Lời Nói ĐầuM61 trong những khía cạnh quan trọng của hình học là việc nghiên cứu các tính chất của mặt mà nó bất biến qua lớp các ánh xạ 1-1.. Tập hợp tất cả các tính chất nội tại của mặt
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VẢ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HỒ CHÍ MINH
Sinh viên Thực hiện : HOÀNG MAI LAN
Tưởng Đại Hạc Sự Dhue,
VP ¬< Chế cAAgggyg ”
SN EEJAA=m=—=— e5.
Thành phố Hồ Chí Minh
Thang 05/2001
Trang 2Lời Nói Đầu
M61 trong những khía cạnh quan trọng của hình học là việc nghiên cứu các tính chất của mặt mà nó bất biến qua lớp các ánh xạ 1-1 Chẳng hạn như
tính chất Tônô của mặt là tính chất bất biến qua ảnh xạ đồng phôi mà tính
Compact là một vi du.
Mot tinh chất của mặt mà nó bất biến qua một phép đẳng cự của mặt
gọi là tính chất nội tại của mặt Tập hợp tất cả các tính chất nội tại của mặt
được gọi là HÌNH HỌC NỘI TẠI CUA MAT.
Trong luận văn này ching tôi nghiên cứu tính chất nội tại của mat.
Luận văn gồm 4 phần:
Phén i: Giới thiệu các kiến thức cơ bản nhất vệ biểu diễn tham vỡ
chính quy, mảnh tọa độ, mặt đơn và anh xạ của mi.
Phẩn 2: Trinh bày ánh xạ đẳng cự và hình thành nên định nghĩa tính
chất nội tại của mặt, từ đó ching mình khoảng cách nội tại
giữa hai điểm trên mặt là một tính chất nội tại
Phân 3: Xây dựng nên công thức tính độ cong trắc địa và chứng
minh đây là mét tính chất nội tại của mat.
Phân 4: Khảo sát đường trắc địa trên mặt, chứng mình đường trắc
địa cũng thuộc về HÌNH HỌC NỘI TẠI, và xem xét đường
trắc địa trong một số trường hợp cụ thé: Mat Phẳng, MaiCầu, Mặt Tròn Xoay
Em đặc biệt biết ơn thầy Nguyễn Hà Thanh, đã dành nhiều thời gian và
công sức để đọc, hướng dẫn, giúp đô em trong suốt quá trình thực hiện vàhoàn thành Luận văn này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn QUÝ THAY CO và BAN CHỦ NHIỆM
KHOA TOÁN, đặc biệt là TỔ HÌNH HỌC đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn chúng em trong suốt quá trình học tập ở Đại học và đã tạo điều kiện cho em
thực hiện Luận văn này.
Do điêu kiện về thời gian và khả năng của bản thân, em nghĩ rằng
trong nội dung của Luận văn này không thé tránh khỏi những thiếu sót nhất
định, em rất mong được sự chỉ bảo quý bau của Thầy Cô.
TPHCM tháng 5 năm 2001
HOANG MAI LAN
Trang 3MỤC LỤC
Trang
Phần 1: ANH XA CUA MAT
1.1 Biểu diễn tham số chính quy 5 S02 2222028255522 l
1.2, Mảnh tọa độ 2225 0222221502275220505 ñốồỒ
PB MAU AOD n -.adiiaalia 6
lộ) Bk SARIN TING ac ecpeocnow ys ummenna snezenapae 10
Phần 2: ANH XA DANG CY
cD FRI RE exetesdeveesdrenueensonessssroeeeeeso) 15
2.2 Khoảng cách nội tai ccccscscsscssssescsosssssescssssssssscouessnsevseevsesssasvene 18
Phần 3: ĐỘ CONG TRAC ĐỊA 2222222222222 22c 22 Phần 4: ĐƯỜNG TRAC ĐỊA 52222222222 27
Trang 4GVHD: TS Nguyén Ha Thanh Luôn vỡn Tốt Nghiệp
1.1 Biểu diễn tham số chính quy :
Cho § c E* là tập hợp những điểm của E` và U là một tập mở trong
mặt phẳng uv Ánh Xa X= x (u,v) từ U lên S được gọi là một biểu điễn tham
số chính quy thuộc lớp CTM (m 2 1) nếu nó thỏa mãn các điều kiện:
theo định lý hàm ngược, tai mỗi điểm (u,, v„) € U, tổn tại một tập mở W
chứa (u,, v„) sao cho 8 = Ø(u,v) và @ = $(u,v) là song ánh từ tập mở W đến W”
Trang 5GVHD: TS Nguyén Ha Thanh Luôn văn Tốt Nghiệp
U Từ đó dẫn đến định nghĩa mặt theo thuật ngữ họ các biểu diễn riêng của
mặt thay vì chỉ dùng một biểu điễn duy nhất trên toàn bộ mặt.
——x.——.T“———-sss==ssz- ^.
SVTH: Hoỏng Mai Lan Trang 2
Trang 6GVHD: TS Nguyén Ha Thanh Luôn van Tốt Nghiệp
Ta đi đến định nghĩa sau đây:
1.2 Manh toa độ :
Một mảnh "toa độ” thuộc lớp C” (m>1) trong S là ánh xa x:U->$;
x = x(u,v), từ U đến S sao cho:
<i> x eC"”trênU
<ii> Xe : Xy # 0, V(u,v) € U
<iii> x là l- l và song liên tục trên U.
x cũng được gọi là ánh xa tọa độ thuộc lớp C” của S xác định trên U.
Như vậy:
Ánh xa tọa độ thuộc lớp CTM của S là một biểu diễn tham số chính quy
thuộc lớp CTM, 1 - 1 và song liên tục.
Vv 1 :
|X =ué, + về; ++JI—(uˆ +v?)ẽa
Xét
u?2+v <i
Xác định ánh xạ của đĩa đơn vị uỶ + vỶ <1 lên nửa mặt cầu phía trên
của mặt cầu đơn vị |X] = 1 Rõ rang:
- ReEC*
- Xlal-1
- X& song liên tục
Vậy & là mảnh toa độ thuộc lớp C” trên mặt cầu
SVTH: Hoang Mai Lan Trang 3
Trang 7GVHD: TS Nguyễn Hỏ Thanh Luôn vớn Tốt Nghiệp
BÀI TOÁN 1.2.2:
Chứng minh rằng X=uẽ, + vẽ; +f(u,v)é, là biểu dién tham số chính
quy thuộc lớp C” nếu và chỉ nếu f(u,v) e C”
f(u,v) e C" thì hiển nhiên Xe C”" Ta lại có :
Vậy & là mảnh tọa độ € C" O
Ta gọi các mảnh tọa độ dang X =ué, + về; + f(u, v)€;
hoặc X =uẽ, + f(u,v)€; + về;
hoặc X =f(u,v)é, + ué, + về
là mảnh tọa độ dạng Monge.
SVTH: Hoàng Mai Lan Trang 4
Trang 8GVHD: TS Nguyén Ha Thanh Luôn van Tốt Nghiệp
Nếu một tập hợp S có một biểu điễn tham số chính quy thuộc lớp C”
thì tại mọi điểm P„eS, tổn tại một mảnh tọa độ dang Monge trong S chứa Po
Giả sử X = X (u,v) là biểu diễn tham số chính quy thuộc lớp CTM của S xác định trên U và (up,Vo) là một điểm trong U mà &(uø,vụ) = Po.
Vì &(u,v) là chính quy, nên tổn tại một ma trận cấp 2 của ma trận
Jacobian của X khác 0 tại (ua,Vọ).
- Ánh xạ này eC”"/Uvì & €C"TM/U
- Jacobian của nó hay định thức ở trên # 0 trong lân cận (U,V) vì nó
liên tục và = Ô tại (ua,Vọ).
Theo định lý hàm ngược, tổn tại một tập mở W chứa (up,Vo) trong U,
Trang 9GVHD: TS Nguyén Ha Thanh Luôn van Tốt Nghiệp
1.3 Mat đơn :
Cho S c E` là tập hợp các điểm của E` Nếu tổn tại một tập hợp 19
những ánh xa tọa độ thuộc lớp C” (m2 1) trên S thỏa mãn các điều kiên:
<i> (8 phủ S, nghĩa là mỗi điểm PeS, tổn tại một ánh xa tọa đô
Nếu x = x(u,v) là mảnh tọa độ trên mặt don S và P là một điểm trên
x = x(u,v) thì tổn tại một lân cận S(P) trong E` sao cho giao của S(P) với S
chứa trong x = x (u,v).
BÀI TOÁN 1.3.1:
Chứng minh rằng một mảnh trong S là giao của S và một tập mở trong E`.
Thật vậy, cho G là ảnh của một mảnh x = x(u,v) trên S Với moi PeG
tồn tại S(P) Sao cho S(P) ANS c G.
Cho O= [J S(P), ta thấy ngay O mở vì nó là hợp những tập mở Giả sử
le bia S(0iiduiQaidi- US) Ta cũng có Q « S, vậy QeS¬O
Trang 10GVHD: TS Nguyén Hỏ Thanh Luộn van Tốt Nghiệp
Cho x = x(u,v) và x” = x” (8,6) là 2 ánh xa toa độ trên mat đơn S xác
định trên các tập mở U và U” có ảnh G và GỶ (tương ứng) giao nhau trên S
Gọi W và W” là hai tập con của U và U” mà ảnh qua x và x” vào
GAG’ Khi đó W và W” là các tập mở.
Chứng minh:
Cho (u,, v„) là một điểm của W có ảnh là P, € GAG’ Gọi S,(P,) và
S¿(P,) là các lân cân của P, sao cho S,(P,) § c G và SSP.) OS CG’ Giảsite < õ thì SUP.) 1S cG nG'
Vì x (u,v) liên tục nên tổn tai lân cận S5;(u,,¥,) của điểm (u,„v,) sao
cho với moi (u,v) € Ss; OU, ta có x (u,v) € S,(P ) Như vậy x(u,v) eGnNG Nhưng U mở nên với ô; đủ nhỏ ta có: x (u,v) € GAG, Y(u,v) e S;;(u„„V,),
(u,vì eW,
Vì (u,„v„) là một điểm bất kì của W, suy ra W mờ.
Hoàn toàn tương tự cho chứng minh W” mở 0
BÀI TOÁN 1.3.3:
Chứng minh rằng nếu x= x(u,v) là một ánh xạ tọa độ của mặt đơn S
thuộc lớp C” xác định trên một tập mở U với ảnh G và cho:
thuôc lớp CTM từ W lên VÌ , ở đây
ecu, Vv) + 0; ¥(u,v) e W sao cho trên W :
x = x(u,v)= x” (x;(u,¥), Xxa(u,V))
SVTH: Hoang Mai Lan Trang 7
Trang 11GVHD: TS Nguyễn Ha Thanh Luôn van Tết Nghiệp
Tén tai một tập mở W CU sao cho & biến W lên G GÌ =G” Vì & x
là | - 1, nên tổn tại một ánh xa | - l : x;= X;(u,V), X= Xa(u,v) của W lên
VÌ sao cho trên W : &(u,v)= X (x)(u,v),x2(u,v))
Ta chứng minh x;=x¡(u,V), X2=x2(u,v) e C” và O(%},X3) #0, V(uvyeW
Ø(u,v)
- Vì &(u,v) e CTM nên x)=x;(u,v), XzZx;(u,v) e C”
- _ Vì hạng của ma trận Jacobian của =X (u,v) và X=X"(x),xp) bằng 2
tại mọi điểm, nên vi phân của 2 ánh xa trên tại mọi điểm là các ánh
xạ tuyến tính | - | biến các mặt phẳng tọa độ thành một mặt phẳng
trong E` Vậy tại mọi điểm vi phân của x¡=x;(u,Vv), xz=xz(u,v) là ánh
xa tuyến tính | - 1 của mặt phẳng uv lên mật phẳng x¡x:.
Trang 12GVHD: TS Nguyén Ha Thanh Luôn van Tốt Nghiệp
BÀI TOÁN 1.3.4:
Chứng minh rằng trên phần giao của hai ánh xa tọa độ X = X(u,v) và
= x (0,6) của một mặt đơn S thuộc lớp CTM tham số liên hệ với nhau bởi
Theo hai bài toán trên, tổn tại các tập mở W và W” trong mat phẳng uv
va mặt phẳng Đệ sao cho ảnh của chúng là phan giao của ánh xa tọa độ và
Ta phải chứng minh 6(u,v), $(u,v) e C” và #0, V(u,v) eW
Thật vậy, cho (u„„v„) e W có ảnh là P e S, vì § là mặt đơn nên tồn tại
một ánh xạ toa độ thuộc lớp C” chứa P Vì ánh xạ tọa độ thuộc lớp CTM cũng
là một biểu diễn tham số chính quy thuộc lớp C”, nên theo bài toán 1.2.4,
tồn tai một ánh xa tọa độ Monge thuộc lớp CTM trong S chứa P:
chứa (u,, v„) vào tập mở V" trong mặt phẳng x;x: mà nó thuộc lớp C” trong V
và *“ #0 Ta cũng có một ánh xa I-lO(u, V) Kim Kim m=
trong mat phẳng 06 chứa điểm (6(u.„v,), $(u,„ vạ)) vào V” thuộc lớp C” và
Trang 13GVHD: TS Nguyễn Ha Thanh Luận van Tốt Nghiệp,
Theo định lý ánh xạ ngược, ta có ánh xạ ngược thuộc
$ =@(Xị,Xạ)
lớp C” và 26.9) +0.
Nhu vay: 6 = Ø(u,v) = O(x;(u,v), X2(u,Vv)) và
= $(u,v) = $(x;(u,V), x2(u,v)) thuộc lớp C” trên V và:
ô(.$) _ ô(0.$) ô(x¡.x;)
Cho S là mặt thuộc lớp C", S” là mặt thuộc lớp C°, f là ánh xạ SS’.
Nếu với moi ánh xạ tọa độ x = x(u,v) trên S với miễn xác định U, ta có
x’ =x" (u,v) = f(x (u,v) từ U —> S” là một biểu diễn tham số chính quy thuộc
lớp C', với r = min(m,n), của S” trên U thì f được gọi là ánh xạ khả vi chính
quy thuộc lớp C của S vào SỈ.
BÀI TOÁN 1.4.1:
Chứng minh rằng, nếu f là ánh xạ của S vào S* sao cho mọi ánh xạ tọa
đô xX = x (u,v) của cơ sở các toa độ của S ma x = f(x(u.v)) là biểu diễn
tham số chính quy thuộc lớp C' thì x” = f(x(u,v)) là biểu diễn tham số chính
quy đối với mọi ánh xa tọa độ x= x (u,v) trên S va do đó f là ánh xa kha vi
chính quy thuộc lớp C’ của S vào S”.
SVTH: Hoàng Mai Lan Trang 10
Trang 14GVHD: TS Nguyén Hò Thanh Luôn vGn Tốt Nghiệp
Chứng minh:
Cho x = x (u,v) là một ánh xa tọa độ bất kỳ của S xác định trên U Ta
chứng minh x” = f(x (u,v) là biểu điễn tham số chính quy trên S”.
Thật vậy, cho (u,,Vo) là một điểm bất kỳ của U và P là điểm tương ứng
qua x =x(u,V) Gọi X= y (8.6) là ánh xa tọa độ của cơ sở các tọa độ mà nó chứa P Theo bài toán 1.3.4, giao của X= x(u,V) và x = y (0,6) là một mảnh
8=Ø(u,v)
tọa độ của S xác định trên tập mở W œ U chứa (u,v) mà trên đó
= (u,v)
là phép biến đổi tham số Vi: x* = f(x (u,v)) = f(y (u,v), $(u,v))) và vì
y (8,9) thuộc cơ sở các toa độ nên theo giả thiết f(y (6,6)) là biểu diễn tham
số chính quy Suy ra Xu“ f(x(u,v)) là biểu diễn tham số chính quy xác định
trên W Vì (u,v) là điểm bất kỳ của U, ta suy ra x" = f(x (u,v) la biéu dién
tham số chính quy trên U Lai do x = x(u,v) là ánh xa tọa độ bất kỳ trên S
nên suy ra a f(x (u,v)) là biểu diễn tham số chính quy với mọi ánh xạ tọa
độ x=x(u,v) Hiển nhiên f là ánh xa khả vi chính quy Ø
Chứng minh rằng một biểu diễn tham số chính quy thì 1-1 địa phương
và song liên tục Có nghĩa là: nếu x = x (u,v) là một biểu diễn tham số chính
quy trên U thì V(u,v) € U, tôn tại một lân cận S(u,v) sao cho trên đó
x=x(u,v) là môt-một và song liên tục.
Chứng minh:
Từ bài toán 1.2.2 vì hạng của ma trận Jacobian của x là 2 nên ta có
thể giả sử tai mọi (u,v) tổn tai ánh xa 1-1:
X; = X¡(U,V); X2 = X2(u,v) € CTM (m2 })
scanned
SVTH: Hoang Mai Lan Trang 11
Trang 15GVHD: T8 Nguyễn Ha Thanh Lugn van Tốt Nghiệp
mà ảnh ngược thuộc cùng một lớp xác định trên tập mở W chứa (u,v)
và mảnh tọa độ Monge x = Xịt, + X;e; +Í(XI,X¿ le; xác định trên ảnh của
W sao cho x giới hạn trên W là tích:
X= x, (u, Ve, +Xs(U,V)&; + f(X,(0,V),Xa(0, VE;
Trén W, x là tích của hai ánh xạ 1-1 và song liên tục nên bản thân nó
là I-l và song liên tục O
Như vậy, nếu f là ánh xa khả vi chính quy của S > S”, P là một điểm
trên S và x = x(u,v) là mảnh tọa độ trên S chứa P, sao cho P là ảnh của (u,v)
thì tổn tai một lân cận S(u,v) của (u,v) mà trên nó x” = f(x(u, v)) là 1-1 và
song liên tục, và như vậy là ánh xạ trên S” chứa f(P) Vì hạn chế của
x= xíu, v) trên S(u,v) là ánh xạ tọa độ trên S nên ta có định lý sau đây:
Định lý 1.4.3 :
Nếu f là ánh xa khả vi chính quy của mặt S vào mặt S” thì với mọi
điểm P trên S tổn tại một ánh xạ tọa độ x = x(u,v) trên S chứa P sao cho
x” = f(x (u,v) là ánh xạ tọa độ trên S” (xem hình 1.2).
SVTH: Hoỏng Mai Lan Trang 12
Trang 16GVHD: TS Nguyén Ha Thanh Lugn van Tốt Nghiệp
Hơn nữa ta lưu ý là với mọi ánh xa x = x (U,V) trên S, ánh xa f là tích
xx! Oday x” = f(x (u,v) Vì tích của hai ánh xa I-l và song liên tục là
một ánh xạ I-l và song liên tục nên ta có hé quả sau đây:
Giả sử f(P,) = P,` là một điểm của S” va S„(P,`) là lân cận bất kì của
P,`, khi đó tổn tại mảnh tọa độ D trên S chứa P,„ trên đó f liên tục Như vậy, tổn tại lân cận Sa;(P,) sao cho f(P) S,(P,`) với P e S¿¡(P,) ¬ D ¥ P, 6D
tồn tại một lân cân Sa¿(P.) sao cho Ss(P,.) OS c D Vậy với P e SAP.) OS, 6
= min(S;, 52), ta có P Sz;(P,) ¬ D va như vậy f(P) e S,(P,`) Suy ra f liên tục tại P„ Vì P, là bất kỳ thuộc S, nên f liên tục từ S vào §” Ø
(ii) Tính chất 2 :
Nếu f là ánh xạ khả vi chính quy của S vào S” và g là ánh xạ khả vi chính quy của S” vào STM thì tích g„f là ánh xạ khả vi chính quy từ S vào S”.
Chứng minh:
Cho x = x(u,v) là mảnh trên S xác định trên U, ta chứng minh
x” =(g,Ð(x (u,v) là biểu diễn tham số chính quy trên S””.
Thật vay, vif là ánh xa khả vi chính quy của S vào S” Khi đó, tổn tai
một lân cận S(u,v) của mỗi (u,v) trong U sao cho xÌ= f(x(u,v)) là mảnh tọa
SVTH: Hoàng Mai Lan Trang 13
Trang 17GVHD: TS Nguyén Hỏ Thanh Luôn van Tốt Nghiệp
độ trên S”, V(u,v) e S(u,v) Vì g là ánh xa khả vi chính quy của §” vào §””
nên:
= g(x (u,V)) = g(f(x (u,v))) = (g.f(x(u,v)) là biểu diễn tham số
chính quy trên S” với V(u,v) e S(u,v) Vì (u,v) là một điểm bất kỳ trong U
nên x”= (gof)( x (u,v)) là một biểu diễn tham số chính quy trên S° xác định
Cho x” = x”(u,v) là mảnh trên S” xác định trên U Ta chứng minh
x =f'(x" (u,v)) là biểu diễn tham số chính quy trên S.
Thật vậy, ta chứng minh được rằng x =f'(x" (u,v)) là biểu diễn tham
số chính quy đối với lân cận nào đó của một điểm (u,v) bất kỳ thuộc U.
Cho P” là ảnh (u,v) qua 4 ” (u,v) và P là ảnh của P` qua f` Gọi
x=x (0, 6) là mảnh trên S chứa P, Vif là ánh xạ khả vi chính quy của § —> S”
nên ta có: = = x (6, È)= f(x (6,$)) là biểu dién tham số chính quy trên S”
chứa P° Ta có thể coi x` =x” (9,0) là một mảnh.
Theo bài toán 1.3.4, giao của các mảnh x” = x" (u,v) và x” = x" (0,6)
trên S” là một mảnh mà nó chứa P’, sao cho 0 = Ô(u,v) và $ = $(u,v) là phép
biến đổi tham số.
Trên phần giao x= f'(x (u,v) = x(6(0,V), È(u,v)) là biểu điễn tham
số chính quy trên S 0
SVTH: Hoàng Mai Lan Trang 14
Trang 18GVHD: TS Nguyễn Hè Thanh Luôn văn Tốt Nghiệp
như thế nào thì được gọi là tính chất nội tại Từ đó xây dựng nên khái niệm
“HÌNH HỌC NỘI TẠI CỦA MAT",
2.1 Phép đẳng cự :
Một ánh xạ 1-1 f của mặt S vào mặt S” gọi là ánh xa đẳng cư hay phép
đẳng cự nếu độ dài của một cung chính quy bất kỳ x = x(t) trên S thì bằng
đô dài của ảnh của nó x” = x" ()= f[x(Đ] trên SỈ.
BÀI TOÁ :
Nếu f là một phép đẳng cự của mặt S vào mặt S” thì f` là một phép
đẳng cự của S” vào S
Chứng minh:
Theo tính chất 3 Phan 1, ta có f' là ánh xạ khả vi chính quy của S” +>
S Như vậy mọi cung (C”) trên S” ta có f (C”) là cung chính quy trên S Và vì
f là đẳng cự của S —> S” nên:
L(f'(C”)) = LEC’) = LIC’)
Ở đây L(C’) là độ dai của cung (C’) Diéu này chứng tỏ rằng f! là
đẳng cư của S” > § []
Nếu tổn tại một phép đẳng cu của S -—> SỶ (hay §” > S) thì S và S”
được gọi là đẳng cự với nhau
Ví dụ: Tờ giấy bị uốn cong với nhiều hình dạng khác nhau mà không bị
dan ra là các mặt đẳng cự với nhau
erent
SVTH: Hoang Mai Lan Trang 15
Trang 19GVHD: TS Nguyễn Ha Thanh Luận van Tốt Nghiệp
Định lý 2.1.1:
Nếu f là ánh xạ 1-1 từ S +S” sao cho các hệ số dạng toàn phương cơ
bản thứ nhất trên S là E,F,G trên mỗi mảnh x = x(u,v) trên S déu bằng với
các hé số của dạng toàn phương cơ bản thứ nhất trên S” là E”, F”, G’ doc theo
ảnh của nó x” = x” (u,v) = f(x(u,v)) thì f là phép đẳng cự.
Chứng minh:
Giả sử x = x(),a<t<b, là cung (C) trên S Trong trường hợp tổng
quát có thể không nằm trọn trong bất kỳ mảnh trên S Tuy nhiên vì (C) là
compac (ảnh liên tục của đoạn a < t <b compac), nó sẽ gồm một số hữu hạn
các cung (C,), t, StS tay, (i = 0, , n-l), mà mỗi (C,) thi nam trọn trongmảnh x, = x,(u,V).
Độ dài cung trên mảnh là tích phân của căn của dạng toàn phương cơ bản nhất, do vay độ dài L(C) của cung (C) được tính bởi:
L(C) = xu,)=t|t- |Biđ ee oy +2F, =- 46,6 G) |
Theo giả thiết, Vi ta có: E, = E,`, E, = F\, Gj=G, ở đây EF, Gla
các hé số của dạng toàn phương cơ bản thứ nhất trê n 1 = f(x,(u, V)).
= SL(C¡) =L(C”).
Vậy fla phép đẳng cự O
SVTH: Hoòng Mai Lan Trang 16