Khóa luận tốt nghiệp Ngữ văn: Phương pháp số roe cho hệ hyperbolic các định luật cân bằng dạng bảo toàn

Lời nói đầu Trong bài khóa luãn cuối kì này, tôi trình bày về Phương pháp Roe cho hệ Hyperbolic các định luật cin bằng dang bảo toàn.. Khóa luận của tôi gồm 4 chương: Các khái niệm mở đầ

TRƯỜNG DAI HỌC SU PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA TOAN-TIN

oo

KHOA LUAN TOT NGHIEP

PHUGNG PHAP SO ROE CHO HE HYPERBOLIC

CAC DINH LUAT CAN BANG DANG BAO TOAN

CHUYEN NGANH: TOAN UNG DUNG

Thanh phố Hỗ Chí Minh, thang 5 năm 2022

TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN-TIN

KHOA LUAN TOT NGHIEP

PHƯƠNG PHAP SO ROE CHO HE HYPERBOLIC CAC DINH LUAT CAN BANG DANG BAO TOAN

CHUYEN NGANH: TOAN UNG DUNG

Giang viên hướng dan: TS Đào Huy Cường

Thue hiện: Huynh Xuân Lộc - 44.01.101.089

Thành phố Hỗ Chí Minh, 5/2022

Lời nói đầu

Trong bài khóa luãn cuối kì này, tôi trình bày về Phương pháp Roe cho hệ Hyperbolic

các định luật cin bằng dang bảo toàn Khóa luận của tôi gồm 4 chương: Các khái niệm

mở đầu, Bài toán Riemann cho mé hình Euler đăng Entropy, Lược dé Roe cho mé hình

Euler đẳng Entropy và Thưc nghiệm số.

Chương 1 chủ yếu trình bày một số khái niệm mở dau về hệ Hyperbolic các định luật

cin bằng dạng bảo toàn và một số ví dụ Chương 2 trình bày về nghiệm của bài toán

Riemann của mô hình Euler đẳng Entropy Chương 3 trình bày vẻ lược dé Roe cho mô

hình Euler đẳng Entropy Chương 4 trình bày về một số thực nghiệm số

Dé hoàn thành bài luận này, tôi đã nghiên cứu một sé tài liệu trong nước cũng nhưngoài nước với mong muốn bài tiếu luận sẽ có chất lượng tốt hơn Tuy nhiên, dd đã

dành nhiều cõng sức, chăm chút cho từng câu chữ nhưng việc sai sót là diéu khó tránh

khỏi Vì thế, tôi rat mong muốn nhân được nhiều sự góp ý của các thay cô và các bạn

sinh viên khác để bài khóa luận hoàn thiện hơn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2022

Huỳnh Xuân Lộc

20

MUC LUC

3.3 Lược dé Roe cho mô hình Euler dang E Ta HC

4 Thực nghiệm số 26

26 28 4.3 Test nghiệm Riemann 29

Kết luận 32

Tai liệu tham khảo 33

Huỳnh Xuân Lộc Trang 3 Khóa Toán - Ten

Chương 1

Các khái niệm mở đầu

1.1 Gradient của hàm nhiều biến

Dinh nghĩa 1.1.1 Cho 2 là tap md trong RP Khi đó, gradient của hàm u: 2% +R, kí

hiệu là Vu, các định bởi:

Ou Ou ou

Vv = el reed Oe `° & Ox2 =)

Nếu œ : @ —› EP thi Vư là ma trận cap k x p:

Vu = (Vừy, , Vix)

1.2 Không gian Lebesgue

Dinh nghĩa 1.2.1 Cho 2 là tip mở trong RP va 1 <= p <= oo Không gian Lesbegue

LP(Q) là không gian các hàm f do được Leshegue trên Q sao cho || f\\ pou < , trong đó

IF llzecn) = (/ | nếu 1 < p< %,

q

lƒl[,~¿a = inf{C > 0: |ƒ(2)| < Œ h.k.n 9) neu = %

1.3 Không gian các ham khả vi

1.3.1 Không gian các hàm khả tích địa phương

Dinh nghĩa 1.3.1 Cho QC R? mé va f: 23K do được Lebesgue.

Nếu ƒ thỏa | |flde < 0c vdi mọi K compact trong Q Khi đó, ƒ được gọi là khả tích địa

LẺ

phương.

Tập hợp các ham khả vi cấp 1, khả tích địa phương được kí hiệu là Œ} (9).

CHUONG 1 CÁC KHÁI NIỆM MO DẦU

1.3.2 Không gian các hàm €

Dinh nghĩa 1.3.2 Xét f : X — RB, support của ƒ, kí hiệu là supp(f), là tập hợp các

điểm trong X mà tại đó, giá trị của ƒ khác 0.

supp(ƒ) = {+ € X: fix) # 0}.

Khong gian các hàm kha vi võ hạn lin (các ham khả vi võ hạn lần còn được gọi là hàm

trơn), có support compact được kí hiệu là C2(X) (hoặc CY (X)).

Tập 2 được gọi là tap các trạng thái, ham F được gọi là ham thông lượng.

Định nghĩa 1.4.1 Dạng tổng quát của hệ luật bảo toàn 1 biến không gian là :

wa

Ta nói hệ được viết dưới dang bảo toàn.

1.4.2 Khái niệm hệ Hyperbolic

Goi ma trận Jacobi của F(U) là

Dinh nghĩa 1.4.2 Hệ được gor là hyperbolic nếu vdi mọi U € 2, ma tran A(U}

thừa nhận p giá tri riêng A\(U) = À2(U) < = Ap(U} cùng tứt 1 hệ p vector riêng độc

CHUONG 1 CÁC KHÁI NIỆM MO DẦU

Giả sử hệ (1.1) la hyperbolic Vì một ma trận và ma tran chuyển vị của nó có cùng tập

các giá trị riêng nền ton tại các vector riêng /z(U} ứng với mỗi giá trị riêng Ay của matrận A'(U), tức là

AT(U)ty(U) = AMUN), 1<k<p

«œ I(U)A(U) = AMUN), 1<k<p

Tir d6, các vector ly thường được gọi là các vector riêng trái, và các vector r; thường

được gọi là các vector riêng phải của ma trận A.

Bây giờ, giá sử hệ (1.3) la hyperbolic ngặt Khi đó,

1(U),(U)=0, Vi#j, WER (1.2)

1.4.3 Các bài toán cơ ban

Định nghĩa 1.4.3 Bai toán Cauchy doi uới hệ m là bài toán tim hàm U : Rx

|1 +} +2 la nghiệm của thỏa man điều kiện đâu

U(r,0) =Uo(z) reER (1.3)

trong dé, Up: Ro Q là 1 ham cho trước.

Dinh nghĩa 1.4.4 Bai toán Riemann đối uới hệ là bar toán Cauchy trong trườnghợp hàm điều kiện đầu Up{x) cá dang

Uạ(z) = a Khàu (1.4)

Ur, z >0.

Huỳnh Xuân Loc Trang 6 Khoa Toản - Tin

CHUONG 1 CÁC KHAI NIỆM MO DẦU

Trong đó, hàm Ƒ{(U) = z la hàm lỗi, khả vi liên tue.

Ví dụ 2 : (Hệ p) Mô hình khí động học dang entropy một chiéu trong tọa độ

Lagrange

Uy, — ty = 0, (1.8)

wy + plu, = 0.

trong đó œ = v(xr.t) là dung tích riêng của chất khí, u = u{x.t) là vận tốc,

p = p(w) là áp suất Với khí lý tưởng đẳng entropy, ta có phương trình trạng

thái p= pÍUu) = Ket với w >0 và 1< + < 5/3.

Nếu p'(v) < 0, ta sẽ tim được các giá trị riêng của hệ là A¡(U) = —\/—p'{v),

A2(U) = \/—p'{v) Vậy hệ này là hyperbolic ngặt.

Ví dụ 3 : Phương trình khí động học một chiều trong tọa độ Euler

Ma trận Jacobi của hé là

Một trong những hệ bảo toàn quan trọng nhất là Phương trình khí động học

Huỳnh Xuân Lậc Trang 7 Khoa Toản - Tin

CHUONG 1 CÁC KHÁI NIỆM MO DẦU

Euler Một cách tổng quát, dang cơ bản của động lực học chất lưu là phương

trình Navier Stock, tuy nhiên, phương trình này bao gồm tác dụng của tính

"nhảy" của chat lưu và phương trình của nó không chỉ phụ thuộc vào các biến

mà cả greadient của biến đó, do đó, phương trình đó sẽ không có dang {L1).

Tuy nhiên, đối với chat khí thì điểu kiện về tính "nhảy" có thé được bỏ qua,

do đó, chúng ta có thé đưa về dang Hyperbolic như sau

Giả thiết lưu chất có một số tính chất đối xứng, ta có hệ phương trình khí động

học một chiéu trong tọa độ Euler sau:

¢ = e(x,t) là nội năng (trên một đơn vị khối lượng), và e = e(z.f} = ¢ + > a

tong năng lương

Với khí lí tưởng, ta có phương trình trạng thái p = p{ø.z} = (+ — lps, + > 1

Ta thấy với hệ có thể viết dưới dang {i.1p, với U = (p, pu, pe)TM va F(U) =

(pu, pu? + p, pue + pu)'

Ví dụ 4 : M6 hình Euler dang Entropy.

lMã A,(pu) = 0,

&(pu) + Ô„(guẺ + p) = 0.

trong đó ø = ø(z,} là mật độ của chat khí, u = u(x,t) là van tốc va p = p(z.f

là áp suất Với khí lý tưởng đẳng entropy, ta có phương trình trạng thái

p= pÍp) =g.ø, x >O, 1<+<5/1,

là áp suất của khí lí tưởng.

Ta thấy hệ (1.10) có thể viết dưới dang fi}, với U = (ø,u)!, F(U) = (pu, x +

= erty Khi đó, ma tran Jacobi A(U} của hệ là:

u 0

A(U) = | Kypy? u

Ma tran A(U) có hai gia trị riêng Ay = u— e va À¿ = ute, trong đó e = v/x+ø?~!

và ta có thế chọn hai vector riêng là:

T T

"y= (p, —c) ạ = (p, c)

Huỳnh Xuân Loc Trang 8 Khoa Toản - Tin

CHUONG 1 CÁC KHÁI NIỆM MO DẦU

Vậy day là hệ hyperbolic ngặt.

1.4.5 Nghiệm cổ điển

Định nghĩa 1.4.5 Hàm U : B x [0, 400) => Q được gọi là nghiệm cổ điển của bar toán

Cauchy nêu U là hàm khả vi liên tục va thỏa man các phương trình {I.1Ì).

tại từng điểm.

Xét bài toán Cauchy 1.4.3) và giả sử Ug = U(z,0) € L® (RP) Giả sử U là nghiêm cô

điển và hàm y € C£*(E x (0, +00})” là một hàm thử Khi đó:

Tức là nghiệm cổ điển thỏa mãn dang thức tích phân

[ [we + F(U)p,)dadt + [oe oete.oite = 0 (1.11)

q 8 B

Rõ ràng có nghĩa chỉ với giả thiết U e LER x [0,+00))"

1.4.6 Nghiệm yếu

Định nghĩa 1.4.6 Ham U € LX A(R x [0,+00))? ee eae là nghiệm yeu của bài toán

Cauchy nếu U(a,t) €Q h.k.n va thỏa man uới bất kỳ hàm thử ¿ € CR x

|, +00).

Rõ rang một nghiệm co điển cũng là nghiệm yếu

1.4.7 Hệ thức Rankine-Hugoniot

Bây giờ ta sẽ xét các nghiêm yếu của (1.1) la ham trơn từng mảnh va có gián đoạn Cu

thé, ta nói rằng một hàm U là Œl(E x (0, +00})" từng mảnh nếu tôn tại hữu han các mặt

định hướng trơn ŠĐ trong mặt phẳng (+,#) sao cho hàm U là Œ1(R x Í0,+})? ngoài các

mặt này và thừa nhận gián đoạn trên đó.

Huỳnh Xuân Loc Trang 9 Khoa Toản - Tin

CHUONG 1 CÁC KHÁI NIỆM MO DẦU

Cho trước một mặt gián đoạn SS của U, ký hiệu rn = (mị,nạ)” là vector pháp tuyến của

5` và gọi U,,L_ là các giới han mỗi bền của U tại 5”, tức là

Us = lim ((z,t) + en)

co

Dinh lí 1.4.7 Giả sử U : Rx [0 +) 9 2 là hàm C) từng mảnh Khi dé U là nghiệm

yêu của nếu va chỉ nếu hai điều kiên sau được thỏa man

fi) U là nghiệm cổ điển của trong miền mà U là Œ1,

(ui) U thảa mãn điều kiện bước nhảy

(U, —U_)ng + (F(U,) — F(U_))ny = 0 (1.12)

tại các mat gián đoạn.

Dinh lý được chứng minh trong HH]

Trong trường hợp một chiéu, ta giả sử Š là một đường cong tron có tham số hóa (1, £())

Khi đó,

n={-c,l), e=_—.

Khi đó, điều kiện Rankine-Hugoniot trở thành:

(Us, — Ư~)e = (F(U,) - F(U-))

Với phương trình số thực, ta thu được:

[F(U))

(= —————

Cm

1.4.8 Diều kiện entropy

Khi biến đổi tương đương phương trình dao hàm riêng, chưa chấc nghiệm yếu được bảo

toàn Vi dụ, xét phương trình Burgers: uy + (s2) = 0 Nhân hai về của phương trình

z

cho 2z ta thu được

2uwy + 2u?uy = (uỀ): ¬ (5) =0

r

Khi đó, phương trình mới thu được cũng là phương trình Burger, có nghiệm cổ điển

chung Tuy nhiên, nghiệm yếu của chúng lại khác nhau (tham khảo [T|).

Do đó, có những trường hợp mà nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng không là

duy nhất Do đó, chúng ta cần thém điều kiên để chon ra nghiệm yếu phù hợp với yeu

cầu thuc tế Một trong những điều kiện đó là điều kiện entropy

Huỳnh Xuân Lậc ‘Trang 10 Khóa Toán - Tin

CHUONG 1 CÁC KHÁI NIỆM MO DẦU

Gia sit U là một nghiệm trơn của hệ luật bảo toàn {L)) Gia sử V : 2 — 8 là hàm khả

vi, Nhân cả hai về của (1.1) với V*{(U) ta được

Nếu tén tai ham kha vi G{U) sao cho

V'{U).F(U) = GU), Uet, (1.14)

thì hệ {1.13} có thể được viết dưới dang bảo toàn

8V{U) | 0G(U) _

-m.nn (1.15)

Định nghĩa 1.4.8 a ¬ Q là tập hợp lỗi Khi đá, mot hàm lỗi V : 2 3 R được got

là mét entropy của hệ | nếu tồn tại một hàm khả uí Œ: Q = R, được gọi là thông

lượng entropy, thỏa man tr thức {1.14 {1.14) Cặp (V.G) được gọt là một cặp entropy doi vii

hệ các đình luật bảo toàn Í1 1).

Dinh nghĩa 1.4.9 Mét nghiệm yếu U của bài toán Cauchy được got là ngheém

entropy néu tới moi cặp entropy (VG), điều kiện entropy

W¿+@G(U); < 0 (1.16)

được théa man theo nghĩa phân bố, có nghĩa là tới mọi ham thử ¿ € CŒ(R x í0.+=)).

y > 0, ta có

x

[ [owe + F(U]¿z)drát + JYvt0ix)et.0)a >0 (1.17)

1.4.9 Bài toán Riemann cho hệ tuyến tính với hệ số hằng

Đầu tiên, chúng ta sẽ nghiền cứu hệ tuyến tính cấp một Hyperbolic với hệ số hằng:

OU au

hd AZ =0 zeR, t>0,

trong dé U = (uy uy)’ là vector cột, A là ma trận vuông, hằng số gém p dong, p cột.

Gia sử rằng hệ là hyperbolic ngặt, nghĩa là ma tran A thừa nhân p giá trị thực phân

biệt

Ay < À¿ < < Ap.

Huỳnh Xuân Lậc Trang 11 Khoa Toản - Tin

CHUONG 1 CÁC KHÁI NIỆM MO DẦU

Khi đó A có thể được viết là A = #.A/.R*! trong đó M là ma trận chéo, R là ma tran

mà các cột của R là các vector riêng.

Ta xây dựng một biểu thức tường minh cho nghiệm u của bài toán Cauchy sau đây:

ou’ 8L.

a„tÄa=0 reR, t>0,

U{x, 0) = La(z).

Đặt V = R7'U Nhân hai về của hệ với Ro, ta được R~ÌU, + R~ÌAU, = 0,6 ROU, +

Af RT!U, =0 Do R7 là ma trận hằng khi đó 4+ MV, = 0 Do M là ma trận chéo, khi

bel

PpU(x, t) = » Vila — Apt, Or,

Giả sử rằng hệ là hyperbolic ngặt, nghĩa là ma trận A thừa nhãn p giá trị thực phan

biệt Ay < Ag < < Ap và p vector riêng tương ứng !1,?2, , rp Khi đó, do rị,r2, ,?p

CHUONG 1 CÁC KHÁI NIỆM MO DẦU

Bang cách đánh số lại và đặt K là giá trị lớn nhất của & sao cho x — Ay.f > 0 Khi đó

x= À¿t, hệ thức bước nhảy Rankine-Hugoniot được thỏa man.

1.4.10 Nghiệm yếu của bài toán Riemann

Xét bài toán Riemann (14-3) trong đó F là hàm thông lượng từ RP vào BR’ Trong

đã chỉ ra rằng, nghiệm yếu của bài toán Riemann chỉ có thể chứa p sóng bao gỗm sóng giãn, sóng sốc chap nhận được và sóng contact Trong phạm vi khóa luân tốt nghiệp

nay, chúng tôi chỉ trình bày về sóng giãn và sóng sốc chap nhân được.

1 Sóng giãn

Cho Uy và Up lần lượt là hai trạng thái bên trái và bên phải Chúng ta mong muốn

tìm một nghiêm trơn từng điểm U : (x,t) 3 U(x, t), thỏa a) và nỗi Uy, với Up.

#

Ta xét nghiêm tự dong dạng, tức là U(2,t) = V (=)

Gia sử nghiêm trên trơn từng điểm và thỏa {L!) tức là

CHUONG 1 CÁC KHÁI NIỆM MO DẦU

hoặc tồn tại chỉ số i € 1, ,p sao cho

Vậy V'(g) = Tin LEGIT én < & < Eg và V(E,) = Uy, trong đó & = d,(Uz).

Định nghĩa 1.4.10 Sóng giản thứ i là một nghiệm yeu có dang:

Ủy +< (Uy

U(x,t) = Ệ W2(@ À;(Uy)t < a < À;(Un)t.

Un z > À¡(Un|t.

trong đó 12(€) được gọi là là đường cong sóng giãn nối hai trạng thái Uy và Up, chỉ

phụ thuộc vào biến £ = z/£ và thỏa mãn các điểu kiên sau day:

de DMV) AVE) TU €)), UL) <8 < AUR), (1.19)

Vi(A(U5)) = Ur, Vil AUR) = UR.

2 Sóng sốc

Định nghĩa 1.4.11 Sóng sốc thứ ¿ là một nghiệm yeu của có dang:

Uy «x < đt,Ư(z,£) = Ẻ

Un + > d,

trong đó ø¡ được gọi là vận tốc shock thỏa man bước nhảy Rankine-Hugoniot.

Sóng sốc thứ i được gọi là sóng sốc chấp nhân được nếu nó thỏa bắt dang thức Lax:

À/{Un) < œ;(Ứpa,Ùn) < À;(U¡).

Từ đây về sau, chúng ta chỉ xét sóng sốc chap nhận được.

Huỳnh Xuân Lậc ‘Trang 14 Khoa Toản - Tin

Dưa vào , ta có thể xác định được sóng giãn thứ ¿ (¢ = 1,2) của {1.10 {1.10}.

Đỗi với tr hợp i = 1, cho trước trạng thái bên trái Uy, = (øy, Fran ta có thể xác

định được đường cong sóng giãn thứ nhất Ry(U;,) bằng cách giải Í trong trường

®¡(Uu) : =1 x5! p? (£) = ee = se (€-&) €2& 1 +—1 :

Tương tự, cho trước trang thai bên trái , ta có thể xác định được đường cong sóng

giãn thứ hai #a(U„) gồm tat cả các trang thái bên phải U có thể liên kết với Uy, bởi một

15

CHUONG 2 BÀI TOÁN RIEMANN CHO MÔ HÌNH EULER DANG ENTROPY

đường cong sóng giãn là:

Sóng sốc là một nghiêm yếu có dang là:

trong đó, vận tốc sốc a phải thỏa mãn hệ thức Rankine-Hugoniot, tức là:

~alol + [ou] = 0,

—a[pul + (pu? + p(p)] = 0,

trong đó, [p) := pr — pz (pul = prur — piur.

Cho trước trạng thái bên trái Uy, ta xác định các trang thái bén phải U có thể liên kếtvới Uy, bởi một sóng sốc bằng một số tính toán cy thể sau:

Mat khác, sóng sốc phải thỏa bat đẳng thức Lax, \(Up) < a(Uy,Upg) < (UL), § = 1,2

Ta xét trường hợp ¿ = 1 và uv thỏa (a):

tr — yvaypynl < tt + V/&(1/øy — 1/ø)(ø — py)

š Pp > PL

=>

Pos PL

CHUONG 2 BÀI TOÁN RIEMANN CHO MO HINH EULER DANG ENTROPY

(võ li) Do đó, ta không thé chọn w thỏa (a) trong trường hợp ¿ = 1

Bằng cách làm tương tự, cho trước trạng thái Uy, đường cong sóng sốc thứ (¢ = 1,2}

Si{Uz,) gồm tắt cả các trang thái U có thể liên kết với Uy, là:

Si{Up} : wi(p) := trụ — “tr — l/p)(øT — Ø7) p> pb,

S2(Up) : welp) = trụ — VÏx(1jpt — Wee? = 0.) p<

P-2.3 Nghiệm Riemann của mô hình Euler dang Entropy

Dựa vào các kết quả trên, ta sẽ tim được nghiêm của bài toán Riemann của mé hình

Euler dang Entropy, cu thể như sau:

Cho trước trạng thái U;, hai đường cong W;, WW¿ạ gồm tat cả các trang thái có thể

Ta lưới toàn bộ E x j0,+œ} bởi các điểm nút (z;,f„}

k = At bằng nhau và đình nghĩa các điểm rời rac (z;.f„} như sau

je#new Với khoảng cách h = Ax,

CHUONG 3 LUOC DO ROE CHO MÔ HÌNH EULER DANG ENTROPY

Ta sẽ xây dựng nghiệm xap xi UP € RTM với giá trị u(x;, tp) tại từng điểm rời rạc hoặc

bởi trung bình tích phân

Ta dinh nghĩa hàm hằng từng khúc Uy(z,£) = UP nếu (2, t) € (a¢j-1/2.2j+1/2) X

[tnstn+1)-Từ điều kiện đầu up{x), ta định nghĩa dit kiên đầu U° (là một vector gồm các xắp xỉ U?)

cho nghiệm xắp xi Từ đây, ta xây dựng U! từ 0°, U? từ U* (và có thể từ 0%) Tóm lại,

ta xây dựng U"*? từ U" (phương pháp two-level), "+! từ U",U"~‡, Ư°=" (phương

pháp (r — 2}-level) Trong nội dung khóa luận tốt nghiệp, chúng tôi sẽ tập trung vào

phương pháp two-level.

Dat H,(U") = url,

O đây U"*! đại điện cho vector gém các giá trị xAp xi ust tại thời gian f,.1 Giá trị

của tet tai một điểm j phụ thuộc vào vài giá tri của vector U'", do đó ta viết:

Up = HU" 3),

dé thé hién rang uptt phụ thuộc vào vector U"

Một trong các cách dé tìm day {U Hàn hjez xấp xi nghiệm u(x,t) ở thời điểm t,.; = tạ+Âttại các điểm nút z = x, là phương pháp phương pháp sai phân hữu han, ta xấp xi

các đạo hàm riêng uy, và #{w); bởi các công thức sai phân thích hợp, chẳng hạn:

yrs — pn

ua 2 ce / (sai phan tiến),

F(U",) — F(u?.

Flu), = ( ia) (07-1) (sai phân trung tam).

Rời rac hệ luật cân bằng ws + F(u), = 0, ta được:

2At ”

Al 0,

Huỳnh Xuân Loc ‘Trang 19 Khoa Toản - Tin