Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Khảo sát mô hình tán xạ của phân tử đa nguyên tử bởi nguyên tử hoặc hàng rào thế năng

trình như quang iow hóa, tái hợp cáo uguyén tử và phâu tứ, chuyển dich bức xa của các trạng thái Rydberg ola nguyên tứ trong các bẫy quang từ [I|, khuếch tan lượng tử trén bề mặt vila cá

TRUONG ĐẠI HỌC SU PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA VAT LY

KHOA LUẬN TOT NGHIỆP

KHAO SAT MO HINH TAN XA

CUA PHAN TU DA NGUYEN TU

BOL NGUYEN TU HOAC HANG RAO THE NANG

NGUYEN MINH NHUY

MSSV: 13.01.1029 044

thành phố Hỗ Chí Minh - 2021

TRUONG ĐẠI HỌC SU PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA VAT LY

KHOA LUẬN LOT NGHIỆP

KHAO SAT MO HINH TAN XA

CUA PHAN TU DA NGUYEN TU

BOL NGUYEN TU HOAC HANG RAO THE NANG

Tổ bộ môn: Todn lý

Người lutớug dẫu: LS Lương Lô Hải

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Minh Nhựt

MSSV; 43.01.102.044

thành phố Hỗ Chí Minh - 2021

LỜI MỞ ĐẦU

Dé thực hiệu và hoàn thành khóa luau uày em đã phận được sự hỗ

trợ, giúp đổ cũng như là quan tim, động viêu từ nhiền thay cO và các bau

sinh viên khoa Vật Lý cha trường Đại học Sư phạm 'Phành phố Hỗ Chi

Minh, Khoa luận đượo hoàu thành dựa trên sự tham khảo, học hỏi kinh

nghiệm: từ các công trình ughiêu cứu, bài bao cùng các tài liệu liêu quaa

cla nhiều tác giá, nhà nghiên cứu kháo nhàn Dao biệt hơn nữa là sự hợp

tác, giúp dé của cầu bộ giảng viên trường Đại học Sư pham Thành phố

Hỗ Ohi Minh và sự giúp đỡ, tao điển kiện về vật chất và tình than tit phíu

gia đình, ban be.

Trước hết, ow xin gửi lời cắm ơn sâu sắc đến Thấy Luong Lê Hai

người trực tiếp hướng dẫn khoa học đả luôn dành nhiều thời gian, công

sức hướng dẫu em trong suốt quá trình thie hiệu nghiêu cứu và hoàu

thành khóa luận này.

Em: dũng xin tran trọng cam Gu Ban giám hiệu, Ban chu nhiệm khoa

Vật Lý chug toàu thé cáo thay cô giáo công, bác trong trường đã tậu tình

truyền đạt những kiếu thức quý báu, giúp dé em trong quá trình học tap

và nghiên cứu.

viêu các thành viêu trong những lúc khó khău khi thực hiệu đề tài này.

‘Tuy nhiên, trong khóa luận vay không tránh khối những thiên sốt và

hạn chế Em kính mong Quy thầy cd, cic chuyên gia, những người quan

tấm déu dé tài, đồng nghiệp, gia đình và bạn bè tiếp tục có những ý kiểu đóng góp, giúp đỡ dé dé tài được hoàu thiệu hơn.

Một lẫn bữa em xin chan thành cấu oul

Lp LCM ngày 12 tháng 05 nău 2021

Nguyễn Minh Nhựt

1.2 Mô hình táu xa của phân tf hai pyuyéu tit qua hàng civ thé năng, — 9

12.1 Haw riöng và trị riöug của phd giấu đoạn và phổ giá liêu tục 121.2.2 Hệ số truyền qua và mật độ xác suất trong hiện ứng khuếch

2 Bài toau tau xạ trong hệ tọa độ cực 23

"ào 8n n cố ẻ ẽẻ hố h6 36 23

2.2 Kết quả tính tudu trong hệ tọa độ oo ca 33

Kết luận và hướng phát triển 35

Tài liệu tham khảo 36

Mở đầu

Ngày nay những hệ lượng từ trong các trường ngoại lực như điện trường hoặc

từ trường được nghiên cứu và khảo sắt một cach maul mề trong cae quá trình như

quang iow hóa, tái hợp cáo uguyén tử và phâu tứ, chuyển dich bức xa của các trạng thái Rydberg ola nguyên tứ trong các bẫy quang từ [I|, khuếch tan lượng tử trén

bề mặt vila các phần tứ hay tấu xa hộ ba hạt đồng nhất tiêu biểu như là mö hình

tưởng, tác giữa phan tir hai nguyên tit với hạt nhâầu trong trường lực ngoài [2 4].

M6 hình toáu học của các quá trình trồu được đưa về phương trình Sohrotlinger,

một phương trình oo ban đặc trưng cho trang thai của một hệ lượng tử bat kì (các

hat hay các hệ hat cơ bản nhí electron, protou, hat phâu, nguyễn tu, phần tử

x ) hoặc các phương trình đạo ham riêng bac hai dạng Plipb trong miéu võ hau

với những ham thé năng khac nhan.

Việc nghiền cứu và khảo sắt hiện ứng đường him lượng tử của các hạt liên kết

qua các hàng rào thé năng, đã cho thay tác dung cia độ trong suốt lượng tit cộnghướng [5]: khi kích thude hộ lượng tứ tướng đương với chiều rộng không gian củahàng rào thé năng, sẽ có các od ché dan đến độ trong suốt của hàng rào vin Cáo

cơ chế này có liêu quan đến sự hình thành của cộng hưởng rào cần, với điền kiện

là thé udug của hệ đạt cực tiểu cục bộ từ đó tao ra các trang thái siêu bên của hệ

lượng, tử |0|.

Hiệu tai hiện ứng này và cúc ứng dụng có thé có của nó là tuột chú đề nghiêncứu sâu rộng liêu quan đếu các vẫu dé vật lý lượng tứ khác nhau, ví dụ, sự khuếchtấu lượng tứ của các phâu tứ [7], sự truyền cộng hướng excitou qua hàng cio vẫu

trúc dị lượng tử (3|; sự hình thành cộng hướng của các phan tit từ riêng lẻ nguyên

tử |Đ|, kiếm soát hướng khuếch tia trong chắt rắn [10] và đào đường haw của cic

lon và Cyn que các hàng rào đấy |/L1, 12] Để phau tích của những tác động này,

chúng ta cap phải phát triển các phương pháp tiếp can w6 hình dita trên cáo phép

tính tuắn gầu đúng mo tả thực tế về tương tác giữa các nguyễn tứ trung phan tứ

cũng nh với cắc rào cầu và xây dựug cáo thuật toáu và phẫu mém tính toáu số

học.

Khoa luận tốt nghšệp

Mục tiêu của đề tài

Trong dé tài này chúng tôi sẽ khảo sát và nghiên cứu m6 hình tau xự của phan

tử hai nguyên tử bởi nguyên tử hoặc hàng rào thé wang bằng, việc sử dụng phương,

pháp Kantorovich-Galerkin [L3, 14] và phương pháp oie phần tứ hữu hạn với da

thức nội suy, Hermite [L5—17| Hỗ thé năng tướng bác chúng tôi chou là hỗ thé uang

hiệu dụng Morse và hàng rào thé cho sự truyền qua cia hệ lượng tứ là rào thé

Gauss.

Dé tài sé xây dựng các thuật toán phức hợp từ đó tạo ra oác sở dé tính toán để

khảo sát các m6 hình tan xa của các phãu tit da nguyên tit Cáo sơ đồ tính tofu

dựa trên việu áp dụng phương phái? Kantorovich - Galerkin — phucug pháp? khai

triển nghiệm haw cần tìm (hàm sóng) theo hệ hàm tham số chuẩn để don giắn hóa

bài toán biêu hai chiêu trong hệ toa độ Decartes và hệ toa độ cực về bài toán biên

một chiều chứa hệ plutớng trình sd phan thường bậo hai chứa cắc phần tứ ma trận

thế năng hiệu dụng với những trạng thái tiệm cận khác nhan và phương phấp cic

phẫu tử hữu han với da thức nội suy Hermite, từ đó sẽ tính toán năng lượng của

phố giáu đoạu và pho giả liêu tục của hệ lượng tử đang khao sat

Dé tluro hiện điển này, chúng tôi xây, dựng và phát triếu cáo thuật toán phức

hợp trên phẳẩu mềm Maple [is] Cáo kết qué thu được cùng với các chướng trình

tính toáu được thành lập trong đề tài sẽ được sử dụng để kháo sát và tính toáu

uãng lượng ola phố gidu đoạu cúa phu tứ đa nguyõn tử gdm năng lượng toàn

phần, năng lượng liên kết và năng lượng ngưỡng từ đó đưa ra sơ đồ tính toán phổ

nãng lượng của bài toáu tin xa đối với hệ ba hạt Ngoài ra dé tài sẽ wud rộng, cho

việo phau tích hiệu ứng “troug suốt” lượng tử, khuếch tau lượng tứ của các phâu

tif, cáo trạng thái liêu kết,

Đối tượng và phương pháp nghiên cứu

- Khao sat m6 hình toán học của mwé hình tan xạ phần tử hai nguyễn tứ với hat

nhầu trong trường lực ngoài.

- Sử dụng phương pháp khai triển Kantorovich — Galerkin theo hệ haw tham số

chuấu dé dou giắn hóa bài toáu biön hai chiều trong hệ tow độ Decartes và hộ tọa

độ cực vê bài toáu biên một chiêu chứa hệ phương trình vi phan thường bậc hai.

- Tính toán cáo trị riêng và cáo thành phan của haw riêng của phố giấu đoạn

và của phố giá liêu tục, hệ số truyền qua, mat độ xáo suất của phần xạ toàn phan

và khuốch tau cộng, hưởng

Khoa luận tốt nghšệp

Cau trúc khóa luận

Khoa luau gồu: 4U trang, 18 hình vẽ và 01 bang được thể hiệu qua hai chương:

Ohuony 1: Phương pháp Kantowvich - Galerkin va lô hình truyều sống cửa

phân tử hai nguyên tử qua hàng nào thé wang.

Giới thiệu về phifởng, pháp Kantorovich - Galerkin và mô hình truyền song cửa

phầu tứ hai nguyễn tứ qua hàng rào thé năng,

Oltdng 2: Đài toán tan sa troug bệ tow độ tực.

Trong hệ tọa độ cực, ta kháo sắt hàu sống (hàm: riêng) và năng lượng (trị riêng)

6 dang giải tích và số bằng cách biếu diễu qua dé thị trong sự phụ thuộc vào biếu

nhanh với các giá trị khác nhau của tham số biến chau

Ondi cùng là phan Kết luận va hướng phát triển ola dé tài.

œ

Chương 1

Phương pháp Kantorovich

-Galerkin và M6 hình vat lý

cua quá trình tan xa

1.1 Phương pháp Kantorovich - Galerkin

Xót phương trình Schrddinger có dang

trong đó H,(2s) toáu tử Hamilton dav trung cho hệ lượng tit với biên cham 2,

Hr&; us) gisley FPT +}/(/¡%s) (1.3)1 a fe)

và V¿„ là thé uäug tương tác giữa các hat troug hệ lượng tử.

Ap dụng phương phap Kantorovich - Galerkin chủ hầu sông Wi" (x 452s)

we" (ay; rs) = Welw £; Ws} = › B;ụ pa s)xjela s} (1.4)

j=l

Khoa luận tot nghš‡ệp

Hình 1.1 M6 hình hàm: song ota chau lượng bt theo biến uhonk p nà biên chase

z lrung không gian 2D

Vi du: Trong hệ tọa độ trụ, xết phỏng cấu dài với ø là biểu nhanh, z là biển

chin [L9{, Ls có mồ hình hàm sóng trong không giuu 2D ctw hệ lượng tit là trạng

thái cla các chau lượng tử được biểu diéu nhí trêu hình (1.1).

Phuong trình hàm: riêng - trị riêng cho toán tử Hannlton đặc trưng cho biển

nhanh Hla ys, xs)

“

‘Thay (1.2), (1.3), (1.4), (1.5) và phương trình haw riêng - trị riềng của H/(zg, zs}

vào (1.1), tu thu được phương trình ham riêng - trị riêng cho hệ lượng tử với biển

Khoa luận tốt nghšệp

1.2 Mô hình tan xạ của phan tử hai nguyên tử

qua hàng rào thé năng

Hình 1.2 M6 hình nguyêu tứ Boul: tấm sứ bt hạt hân nguyên tứ Dong [2Uf

Xót mỗ hình hai chiéu của hệ hai hạt đồng, nhất có khối lượng, m, tương tác với

nhau bởi ham thé V(|#¿ = z¡|) và chuyển động qua hàng rào thé năng W{(zt); W2(z)

Phương trình Schrddinger cho hàm sóng, W(z¡,z¿) xấp xi của sóng s 06 dạng

——— — ———— “(|ra2 — r Aen Vi(ze) — B 71.2} = q1.

( 2m xe 2m x3 +1 (|x2 1|} + Ve(ai) + b(z2) é) (mạ T3) 0 ( 8)

với # là tong năng lượng của hệ và A là hằng số Plank.

Thue hiện đối biến số với z = 22 — 4, vA y = x2 + 21, ta thực hiện đạo hàm: từng,

phần lầu lượt với 2 biến rị và z¿

Khoa luận tốt nghšệp

Phương trình (1.8) được viết lại nhứ san

ho ih? a = (T+Y\ (1-9 ; c=m dy? m Oz?” Vin) + 2 )+ vi ( 2 )-£| Y@wz)=0 (9)

rA

Hình 1.3 Ham niv thé Gauss Vi(2;)

Xót rào thé Gauss có dang

; Ạ xy

Vi{a,) = D-exp (-#) (1.10)

với D = 236.510003758401A-2 = (m/ñ?)Vạ = (m/h®)D(D = Vo = 1280K) - độ sâu

của hỗ thé, và ø = 5.23 - 10242 [B, 4|

Đồ thị của cho thế Gauss được biểu diều trên hình (1.3)

Hình 1.4, Thế năng tương tác giữa hai hạt V(r}

lỤ

Khoa luận tốt nghšệp

Hiun thé năng tượng táo giữa hai hạt có dang

Vọ) = Ô |; = etr-Fa) (1.1)

Day là hỗ thế có tên gọi là hỗ thé Morse - hỗ thé dao trưng cho tướng táo của

phân tử hai nguyễn tử với hạt nhân [21|, với ?¿„ = 2.47Á - khoảng cách trung bình

giữa hai uguyêu tứ, ð = 2.96§124233§1643.1~! DH = 236.510003758401.4~? - độ sâu

của hỗ thé {3, 4] Đỗ thị của haw thé V(r) được biểu diễu trên hình (1.4)

Nghiệm củu phương trình (1.9) được viết dưới dạng khai triểu Galerkin

Jmox

Wig ly, #) i 3 diz) xia).

j=l

với xjig(y) là hàu chưa biết và ở;(z) là hàm chuẩn hóa co sở trong khoảng 0 < z <

2mer được xắc định như hàn riêng cla phương trình si phan sau (rong hệ tọa độ

khong thứ nguyễn với A = 1,m = l)

Nghiệm của phương trình trên v6 dạng ój() = eÈ”,

‘Tuy nhiên, khi z => oo thì r => oo, ham sống ó¡(Sc) + 0 nên ta chon ¢,{o0) =

~ ir

e

Xót 2 + co thir > 0, ham sống ó;(0) = 0 nên ta chọn 6;(0) = r* Dat ¿;(0) = r*

vào plunfơng trình (1.11), thu được

k(k — 1) +k — đ?r? + 2đÊr + sự = 0 (1.15)

Khi r > 0 thì &? + s; = 0 hay k = +V—5/

Vậy, ta được 4;(0) = rÊv~% khi r > 0.

Khi s; > 0 thì z; > 0 và Ys; = ¡|s;[ Như vậy, tự sẽ thu được hàm sóng hữu

hau và măng Gigag cia phố ga hiếu tực,

Khi s; < 0 thì cj < 0 và v/CS; = À Khi đó, năng lượng £, nhậu giá tri am và

hàm riêng 4,(0) =r,

Dé dé trong việo lập luậu, tủ thay r= e*(*=#<Ở2 vào, thu được 327(0) = eŸŒTsU2À,

Dé đàng nhậu thấy, khi x => oo thi ¿o(z) = 0, hàm sóng ỏạ(z) = eo không

12

Đạo hàm bậc nhất và bac hai đối với hàm sóng, ta có

4 ser) = —Be~ Prk P(r) + ke P| Pr) + e~Br,k aPC)

dr dr

d? 2 -or, A —fØr.„k—1 -fr F(x) —pr k-1 ps

re

—sú/(r) = đe For) — k8e~””r*~`F{r) — Ber xa k§8e~r*~"*Ft(r)

+E(k—1)e~#*~?Ƒ(y)+ke~8rrk-Ltf Ứ)_ ge -Br pk dF {r) there GF) „ et, ae Fir)

n0i(r) = 68e"7rÈF(r)— 2k@e~'r~Ì p(r) — Be“ m4 + k(k — ler? P(r)

- 3 ( - a ó(t) = =8? (e~Pr* P(r) — 2e7 Pre P(r) (1.19)

6í) = sje Pryk-? P(r) (1.20)

Thay (1.17), (1.15), (1.19) và (1.20) vào (1.14) và triệt tiêu e~#", ta có

13

Dé hàm sóng hữu hap thi tại & phái dừng tai tuột giá trị kụạy = j nào đó Khi

đó a; # Ú và ayy = aj42 = 0 Sử dung phương trình (1.24), nghiệm cẩu tim là

I©À+T— =0

J 3 =

Thay A = y/—S/; vỚI sj = ra ta tim được tr) rigug của hàu sóng

lt

Khoa luận tốt nghšệp

: > [vmÐ ‘

=~ [i- Fey - ve] j=0.1,2, [ 7ñ - 1Ì (1.25)

Từ day, ta thấy năng lượng của hạt chuyển động trong hàm rào thế Morse nhận

giá trị gián đuạn!

+®

Haun sóng (1.16) được viết lại: 9j(r) = e #'rÈ Sage

k=0

Tà số viết dạng, tường minh của #{?) bằng cách xắo định các hệ số thống, qua

biểu thức (1.24) với j = 8 — A - 4 Oáo hộ số đó là

trong đó, ag là một số thy ý, Thực hiện một số phép biến đối, biến thức cha F(x}

được viết lại dưới dụug như sau

Hầu sống bay giờ có dạng (chú ý k = A đã xây dựng ở trêu)

Ó;(r) = e~Prrkp6~—1(2gr) = eA Bry B-3-§ p08~~W(agr) (1.29)

15

Khoa luận tốt nghšệp

Do & trên ta chon hệ số ag bat kỳ mà chưa quan tim đếu điều kiện chudu hóa

hàm song vén bay giờ ta nhân thêm vào về phái của haw sống (1.27) một hệ số

J, Sử dụng điều kiệu chuẩn hoa him sóng,

Vậy hau sóng sé có dang ó;(r) =

Thay haw Ganuna với biến thức (2đ — ÿ — 1)! = F(2đ — ÿ), ta cô

Hình 1.5, Đỏ thị ham sóng ðj(r) của phố gran đoạn (các đường liền nét) uà gid

tiềm tục (cáo đường đứt trét)

Đồ thị của hàm ở;j(r) của phố gián đoạn và giả liêu tục được biển diễn trên hình

(1.5) ứng với cấo nite năng lượng (trị riêng) khác nha.

Ou thé, các đường liễu nót là đồ thị hầu sóng 6,;(r) (j = 0,4) của phố gián đoạn

Ứng, với các trị uãng lượng, Ly = —1044.879649, By) = —646, 157093, Ey = —342.791979,

Phố giá liên tục là phố có mức năng lượng đương và nhỏ — day là miền chuyển

tiếp từ phd gián đoạn sang phố liêu tục.

Khoa luận tốt nghšệp

Ning ivy

Hình 1.6 Đô thị biếu mite trăng lượng Bj ng vdi các trụng that j = 0,4 của pho

guin doan.

Đồ thi biển điển mức năng lượng £; ứng với các trạng thái j = 0,4 của phổ gián

đoạn được biếu diễn trôn hình (1.6).

1s

Khoa luận tốt nghšệp

1.2.2 Hệ số truyền qua và mật độ xác suất trong hiệu ứng

khuếch tan lượng tử

Hệ phương trình theo khai triển Galerkin của các kênh đóng có dang

id Imax ;

K + & — z| Xi„(M) + So V(w)x¿(w) =9.

4

sal

Ode phầu tử cia ma trặu Vij(y) được biểu diễu theo cöng thức

Hình 1.7 Cie phan tứ ma trân Vj;(y) (odo đường tiêu nét) vd Vj\(y) (ede đường

đứt nét)

Đồ thị của các phan tử ma trận V;;(y} và Vja(y) được biếu diễn bởi hình (1.7)

Hình vẽ bếp trái là đổ thị của V;;(w) và V¡(y) ứng với 9 = 075, hình v6 bên phải là

dé thị ota V;;(y} và Via(y) ứng với ÿ = 8, 12

Ode điều kiện biên tiệm cận clu nghiệm hàn mõ hình 2D đối với sống s có dạng

W(u,z) = {Ÿ;(w, 2z} với hướng truyền sống từ trai sang phải có thé được viết

lụ

với Ry (2) và Ty (2) là biêu độ wa trậu phan xa và truyền qua, N, là số kênh md

ky là sO sóng, ky = V(m/R®)(E — &) > 0, dưới năng lượng uguGug phâu ly # < 0,

ỏ;{z) vac; < 0 khi 7 = 1, là haw riêng và trị riêng, tương, ứng.

Đỗ thị biến diễn sự phụ thuộc cia hệ số truyền qua vào nãng lượng cho 5 kéuh

mở đầu tiêu được biểu diéu bởi hình (1.8)

+U

Hình 1.8 Đồ thr biểu điển sự phụ thude của hệ số truyền qua vo trăng Vượng cho

3 kêuh md đầu liều

Mat độ xác suất truyền qua đối với những giá trị năng lượng của 5 kẽnh wd đầu

tiêu Ey = —1044.879649, F2 = —646.1570935, Bs = —342.7919791, /2¿ = —131.7S13058,

PB, = —22.18407384 (ở đơn vị K) được mô phỏng bởi khai triển Kaptorovich

Galerkin |; 4, 21]

Mat độ xáo suất truyền qua |?l‡, ứng với kênh md Fy Mat độ xác suất truyền

qua /7|š, tug với kêuh mở £; Mat độ xác suất truyền qua |7'/2, tug với kênh wd

E›;.Mật độ xác suất truyền qua (711, ứng với kênh mở Z;, Mật độ xác suất truyền

73, ứng với kẽnh mở /2; Dường cong tuật độ xác suất truyền qua [7l?, khôngquia,

đạt déu trục hoành (có khoảng trông) vì trong phẫu tuổu Maple chi cho ta tinh

toáu đến mudi số sau đắn phẩy, Hình nhỏ bên trái phía dưới biếu điến độ phóng,

đại sự chồng chất của |TiỆ, và (7l3, Còn hình nhö bên phải phía dưới biểu diễn độ

phóng đại sự chồng chất của |71Ÿy, /7|?; và |Tlậ;.

21