Luận văn thạc sĩ Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán: Dạy học phép biến hình trong mặt phẳng theo định hướng phát triển tư duy hình học cho học sinh lớp 11

HS thường gặp khó khăn khi tiếp cận các phép biến hình, đặc biệt là các ứng dụng để giải toán do cần kết hợp TD logic và trí tưởng tượng không gian để liên kết các yếu tố HH, vì vậy phát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

ĐÀO ÁNH NGỌC

DẠY HỌC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG THEO ĐỊNH HƯỚNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÌNH HỌC

CHO HỌC SINH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HẢI PHÒNG - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

ĐÀO ÁNH NGỌC

DẠY HỌC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG THEO ĐỊNH HƯỚNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÌNH HỌC

CHO HỌC SINH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

CHUYÊN NGÀNH: LL&PP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

MÃ SỐ: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thanh Vân

HẢI PHÒNG - 2019

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả

nghiên cứu và các số liệu nêu trong luận văn là hoàn toàn trung thực và chƣa từng đƣợc tác giả dùng để xét bất kì học vị lần nào

Hải Phòng, tháng 11 năm 2019

Tác giả luận văn

Đào Ánh Ngọc

LỜI CẢM ƠN

Bằng tất cả tình cảm của mình, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến cô giáo trực tiếp hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thanh Vân Cô không chỉ tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn tốt nghiệp mà còn đưa ra nhiều ý kiến quý báu giúp tôi trình bày luận văn một cách khoa học và mang tính sư phạm cao

Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới đến các thầy cô trong chuyên

ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán trường Đại học Hải Phòng đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu cùng bạn bè đồng nghiệp trường THPT

An Hải, THPT Lương Thế Vinh, THPT Nguyễn Tất Thành đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình thực nghiệm sư phạm

Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên luận văn: “Dạy học phép biến hình trong mặt phẳng theo định hướng phát triển tư duy hình học cho học sinh lớp 11” đã được hoàn thành, song không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tác giả luận văn

Đào Ánh Ngọc

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT v

DANH MỤC BẢNG vi

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Tư duy hình học

1.1.1 Tư duy

7 7 1.1.2 Khái niệm tư duy hình học 7

1.1.3 Các cấp độ của tư duy hình học 13

1.1.4 Một số yếu tố ảnh hưởng tới sự phát triển của tư duy hình học 14

1.1.5 Một số định hướng phát triển tư duy hình học cho học sinh trong dạy học 15

1.2 Phép biến hình trong mặt phẳng

1.2.1 Lịch sử hình thành khái niệm phép biến hình

19 19 1.2.2 Nội dung dạy học phép biến hình ở phổ thông 21

1.3 Thực trạng dạy học phép biến hình theo định hướng phát triển tư duy hình học cho học sinh lớp 11

1.3.1 Mục tiêu dạy học phép biến hình ở THPT

23 23 1.3.2 Thực trạng dạy học phép biến hình theo định hướng phát triển tư duy hình học cho học sinh lớp 11 25

TIỂU KẾT CHƯƠNG 1 32

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÌNH HỌC CHO HỌC SINH LỚP 11 33

2.1 Định hướng xây dựng biện pháp 33

2.2 Một số biện pháp dạy học phép biến hình trong mặt phẳng theo

định hướng phát triển TD HH cho HS lớp 11

2.2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho HS kỹ năng quan sát hình, kỹ năng dựng ảnh của hình qua phép biến hình

33 33 2.2.2 Biện pháp 2: Sử dụng các phần mềm dạy học một cách hợp lý để tăng tính trực quan khi dạy học phép biến hình 46

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng định hướng sử dụng phép biến hình trong giải toán thông qua các bất biến 60

2.2.4 Biện pháp 4: Tổ chức cho HS sử dụng kiến thức phép biến hình giải quyết vấn đề thực tiễn 65

2.3 Một số giáo án minh họa 71

TIỂU KẾT CHƯƠNG 2 72

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 73

3.1 Mục đích thực nghiệm 73

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm

73 73 3.2.2 Nội dung thực nghiệm 74

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.3.1 Đánh giá định tính

75 75 3.3.2 Đánh giá kết quả định lượng 76

TIỂU KẾT CHƯƠNG 3 81

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 82

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 83

MỞ ĐẦU

1 Lí do lựa chọn đề tài nghiên cứu

Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam sẽ trở thành một nước công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế Nhân tố quyết định thắng lợi của công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa là con người, là nguồn lực người Việt Nam được phát triển về số lượng và chất lượng Việc này cần bắt đầu ngay từ giáo dục phổ thông Luật Giáo dục 2019, Điều 2 đã ghi “Mục tiêu giáo dục nhằm phát triển toàn diện con người Việt Nam có đạo đức, tri thức, văn hóa, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề nghiệp; có phẩm chất, NL và ý thức công dân; có lòng yêu nước, tinh thần dân tộc, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; phát huy tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và hội nhập quốc tế”

Hội nghị Trung ương 8 khóa XI đã ra nghị quyết số 29- NQ/TW ngày 4/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo Một trong những chỉ đạo của nghị quyết là: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện NL và phẩm chất người học Học đi đôi với hành; lí luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình

và xã hội”

Môn Toán ở trường THPT góp phần hình thành và phát triển phẩm chất, nhân cách HS; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn; tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học và thực tiễn, giữa Toán học với các môn học khác; đặc biệt với các môn thuộc lĩnh vực STEM

Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể ban hành kèm theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT, ngày 26/12/2018 yêu cầu về phát triển NLHS gồm những

NL chung được tất cả các bộ môn và hoạt động giáo dục góp phần hình thành,

phát triển NL tự chủ và tự học, NL giao tiếp và hợp tác, NL giải quyết vấn đề và sáng tạo; những NL chuyên môn được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: NL ngôn ngữ, NL tính toán,

NL tìm hiểu tự nhiên và xã hội, NL công nghệ, NL tin học, NL thẩm mỹ, NL thể chất Bên cạnh việc hình thành và phát triển NL cốt lõi, chương trình giáo dục phổ thông còn góp phần phát hiện, bồi dưỡng NL đặc biệt (năng khiếu) của HS Chính vì vậy, việc dạy học theo hướng phát triển NL cho HS là một yêu cầu cấp thiết hiện nay và phát triển TDHH trong bộ môn HH ở THPT là một nhu cầu cần thiết TDHH bao gồm 5 nhóm NL cần thiết như: NL về thị giác, hình ảnh; NL ngôn ngữ; NL tạo hình; NL TD; NL vận dụng Theo kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tại trường THPT, “Phép biến hình” là nội dung toán học có trong chương trình Toán lớp 11 hiện nay, thời lượng 17 tiết, có nhiều cơ hội để rèn luyện TDHH cho HS vì đây là một nội dung toán học hay và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn Tuy nhiên, đây là nội dung khó trong chương trình THPT và GV vẫn còn nhiều trở ngại trong việc đưa ra phương pháp cho HS tiếp cận và giải quyết các vấn đề xoay quanh nội dung này HS thường gặp khó khăn khi tiếp cận các phép biến hình, đặc biệt là các ứng dụng để giải toán do cần kết hợp TD logic và trí tưởng tượng không gian để liên kết các yếu tố HH, vì vậy phát triển TDHH sẽ tác động trực tiếp đến việc phát triển các NL học tập khác của HS Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học phép biến hình

theo chương trình, SGK ở phổ thông, tôi đã chọn đề tài: “Dạy học phép biến hình trong mặt phẳng theo định hướng phát triển tư duy hình học cho học sinh lớp 11”

2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Như chúng ta đã biết, có nhiều công trình nghiên cứu về TD như: Đặng Thị Ánh Ngọc (2012): “Phát triển TD sáng tạo cho HS thông qua dạy học Giải bài tập tọa độ HH không gian chương trình lớp 12 – Ban nâng cao”, Phạm Chí Chơn (2015): “Phép biến hình với vai trò công cụ giải toán ở

trường phổ thông”, Nguyễn Mạnh Tuấn (2013): “ Phát triển TD HH cho trẻ mẫu giáo lớn và HS tiểu học qua một số hoạt động HH”

Nhà giáo dục toán người Hà Lan Van Hiele đưa ra các cấp độ TDHH (Level of Geometric thinking) từ thấp đến cao, từ đó ông đưa ra các bài kiểm tra đánh giá người học và nội dung dạy học ứng dụng với từng cấp độ, được ứng dụng rộng rãi trong thiết kế Nội dung Chương trình (ở cả trẻ mẫu giáo, tiểu học và trung học phổ thông) ở nhiều nước trên thế giới

Nhiều tác giả nghiên cứu về TDHH và biện pháp phát triển TDHH cho

HS thông qua dạy học toán

Trong luận án tiến sĩ (2013) “Phát triển tư duy hình học cho trẻ mẫu giáo lớn và học sinh tiểu học qua một số hoạt động hình học”, tác giả Nguyễn Mạnh Tuấn đã quan niệm “tư duy hình học là quá trình bao gồm: i) tri giác không gian; tiếp theo là ii) thực hiện các thao tác TD như so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, suy luận, chứng minh; iii) trình bày cách thức giải quyết vấn đề và iv) vận dụng vào thực tiễn.”

Tác giả đã chỉ ra một số biện pháp phát triển TDHH cho HS như sau: i) Đánh giá NLTDHH của trẻ mẫu giáo lớn và HS tiểu học trong một số hoạt động HH

ii) Đánh giá mức độ NL TD HH của trẻ mẫu giáo lớn và HS tiểu học trong hoạt động ghép hình, lát nền phẳng

iii) Đánh giá mức độ NLTDHH của trẻ mẫu giáo lớn và HS tiểu học trong hoạt động phân loại các hình HH hay hình dạng của đối tượng

iv) Đánh giá mức độ NLTDHH của trẻ mẫu giáo lớn và HS tiểu học trong hoạt động đo lường các đại lượng HH trong thực tiễn

v) Đánh giá mức độ NLTDHH của trẻ mẫu giáo lớn và HS tiểu học trong hoạt động định hướng trong không gian

Theo nhà toán học Xô Viết A.N Alexandrov thì về cấu trúc, TDHH bao hàm sự thống nhất biện chứng giữa hai mặt, đó là trí tưởng tượng không gian sinh động và TD logic chặt chẽ Sự thống nhất này thể hiện ở chỗ: “Trí tưởng

tượng sinh động cho ta cái nhìn trực tiếp các sự kiện HH và gợi ý cho TD logic cách diễn đạt cùng cách chứng minh các sự kiện trên Còn TD logic đến lượt mình lại cho trí tưởng tượng sự chính xác và định hướng nó tới việc thành lập những bức tranh mới mà bức tranh đó khám phá ra những mối liên

hệ logic cần thiết” Trong quá trình dạy học HH, nếu sự thống nhất này bị phá

vỡ thì “thấy được” mà không chứng minh được hoặc chứng minh được mà không “thấy được”

Một số công trình nghiên cứu về dạy học phép biến hình trong mặt phẳng như: Hoàng Trọng Vĩnh (2009): “Quan điểm vectơ trong dạy học phép biến hình ở trường phổ thông”, luận văn đã làm rõ vectơ mang lại một phương thức mới để xây dựng HH giải tích; Trương Thị Nga (2015): “Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán HH phẳng”, luận văn đã hệ thống lại một số kiến thức cơ bản, bổ sung, nâng cao về các phép biến hình phẳng và phân loại các dạng toán ứng dụng, tổng hợp một số phương pháp cụ thể, đưa vào nhiều ví dụ để minh họa cho phương pháp được trình bày Phạm Chí Chơn (2015): “Phép biến hình với vai trò công cụ giải toán ở trường phổ thông”, luận văn đã dự kiến và tìm hướng giải quyết cho các câu hỏi như: vai trò công cụ của phép biến hình trong việc giải các bài toán thể hiện như thế nào trong các công trình nghiên cứu trước đây Theo như các tác giả đã nghiên cứu thì phép biến hình (nếu thuận lợi) nó sẽ là một công cụ hiệu quả (giảm bớt khó khăn, cho kết quả nhanh gọn) bằng cách sử dụng các tính chất dựa trên quy tắc ảnh và tạo ảnh của phép biến hình nào đó, cho phép giải quyết các dạng toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như: Quỹ tích, dựng hình, chứng minh, Tuy nhiên tác giả chỉ phân tích phép biến hình trong SGK trung học cơ sở giai đoạn hiện hành Trong SGK lớp 8, khái niệm phép biến hình được trình bày trong chương 1, tập trung vào hai bài đối xứng trục

và đối xứng tâm Trong chương trình và SGK toán bậc phổ thông ở Việt Nam, khái niệm phép biến hình được đưa vào sau: Yêu cầu HS thực hiện hoạt động “trên mặt phẳng, cho đường thẳng d và điểm M Dựng hình chiếu vuông

góc của điểm M lên đường thẳng d” HS sẽ nhận xét được: Mỗi điểm M sẽ có duy nhất một điểm M’ là hình chiếu vuông góc của nó lên đường thẳng d cho trước, từ đó xây dựng định nghĩa phép biến hình Câu hỏi đặt ra: Làm thế nào

để nhận biết khả năng giải được một bài toán bằng phương pháp biến hình? Làm sao biết sử dụng phép biến hình nào trong khi giải bài toán? Công cụ phép biến hình được HS vận dụng để giải các bài toán như thế nào? Có thể nói, phương pháp tổng hợp là công cụ để xây dựng phương pháp biến hình ở cấp trung học cơ sở, hay nói cách khác là áp dụng phương pháp biến hình để chứng minh hai cạnh bằng nhau, hai tam giác bằng nhau Tuy nhiên khi lên cấp học cao hơn, việc sử dụng các phương pháp chứng minh tam giác bằng nhau ở lớp dưới để chứng minh các đa giác bằng nhau gặp nhiều khó khăn , nên nhu cầu sử dụng phép biến hình để giải quyết là vấn đề cần thiết

Tuy nhiên, chưa tác giả nào nghiên cứu một cách hệ thống và đầy đủ về

vấn đề “Dạy học phép biến hình trong mặt phẳng theo định hướng phát triển tư duy hình học cho học sinh lớp 11”

3 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở khoa học của TDHH và đề xuất một số biện pháp dạy học phép biến hình trong mặt phẳng theo định hướng phát triển TDHH cho

HS lớp 11

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học toán ở trường THPT

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Các biện pháp dạy học chủ đề “Phép biến hình” theo định hướng phát triển tư duy hình học ở trường THPT cho học sinh lớp 11

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lí luận

Tìm hiểu các tài liệu về tư duy hình học, phép biến hình và việc xây dựng các biện pháp dạy học phép biến hình cho học sinh THPT theo định hướng phát triển tư duy hình học

5.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Phương pháp chuyên gia: Giúp làm sáng tỏ các nhận định về chất lượng

dạy học chủ đề phép biến hình ở THPT; đồng thời định hướng xây dựng các biện pháp dùng trong dạy học phép biến hình ở THPT

Phương pháp điều tra, quan sát

Phương pháp thực nghiệm

Phương pháp thống kê

6 Kết cấu của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn chia làm 3 chương:

CHƯƠNG 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

CHƯƠNG 2: Một số biện pháp dạy học phép biến hình trong mặt phẳng theo

định hướng phát triển tư duy hình học cho học sinh lớp 11

CHƯƠNG 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư duy hình học

1.1.1 Tư duy

Trong tâm lý học, một trong những nghiên cứu tương đối đầy đủ nhất

về TD đã được trình bày trong các công trình của X L Rubinstein Theo

Rubinstein: “TD – đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể

với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể”

Theo các tác giả Phạm Minh Hạc, Hoàng Gia, Trần Trọng Thủy,

Nguyễn Quang Uẩn [8] đã định nghĩa: “TD là quá trình nhận thức phản ánh

những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan”

Từ điển triết học [13, tr 873]: “TD – sản vật cao cấp của một vật chất

hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán, ”

Trong luận văn này, tôi thống nhất với quan điểm của tác giả

Sacđacov M N.: “TD là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ

- quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó TD sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó”

1.1.2 Khái niệm tư duy hình học

Theo [27], HH bắt nguồn từ với mục đích đo đạc đất đai HH và số học là một trong hai ngành toán học được con người nghiên cứu từ thời cổ đại Euclid đã cách mạng hóa HH bằng cách giới thiệu phương pháp chứng

minh toán học và các tiên đề mà ngày nay sử dụng Cuốn sách của ông, Cơ sở

(The Elements) được coi là SGK có ảnh hưởng nhất mọi thời đại và được tất

cả những người có học ở phương Tây học tập cho đến giữa thế kỷ XX Trong thời hiện đại, khái niệm HH đã trở thành đối tượng của các phương pháp giải

tích và đại số trừu tượng, do đó nhiều ngành hiện đại của HH khác biệt nhiều đến mức không còn gì liên quan tới HH cổ điển như HH đại số và HH giải tích

HH cổ đại là các công thức thực nghiệm dùng để đo độ dài, góc, diện tích, được phát triển để vận dụng trong khảo sát, xây dựng, thiên văn học, nông nghiệp và hàng loạt ngành nghề khác nhau Trong số đó có một số công thức phức tạp đến mức đáng ngạc nhiên mà một nhà toán học hiện đại cũng khó mà chứng minh được các công thức trên nếu không sử dụng vi phân hay tích phân

HH cổ đại Ai Cập: Từ bốn nghìn năm trước công nguyên, mỗi lần nước lụt từ các sông, đặc biệt là sông Nile tràn vào đồng ruộng, phù sa lắng xuống tạo thành các mảnh đất màu mỡ lấp kín các bờ ngăn Khi nước rút đi người ta phải chia lại ruộng đất, từ đó con người phát sinh nhu cầu đo đạc đất đai Những bản di cảo thời cổ Ai Cập và cổ Babilon còn lại ngày nay cho ta thấy rằng hai nghìn năm trước công nguyên loài người đã biết tính diện tích các hình tam giác, hình chữ nhật, hình thang và tính gần đúng diện tích hình tròn Họ còn biết công thức tính thể tích các hình lập phương, hình trụ, hình nón, hình tháp và hình tháp cụt

HH đã trở thành một môn học quan trọng và bất kỳ lớp học cơ bản nào cũng cần phải trải qua Để học được môn HH, chúng ta cần phải biết suy luận và lý giải Điều này không tự nhiên có được mà chúng ta phải đúc kết từ những chuỗi suy luận, từ kinh nghiệm của bản thân Đối với HS, một TDHH tốt vô cùng quan trọng khi học toán, đặc biệt là HH

Trong luận văn này, chúng tôi thống nhất theo quan điểm TDHH của Hoffer(1981) Theo nghiên cứu của ông, TDHH là một NL mà người GV cần hình thành cho HS trong quá trình dạy học HH Ông đưa ra 5 nhóm NL cần thiết của TDHH bao gồm:

a NL về thị giác, hình ảnh: Nhận biết, quan sát về đặc điểm các hình HH, đọc hiểu bản đồ, nhận biết hình từ các vị trí khác nhau

Theo L.L.Thurstone [28], TD không gian là một bộ phận của TD thị giác Trong đó, TD không gian được thể hiện bởi 3 thành tố:

+ NL nhận biết một vật thể khi nó được hình thành dưới các góc độ khác nhau

+ NL hình dung sự vận động hoặc dời chỗ các bộ phận bên trong của một hình thù

+ NL xem xét về các mối quan hệ không gian, trong đó bộ phận căn bản của bài toán là hướng xoay của cơ thể người quan sát

Chẳng hạn, HS tiểu học sẽ nhận dạng hai hình vuông bằng nhau bằng cách xếp chồng khít chúng lên nhau hoặc lấy thước đo độ dài 4 cạnh và so sánh HS THCS sẽ dùng các phương pháp chứng minh hai vuông bằng nhau dựa vào các tính chất đã học Đối với HS THPT, công cụ phép biến hình giúp các em nhận biết hai hình vuông bằng nhau hay không

Để phát triển NL này, trong quá trình dạy học GV có thể sử dụng các phần mềm hỗ trợ dạy học như Maple, Sketchpad Chẳng hạn, khi dạy tính chất: Phép tịnh tiến biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng nó GV sử dụng phần mềm Sketchpad minh họa trực quan như sau:

Thông qua hình ảnh này, HS dễ dàng nhận thấy ảnh của một hình qua phép tịnh tiến là một hình bằng nó

Hình 1.1

b NL ngôn ngữ: Sử dụng đúng thuật ngữ và ngôn ngữ chính xác trong miêu

tả đối tượng, quan hệ không gian

Trong quá trình dạy học chủ đề Phép biến hình, HS tiếp cận với nhiều kí hiệu mới, thuật ngữ toán học mới Việc sử dụng đúng kí hiệu và các phép suy luận giúp người học có TD mạch lạc, trình bày nội dung toán học chặt chẽ và logic

Chẳng hạn, trong chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt

phẳng của SGK HH cơ bản lớp 11 xuất hiện kí hiệu phép biến hình là F; phép

tịnh tiến theo vectơ v kí hiệu là T v ; phép đối xứng qua đường thẳng a kí hiệu

là Đa; phép vị tự tâm O, tỉ số k kí hiệu là VO k, ; phép quay tâm O, góc quay 

kí hiệu là QO,, HS cần sử dụng đúng kí hiệu cho mỗi bài toán liên quan Ngoài ra, HS cần sử dụng đúng các lượng từ, phép kéo theo, tương đương, kí hiệu toán học để biểu diễn trong qua trình giải toán và chứng minh

Chẳng hạn, định nghĩa về phép tịnh tiến trong SGK HH cơ bản 11, trang

5 được phát biểu bằng lời Khi đó, HS cần chuyển sang được cách viết định nghĩa này dưới dạng ngôn ngữ logic vị từ như sau: T M v M' MM' v Bên cạnh đó, qua việc sử dụng thành thạo ngôn ngữ toán học, HS còn có thể dễ dàng phát hiện ra sai lầm khi giải toán qua hình vẽ và kí hiệu

c NL tạo hình: NL tạo ra các biểu tượng không gian hai chiều hay ba chiều,

vẽ hình đồng dạng, vẽ hình đối xứng

Trong quá trình dạy học phương pháp tọa độ nói chung và phép biến hình nói riêng, GV cần quan tâm cho HS thể hiện các đối tượng HH thông qua các hình vẽ cụ thể Việc làm này giúp HS không tách rời bản chất HH của bài toán, nắm được phép biến hình là một đối tượng của HH và hoàn toàn có thể thể hiện được nội dung phép biến hình thông qua hình vẽ cụ thể

Chẳng hạn (Bài 2 – Sách giáo khoa HH 11- cơ bản – trang 19): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A 2;0 và đường thẳng d có phương trình

2 0

x  y Hãy tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay 900

Lời giải: Gọi B 0;2 là ảnh của A Khi đó Hai điểm A và B 0;2 thuộc d Ảnh của B qua phép quay tâm O góc 90o

là A’ 2;0   Do đó đường BA là ảnh của d qua phép quay tâm O góc 90o

Vectơ chỉ phương của BA’ là uBA (2;2), VTPT của BA’ là n (1 ; 1)  Phương trình đường thẳng BA’ là:x  y 2 0

Sau khi HS giải bằng phương pháp tọa độ, GV có thể yêu cầu HS minh họa bằng hình vẽ:

d NL TD logic: Khi tiếp cận với một tình huống HH, HS cần biết phân loại tình huống, nhận biết tiêu chuẩn, dấu hiệu cơ bản để phân loại tình huống, từ

đó định hướng cách giải quyết tình huống Ngoài ra, HS cần TD logic để có khả năng biến đổi và kiểm tra các giả thiết suy luận và chứng minh

Trong quá trình dạy học chủ đề Phép biến hình, căn cứ để định hướng cách giải thường dựa trên việc nhận biết những bất biến xuất hiện trong tình huống bài toán đặt ra Khi nghiên cứu HH ở bậc đại học, ta biết bài toán chứa bất biến của phép biến hình nào thì có thể sử dụng phép biến hình đó để giải quyết Bất biến của phép tịnh tiến và phép vị tự là phương của đường thẳng nên những bài toán chứa yếu tố song song thường sử dụng hai phép này Phép quay thường được sử dụng cho các bài toán chứa các đa giác đều và một điểm

cố định Phép đối xứng thường được sử dụng đối với các bài toán có một đường thẳng cố định Dựa vào những yếu tố đó, HS có thể định hướng được công cụ để giải các bài toán này

Ví dụ 1.1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A 1;2 ,    B 3;1 ,C 2;3 Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Trong bài toán xuất hiện hình bình hành tức là có yếu tố bất biến về đường song song, hơn nữa lại xuất hiện cặp vectơ bằng nhau nên định hướng giải bài toán này bằng phép tịnh tiến Cụ thể, Giả sử điểm D x y ; .Ta có ( )

BA

T C DCDBA (*), mà BA  ( 4;1) Từ (*) ta tìm được D 2;4

e NL vận dụng: NL vận dụng các kiến thức HH vào trong thực tiễn, giải quyết các vấn đề thực tiễn bằng HH

HH xuất phát từ thực tiễn, các phép biến hình thể hiện các chuyển động

cơ bản của các sự vật, hiện tượng trong thực tế nên sau khi học kiến thức HH nói riêng, toán học nói chung, HS cần được tạo điều kiện để vận dụng kiến thức toán học tìm hiểu thực tiễn, nhìn thực tiễn trong một lăng kính mới rõ ràng, khoa học hơn, và sử dụng để giải quyết các vấn đề thực tiễn đặt ra Như

vậy, NL mô hình hóa toán học của HS được phát triển thông qua việc mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế bằng công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, hình vẽ, Từ đó, HS giải quyết các vấn đề toán học trong

mô hình thiết lập, sau đó HS thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực

tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Chẳng hạn sau khi học phép biến hình, HS sẽ nhìn nhận các hình vẽ trên mặt trống đồng, trên các công trình xây dựng rõ ràng hơn, HS còn có thể tìm hiểu các kỹ thuật truyền ảnh, làm gạch men,

1.1.3 Các cấp độ của tư duy hình học

Theo quan điểm của Van Hiele, P M (1986) [29], các cấp độ của

TDHH gồm:

Cấp độ 1( Cấp độ hình ảnh): HS nhận thức không gian bằng hình ảnh, dựa

vào dấu hiệu nổi bật đường bao của hình

Cấp độ 2( Cấp độ phân tích): HS nhận thức các tính chất của các hình HH , là

cơ sở để phân tách lớp các hình HH

Cấp độ 3( Cấp độ quan hệ): HS có thể đưa ra các phán đoán đúng về mối

quan hệ giữa các hình HH Bằng tri giác có thể nhận biết, tuy nhiên còn chưa hiểu logic của bài chứng minh HH

Cấp độ 4(Cấp độ suy luận): HS có thể xác định tính chính xác của một mệnh

đề về mối quan hệ giữa các hình và các mệnh đề đảo, phản đảo,…có thể chỉ

ra mối quan hệ giữa tiên đề, định nghĩa, định lý, hệ quả

Cấp độ 5(Cấp độ HH trừu tượng): HS nhận thức được tiên đề HH đóng vai

trò quyết định trong việc hình thành môn HH HS nhận thức được các khái niệm về tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ, tính độc lập của một hệ tiên đề HS hiểu được các dạng HH khác nhau Cấp độ này thường chỉ đạt được ở sinh viên chuyên ngành toán học HS phổ thông thường ở cấp độ 2,3,4

1.1.4 Một số yếu tố ảnh hưởng tới sự phát triển của tư duy hình học

a Tri giác không gian

Các thao tác của TDHH dựa trên tri giác không gian Tri giác không gian chưa phải là TD nhưng là điều kiện cần để tiến hành TDHH Một bài toán HH sẽ thật khó nếu thiếu sự quan sát hình vẽ hay ít nhất là sự liên tưởng

về hình vẽ Tri giác không gian bao gồm những tri giác về đối tượng không gian và quan hệ không gian và cả sự phối hợp vận động giữa các giác quan (chủ yếu là phối hợp tay và mắt)

TDHH quan hệ mật thiết với trí tưởng tượng không gian TDHH là điều kiện quan trọng để HS thực hiện trí tưởng tượng không gian HS phải có những hoạt động luyện tập về quan sát, phân tích, tổng hợp các đối tượng không gian Đó là phân tích những gì HS nhìn thấy và những gì biết ở đó nhưng không nhìn thấy TDHH và trí tưởng tượng không gian hỗ trợ, bổ sung cho nhau trong quá trình giải quyết vấn đề Khi gặp vấn đề mà TDHH chưa thể giải quyết thì trí tưởng tượng không gian giúp dự đoán trước kết quả, mang tính chất gỡ nút cho tình huống Hơn thế, nó còn tạo một cái đích để TD hướng tới Như vậy những khó khăn của TDHH là tiền đề cho trí tưởng tượng không gian, còn trí tưởng tượng không gian lại trở thành cái đích cho TDHH phát triển

b Ngôn ngữ

Ngôn ngữ là thành phần của TDHH Theo Lê Văn Hồng [11], khi đề cập đến NL giao tiếp trong chương trình môn Toán phổ thông mới đã coi NL giao tiếp toán học và NL biểu diễn toán học thuộc phạm trù NL sử dụng ngôn ngữ toán học

Theo Vũ Thị Bình [1]: “NL sử dụng ngôn ngữ toán học của HS là khả

năng làm chủ và vận dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học để thực hiện thành công các hoạt động ngôn ngữ trong quá trình học tập và nghiên cứu toán học, cũng như trong đời sống xã hội nói chung.”

Theo [1], NL sử dụng ngôn ngữ toán học gồm: 1) Khả năng về ngôn ngữ toán học; 2) Khả năng tạo lập, vận dụng thực hành hiệu quả ngôn ngữ toán học trong giao tiếp và TD; 3) Khả năng lựa chọn, chuyển đổi ngôn ngữ trong học tập và thực tiễn

c Khả năng vận dụng toán học vào thực tiễn của HS

Khả năng HS vận dụng toán học vào thực tiễn là một cơ sở đánh giá TDHH Khả năng vận dụng vào thực tiễn là một tiêu chí quan trọng xác định

NL TDHH HS tiếp cận và tiến hành các thao tác TD và trở lại áp dụng vào các đối tượng cụ thể xung quanh Qua dạy học các yếu tố HH, HS biết được các quan hệ trong không gian và suy nghĩ xem chúng biểu hiện như thế nào trong thực tiễn

1.1.5 Một số định hướng phát triển tư duy hình học cho HS trong dạy học

G.Polya [6] đã cho rằng: “Một TD gọi là có hiệu quả nếu TD đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu TD đó tạo

ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vận dụng thì những tư liệu và phương tiện có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của TD càng cao, chẳng hạn những cố gắng của người giải đưa ra được các phương pháp giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả” Quá trình TD được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ (thao tác là hoạt động theo trình tự

và yêu cầu kĩ thuật nhất định), cơ bản bao gồm: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa Người có TD tốt là người vận dụng các cứ liệu một cách khéo léo và công tâm; các ý kiến được

tổ chức nhất quán và logic

Để có thể bồi dưỡng TDHH cho HS, theo chúng tôi, GV Toán cần thực hiện các hoạt động sao cho:

GV nắm được cấp độ TDHH hiện có và cấp độ TDHH mà HS cần đạt

được trong mỗi giai đoạn học tập: Để làm được điều đó, GV cần theo dõi quá trình học tập của HS để có tác động phù hợp với từng đối tượng ứng với từng thành tố của TDHH của HS

Chẳng hạn: Khi dạy học phép tịnh tiến, GV muốn tác động để phát triển nhận thức không gian bằng hình ảnh, có thể sử dụng hoạt động sau:

Bước 1: Xây dựng định nghĩa phép tịnh tiến, GV đưa ra ví dụ thực tế: Khi đẩy

một cánh cửa trượt sao cho chốt cửa dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B Tất

cả các điểm trên cánh cửa cũng dịch chuyển một đoạn bằng AB và theo hướng từ A đến B (hình vẽ) Khi đó ta nói cánh cửa tịnh tiến theo vectơ AB

Như vậy, HS sử dụng NL tri giác để nhận thức không gian bằng hình ảnh, dựa vào dấu hiệu nổi bật là sự dịch chuyển của cánh cửa

Với mục đích phát triển TD logic cho HS, GV sử dụng:

Bước 2: Sau khi nắm được định nghĩa phép tịnh tiến, GV đưa ra các tính chất

của phép tịnh tiến và hình vẽ minh họa:

Như vậy, cấp độ TD phát triển lên một tầm mới, HS không chỉ biết tịnh tiến một điểm mà còn tịnh tiến một đoạn thẳng, đường thẳng hay một hình cụ thể

HS biết TD logic: muốn tịnh tiến một hình ta chỉ cần chia nhỏ hình ra, tịnh tiến từng phần của hình và nối chúng lại với nhau

Để phát triển NL vận dụng cho HS, GV có thể sử dụng :

Bước 3: Bằng việc xây dựng định nghĩa và các tính chất của phép tịnh tiến,

Hình 1.3

Hình 1.4

GV xây dựng biểu thức tọa độ và hướng dẫn HS vào giải các bài tập liên quan Như vậy, GV đã khéo léo phát triển từng cấp độ TD của HS trong quá trình học phép tịnh tiến GV tiến hành tổ chức các hoạt động giúp HS nắm vững kiến thức cơ sở, phát triển TDHH và thực hành bài tập

GV giúp HS phát triển trí tưởng tượng không gian, tri giác không

gian; thực hiện các hoạt động HH, thao tác TD: so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,

Trí tưởng tượng không gian có quan hệ mật thiết với kết quả học tập môn Toán đặc biệt là học tập các yếu tố HH Trong mỗi bài toán HH đòi hỏi rất nhiều các thao tác TD như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát , kết hợp với việc sử dụng linh hoạt với trí tưởng tượng không gian Để hình thành và phát triển trí tưởng tượng không gian, HS cần được:

+ Nhận dạng các biểu tượng không gian qua các hình ảnh thực tế

+ Tổng hợp, khái quát và phân biệt các biểu tượng không gian

+ Tái hiện lại những biểu tượng không gian, mối quan hệ và tính chất giữa chúng Từ đó hình thành mối liên hệ giữa biểu tượng không gian với lời nói

và biểu tượng về số lượng

+ Hình thành biểu tượng không gian mới cụ thể, chính xác và mô tả bằng ngôn ngữ về những tính chất, quan hệ không gian của biểu tượng không gian vừa được hình thành

GV có thể phát triển trí tưởng tượng trong không gian cho HS qua việc nhận dạng và thể hiện các hình HH hay dạy học giải bài tập có nội dung HH

GV giúp HS phân tích sai lầm, ngộ nhận trong quá trình giải toán HH và

có hướng khắc phục, giúp HS có kỹ năng vận dụng tốt ngôn ngữ toán học

Khi dạy học phép biến hình, GV đã xây dựng chắc chắn các kí hiệu toán học

để tóm tắt định nghĩa, các tính chất, định lý, Tuy nhiên khi giải toán, HS không tránh khỏi các sai lầm và ngộ nhận dẫn đến việc phán đoán và đưa ra kết quả sai

Chẳng hạn, đối với phép tịnh tiến theo vectơ v biến điểm M thành điểm M’,

ta sử dụng đẳng thức: T M v M' MM' v

Tuy nhiên đối với phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành M’, ta suy ra: '

OM k OM Rất nhiều HS viết sai thành OM k OM '

Chẳng hạn, ví dụ trong sách bài tập HH 11- cơ bản – trang 30: Trong mặt

phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình:3x 2y  6 0

Tìm đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k   2

Lời giải sai: Gọi M’ ’; ’x y là ảnh củaM x y ; qua phép vị tự tâm O tỉ

Vậy phương trình d’ là: 3x 2y  3 0

HS phát hiện ra hệ thức vectơ OM   2OM' đã bị viết sai dẫn đến sai lầm của

bài toán Khi đó HS đưa ra lời giải đúng như sau:

Từ sơ đồ :  ; VO; 2  ’ ’; ’ 

M x y  M x y

Ta có: OM'   2OM 

1 '

' 2

Như vậy HS đã rèn luyện được một số kỹ năng như: quan sát, phân tích, so sánh, tổng hợp và khả năng vận dụng các kiến thức HH vào bài tập đơn giản Phát triển được ngôn ngữ, khả năng TD phê phán và sáng tạo

GV giúp HS phân loại bài toán, nhận biết các dấu hiệu đặc trưng của

các hình HH và định hướng phương pháp giải quyết vấn đề

Chẳng hạn, khi giải các bài toán liên quan đến phép vị tự, GV nên phân loại các dạng toán và phương pháp giải hoặc định hướng giải quyết như:

+ Bài toán 1: Tìm ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép vị tự và minh họa bằng hình vẽ

+ Bài toán 2: Tìm tâm vị tự của hai đường tròn và minh họa bằng hình vẽ + Bài toán 3: Sử dụng phép vị tự để giải các bài toán dựng hình

+ Bài toán 4: Sử dụng phép vị tự để giải các bài toán quỹ tích Sử dụng phần mềm toán học để dự đoán kết quả và minh họa bằng hình vẽ

Sau đó, HS có thể tự phát triển giải các bài tập liên quan đến các phép biến hình khác

GV giúp HS vận dụng các kiến thức HH vào trong thực tiễn, giải quyết

các vấn đề thực tiễn bằng HH

GV cần làm rõ nhu cầu ứng dụng các kiến thức HH vào thực tiễn Chẳng hạn, khi dạy học phép biến hình, GV cho HS xem các hình ảnh thực tế được ứng dụng phép biến hình như các công trình xây dựng trên thế giới, chế tạo cánh quạt, đồng hồ, gạch đá hoa, cánh hoa, Như vậy, HS sẽ thấy hứng thú và có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết các bài toán hay các vấn đề thực tiễn bằng HH

1.2 Phép biến hình trong mặt phẳng

1.2.1 Lịch sử hình thành khái niệm phép biến hình

Euclide là nhà Toán học và Triết học của Hy Lạp, sống vào thế kỉ thứ

3 trước công nguyên và là người đặt nền móng đầu tiên cho sự ra đời của việc xây dựng lý thuyết HH theo tư tưởng của phương pháp tiên đề Tác phẩm Toán học nổi tiếng của ông là bộ “Cơ sở” gồm 13 tập là sự đóng góp xuất sắc

cho việc xây dựng và phát triển HH Phép biến hình không phải là đối tượng nghiên cứu, chỉ ngầm ẩn xuất hiện trong tình huống so sánh hai hình và chỉ được hiểu theo nghĩa là phép chuyển hình từ vị trí này sang vị trí khác và chưa được xem xét như một tác động lên không gian điểm Cho đến thế kỉ thứ XVII, XVIII với hàng loạt các công trình nghiên cứu của các nhà toán học: Desargues(1591-1661),Pascal(1623-1662), Newton(1642-1727), , phép biến hình vẫn chỉ xuất hiện như một công cụ ngầm để chuyển các tính chất HH (bất biến) từ hình này sang hình kia và được sử dụng để giải một số bài toán Tuy nhiên phép biến hình chỉ được xét trong ngữ cảnh các đường conic, và cũng chỉ có duy nhất phép chiếu được sử dụng Từ “phép biến hình” được coi như một thuật ngữ được mô tả chứ không phải như một đối tượng toán học Cuối thế kỉ XVIII, phép biến hình đã trở thành đối tượng nghiên cứu của Toán học Bellavitis (1803-1880) đã nghiên cứu một cách hệ thống về đối tượng “phép biến hình” và trình bày trong lý thuyết về các hình của ông và sau đó được một số nhà Toán học khác bổ sung thêm Ở giai đoạn này, HH giải tích đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành quan niệm xem hình là một tập hợp điểm Có thể nói phương pháp tọa độ do Descartes (1596-1650)

và Fermat (1601-1665) phát minh đã đem lại một sự thay đổi rất quan trọng trong quan niệm về hình, nó cho phép chuyển thể từ cách nhìn tổng thể vào cách nhìn từng điểm Quan niệm hình như một tập hợp điểm đóng vai trò quan trọng trong lịch sử hình thành và phát triển lý thuyết về các phép biến hình

Đến thế kỉ XIX, khái niệm nhóm các phép biến hình ra đời từ vấn đề sắp xếp các tính chất bất biến của các phép biến hình Chính từ sự phát triển

lý thuyết nhóm trong đại số của Galois (1811-1832), nhà toán học Đức, Felix Klien (1849-1925) đã nghiên cứu HH theo quan điểm nhóm Ông đã phân loại các tính chất HH theo những phép biến hình bảo toàn tính chất đó, mỗi HH được đặc trưng bởi các bất biến của một phép biến hình xác định

Việc hiểu khái niệm “phép biến hình” có thể phân thành 4 cấp độ:

+ Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ về hình dáng giữa hai

hình hoặc giữa hai phần của một hình (đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt) + Cấp độ 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn từ không gian lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên cứu với tư cách là các tập hợp điểm

+ Cấp độ 3: Phép biến hình được xem là một công cụ giải toán HH

+ Câp độ 4: Phép biến hình được xem là phần tử của một nhóm và được dùng

để phân loại các lý thuyết HH

Trong việc dạy học chủ đề phép biến hình ở trường phổ thông, nếu không yêu cầu phải đạt đến cấp độ 4 (mà chỉ muốn ngầm tạo nên biểu tượng về một cấu trúc đại số, làm chỗ dựa để sau này HS tiếp cận với toán học hiện đại) thì cấp

độ 2 là một trọng tâm, còn cấp độ 3 được đòi hỏi cao thấp còn tùy từng yêu cầu dạy học

1.2.2 Nội dung dạy học phép biến hình ở phổ thông

Nội dung dạy học phép biến hình ở trường phổ thông một số nước trên thế giới:

Cộng hòa Pháp: Chủ đề phép biến hình trong trường phổ thông của cộng hòa Pháp từ những năm 1920 được dạy trong nhiều năm, phân thành hai giai đoạn Trong cả hai giai đoạn, khái niệm từng phép biến hình cụ thể đều gắn liền với những HH quen thuộc, mục đích là hiểu phép biến hình như ánh

xạ điểm từ không gian lên nó Các phép biến hình được ứng dụng nhiều vào việc nghiên cứu các HH quen thuộc cũng như để giải toán

Nhật Bản: Chủ đề “Phép biến hình” ở chương trình ở phổ thông Nhật Bản có cấu trúc: bậc tiểu học (từ lớp 1 đến lớp 6) tập trung vào các hoạt động

HH như gấp hình, vẽ hình, di chuyển hình, phóng đại hoặc thu nhỏ hình để có những biểu tượng ban đầu về phép dời hình và phép đồng dạng

Liên Bang Nga: Chủ đề phép biến hình chỉ được dạy ở bậc tiểu học và trung học cơ sở Tuy nhiên, không chú trọng trình bày khái niệm phép tịnh tiến ở các SGK ở phổ thông mà chủ yếu phân tích lấy góc độ thể hiện mối

quan hệ giữa đại số và HH thể hiện ở phần vẽ đồ thị hàm số và một số ứng dụng khác như: Tìm giá trị (x,y) thỏa mãn điều kiện cho trước

Nội dung dạy học phép biến hình ở trường phổ thông Việt Nam: Đến khoảng năm 2000 thì các phép biến hình được đưa vào môn Toán trong nhà trường phổ thông Điều đó đã chứng tỏ rằng các nhà giáo dục đã chuyển HH

từ khoa học thực nghiệm sang khoa học suy diễn Việc chuyển như vậy là bước đầu cho việc “Đại số hóa HH”, tức là nghiên cứu HH bằng công cụ đại

số Do vậy đòi hỏi người học phải có TD tốt, biết nhìn nhận HH dưới nhiều góc độ khác nhau Hiện nay ở trường THPT, nội dung các phép biến hình trong HH phẳng và trong HH không gian chiếm nội dung không nhỏ trong môn Toán với thời lượng 17 tiết gồm:

+ (2 tiết) Bài 1 Phép biến hình và Bài 2 Phép tịnh tiến và (1 tiết) Bài tập về phép tịnh tiến

+ (1 tiết) Bài 3 Phép đối xứng trục ; (1 tiết) Bài 4 Phép đối xứng tâm; (1 tiết) Bài tập về phép đối xứng trục, đối xứng tâm

+ (1 tiết) Bài 5 Phép quay và (1 tiết) Bài tập về phép quay

+ (1 tiết) Bài 6 Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau và (1 tiết) Bài tập về phép dời hình

+ (1 tiết) Bài 7 Phép vị tự và (1 tiết) Bài tập về phép vị tự

+ (1 tiết) Bài 8 Phép đồng dạng và (1 tiết) Bài tập về phép đồng dạng

+ (2 tiết) Ôn tập chương I

+ (1 tiết) Kiểm tra 45 phút

Hơn nữa, có những bài toán HH được giải thông qua phép biến hình đôi khi nhanh gọn hơn khi giải bằng cách thông thường

1.3 Thực trạng dạy học phép biến hình theo định hướng phát triển TD

HH cho HS lớp 11

1.3.1 Mục tiêu dạy học phép biến hình ở THPT

Phép biến hình là nội dung của chương 1 SGK HH 11 (chương trình chuẩn) Chương này được chia thành 8 bài và ôn tập chương như sau:

(2 tiết) Bài 1 Phép biến hình và Bài 2 Phép tịnh tiến và (1 tiết) Bài tập về phép tịnh tiến Sau khi học xong, HS cần:

- Nắm được định nghĩa các phép biến hình, phép tịnh tiến, một số thuật ngữ

và kí hiệu liên quan đến nó

- Biết được biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Biết vận dụng nó để xác định tọa độ ảnh của một điểm, phương trình đường thẳng là ảnh của một điểm, phương trình đường thẳng cho trước qua một phép tịnh tiến

- Hiểu được tính chất cơ bản của phép tịnh tiến và dựng hình bài tập liên quan

- Nắm được biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua tâm O

- Tìm tâm đối xứng của một hình và hình có tâm đối xứng, kết hợp với dựng hình

- Biết quy lạ về quen, phát triển trí tưởng tượng, suy luận logic

- Liên hệ thực tế

(1 tiết) Bài 5 Phép quay và (1 tiết) Bài tập về phép quay

Sau khi học xong, HS cần:

- Nắm vững định nghĩa và tính chất của phép quay

- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác qua phép quay

- Rèn luyện TD logic cho HS

- Liên hệ thực tế

(1 tiết) Bài 6 Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau và và (1 tiết) Bài tập về phép dời hình Sau khi học xong, HS cần:

- Nắm được định nghĩa và các tính chất của phép dời hình

- Biết được các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay đều là phép dời hình

- Biết được khi thực hiện liên tiếp hai phép dời hình ta được một phép dời hình

- Nắm được định nghĩa hai hình bằng nhau

- Vẽ được ảnh của một hình đơn giản qua phép dời hình

- Bước đầu vận dụng phép dời hình trong một số bài tập đơn giản

- Rèn luyện TD logic, TD tổng hợp cho HS

- Liên hệ thực tế

(1 tiết) Bài 7 Phép vị tự và (1 tiết) Bài tập về phép vị tự

Sau khi học xong, HS cần:

Sau khi học xong, HS cần:

(2 tiết) Ôn tập chương I

- Ôn tập định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ của các phép biến hình đã học

- Luyện tập các dạng bài tập như: Tìm ảnh của điểm, đường thẳng, đường tròn qua phép biến hình

- Luyện tập các bài toán quỹ tích

- Liên hệ thực tế

(1 tiết) Kiểm tra 45 phút

- Toàn bộ nội dung chương I

1.3.2 Thực trạng dạy học phép biến hình theo định hướng phát triển TD

1.3.2.2 Kết quả điều tra và đánh giá

Với 30 phiếu điều tra đối với GV, tôi thu được kết quả sau đây:

Bảng 1.1: Bảng khảo sát thực trạng GV trước thực nghiệm

(câu 1 đến câu 10) Câu hỏi A Tỉ lệ B Tỉ lệ C Tỉ lệ D Tỉ lệ

HS sẽ gặp rất nhiều khó khăn, đặc biệt đối với một nội dung khá trừu tượng như “Phép biến hình” trong chương trình HH cơ bản lớp 11

Khi được hỏi về phương pháp sử dụng khi dạy học phép biến hình có 9/30 GV (30%) cho biết thường sử dụng phương pháp thuyết trình truyền thống, đây là con đường dễ đi, ít tốn công sức nhất mà nhiều GV thường lựa chọn, với lối giảng dạy thụ động, truyền thụ một chiều, thường xảy ra với đội ngũ GV mới ra trường, chưa có kinh nghiệm giảng dạy, cần sự chuẩn chỉ về kiến thức chuyên sâu hoặc GV cũ ngại thay đổi cách dạy Có 10/30 GV (33,33%) chọn phương pháp giảng dạy nêu và giải quyết vấn đề, tuy đã có sự tương tác giữa GV và HS trong giờ học nhưng bài dạy còn khô khan, kém hấp

dẫn, chưa khơi gợi được hứng thú với toàn lớp học Có 6/30 GV (20%) chọn phương pháp dạy học tích cực, gợi động cơ học tập, tuy nhiên theo mẫu giáo

án mới của bộ thì phương pháp này sẽ phát huy tác dụng tối đa trong các hoạt động khởi động và tìm tòi mở rộng Vì vậy, sự khéo léo kết hợp các phương pháp giảng dạy cho từng hoạt động học tập như: khởi động, hình thành kiến thức, luyện tập, vận dụng, tìm tòi mở rộng sẽ giúp tiết dạy tốt hơn, tạo động lực học tập cho HS nhưng vẫn đảm bảo kiến thức chuẩn xác

Khi được hỏi về định hướng phát triển NL thị giác, hình ảnh, có 5/30 GV (16,67%) lựa chọn sử dụng các phần mềm hỗ trợ, đặc biệt là sketchpad (GSP)và có 6/30 GV (20%) chọn hướng gợi động cơ học tập trước mỗi bài dạy bằng các hình ảnh thực tế để phát triển trí tưởng tượng không gian Phần mềm GSP sẽ phát huy tác dụng khi mô tả tính chất của các phép biến hình và trong giải bài tập liên quan đến quỹ tích, tuy nhiên dạy học định nghĩa, liên hệ thực tế cũng cần phát triển NL về thị giác, hình ảnh Vì vậy, sử dụng phần mềm chưa đủ để phát triển NL về thị giác, hình ảnh mà chỉ sử dụng trong một

số nội dung cụ thể Có 14/30 GV (46,66%) chọn trang bị cho HS nắm vững các tính chất hình HH Đây là một trong trong những yêu cầu thiết yếu giúp

HS phát triển trí tưởng tượng không gian, dựng hình, vẽ hình và chứng minh hình chính xác dựa vào am hiểu sâu sắc về tính chất của hình HH Có 5/30

GV (16,67%) lựa chọn tất cả các phương án trên, tập trung vào đội ngũ GV giàu kinh nghiệm, ham học hỏi và thay đổi phương pháp giảng dạy, đổi mới tiết học nhưng vẫn đảm bảo chuẩn kiến thức

Khi được hỏi về định hướng phát triển NL ngôn ngữ, có 11/30 GV (36,67%) nghĩ ngay đến kĩ năng trình bày lời giải của một bài toán Có 8/30

GV (26,67%) cho rằng rèn kĩ năng phát hiện sai lầm giúp HS phát triển ngôn ngữ toán học Chỉ có 4/30 GV (13,33%) chọn rèn kĩ năng dựng hình và 7/30

GV (23,33%) chọn tất cả các ý trên Như vậy cho thấy, đa số GV chỉ chú trọng phát triển ngôn ngữ toán học cho HS qua việc diễn tả các mối quan hệ

HH bằng các kí hiệu toán học mà không coi trọng rèn kĩ năng dựng hình cho

HS khi học về phép biến hình Một số trường THPT ngoài công lập, đối tượng HS còn yếu kém dẫn đến GV chỉ cho HS tham gia giải bài tập về phép biến hình bằng công cụ biểu thức tọa độ mà ít luyện tập các bài toán dựng hình hoặc quỹ tích, vì vậy kĩ năng dựng hình của HS còn yếu và NL ngôn ngữ toán học chưa được phát triển toàn diện Như vậy, để giúp các đối tượng HS

từ yếu kém đến trung bình khá có thể phát huy được NL ngôn ngữ thì vai trò của người GV trong quá trình giao nhiệm vụ và hướng dẫn giải quyết phải thật khéo léo, phù hợp với từng cấp độ TD của HS

Khi được hỏi về định hướng phát triển NL TD logic chỉ có 8/30 GV (26,67%) chọn phân loại các dạng toán, 10/30 GV (33,33%) chọn rèn kĩ năng

dự đoán kết quả, đưa ra giả thuyết HH cần chứng minh, có 10/30 GV (33,33%) chọn rèn kĩ năng lật ngược vấn đề, chứng minh vấn đề, chỉ có 2/30

GV (6,67%) chọn phối hợp các phương án trên Như vậy, trong thực tế có một số lượng GV lớn mặc định TD logic là phải giải được các bài tập chứng minh khó nhằn Tuy nhiên, sự khéo léo sắp xếp bài học, phân chia các dạng toán theo từng cấp độ TD như nhận biết, thông hiểu, vận dụng sẽ giúp HS từng bước phát triển TD logic ở các bài toán nhỏ và giải quyết được các bài toán lớn hơn

Khi được hỏi về định hướng phát triển NL vận dụng, có 16/30 GV (53,33%) chọn tiếp cận ứng dụng của từng phép biến hình trong thực tế cuộc sống, có 3/30 GV (10%) chọn giải các bài toán thực tế và có 11/30 GV (36,67%) chọn kết hợp hai ý trên Ta có thể thấy, việc cho HS quan sát ứng dụng của phép biến hình bằng các hình ảnh trong thực tiễn cuộc sống sẽ tạo động lực, tò mò, hiểu được nguồn gốc, ý nghĩa của bài học, sau đó tạo tâm thế tốt để HS hào hứng giải quyết các bài toán thực tiễn GV giao

Khi được hỏi về dạy học biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến nói riêng, có 19/30 GV (63,34%) chọn đưa ra công thức ngay rồi cho ví dụ minh họa, một

số GV cho biết điều này thường xảy ra ở khi dạy các đối tượng HS đặc biệt

yếu kém, việc đưa công thức ngay và luyện tập các bài tập lặp lại dạng tương

tự hoặc thay số giúp các em nhớ được trong một khoảng thời gian ngắn để hoàn thành các bài kiểm tra 15 phút, 45 phút, học kì Như vậy đã làm mất cơ hội phát triển TD logic cho HS Có 7/30 GV (23,33%) cho HS làm bài tập cụ thể rồi mới xây dựng công thức Có 4/30 GV (13,33%) chọn xây dựng công thức qua công cụ trực quan, khi đó GV khéo léo xây dựng các hoạt động học tập, hướng dẫn HS sử dụng các công cụ vectơ, mối quan hệ giữa hai vectơ bằng nhau trong mặt phẳng, sau đó rút ra biểu thức tọa độ cần xây dựng

Khi được hỏi về tổ chức dạy học định nghĩa của các phép biến hình như thế nào, có 9/30 GV (30%) cho ví dụ cụ thể rồi mới đi vào định nghĩa Có 12/30 GV (40%) dạy định nghĩa xong rồi đưa ví dụ minh họa Khi đó GV tuân thủ chặt chẽ theo sách GV và sách giáo khoa, chưa có sự sáng tạo trong bài dạy Có 9/30 GV (30%) gợi động cơ để HS tự tiếp cận định nghĩa, GV sáng tạo khi cho các ví dụ thực tiễn, hoặc HS trực tiếp tham gia vào trò chơi

do GV tổ chức, từ đó dần phát hiện ra phép biến hình được sử dụng trong thực tế như thế nào, sau đó dẫn tới định nghĩa

Có 4/30 GV (13,33%) cho rằng nên đưa ra các bài toán thực tiễn sau khi

HS vừa áp dụng học khái niệm, tuy nhiên có 26/30 GV (86,67%) có ý kiến ngược lại Từ đó cho thấy, việc đưa các bài toán thực tiễn cần thực sự khéo léo, phù hợp với cấp độ TD của HS tại thời điểm đó Việc giải được một bài toán thực tiễn đòi hỏi HS nắm chắc định nghĩa, khái niệm, tính chất của phép biến hình, tránh vội vàng đưa ra bài tập trong khi HS chưa đủ NL để tiếp nhận

và giải quyết

Khi được hỏi về tầm quan trọng của việc phát triển TDHH trong dạy học phép biến hình, có 24/30 GV (80%) cho rằng không quan trọng, 6/10 GV (20%) cho rằng quan trọng Điều này xuất phát từ thực trạng giáo dục, khi nội dung kiến thức về phép biến hình được cắt giảm và ít xuất hiện trong các bài kiểm tra trên lớp, kì thi THPT Quốc Gia nên nhu cầu tìm tòi, chuyên sâu, ôn

tập không còn cần thiết Chính vì vậy, việc tìm tòi các biện pháp phát triển TDHH cho HS trong dạy học phép biến hình nói riêng không được các GV đầu tư tìm hiểu, dẫn đến một bộ phận không nhỏ HS cảm thấy thực sự khó khăn và chán nản khi học về phép biến hình

Với 280 phiếu thăm dò và qua bài kiểm tra khảo sát HS khối 12, tôi thu được kết quả sau đây:

Bảng 1.2: Bảng khảo sát thực trạng HS trước thực nghiệm

(từ câu 11 đến câu 16) Câu hỏi A Tỉ lệ B Tỉ lệ C Tỉ lệ D Tỉ lệ

Đối với bài kiểm tra khảo sát

Có 23/280 HS trả lời đúng cả 6 câu, 16/280 HS làm đúng 5 câu, 25/280

HS làm đúng 4 câu, 6/280 làm đúng 3 câu, 117/280 làm đúng 2 câu, 8/280 làm đúng 1 câu, 5/280 không đúng câu nào Từ đó có thể thấy, số lượng HS quên kiến thức cũ rất nhiều, do không nắm được định nghĩa và không hiểu tính chất của các phép biến hình nên không thể nhớ lại cách giải bài tập như thế nào, dẫn kết kết quả như trên Thực trạng cho thấy, nội dung học tập về phép biến hình đang không được chú trọng trong giảng dạy và học tập

Đối với phiếu khảo sát ý kiến

Từ bảng 1.2 cho thấy: Khi được hỏi về vai trò của phép biến hình sau khi

đã được học, có 10/280 HS (3,57%) thấy rất quan trọng, 168/280 HS

(60,01%) thấy bình thường, 102/280 HS (36,42%) thấy không cần có trong chương trình học Đa số HS chưa thấy được ý nghĩa của việc học phép biến hình nên cảm thấy chán nản và không cần thiết

Khi được hỏi về khó khăn khi học phép biến hình: có 94/280 HS (33,57%) tự nhận thấy kiến thức cơ bản chưa nắm chắc, 15/280 HS (5,36%) thấy khả năng tưởng tượng và TD logic còn hạn chế, 134/280 HS (47,85%) còn tâm lý sợ môn HH, đây chính là trở ngại lớn nhất khi HS tiếp cận bộ môn

HH, đặc biệt là phần phép biến hình với tên gọi đầy mới lạ Bên cạnh đó có tới 37/280 HS (13,22%) cho rằng nội dung ít thi nên tâm lý không tập trung Chính vì vậy, GV cần suy nghĩ cách tác động khác ngoài thi cử để tạo động lực học tập cho HS

Khi được hỏi về việc các thầy cô có thường xuyên hướng dẫn sử dụng kí hiệu toán học khi trình bày lời giải không, có 187/280 HS (66,79%) trả lời có Tuy nhiên có tới 93/280 HS (33,21%) trả lời không, số lượng HS này rơi vào các em HS yếu kém, mất gốc và chưa thực sự tập trung trong giờ học, vì thế

GV cần quan tâm, dìu dắt các em từ những bài nhỏ, dành thời gian hướng dẫn lại từ những kí hiệu toán học cơ bản, giúp các em tự tin hơn khi giải toán và yêu thích môn học

Khi đưa ra sai lầm trong lời giải của bạn, có 56/280 HS (20%) dựa vào hình vẽ sai, 87/280 HS (31,08%) dựa vào kí hiệu toán học sử dụng chưa đúng, 91/280 HS (32,5%) xem xét dựa vào các tính toán sai lầm, có 46/280 HS (16,42%) xem xét tất cả các yếu tố trên Như vậy, rèn luyện kĩ năng phát hiện sai lầm trong lời giải là một trong những NL quan trọng của HS, nếu làm tốt, các em sẽ hiểu bài và ghi nhớ lâu hơn

Khi được hỏi về phương pháp dạy giải bài tập của thầy cô, có 37/280 HS (13,21%) trả lời rằng thầy cô đưa ngay ra cách giải tổng quát, có 121/280 HS (43,21%) trả lời rằng thầy cô làm bài tập mẫu rồi đưa bài tập tương tự cho các

em làm theo, có 122/280 HS (43,58%) trả lời rằng thầy cô đưa ra một số bài tập theo dạng rồi đưa ra cách giải tổng quát Như vậy, GV lựa chọn cách giải mẫu một bài tổng quát và cho HS làm tương tự, như vậy đã vô hình làm mất

đi tính sáng tạo, logic trong quá trình tìm tòi lời giải của HS

Tổng kết: đa số HS rất ngại khi học mảng kiến thức này, rất lúng túng trong quá trình phân tích để tìm ra bản chất và vận dụng kiến thức về phép biến hình Một điều quan trọng là HS thiếu phương pháp, GV thì chưa đưa ra con đường tiếp cận hợp lý HS vẫn còn tâm lý thụ động, ỷ lại, chưa biết cách tháo gỡ khó khăn trong học tập Khả năng tự học còn chưa tốt, chưa hiệu quả Các em HS chưa có phương pháp tiếp cận kiến thức, nắm bắt nội dung bài học và việc đặt mục tiêu trước khi học GV tuy quan tâm đến các em HS nhưng việc triển khai các hoạt động học và cập nhật các phương pháp dạy học còn chưa thường xuyên nên việc hình thành NL TDHH cho HS còn yếu Do

đó, để dạy và học phép biến hình ở phổ thông đạt hiệu quả cao, đòi hỏi cả GV

và HS thực sự có ý thức học hỏi để thay đổi thói quen cũ, tìm tòi các biện pháp để phát triển TDHH cho HS

TIỂU KẾT CHƯƠNG 1

Trong chương này, tôi đã đưa ra cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài luận văn nghiên cứu Từ khái niệm TDHH đến những nội dung kiến thức về phép biến hình ở trường THPT và khả năng dạy học phép biến hình theo định hướng phát triển TDHH Ngoài ra tôi còn đưa thêm thông tin về thực trạng dạy học phép biến hình cũng như vận dụng phép biến hình vào giải bài toán THPT hiện nay Thông qua nghiên cứu, chúng tôi nhận thấy nhu cầu xây dựng các biện pháp để phát triển TDHH khi dạy học phép biến hình trong mặt phẳng là vô cùng quan trọng và cấp thiết và chúng tôi trình bày cụ thể ở chương sau