Khóa luận tốt nghiệp Toán học: Ánh xạ co

Việc giải quyết một số bài toán đôi khi trở nên đơn giản hun, ngắn gon hun, Nếu ta biết chon lọc phương pháp, kynăng tính todn,.... Trong luận văn này chúng tôi xin trình bày mot số ứng

BO GIÁO DUC VÀ ĐÀO TẠO TRUONG DAI HOC SU PHAM TP.HCM

GV hưởng dẫn - EFS LÊ HOÀN HÓA

SV thực hiện - TRAN HONG MO

Tư MIỆM

“hướng SỌi Hoy Sáo he

lo ra - xa

NIÊN KHOA 1997 - 2001

Việc giải quyết một số bài toán đôi khi trở nên đơn giản hun, ngắn gon hun, Nếu ta biết chon lọc phương pháp, ky

năng tính todn,

Trong luận văn này chúng tôi xin trình bày mot số ứng

dụng của ánh xạ co vào : Phương trình vi phân, Phương

trình tích phân, không gian metric, không gian lôi theo

metric, không gian Hilbert.

Thông qua nguyên lý ánh xạ co (dinh lý 1.1) Ta chứng

minh một số định lý quan trọng khác làm nên tăng cho việc giải quyết một số bài toán trên.

Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: 1S Lê Huàn Hóa

1, Nghiệm địa phương -:-sssnhhhhnnnhnhtnrterrrirrrrnddrrrrentrtrttrrtrrr 12

2, Nghiệm WAM CUC -c eseeeseenririrreirtenriirtirrlrrerrrrrtilflrtrrrfr 13

3 Phương trình tích phi -.sssssesssssessnsessasarsnnecesnneennnensanennnarsnnasannnanananecssssss 14

4 Phương trình vi phân đối số lệch ‹-. -rneethttrrtrrerretrtrrrree 18

5 Metric Haudovff :.ssssecesseresseecsesereresenvnenenesassnsensnnennsnntsinenssnsennenesssnssanacenenes 2!

6 Không gian lỗi theo metric -. -++essennntnnrenehrerrtrrrtrrrrrrre 24

7, Ánh xạ không GAM sscsssssessessssssesssseeesnssunsatsonanenesesneanunnsnnananennencqnganansteteet 26

*

* *

OE

SVTH : Trần Hong Mo

Luận Văn Tôt Nghiệp GVHD: 1S Lê Hoàn Hóa

NGUYÊN LÝ ANILXA CƠ HANACH

1 Nguyên lý ính xạ co :

Dinh nghĩa : Cho (X, d) là không gian metric và T : X > X Ta có các định

nghĩa sau :

* T là ánh xạ co nếu với x # y, d(Tx, Ty) < d(x,y)

* Ta ánh xạ lipsit nếu tổn tại hing số K >9 sav cho với mọi x, y eX :

d(Tx, Ty) < Kd(x, y) (1.1)

+ Số K (T) bé nhất thỏa (1.1) được gọi là hệ số lipsit của T,

+ Nếu K (T) <1, ta nói T là ánh xụ cơ hệ số K = K(T) hay ánh xạ K = có

* Điểm xạ eX là điểm bất đông của 'T Nếu Txụ = Xo.

(a) Nếu S, T: X > X là các ánh xa lipsit thi: K (TeS) < K (T) K(S)

Đặc biệt : K(T*) < [K(T)]", với mọi n € IN,

(b) Điểm bất động của ánh xạ co nếu có sẽ duy nhất,(c) Nếu T là ánh xa lipsit từ X vào X thì T liên tục đều trên X.

Định lý 1,1 : (Nguyên lý ánh xạ co)

Cho (X d) là không gian mewic đẩy đủ và T; X > X là án xạ K — có Khi

đó T có điểm bất động duy nhất, gọi là x), và lim T*x = xe, với mọi x e X.

Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: 1S Lê Hoàn Hóa

Do K< 1, bất đẳng thức trên chứng tỏ (x,), hay CT°x), là dãy cơ bản, nên hoi

tu.

Datxy= lim T?x Do liên tuc nén : Txy= lim T(T*x) = lim !°''(x) = Xe

Theo tính chất (b), T có điểm bất dong duy nhất ghi là x».

Mat khác từ (|.2) chop > ø tạ có :

d(xo, T°x) < nae d(x, Tx), với moi x € X

Dinh lý được chứng minh

Vậy T : (X, p) > (X, p) là ánh xa Ky = co Theo định lí 1.1, T có điểm bất

động duy nhất xo, và lim T'x = Xo rong (X, p), với mọi x e X.

Do d, p là hai metric tương đương nén lim T”x = xy trong (X.d) voi mọi xeX.

Mệnh để 1.1 :

Cho (X, đ) là không gian metric, T : X > X là ánh xạ lipsit Khi đó tồn tại

SVTH : Trần Hồng Mo Trang 2

Luận Văn Tot Nghiệp GVHD: TS 12 Hoàn Hoa

K„CT) = lim [ROT = int { PRCT YY ne IN}

Đất a =inE | PROM’ IN]

Với ¢ > Otiy ý, tổn tại pc IN sao cho : K CÍ) < (ate)!

Với n > p, tú ViẾUt: n=pg +1, với th < £ < pt

Doe tùy ý nên :

a= lim |KCE92J'®= inf [EK(T9H' n € IN]

Cho (X, d) là không gian metric đáy đủ, T : X > X là ánh xạ lipsit.

Giả sử K.CT) < 1, Chứng minh tn tai metric p tương đương với metric d sao

cho :

T:(X.,p) > (X, p) là ánh xa Ky - có Goi xạ là điểm bất động của T.

Khi đó : lim T”x = x9 trong (X, d), với mọi x € X.

Áp dụng mệnh để 1.1 , tốn tại p 6 IN xao cho: K (TP) <b,

Lại áp dụng định lý 1.2 Dinh lý 1.3 được chứng mình.

Mệnh dé 1.2 :

Cho (X, d) là không gian metric, T; (X, d) > (X, d) là ánh xạ lipsit cho p là

metric tưởng đương với metric d Chứng minh :

lim [Kg (TP) |” = lim [K, (191 '^

Trong đó Ky (1), Ky (T) là hệ xố lipsit của :

T:(X,d) > (X.d) và T : OX, p) 3 CX, 6) theo thứ tự.

Chu sk

Dod, ø là hai metric tướng đương nên tổn tai a, b > O sao cho :

với mọi X,Yy£eX , ap(k.VY)<(x,V) <b ptixy)

Khi đó : với mọi n e IN

SVTH : Trần Hỗng Mo : Trang 3

Luận Vin Tốt Nghiệp GVHD : TS Lê Hoan Hoa

p (Tx, Ty) < Ì d(19x.T^y)< Ì Ky (1) dex yp.

Sau đây ta xét mOt trường hợp của ánh xạ Ts X > Xsaochod—T) là phep

đồng phôi (Trong đó 1 là ánh xa đồng nhât)

Định lý 1.4:

Cho (X, {.]) là không gian Banach, T : X > X là ánh xa lipsit Với y © X, dat

Ty: X > X định bởi T,(x) = Tx + y, Giả sử K„(T,) < l, với mọi y e X.

Khi đó (1 — T) là song ánh và (I - T)_ ` liên tục.

+ Ta chứng minh (1 — T) là song ánh : Theo định ly 1.1, T có điểm bat động

duy nhất gọi là 4 (y) và lim T , (x) = (y), mọi x e X, y

Ta thấy mỗi y ứng với duy nhất ( (y)

Nên qui tắc y + @ (y) là một ánh xạ.

Ma: T, | (y)] = T |@ (y)| + y = @ (y) Hay : (L= T) | @ (y)| = y

Dé dang thấy (1 - T) là song ánh và @ = (I- 7) Ì

+ Ta chứng minh : @ = (I— Ty" liên tục trên X

Theo mệnh dé 1.1 tổn tại p 6 IN sao cho :

T là ánh xạ K — co, nên với e > 0 tốn ail < Ace

sao cho: với x,x" € X:Íx~ xÌ<g+ðy tì f®S(x)—T92(x)Í<s (3)

Do T là ánh xạ lipsit nên : :

5 Ù

+ Tổn tai 8, < = sao cho | x =x'Í < 6, thì |'†x - Tx’) « &

5 y

+ TỔn tai ô; < oe sao cho| x—x'Í < 6) thì | Tx - fx'Ì < &

Tiếp tục hữu han Lin,

SVTH : Trần Hồng Mo Trang 4

¿Luận + ~ Tốt Nghiệp GVHD: TS Lê Hoda ia

Vay ton tại 6.9 =0,1, 2 pL

5 y

sao cho Ổ,,¡< i và | x—x'l <6.) mil Tx - TN" « 5 : (1.4)

Hãy piới ta chứng minh :

Với y' e X valy—y'l < ð„¡ thì | @ ty) - 7 FetyHÍ < s + á, với n € INCL)

That vậy, bing qui nạp, với n = |

| @(y) - TỶ Ile(y)Í <Í'Tley0 = TH? tot ely = vÌ¿ 8,

Tiếp tue đến p ta được :

| pty) — TT) Lely) | < õu< dot & dung

Giả sử (1.5) dụng với n, nghia là :

|y- yÌ < â;¡ hil ty) - TS: loc! < £+ ä,

Mat khác, datz = TTM,- |@(y)| tì chứng minh :

[TY ~ T1: (z)Ì site ¿)— T(T al +Ìy - yÌ < ổ, ¡

Tiếp tuc đến p ta được :

IT", (2) = Ty (21 < &u

Tit giải thiết qui nap và (1.3) ta có :

| p(y) = TT) Ie(y)J)Í=Í TT, lol TCE", le@wlDÏ < s

Suy ra:

| p(y) = †!9 9%: [w(y|Í <Ì @ty) - TP, CĐ leœ)DÍ +

+11 ET) leg - 1" CÍ,: [EQ | < e+ äu

Vậy (1.5) dúng với moin e IN,

SVTH : Trần Hỗng Mơ Trang Š

Luận Văn Tất Nghiệp GVHD: TS Lê Hoàn Hoa

Do: lim TP”, :|@(y)| = pty’).

- -Nên từ (1.5) cho n > ø thì tạ dược - Í @(y) - ty) | < ã,+ 6< Qe

Vậy @ liên tục trên X Định lý dude chứng minh

)ịnh lý 1.5 : Cho (X d) là không gian metric day đủ, @ - (0; + z2) > ER, liên tục sao cho

Ú < @(£) < r với mọi r > 0 cho [ : X > X thỏa man :

d (f(x), F (y)) < @ (d(x yp) nếu x # y,

Chứng minh fed điểm bất động duy nhất x» và lun I" (x) = xạ với moi xe X

RO rang mâu thuẫn vì lima, =a>0

Mat khác ; Với ¢ > 0, dụ 0 < @ (&) < 6 và @ liên tục nên tổn tại 0 < 6 < 6 swe

cho : max { @ (rf), re |0;c+ð|| <e (1.6)

Do lima, = 0, nên tổn tại nọ sav cho : với mọi n > nọ thhO< a, < 6.

Nên với n > no, ta có :

Boot đ(Xz+¡ « Xe¿>) = A (LOK), Í(X„„¿) < 8, = UCR X¿„¡) < ổ

đ(X,, Xue) < ẲŒX,, Neat) # Ẩ(Xz¿i, Neer) = dy Fd) < E + ỗ

Suy tả : đ(X„¿‡, Seon) = đ(Í(X„), Í(X„„>) < @ ((X„, X„„>)) < £ Vậy :

d (Xạ, Xue) < d(x, Keot) + đ(Xạu¡, Xai) < + £

Tiếp tục quá trình trên ta được :

U (Xu Xap) <ổ+p£< 2, với mọi p 6 IN,

Do đó (x,), là day cơ bản, nên :

lim x, = lim f (x) =X», VỚI HƠI X€ X

Vì [1a ánh xạ co nên xp là điểm bat động duy nhật của f

Dinh lý được chứng mình.

Định lý 1.6

-SVTH : Trần Hong Ma Trang 6

Luận Van Lot Ngnep VMs 1d, Le moan nea

Cho (X,Í |) là không gian Banach,

@: (0; ©) > IR liên tục sao cho 0 < @ (r) <4, với mọi r > 0, Cho f: X > X

thỏa mãn :

Ifo) - f(y)l<œ@x- yÌ), nếu x zy.

Chứng minh (1 = f) là đồng phôi (1 : ánh xạ đồng nhất trên x)

Ánh xạ f,: X > X dịnh bd: f, (x) = Í(x)+z , 2X.

Do đó ta có :

|f,{x) - f(y)! =o - fy) | <a dx-yl) nếu x #y.

Nên [,, F là ánh xạ co.

Theo định lý 1.5, £, có điểm bat dong duy nhất ghi là (2)

Và lim ; (x) ='\WŒ) , với mọi x X.

Do dé: W2) = f, [)| = F[!P)| +2

Suy ra: (l= f) [(2)| =z

DX dàng thấy (1 — Ð là song ánh vã * =(I— Í) `.

+ Ta chứng minh ¥ liên tục trêu X

[, là ánh xạ co nên :

Với e > 0, tổn tại > 0 và &) < £ sao cho:

Với x,x' e X,Íx— xÌ< + & thì | £09 - f„{x'yÍ < e và f là ánh xạ co nên:

ở,

“Tôn tại 8, < * sao cho :Ìx = x'Ì < ¿ thì Í f(x) ~ f(x')Ì < n

Ÿ

Tén tại 8; < Š sao cho :| x= x1] <8; thil fx) = 100) | < Št

Tiếp tục hitu han lắn :

3Ÿ

Tén tại 8 , i¡ =0, 1, p— 1 sao cho : ỗ¿„¡ < >"

5

|x~ x'Ì <ð„¡, unl f(x) — fx')| < os

Ta thấy giả thiết của dinh lý 1.6 thỏa các điểu kiện (1.3) và (1.4) của phan

chứng minh định lý 1.4 nên ta được :

Luận Văn Tot Nghiệp GVHD: TS, Lê Hoàn Hóa

Cho (X d) là không gian metric đẩy đủ, [: X > X thỏa mãn : với mọi e > 0,

tốn tại ổ > 0 sao cho :

g<đ(x,y)<£+ ð tì d(I(x), f(y))< £

(Khi đó ta nói f là (cổ) — co)

Chứng mink fed điểm bất động duy nhật xụ và tim I"(x) = xụ, VỚI mọi x 6 N

Với x e X, đất x, =Í(X)

x, = f(x), vi mọi! 6 IN

Data, = dix, X„.¡) > 0, với n 6 IN

‘Ta thay (a,), là day giảm.

Thatvay: -Néeua,=0 thia,., = 0, với moik

- Nếu a, >9, khi đó tổn tai e > Ø và ỗ > 0 sav chu 6< a, < 0+ 6

Ta chứng minh (x,), là dãy cơ bin với mọi e > 0, do lim a, = 0 nén:

với 0 < & <¢, thn tai nạ sao cho với mọi n > ny thi a, < S dẫn đến

Á(X;, Xesz) S đ(X„„ Kaos) + Ả(Xu¿¡„ Xu¿›) CO HE

Suy ra : U(Xeet Seer) <

Nên :d(%X;, Xs¿;)< d(X„, Xue) + (Xavi Sword

Tiếp tục quá trình trên, bằng qui nap ta có :

(Xu, Xesp) < Ô +®£ <2, với mọi p € IN

Vậy (x„), là dãy cơ bản

Nên đất xo = lim x, = lim Í”(x), với mọi x e X.

noe

Do £18 ánh xa (e_8) có, nên xp là điểm bất đông duy nhất của Í

Định lý 1.7

-Cho (X, d) là không gian metric compac và F : X > X thỏa mãn :

dt Tx, Ty) < d(x,y) nêu x # y (1.8)

Khi đó T có điểm bất động duy nhất, ghí là xe và lim T'x = xạ déu tên X

Với x © X, đãi x, = T'x và a, = d(x„, X„„;) > 0, với mọi nEIN

SVTH : Trần Hồng Ma ; : Trang &

Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD : TS Lê Hoàn Húa

Do (1.8) nên (a,), là dây giảm, nena = lim dụ

Mau thuẫn ! Vay lim a„=Ú hay z=Tz

Do T là ánh xa co nên T có duy nhật điểm bất động tà ghi là xo Vậy mọi day

con (x„,)¿ của đây (x„), có cùng giới han là x» Mặt khác do X là không gian

compac metric nên lim x, = lim T”(x) = Xo

nef ew

Với n e IN datf, X > IR định bởi f,(x) = d(x, T”(x)).

Do (1.8), (f,), là day giảm và theo kết quả trên lim [,(x) = 0, với mọi x e X.

Cho TT : IR" IR" thỏa mẫn,

|Tx— TyÌ <Ìx- y nếu x, y e IR*, x # y

Chứng minh (1 — T) đưn ánh và nếu PD là tập mở thì ảnh (1 = T) (D) là tập mở

Chứng minh : +1 ~—'T đơn ánh

Giả sử (1 = T) (x) = (1 = T) (y) cần chứng minh x = y (với mọi x, y € IR")

Ngược lại giả sử x # y Khi đó ta có :

Í(Œ~T) (9) - (1-1) (y)| =Ï(x~ y)- (Tx~ Ty)!

Luận Văn Tôt Nghiệp GVHD: TS Lê Hoàn lúa

Với y © H (u, d) rong dó = z - lv va ỗõ=r~ > Oda

Í(x) = Tatty xe (4,0)

Khi đó ta có - Í f(x) - (00°) |=! fx - Tx'] <Ìx-xÍ,xzx!

Và | I(x) - z| <Í 'Tx - Tả + ÌTz - z+y| =Í'Tx - Tả +Í y - uỈ < rạ+õ=t

Vay -H' (z,£) 3 Bz, r) do H2, g) là compae nên Í có điểm bất đồng duy

Với y € H (u, 5) (trong đó u = 2 - T2, 8 = (1-k).1)

đặt f(x) = Tx + y,x e H' (, t0)

Khi đó ta có :

| f(x) - d <Ì'Tx~ Tải +Í Tz - z + v

<k.tr+ö=t

Vậy [ : H' (4.09 H' (z, r), do W (2, r) là tập bop compac trong X nên diy

đủ Do đó í có điểm bất động duy nhất ghi là w 6 H* (z, 9

VÀ w = Í(Ww) = TW + y hay (l- T) (w) = y Suy ra B(u, 8) € (1 — T) (D) Vậy (I = T) (1) là tập mở wong X.

+(1= T) là song ánh, (= Ty! liên tục trên X.

Với y e X, định nghĩa í, : X > X bai:

Dinh nghĩa : Cho (X, d) là khong gian metric

SVTH : Trân Hong Mo Trang 10

Luận Văn Tôt Nghiệp GVHD: 1S Lê Hoàn Háa

Hàm +ð : X > IR được gọi là nửa liên tục đưới nếu với moi diy (x,), trong X,

lim x, =x thì lim inf @(X„) > gx)

(a) X < y và x # y thi w(x) < yy)

(b) Với mọi day tăng (x,), trong X sao cho : (X„) < ¢ với mọi n e IN thì tồn

lại y € X Sao cho x, < y, với mọi n.

(c) Với mọi x € X, w (S(x)) bị chan trên.

Khi đó với mọi x e X, tổn tụi x’ € S(x) là phan tử tối dại, tức la{ x']} = SOC)

Do tụ ; X > IR và w (S(X) bị chặn trên nên với ae X

đặt ø(a) = sụp { w(b), b € S(a) }

Bằng phản chứng, giả sử kết luận không đúng với một x € X

Ta định nghĩa dãy (x,), bing qui nạp như sau : Xị =X ; X„¿¡ 6 S(x,) thỏa mãn

Ø(X;) < W/(Xz„¡) + -, với mui n € IN

!

Vì ự (X¿¿¡) < p(x) < ø, tổn tại y € X sao cho x, < y, với mọi ú e IN.

Mat khác do giả thiết phan chứng y không là phần tử tối dai của S(x) nên tổn

lain e X sao cho y <u,y #u.

Như vậy wy) < w(u)

Do Xụ < 0, wu) < p(x,), với mọi n 6 IN và X„„¡ < y niên : W (Xs¿¿) < WY)

Như vậy : {u) < Ø{X„) < W (Xa) + - „ Với mọi "ì

Suy ra : wu) < wy (y) (1)

Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ.

@: X > IR là hàm nữa liên tục dưới và bị chan dưới Giả sử ánh xạ Ts X >

X thỏa mãn : ,

d(x, Tx) < p(x) - @(Tx), xe X (1.9)

Khi đó T có điểm bất động.

Chứng minh : Áp dụng mệnh dé 2.1

Đặt ( = và dịnh nghĩa quan hệ thứ tự trên X như sau : Với x, y X la nói :

x<y nếu d(x, y) < (x) - @(y)

SVTH : Trần Hong Mơ Trang II

Lués /in Tốt Nghiệp GVHD : 1S Là Hoàn Húa

Khi đó từ (1,9) suy ra x < Tx, với mọi x e X.Kiém tra các didu kiện của mệnh

Nên (x,), là dãy cơ bản trong X, vậy hội tụ đặt y = lim x,

Do @ nử a liên tục dưới nên : d(x, ,Y) < @ÁX„) — F < t0(X¿) - t)(Y) Vậy x, < y, Với mọi 1

Vậy (b) đúng.

+ (c) đúng do @ bị chan dưới

Ap dụng mệnh dé 2.1, với mỗi x € X, tổn tai xp > x (xo phụ thuộc x) sao cho :

Xo = Txụ,Khi đó ta cũng thấy lim T”(X) = xo

or

(Do T”(x) € S(x), với moi n € IN)

Định lý đã được chứng minh

MỘT SỐ ÁP DUNG CUA ÁNHXA CO

1 Nghiệm địa phương :

Cho (E, | Í) là không gian banach và xy e E Cho a, r >0 và F: (0; 9) x B’

(Xo, r) > E, liên tục và thỏa mãn điều kiện lipsit theo biếu x nghĩa Ja : t6n tại L > 0

sao cho:

| (x) - f(y) [<x - y, te [0; af; x, y e B'(X0, 1) (1.10)

Khi đó bài tuán giá trị đầu cho phương trình vi phân :

x'() = M(x) ,t>0 (I.1)

xÙ) = Xo

Có nghiệm duy nhất x, trên [0; bị với b>0 và thỏa : bL < 1; Mb <r

với M = sup { |f(t, x()Í, te |0 a} , x(t) & B`(4ụ, 0}

Đặt X = € (|0; bị; E) là không gian Banach của các hàm liên tục trên |O; bị

có giá trị trong E, với chuẩn |x] = max { Íx(0l,te {0:b|}

Định nghĩa : T : X > X bởi

SVTH : Trân Hồng Mơ Trang 12

Luận Văn Tôt Nghiệp GVHD: TS Lê Hoàn Hóa

Có nghiêm duy nhất x, trên [0; a|

Đặt X =C (10; bj; E) là không gian Banach với chuẩn

fx] = max ( Íx()Í,te (0;a|}.

SVTH : Trén Hồng Mơ Trang l3

Luận Văn Tét Nghiệp GVHD; TS Lê Hoàn Háa

Định nghĩa : T : X > X bởi

"[x(U = X + { f(s, x(s)) ds, t e JO; a}

Điểm bat động của T thỏa mãn ;

X(t) # Xo + [ f(s, x(s)) ds, te |U; a]

Bang qui nạp ta dừng minh :

| T"x() - T°y()Ì < ur Jx-y] te Oa] (1.11)

T có điểm bất động duy nhất xạ, chính là nghiệm của (1.2) trên [0; a]

Cho (E, Í J) là không gian Banach, a> 0 và Í, g : |0 a| x E> E thỏa :

SVTH : Tran Hồng Mo Trang l4