Khóa luận tốt nghiệp Toán học: Bóng của một đoạn trong Multiset

Bóng của đoạn trong Multiset Luân văn tốt nghiệp đạt họcLOI MỞ DAU Khái niệm bóng của một tập con của tập n phần tử được đề xuất và sử dụng có hiệu quả lần đầu tiên bởi nhà toán học Sper

eckoao exG>‡<o-o exG>†xo-‹oex@»©.o

UONG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THANH PHO HO CHÍ MIN

KHOA TOAN

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Bộ Môn: Đại Số

Dé tài:

Bóng Của Một Đoạn Trong Multiset

Giáo Viên Hướng Dẫn: TS.Trần Huyên

Sinh Viên: Phạm Văn Trí

MSSV: K34101098

TP Hồ Chí Minh

Tháng 4 - 2012

G©>‡<-2⁄9 6€ x‡‹2⁄9 6© xị<92⁄96©x‡<92⁄0

exze>‡<©.9 exG>†<o-‹o exG>Ì<©-‹oexG>Ì<o.o

Giáo Viên Hướng Dẫn: TS.Trần Huyên

Sinh Viên: Phạm Văn Trí

MSSV: K34101098

& TP Hồ Chí Minh

af, Tháng 4 - 2012

G>G>‡<‹ 2⁄2 G»G >‡<92⁄2 G>G >‡<92⁄26GG RDO

Bóng của đoạn trong Multiset Luân văn tốt nghiệp đạt học

LOI MỞ DAU

Khái niệm bóng của một tập con của tập n phần tử được đề xuất và sử dụng có

hiệu quả lần đầu tiên bởi nhà toán học Sperner vào năm 1928, khi ông tìm cáchgiải quyết bài toán ước lượng độ lớn cho các hệ antichain trong poset P(S) — posetcác tập con của tập S hữu hạn gồm n phần tử

Khái niệm bóng của tập hợp đã được Sperner sử dụng như một kỹ thuật đểđánh giá thành công cận trên cho độ lớn các antichain, càng về sau càng tìm đượcnhiều ứng dụng trong lý thuyết combinatorics Đặc biệt năm 1963, nhà toán họcKruskal khi kết hợp khái niệm bóng này với một thứ tự tuyến tính, mà sau nàyđược biết đến với tên gọi là thứ tự nén đã cho ra một kết quả nỗi tiếng của lý thuyết

combinatorics Đó là định lý Kruskal — Katona liên quan tới việc đánh giá cận dưới cho độ lớn bóng của các tập con cùng lực lượng.

Về sau, các nhà toán học đã mở rộng khái niệm bóng cho các tập sắp thứ tự vàđạt được nhiều kết quả mới

Trong luận văn này, chúng ta chủ yếu giải quyết vấn đề: Với những điều kiện

cần và đủ nào thì bóng của một đoạn là một đoạn trong multiset Dé giai quyết vấn

đề trên, đầu tiên ta xem xét và giải quyết yêu cầu đặt ra trong môi trường tập đơn

bội, sau đó là phát triển và giải quyết vấn để trong môi trường tập đa bội Và tấtnhiên, sau khi giải quyết vấn đề ,chúng ta sẽ nhìn nhận và so sánh những điểmtương đồng và sai khác trong hai trường hợp và xem xét rằng: liệu kết quả của

trường hợp tập đa bội có còn đúng với trường hợp tập đơn bội hay không ?

“Vạn sự khởi đầu nan”, việc tiếp cận với kiến thức mới quả là vô cùng khó

khăn, phải trải qua một quá trình để tìm hiểu và nhận thức Và trong quá trình ấy

em vô cùng biết ơn sự chỉ dạy tận tình, nhiệt huyết của thầy Trần Huyên, giáo viên

Bóng của đoạn trong Multiset Luân văn tốt nghiệp đạt học

hướng dẫn luận văn tốt nghiệp bộ môn Đại số Em xin được phép gửi đến thầy lờichúc sức khỏe và lời cảm ơn chân thành nhất

Qua giai đoạn tìm hiểu và giải quyết van đề, em cảm thay vô cùng phan khởi

và mong muốn có nhiều cơ hội dé phát triển vấn dé trong tương lai Mặc dù đã rất

có gắng nhưng chắc chan vẫn còn nhiều sai sót, em rất mong được sự góp ý chân

thành của quý thầy cô và bạn bè Mọi chi tiết xin liên hệ về

email: dongdoil902 @yahoo.com.vn Xin chân thành cảm ơn rất nhiều

TP.HCM, ngày 22 thang 4 năm 2012

Sinh vién:

Pham Van Tri

Bóng của đoạn trong Multiset Luân văn tốt nghiệp đạt học

IV BO! a eee eeecesseessecsseceseecsseessecsseesecsseeesaecssecsseesseeeseecsessaeesseeseeeaeeseeesaeeeaeens 8

V Đoạn, đoạn đầu: c.ccceccseccssssessssessssecessesessvsecevscessesessesecavsucarsucacsesecavsecavsecesavens 10

VI Thứ tự từ điỂn: - 2 2+2E+EE2EE2E2E12112112112112112112117171 1111111111 xe 10VII So lược về lich sử dẫn đến vấn G6: c.cecececcsececcssssecesecsesesesececsesesecseseeveeeeeees 10CHUONG II: BONG CUA DOAN TRONG MULTISET 2-52 s2 s52 13

I Bóng của đoạn trong poset các tập con của tap đơn bội: - 14

1 Từ tập con của tập đơn bội cho đến vector tọa đỘ: - - -cscs+s+xszecez 14

2 Các kết quả chính: ¿+ SE ©E9EE£EE£EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEkrrkrrerree l6

2.1 Các Bồ ĐỀ`: Sàn T11 110111111011 111111111111 1111 111111111111 16

2.2 Các Dinh LY: ceeececcsscesessessessessessessessessessessessessessessessessessesucsnesesssssesseeaees 19

II Bóng của đoạn trong multiset: - - c5 E31 E***#EE+eeeEseeeeeeseeeeesee 26

TRƯỜNG HOP TREN cescescsccscsscssssscsesscsscssecssesvssesucsssessesussessesesstsessesessssseseesees 43

1 Bóng của một đoạn đầU: -.ScSc t2 111111 11111111111112111111111111111111 1111111 xe 43

2 Bóng của đoạn mà hai đầu mút có tọa độ khác không đầu tiên là như nhau: 44

3 Bóng của đoạn mà hai đầu mút có tọa độ khác không đầu tiên là khác nhau:45

TÀI LIEU THAM KHẢO 2¿22- 2 5S£2S£22+£EEEEE2EEEEEEEEEzEEerxerxerrrrrxervree 46

Bóng của đoạn trong Multiset Luân văn tốt nghiệp đạt học

CHUONG I: KIÊN THỨC CHUAN BỊ

I Poset (partially ordered set)

Chang hạn lây 212 nhưng —2 # 2.

Ví du 1.3: Gọi P(S) là tập hợp chứa tat cả các tập con của S Và C là thứ tự bao

hàm thì (P(S),C) là một poset.

Thật vậy:

AC A,VAe P(S) (phan xa).

Bóng của đoạn trong Multiset Luân văn tốt nghiệp đạt học

1) Nếu x < y thì ta nói y là trội của x hay x được trội bởi y

ii) Ta nói y là trội trực tiếp của x nếu y trội x và không ton tại z # x, y sao

cho: x< Z< y.

3 Phan tử toi dai, toi tiéu:

Trong poset (S,<), một phan tử m được gọi là tối đại (tương ứng là tối tiêu) nếu

m không có trội thực sự ( tương ứng không là trội thực sự của phần tử nào cả)

Bong của đoan trong Mulltiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

Cho poset P = (§,<), giả sử có 1 ánh xạ r từ poset P vào N sao cho:

r(a) =0 nếu a là phan tử tối tiểu của P,

Và r{b) =r(a) +1 nếu Ð là trội trực tiếp của a

Thi r được gọi là hàm hạng của P.

Khi đó, P cũng được gọi là 1 poset có hạng

HI Mức:

Cho poset = (§,<) có hàm hạng r Ta định nghĩa mức thứ & của P là:

P.={aeP:r(a)=k}

IV Bong:

Cho P là một poset có hạng với các mức P,P P,, Với k>lvàach.

bóng của # được định nghĩa là:

Aa ={x € P_,:a là trội trực tiếp của x}

Và bóng của AC P, là:

AA = U Aa

“GA

Sau đây là một số Ví dụ về poset có hạng mà ta sẽ dùng đến trong các phan kể tiếp

Như thông lệ, ta ký hiệu lA| chỉ số phan từ của A Và dé đơn giản ký hiệu, vector

(x,.X; X, ) được viet là x,x; X, nêu không có gì nhầm lần.

Bong của đoan trong Mulltiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

Ví dụ 4.1: Poset (P(S),<), với P(S) là tập hợp các tập con của Š = {1,2, ,7}

là một poset có hạng với các đặc trưng:

Phan tử: a là tập con của S

Thứ tự bộ phận: a Cb.

Hàm hạng: r(a) = la| là số phan tử của a.

Mức thứ k: P,(Š) ={a cS :|a| =k}.

Bóng của a € P.(S)={b a:|b|= k -1}

Ví du 4.2: Poset S(k,,k,, ,k, )cdc tập con của tập đa bội gồm nm phan tử, trong

đó phan tử thứ i lặp k, lần trong đó k, <k, < < k„„k, EN’, với quan hệ "<"

là một poset có hạng với các đặc trưng sau:

Phan tử: x = x,x, %, với OS x, $k,,x, EN”

Trước hết ta định nghĩa bóng thành phan thứ 7 của x là:

A.x=@ nếu x, =0 và A,x=x,x, (3, —1) x, nếu x, >0.

Thì: Ax =VA,x

Vi du 4.3: Poset B cac vector Bool

Phan tử: x = x,x¿ x,,k € Ñ”,x, {0,1}.

P » ° a = £ oa e

Bong của đoan trong Multiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

Thứ tự bộ phận: với X=X,1; X.,,Y = Y,Y; V„ thi x<y nêu k<Sn và

i, << <i IK =, s - = ý,

Hàm hạng: Với x = x,x, %, thi r(x) =k =dimx.

Mức thứ k: P ={x eB: dimx=k}, PR, ={@}

Bóng của X = X,X, %, € P:

Gọi Á,x là vector có được bằng cách bỏ đi x, thì: Avx={A,x,l< j Sn}.

V Doan, đoạn đầu:

Cho poset có hạng , trên mức mỗi mức Fes ta trang bị thêm một thứ tự tuyên tính

"<”, với a,b e F¿ ta định nghĩa:

Đoạn [a;b]={x € ,:a<x<b}, và

Doan đầu xác định bởi a là: /S(đ)={x€P,:x<4)}

Chúng ta ký hiệu k]-e nêu nek oa J-° neun<k.

Từ năm 1928, Sperner đã chứng minh rang :

; n n

Nếu AC P,(S) với § = {I,2 n} thì ta có: al > ial

Vấn đề tự nhiên đặt ra là tìm cận dưới lớn nhất của | AA].

Bong của đoan trong Multiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

Một cách tông quát, với P là mức thử & của poset có hạng P và me Ñ cho trước, tìm A C 2 sao cho [A =m va:

|AA| = min{|AB|: 8 c P,.|B| =m}

Đề giải quyết bài toán này, thường người ta tìm một thứ tự toàn phan trên F,

mà ta gọi là thứ tự tuyén tính và chứng minh rằng tap A phải tìm gôm m phần tử đầu tiên của P trong thứ tự tuyến tính ấy Đó là nội dung chủ yếu của định lý

Kruskal-Katona.

Và về sau, Clements — Linstrom đã mở rộng thêm định lý KK cho

poset S(k,,k,, ,k,) các tập con của tập đa bội Nói chung, Clements — Linstrom

đã chứng minh được rang với thứ tự tuyến tính là thứ tự từ điển thì

S(k,,k, k,„) là một K-poset Chúng ta không đi sâu vào việc tim hiệu K-poset.

Nói riêng, họ đã chỉ ra rằng bóng của một đoạn đầu xác định bởi phần tử a trong

S, theo thứ tự từ điện lại là một đoạn đầu trong S593

Đề giải quyết van dé trên, trước tiên ta hệ thống lại một vài khái niệm và đưa ra

một số ký hiệu như sau:

Cho poset S$(k,,k,, ,k,,) các tập con của tập đa bội phần tử mà phan tử

thứ i lặp É, lan

Bong của đoan trong Mulltiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

Như trên đã đề cập, các tập con có thể đồng nhất với các vector nguyên

x=x,x; v„ mà OS x, Sk, với mỗi i.

Thứ tự bao hàm của các tập con chuyên sang các vector cho ta thứ tự tự nhiên sau:

X=x,1; X„ y= Wy; V„ khi và chỉ khi x, S Y, với mọi ï.

Khái niệm hạng, mức, bóng của một phần tử, một tập hợp được đỉnh nghĩa và ky

hiệu như Ví dụ 4.2.

Đề giải quyết van dé đặt ra, ta trang bị thêm một thứ tự tuyền tính là thứ tự từ điền

Về sau, ta chủ yếu dùng thứ tự này

Dé tiện lợi cho sư trình bày, trước hết ta cần thống nhất một số ký hiệu:

Với mỗi phan trae S, ma tọa độ khác không đầu tiên là a,, ta có thé viết:

q = £q,t, ở đây z =Ô 0, còn U=d,,, 4 a’

Nếu toa độ khác không cuối cùng của a là đ, thi ta viết: đ = Vđ,Z.

A”a=max{A,a}

Đối với các bóng thành phan của a, ta ký hiệu: 4ˆ :

Aa=mmn{A,z}

tong A”a = za,u(a, —1)z

De thay: neu d = zajua,z thi) :

Bong của đoan trong Multiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

Bây giờ ta xét bóng A[a;b] mà a,b có tọa độ khác 0 đầu tiên là như nhau, tức là

a = za và b = za,v Ta phân tích A[a;b] thành hai bộ phận được ký hiệu như

sau:

A'[a;b] ={A'x: x e[a;b]} ={z(a, —Du: za,u e[a;b]}

(ey = A[a;b]\Al[a;b]={za,w: za.u' € A[a;b]}

CHUONG II: BONG CUA DOAN TRONG MULTISET

Bong của đoan trong Mulltiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

Trước khi xem xét bóng của một đoạn trong multset, ta xem xét bóng của một đoạn trong poset các tập con của tập đơn bội và xem đây là một trường hợp

đặc biệt cua poset các tập con của tập đa bội (multiset) Đây được xem là phần

tương đối quan trọng của bài luận văn vì nó cho phép người đọc tiếp cận và làm

quen với những gì cơ bản nhất từ ký hiệu cho đến ý nghĩa của một số kiến thức

phải dùng sau này.

I Bóng của đoạn trong poset các tập con của tập đơn bội:

1 Từ tập con của tập đơn bội cho đến vector toa độ:

Cho tập đơn bội S = { P¡, Ð; D„ }

Khi đó: ACS & (Vp, € A> p, €S)

Gọi x, là số lần xuất hiện của các p, trong A thì rõ ràng x, € {0,1}.

Từ đó, quan hệ tập con này có thé được chuyền thành quan hệ ước số như sau:

ACS có thê biểu diễn thành a = p;" Ø? p`" |m = p,p, p,

Như vậy, với mỗi tập con tương ứng của Š, ta chỉ cần quan tâm đến số làn xuất

hiện của các p,,hay nói cách khác với mỗi tập con tương ứng của S ta chỉ cần

quan tâm đến mỗi bộ số tương ứng, mà thành phần của nó là số lần xuất hiện của

các Pp Chăng hạn:

Với ÁC $, ta chú ý đến vector x = Xj Xq.2X, 5

Với BCS, ta chú ý đến vector y = V,Y¿ V

vn’

Bong của đoan trong Mulltiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

Lúc này, thay vì dùng các tập con, ta chỉ cần dùng các vector tọa độ như trên.

Chúng ta hãy xem Vi Du sau đây dé hình dung rõ hơn:

Ví du 1.1: Cho tập đơn bội S = {1,2,3,4}.

vector a = 0101 là đại diện của tập con A = {2,4},

vector b = 0110 là đại diện cho tập con B = {2,3},

vector c = 1011 là đại diện cho tập con C = {1,3,4}

Xét vành Bool hữu hạn: B(n) = {x = x,x, x, 2x, €{0:1}}

Thứ tự bao ham cua các tap con chuyén sang các vector cho ta thứ tu tự nhiên sau:

X=X,%X; X„ Š ÿ= WWa V„ SX, < y,, Ví e{L,2, ,t}

Ta trang bị thêm trên Ö() một thứ tự tuyến tính - thứ tự từ điền

Với mỗi x € B(n), hạng của x được ký hiệu và xác định là :

|x| =x, +x, + + 3,

Hang của một vector cho ta biết số thành phan khác không của vector đó.

Với mỗi phan tử x = x,x; X„ € B(n), bóng thứ icủa x được ký hiệu và định

Bong của đoan trong Mulltiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

Cho b = zl,u € B(n;k) thì: AIS(b) = IS(A"b) với A"b e B(n;k - l).

Hay nói cách khác, bóng của một đoạn đầu trong B(n;k) là một đoạn đầu trong

B(n:k —]).

Đây là kết quả quan trong đã được chứng minh và nó là một trong những trường

hợp đặc biệt của những kết quả tông quát sau này và mục tiêu của chúng ta là thểhiện và chứng minh những điều tông quát đó

P » ° a = £ oa e

Bong của đoan trong Multiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

r=l,+4,y=], +b

a= x—l,,b = y—I],

Tức là tại vị trí thứ & của a, ta thay x, = 0) thành x, = 1 Và ngược lại, tại vị trí

thứ & của x, ta thay x, =1 thành x, =0.

Điều này có thê chứng minh một cách dé dang.

Bóng của đoan trong Multiset Luân văn tốt nghiệp đại học

" + _ ve z ah alia

Theo bồ dé 1.2, ta có:

A'[a,b]= A={x-1,: x €[a,b]} =[g,d] = IS(d)

Theo bồ dé 1.1, ta có:

AA = AIS(d) = IS(A"d) = IS(A‘b-1,)

Ta có: A"[a,b]= B={y+l,: y AA)}

Theo 1.2, ta có: B=[h,A"b], với h = zl,zl(k — 2) € B(n,k -1).

Ta có: A[a,b]= A'[a,b]U A" [a,b] = AU B = IS(d) U[h, A"B]

Ma d,h là 2 phan tử liên tiếp trong B(n,k —1) nên A[a,b] = IS(A"b).

P » ° a = £ oa e

Bong của đoan trong Multiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

Từ (1),(2) suy ra Afa,b] = IS(A"D).

Ta lại có: [g,A"b] CAfa,b] (2)

Từ (1).(2) suy ra: IS(d) UL g.A"b] c A[a,b]

Mà d,g là 2 phần tử liên tiếp trong B(n,k —1) nên IS(A"b) c Afa,b]

Hiền nhiên: A[a,b]C IS(A?b).

Suy ra: A[a.b] = IS(A"b).

“ Lưu ý: Cac bỗ đề trên rat quan trọng trong việc chứng minh các định lý sau:

3.2 Các Định Lý:

2.2.1 Dinh lý 1:

Cho a = zl,w, và b=z1,v € B(n;k) sao cho: i> j + Thì A[a,b] = IS(A"b)

Suy ra: A[đ,b]c A[a,b]

hay !§(A"b)C A[a,b] (viA[d,b] = IS(A"b) theo bê đề 1.5)

Hiền nhiên: A[a,b]C IS(A"b)

Suy ra: A[a,b]= IS(A"b)

Như vậy, ta đã giải quyết xong trường hợp iii) đã đặt ra ban đầu, tiếp theo ta

khảo sát trường hợp ¡) qua định lý sau:

Vì g +1, = 21, 2l(k —2) € A[a,b] nên A= zlJ1, zl(k —2) € [a,b].1, LZ

Suy ra: h2a

Ngược lại, giả sử : |

Ta chứng minh Afa,b] là đoạn.

- Nếu £=¡+2, suy ra pasta a

Áp dụng bô đề 1.4 cho [a—-1,,b-1,]

- Nếu £ >i+2, áp dụng định lý 1.1 cho [a—1,,b-1,]

Bong của đoan trong Mulltiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

Cả hai trường hợp này ta đều có: A[đ —1,,b —1,] = IS(h)

Ta có: A[a,b]=[aT—l,,b—1,]t2{x+l,: xe AIS(h)}

Là hợp của 2 đoạn liên tiếp nên A[đ.b] là đoạn.

Như vậy, ta đã giải quyết xong 2 trường hợp i) va iii) đã đặt ra ban dau Bây

giờ, cuối cùng ta xét trường hợp ii) :

Trong trường hợp nay, ta lưu ý 2 khả năng của a:

- Nếu a = zl,.¡zl(k —l): theo bé dé 1.5, suy ra A[đ,b] là đoạn.

í

- Nếu a> zl,,zl(k — l):

f

Lúc này, đối với các chỉ số của vector Ð, ta đặt:

s=min{t: y,., =Í,y, , =0}

t#?=l

Tức y,,, là tọa độ bằng I đầu tiên của b không liên tiếp sau Ì,.

Ta có thê biéu diễn b như sau:

b=zlLl,„ ,„zÌl,„q@ (p+l<s)

s* LƯU ý:

P » ° a = £ oa e

Bong của đoan trong Multiset Luận văn tot nghiệp dai hoc

l, „ la tọa độ bang 1 cuối cùng của b trong chuỗi liên tiếp các toa độ bang | sau | i

Và rõ rang, 1,,, là số 1 thứ (p +1) kể từ l,.

Gọi Í, là số 1 thứ (p +1) trong số các tọa độ bang I của a ké từ Í,

Goi ||, là số 1 thứ (p + 2) trong số các tọa độ bằng I của a kể từ LỆ

Tức là 1, va 1, là 2 số 1 liên tiếp trong tat cả các thành phan bằng 1 của a sau 1,,,

Ta có thé biêu diện a như sau:

Nêu / >i+ p+ thì A[a;b] là đoạn

Nếu /=¡i+ p+l thì A[a;b] là đoạn khi và chỉ khi:

a' là trội trực tiếp của bì