Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Một số tìm hiểu về vành số học

Ở chương | chúng tôi đã trình bày lại định nghĩa vé vành và các khái niệm liên quan như: vành con, iđêan, đồng cấu vành.... Chúng tôi trình bày định nghĩa vành số học, điều kiện cẩn và đ

a j47)

TRƯỜNG ĐẠI HOC SU PHAM TP HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Đình Lân

Sinh viên thực liện : Bùi Thị Thiện Mỹ

TP Hồ Chí Minh 04/ 2005

LỜI NÓI ĐẦU

3

Năm 1986, Giáo sư Zenon Ivanovich Borevich có trình bay một chuyên dé

về nhóm tuyến tính tại Thành phố Hồ Chí Minh Trong chuyên để đó, Giáo sư có

giới thiệu về lớp vành số học với một số kết quả về lớp vành này

Luận văn này là một bài tập lớn mà nhiệm vụ chúng tôi là chứng minh một phan các kết quả đã được giáo su Zenon Ivanovich Borevich giới thiệu tại chuyên

dé trên

Luận văn gồm ba chương Chương I và chương II đóng vai trò chuẩn bị, cung

cấp những kiến thức cắn thiết cho phần chính là chương III.

Ở chương | chúng tôi đã trình bày lại định nghĩa vé vành và các khái niệm

liên quan như: vành con, iđêan, đồng cấu vành Khái niệm vành nói đến trong luậnvăn theo quan điểm Đại số giao hoán, là vành giao hoán có đơn vị Chương này tóm

tắt một vài kết quả quan trọng về vành các thương và lý thuyết modun, không có phần chứng minh các định lí, mệnh đề.

Chương II nói vé khái niệm dàn, về ý nghĩa vẫn là chương chuẩn bị Tuy nhiên khái niệm dàn khá mới mẻ đối với chúng tôi vì không được giới thiệu trong

chương trình Đại học Vì lí do đó, đàn cùng với phần chứng minh cặn kẽ các tính

chất, mệnh đề cần thiết được tách ra một chương riêng.

Chương III là phần chính của luận văn Chúng tôi trình bày định nghĩa vành

số học, điều kiện cẩn và đủ để một vành là vành số học, tính địa phương của tính

số học và mối quan hệ giữa vành số học với các vành quen thuộc như: vành

Bezout, vành địa phương, nửa địa phương, vành nửa nhân, vành chính quy Von

Neumann.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Đình Lân đã dẫn dắt nhiệt

tình, giúp đỡ và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn.

Chúng tôi xin cám ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin Đại học Su Pham

TPHCM đã tạo điều kiện thuận lợi giúp chúng tôi hoàn thành luận văn.

Chúng tôi rất mong được sự chỉ bảo của quý thầy cô về những thiếu sót khó

tránh khỏi của luận văn.

FV HD Thanh phố Hồ Chí Minh, tháng 4 nam 2005

yt MEL Người việt

1S 2gsgix Dink đâu

MỤC LỤC

Lời nói đầu

Chương! : Kiến thức chuẩn bị Trang 2

2 Vành số học & khái niệm dan Trang 22

3 Tính địa phương của tính số học Trang 26

4 Vành số học & tính Bezout Trang 27

5 Vành số học & tính nửa nhân Trang 33

6 Vành số học & tính nửa địa phương Trang 36

7 Vành số học & tính chính quy Trang 39

Lời kết

Tài liệu tham khảo

Dưới đây là những kiến thức phục vụ cho luận văn Đây chỉ là nội dung của

các định lý, tính chất; phẩn chứng minh có thể được tìm thấy trong quyển

Introduction Commutative Agebra- M.F.Atiyah, 1.G.Macdonal,

Mệnh dé 1.1:

Vanh (2,4,.):

i) Phần tử trung hoà đối với phép toán là duy nhất

e Phần tử trung hoà của phép + gọi là phần tử không Kí hiệu: 0

e Phan tử trung hoà của phép gọi là phan tử đơn vị Kí hiệu: |

li) Oa=0 VaeR

iii) -(-a)=a WaeR

iv) (-a)b=a(-b)=-ab Va, beR

v) WabeR,WneZ: (na)b=a(nb)= n(ab)

vi) Va,b eR (i=l, m; j=l, m): ( SaXÊ b,)=W a»,

el jut Lí

vii) Va,beR,WneN: (ab)"=a"bh”

viii) Va,beR, (a+b) = 5 Ca'bTM = bX» "a" ‘bh’

¡ro ¡z0

Những lưu ý:

Cho vành (R,+,.), với bất kỳ phần tử ae R

© a được gọi là phần tử khả nghịch nếu tổn tai a ER sao cho aa =1

a #0 được gọi là ước của 0 nếu tồn tại a ER, a #0 sao cho aa =0.

Vành khác 0, không có ước của 0 được gọi là miễn nguyên.

a được gọi là luỹ đẳng nếu đ` =a

a được gọi là luỹ linh nếu tổn tại me M,m>1 sao cho a” =0

,

Các tính chất về đồng cấu vành, định nghĩa đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu,

ảnh của đồng cấu Im /, hạt nhân của đồng cấu Kerf hoàn toàn tương tự như đã

biết trong chương trình Đại số năm 2.

e /={0! được gọi là idéan tam thường

e Hạt nhân của đồng cấu vành là iđêan

Idéan nhỏ nhất chứa 7 c R được gọi là idéan sinh bởi T Kí hiệu: (7)

Đặc biệt: 7 =Íx,.x; x,} (T) =(x,.x; x„) được gọi là idéan hitu hạn sinh.

Mệnh dé 1,3:

(xe ) {Sas |a,e R|

* Đặc biệt: (x) gọi là idéan chính, (x) ={ax|ae R} = xR.

* Miền nguyên mà mọi iđêan đều là iđêan chính được gọi là vành chính

3

Phép todn (rên các idéan

Giao Í |1„ của một họ {/,}

aeM

Mệnh dé 1.5;

Cho /va J là hai idéan của R Khi đó, các tập hợp sau :

*l+J={x+y|xel,yeJ}la iđêan của #.

của vành R là một iđêan của R.

e /./ được gọi là tích của hai iđêan /và J Ta còn viết là /7

Từ đó ta có khái niệm luy thừa của một iđêan:

Pell, I`=(LI)I=f1, Meld

e Cho M 4Ñ M được gọi là tối đại khi và chỉ khi

* MR

* M không chứa nghiêm ngặt trong bất kì idéan thật su nào của R

Tập các idéan nguyên tố của R kí hiệu là: Spec(R)

Tập các idéan tối đại của R kí hiệu là: Max(R).

Mệnh dé 1.8:

/¡ 48 Khi đó:

e / là iđêan nguyên tố của # khi và chỉ khi R// là miền nguyên

e / là iđêan tối đại của R khi và chỉ khi R// là trường.

Hệ quả 1.9:

e lđêan tối đại là iđêan nguyên tố

© Trong một vành #, 0 là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi # là miền nguyên.

Mệnh dé 1.10:

Mỗi idéan thật su của một vành đều chứa trong ít nhất một iđêan tối đại nào đó

Hệ quả 1.11:

Cho vành # #0.

e Trong # luôn có ít nhất một iđêan tối đại.

e Mỗi phần tử không khả nghịch của R luôn thuộc về ít nhất một iđêan tối

* Trường là vành địa phương

* Vành Z„ với m=p" (pla số nguyên tố, ae M”) là vành địa phương

mà không là trường.

Mệnh dé 1.12:

Cho vành R và iđêan thật sự M của R, Khi đó:

i) Nếu VxeR\M-x khả nghịch thì # là vành địa phương và M là iđêan tối dai

Cho /,,/,, /, là các idéan của vành R, thoả: /,+/, =R,Vi,j.

Khi đó, với mọi z„„r, z, e R Hệ phương trình đồng dư:

x =r.(mod /,)

x =r,(mod/,)

x=r(mod/,)

có nghiệm xe R và nghiệm này duy nhất (mod7, “3 7; “% “3 7, )

ING rộng & thu hep của idéan

Cho f:A-—>B là một déng cấu vành Nếu / là một iđêan của A, tập hợpƒ() chưa hẳn là một iđêan trong B Ta định nghĩa idéan mở rộng (extension)

ƒ “của / là iđêan sinh bởi ƒ(7) trong B.

I“=B ƒ(I)={®`v.f(x)|x, € Ly, e BỊ.

Nếu J là một idéan của B, thì /ˆ'(J) luôn là iđêan của A, được gọi idéan thu

hep (contraction) /J“ của J.

Mệnh dé 1.17:

Cho f:A—>B là một đồng cấu vành, a 4 A, 848 Khi đó:

i) aca“, pop

ii) B =P" ,a° =aTM

iii) Goi C là tập hợp các idéan trong A có tính chất: @ =a VaeC v࣠là tập

hợp những iđêan trong B có tính chất: Ø#”=/ Vđe£, thì aa‘ là một song

ánh từ C lên £ (ánh xạ ngược là BR Ø7 ).

Nếu a@,,q, là những iđêan của A và nếu /3,/đ, là những iđêan của Bthi :

(a,+@,) =đ/ +a} (8 + B,) > BF + B;

(œ, a) Sal na; (BOBBY = BOB;

(a,a,)° = asa; (BBY 2 BB:

(a, :@,)° = (af :đ;) (8:8 S (Bi: B)

(a,x) ax là phép ngoại toán trên M

và thoả các điều kiện sau:

(i) (M,+) là một nhóm abel phan tử trung hoà là 0 (gọi là phần tử không).

(ii) Vae A,Vx,ye: a(x+ y)= ax + ay

(ili) Va,be A, VxeAf: (a+b)x sav+bx

(iv) Va,be A, VxeMí: a(bx)=(ab)x

(v) WxeM, lx=x (1 là phần tử đơn vị của vành 4).

Khi đó vành A được gọi là vành hệ tử của modun M Ta thường goilà

* Nếu f:A—B là một đồng cấu vành thì B là một 4- modun với phép toán

ngoài: ab= ƒ(a)b,Vae A.Vbe B.

* Nếu 4 là trường thì 4- modun là không gian vectơ trên A.

N,P là hai mođưn Anh xạ f':M -»N được gọi là một đồng cấu

4-modun (ánh xạ 4-tuyến tính) nếu:

(i) Vx.veAf:/f/(x+y)= /(x)+ /Œ)

(ii) Vae A4,.VxeM: f(ax)=af(x)

* Tích hai ánh xa A-tuyén tính là một ánh xạ A -tuyén tính

* Anh xạ ngược nếu có của một ánh xạ A-tuyén tinh là một ánh xạ A -tuyén

tính.

* M=N ©stổn tại một đẳng cấu A-modun f:M ON

Modan con, modun (ưng

N là một mođun con của M thì nhóm thương (M/N,+) có cấu trúc một

4-modun với phép nhân ngoài: a(x+N)=ax+N (aeX,xeM)

* 4- mođun (M/N,+,.) gọi là modun thương của modun M trên modun con N,

* Anh xạ z:M ->MN với z(x)=X là một toàn cấu A- modun được gọi là toàn

cấu chính tắc.

* Cho f: MON.

s Nếu M là mođun con của M thì f(M) là mođun con của

s WN làmođun con của N thì ƒ''(N) là mođun con của M.

s Kerƒ/= ƒ '(0)=|xeA/f: f(x)=0} gọi là hạt nhân của déng cấu /

f là đơn cấu ker f = {0}

© Im/={|/(x)eN:xeA} gọi là ảnh của đồng cấu /

f là toàn cấu © Im ƒ=

Phép todn (rên các modun

fậM (M.: A- mođun con M ) là 4- modun con.

* Tổng của một ho mođun con (M,)_, của 4- mođun M là modun con nhỏ

nhất của M chứa tất cả modun con M, Kí hiệu: 5” A,.

vel

Dễ thấy : 3`Af, = {Ds |x,e MỊ trong đó x =0hẩu hết trừ một số hữu hạn.

ial tí

s Thương(N:P)của hai mođun con NvaP của A-modun M là tập những

phần tử ae A sao cho aPC N Đó là một iđêan của A.

¥ (0:M)={aeA: ax=0, ¥xeM} = Ann(M )

¥ Idéan /C Ann(M) thì 4-mođun M sẽ có cấu trúc A//-modun nhờ

phép nhân ngoài: Zc=av (ae A,xeM)

* Modun con sinh bởi tập Ý cM là mođun con nhỏ nhất của M chứa V,

e - Một họ phần tử (x), cM được gọi là hệ sinh của M nếu mọi phần tử

Khi đó M chính là mođun con sinh

Ví du:

¢ Tập S=A\P, với P là iđêan nguyên tố của 4 là một tập con nhân

e Nếu 4 là miền nguyên thì S, = 4 = 4` {0} là một tập con nhân

e Tập $S=l+/, với / là iđêan của A, là tập con nhân.

Định nghĩa:

Cho tập con nhân Š của một vành A Trên tập Ax S ta định nghĩa một

quan hệ hai ngôi = như sau:

Via, s).(4,s)e Ax®$ (a,s)=(a,s )©=3teS$: (as —as) =0

Dễ thấy rằng = là một quan hệ tương đương

Ta kí hiệu tập thương Ax VÀ là S”'4 và lớp tương đương của phần tử (a,s) là =,

s §'A là vành không @0eS.

s Ti định nghĩa ta thấy mọi phần tử “ với :,se.$ đều khả nghịch trong $'`4.

§

Nghịch đảo của ~ là ©.

AY í

® Anh xa /:4->$ '4 xác định bởi ƒ(4)=~ là một đồng cấu vành (nói

chung f không phải đơn cấu) Dé thấy những tính chất sau:

Y seS= f(s) khả nghịch trong S''A.

Y f(a)=0=3se6: as =0.

10

Mỗi phần tử của ŠS ' 4 được viết sưới dang ƒ(đ)ƒ(s) ` với ae A4,se S.Vành các thương của một vành được đặc trưng bởi các tính chất trên.

Ta cũng kí hiệu Šˆ'7 là ảnh của 7 (7 4 A) qua ánh xạ ƒ:4->®$ 'A.

Dia plutong hod

Cho P là iđêan nguyên tố của vành 4 Tập S=A\P là tập con nhân của 4 Trong trường hợp này vành các thương Šˆ'4 được kí hiệu là 4,.

Mệnh dé 1.21:

Vanh 4, là vành địa phương với idéan tối đại duy nhất là tập hợp

$ LH peP.ses}

s

* Vanh địa phương A, gọi là địa phương hoá của vành A theo idéan nguyén tố P.

* 7 là tập con của 4, ta kí hiệu 7, -k ael.sePh.

s

Modun các thuting

Cho tập con nhân S$ của một vành A và một 4-mođun Trên tập MxS ta

định nghĩa một quan hệ hai ngôi # như sau:

V(m, s), (m,s )EMxS (m, s)=(m, s) + 3t e S: t(ms — ms) =0,

Dé thấy rằng = là một quan hệ tương đương trên M x S

Ta kí hiệu tập thương #xŠ⁄ là S*M và lớp tương đương của phẩn tử

§%!4-mođun § '(M/N) và (S 'M)/(S 'N) đẳng cấu nhau,

Cho N,P là những modun con của 4-mođun M và P là hữu hạn sinh, thì

S"(N:P)=(S'N:S"'P).

Tinh dja puting

Tính chất 7 của một vành A được gọi là tinh địa phương nếu mệnh dé sau là

ii) A„=0,VPe Spec(R).

iii) M, =0,Vme Max(R).

Mệnh dé 1.26:

Cho 6:M ->X là déng cấu A-modun Khi đó các mệnh dé sau tương đương:

(i) @ là đơn ánh

(ii) Ø„:A⁄„—» W„ là đơn ánh VPe Spec(R).

(iii) Ø :A⁄„->X_ là đơn ánh Vmc Max(R).

Ta có mệnh để tương tự nếu thay “đơn ánh” bằng “toàn ánh”

SG ring & thu hep idéan trong oànÁ các thuting

Cho A là vành và § là tập con nhân của A , ánh xạ /:4——>S '4 xác định

như sau /(a)=T- Cho c=|a <A\a“ =a} va E=|8 4S'A|/Ø“ =f}.

Ménh dé 1.27:

i) Mọi idéan trong S"'A đều thuộc £.

ii) Nếu z4 thì ø“ =(J(a:s) Do đó a'=(t\eans+o

iii) Idéan nguyên tố trong vành S''A tương ứng một -một với những

iđêan nguyên tố của A (Ы<> S'P) mà không giao với S

12

* X được gọi là dây chuyền nếu và chỉ nếu hai phan tử bất kỳ trong X có quan

hệ với nhau.( Vx,yveX xSyv y<x)

x, EX

* Phần tử x, được gọi là can trên đúng của X nếu: BE tae | ° Thy x SX X=N,

* Phần tử y, dude gọi là cận dưới đúng của X nếu:

“a+(b+ec)=sup{a, sup{b, c}} > a

sup{a, sup{b, c}} >sup{Ð, c} >b, c

S sup} b,c}; > sup{a,bnota lec} eae a

s+ Chứng minh: (l) (ab)c = abc)

* (ab)c = inf {inf {a, b}, c} se

inf {inf {a,b}, c} < inf {a,b} < a, b

(ab}c Sa

=>

(ab)c < inf {b, c}

* a(bc)= inf {a, inf {b, c}} <a

inf {a, inf {ð, c}} sinf {b,c} $b, e

— < inf {a, b}

=>

a(bc)<ec

= (ab}c < inf{a, inf {b, e}}=a(be) — (i)

= a(be) inf {inf {a,b},c}=(ab)e (ii)

* (i) Ai) = a(bc) = (ab)c (đpcm)

Như vậy, phép toán trong dàn có tính chất kết hợp Do đó ta có thể viết :

(ab)c = a(bc) = abe = inf {a, b, ¢}

14

* ab + a = sup {inf {a, b}, aÌ > a (i)

` lạm = a2sup{inf {a, b}, a} = ab + a (ii)

(ab)a = a(ab) = (aa)b = ab > ab < a

(ab)b = b(ab) = b(ba) = (bb)a = ba = ab ab<b

Vậy: ab < inf {a, b}.

ab<x<a

ab<x<b`

Khi đó: ab = (ab)x = a(bx) = ax = x

Vậy: ab = x, suy ra: inf fa, b} = ab,

Giả sử có phan tử xe x

* Theo tính chất (4) (a+b)a=a

4a cổ: — mã m—

suy ra: <Sa+b

BGixb)sB heed) suy ra: sup{a, b} <a+

1S

Mặt khác: a=bcSb.TY đó suy ra a=b (đpcm)

© (©) Lấy b,c là hai phan tử bất kỳ của X

»x 2 Một số dàn đặc biệt

Dan phát phổi

Dàn X được gọi là dan phân phối nếu Va,b,ce X (a+b)c=ac+be

Mệnh: dé 2.4 :

Trong một đàn X, ta có các mệnh để sau tương đương:

1)X là dan phân phối

qb + be + ac =(ab + be) + ac = (a + be}X(b + be) + ac

= (a+ be) b +ac

Ta có: | = (ab + ac)(ab +bc)> ab (i) — (mệnh dé 2.2)

abö, be<b=ab+keSð asain

=> (ab+ac\ab+bc)<ab (ii)

(i) ^ (ii) = (ab + acXab + bc) = ab

=> (ab + acXab + ac) = ab (vì ac =bc )

That vậy: V/, J €L(A) sup{/,/}=/+J, inf{!, J} =?J

Chứng minh:

® 1+J>21J=>1+J >sup{/.J} (dinh nghia sup)

Giả sử có € L(A): De kcraa

JcoKcl+J

Vael+J,a=x+y với xel; yeJ

>a=x+yek Vi PreK feck

=>/l+JCoK>K=/+J=sup{l,J}=/+J

© /SJc!,J>!nJcinf|!,J)

/5H5lIceJ

JaHDIAT /5ÄHJ>aHi-J>H

=/¬J=H>mfI!,9|=!?^¬

Giả sử có He 14):|

20

Chore i VANH SO HOC

Ta đã biết một điều kiện đả dé hệ có nghiệm trong A là các J, nguyên tố

cùng nhau đôi một (định lý Trung Hoa về phan dư)

Hơn nữa một điều kiện cần để hệ có nghiệm là:

(*) ¡a, = a,(mod /,+/,)

Viel

Nói chung, điều kiện (*) không phải là diéu kiện đủ để hệ (1) có nghiệm Tuy

nhiên có những vành, trong đó điều kiện (*) là điểu kiện đủ để hệ có nghiệm (với

mọi iđêan /,,/, /, và "phần tử bất kỳ a,,a, a,)

Những vành như vậy được gọi là VÀNH SỐ HỌC (arithmetic ring).

» 2 Vành số học & khái niệm dan

Vành số học gắn bó mật thiết với khái niệm dàn Ta có diéu kiện cần và đủ để

Vậy: (,01,)4+1,.=U,4+1)0U,+1)) (dpem)

(I)=> >a=x,+(a-x, JE, l,)+h,.

it) Dan LA) là dan phan phối => vành A là vành số học

© 3b e/,, b,€1,:a,-a, =b,-b,

=a, -b =a, -b, =x,

Khi đó: x, -a,=-b €/, => x, =a,(mod/,), i=1,2.

5 x #=a,(mod /,)

Vậy x, là nghiệm hệ toy, (mod /;)

Goi S là tập nghiệm của hệ Ta chứng minh S=x,+/,0/,

+ Vyex,+/,e/, Khi đó: y=x,+2 , ze, Ol,

v~a, =(4y,+z)—đ,=z*(—a,)€ 1,

=>yma(mod/) i=1,2

=yeS=w+/ei,cs + VyeS Khiđó: 15 y—a=y-(xy+b,)=(y-xs)=È,,i=l2

® Giả sử mệnh dé đúng với n=k Way, ay EA, Ví, 0; 1, 6L(4):

c là nghiệm của hệ (II) => ce a(mod/,)>a4,-cel, Visk

=> a,,., -c=(a,,,-a,)+(a,-—c)el,,,+1, Vi<k.

=a.—ce(1,¡+)nÐŒ,„¡+12)© C(hu +1) =l1+hn1, n1,)

(vì L(A) là dàn phân phối }

Do đó a,,, =e (mod/,, + (1, O7, 04,)).

x=c(mod /, S1; /,) x=a,,,(mod /,,,)

và nó tương đương với phương trình: x= đ(mod/, , , /, )

Vậy (II) © x = d(mod/, ¬, !, O1,,,).

Theo trường hợp ø+ = 2 suy ra hệ có nghiệm là d

24

Theo nguyên lý quy nạp thì Wn, V/,,7;, ,/, € L(4),Va,đy d, € 4,

Giả sử 4 là vành chính Ta chứng minh dan L(A) là dan phân phối.

* Va,beA,ta kí hiệu: (a,b)=UCLN(a, b)và [a, b}= BCNN(a, b)

* WIJ,K EL(A).

* Ald vành chính nên có a,b,ce 4: 7 =(a),J =(b), K =(c).

Ta biết rằng: (x) +(y)=((x, y)) và (x)5(y)= )

Do đó:

(T+J)=K = ((a) +(b))¬(c) = ((a, b)) ¬(e) = (Ca, 5), e])

(10 K)+(J AK) = (a) a(c)) + (b) ¬(c)) = (fa, c]) + (t6, c]) = (La, e] [ð c]))

* Mat khác trong vành chính ([a, c],{ð, e]) và [(a, b), c] là hai phần tử liên kết

nhau.

_ Ja:(a,b) — [[a,e]:[(a, b),c]

bo dc âu R (ab) PA c]{(a b) e]

+ Ngược lại: đặt đ = ([a, c],[(ô, c]).

Ta có: [a,c]ic và [b,c]ic do đó dic Vì {[a, c]: đ và {ð, c]: đ nên a:(4)

e

và b :(£) do đó ca.b):(4),

€ c

= ([a, c], (6, c}) : [(œ, 6), e] (i)

Suy a (a, 8c); (S, c]= đ, tức là [(œ, 6), c]: ((a.c).(, cD (ii)

(i)va (ii) suy ra: (fa, c],[b, e]) va [(a, b) c] là hai phần tử liên kết nhau