Đại số boole

MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Tập hợp Khái niệm tập hợp Các cách biểu thị tập hợp 3 Quan hệ tập hợp Các phép toán tập hợp Các tính chất phép toán 10 II Lực lượng tập hợp 11 Tập hợp tương đương 11 Lực lượng tập tất tập 12 Nguyên lý đếm 13 III ĐẠI SỐ 16 Định nghĩa đại số 16 Đại số con, đại số thương, đồng cấu đại số 17 CHƢƠNG II ĐẠI SỐ BOOLE 19 I Giới thiệu đại số boole 19 II Đại số boole 19 Định nghĩa 19 Các tính chất đại số Boole 22 Định lý biểu diễn 24 CHƢƠNG ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ BOOLE 27 I Mệnh đề logic 27 II Sơ đồ chuyển mạch 30 Ứng dụng đại số Boole vào sơ đồ chuyển mạch 30 i Mạch nối tiếp 31 Mạnh song song 31 Hai sơ đồ tương đương 32 III Ước số 33 Xây dựng đại số Boole dựa quan hệ chia hết 33 Kết xậy dựng 34 IV Tập dàn 35 Quan hệ thứ tự 35 Dàn 38 V Dạng chuẩn tắc rút gọn sơ đồ 39 PHẦN KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 ii PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Có thể nói ngành tốn học đại ngày trình phát triển cần tới cấu trúc đại số Đại số Boole ví dụ điển hình kiểu cấu trúc đại số mà ký hiệu thường đại diện cho đối tượng số Đại số xậy dựng dựa theo đại số tập tập với phép toán hai ngơi phép hợp phép giao, cịn phép tốn ngơi phép lấy phần bù Khơng vậy, đại số Boole cịn có ứng dụng quan trọng vào sơ đồ chuyển mạch, ký hiệu biễu diễn cho công tắc hay mạch điện đặc biệt Vì vậy, sinh viên sư phạm Tốn phạm vi khóa luận tốt nghiệp với giúp đỡ cô giáo Phạm Thị Cúc, em xin trình bày hiểu biết phép toán ứng dụng Đại số Boole Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu đại số Boole - Tìm hiểu ứng dụng thực tiễn đại số Boole Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày chứng minh định lý cấu trúc đại số Boole - Trình bày ứng dụng đại số Boole Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết: đọc phân tích tài liệu, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương sau: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, em trình bày kiến thức lý thuyết tập hợp, lực lượng tập hợp khái niệm đại số Chƣơng 2: Đại số Boole Trong chương này, em giới thiệu đại số Boole, phép tốn, tính chất, mệnh đề đại số Boole Chƣơng 3:Ứng dụng đại số Boole Trong chương này, em trình bày ứng dụng đại số Boole toán học mệnh đề logic, sơ đồ chuyển mạch, ước số, tập dàn, dạng chuẩn tắc rút gọn sơ đồ PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I.Tập hợp Khái niệm tập hợp Tập hợp (hay tập) khái niệm tốn học, khơng định nghĩa mà hiểu họ bao gồm vật, đối tượng toán học,… tụ tập tính chất chung thành lập tập hợp.Các vật, đối tượng gọi phần tử tập hợp Các tập thường kí hiệu chữ in hoa: Các phần tử kí hiệu chữ thường a, b,….,x, y - Nếu a phần tử ký hiệu đọc a thuộc x ký hiệu - Nếu a không phần tử đọc a khơngthuộc x - Tập hợp khơng có phần tử gọi tập hợp rỗng ký hiệu Ví dụ 1:Cho tập hợp Các cách biểu thị tập hợp Có hai cách để biểu diễn cho tập hợp - Liệt kê tất phần tử tập hợp - Nêu tính chất đặc trưng phần tử thuộc tập Ví dụ 2: a hay b Cho tập hợp hay Quan hệ tập hợp - Nếu phần tử tập phần tử tập ta viết ,thì ta nói “ tập tập ” Ta nói “ bị chứa trong” hoặc“ chứa ”hay “ phận ” Phủ định - Nếu viết có phần tử ta nói Vì viết và hai tập hợp Tính chất: - Các quan hệ - Quan hệ kéo theo quan hệ thứ tự phận Các phép toán tập hợp a) Phép giao Nếu tập hợp tập nghĩa tập hợp phần tử chung Giao tập hợp định giao chúng miền tô đậm biểu đồ Venn X A B b) Phép hợp định nghĩa Nếu tập hợp tập Xthì hợp phần tử thuộc (hoặc thuộc 2) thuộc Hợp tập hợp miền tô đậm biểu đồ Venn X A B c) Hiệu hiệu đối xứng hai tập Hiệu tập hợp tập hợp định nghĩa sau: Vì phép tốn khơng có tính kết hợp khơng có tính giao hốn nên chúng tơicho làm quen thêm phép tốn khác họa hình 2.3 định nghĩa bởi: gọi hiệu đối xứng.Minh Hiệu đối xứng tập hợp phần tử thuộc thuộc không thuộc hai tập này.Phép toán gọi loại trừ hay hàm X X B A A B A-B Hình 2.3 Hiệu hiệu số đối xứng tập hợp Mệnh đề Hiệu số đối xứng kết hợp giao hoán tập tập tập X với phần tử đơn vị phần tửlà nghịch đảo Nghĩa là, hệ thức sau với (i) (ii) (iii) (iv) Ba tính chất sử dụng hiệu số đối xứng là: (v) (vi) (vii) Chứng minh Tính chất (ii) chứng minh theo định nghĩa với A B Ta có: Do ) đối xứng đối Biểu thức đối xứng A, B C,vậy nên (ii) cho ta: Các hệ thức lại chứng minh tương tự Phần hệ thức (i) (vii) minh họa Hình 2.4 A B A C B C Hình 2.4 Biểu đồ venn có với A, B, Ví dụ: Hệ thức Cthuộc tập tập tập X hay không? Giải Mỗi vế phương trình tính chất minh họa biểu đồ Venn Hình 2.5 Nhìn vào biểu đồ ven thấy vùng tô đậm không giống ta lấy phản ví dụ Chúng ta thấy kết sai Nếu A = X B = C = Như hệ thức khơng A B A C B C Hình 2.5.Biểu đồ Venn d) Tập lũy thừa (tập câc tập tập hợp) Định nghĩa: Cho ký hiệu là tập hợp Khi tập tất tập Ví dụ: - Nếu - Nếu - Nếu - Nếu e) Phép tốn hai ngơi Cho A làm tập hợp - Một ánh xạ - Một ánh xạ - Mỗi ánh xạ gọi phép tốn ngơi gọi phép tốn hai ngơi gọi phép tốn n Phép hợp phép giao hai phép tốn hai ngơi tập lũy thừa , cịn phép lấy phần bù phép tốn ngơi Với cho dạng bảng cấu trúc ( , ) bảng 2.1, ta ký hiệu A = {a}, B = {b} Bảng 2.1 Các phép toán hợp, giao, phần bù Tập Phần bù Mệnh đề: Sau số hệ thức quan trọng có liên quan đến phép tốn , chúng với A, B, C i ii iii iv v vi vii viii ix x xi xii xiii xiv xv xvi xvii xviii xix xx Chứng minh Chúng chứng minh hệ thức (v) hệ thức (x) Những hệ thức khác chứng minh tương tự (v) ( hoặc (x) = chung nhỏ nhấtm= a b xác định bởi: Suy d số nguyên tố ước hai số a b đồng thời bội ước chung a b (do có tên ước chung lớn nhất) Tương tự, m số nguyên tố bội hai số a b đồng thời ước bội chung a b Chẳng hạn, và Kết xậy dựng Với kiến thức sở này, ta mơ ta số ví dụ đại số Boole Cho Rõ ràng , giả sử và dễ thử phép tốn hai ngơi giao hốn lại phân tử không phần tử đơn vị Trong số nguyên tố phân biệt chia hết số a,b c, , , với i Khi luật phân phối thứ viết là: Nếu chúng tơi viết phân tích thành thừa số nguyên tố vế theo số nguyên tố pi đẳng thức lũy thừa piở hai vế với i, nghĩa là: Để thử lại điều này, trước ta giả sử ( thay đổi vị trí mà khơng làm thay đổi hai vế), kiểm tra ba trường hợp riêng biệt: , , Do luật phân phối thứ Luật phận phối lại luật kết hợp thử lại tương tự Vậy thỏa mãn tất tiên đề đại số Boole trừ tồn phần bù 34 Song nói chung phần bù khơng thiết tồn Ví dụ: khơng có phần bù có phần bù Thật vậy, ta phải có lại phần tử đơn vị phần bù nên Nhưng Do khơng có khơng phải một đại số Boole Tuy nhiên, tất Vấn đề chỗ phân tích thừa số nguyên tố có thừa số nguyên tố lặp lại Một số nguyên gọi làkhông – phươngnếu tích số ngun tố phân biệt khơng có lặp lại (chẳng hạn, số ngun tố số khơng – phương có = 2.3, 10 =2.5, 30 = 2.3.5,….) Nếu n số khơng – phương thử lại phần bù với Sự giải thích thuật ngữ đại số Boole cho Bảng 2.8 Bảng 2.8 Bảng tra thuật ngũ đại số Boole Đại số Bun Sơ đồ đảo mạch Mệch đề logic Nối tiếp Và Gcd Song song Hoặc Lcm Không phải Mở Mâu thuẫn Đóng Hằng N Mạch logic = IV.Tập đƣợc dàn Quan hệ thứ tự Đại số Boole xuất phát từ đại số tập hợp chúng có mối quan hệ quan trọng tập hợp mà ta không ý cụ thể quan hệ bao hàm Quan hệ định nghĩa theo phép tốn ngơi bởi: khi Chúng ta định nghĩa quan hệ thứ tự đại số Boole cách vận dụng phép toán hội sau: 35 Nếu đại số Boole đại số tập tập X Đó quan hệ bao hàm thông thường Mệnh đề Do điều kiện xác định quan hệ Chứng minh Nếu , ta ln có từ luật Hút suy rằng: Tương tự, ta (đpcm) Mệnh đề 2.Nếu A, B C phần tử đại số Boole, K, có tính chất phép tốn quan hệ (i) là: ( tính phản xạ) (ii) Nếu (tínhphản xứng) (iii) Nếu , ( tính bắt cầu) Chứng minh (i) luật lũy đẵng (ii) Nếu (iii) Nếu , Mối quan hệ đáp ứng ba phép toán mệnh đề 2.17 gọi quan hệ thứ tự phận Và tập hợp với thứ tự phận gọi tập xếp thứ tựbộ phậnhay ngắn gọn tập Giải thích khác thứ tự phận đại số Boole minh họa bảng 2.9 Bảng 2.9 Quan hệ thứ tự phận đại sô Boole khác Đại số Boole Đại số tập Các ước Sơ đồ chuyển mạch nối tiếp - Mệch đề logic song song khơng- phương (A B) = A A béhơn A tập Nêú A đóng A bao hàm B B B đóng B 36 số nguyên Gcb( a, b) =a A ước b Mộtquan hệ thứ tự phận tập hữu hạn K sơ đồ tập sắptrong phần tử K biểu diễn vòng tròn nhỏ Các đường thẳng nối phần tử K biểu diễn vòng tròn nhỏ Các đường thẳng nối phần tử tồn đường từA đến B ln có hướng lên Hình 2.15 minh họa sơ đồ tập đại số Boole tập ) Hình 2.16 minh họa đại số Boole ước nguyên dương Quan hệ thứ tự phận tính chia hết, tồn đường thẳng hướng lên từ a tới b achia hết cho b Mệnh đề sau có tính chất tương tự tính chất quan hệ bao hàm tập hợp Mệnh đề 3.Nếu A, B, C phần tử đại số Boole Thì có tính chất sau: (i) (ii) dẫn đến (iii) (iv) (v) với A Chứng minh (i) nên (ii) nên (iii) (iv) Nếu khác, mặt Bởi vì: (v) (Đpcm) Khơng phải tập nhận từ đại số Boole Đại số Boole loại tập vô đặc biệt Bây ta xác định điều kiện để 37 đảm bảo tập đại số Boole Cho quan hệ phận tập K, ta phải tìm hai phép tốn hai ngơi tương ứng với phép hội phép tuyển Phần tử d gọi cận lớn nhấtcủa phần tử a b tập thứ tự cho , , phần tử khác Ta ký hiệu cận lớn a b Tương tự, ta có theo định nghĩa cận nhỏ nhấtvà ký hiệu Từ tính phản xứng quan hệ thứ tự phận suy cặp phần tử a b có nhiều cận lớn có nhiều cận nhỏ Dàn Một dànlà tập thứ tự phận cặp hai phần tử có cận lớn cận nhỏ Vì vậy, nguyên suy dàn với số Do từ nhận xét Ví dụ phần mục I chương III dàn đại số Boole (xem hình 2.17) Chúng ta đưa định nghĩa khác đại số Boole dựa vào dàn: Một đại số Boole dàn có cận phổ dụng (nghĩa phần tử cho , với phần tử a) đồng thời phân phối bù (nghĩa luật phân phối và phần bù tồn tại) Trong Hình 2.18, phần tử c d có cận nhỏ b khơng có cận lớn Ta ý nhận xét Ví dụ phần mục I chương III chứng tỏ với tập dàn mà luật phân phối khơng phải đại số Boole trừ nlà số khơng – phương 38 18 b a c d e Hình 2.18 V Dạng chuẩn tắc rút gọn sơ đồ Hình 2.17 Nếu chúng tơi có sơ đồ chuyển mạch phức tạp biểu diễn biểu thức Boole, chẳng hạn liệu ta xây dựng dạng đơn giản mà thực hàm hay khơng? Nói cách khác, tơi muốn rút gọn biểu thức Boole để dạng đơn giản Trong thực tế, ta thường mong muốn rút gọn thành sơ đồ có giá trị rẻ dạng phải tùy thuộc vào trình độ kỹ thuật thời điểm Tuy nhiên, tơi có số phương pháp để xác định xem liệu hai biểu thức Boole có tương đương với khơng Tơi rút gọn để dạng chuẩn tắc biết, biểu thức giống dạng chuẩn tắc chúng Tôi xem xét dạng gọi dạng chuẩn tuyển Trong đại số Boole tập tập hợp, tập biểu diễn dạng hợp tập riêng biệt phép hợp không kể đến thứ tự số hạng Tôi thu kết tương ứng đại số Boole hữu hạn tùy ý Các phần tử đóng vai trò tập riêng biệt gọi nguyên tử Ở đây, nguyên tử đại số Boole phần tử khác không B cho: Vậy B nguyên tử từ với kéo theo Từ suy nguyên tử phần tử phần tử phía phần tử 39 không sơ đồ tạp Trong trường hợp đại số ước số nguyên không – phương ngun tử số ngun tố, định nghĩa b số nguyên tố là: kéo theo Bây giơ tơi đưa mơ tả xác đại số sơ đồ chuyển mạch Các phần tử đại số dạng chuẩn tuyển biểu thức trở nên rõ nhờ cách mô tả Một sơ đồ chuyển mạch biến xem hộp đen chứa công tắc độc lập A1, A2, …, An Hình 2.19, cơng tắc bật tắt Tác động sơ đồ thu cách thử tất 2n tổ hợp khác n công tắc ý hộp cho phép dòng điện chạy qua Bằng cách này, sơ đồ xác định hàm n biến A1, A2, ……, An: mà gọi hàm chuyển mạch sơ đồ Hai sơ đồ cho hàm chuyển mạch chúng tương đương Ví dụ: Sơ đồ Hình 2.20 tương ứng với biểu thức cho bảng 2.10 cho ta hàm chuyển mạch Bảng 2.10 Hàm chuyển mạch A B C 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 Ký hiệu tập tất hàm chuyển mạch biến từ vào Mỗi 2n phần tử miền xác định hàm biến 40 thành hai phần tử đối miền Vì vậy, số hàm chuyển mạch biến khác số sơ đồ khác có Cho hai hàm chuyển mạch hai sơ đồ công tắc 22n biếnA1, A2, ……., An Khi sơ đồ mắc nối tiếp song song chúng cho hàm chuyển mạch theo thứ tự đó: Và Hàm chuyển mạch sơ đồ đối lập với sơ đồ xác định , Định lý:Tập chuyển mạch biến tạo thành đại số Boole có 22n phần tử Chứng minh Có thể thử thỏa mãn tất tiên dề đại số Boole Phần tử không hàm mà ảnh ln cịn phần tử đơn vị hàm mà ảnh ln Đại số Boole hàm chuyển mạnh hai biến có 16 phần tử biểu diễn bảng 2.11 Chẳng hạn, Hàm hàm loại trừ OR hay cộng Modolo Nó hàm hiệu đối xứng, hiệu đối xứng A B đại số Boole xác định bởi: Các phép toán NAND NOR theo thứ tự có nghĩa “not and” “not or” Các phép tốn nói đến nhiều phần “ Các cổng bán dẫn” Như ví dụ phép tốn đại số Boole phần bù , , Trong đại số Boole ta tính hội tuyển Bảng 2.12 ta thấy rừng , Các kết tương ứng hệ thức Điều xảy Vì vậy, phần với 41 tử hàm mà ảnh chúng chứa phần tử khác không chưa 2n phần tử biểu thức thể phần tử có dạng Trong Bảng 2.11 Các hàm chuyển mạch hai biến A 0 1 Các biểu thức A B biểu diễn B 1 hàm 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 NOT (A, B) 0 1 1 1 0 1 1 NAND (A, B) 1 1 A không kéo theo B A B không kéo theo A B hàm loại trừ OR(A, B) 42 Bảng 2.12 Một số phép toán A B 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 16 phần tử minh họa 2.21 bốn phần tử , , xác định Bảng 2.11 Để chứng minh phần tử đại số Boole hữu hạn viết dạng hợp nguyên tử ta cần ba bổ đề sau nguyên tử đại số Boole Bổđề 1.Nếu ) với Chứng minh Nếu nên Vì nguyên tử nên bảng Không thể xảy trường hợp phần tử kéo theo A = Vậy tồn đó, với Nhưng A nguyên tử nên điều cho Chiều lại đẳng thức hiển nhiên Bổ đề 2.Nếu Z phần tử khác không đại số Boole hữu hạn tồn nguyên tử B để Chứng minh Nếu Z nguyên tử lấy B = Z Nếu khơng từ định nghĩa nghuyên tử suy tồn phần tử khác Z1 Nếu Z1 nguyên tử ta tiếp tục cách làm để thu dãy phần tử khác không phân biệt… Do đại số hữu hạn nên dãy phải dừng nguyên tử B Bổ đề 3.Nếu tất nguyên tử đại số hữu hạn với i thỏa mãn 43 Chứng minh với , Nếu Y khác từ Bổ đề suy tồn Giả sử nguyên tử với Do đó, Điều mâu thuẫn, Vậy Y = Chiều ngược lại hiển nhiên Định lý:(Dạng chuẩn tuyển) Mọi phần tử X đại số Boole hữu hạn viết dạng hợp nguyên tử Hơn nữa, cách hiểu diễn không kể thứ tự nguyên tử Chứng minh Giả sử tất nguyên tử bé bằngX theo quan thứ tự phận Từ Mênh đề 3(iii) suy hợp , mà theo Mênh đề 3(iv) tương đương với Ta Ta có: Nếu B nguyên tử hợp Ythì đặt suy Nếu B ngun tử khơng nằm hợp Ythì có Vìvậy, Bổ đề ta có đương với tương Từ tính phản xứng quan hệ thứ tự phận suy X= Y Để chứng minh tính giả sử X đuợe viết duới dạng hợp hai tập hợp nguyên tử: nên theo Bổ đề 1, Ta có nguyên tử vế phải, Lặp lại lập luận ta thấy hai tập hợp các nguyên tử không kể đến thứ tự chúng Trong đại số Boole hàm chuyển mạch thể biểu thức có dạng biến, nguyên tử , cịn , bị chứa dạng chuẩn tuyển hàm 44 Biểu thức Do tồn nguyên tử dạng chuẩn tuyển lần phần tử xuất ảnh hàm chuyển mạch Ví dụ 1:Tìm dạng chuẩn tuyển biểu thức kiểm tra kết cách sử dụng tiên đề để rút gọn biểu thức dạng Giải: Từ giá trị hàm chuyển mạch Bảng 2.13 ta thấy dạng chuẩn tuyển Từ tiên đề, ta có: Bảng 2.13 Hàm chuyển mạch A B C 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 45 Ví dụ 2: Xác định xem biểu thức ba biểu thức sau tương đương: Giải Ta có bảng sau: A B 0 0 0 1 1 1 1 0 Từ bảng 2.14 ta thấy thức biểu Các nguyên tử đại số Boole thể biểu thức Các nguyên tử chia biểu đổ Venn thành bốn miền phân biệt Dạng chuẩn tuyển biểu thức Boole liên quan đến biến A B tính cách tơ đậm miền biểu đồ Venn tương ứng với biểu thức sau lấy hợp nguyên tử miền tô đậm Nó minh họa tám miền biểu đồ Venn tuơng ứng với ba biến Nhìn vào miền tơ đậm biểu đồ Venn tuơng ứng với biểu thức Boole ta thấy cách để rút gọn biểu thức đó, Ngồi ra, dạng chuẩn tuyển cịn cho ta phuơng pháp chứng minh giả thuyết đuợc suy từ biểu đồ Venn 46 PHẦN KẾT LUẬN Q trình nghiên cứu khóa luận với đề tài “Đại số Boole” thu kết sau: - Hệ thống kiến thức lý thuyết tập hợp khái niệm đại số - Trình bày cách có hệ thống chi tiết kiến thức đại số Boole, bao gồm: khái niệm, ví dụ minh họa, tính chất, phép tốn Đồng thời khóa luận trình bày số định lý, mệnh đề, phép toán hay sử dụng đại sô Boole nhằm phục vụ cho việc chứng minh toán cấu trúc đại số Boole toán liên quan - Giới thiệu số ứng dụng thực tiễn đại số Boole vào toán mệnh đề logic, đưa bảng chân trị để xác định tính sai đối tượng thực tế, ứng dụng đại số Boole để phân tích số sơ đồ chuyển mạch, hay mô tả đại số Boole qua ước số, đưa điều kiện để đảm bảo tập đại số Boole, hay đưa định nghĩa khác đại số Boole dựa vào dàn, … Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện cho em tham gia học hỏi đặc biệt côPhạm Thị Cúc bảo giúp đỡ tận tình em hồn thành khóa luận Một lần cho em gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô Đây lần đầu em tham gia nghiên cứu nội dung thuộc chuyên ngành đại số nên không tránh thiếu sót Vì em mong thầy bạn sinh viên khoa đóng góp để khóa luận em hồn thiện Thanh Hóa, Tháng năm 2017 Sinh viên Trƣơng Thị Lý 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A John Wiley& Sons, Inc Modern Algebra With Applications University of Calgary, 2004 [2] Hồng Xn Sính, Đại số đại cương Nhà xuất Giáo dục, 1972 [3] Nguyễn Tiến Quang, Đại số đại cương Nhà xuất Giáo dục, 2008 [4] Nguyễn Anh Tuấn, Giáo trình Logic toán lịch sử toán học Nhà xuất Đại Học Sư Phạm, 2007 [5] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình Đại số đại Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2003 48