa mạnh, thuộc phần nhóm chính nhóm VỊ và

nằm ở vị trí thứ tám trong bang hệ thống tuần hoàn Nên nguyên tử oxy có tám electron chuyển

động xung quanh hạt nhân với cấu hình electron: 1s 2s 2p!

Trong đó, các clectron ở phân lớp 1s và 2s bị lấp day thường không tham gia vào các liênkết hoá học Nên trong mô hình xấp xỉ, các electron này sẽ kết hợp với hạt nhân tạo thành lõi

nguyên tử Còn bốn electron thuộc phân lớp 2p chưa được lấp đẩy nên dé dàng tham gia liên

kết

7 _ Lõi nguyên tử

Phân lớp 2p

Hình 3.1 Mé hình nguyên tử oxy, trong đó bốn electron phân lắp 2p đang chuyển động xung

quanh loi nguyén trừ oxy.

Để tim ham sóng đơn hat của các electron chuyển động quanh lõi, ta sử dung xấp xi Slater

có dạng:

yr) = Ne" exp(-Zr) (3.1)

Bốn eletron thuộc phân lớp 2p có số lượng tử chính n=2 và số lượng tử qui đạo /=1 do đó

hàm sóng đơn hạt có dạng:

Ứ¿¿ = Nor exp(-Z,r) (3.2)

Với r là khoảng cách từ electron đang xét đến nguyên tử oxy.

Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có:

Theo mô hình xấp xi, các electron thuộc ba lớp bên trong kết hợp với hạt nhân tạo thành

lõi nguyên tử, Như vậy trong nguyên tử Cu chỉ xét hai electron trong phân lớp 4s chuyển động

xung quanh lõi nguyên tử.

Lõi nguyên tử Cu

ch, Electron phân lớp 4s

Hình 3.2 Afô hình nguyên tử đồng, hai electron phân lớp 4s đang chuyển động xung quanh lõi

nguyên tử đồng

Áp dụng xấp xi Slater cho hai electron phan lớp 4s với n = 4 1 = 0 ta được

Vics = Nar" exp —Zor) (3.4)

Từ điều kiện chuẩn hóa ham sóng ta có :

> 9

Now = 4Zc (3.5)

Ý315

3.3 Mô hình phân tử đồng oxit (CuO)

Trong phân tử CuO thì hàm sóng đơn hạt của các clectron trở nên phức tạp hơn do chúng

chịu tác dụng của hai trường lực được tạo bởi hai lõi của đồng và oxy Trong đó các electron làđồng nhất nên không thể phân biệt được electron nào là của đồng hay của oxy Song chúng ta

có thể tìm được xác suất tìm thấy hạt nhờ các hàm sóng đơn hạt với mô hình phân tử CuO được

mô tả trên hình 3.3

Hình 3.3 M2 hình phân từ CuO, các electron đang chuyển động quanh hai lõi nguyên tử

đồng và oxy.

Trong đó ta gin hệ trục Descarses trong không gian 3 chiều vào mô hình với gốc toa độ

nằm giữa hai lõi nguyên tử.

Thì theo mô hình trên ta có:

Tọa độ của lõi nguyên tử oxy là (-dị, 0, 0).

Tọa độ của lõi nguyên tử đồng là (d;, 0, 0)

Toa dé vector vi trí của electron thứ i:

Và hàm sóng đơn hạt của các electron là tổng hai hàm sóng theo hai trường lõi nguyên tử

Cu và O Suy ra hàm sống của electron trên qui đạo của nguyên tử oxy có dang:

Vio = Noo exp(=Z¿r)+ Norig.exP-Zar,,) (3.10)

Và ham sóng của clectron trên qui đạo của nguyên tử đồng có dang:

Vy = Noto cxp(—-Zr ) + No, hey exp(-Z er ) (3 I 1)

Khi đó hàm sóng của hệ các hat electron trong phân tử đồng oxit là tích của các hàm sóng

3.4 Mô hình positron trong phân tử CuO

Khi đưa positron vào trường phân tử CuO, hệ tăng thêm môt hạt mang điện đương Khi đó

positron chuyển động trong trường tạo bởi lõi của hai nguyên tử đồng và oxy, với hàm sóng đơn hạt có dang sóng s là tổng hợp các hàm sóng đơn hạt tạo bởi hai trường lực Cu và O.

Hình 2.4 Mó hình positron trong phân tử CuO, các electron và positron dang chuyển động

quanh hai lõi nguyên tử đồng và oxy:

Theo mô hình trên ta có:

Toa độ véctơ vị trí của positron:

Khi đó hàm sóng đơn hạt của positron là

,„=N, s>o©€XP(Z„;„ø)+ Ny J pce ,exp-Z nc#pcu) (3.19)Hàm sóng tổng cộng của hệ bây giờ là tích các hàm sóng đơn hạt của electron, positron, hệ

Mỹ SOP,

tứ, (3.21)

Vỹ” =eXpn ae

Tay (3.22)

Từ phương trình (3.20) ta thấy, hàm sóng của hệ sau khi đưa positron vào thi số tham số

biến phân tăng thêm: Z,0, Zzc¿, a’ 8`.

Để đơn giản công thức (3.20), ta viết lại hàm sóng cho hệ như sau:

w= II AG Test Te Shr) (3.23)

3.5.Xấp xỉ Hamilton trong mô hình phân tử CuO

Để giải bài toán Monte Carlo, ta 4p dụng phương pháp x4p xi Born-Oppenheimer Khi đó

mô hình Hamilton cho phân tử CuO có dạng:

H=-SVj+ oS t=5 [22 oak ZZ 328)

Khi positron đi vào phan tử CuO, thì hệ tăng thêm một điện tích dương Lam tăng thêm các

tương tác giữa positron va electron, giữa positron và hạt nhân nguyên tử trong phân tử CuO, Nên

mô hình Hamilton của cá tử CuO khi có positron sẽ được viết lại như sau:

e=Ï=m= Ì (3.30)

Trong đó:

V} là toán tử động năng của electron thứ i.

V} là toán tử động năng của positron.

R là khoảng cách giữa tâm lõi nguyên tử oxy và nguyên tử đồng

Zio là điện tích hiệu dụng của hạt nhân nguyên tử oxy đối với electron thứ i.

Zica là điện tích hiệu dung của hạt nhân nguyên tử đồng đối với electron thứ i

Zee là điện tích hiệu dụng của hạt nhân nguyên tử oxy đối với hạt nhân nguyên tử đồng.

Zo là điện tích hiệu dụng của hạt nhân nguyên tử đồng đối với hạt nhân nguyên tử oxy

Zpcu là điện tích hiéu dụng của hạt nhân nguyên tử đồng đối với positron.

Zpo là điện tích hiệu dụng của hạt nhân nguyên tử oxy đối với positron

Và khi xây dựng mô hình Hamilton này ta đã bỏ qua:

> Su đóng góp thế năng của các electron trong lõi nguyền tử, thế tương tác Spin qui

đạo, tương tác từ của các electron trong hệ, thế ảnh hưởng từ các nguyên tử xung quanh hệ.

> Su chuyển động của các nguyên tử đồng và oxi (vì vận tốc dao động của các nguyên

tử này là rất nhỏ so với vận tốc chuyển động của electron va positron).

3.6.Năng lượng hệ electron-positron

Năng lượng của hệ electron-positron được xác định từ phương trình Schrodinger:

Hy = Ew (3.31)

«<E= a

y (3.32)

Với H là ham Hamilton của hệ có dang (3.29).

M là hàm sóng tổng cộng của hệ electron - positron có dang (3.23)

Để đơn giản trong tính toán, ta sẽ tính động năng của từng electron và positron.

3.6.1 Biểu thức động năng của electron

Hàm sóng của hệ được viết lại như sau:

Dy Vjgu0,) XÈ seo) «Tete

Thay (3.53), (3.55) vào (3.48) ta được:

3.6.2 Biểu thức động năng của positron:

=K,=~1| &| | LeBel) `„ Yag,(y)|_[V„f f) | „ Vitae)

: 4 fal #uữ,) yA) FQ) Fi

Thay (3.62), (3.64) vao (3.60) ta suy ra:

Năng lượng tương quan electron - positron tính trên một electron:

rer wake? [ef

Năng lượng tương quan electron - positron tính trên một positron:

Từ các công thức (3.55), (3.58), (3.62) và(3.64) ta lần lượt suy ra:

‘ Bilin) TH” a he fal 77) xa

Kee oA] _| Hb) | „ Vested (3.69)

- #„(n„) Bi Cin)

cere ly Hz,]: at

Ko 1Ì[*,eeœÐÏ, 2Š “cếcỨy) Y ấy) ei Nf A5) (371)

x, int Eyl) in} Sy tự, )

Thế năng tương quan electron - positron:

Π= iy+ (3.72)

2 fel 1

3.6.4 Gradien, laplace và đạo hàm cho các hàm sóng:

Để tính động năng của electron và positron, trước hết ta cần tính gradien, laplace, đạo

hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của các hàm sóng BAG) guứ,) LCDs fứ,).

Do tinh đồng nhất của các electron nên hệ số tương quan giữa các electron và phép lấy

laplace là như nhau Nhưng phép lấy gradien cho hệ số tương quan phụ thuộc vào vị trí của cảhai hạt nên ta cần lưu ý:

V.g„0,) = -Vv 8,0)

V,#,„(f„) = gr, )or, P

V,#„(„)=~#yu),

Lấy đạo hàm cho các hàm sóng:

Vì các hệ số chuẩn hóa sẽ bị triệt tiêu trong E£= nen khi lấy dao hàm các hàm sóng ta bỏ

thuộc vào bộ tham số Zo, Ze„, œ, B, còn Eva EF? phụ thuộc bộ tham số Zo, Zou Zgo, Zpcos % 0”,

6 B` Để xác định giá trị các tham số này ta áp dụng phương pháp biến phân Monte-Carlo lượng

tử thông qua việc cực tiểu hóa năng lượng tổng cộng và phương sai tương ứng

3.7.Phương sai năng lượng

Để xác định sự sai lệch khỏi giá trị năng lượng trung bình £, ta sử dung đại lượng phương

sai Ấp dụng công thức phương sai cho năng lượng, ta được:

o=ty BE} -E (3,96)

Trong đó:

b=> 8, (3.97)

Với N là số bước thử

E, là giá trị năng lượng trong bước thử thứ ¿.

Từ phương trình (3.96) ta thấy năng lượng qua mỗi bước thử Monte Carlo càng gần năng

lượng trung bình thì phương sai càng nhỏ và phương sai nhỏ nhất khi năng lượng này bằng năng

lượng trung bình, khi ấy phương sai bằng không Nhờ đó ta có thể xác định cấu hình sao cho

phương sai của năng lượng tiến dan về không

CHUONG 4 CÁC KẾT QUA TÍNH TOÁN

Các giá trị nang lượng được tính từ các biến phân tham số trong hàm sóng tổng của hệ theo

chương trình biến phân Monte Carlo lượng tử Code của chương trình được viết bằng ngôn ngữ

lập trình visual C++ Trong đó, cấu hình không gian là 100, số bước Monte Carlo cho mỗielectron là 100000 và mỗi positron là 10000 Với những tính toán biến phân được thực hiện lanlượt theo ba bước sau:

Bước I: thực hiện biến phân trên mô hình phân tử CuO để tìm giá trị tối ưu của bộ tham số

Zo, Zee, Œ, B.

Bước 2: thực hiện biến phân trên mô hình phân tử CuO khi có positron để tìm giá trị tối ưu

của bộ tham số Zo, Zou, Zpo, Zpce œ, 0`, B, B` Với giả thuyết bộ tham số tối ưu thu được từ bước một không bị ảnh hưởng khi có positron Nên ta thế bộ tham số tối ưu này vào chương trình biến

phân và xác định giá trị tối ưu của các tham số biến phân phụ thuộc vào positron Z„o, Zpcu, Œ

Ấn định giá trị ban đầu cho các tham số Zo, a, ð và biến phân giá trị của Ze, từ 2 đến 4

với bước nhảy 0,05 Ta thu được kết quả cho trong bảng 4.1.

Bang 4.1.Các giá trị năng lượng và sai số tương đối theo biến phân Ze,.

Z| Boo |B [| Mâm | EU.