Tiểu luận Đề tài tìm hiểu về Đại số boole

Sự cần thiết của đại số logic thể hiện rõ rệt qua ba khía cạnh chính: ứng dụng trong công nghệ thông tin, thiết kế hệ thống kỹ thuật số và trong tư duy logic.Trước hết, đại số Boole đóng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC

KHOA ĐIỆN TỬ - VIỄN THÔNG

Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Nam Quân

TS Đinh Văn Tuấn

Môn: Điện Tử Số

Đề tài: Tìm hiểu về đại số Boole

Họ tên sinh viên: Phạm Văn Hiếu

MSV: 22810540248

Lớp: D17DT&KTMT2

Nghành đào tạo: CNKT Điện Tử - Viễn Thông

Hệ đào tạo chính quy

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Nam Quân

TS Đinh Văn Tuấn

Thời gian làm bài tiểu luận: Từ 25/5 đến 3/6

Hà nội, ngày 5, tháng 6, năm 2024

2 Mục tiêu……… 3

II Phần nội dung chính……….4

1 Chương I: Lịch sử và phát triển của đại số Boole……… 4

2 Chương II: Các khái niệm, tính chất cơ bản của đại số Boole………5

2.1 Giới thiệu chung………5

2.2 Các phép toán cơ bản trong đại số Boole (Các phần tử logic cơ bản )……… 6

2.3 Luật và tính chất của đại số Boole………12

3 Chương III: Biểu diễn và rút gọn hàm Boole……… ……… 15

3.1 Biểu diễn hàm Boole……….15

3.2 Các phương pháp rút gọn hàm Boole………18

4 Chương IV: Ứng dụng của đại số Boole……….20

III Kết quả của tiểu luận………22

IV Danh mục tài liệu tham khảo………23

I Phần mở đầu

1 Sự cần thiết

2

Đại số Boole, hay còn gọi là đại số logic, là một nhánh quan trọng của toán học, đặt nền móng cho lý thuyết thông tin và khoa học máy tính Xuất phát từ những công trình của George Boole vào thế kỷ 19, đại số Boole đã trở thành công cụ cốt lõi trong thiết kế mạch số và phát triển phần mềm Sự cần thiết của đại số logic thể hiện rõ rệt qua ba khía cạnh chính: ứng dụng trong công nghệ thông tin, thiết kế hệ thống kỹ thuật số và trong tư duy logic.

Trước hết, đại số Boole đóng vai trò quan trọng trong công nghệ thông tin và khoa họcmáy tính Các phép toán logic cơ bản như AND, OR, NOT là nền tảng để thực hiện các phép tính trong máy tính Hệ thống mã hóa nhị phân, sử dụng các giá trị 0 và 1, dựa trên các quy tắc của đại số Boole để xử lý và lưu trữ thông tin Điều này cho phép các máy tính hiện đại thực hiện các phép tính phức tạp với tốc độ và độ chính xác cao.Thứ hai, đại số Boole là cơ sở cho thiết kế các hệ thống kỹ thuật số, bao gồm mạch điện tử và vi xử lý Các kỹ sư sử dụng các biểu thức Boole để thiết kế và tối ưu hóa các mạch logic, đảm bảo chúng hoạt động hiệu quả và chính xác Những công cụ như biểu đồ Karnaugh hay phương pháp Quine-McCluskey giúp đơn giản hóa các biểu thức logic phức tạp, giảm thiểu số lượng cổng logic cần thiết trong mạch, từ đó tiết kiệm chi phí và năng lượng

Tóm lại, đại số Boole là một công cụ không thể thiếu trong thời đại công nghệ số Không chỉ đóng vai trò cốt lõi trong việc phát triển các hệ thống kỹ thuật số và công nghệ thông tin, nó còn giúp nâng cao kỹ năng tư duy và giải quyết vấn đề Việc hiểu

và ứng dụng đại số Boole là yếu tố then chốt để nắm bắt và khai thác tiềm năng của các công nghệ hiện đại Vì vậy đề tài “Tìm hiểu về đại số Boole ” được chọn để nghiên cứu, tìm hiểu cho bài tiểu luận này

2 Mục tiêu

Cung cấp một cái nhìn toàn diện về đại số Boole Trước hết, bài tiểu luận sẽ khái quát các khái niệm cơ bản và quy tắc của đại số Boole, bao gồm các biến và hàm Boole, các phép toán như AND, OR, NOT và các luật như luật giao hoán, kết hợp, và định lý

De Morgan Việc nắm vững các khái niệm này là cơ sở để hiểu và áp dụng đại số Boole vào thực tế Tiếp theo, bài tiểu luận sẽ phân tích các ứng dụng của đại số Boole trong thiết kế mạch số, khoa học máy tính và các lĩnh vực khác như trí tuệ nhân tạo và

xử lý tín hiệu số Thông qua đó, bài tiểu luận nhằm nhấn mạnh tầm quan trọng và vai trò của đại số Boole trong các tiến bộ khoa học và công nghệ hiện đại

II Phần Nội Dung Chính

1 Chương I: Lịch sử và phát triển của đại số Boole

3

Đại số Boole, được đặt theo tên của nhà

toán học người Anh George Boole, là một

nhánh của toán học liên quan đến các giá trị

logic và các phép toán trên chúng George

Boole đã phát triển nền tảng của đại số này

vào giữa thế kỷ 19, với mục đích ban đầu là

giải quyết các vấn đề trong logic học và lý

thuyết xác suất Công trình nổi bật của ông,

"An Investigation of the Laws of Thought" xuất bản năm 1854, đã đặt nền móng cho việc sử dụng các phép toán logic trong việc phân tích và biểu diễn các mệnh đề và luận lý học

Phát triển từ những ý tưởng sơ khai của Boole, đại số Boole đã trải qua nhiều giai đoạn tiến hóa và mở rộng Trong thế kỷ 20, Claude Shannon, nhà toán học và kỹ sư điện người Mỹ, đã nhận ra tiềm năng ứng dụng của đại số Boole trong thiết kế mạch điện và hệ thống thông tin Trong luận án thạc sĩ của mình vào năm 1937, Shannon đã chứng minh rằng các khái niệm và phép toán của đại số Boole có thể được sử dụng để tối ưu hóa và thiết kế các mạch điện tử, đánh dấu một bước ngoặt quan trọng trong kỹ thuật số và khoa học máy tính

Ngày nay, đại số Boole là một phần không thể thiếu của khoa học máy tính và kỹ thuật điện tử, đóng vai trò quan trọng trong việc thiết kế vi mạch, lập trình máy tính,

và phát triển các hệ thống số hiện đại Các khái niệm cơ bản của nó, như phép toán AND, OR, NOT, và các quy tắc biến đổi biểu thức logic, được áp dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực từ thiết kế phần cứng đến phát triển phần mềm, cũng như trong các thuật toán tìm kiếm và trí tuệ nhân tạo

4

2 Chương II: Các khái niệm, tính chất cơ bản của đại số Boole

2.1 Giới thiệu chung

Đại số Boole là một hệ thống đại số, trong đó B bao gồm các phép toán hai ngôi cộng (+) và nhân (*) và phép toán 1 ngôi phủ định định (-), có giá trị bé nhất là 0 và giá trị lớn nhất là 1 Đồng thời đại số Boole, cũng là đối tượng liên quan khá chặt chẽ đến các cổng Trong đại số này các biến chỉ mang một trong hai trạng thái: 0 và 1 (đúng hay sai) và cũng chính vì thế người ta còn gọi đại số boole là đại số lưỡng trạng Riêng khả năng của nó chính là giải quyết rất tốt các bài toán về các mạch luận lý (logic) như đơn giản hoá mạch, mạch tương đương,… Các mạch này còn được gọi là các cổng luận lý vì ta có thể dùng đại số boole để tính toán chúng

Trong hệ thống mạch logic, các trạng thái logic được biểu diễn bởi các mức điệnthế Với qui ước logic dương, điện thế cao biểu diễn logic “1”, logic âm, điệnthế thấp biểu diễn logic “0” Trong thực tế, mức “1” và “0” tương ứng với mộtkhoảng điện thế xác định và có một khoảng chuyển tiếp giữa mức cao và thấp, ta gọi

là khoảng không xác định Khi điện áp của tín hiệu rơi vào khoảng này, mạch sẽkhông nhận ra là mức “0” hay “1” Khoảng này tùy thuộc vào họ IC sử dụng vàđược cho trong bảng thông số kỹ thuật của linh kiện

Đa số IC có:

Mức “0” : 0 -> 0.7vMức “1” : 2.4 v -> 5 vVùng không xác định: 2.4v -> 5v

Trạng thái “0” và “1” còn có thể được hiểu dưới dạng mạch điện như sau:

K mở ứng với logic “0” : đèn tắt

K đóng ứng với logic “1” : đèn sáng

5

Xét linh kiện điện tử Transistor lưỡng

cực BJT có ba cực là: cực nền B –

Base, cực thu C – Collector, cực phát

E – Emitter Điện trở R giới hạn dòngB

nền I , điện trở R giới hạn dòng thu IB C C

chạy qua tải ở ngõ ra

Khi điện thế ngõ vào V = 0 thìI

dòng nền I = 0 khiến dòng thu I = 0B C

và điện thế ở ngõ ra là:

Vo = V - I CC CRC = VCC

(mức cao – mức “1”)

Khi điện thế ngõ vào V = VI CC

thì I lớn, Transistor dẫn bão hòa, khiB

Phương Trình Mô Tả Hoạt Động của Cổng AND n lối vào

Y = X1.X2…Xn

Ký Hiệu:

Hình: Cổng AND có 2,3,4 ngõ vào

6

cổng logic khác như sơ đồ sau:

Nếu chỉ một trong các ngõ vào có giá trị 1 thì ngõ ra có giá trị 1 và nếu tất cả ngõ vào có giá trị 0 thì ngõ ra có giá trị 0.

Bảng Trạng Thái:

Xét bảng chân trị của cổng OR có 2 và 3 ngõ vào

Khái Niệm: Là cổng có một ngõ (tín hiệu) vào và chỉ có một ngõ (tín hiệu) ra Cổng đảo có chức năng như một cổng đệm (đã trình bày trên) nhưng ngõ ra luôn đảo so với ngõ vào

2.3 Luật và tính chất của đại số Boole

Đại số Boole còn được gọi là đại số lưỡng trạng thái do tính chất hai trạng thái của nó.Khi phát minh ra môn đại số này, nó không được sử dụng cho một ứng dụng nào Sau này, khi Shannon đã áp dụng vào việc giải quyết các mạch điện thoại, và từ đó nó được phát triển không ngừng Ngày nay, đại số boole được áp dụng rộng rãi trong việcthiết kế và phân tích các mạch điện trong máy tính Bởi vì các đại lượng chỉ có hai trạng thái nên đại số Boole khác nhiều so với đại số thường và thao tác khá dễ dàng Đại số Boole không có phân số, số âm, số thập phân, số ảo, số phức, căn số,… Đại số Boole chỉ có 3 phép toán là:

Phép cộng thể hiện qua hàm OR

Phép nhân thể hiện qua hàm AND

Phép phủ định thể hiện qua hàm NOT

11

Hình vẽ minh hoạ:

Luật phối hợp

A + (B + C) = (A + B) + C

9 (A + B)( + C)(B + C) = (A + B) )( + C)A A

Định lý De Morgan:

Định lý Morgan là định lý bình thường trong toán học nhưng lại quan trọng trong

kỹ thuật, vì nó cho phép chuyển đổi giữa phép toán giao thành phép toán hợp và ngược lại, điều đó tương ứng với việc chuyển đổi giữa mạch Và (phép giao) thành mạch Hoặc (phép hợp) và ngược lại, việc đó trong kỹ thuật được ứng dụng để xây dụng, lắp ráp các hệ thống cơ bản có cùng một loại mạch hay chỉ dùng một loại mạch (toàn dùng mạch Và) hay (toàn dùng mạch Hoặc), hay thay thế mạch này thành mạch khác Điều đó cho phép dễ dàng lắp ráp, rễ dàng thay thế, dễ dàng sửa chữa mạch điện trong hệ thống số Đó là đặc điểm trong hệ thống số, mạch số kháchẳn mạch điện khác, và ta dễ dàng nhận thấy là trong nó có rất nhiều mạch giống nhau, hay rất nhiều IC giống nhau cùng với loại dùng trong mạch số cũng như trong hệ thống số

Định lý De Morgan 1:

Định lý này dựa trên cơ sở đại số boole để xác định phương trình boole

Định lý này phát biểu như sau:

ABCD = A + B + C + D

Đơn giản hoá phương trình Boole:

Sau khi thiết lập phương trình boole, điều cần thiết chính là đơn giản nó Vì mạch càng đơn giản thì càng dễ thực hiện và hiệu quả kinh tế cao

Phương pháp đại số:

Áp dụng các định lý Boole để rút gọn các biểu thức logic

gọn hàm Boole

nhau rất phức tạp và cần rất nhiều các điều kiện kèm theo dựa trên các định lý toán học Mặc dù vậy khi chuyển đổi được đới khí vẫn có sai số kèm theo, nhưng không phải phương trình toán học nào chúng ta cũng có thể tìm được phương trình tương đương của nó biểu diễn ở dạng khác, đó là điều chúng ta đều biết Nhưng với hàm Boole thì công việc đó lại hoàn khác, chúng ta có thể chuyển đối dễ dàng một hàm Boole từ dạng này sang dạng khác mà không cần bất kỳ một điều kiện nào, mà kết quảnhận được hoàn toàn chính xác Chúng ta có rất nhiều dạng biểu diễn khác nhau của cùng một hàm Boole, điều đó cho phép chúng ta nhìn nhận được tối đa sự hiểu biết một hàm Boole dưới các góc cạnh khác nhau để hiểu nó, và tận dụng ưu thế đó để sử dụng thích hợp cho mình

Với cách biểu diễn bằng bảng cho phép ta dễ dàng diễn đạt các chức năng kỹ thuật theo ý muốn của mình Từ bảng chức năng ta có thể biểu diễn nhiệm vụ kỹ thuật đó một cách dễ dàng dưới dạng toán học như sau.

- Dạng biểu thức toán học f(X)

Vẫn từ bằng chức năng biểu diễn trên hình 1.33 thì dạng biểu thức toán học của nó nhận được dễ dàng và quen thuộc như sau:

f( x1, x2, x3) = x1.x2.x3 + x1.x2.x3 + x1.x2.x3 + x1.x1.x3 + x1.x2.x3Khi biểu diễn được một nhiệm vụ kỹ thuật thành một biểu thức toán học tươngứng, thì

ta có thể biến đổi biểu thức toán học đó theo các tiên để, điều đó đồng nghĩavới việc gia công chức năng kỹ thuật, sau này việc làm đó sẽ là thay đổi mạch điệnbằng biến đổi toán học

- Dạng mã số với các giá trị (0,1)

Tương ứng với ví dụ trên hàm ba biến đó có thể được biểu diễn dưới dạng khácdạng (0,1) như sau:

f(x1, x2,x2) = ((010) (011) (100) (110) (111))Cách biểu diễn này dễ dàng đưa số liệu của hàm số vào máy với số lượng biến lớn để máy tính biến đổi, đồng thời ta cũng hiểu cách đưa tín hiệu vào của hộ thống kỹ thuật

- Dạng giá trị con số nhị phân

Ứng với cách biểu diễn chức năng kỳ thuật (hàm số logic) ở dạng (0, 1) thì nó có các giá trị của con số kèm theo như sau:

f(x1,x2,x3) = (2,3,4,6,7)Với cách biểu diễn này ta có thể đơn giản hóa cách thể hiện hàm logic, thể hiện gọn gàng hơn nhưng vẫn chưa đầy đủ các thông tin cần thiết

Một trong những cách biểu diễn hàm logic được ứng dụng nhiều nhất trong việc biến đổi

và gia công toán học là bìa Kácnô Đó là dạng biểu diễn rất thuận lợi cho biến đổi hàm logic, điều đó sẽ dược nói kỹ trong phần rút gọn hàm lôgíc sau này Bìa Kácnô của hàm

16

lôgic trong ví dụ ở trên có dạng như hình 1.34.

Nhìn vào bìa Kácnô thấy có cấu tạo hai trục (trục x1 và trục x2 x3 ) từ hai trục đó tạo

ra các toạ độ trong bảng, mỗi một ô trong bảng tương ứng với một toạ độ nhất định Trên hai trục có các giá trị (0,1) khi ghép chúng lại thì tạo ra tọa độ của đó ((010)-x1,x2,x3), đồng thời giá trị (010) đó cũng là tổ hợp của tín hiệu vào của hệ thống - nó cũng ứng với một tích số trong biểu thức toán (hai trục tương ứng với tập tín hiệu vào của chức năng), còn các ô bên trong bìa K lấy giá trị 1 hoặc 0 (thường là 6 bỏ trống) tương ứng với (x1, x2, x3) trong bàng chức năng, đó cũng là đáp ứng ra của hệ thống

kỹ thuật (đáp ứng ra của mạch điện)

Vẫn với hàm ba biển f(X) trong ví dụ trên, thì hàm đó có thể được biểu diễn trên hình 1.35 Với cách biểu diễn như vậy ở đỉnh

có chấm đậm trên hình tương ứng với đáp ứng

ra của hàm có giá trị 1 còn không có chấm ứng

với giá trị 0 Ta có thể biểu diễn hàm bốn biến

dựa trên hình 1.36 Bằng cách chấm đậm vào

các đỉnh của hình vẽ ứng với đáp ứng của hàm

bốn biến là 1 Hình vẽ đó cũng là dạng không

gian bốn biến là 1 Hình vẽ đó cũng là dạng

không gian 4 chiều của hàm lôgic bốn biến

Tương tự bằng cách như vậy ta có thể biểu diễn không gian n chiều của hàm lôgic

17

Giả sử ta có một hàm Boole như sau: F(A,B,C) = ABC + ABC + ABC + ABC

Ta có: F(A,B,C) = BC(A + A) + AB(C + C)

= BC.1 + AB.1

= BC + AB

Vậy biểu thức rút gọn hàm Boole là: F(A,B,C) = BC + AB

Đây là ví dụ cơ bản của việc rút gọn hàm Boole bằng phương pháp đại số Boole

- Sử dụng sơ đồ Karnaugh

Là một công cụ trực quan được sử dụng để rút gọn các biểu thức Boole K-map được

tổ chức dưới dạng một bảng với các ô tương ứng với các giá trị chân trị của biến Boole Các giá trị này được sắp xếp sao cho các ô liền kề chỉ khác nhau bởi một bit, giúp dễ dàng nhận diện và nhóm các ô có thể rút gọn Việc nhóm các ô này tuân theo các quy tắc như nhóm có kích thước là lũy thừa của 2 (1, 2, 4, 8, v.v.) và nhóm càng lớn thì biểu thức rút gọn càng đơn giản Ví dụ, với một biểu đồ Karnaugh 4 biến, các nhóm có thể bao gồm các ô 1x1, 1x2, 2x2, hoặc 1x4 Điều này giúp dễ dàng phát hiện

và loại bỏ các biến dư thừa, tạo ra các biểu thức Boole tối giản

Giả sử hàm Boole F(A,B,C,D) = ∑ m(0,5,9) + d(2,7,8,10,11,13,14,15)

Ta có bảng Karnaugh sau :

Sau khi kết hợp các ô ta được F(A,B,C,D) = BD + BD + AD

18

- Phương pháp Quine – McCluskey

Là một phương pháp hệ thống hơn, thích hợp cho việc xử lý các biểu thức Boole phứctạp với nhiều biến Phương pháp này bắt đầu bằng việc liệt kê các minterm từ bảng chân trị của biểu thức Sau đó, các minterm được nhóm dựa trên số lượng bit '1' trong mỗi minterm Bước tiếp theo là so sánh và ghép các nhóm để tìm ra các cặp có thể rút gọn, dựa trên việc các cặp chỉ khác nhau bởi một bit Quá trình này được lặp đi lặp lại cho đến khi không thể rút gọn thêm Kết quả cuối cùng là biểu thức Boole tối giản Ví

dụ, với một hàm Boole có các minterm {1, 3, 7, 11, 15}, phương pháp McCluskey sẽ giúp tìm ra biểu thức tối giản thông qua các bước rút gọn liên tiếp

Quine-4 Chương IV: Ứng dụng của đại số boole

Đại số Boole có ứng dụng rộng rãi và sâu rộng trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trongkhoa học máy tính và kỹ thuật điện tử Dưới đây là một số ứng dụng quan trọng của đại số Boole:

- Thiết kế mạch số

Đại số Boole được sử dụng rộng rãi trong thiết kế và phân tích mạch số, nơi các phép toán logic cơ bản như AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR được sử dụng để xây dựng các cổng logic cơ bản

19