ÔNTHI ĐẠI HỌC 08-09 Đề 3 I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = 1 12 − + x x (1) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2/ Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O. ( O là gốc tọa độ) Câu II. (2 điểm) 1/ Giải hệ phương trình: =+ =−+++− 5)(2 5 22 22 yx yxyxyx 2/ Cho phương trình: cos4x = cos 2 3x + msin 2 x a) Giải phương trình khi m = 0 b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong khỏang 12 ;0 π Câu III. (1 điểm) Tính tich phân I = dx x x ∫ − + 2 2 0 1 1 Câu IV. (1 điểm) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân có cạnh huyền AB = 2 . Mặt bên (AA’B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA’ = 3 , góc A’AB nhọn và mặt phẳng (A’AC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ. Câu V.(1 điểm). Với giá trị nào của m phương trình sau có bốn nghiệm thực phân biệt: 1 5 1 24 34 2 +−= +− mm xx II. PHẦN RIÊNG. (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b) Cậu VI a (2 điểm). 1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 015 =− và đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x – 3 = 0 cắt nhau tại hai điểm A, B. Lập phương trình đường tròn (C’) đi qua ba điểm A, B, C(0; 2). 2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng 052:)( =+−+ zyx α và đường thẳng 31 2 3 : −=+= + zy x d . Viết phương trình tham số của hình chiếu vuông góc của d trên mp )( α . Câu VII a (1 điểm).Cho 2, ≥∈ nNn . Chứng minh rằng: 1 210 1 22 − − − ≤ n n n nnnn n CCCC Câu VI b.(2 điểm) 1/ Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2 ; -1) và các cạnh AB: 4x + y + 15 = 0, AC: 2x + 5y + 3 = 0.Tìm trên đường cao kẽ từ đỉnh A của tam giác điểm M sao cho tam giác BMC vuông tại M. 2/ Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng += +−= = 1 11 3 24 1 : tz ty x d và −= += −= 2 23 3 : 2 2 2 z ty tx d Lập phương trình đường thẳng đi qua A(-1 ; 1 ; 2) cắt d 1 và d 2 . Câu VII b(1 điểm). Giải phương trình : 8(4 x + 4 -x ) – 54(2 x + 2 -x ) + 101 = 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Đề 3 Câu I. 2/ Xét pt: )(04)1()1(3 1 12 2 xgxkkxxkx x x ==−−−⇔≠+= − + d cắt đồ thị hs (1) tại M, N +−>∨−−< ≠ ⇔ ≠ >∆ ≠ ⇔ 347347 0 0)1( 0 0 kk k g k −= − =+ ±=⇔=+−⇔ =++++⇔=+++⇔=⇔⊥ k xx k k xx kkk xxkxxkkxkxxxONOMONOM NM NM NMNMNMNM 4 . 1 53046 09)(3).)(1(0)3)(3(.0. 2 2 Câu II 1/ Hệ ( ) ( ) [ ] =++− =−+++− ⇔ 5 5 22 22 yxyx yxyxyx (*) Đặt: )0,( ≥ −= += vu yxv yxu (*) −= −= ∨ = = ⇔ =− =+ ⇔ =−+ =++ ⇔ =+ =++ ⇔ 10 5 2 3 52 5 52)( 5 5 5 2222 P S P S PS PS uvvu uvvu vu uvvu (VN) =− =+ ∨ =− =+ ⇔ = = ∨ = = ⇔ = =+ ⇔ = = 1 2 2 1 1 2 2 1 2 3 2 3 yx yx yx yx v u v u uv vu P S Nghiệm của hệ: −− −− − − − − 2 1 ; 2 3 , 2 3 ; 2 1 , 2 3 ; 2 1 , 2 1 ; 2 3 , 2 1 ; 2 3 , 2 3 ; 2 1 , 2 3 ; 2 1 , 2 1 ; 2 3 2/ a) m = 0 Ta có pt: +±= = ⇔ = = ⇔=−−⇔=−− =+−−⇔−+=−⇔= 2122 1 4cos 12cos 0)14cos2)(12(cos0)32cos4)(12(cos 032cos32cos42cos42cos32cos41)12cos2(23cos4cos 2 23322 ππ π kx kx x x xxxx xxxxxxxx b) 0)32cos4)(12(cos0)2cos1(32cos32cos42cos4 2 2cos1 2 6cos1 12cos2sin3cos4cos 223 222 =−−−⇔=−++−−⇔ − + + =−⇔+= mxxxmxxx x m x xxmxx 0)14cos2)(12(cos =−−−⇔ mxx cos2x – 1 = 0 không có nghiệm trong khỏang 12 ;0 π )1;0(1 2 1 2 1 14cos 2 1 3 ;04 12 ;0 ∈⇒< + <⇒<<⇒ ∈⇒ ∈ m m xxx ππ 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 y=f(x) 1 O 4 3 2 1 Câu III. Đặt x = cos2t , dx = -2sìnt.dt 4 0, 82 2 ππ =⇒==⇒= txtx I = 2 22 4 )2sin. 2 1 (2)2cos1(2.cos4.2sin.cot2 4 8 4 8 4 8 2 8 4 − +=+=+==− ∫ ∫∫ π π π π π π π π π ttdttdttdttt Câu IV. x 3 2 K M C' B' A' C B A Hạ A’K AB⊥ . Kẽ 0 60)'(' =⇒⊥⇒⊥ MKAgACMAACKM Giả sử: A’K = x . Ta có AK = 2 2 .345sin.3,3 2022 xxMKx −=−=− (1) Mặt khác MK = A’K.cot 60 0 = 3 x (2) Từ (1) và (2) ta có 5 3 3 2 )3(2 2 =⇒= − x x x = A’K V = 10 53 ' 2 1 =KABCAC Câu V. Ta thấy: m 4 – m 2 + 1 = mm ∀>+ − 0 4 3 2 1 2 2 Pt )1(log34 24 5 1 2 +−=+−⇔ mmxx Đặt y = x 2 - 4x + 3 , y(1) = y(3) = 0 , y(2) = 1, y(0) = 3 Từ đồ thị suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < 1010 11 5 1 1 1)1(log 2 24 24 24 5 1 <<⇔<<⇔ <+− >+− ⇔<+− mm mm mm mm Câu VI a. 1/ (C’): x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 qua C(0 ; 2) nên có : 4 + 4b + c = 0 Trục đẳng phương d’ của hai đường tròn (C) và (C’) đi qua A, B có pt: 2(a + 1)x + 2by + c – 3 = 0 d đi qua A, B nên d trùng d’ ta có 15 3 2 2 1 )1(2 − − = − = + cba Giải hệ: +−=− −=+ =++ 62)15(2 )1(2 044 cb ba cb ta có phương trình đường tròn cần tìm. 2/ Gọi A là giao điểm của d và )( α . Tọa độ của A(-1 ; 0 ; 2) Gọi d’ là đường thẳng đi qua M 0 (-3 ; -1 ; 3) thuộc d và d’ vuông góc )( α . Phương trình của d’: += +−= +−= tz ty tx 3 1 23 Gọi B là giao điểm của d’ và )( α . Tọa độ của B ) 2 5 ;0; 2 5 (− Phương trình của AB: += = −−= tz y tx 2 1 2 0 2 3 1 là phương trình cần tìm. Câu VII a. Do 1 0 == n nn CC , nên 12110 − = n nnn n nnn CCCCCC Ta có : 1 121 1 121 − ++ ≤ − − − n CCC CCC n nnn n n nnn Mà 22 2 12110 −=+++⇒=+++ − nn mnn nn nnn CCCCCC . Do đó: 1 210 1 121 1 22 1 22 − − − − − ≤⇒ − − ≤ n n n nnnn n n n nnn n CCCC n CCC . Câu VI b. 1/ A(-4 ; 1), )2;1(2 −−⇒= IGIAG Đường thẳng d: 064: // )2;1( =++⇒ −− yxd ABd Iqua d cắt AC tại J(- )0; 2 3 suy ra C(1 ; 1) và B(-3 ; -5) Đường cao AH có pt: −= +−= ty tx 21 34 , M(x ; y) )21;34( ttMAH −+−⇒∈ Tam giác BMC vuông tại M 13 10413 13 10413 0526130. 2 + =∨ − =⇔=+−⇔= ttttCMBM Ta có hai điểm M cần tìm. 2/ Gọi (P) là mặt phẳng chứa A và d 1 . (P) có VTPT )4;2;7(, 11 −−= = →→ AMun (P): 7x + 2y – 4z + 13 = 0 Gọi B là giao điểm của d 2 với (P). Tọa độ của −− 2; 17 135 ; 17 81 B −= += −−= ⇒ −−= tz ty tx ABAB 42 17 118 1 17 64 1 :4; 17 118 ; 17 64 là đường thẳng cần tìm vì AB và d 1 không song song. Câu VII b. Với t = 2 x + 2 -x ( t 21 2 5 4 17 085548244)2 22 ±=∨±=⇔=∨=⇔=+−⇔++=⇒≥ − xxttttt xx . +±= = ⇔ = = ⇔=−−⇔=−− =+−−⇔−+=−⇔= 2122 1 4cos 12cos 0)14cos2)(12(cos0)32cos4)(12(cos 032cos32cos42cos42cos32cos41)12cos2(23cos4cos 2 23322 ππ π kx kx x x xxxx xxxxxxxx b) 0)32cos4)(12(cos0)2cos1(32cos32cos42cos4 2 2cos1 2 6cos1 12cos2sin3cos4cos 223 222 =−−−⇔=−++−−⇔ − + + =−⇔+= mxxxmxxx x m x xxmxx . 0)32cos4)(12(cos0)2cos1(32cos32cos42cos4 2 2cos1 2 6cos1 12cos2sin3cos4cos 223 222 =−−−⇔=−++−−⇔ − + + =−⇔+= mxxxmxxx x m x xxmxx 0)14cos2)(12(cos =−−−⇔ mxx cos2x – 1 = 0 không có nghiệm trong khỏang 12 ;0 π )1;0(1 2 1 2 1 14cos 2 1 3 ;04 12 ;0. +−>∨−−< ≠ ⇔ ≠ >∆ ≠ ⇔ 347347 0 0)1( 0 0 kk k g k −= − =+ ±=⇔=+−⇔ =++++⇔=+++⇔=⇔⊥ k xx k k xx kkk xxkxxkkxkxxxONOMONOM NM NM NMNMNMNM 4 . 1 53046 09) (3). )(1(0 )3)( 3(.0. 2 2 Câu II 1/ Hệ ( ) ( ) [ ] =++− =−+++− ⇔ 5 5 22 22 yxyx yxyxyx