Một họ môđun với dãy lọc specht của các đại số brauer

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN CÔNG TRUNG MỘT HỌ MÔĐUN VỚI DÃY LỌC SPECHT CỦA CÁC ĐẠI SỐ q-BRAUER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN CÔNG TRUNG MỘT HỌ MÔĐUN VỚI DÃY LỌC SPECHT CỦA CÁC ĐẠI SỐ q-BRAUER Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN TIẾN DŨNG Nghệ An - 2017 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức sở tổ hợp 1.2 Đại số Iwahori-Hecke nhóm đối xứng 10 1.3 Đại số q -Brauer 13 Họ môđun với dãy lọc Specht đại số q-Brauer 2.1 Giới thiệu 20 20 2.2 Biểu đồ Young quan hệ thứ tự 21 2.3 Họ mơđun Lµ với dãy lọc Specht 24 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU Vào năm 1937, R Brauer [1] giới thiệu đại số, mà ngày biết đến đại số Brauer để nghiên cứa lũy thừa Tenxơ thứ n biểu diễn nhóm trực giao nhóm Symplectic Đại số Brauer chứa đại số nhóm đối xứng đại số tự nhiên Đại số sau tập trung nghiên cứu nhiều nhà toán học giới khám phá cấu trúc dẫn đến nhiều ứng dụng quan trọng lý thuyết Knot, khí, thống kê, tốn lý, lý thuyết biểu diễn Sau đó, q -biến thể đại số Brauer tìm Birman Wenzl độc lập Murakami kết nối với lý thuyết Knot nhóm lượng tử Tương tự đại số Brauer, đại số (ngày đại số gọi đại số BMW) tìm thấy nhiều ứng dụng vật lý lượng tử, hình học đại số, lý thuyết biểu diễn, lĩnh vực toán học khác Vào năm 2012, Wenzl [11] giới thiệu q -biến thể khác đại số Brauer thông qua định nghĩa phần tử sinh mối quan hệ chúng Đại số đặt tên đại số q -Brauer chứa đại số Hecke nhóm đối xứng đại số tự nhiên Trong nghiên cứu mình, Wenzl [11] chứng minh rằng, mở rộng trường số hữu tỉ với tham số r, q , đại số q -Brauer nửa đơn đẳng cấu với đại số Brauer Một số ứng dụng đại số q -Brauer tìm thấy tiếp nghiên cứu vành biểu diễn nhóm trực giao nhóm Sympletic[12], phạm trù môđun phạm trù liên hợp kiểu A thành phần tương ứng kiểu II1 [11] Trong [2], Nguyễn Tiến Dũng chứng minh đại số q -Brauer có cấu trúc Cellular điều dẫn đến hướng nghiên cứu lý thuyết biểu diễn modula đại số phương pháp đại số tuyến tính Dũng (xem [5]) xây dựng sở cellular cụ thể cho đại số tiếp tính tốn đại số q -Brauer đại số BMW không đẳng cấu với tổng quát chúng có số chiều có phần tử sinh giống Điều dẫn đến kết nghiên cứu có trước đại số BMW áp dụng đại số q-Brauer đó, việc nghiên cứu đại số để khám phá cấu trúc vấn đề mang tính thời Trong lĩnh vực lý thuyết biểu diễn, môđun Specht xuất lần nghiên cứu lý thuyết biểu diễn modula nhóm đối xứng Sn Môđun Specht Sn -môđun không phân tích mơđun đơn nhóm đối xứng thương mơđun Specht Một mơđun M gọi có lọc Specht có dãy mơđun M = Mn ⊃ Mn−1 ⊃ ⊃ M1 ⊃ M0 = cho Mi /Mi−1 đẳng cấu với môđun Specht với số i=1, 2, , n Hệ số môđun Specht lọc Specht định nghĩa số lần môđun thương Mi /Mi−1 đẳng cấu với dãy lọc Nếu hệ số môđun Specht dãy lọc M độc lập với dãy lọc ta nói M có hệ số lọc tốt Trong hướng nghiên cứu khác liên quan đến đại số q - Brauer, năm 2006 Hartman Paget [6] mơđun đại số Brauer có lọc Specht dãy có hệ số lọc tốt trường hợp đặc số k = 2, Vì đại số q -Brauer biến thể đại số Brauer nên câu hỏi xuất phát tự nhiên là: kết đại số Brauer có cịn cho đại số q -Brauer hay không, nghĩa môđun đại số q -Brauer thừa nhận lọc Specht hệ số lọc có xác định hay khơng trường hợp xây dựng họ mơđun có tính chất cho đại số q -Brauer hay không Trong kết gần Nguyễn Tiến Dũng [4] chứng minh kết Hartman Paget đại số Brauer cho trường hợp đại số q -Brauer, nghĩa là: Tồn họ môđun đại số q -Brauer mà thừa nhận lọc Specht với hệ số lọc tốt Tiếp theo nghiên cứu Nguyễn Tiến Dũng, luận văn chúng tơi trình bày lại cách xây dựng họ môđun cụ thể mà thừa nhận dãy lọc Specht đại số q -Brauer chứng minh rằng, dãy lọc Specht có hệ số lọc tốt Với mục đích vậy, chúng tơi lựa chọn tên đề tài là: MỘT HỌ MÔĐUN VỚI DÃY LỌC SPECHT CỦA CÁC ĐẠI SỐ q BRAUER Cấu trúc luận văn trình bày sau: Chương Kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức sở tổ hợp: Nhóm đối xứng Sn 1.2 Đại số Iwahori-Hecke nhóm đối xứng 1.3 Đại số q-Brauer: Các định nghĩa, tính chất đại số q-Brauer, sở cellular đại số q-Brauer Chương Họ môđun với dãy lọc Specht đại số q -Brauer Chương trình bày nội dung luận văn Trong chương này, giới thiệu họ môđun cho đại số q -Brauer, môđun xây dựng dựa họ mơđun hốn vị đại số IwahoriHecke Những môđun Specht đại số q -Brauer thừa nhận dãy lọc Specht với hệ số lọc độc lập tương tự hệ số dãy lọc Specht mơđun hốn vị đại số Iwahori-Hecke Tiếp chúng tơi đưa số ví dụ để minh họa kết tổng quát Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Tiến Dũng Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy, người dẫn dắt hướng dẫn tận tình trình tác giả làm luận văn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy(cơ) giáo khoa sư phạm Tốn học - Trường Đại học Vinh giành thời gian giảng dạy nhiệt tình, truyền đạt kiến thức bổ ích cho tơi Trong trình học tập nghiên cứu có nhiều cố gắng, nỗ lực thân thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý thầy, cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Trân trọng! Nghệ An, tháng 06 năm 2017 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số kiến thức sở tổ hợp Nhóm đối xứng Sn 1) Định nghĩa: Nhóm đối xứng Sn gồm tất song ánh từ tập hợp {1, 2, 3, , n} vào với phép tốn nhóm phép hợp thành ánh xạ Mỗi ánh xạ π ∈ Sn gọi hốn vị 2) Kí hiệu: Đối với hốn vị π bất kỳ, ta thường sử dụng ba cách kí hiệu khác sau Cách 1: Kí hiệu hai dòng dãy π= n π(1) π(2) π(3) π(n) Ví dụ Xét π ∈ S5 với π(1) = 2, π(2) = 3, π(3) = 1, π(4) = 4, π(5) = Khi đó: π= 2 3 4 5 Cách 2: Mơ tả hốn vị π dịng Theo cách mơ tả dịng ln cố định Do cách mơ tả thứ hai lấy dòng thứ hai cách Cách 3: Mơ tả hốn vị π thơng qua kí hiệu xích Với i ∈ {1, 2, 3, , n} cho trước, phần tử dãy 1, π(i), π (i), hoàn toàn phân biệt Chọn lũy thừa cho π p (i) = i, ta có xích (i, π(i), , π p−1 (i) Một cách tương đương, ta định nghĩa xích (i, j, k, , l) có nghĩa ánh xạ π biến i thành j , biến j thành k, biến l thành i Bây chọn phần tử khơng nằm xích chứa i lặp lại trình tất số {1, 2, 3, , n} sử dụng Ví dụ, ta biểu diễn hốn vị π ví dụ theo cách viết sau π = (1, 2, 3)(4)(5) Chú ý hoán vị vịng trịn phần tử nằm xích, hay thay đổi thứ tự xích với khơng làm ảnh hưởng đến hoán vị Chẳng hạn, (1, 2, 3)(4)(5) = (2, 3, 1)(4)(5) = (4)(2, 3, 1)(5) = (4)(5)(3, 1, 2) Một k-xích hay xích với độ dài k, xích gồm k phần tử Hốn vị 3-xích hai 1-xích Kiểu xích, hay đơn giản kiểu π biểu thức có dạng (1m1 , 2m2 , , nmn ) Ở mk số xích có độ dài k π Hốn vị ví dụ có kiểu xích (12 , 20 , 31 , 40 , 50 ) Một 1-xích π gọi điểm bất động Các số 4, điểm bất động ví dụ Các điểm bất động thường bỏ kí hiệu xích khơng có hiểu lầm xảy Một đối hợp hoán vị π cho π = e với e ánh xạ đồng Dễ thấy π đối hợp tất xích π có độ dài Kí hiệu sj = (j, j + 1) với < j < n chuyển vị nhóm đối xứng Sn Những chuyển vị sj phần tử sinh nhóm đối xứng Sn 3) Sự diễn tả rút gọn hoán vị Cho hoán vị π ∈ Sn Nếu π biểu diễn tích sj1 sj2 sjk chuyển vị cho k số tự nhiên nhỏ nhất, với tính chất kí hiệu l(π) = k , gọi sj1 sj2 sjk diễn tả thu gọn cho π Ví dụ Sử dụng hốn vị π ví dụ ta có π = s1 s2 l(π) = 10 1.2 Đại số Iwahori-Hecke nhóm đối xứng Định nghĩa Cho R vành giao hốn có đơn vị 1, q phần tử khả nghịch R Đại số Iwahori-Hecke (trên R) nhóm đối xứng R-đại số liên kết hợp Hn (q ) với phần tử sinh g1 , g2 , , gn−1 , thỏa mãn quan hệ xác định sau gi2 = (q − 1)gi + q với ≤ i < n; gi gi+1 gi = gi+1 gi gi+1 với ≤ i < n − 1; gi gj = gj gi với ≤ |i − j| Nếu w ∈ Sn si1 si2 ) sim biểu thức thu gọn w, gω = gi1 gi2 gim phần tử xác định Hn (q ) tập {gw : w ∈ Sn } sinh Hn (q ) R-môđun (Định lý 1.8 1.13 [9]) Để tiện cho sau này, ta đặt + gl,m = gl gl+1 gm l m; gl gl−1 gm l > m − gl,m l, m = −1 −1 l m; gl−1 gl+1 gm −1 −1 −1 gl gl−1 gm l > m n Những kiến thức chúng tơi trình bày dựa tài liệu [5] Nếu µ hợp thành n, ta định nghĩa phần tử cµ cµ = gσ (1.1) σ∈Sµ Trong mục này, đặt ánh xạ ∗ phép đối hợp đại số Hn (q ), ta có ∗ : gw −→ gw− với ω ∈ Sn Nếu λ phân hoạch n, ˇ nλ định nghĩa iđêan hai phía Hn (q ) sinh phần tử H 26 ˇ nλ có tập mở rộng Không gian R-vec tơ Br ∗ xν(s,u)(t,v) := gu∗ gd( s) mν gd(t) gv (s, u), (t, v) ∈ In (l, ν) ν ✄ λ với (l, ν), (k, λ) ∈ Λn (2.9) iđêan hai phía Brn (r2 , q ) Hơn nữa, theo [4; Bổ đề 2], ta có ˇ λ Jn (k + 1) ⊆ Br n Định lý Đại số Brn (r2 , q ) tạo cách tự R-môđun tập hợp ∗ gu∗ gd( s) mλ gd(t) gv (s, u), (t, v) ∈ In (k, λ), với λ phân hoạch n − 2k , ≤ k ≤ [n/2] (2.10) Hơn nữa, phát biểu sau đúng: (1) Phép đối hợp ∗ thỏa mãn ∗ ∗ ∗ gu∗ gd( s) mλ gd(t) gv → gv gd(t) mλ gd(s) gu với (t, v), (s, u) ∈ In (k, λ) (2) Giả sử b ∈ Brn (r2 , q ) k số nguyên, ≤ k ≤ [n/2] Nếu λ phân hoạch n − 2k (s, u), (t, v) ∈ In (k, λ), ∗ gu∗ gd( s) mλ gd(t) gv ≡ a(t ,v ) mλ gd(t ) gv ˇ nλ mod Br (2.11) (t ,v ) a(t ,v ) ∈ R, (t , v ) ∈ In (k, λ), với (t, v) ∈ In (k, λ) ˇ nλ R-môđun tự tạo Như hệ định lý trên, Br tập hợp ∗ gu∗ gd( s) mν gd(t) gv : (t, v), (s, u) ∈ In (l, ν), for ν ✄ λ) Các môđun (hoặc môđun Specht) Cnλ (k) đại số q -Brauer định nghĩa R-môđun tự tạo ˇ nλ | (t, v) ∈ In (k, λ)} {mλ gd(t) gv + Br (2.12) tác động Brn (r2 , q ) cho trước λ λ ˇn= mλ gd(t) gv b + Br ˇ n với b ∈ Brn (r2 , q ), a(t ,v ) mλ gd(t ) gv + Br (t ,v ) 27 hệ số a(t ,v ) ∈ R với (t , v ) ∈ In (k, λ) xác định biểu thức (1.16) Ví dụ sau minh họa sở cho môđun Specht Ví dụ Cho n = 5, k = λ = (2, 1) Nếu j, ij số nguyên với ≤ ij ≤ j ≤ n − ta viết tj = tj = sj s(j−1) s(ij ) , sử dụng thuật toán [2; Mục 3.3], ta B2,5 = { v = t2 t4 | tj = tj = sj,ij , ≤ ij ≤ j với j ∈ {2, 4} } = {1, s2 , s4 , s2,1 , s4,3 , s2 s4 , s2,1 s4 , s4,2 , s2 s4,3 , s2,1 s4,3 , s2 s4,2 , s4,1 , s2 s4,1 , s2,1 s4,2 , s2,1 s4,1 } B1,5 = {v = t2 t3 t4 | tj = tj = sj,ij , ≤ ij ≤ j ≤ với j ∈ {2, 3, 4}}={1, S2 , S2,3 , S2,1 , S2,1 S3 , S2,1 S3,2 , S2,4 , S2,1 S3,4 , S2,1 S3,2 S4 , S2,1 S3,2 S4,3 } Vì tập phân hoạch {ν | ν λ}={ν1 = (3), µ2 = (1)}, nên ta thu tiếp theo: Với ν1 = (3), tính tốn đơn giản dẫn đến nhóm Young S( ν1 ) = {1, s3 , s4 , s3 s4 , s4 s3 , s4 s3 s4 } tập tất bảng chuẩn Std(ν1 ) = {tν1 = } Dẫn đến: mν1 = e(1 + g3 + g4 + g3 g4 + g4 g3 + g3 g4 g3 ) = e(1 + g3 )(1 + g4 + g4 g3 ) Với ν2 = (1), ta có nhóm Young Sν2 = {1}, Std(ν2 ) = { tν2 = mν2 = e(2) Bây giờ, theo công thức (1.4), iđêan hai phía (2,1) Br5 } sinh tự R-môđun tập hợp xν(s11 ,u1 )(t1 ,v1 ) , (t1 , v1 ), (s1 , u1 ) ∈ I5 (1, (3)), xν(s22 ,u2 )(t2 ,v2 ) (t2 , v2 ), (s2 , u2 ) ∈ I5 (2, (1)) = xν(1,u , v1 , u1 ∈ B1,5 )(1,v1 ) ν2 x(1,u2 )(1,v2 ) v2 , u2 ∈ B2,5 (2.13) Mặt khác, ta nhận Std(λ) = tλ = , tλ s4 = , Sλ = {1, s3 } mλ = e(1 + g3 ) 28 Cơ sở môđun Specht C(1, λ), dạng trình bày (1.17), ˇ (2,1) | t ∈ 1, s4 v ∈ B1,5 }, dimR C(1, λ) = 20 {xλ(t,v) = e(1+g3 )gt gv +Br Bổ đề Nếu k số ngun, ≤ k < [n/2], tồn đơn cấu R-đại số ϑk : Hn−2k → Jn (k)/Jn (k + 1), xác định ϑk : gvˆ → a−k e(k) gv + Jn (k + 1), r − r−1 , v = si1 si2 · · · sim hoán vị S2k+1,n a = q − q −1 vˆ hoán vị vˆ = si1 −2k si2 −2k · · · sim −2k ∈ Sn−2k Ngoài ra, ánh xạ ϑk thỏa mãn tính chất ϑk (gj gvˆ) = g2k+j ϑk (gvˆ), ≤ j < n − 2k (2.14) Chúng minh Tính chất đơn cấu R-đại số νk kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa Phương trình (2.14) suy từ thực tế rằng: ϑk (gj gvˆ) = ϑk (gj )ϑk (gvˆ) = (a−k e(k) gj+2k )(a−k e(k) gv ) = a−2k gj+2k (e(k) )2 gv =L1 (2)[3] a−k g2k+j ek gvˆ = g2k+j ϑk (gvˆ) Định nghĩa Cho k số nguyên, ≤ k ≤ [n/2], µ hợp thành n − 2k , ta định nghĩa Lµ Brn (r2 , q )-môđun phải Jn (k)/Jn (k + 1) sinh phần tử mµ + Jn (k + 1) Cho λ phân hoạch n − 2k , ta định nghĩa ∗ gd( s) mλ gd(t) với S ∈ T0 (λ, µ) t ∈ Stdn (λ), (2.15) mS t = s∈Std(λ) µ(ˆs)=S ˆs bảng λ-chuẩn Std(λ), thu cách kí hiệu lại điểm nút i s i − 2k Chú ý phần tử mS t đại số q -Brauer định nghĩa tương tự phần tử cS t (xem (1.2)) Đại số Iwahori-Hecke Kết sau 29 Định lý Cho k số nguyên, ≤ k ≤ [n/2], µ hợp thành n − 2k Khi đó, Lµ tự R-môđun với sở mS t gv + Jn (k + 1) với S ∈ T0 (λ, µ), t ∈ Stdn (λ), λ n − 2k v ∈ Bk,n (2.16) Chứng minh Nếu b ∈ Brn (r2 , q ) u ∈ Bk,n theo Bổ đề (trong Mục 2.3), tồn a(ω,v) ∈ R, với ω ∈ S2k+1,n v ∈ Bk,n cho e(k) gu b ≡ a(ω,v) e(k) gω gv mod Jn (k + 1) ω∈S2k+1,n v∈Bk,n Tiếp theo, ta nhân hai vế cơng thức cuối với xµ phía bên trái sử dụng tính chất (2.14), ta xµ e(k) gu b ≡ a(ω,v) xµ (e(k) gω )gv mod Jn (k + 1) ω∈S2k+1,n v∈Bk,n a(ω,v) ak xµ ϑk (gωˇ )gv ≡BĐ3 mod Jn (k + 1) ω∈S2k+1,n v∈Bk,n ≡(1.5) a(ω,v) ak ( ω∈S2k+1,n v∈Bk,n ≡(2.14) gσ )ϑk (gωˆ )gv mod Jn (k + 1) gσˆ )gωˆ )gv mod Jn (k + 1) σ∈Sµ a(ω,v) ak ϑk (( ω∈S2k+1,n v∈Bk,n σ∈Sµ ≡(1.1) a(ω,v) ak ϑk (cµ gωˆ )gv mod Jn (k + 1) ω∈S2k+1,n v∈Bk,n Sử dụng định nghĩa M µ Định lý Mục 1.2, cµ gωˆ viết lại sau cµ gωˆ = a(S,t) cSˆt S∈T0 (λ,µ) t∈Stdn (λ) 30 Do a(ω,v) ak ϑk ( mµ gu b ≡ ω∈S2k+1,n v∈Bk,n mod Jn (k + 1) a(S,t) ϑk (cSˆt )gv mod Jn (k + 1) S∈T0 (λ,µ) t∈Stdn (λ) ≡ ak a(ω,v) ω∈S2k+1,n v∈Bk,n ≡(1.6) ak S∈T0 (λ,µ) t∈Stdn (λ) a(ω,v) ω∈S2k+1,n v∈Bk,n ≡(1.2) ak a(S,t) cSˆt )gv ˆt∈Std(λ) µ(ˆt)=S S∈T0 (λ,µ) t∈Stdn (λ) a(ω,v) ω∈S2k+1,n v∈Bk,n ≡BĐ3 ∗ gd(ˆ s) cλ gd(ˆt) )gv mod Jn (k+1) a(S,t) ϑk ( ˆs∈Std(λ) µ(ˆt)=S S∈T0 (λ,µ)t∈Stdn (λ) a(ω,v) ω∈S2k+1,n v∈Bk,n cˆsˆt )gv mod Jn (k + 1) a(S,t) ϑk ( ∗ gd( s) e(k) xλ gd(t) )gv mod Jn (k+1) a(S,t) ϑk ( s∈Std(λ) µ(ˆt)=S S∈T0 (λ,µ) t∈Stdn (λ) ≡(2.15) a(ω,v) ω∈S2k+1,n v∈Bk,n a(S,t) mSt gv mod Jn (k + 1) S∈T0 (λ,µ) t∈Stdn (λ) Vì vậy, ta có a(ω,v) mµ gu b + Jn (k + 1) = ω∈S2k+1,n v∈Bk,n a(S,t) mSt gv + Jn (k + 1) S∈T0 (λ,µ) t∈Stdn (λ) (2.17) Điều chứng minh tính mở rộng tập hợp (2.16) Bây giờ, ta cần phần tử mS t gv + Jn (k + 1) tập hợp (2.16) nằm Lµ Thật vậy, với v ∈ B(k,n) , theo Bổ đề Mục 2.3, ta có e(k) gv ≡ a(ω,v) e(k) gω gu mod Jn (k + 1) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n ∗ Nhân hai vế vào bên trái phương trình với gd( s) xλ gd(t) , 31 s, t ∈ Stdn (λ) µ(ˆ s) = S với S ∈ T0 (λ, µ), ta ∗ (gd( s) xλ gd(t) )e(k) gv ≡ ∗ a(ω,u) (gd( s) xλ gd(t) )e(k) gω gu mod Jn (k + 1) ω∈S2k+1,n v∈Bk,n ∗ a(ω,u) (gd( ˆ )gu mod Jn (k + 1) s) xλ gd(t) )ϑk (gω ≡BĐ3 ak ω∈S2k+1,n v∈Bk,n ∗ a(ω,u) ϑk (gd(ˆ ˆ )gu mod Jn (k + 1) s) cλ gd(ˆt) gω ≡(2.14) ak ω∈S2k+1,n v∈Bk,n ≡(1.2) ak a(ω,u) ϑk (cˆtˆt gωˆ )gu mod Jn (k + 1) ω∈S2k+1,n v∈Bk,n Dẫn đến ∗ (gd( s) xλ gd(t) )e(k) gv ω∈S2k+1,n µ(ˆs)=S ≡ ak a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n ϑk (cˆsˆt gωˆ )gu mod Jn (k + 1) s∈Stdn (λ) µ(ˆs)=S ≡(1.6) ak a(ω,u) ϑk (cSˆt gωˆ )gu mod Jn (k + 1) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n ≡BĐ4 ak a(ω,u) ϑk ω∈S2k+1,n u∈Bk,n ≡BĐ3 (cµ gd(ˆω1 ) )gu mod Jn (k + 1) ω1 ∈hàng chuẩn µ−bảng a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n xµ e(k) gd(ω1 ) gu mod Jn (k + 1) ω1 ∈hàng chuẩn µ−bảng ≡(1.12) a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n mµ gd(ω1 ) gu mod Jn (k + 1) ω1 ∈hàng chuẩn µ−bảng Phương trình cuối (2.15) suy mS t gv ≡ a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n mµ gd(ω1 ) gu mod Jn (k + 1) ω1 ∈ hàng chuẩn µ−bảng (2.18) 32 Như vậy, mS t gv thuộc Lµ Cuối cùng, ta cần tập hợp (2.16) tập độc lập tuyến tính R Theo Định nghĩa (2.15), phần tử {mS t gv } độc lập tuyến tính chúng tổng tập rời đôi phần tử sở Định lý (trong Mục 2.3) Một minh họa định lý ví dụ sau Ví dụ Cho n = 4, k = µ = (1, 1) Khi đó, mµ = e, J4 (2) = e(2) , tập B1,4 {1, s2 , s2 s3 , s2 s1 , s2 s1 s3 , s2 s1 s3 s2 } Theo Định lý Mục 2.3 Đại số q -Brauer Br4 (r2 , q ) có sở u, v ∈ Bm,4 , gπ ∈ H2m+1,4 , 0≤m≤2 gu∗ gπ e(m) gv = gω , gu∗ egv , u, v ∈ B1,4 gu∗ eg3 gv , e(2) ω ∈ H4 (2.19) Sử dụng Định nghĩa Mục 2.3 tính tốn trực tiếp ngụ ý Br4 (r2 , q )-mơđun Lµ có tập mở rộng u, v ∈ Bm,4 , gπ ∈ H2m+1,4 , 0≤m≤2 = {egv + J4 (2), eg3 gv + J4 (2)| v ∈ B1,4 } mµ gu∗ gπ e(m) gv + J4 (2) Mặt khác, với λ phân hoạch 2, tập tất bảng λ-nửa chuẩn kiểu µ thứ tự T0 (λ, µ) = { S1 = , S2 = } Các phần tử mSi t với Si ∈ T0 (λi , µ) t ∈ Std4 (λi ) xác định sau (1) Nếu λ1 = (1, 1), Sλ1 = {1}, Std4 (λ1 ) = { tλ1 = 34 } T0 (λ1 , µ) = { S1 } Ta có, ∗ gd( s) mλ1 gd(t) = · mλ1 · = e mS1 tλ1 = s∈Std4 (λ1 ) µ(ˆs)=S1 (2) Nếu λ2 = (2) Sλ2 = {1, s3 } mλ2 = e(1 + g3 ) Tính tốn trực tiếp suy ra: Std4 (λ2 ) = { tλ2 = } and T0 (λ2 , µ) = { S2 } Vì ta có ∗ gd( s) mλ2 gd(t) = 1.mλ2 = e(1 + g3 ) mS2 tλ2 = s∈Std4 (λ2 ) µ(ˇs=S2 ) 33 Lưu ý mS1 tλ1 mS2 tλ2 độc lập tuyến tính, tập hợp {mS1 tλ1 gv + J4 (2), mS2 tλ2 gv + J4 (2) | v ∈ B1,4 } sinh tập mở rộng mơđun Lµ Định lý (Định lí tồn hệ số lọc Specht độc lập) Cho k số nguyên, ≤ k ≤ [n/2], µ hợp thành n − 2k Khi đó, Brn (r2 , q )-mơđun, mơđun Lµ có dãy lọc Lµ = L1 > L2 > > Lf > Lf +1 = cho với i = 1, 2, , f tồn phân hoạch λi n−2k với Li /L( i+ 1) ∼ = C λi (k) Hơn nữa, với phân hoạch λi , số thành phần hợp n thành Cnλi (k), mà xuất dãy lọc, với số bảng λi -nửa chuẩn kiểu µ Chứng minh Đặt {S1 , S2 , , Sf } tập tất bảng λi -nửa chuẩn kiểu µ, thứ tự cho Si ∈ T0 (λi , µ) i ≥ j λi λj Với i = 1, 2, , f đặt Li R-mơđun Lµ với sở mSj t gv + Jn (k + 1) i ≤ j ≤ f v ∈ Bk,n , t ∈ Stdn (λj ), λj n − 2k Khi đó, theo Định lý Mục 2.3, Li Brn (r2 , q )-mơđun phải Do đó, Lµ = L1 > L2 > > Lf > Lf +1 = dãy lọc Brn (r2 , q )-môđun Lµ Như hệ quả, xét đồng cấu R-môđun Cnλi (k) −→ Li /L( i + 1) định nghĩa ˇ λni → mS t gv + Li+1 mλi gd(t) gv + Br i với t ∈ Stdn (λi ) v ∈ Bk,n Chú ý tính chất tồn ánh ánh xạ suy từ định nghĩa nó, hai mơđun có hạng Do đó, phần lại phép chứng minh để ánh xạ Brn (r2 , q )-đồng cấu Lập 34 luận tương tự (2.6), với v ∈ Bk,n s, t ∈ Stdn (λi ) cho µ(ˇs) = Si với Si ∈ T0 (λi , µ), ta thu ∗ gd( s) xλi gd(t) )e(k) gv b ( s∈Stdn (λi ) µ(ˆs)=Si ∗ gd( s) xλi gd(t) )( ≡( a(ω,u) e(k) gω gu ) mod Jn (k + 1) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n s∈Stdn (λi ) µ(ˆs)=Si ≡BĐ3 ak a(ω,u) ( ω∈S2k+1,n u∈Bk,n cst )ϑk (gωˆ )gu mod Jn (k + 1) ς∈Stdn (λi ) µ(ˆs)=Si ≡(2.14) ak a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n ≡(1.3) ak ϑk (cˆsˆt gωˆ )gu mod Jn (k + 1) s∈Stdn (λi ) µ(ˆs)=Si a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n ˆ u mod Jn (k + 1) at1 cˆsˆt1 + h)g ϑk ( s∈Stdn (λi ) µ(ˆs)=Si ≡BĐ3 ak t1 ∈Stdn (λi ) a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n + ak at1 ( s∈Stdn (λi ) µ(ˆs)=Si s∈Stdn (λi ) µ(ˆs)=Si ˆ u mod Jn (k + 1) ϑk (h)g a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n e(k) cst1 )gu ς∈Stdn (λi ) µ(ˆs)=Si ≡(2.15) a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n + ak at1 mSi t1 gu ς∈Stdn (λi ) µ(ˆs)=Si ˆ u mod Jn (k + 1), ϑk (h)g a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n s∈Stdn (λi ) µ(ˆs)=Si ˆ ∈ Hˇ λi Bổ đề Mục 2.3 ngụ ý ϑk (h)g ˆ u= at1 ∈ R h n−2k λi ˆ u ∈ Li+1 Vì vậy, theo định a−k e(k) hgu với h ∈ Hˇ2k+1,n , ϑk (h)g nghĩa Li , phương trình cuối viết lại thành mSi t gv b ≡ a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n at1 mSi t1 gu mod (Li+1 ) (2.20) t1 ∈Stdn (λi ) Cùng cách tính tốn tương tự mà (2.7), với λi phân hoạch n − 2k t ∈ Stdn (λi ), tồn hệ số tương tự a(ω,u) , at1 ∈ R 35 giống (2.9) thỏa mãn phương trình sau (xλi gd(t) )e(k) gv b ≡ a(ω,u) xλi gd(t) e(k) gω gu mod Jn (k + 1) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n ≡BĐ3 ak a(ω,u) ct ϑk (gωˆ )gu mod Jn (k + 1) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n ≡(2.14) ak a(ω,u) ϑk (cˆt gωˆ )gu mod Jn (k + 1) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n ≡(1.5) ak ˆ u mod Jn (k + 1) at1 ctˆ1 + h)g a(ω,u) ϑk ( ω∈S2k+1,n u∈Bk,n ≡BĐ3 t1 ∈Stdn (λi ) at1 e(k) ct1 gu + ak a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n a(ω,u) ϑk (h)gu ω∈S2k+1,n u∈Bk,n t1 ∈Stdn (λi ) mod Jn (k + 1) ≡(1.12) at1 mλi gd(t1 ) gu + ak a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n a(ω,u) ϑk (h)gu ω∈S2k+1,n u∈Bk,n t1 ∈Stdn (λi ) mod Jn (k + 1) Vì Jn (k + 1) ˇ nλi ϑk ∈ Br ˇ nλi nên phương trình tương đương Br với mλi gd(t) gv b ≡ ˇ nλi (2.21) at1 mλi gt1 gu mod Br a(ω,u) ω∈S2k+1,n u∈Bk,n t1 ∈Stdn (λi ) Như vậy, đồng thời (2.20) (2.21) ánh xạ Brn (r2 , q )-đồng cấu Định lí chứng minh Nhận xét: Định lí khẳng định tồn dãy lọc mơđun Lµ Đồng thời, hệ số lọc cho môđun Specht Cnλi (k) độc lập số bảng λi -nửa chuẩn kiểu µ Ví dụ minh họa cho Định lý Ví dụ Cho n = 5, k = µ = (1, 1, 1) Khi đó, mµ = e tập B1,5 B1,5 = {v = t2 t3 t4 | tj = tj = sj,ij , ≤ ij ≤ j ≤ với j ∈ 36 {2, 3, 4}}={1, S2 , S2,3 , S2,1 , S2,1 S3 , S2,1 S3,2 , S2,4 , S2,1 S3,4 , S2,1 S3,2 S4 , S2,1 S3,2 S4,3 } Tập tất bảng λ-nửa chuẩn kiểu µ (đã thứ tự) T0 (λ, µ) = { S1 = , S2 = , S3 = , S4 = } (2.22) Các phần tử mSi t với Si ∈ T0 (λi , µ) t ∈ Stdn (λi ) xác định sau (1) Nếu λ1 = (1, 1, 1), Sλ1 = {1}, Stdn (λ1 ) = { tλ1 = 34 } and T0 (λ1 , µ) = { S1 } Vì ta có, ∗ gd( s) mλ1 gd(t) = · mλ1 · = e mS1 t = s∈Stdn (λ1 ) µ(ˆs)=S1 (2) Nếu λ2 = (2, 1) Sλ2 = {1, s3 }, Stdn (λ2 ) = { t2 = , t3 = } T0 (λ2 , µ) = {S2 , S3 } Một phép tính trực tiếp suy mS2 t2 = 1.mλ2 gd(t2 ) = e(1 + g3 ) mS2 t3 = 1.mλ2 gd(t3 ) = e(1 + g3 )g4 ∗ Tương tự, mS3 t2 = gd( s) mλ2 gd(t2 ) = g4 e(1 + g3 ) với s = t3 ∗ mS3 t3 = gd( s) mλ2 gd(t2 ) = g4 e(1 + g3 )g4 với s = t3 (3) Nếu λ4 = (4), Sλ4 = {1, s3 , s4 , s3 s4 , s4 s3 , s3 s4 s3 }, Stdn (λ4 ) = { t4 = T0 (λ4 , µ) = { S4 } Do đó, mS4 t4 = 1.mλ4 gd(t4 ) = mλ4 = e(1 + g3 )(1 + g4 + g4 g3 ) Một phép kiểm tra trực tiếp ngụ ý Br5 (r2 , q )-mơđun L(1,1,1) có sở {mS1 t gv + J5 (2), mS2 t2 gv + J5 (2), mS2 t3 gv + J5 (2), mS3 t2 gv + J5 (2), mS3 t3 gv + J5 (2), mS4 t4 gv + J5 (2) | v ∈ B1,5 } 37 Hơn nữa, L(1,1,1) có dãy lọc Specht Br5 (r2 , q )-môđun L(1,1,1) = L1 ⊇ L2 ⊇ L3 ⊇ L4 ⊇ L5 = Li = { mSj t gv + J5 (2) | i ≤ j ≤ 4, t ∈ Std5 (λi ) v ∈ B1,5 } (1,1,1) (2,1) (3) (1) (2.23) L1 /L2 ∼ = C5 = C5 (1), L4 /L5 ∼ = L3 /L4 ∼ = C5 (1), L2 /L3 ∼ Chẳng hạn, sử dụng ví dụ mục 2.3, thấy có (2,1) Br5 (r2 , q )-đẳng cấu từ L2 /L3 tới C5 (1) xác định (2,1) ˇ mS2 t2 gv + L3 → e(1 + g3 )gv + Br ˇ (2,1) mS2 t3 gv + L3 → e(1 + g3 )g4 gv + Br (2,1) Một Br5 (r2 , q )-đẳng cấu khác từ L3 /L4 tới C5 (1) xác định ˇ (2,1) ˇ (2,1) mS−3t gv +L4 → e(1+g3 )g4 gv +Br mS3t2 gv +L4 → e(1+g3 )gv +Br 5 Nhận xét: Từ tập hợp bảng λ-nửa chuẩn kiểu µ (2.22) (2.23) ta nhận thấy: Có bảng (1, 1, 1)-nửa chuẩn kiểu (1,1,1) S1 dẫn đến hệ số (1,1,1) lọc môđun Specht C5 (1) Có hai bảng (2, 1)-nửa chuẩn kiểu (1,1,1) S2 , S3 vậy, (2,1) hệ số lọc môđun C5 (1) Có bảng (3)-nửa chuẩn kiểu (1,1,1) S4 dẫn đến hệ số lọc (3) môđun Specht C5 (1) Kết tính tốn ví dụ phù hợp với khẳng định tổng quát định lí 7, Mục 2.3 38 KẾT LUẬN Nội dung luận văn đạt số kết sau: Trình bày lại cách xây dựng họ mơđun Lµ mà thừa nhận dãy lọc Specht xác định sở cho R-môđun tự Lµ (Định nghĩa Mục 2.3, Định lí Mục 2.3) Làm rõ khẳng định " môđun Lµ có hệ số lọc Specht tốt" (Định lí mục 2.3) Trình bày chi tiết số ví dụ minh họa cho kết đề cập (Ví dụ 6, Ví dụ Mục 2.3) 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.Brauer (1937), on Algebras which are connected with the semisimply continuous groups, Ann of Math, 63, 854-872 [2] N T Dung (2014), Cellular structure of q -Brauer algebras, Represent Theory (17) 05, 1359-1400 [3] N T Dung (2013), The q -Brauer algebras, Disertation, Stuttgart, 100 pages [4] N T Dung (2017), A family of modules with Specht filtration for q -Brauer algebras, Tạp chí khoa học Đại học Quy Nhơn, 11(1), 17-34 [5] N T Dung (2018), A cellular basis of the q -Brauer algebra related with Murphy bases of Hecke algebras, J.Algebra Appl, 17(5), 26 pages [6] R Hartman, R Paget (2006), Young modules and filtration multiplicities for Brauer algebra Math Z, 254, 333-357 [7] D Hemmer, D Nakano (2004), Specht filtration for Hecke algebras of type A, J Lond Math Soc 69(2), 623-638 [8] A.I Molev (2003), A new quantum analog of the Brauer algebras, Czechoslovak J Phys, 53, 1073-1078 [9] A Mathas (1999), Iwahori-Hecke Algebras and Schur Algebras of the Symmetric Group, volume 15 of University Lecture Series American Mathematical Society, Providence, R.I 40 [10] E Murphy (1995), The representations of Hecke algebras of type An , J.Algebra 173(1), 97-121 [11] H Wenzl (2012), A q -Brauer algebra, J Algebra., 358, 102-127 [12] H Wenzl (2011) Quotients of representation rings, Represent Theory, 15, 385-406 ... môđun cho đại số q -Brauer, môđun xây dựng dựa họ mơđun hốn vị đại số IwahoriHecke Những môđun Specht đại số q -Brauer thừa nhận dãy lọc Specht với hệ số lọc độc lập tương tự hệ số dãy lọc Specht. .. lại cách xây dựng họ mơđun cụ thể mà thừa nhận dãy lọc Specht đại số q -Brauer chứng minh rằng, dãy lọc Specht có hệ số lọc tốt Với mục đích vậy, lựa chọn tên đề tài là: MỘT HỌ MÔĐUN VỚI DÃY LỌC... ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN CÔNG TRUNG MỘT HỌ MÔĐUN VỚI DÃY LỌC SPECHT CỦA CÁC ĐẠI SỐ q -BRAUER Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học