Giáo trình: Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Tiểu học thông qua hoạt động giải Toán

Ví dụ 1.6: Học sinh biết diễn đạt lại bài toán, tóm tắt và sơ đồ hoá để đưa về dạng bài toán quen thuộc; biết thực hiện gộp các bước tính trong bài giải; tìm nhiều cách giải, chỉ ra được

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TƯ DUY VÀ TƯ DUY SÁNG TẠO

Một số vấn đề cơ bản về tư duy

Theo V.I Lê Nin [16]: “Tư duy là sự phản ánh thế giới tự nhiên sâu sắc hơn, trung thành hơn, đầy đủ hơn, đi sâu một cách vô hạn, từ giả tưởng tới bản chất, từ bản chất cấp một, nếu có thể như vậy, đến bản chất cấp hai, đến vô hạn” Theo đó, tư duy của con người xem như là một sự phản ánh thế giới một cách toàn diện, khách quan và đặc biệt là không có giới hạn

Theo C Mác, tư duy là một quá trình sáng tạo dẫn đến những điều mới mẻ Tính "kết quả" của tư duy được X.L Rubinstêin và các tác giả cùng trường phái làm rõ, cho thấy rằng qua quá trình tư duy, sự vật được phản ánh ngày càng rõ ràng và lộ ra những thuộc tính mới, khẳng định bản chất liên tục và không ngừng của tư duy.

Tư duy, theo định nghĩa từ điển, là giai đoạn cao trong quá trình nhận thức, nơi con người đi sâu vào bản chất của sự vật và phát hiện ra các quy luật thông qua các hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý.

Trần Thúc Trình cho rằng rèn luyện tư duy trong môn Toán là một quá trình nhận thức, phản ánh các thuộc tính bản chất và mối quan hệ quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đây người học chưa biết Việc phát triển tư duy không chỉ giúp học sinh hiểu sâu về Toán học mà còn kích thích khả năng tư duy logic và sáng tạo.

Tư duy là một hiện tượng tâm lý và là quá trình nhận thức bậc cao của con người, phản ánh thực tại khách quan qua các khái niệm, phán đoán và suy lý Nó phát sinh trong hoạt động xã hội và là sản phẩm của những hoạt động này, bao gồm các quá trình nhận thức gián tiếp như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa và khái quát hóa Kết quả của tư duy là sự nhận thức sâu sắc hơn về một đối tượng cụ thể.

Tư duy là hoạt động nhận thức bậc cao của con người, gắn liền với các hoạt động trí tuệ nhằm đạt được nhận thức luận về quy luật và phương pháp hoạt động Đây là quá trình suy nghĩ liên tục để nhận thức và giải quyết vấn đề thông qua việc phản ánh các sự vật, hiện tượng trong cuộc sống.

1.1.2 Đặc điểm cơ bản của tư duy

Theo R.S Rubinstein, tư duy được xem như một hình thức nhận thức cao cấp, từ đó chúng ta có thể xác định những đặc điểm chính của tư duy.

+ Tư duy gắn liền với nhu cầu nhận thức (tính có vấn đề):

Con người chỉ bắt đầu tư duy khi có nhu cầu nhận thức, thường xuất hiện trong những tình huống "có vấn đề" cần giải quyết Tư duy nảy sinh khi gặp khó khăn mà các phương pháp đã biết không đủ để xử lý Do đó, để kích thích nhu cầu tư duy, cần đặt con người vào những tình huống có vấn đề thực sự.

+ Tính gián tiếp và lý tính của tư duy:

Tư duy hướng đến nhận thức khái quát giúp chúng ta thoát khỏi những kinh nghiệm cụ thể và cảm tính Điều này có nghĩa là cần tìm cách phản ánh bản chất của các sự vật, hiện tượng, cùng với những mối liên hệ và quan hệ có tính chất quy luật của chúng.

Tư duy phản ánh sự vật và hiện tượng, thông qua ngôn ngữ tư duy trong não hoặc các công cụ thông tin khác, cho phép con người hiểu biết về thế giới mà không cần tri giác trực tiếp.

+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy:

Tư duy khác với nhận thức cảm tính ở chỗ nó không phản ánh sự vật và hiện tượng một cách cụ thể Thay vào đó, tư duy sử dụng phương pháp trừu tượng hóa để tách biệt các yếu tố cụ thể, giữ lại những thuộc tính bản chất chung, từ đó rút ra các đặc trưng khái quát cho nhiều sự vật và hiện tượng.

+ Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ:

Tư duy và ngôn ngữ của con người có mối quan hệ chặt chẽ, trong đó tư duy cần ngôn ngữ để hoạt động và diễn đạt, trong khi ngôn ngữ lại phát triển nhờ quá trình tư duy Mặc dù chúng không thể tách rời, tư duy và ngôn ngữ không hoàn toàn đồng nhất Ngôn ngữ giúp cố định và chính xác hóa những sản phẩm của tư duy, tạo ra sự khách quan và khả năng chia sẻ nhận thức giữa con người Đồng thời, tư duy cũng đóng vai trò là phương tiện để ngôn ngữ có thể hoạt động hiệu quả.

+ Tư duy gắn bó với những đặc điểm nhân cách:

Tư duy là quá trình riêng biệt của mỗi cá nhân, liên quan chặt chẽ đến nhu cầu, hứng thú, động cơ và khả năng nhận thức của họ Mặc dù sản phẩm của tư duy hướng tới những hiểu biết chung, nhưng để đạt được tư duy đúng đắn và hiệu quả, cần xem xét các yếu tố liên quan đến hoạt động tư duy và thao tác trí tuệ của từng người.

1.1.3 Các thao tác tư duy

Tư duy theo các giai đoạn chỉ phản ánh cấu trúc bên ngoài, trong khi nội dung bên trong của từng giai đoạn là quá trình thực hiện các thao tác tư duy Các thao tác trí tuệ này thể hiện các quy luật nội tại của tư duy Theo nghiên cứu, quá trình tư duy diễn ra thông qua các thao tác cơ bản.

Phân tích là quá trình sử dụng trí óc để chia nhỏ đối tượng nhận thức thành các bộ phận và thành phần khác nhau Qua đó, chúng ta có thể xác định các thuộc tính và đặc điểm của đối tượng, cũng như làm rõ các bộ phận của một tổng thể thông qua so sánh, phân loại và đối chiếu, giúp tổng thể trở nên minh bạch hơn.

Một số vấn đề về tư duy sáng tạo

1.2.1 Khái niệm tư duy sáng tạo

Tư duy sáng tạo đã được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu từ những góc độ và biểu đạt khác nhau:

Vugotxki L.X nhấn mạnh rằng hoạt động sáng tạo là bất kỳ hành động nào của con người tạo ra cái mới, bất kể đó là vật chất hay sản phẩm trí tuệ Tương tự, nhà tâm lý học Willson M cũng tập trung vào kết quả của sự sáng tạo, định nghĩa nó là quá trình tạo ra những kết hợp mới từ các ý tưởng, thông tin, hoặc các yếu tố khác.

Theo P.E Torrance, sáng tạo là quá trình xác định và nghiên cứu các giả thuyết để tìm ra kết quả Ông cho rằng sáng tạo liên quan đến việc nhận thức các vấn đề, sự thiếu hụt trong kiến thức và các yếu tố không hòa hợp, từ đó hình thành các mối quan hệ mới với thông tin hiện có Quá trình này dẫn đến việc tìm kiếm giải pháp, phỏng đoán và công thức hóa các vấn đề Như vậy, sáng tạo gắn liền với nhu cầu khám phá cái mới nhằm khắc phục những điểm yếu của cái cũ.

Theo J.P Guilford, tư duy sáng tạo là khả năng tìm kiếm và thể hiện các phương pháp lôgíc trong những tình huống có vấn đề Nó bao gồm việc khám phá những phương pháp mới và khác nhau để giải quyết vấn đề và thực hiện nhiệm vụ Sáng tạo không chỉ là một thuộc tính của tư duy mà còn là phẩm chất quan trọng trong quá trình tư duy, gắn liền với nhu cầu giải quyết các vấn đề.

Theo Chu Quang Tiềm, sáng tạo là quá trình sử dụng những ý tưởng đã có sẵn để tạo ra hình tượng mới thông qua việc cắt xén, chọn lọc và tổng hợp Điều này cho thấy rằng để sáng tạo, cần phải có vốn tri thức và kinh nghiệm làm nền tảng cho quá trình này.

Nguyễn Huy Tú (1996) trong “Đề cương bài giảng Tâm lý học sáng tạo” định nghĩa sáng tạo là quá trình hình thành ý tưởng mới, độc đáo và hợp lý khi con người đối mặt với các vấn đề Quá trình này kết hợp các phẩm chất và năng lực, cho phép cá nhân sử dụng kinh nghiệm và tư duy độc lập để tìm ra giải pháp mới, khác biệt so với các phương pháp truyền thống Sáng tạo xuất hiện khi có nhu cầu giải quyết vấn đề, đòi hỏi những cách tiếp cận độc đáo và thích hợp.

Sáng tạo, theo định nghĩa trong từ điển triết học, là quá trình mà con người tạo ra những giá trị mới về vật chất và tinh thần Các hình thức sáng tạo được phân loại theo đặc trưng nghề nghiệp như khoa học, kỹ thuật, văn học, nghệ thuật, tổ chức và quân sự Điều này cho thấy sáng tạo hiện diện trong mọi lĩnh vực của thế giới vật chất và tinh thần, đồng thời nhấn mạnh tính mới mẻ trong kết quả của tư duy.

Trong lĩnh vực toán học và dạy học Toán, đã có nhiều tác giả vận dụng quan niệm tư duy sáng tạo như sau:

Theo Nguyễn Cảnh Toàn [34]: “Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới”

Sáng tạo được định nghĩa là tư duy độc lập, mang lại những ý tưởng mới mẻ và hiệu quả trong việc giải quyết vấn đề Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh và Tôn Thân, ý tưởng mới không chỉ là phát hiện những vấn đề chưa được khám phá mà còn tìm ra những hướng đi và kết quả độc đáo Tính độc đáo của những ý tưởng này thể hiện qua những giải pháp lạ lẫm, hiếm hoi hoặc hoàn toàn mới mẻ.

Theo Phan Dũng, tư duy sáng tạo là quá trình giải quyết vấn đề và ra quyết định, giúp chuyển từ trạng thái "không biết cách" sang "biết cách", từ đó tạo ra sự mới mẻ.

Tư duy sáng tạo, bất kể trong lĩnh vực triết học hay tâm lý học, đều được hiểu là khả năng phát hiện và giải thích bản chất sự vật theo cách mới mẻ, đồng thời tạo ra ý tưởng và giải pháp độc đáo, không dựa vào các tiền lệ có sẵn.

Cái mới không phải là sự đối lập với cái cũ, mà thường phát sinh từ và kế thừa cái cũ, bởi trong cái cũ đã chứa đựng mầm mống cho cái mới Khi đề cập đến “sáng tạo”, cần hiểu rằng nó chỉ mang tính tương đối; một phát hiện có thể được coi là sáng tạo trong một hoàn cảnh cụ thể, nhưng chưa chắc đã được xem là sáng tạo trong bối cảnh khác.

Một "cái mới" có thể được xem là sản phẩm của sự sáng tạo đối với một người, nhưng lại không phải là mới mẻ đối với người khác Điều này cho thấy rằng sự sáng tạo có thể thay đổi theo thời gian và theo quan điểm của từng cá nhân.

Chú ý là: Sáng tạo đi liền với vốn tri thức, kinh nghiệm và nhu cầu giải quyết vấn đề của con người trước hoàn cảnh có vấn đề

1.2.2 Các yếu tố của tư duy sáng tạo

Về cơ bản, các kết quả nghiên cứu về tư duy sáng tạo cho thấy cấu trúc 5 thành phần sau đây của tư duy sáng tạo:

1.2.2.1 Tính mềm dẻo i) Biết phối hợp, kết hợp tổng quát các thao tác tư duy, các phương pháp suy luận:

Kết hợp giữa phân tích, so sánh, trừu tượng hóa và tổng hợp, khái quát hóa giúp xác định các đối tượng trong đề bài, cũng như mối quan hệ giữa chúng Việc này cho phép xác định yêu cầu của bài tập, đồng thời nhận diện các yếu tố và điều kiện cần và đủ Ngoài ra, kỹ năng suy luận và lập luận, bao gồm quy nạp và diễn dịch, cũng đóng vai trò quan trọng trong quá trình phân tích.

Dựa trên quy tắc so sánh hai phân số, học sinh đã nắm vững cách xác định giá trị của phân số dựa vào tử số Cụ thể, trong hai phân số cùng mẫu số, phân số có tử số nhỏ hơn sẽ nhỏ hơn, và ngược lại Học sinh cũng biết cách so sánh phân số với 1 (phân số có tử số bằng mẫu số) và 2 (phân số có tử số gấp đôi mẫu số) để mở rộng khả năng so sánh nhiều phân số khác nhau.

5 ; ) mà không cần nhất thiết phải quy đồng mẫu số của chúng

Khi đó cách nghĩ và làm này đã thể hiện tính mềm dẻo, tính thuần thục - nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy sáng tạo

Học sinh cần biết cách suy luận và diễn đạt vấn đề một cách rành mạch, rõ ràng, nhằm tìm ra câu trả lời chính xác cho các câu hỏi hoặc yêu cầu của giáo viên, điều này thể hiện ngay cả ở nhóm học sinh trung bình Bên cạnh đó, khả năng chuyển đổi linh hoạt giữa các giải pháp khác nhau cũng là một yếu tố quan trọng trong quá trình học tập.

Phân tích vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau giúp nhận thức rằng một nội dung có thể được diễn đạt theo nhiều hình thức khác nhau Điều này mở ra cơ hội tìm ra nhiều giải pháp cho cùng một vấn đề học tập, chẳng hạn như việc khám phá nhiều phương pháp giải cho một bài toán cụ thể.

Dạy học toán và tư duy sáng tạo

1.3.1 Vai trò của tư duy sáng tạo trong môn Toán

Tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo, đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển khoa học và văn minh của nhân loại Các hiền triết và nhà giáo dục qua các thời kỳ đều công nhận giá trị này Từ thời Khổng Tử, phương Đông đã chú trọng mối quan hệ giữa các khâu giáo dục, nhấn mạnh rằng trong quá trình dạy học, cần phải kết hợp giữa học tập, tư duy, rèn luyện và hành động.

Triết học cổ Hi Lạp nhấn mạnh rằng "Dạy học không chỉ đơn thuần là truyền đạt kiến thức mà là khơi dậy tư duy" Tư duy được ví như ngọn lửa, tượng trưng cho sự sáng tạo và khám phá trong quá trình học tập.

Nhà toán học Pascal đã nhấn mạnh rằng "Tư duy tạo nên sự cao cả của con người", và điều này cũng được cố Thủ tướng Phạm Văn Đồng của Việt Nam khẳng định khi ông nói rằng điều quan trọng không phải là nhồi nhét kiến thức hỗn độn, mà là phương pháp suy nghĩ, nghiên cứu, học tập và giải quyết vấn đề.

Tư duy sáng tạo được coi là một phẩm chất trí tuệ quan trọng, đóng vai trò chiến lược trong giáo dục phát triển con người trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa Nó không chỉ thu hút sự quan tâm của các nhà tâm lý học mà còn của các nhà khoa học sư phạm, vì tư duy sáng tạo có mối quan hệ sâu sắc với hoạt động học tập của học sinh Việc phát triển trí tuệ và hoàn thiện nhân cách toàn diện của học sinh ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường là điều cần thiết, và tư duy sáng tạo chính là yếu tố then chốt trong việc giải quyết vấn đề.

Tư duy sáng tạo, được nhấn mạnh trong Luật giáo dục 2005 và chương trình môn Toán 2018, là một phần quan trọng trong mục tiêu giáo dục phổ thông Ở bậc Tiểu học, ngoài việc trang bị kiến thức và kỹ năng cơ bản như đọc, viết, và tính toán, còn yêu cầu phát triển kỹ năng tư duy và hoạt động sáng tạo Điều này bao gồm khả năng suy luận, phát hiện và giải quyết vấn đề, cũng như phát triển tư duy phê phán và tư duy sáng tạo Mục tiêu chính là nâng cao năng lực giải quyết vấn đề và tư duy sáng tạo cho học sinh.

Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là yếu tố quan trọng giúp các em có cơ hội học tập tốt hơn và được công nhận trong xã hội Tư duy sáng tạo không chỉ giúp học sinh có cái nhìn phê phán và biện chứng về mọi vấn đề, mà còn tạo điều kiện cho việc tìm ra những giải pháp thông minh và hiệu quả Điều này đóng vai trò then chốt trong việc chuẩn bị cho sự thành công trong tương lai.

Để phát triển nhân cách toàn diện, việc hình thành tư duy sáng tạo cho học sinh là rất quan trọng Nhân cách bao gồm đức, tài, năng lực và phẩm chất, trong đó năng lực sáng tạo là yếu tố thiết yếu Khả năng tư duy sáng tạo giúp học sinh điều chỉnh bản thân, phát triển kỹ năng kiềm chế cảm xúc, giải quyết mâu thuẫn và tránh xung đột Điều này dẫn đến trạng thái tâm lý tích cực, từ đó tạo ra thái độ lạc quan đối với cuộc sống và tinh thần khắc phục sai lầm để hoàn thiện bản thân.

Tư duy sáng tạo là yếu tố thiết yếu trong quá trình học tập, đóng vai trò quan trọng trong hoạt động nhận thức của con người Nó không chỉ mở rộng giới hạn nhận thức mà còn giúp vượt qua những giới hạn của kinh nghiệm để khám phá bản chất của sự vật và hiện tượng, cũng như tìm ra mối quan hệ quy luật giữa chúng Tư duy sáng tạo không chỉ giải quyết các nhiệm vụ trước mắt mà còn giúp xử lý những vấn đề lâu dài, cải thiện thông tin và tiết kiệm công sức, từ đó nâng cao hiệu quả hành động Ngoài việc hỗ trợ việc học tập và tiếp thu tri thức, tư duy sáng tạo còn giúp học sinh phát triển khả năng nhận thức, phát hiện và giải quyết vấn đề phức tạp, đồng thời tránh được những nguy hiểm và tác động tiêu cực từ môi trường Thiếu khả năng tư duy sáng tạo, học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc giải quyết các vấn đề phát sinh trong học tập và cuộc sống.

Rèn luyện tư duy sáng tạo trong trường tiểu học là một yêu cầu thiết yếu của quá trình giáo dục, đóng vai trò quan trọng trong mục tiêu giáo dục toàn diện Tư duy sáng tạo không chỉ giúp học sinh tiếp thu kiến thức khoa học cơ bản mà còn trang bị cho các em khả năng giải quyết vấn đề và thực hiện các nhiệm vụ học tập ngày càng phức tạp Điều này góp phần phát triển toàn diện nhân cách cá nhân và giúp học sinh thích ứng nhanh với cuộc sống năng động hiện nay ngay từ những năm đầu phổ thông.

1.3.2.1 Hoạt động giải bài tập toán

Theo G.Polya [22], tiến trình giải bài toán thường được thực hiện theo bốn bước dưới đây:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Khi giải các bài toán, ta cần đọc thật kỹ đề bài, xác định đâu là cái đã cho, đâu là cái phải tìm

Khi đọc đề bài, ta cần tập trung vào những từ quan trọng của đề toán, cần phải suy nghĩ để hiểu ý nghĩa của các từ đó

Khi nghiên cứu đề bài, việc xác định rõ những yếu tố bản chất và không bản chất là rất quan trọng Qua đó, chúng ta có thể phân tích và hiểu rõ tác dụng của các điều kiện được đưa ra trong đề toán.

Bước 2: Lập kế hoạch giải bài toán

Từ đề bài tóm tắt, thiết lập mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm

Để giải quyết một đề bài hiệu quả, trước tiên cần xác định rõ yêu cầu của nó Việc này bao gồm việc hiểu những thông tin cần thiết và dữ kiện nào sẽ được sử dụng, cũng như các phép tính cần thực hiện Đối với các bài toán được tóm tắt bằng sơ đồ, việc phân tích sơ đồ là rất quan trọng để tìm ra các bước giải quyết Đối với những bài toán phức tạp, cần chú ý đến các nút thắt quan trọng, từ đó suy luận và hiểu rõ ý nghĩa của chúng để tìm ra hướng giải quyết thích hợp.

Bước 3: Trình bày lời giải

Dựa vào kết quả phân tích, kế hoạch giải bài toán ở bước 2, lần lượt thực hiện giải bài toán theo thứ tự các bước

Mỗi bước giải bài toán thường gồm câu lời giải và phép tính Cần chú ý trình bày bài giải khoa học, lập luận chặt chẽ, đủ ý, chính xác

Bước 4: Kiểm tra kết quả - Nghiên cứu sâu lời giải

Sau khi giải bài toán, cần thử lại từng bước giải, các tính toán, suy luận cũng như đáp số xem có phù hợp với đề toán không

Cần kiểm tra lại câu lời giải để đảm bảo tính chính xác và logic của phép tính Đối với những bài toán có thể giải bằng nhiều phương pháp, nên khai thác thêm các cách giải khác nhau Từ bài toán ban đầu, có thể phát triển thêm các bài toán mới bằng cách thay đổi dữ liệu hoặc bối cảnh khác nhau.

1.3.2.2 Hoạt động giải toán và mục tiêu phát triển tư duy cho học sinh

Trong quá trình giải toán, các hoạt động tư duy và tư duy sáng tạo đóng vai trò quan trọng, đặc biệt ở bước 2 và 4, khi học sinh cần tổng hợp các thao tác tư duy để khám phá những yếu tố mới Việc áp dụng các chiến lược giải bài toán và tìm kiếm các cách tiếp cận khác nhau là cần thiết để đạt được kết quả hiệu quả.

Trong quá trình giải bài toán, học sinh cần liên tục vận dụng các thao tác tư duy và suy luận toán học, đặc biệt là ở bước 2 và bước 4, nơi yêu cầu kỹ năng tư duy linh hoạt và độc đáo Điều này cho thấy việc học toán không chỉ nhằm giải quyết bài toán mà còn hướng tới việc phát triển tư duy toán học, bao gồm cả tư duy sáng tạo cho học sinh.

Học sinh cần huy động tối đa các hoạt động tư duy để tham gia tích cực vào mọi hoạt động học tập Họ nên kiên trì bám đuổi và giải quyết nhiệm vụ, ngay cả khi gặp khó khăn Việc suy nghĩ tích cực về câu hỏi và câu trả lời, tìm hiểu lý do và đưa ra nhiều giải pháp khác nhau cho một vấn đề là rất quan trọng Học sinh cũng nên trình bày ý tưởng của mình bằng nhiều hình thức khác nhau và thường xuyên đánh giá quá trình tư duy cũng như khả năng giải quyết vấn đề của bản thân.

Như vậy, khi giải toán, học sinh đã thực hiện các hoạt động tư duy sáng tạo như sau:

- Tìm ra cách giải quyết vấn đề (câu trả lời, lời giải bài toán), cách suy luận vấn đề một cách linh hoạt, mềm dẻo, sáng tạo

- Tìm ra cách thức mới để giải quyết được các bài tập khó với những tình huống và dữ liệu đã biến đổi

- Phát hiện ra hoặc giải thích được vấn đề mới dựa trên kiến thức của bài học

Một số vấn đề về phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh tiểu học trong dạy học giải toán

1.4.1 Tư duy sáng tạo của học sinh tiểu học

1.4.1.1 Đặc điểm tâm lý, tư duy và nhận thức của học sinh tiểu học

Hệ thần kinh của học sinh tiểu học đang trong giai đoạn phát triển mạnh mẽ, với sự hoàn thiện cơ bản vào khoảng chín, mười tuổi, và chất lượng này sẽ được duy trì suốt đời Trong giai đoạn này, trẻ em có đặc điểm tâm lý như khả năng kìm hãm còn yếu và dễ bị kích thích Tri giác của trẻ thường mang tính đại thể, không đi sâu vào chi tiết và gắn liền với hành động thực tiễn Tuy nhiên, trẻ cũng bắt đầu phát triển khả năng phân tích và nhận diện các dấu hiệu, chi tiết nhỏ của một đối tượng cụ thể.

Chú ý không chủ định thường chiếm ưu thế ở học sinh tiểu học, dẫn đến sự chú ý không bền vững và dễ bị phân tán, đặc biệt là với những đối tượng ít thay đổi và dễ bị cuốn hút bởi những yếu tố trực quan Học sinh tiểu học thường không biết cách tổ chức sự chú ý, mà thường hướng ra bên ngoài vào các hoạt động thực tế thay vì vào các hoạt động trí tuệ Ví dụ, khi giáo viên sử dụng đồ dùng trực quan mới mẻ và bắt mắt, học sinh có thể bị cuốn hút vào những đồ vật đó mà quên mất mục tiêu chính là nắm bắt kiến thức trong bài học Tuy nhiên, đối với học sinh cuối cấp tiểu học, khả năng chú ý có chủ định và bền vững cao hơn, ngay cả khi động cơ học tập không chỉ nhằm đạt điểm cao hay được khen thưởng.

Trí nhớ của học sinh, mặc dù đã phát triển, vẫn bị ảnh hưởng bởi hứng thú và các hình mẫu tác động mạnh, dẫn đến việc nhiều em chưa biết cách tổ chức ghi nhớ một cách có ý nghĩa, thường phát triển trí nhớ máy móc Trí nhớ trực quan và hình tượng thường phát triển hơn trí nhớ lôgíc và ngôn ngữ do học sinh chưa xác định rõ cần ghi nhớ gì, thời gian ghi nhớ, và còn hạn chế về vốn ngôn ngữ Hơn nữa, nhiều em chưa biết sử dụng sơ đồ logic hay xây dựng dàn ý cho tài liệu cần ghi nhớ Tuy nhiên, các thực nghiệm cho thấy trí nhớ của học sinh tiểu học ở các lớp cuối cấp đã dần mang tính chủ định, bền vững, logic và có ý nghĩa, phù hợp với yêu cầu nhận thức các khái niệm và quy tắc trừu tượng cao.

Tưởng tượng của học sinh tiểu học có sự phát triển phong phú, nhưng ở giai đoạn đầu cấp, nó vẫn còn tản mạn và ít có tổ chức, với hình ảnh đơn giản và hay thay đổi Ví dụ, học sinh lớp 1, 2 thường vẽ người có tay to hơn chân, hoặc vẽ con mèo giống con chó Khi tiến vào những năm cuối cấp, tưởng tượng của các em trở nên gần gũi với thực tế hơn nhờ vào vốn kiến thức và kinh nghiệm phong phú Về cấu tạo hình tượng, các em thường lặp lại hoặc thay đổi một chút về kích thước và hình dạng của những hình tượng đã được tri giác Đến cuối cấp, học sinh đã có khả năng nhào nặn và gọt giũa những hình tượng cũ để sáng tạo ra hình tượng mới, đồng thời biết dựa vào ngôn ngữ để xây dựng hình tượng mang tính khái quát và trừu tượng cao Chẳng hạn, các em có thể sáng tác tiếp câu chuyện vừa nghe, viết bài văn về chú bộ đội hay bác sĩ, hoặc sáng tác bài toán dựa vào số liệu đã cho Điều này chứng tỏ rằng học sinh cuối cấp tiểu học đã phát triển khả năng tưởng tượng sáng tạo, một yếu tố cần thiết cho tư duy sáng tạo.

Trong Tâm lý học nhận thức, Piaget phát triển thuyết hoạt động hóa để mô tả sự phát triển trí tuệ của con người từ khi sinh ra đến tuổi trưởng thành qua các giai đoạn khác nhau Ông cho rằng tư duy trẻ em phát triển liên tục, bắt đầu từ giai đoạn 0 đến 2 tuổi với tư duy cảm giác - vận động, nơi trẻ chủ yếu sử dụng tri giác và hành động Từ 2 đến 7 tuổi, trẻ chuyển sang tư duy biểu tượng, nhận thức các đối tượng thông qua giác quan Trong giai đoạn mẫu giáo và đầu tiểu học, tư duy chủ yếu diễn ra qua hành động cụ thể, trẻ phân tích và so sánh các sự vật mà chưa hình thành các thao tác tư duy bên trong Khi trẻ bước vào lớp 3, lớp 4, chúng bắt đầu chuyển đổi các hành động phân tích thành các thao tác trí óc, mặc dù vẫn phụ thuộc vào đối tượng thực Đến tuổi 10-11, tư duy của trẻ chuyển sang hoạt động hình thức, không còn bám vào đối tượng cụ thể mà dựa vào giả thuyết, đánh dấu sự phát triển tư duy trong giai đoạn vị thành niên.

Các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát và trừu tượng hóa ở các lớp đầu cấp tiểu học còn sơ đẳng, chủ yếu dựa vào hoạt động phân tích trực quan và hành động khi tri giác trực tiếp đối tượng Tuy nhiên, khi học sinh tiến lên các lớp trên, khả năng phân tích, tổng hợp và trừu tượng hóa trong tư duy của trẻ phát triển vượt bậc Học sinh cuối cấp có thể phân tích đối tượng mà không cần hành động thực tiễn, đồng thời có khả năng phân biệt các dấu hiệu và khía cạnh khác nhau của đối tượng dưới dạng ngôn ngữ.

Theo thời gian, tư duy của học sinh tiểu học đã có nhiều biến đổi cơ bản, đặc biệt là ở cuối cấp Qua từng năm học, khả năng tư duy trừu tượng, logic và sáng tạo của học sinh được hình thành và phát triển từ thấp đến cao Sự chuyển biến từ tư duy hình tượng, trực quan sang tư duy trừu tượng, khái quát là đặc điểm nổi bật của học sinh cuối cấp tiểu học Chẳng hạn, học sinh có khả năng so sánh câu phức tạp, tóm tắt đoạn văn, và phân loại các bài toán theo nhiều tiêu chí khác nhau Tuy nhiên, tư duy hình tượng cụ thể vẫn tồn tại và đóng vai trò quan trọng trong cấu trúc tư duy của lứa tuổi này Nhiều nghiên cứu cho thấy, học sinh cuối cấp đã nhận biết được dấu hiệu bản chất của sự vật, nhưng không phải lúc nào cũng phân biệt được trong mọi trường hợp cụ thể Ví dụ, học sinh lớp 5 có thể tính thể tích hình hộp chữ nhật dễ dàng, nhưng gặp khó khăn khi tính thể tích bể nước với cùng số đo.

4 chiều cao của bể), và sẽ ít học sinh tính được thể tích của cái thùng kín khi thả chìm cái thùng đó vào trong bể,

Để phát triển tư duy và nhận thức của học sinh Tiểu học trong dạy học toán, giáo viên cần áp dụng những phương pháp phù hợp nhằm kích thích tư duy chung và tư duy sáng tạo Việc nâng cao khả năng tư duy cho học sinh cần được thực hiện một cách có hệ thống, đặc biệt chú trọng vào giai đoạn cuối cấp tiểu học.

1.4.1.2 Tư duy sáng tạo của học sinh tiểu học

Việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh tiểu học đang đặt ra nhiều câu hỏi cho các nhà khoa học, bao gồm việc xác định liệu hoạt động của trẻ có được coi là sáng tạo hay không Họ cũng cần xem xét sự hiện diện của tư duy sáng tạo ở trẻ em, cũng như mức độ phát triển của nó: liệu nó đã phát triển đầy đủ hay chỉ mới ở giai đoạn hình thành ban đầu.

L.X Vưgotski, trong nghiên cứu trí tưởng tượng và sáng tạo ở lứa tuổi thiếu nhi, khẳng định rằng “sự sáng tạo thật ra không phải chỉ có ở nơi nó tạo ra những tác phẩm lịch sử vĩ đại, mà ở khắp nơi nào con người tưởng tượng, phối hợp, biến đổi và tạo ra một cái gì mới, cho dù cái mới ấy nhỏ bé đến đâu đi chăng nữa so với sự sáng tạo của các bậc thiên tài” ([46], tr.13) Quan niệm này cho ta xem xét sự sáng tạo như một quy luật hơn là một ngoại lệ Và ông cũng khẳng định: “Một trong những vấn đề quan trọng nhất của tâm lý học thiếu nhi và giáo dục học là vấn đề sự sáng tạo ở thiếu nhi, sự phát triển của các năng lực sáng tạo và ý nghĩa của công việc sáng tạo đối với sự phát triển chung và sự trưởng thành của trẻ em” ([46], tr.14) Như vậy hoàn toàn có sự tương đồng giữa quá trình sáng tạo của học sinh và quá trình sáng tạo của các nhà khoa học, nhà sáng chế Chẳng hạn, với nhà khoa học, khởi nguồn cho sự sáng tạo là niềm say mê với vấn đề khoa học thì với học sinh tiểu học, nguồn cảm hứng, kích thích cho hoạt động sáng tạo được biểu hiện qua dấu hiệu: thích hỏi, tò mò và hay thắc mắc Với nhà khoa học bắt đầu công việc sáng tạo từ một câu hỏi thì với học sinh tiểu học, sự sáng tạo thể hiện qua việc đưa ra những câu hỏi khó và sâu về một chủ đề học tập

X.L Rubinstein cho rằng, có hai loại sản phẩm sáng tạo ứng với hai mức độ sáng tạo [27]:

Mức độ 1 của sáng tạo liên quan đến việc tạo ra tri thức mới, có khả năng làm thay đổi căn bản các quan điểm trong hệ thống cũ Đây là hoạt động sáng tạo của con người, đặc biệt là của các nhà khoa học, góp phần vào sự phát triển và tiến bộ của xã hội.

Mức độ 2 trong phát triển sáng tạo của trẻ bao gồm việc mở rộng ứng dụng và đào sâu lý thuyết, giúp trẻ vận dụng tri thức vào tình huống mới Ông nhấn mạnh rằng sản phẩm sáng tạo của trẻ mang tính chủ quan và chưa có ý nghĩa xã hội như sản phẩm của người lớn Điều này có nghĩa là cái mới trong sáng tạo của trẻ chủ yếu mang lại niềm vui và sự thích thú cho chính bản thân trẻ Nếu được khuyến khích đúng lúc, trẻ sẽ có cơ hội bộc lộ và phát triển khả năng sáng tạo của mình Quan trọng là phát hiện và công nhận những điều mới mẻ trong tư duy của trẻ, mặc dù chúng còn hạn chế về nhận thức và kinh nghiệm.

Nghiên cứu của các nhà khoa học cho thấy rằng sáng tạo có thể được hiểu một cách linh hoạt về biểu hiện, mức độ, đối tượng và hoàn cảnh Sự khác biệt giữa sáng tạo của người lớn và trẻ em chủ yếu nằm ở mức độ sản phẩm sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề và mức độ tự lập trong quá trình sáng tạo.

Quá trình sáng tạo của nhà khoa học liên quan đến việc khám phá những giải pháp độc đáo cho các vấn đề hiện có, hoặc phát triển các sản phẩm mới mang ý nghĩa xã hội thông qua những phương pháp và cách tiếp cận mới lạ chưa từng được áp dụng trước đây.

Đối với học sinh tiểu học, sự sáng tạo thể hiện qua việc giải thích hợp lý cho câu trả lời, tìm ra cách giải độc đáo cho bài toán khó, và đưa ra câu trả lời chính xác, ngắn gọn Các em còn có khả năng phát hiện vấn đề trong tình huống mới, chủ động học tập và hợp tác, cũng như phát triển thói quen tự học.

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TIỂU HỌC THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TOÁN

Phát triển một số yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải toán về số tự nhiên

Ví dụ 2.1: Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số 2, 3, 4, 6

Để rèn luyện tính mềm dẻo trong tư duy sáng tạo cho học sinh, giáo viên cần hướng dẫn học sinh linh hoạt trong việc khai thác và phối hợp các thao tác tư duy nhằm tìm ra phương pháp giải quyết bài toán hiệu quả.

Để giải bài toán tìm số cách sắp xếp 4 chữ số 2, 3, 4, 6 thành một số có 4 chữ số khác nhau với chữ số 2 ở vị trí hàng nghìn, ta cần xác định số cách đặt các chữ số còn lại ở hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị Với chữ số 2 đã được cố định, chúng ta còn lại 3 chữ số (3, 4, 6) để sắp xếp Số cách sắp xếp này được tính bằng cách nhân số lượng chữ số còn lại cho từng vị trí: 3 lựa chọn cho hàng trăm, 2 lựa chọn cho hàng chục và 1 lựa chọn cho hàng đơn vị Tổng số cách sắp xếp sẽ là 3 x 2 x 1 = 6 cách.

Để tìm số các số có 4 chữ số khác nhau với chữ số hàng nghìn là 3, 4 hoặc 6, ta sử dụng thao tác tư duy so sánh và tương tự Đầu tiên, chọn một trong ba chữ số 3, 4, 6 cho vị trí hàng nghìn Sau đó, chọn 3 chữ số khác nhau từ 0 đến 9, loại trừ chữ số đã chọn cho hàng nghìn Cuối cùng, tính toán số cách sắp xếp các chữ số còn lại để tạo thành các số có 4 chữ số khác nhau.

+ Sử dụng thao tác tư duy tổng hợp lập kế hoạch giải bài toán:

- Chọn 1 trong 4 vị trí (Hàng nghìn, Hàng trăm, Hàng chục, Hàng đơn vị) để đặt

1 trong 4 số đã cho (2, 3, 4, 6) rồi tìm số cách đặt số vào 3 vị trí còn lại, sau đó tính số các số lập được

- Xét vai trò của 3 trong 4 số còn lại vào vị trí đặt số đầu tiên trong bước 1, sau đó tìm số các số lập được trong mỗi trường hợp

- Tính tổng số các số lập được thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Trong quá trình tìm kiếm giải pháp, giáo viên có thể rèn luyện tính linh hoạt cho học sinh bằng cách hướng dẫn họ điều chỉnh cách suy nghĩ Điều này giúp học sinh đưa ra nhiều cách trình bày lời giải khác nhau và nhận diện được phương pháp giải chung cho các bài toán lập số.

- Phương án 1: Lập luận và trình bày lời giải theo cách “Lập bảng”

Chọn số 2 làm chữ số hàng trăm ta được các số:

Hàng nghìn Hàng trăm Hàng chục Hàng đơn vị Số viết được

Hàng nghìn Hàng trăm Hàng chục Hàng đơn vị Số viết được

- Phương án 2: Lập luận và trình bày lời giải theo “Sơ đồ hình cây”

Chọn số 2 làm chữ số hàng nghìn ta được các số:

- Phương án 3: Lập luận và trình bày lời giải dựa theo “Quy tắc nhân”

Cách giải 3 là phương pháp tổng quát để giải quyết các bài toán lập số theo các điều kiện từ các chữ số cho trước Lý thuyết tổ hợp trong toán học là nền tảng cho các phương pháp như “lập bảng” và “vẽ sơ đồ hình cây” Phương pháp này giúp học sinh nắm vững các nội dung quan trọng như Quy tắc cộng, Quy tắc nhân, Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp trong tương lai.

Ví dụ 2.2: Tìm ab thỏa mãn ab = 5 x (a + b)

Trong bài toán này, học sinh thường áp dụng cấu tạo số để phân tích ab và biến đổi phương trình ab = 5 x (a + b) thành 5 x a = 4 x b Để giải quyết, ta gọi số cần tìm là ab, từ đó suy ra ab = 5 x (a + b) theo yêu cầu của đề bài.

Để rèn luyện tính thuần thục cho học sinh, giáo viên cần dựa vào sự nhuần nhuyễn về kiến thức và kỹ năng của các em Việc hướng dẫn học sinh lựa chọn cách giải quyết phù hợp là rất quan trọng trong quá trình học tập.

Cách giải 1: Với những học sinh thuần thục phương pháp thử chọn, giáo viên gợi ý các em lập bảng thử chọn để đưa ra kết quả của bài toán

Lập bảng thử chọn: (Tìm cặp số tự nhiên thỏa mãn (*)) a b Kết luận

Vậy số phải tìm là 45

Cách giải 2: Với những học sinh thuần thục sử dụng dấu hiệu chia hết, giáo viên gợi ý các em giải bài toán theo một trong hai hướng giải quyết:

Nếu học sinh đã làm quen với cách giải biến đổi và thu được 5 x a và 4 x b, họ sẽ dễ dàng nhận ra rằng chữ số b chia hết cho 5 Do đó, b phải bằng 0 hoặc 5 Từ đó, học sinh có thể áp dụng cách giải hiệu quả hơn.

Vậy, số phải tìm là 45

Học sinh nắm vững dấu hiệu chia hết sẽ dễ dàng nhận ra từ giả thiết ab = 5 x (a + b) rằng số ab chia hết cho 5 Theo quy tắc chia hết cho 5, giá trị của b phải là 0 hoặc 5 Sau đó, học sinh sẽ trình bày lời giải một cách rõ ràng và logic.

Gọi số phải tìm là ab Theo bài ra ta có: ab = 5 x (a + b) Vì 5 x (a + b) có tận cùng bằng 0 hoặc 5 nên b bằng 0 hoặc 5

- Nếu b = 0, thay vào ta có: 0a = 5 x a Loại vì không có giá trị khác 0 nào của a thoả mãn

- Nếu b = 5, thay vào ta có:

5 x a = 20 a = 4 Vậy số phải tìm là 45

Khi xóa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số tự nhiên có bốn chữ số, số đó sẽ giảm đi 4455 đơn vị Nhiệm vụ là tìm ra số bốn chữ số đó.

Đối với bài tập này, giáo viên thường hướng dẫn học sinh áp dụng các thao tác tư duy để tìm ra hướng giải cho bài toán một cách hiệu quả.

Ta có: abcd - ab = 4455 ab x 100 + cd - ab = 4455 cd + ab x 99 = 4455 cd = 4455 - ab x 99 cd = (45 - ab) x 99 (*)

Từ (*) ta thấy, do dc là số tự nhiên có 2 chữ số, nên 45 - ab phải bằng 0 hoặc 1

- Nếu 45 - ab = 0 thì ab = 45 và cd = 00

- Nếu 45 - ab = 1 thì ab = 44 và cd = 99

Số cần tìm trong bài toán là 4500 hoặc 4499 Để rèn luyện tính độc đáo cho học sinh, giáo viên hướng dẫn các em thực hiện hoạt động liên tưởng và kết hợp giữa việc viết phép tính theo hàng ngang và hàng dọc Cụ thể, bài toán “Tìm abcd thỏa mãn abcd - ab = 4455” được chuyển đổi thành việc thay mỗi chữ trong phép tính bằng chữ số thích hợp.

” để các em xem xét vấn đề từ góc nhìn khác và cách giải khác với các câu hỏi gợi ý:

Câu hỏi 1: Hãy chuyển phép tính trừ (abcd - ab = 4455) về phép tính cộng

(4455 + ab = abcd) và đặt theo cột dọc

Quan sát các thành phần của phép tính (số hạng, tổng) đề xuất hướng giải mới cho bài toán?

Để giúp học sinh nhận diện các mối liên hệ giữa những sự kiện bên ngoài tưởng chừng không liên quan, giáo viên cần gợi ý và hướng dẫn cách phân tích, ví dụ như trong trường hợp có và không có trí nhớ khi cộng hàng chục.

Câu hỏi 2: Nếu phép cộng ở hàng chục không nhớ  5   a 10  thì ab (trong tổng abcd) bằng bao nhiêu? Số cần tìm là số nào?

Học sinh: Nếu phép cộng hàng chục không nhớ thì: ab = 44 và abcd = 4455 + 44 = 4499

Câu hỏi 3: Nếu phép cộng ở hàng chục có nhớ  5   a 10  thì ab (trong tổng abcd) bằng bao nhiêu? Số cần tìm là số nào?

Học sinh: Nếu phép cộng hàng chục có nhớ thì: ab = 45 và abcd = 4455 + 45 = 4500

Từ đó học sinh lập kế hoạch và giải bài toán (theo cách khác) như sau:

Ta viết lại phép tính abcd - ab = 4455 như sau:

- Nếu phép cộng hàng chục không nhớ thì ab = 44 và abcd = 4455 + 44 = 4499

- Nếu phép cộng hàng chục có nhớ thì ab = 45 và abcd = 4455 + 45 = 4500 Các số cần tìm là 4499 hoặc 4500

Giáo viên đã hướng dẫn học sinh một phương pháp giải quyết vấn đề độc đáo, ngắn gọn và dễ hiểu, giúp tiết kiệm thời gian mà không cần phân chia và lập luận nhiều trường hợp Phương pháp này có thể áp dụng cho các bài tập cùng dạng nhưng khó hơn.

2.1.4.1 Yêu cầu về lý thuyết và dạng bài tập a) Về lý thuyết học viên cần nắm được:

- Những khái niệm cơ bản về số tự nhiên:

+ Hàng và lớp của một số tự nhiên;

+ Số chẵn và số lẻ;

+ Số tròn chục, tròn trăm;

+ Số tự nhiên liền trước, liền sau, hai số tự nhiên liên tiếp;

+ Số chẵn hoặc lẻ liền trước, liền sau, hai số chẵn hoặc lẻ liên tiếp,

- Các phương pháp phân tích một số tự nhiên theo hàng, theo số chục, số trăm,

- Các tính chất về chữ số tận cùng của một tổng, hiệu, tích, thương,

- Nắm được một số phương pháp giải toán thường dùng:

+ Phương pháp Sơ đồ đoạn thẳng;

+ Phương pháp Chia tỉ lệ;

+ Phương pháp Đại số (dùng chữ thay số);

+ Phương pháp Sơ đồ hình cây, b) Về bài tập học viên cần giải thành thạo 5 dạng bài tập cơ bản dưới đây:

1 Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước;

2 Các bài toán giải bằng phân tích cấu tạo số;

3 Các bài toán giải bằng phương pháp thử chọn;

4 Các bài toán về xét chữ số tận cùng;

5 Toán trắc nghiệm khách quan về cấu tạo số

Trong đó, với mỗi dạng toán cần nắm được:

+ Những kiến thức cần củng cố và bổ sung để giải toán;

+ Cách nhận dạng bài toán;

+ Cách lựa chọn phương pháp giải;

+ Cách trình bày lời giải cho từng dạng tiêu biểu;

+ Cách phát triển bài toán từ một bài toán vừa giải;

Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau với các chữ số đều là số lẻ? Kết quả là 60 số Còn nếu các chữ số đều là số chẵn, thì có 48 số.

Phát triển một số yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải toán về phân số và số thập phân

về phân số và số thập phân

Tìm một phân số có tổng tử số và mẫu số bằng 180, và sau khi rút gọn, phân số này trở thành 5.

7 b) Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu số của phân số 13

31 với cùng một số tự nhiên ta được một phân số mới bằng 1999

2005 Tìm số tự nhiên nào đó?

Trong bài toán này, giáo viên thường hướng dẫn học sinh phân tích để nhận diện dạng toán "Tìm 2 số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỷ số của chúng", một dạng mà học sinh đã quen thuộc và biết cách giải.

Ta có sơ đồ sau:

Tử số của phân số cần tìm là: 180 : (7 + 5) × 5 = 75

Mẫu số của phân số cần tìm là: 180 – 75 = 105

Phân số cần tìm là: 75

Sau khi hoàn thành phần a), giáo viên hướng dẫn học sinh linh hoạt điều chỉnh và phối hợp các thao tác tư duy, bao gồm phân tích, so sánh và lật ngược vấn đề Điều này giúp học sinh phát hiện mối liên hệ giữa bài tập trước và tình huống hiện tại.

Từ yếu tố đã cho của bài toán, giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác, phân tích

Việc cộng thêm một số tự nhiên vào tỉ số và mẫu số của phân số sẽ không làm thay đổi hiệu số giữa chúng Cụ thể, hiệu giữa tỉ số và mẫu số là 31 – 13 = 18 sẽ vẫn giữ nguyên khi thực hiện phép cộng này.

Từ đó học sinh chuyển được về bài toán đã biết “Tìm 2 số khi biết hiệu và tỷ số của chúng” và vẽ sơ đồ sau:

Số tự nhiên cần tìm là: 5997 – 13 = 5984

Ví dụ 2.5: Hãy sắp xếp các số thập phân sau theo thứ tự từ bé đến lớn:

Trên cơ sở học sinh đã được học và nắm vứng các quy tắc so sánh hai số thập phân:

Quy tắc 1 Trong hai số thập phân:

- Số nào có phần nguyên lớn hơn sẽ lớn hơn;

- Nếu phần nguyên của chúng bằng nhau thì ta so sánh các hàng phần mười: số nào có chữ số phần mười lớn hơn sẽ lớn hơn;

Nếu phần nguyên và các hàng phần mười của hai số bằng nhau, ta sẽ so sánh hàng phần trăm Số nào có chữ số hàng phần trăm lớn hơn sẽ lớn hơn số còn lại.

Tiếp tục thực hiện quy trình này cho các hàng tiếp theo cho đến khi đạt được một số lớn hơn Nếu số chữ số ở phần thập phân của hai số không bằng nhau, cần thêm chữ số để đảm bảo tính chính xác.

Quy tắc 2 Muốn so sánh hai số thập phân ta làm như sau:

- Làm cho số chữ số ở phần thập phân của chúng bằng nhau (bằng cách viết thêm chữ số 0 vào hàng còn thiếu ở bên phải);

- Bỏ dấu phẩy, ta nhận được hai số tự nhiên;

- So sánh hai số tự nhiên vừa nhận được, số nào lớn hơn thì số thập phân ứng với nó sẽ lớn hơn

Giáo viên có thể rèn luyện cho học sinh tính thuần thục thông qua một số hoạt động dưới đây:

Hướng dẫn học sinh áp dụng quy tắc 1 để so sánh phần nguyên, nhằm phân chia các số thành hai nhóm: nhóm 1 gồm các số nhỏ hơn mọi số của nhóm 2.

Hướng dẫn học sinh vận dụng quy tắc 2 để thêm chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của số thứ hai trong nhóm 1 rồi so sánh ta được: 39,20 < 39,235

Tương tự như vậy thêm chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của số thứ ba trong nhóm 2 rồi so sánh với số thứ hai ta được: 123,090 < 123,093

Từ các kết quả trên ta có: 39,2 < 39,235 < 123,09 < 123,093 < 123,103

Khi một học sinh cộng một số tự nhiên ba chữ số với một số thập phân có một chữ số, do sơ suất đã bỏ quên dấu phẩy, kết quả tính toán sai là 1228 Tuy nhiên, phép tính đúng lại cho kết quả là 847,3 Từ đó, chúng ta cần tìm hai số đó để xác định nguyên nhân của sự nhầm lẫn.

Trong bài toán này, giáo viên thường hướng dẫn học sinh chuyển đổi bài toán thành dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng” thông qua việc phân tích và khai thác giả thiết “khi bỏ quên dấu phẩy.” Học sinh cần viết bài toán dưới dạng phép tính để nhận diện rằng “số thập phân đó đã tăng gấp 10 lần.” Theo giả thiết, kết quả của phép tính tăng được tính là: 1228 - 847,3 = 380,7 Từ đó, học sinh có thể đi đến lời giải phù hợp.

Số thập phân cần tìm là: 380,7 : (10 - 1) = 42,3

Số tự nhiên cần tìm là: 847,3 - 42,3 = 805

Hai số cần tìm là 805 và 42,3

Giáo viên có thể phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh bằng cách đưa ra các gợi ý và hướng dẫn phù hợp Những phương pháp này không chỉ giúp học sinh rèn luyện tính độc đáo trong suy nghĩ mà còn khuyến khích khả năng sáng tạo của các em.

- Phát hiện ngay chữ số phần thập phân là 3 để tách riêng phần nguyên và chỉ việc đi tìm các chữ số đó

- Định dạng số thập phân là **,3 trên cơ sở đã thử và chọn để loại trừ trường hợp số thập phân có dạng 1**,3

- Chuyển phép tính hàng ngang sang cột dọc đưa về bài toán đã biết điền số vào dấu * để được phép tính đúng

và số thập phân có dạng **,3.

Theo đề bài ta có:

Xét phép cộng hàng đơn vị trong phép tính (b), ta xác định chữ số hàng đơn vị của số tự nhiên là 5 Khi thay vào phép tính (a) và xét phép cộng chữ số hàng đơn vị, ta tìm ra chữ số hàng đơn vị của số thập phân là 2 Tiếp tục thay vào phép tính (b), chúng ta tính được chữ số hàng chục của số tự nhiên là 2 Cuối cùng, thay vào phép tính (a), ta xác định chữ số hàng chục của số thập phân là 4 Do đó, số thập phân cần tìm là 42,3 và số tự nhiên cần tìm là 805.

2.2.4.1 Yêu cầu về lý thuyết và dạng bài tập a) Về lý thuyết học viên cần nắm được:

- Các khái niệm về phân số và số thập phân:

+ Cấu tạo của phân số và số thập phân;

+ Cách đọc, cách viết phân số và số thập phân;

+ Hàng của số thập phân;

+ Các phân số và số thập phân đặc biệt,

- Các quy tắc so sánh phân số và số thập phân;

- Các quy tắc thực hành các phép tính về phân số và số thập phân;

- Các tính chất của các phép tính vể phân số và số thập phân (tính giao hoán, kết hợp, phân phối, tính chất của số 0 và số 1, )

- Các quy tắc tính nhẩm:

- Phương pháp giải toán về điền chữ số thay cho các chữ trong phép tính về số thập phân;

Tỉ số phần trăm là một khái niệm quan trọng trong toán học, giúp so sánh hai số bằng cách biểu thị một số dưới dạng phần trăm của số khác Để tìm tỉ số phần trăm giữa hai số, người học cần nắm vững quy tắc tính toán cơ bản Bài tập về tỉ số phần trăm thường bao gồm bốn dạng bài tập chính liên quan đến phân số và sáu dạng bài tập về số thập phân mà học viên cần giải thành thạo Việc luyện tập các dạng bài này sẽ giúp củng cố kiến thức và kỹ năng tính toán của học viên.

Các bài toán về cấu tạo phân số;

Các bài toán vể so sánh phân số;

Các bài toán về thực hành bốn phép tính với phân số;

Trắc nghiệm khách quan về phân số

Cắc bài toán về cấu tạo số thập phân;

Các bài toán về so sánh số thập phân;

Các bài toán về thực hành bốn phép tính với số thập phân; Điền chữ số thay cho các chữ trong phép tính về số thập phân;

Giải toán về tỉ số phẩn trăm;

Trắc nghiệm khách quan về số thập phân

Trong đó, với mỗi dạng toán cần nắm được:

+ Những kiến thức cần củng cố và bổ sung để giải toán;

+ Cách nhận dạng bài toán;

+ Cách lựa chọn phương pháp giải;

+ Cách trình bày lời giải cho từng dạng tiêu biểu;

+ Cách phát triển bài toán từ một bài toán vừa giải;

Bài tập 1 Cho phân số 3

7 Cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số đó với cùng một số tự nhiên ta được một phân số bằng 7

9 Tìm số tự nhiên đó Đáp số: Số tự nhiên cần tìm là 11

Bài tập 2 Cho phân số 11

14 Tìm một phân số bằng phân số đã cho, biết rằng mẫu số của phân số đó lớn hơn tử số của nó 1995 đơn vị Đáp số: Phân số cần tìm là 7315

Bài tập 3 Khi bớt đi cả tử số và mẫu số của phân số 71

41 cùng một số tự nhiên ta nhận được một phân số bằng 5

2 Tìm số tự nhiên đó? Đáp số: Số tự nhiên cần tìm là 21

Bài tập 4 Khi cộng thêm vào tử số đồng thời bớt đi ở mẫu số của 59

91 với cùng một số tự nhiên ta nhận được một phân số bằng 3

2 Tìm số tự nhiên đó Đáp số: Số tự nhiên cần tìm là 31

Bài tập 5 yêu cầu tìm một phân số lớn hơn 1, có tích của tử số và mẫu số bằng 180 Khi chia cả tử và mẫu số của phân số này cho 3, ta thu được một phân số tối giản Phân số cần tìm là 60.

12 Bài tập 6 Rút gọn phân số sau: a) 199 9

999 95 (100 chữ số 9 ở tử số và 100 chữ số 9 ở mẫu số); b) 373737

414141 41 Bài tập 7 Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh các phân số sau: a) 16

6  8 Bài tập 8 Hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số: a) 2

1997 119821198111980 11979 1197811977 11976 1996 Bài tập 9 Biểu diễn mỗi phân số dưới đây thành tổng của hai phân số tối giản có cùng mẫu số: a) 4

21 2121 2121 Bài tập 10 Biểu diễn mỗi phân số dưới đây thành tổng của các phân số có mẫu số khác nhau và tử số đều bằng 1: a) 13

Phát triển một số yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải toán về dãy số

Ví dụ 2.7: Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng 2002

Học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhận diện quy luật của dãy số khi chỉ biết hai số hạng không liền nhau Mặc dù đề bài đã cho tổng của ba số hạng liên tiếp bằng 2002, nhưng hai số hạng đã cho không nằm trong ba số hạng đó, gây khó khăn trong việc giải quyết Để vượt qua thử thách này, giáo viên cần gợi ý và hướng dẫn học sinh suy nghĩ linh hoạt, từ đó tìm ra cách giải cho bài toán.

Hướng dẫn học sinh đánh số thứ tự các ô:

Hướng dẫn học sinh khai thác giả thiết, lập các tổng của 3 ô liên tiếp

Học sinh có thể xác định các tổng chứa số hạng 783 hoặc 998 bằng cách phân tích các phương trình Ô1 + Ô2 + Ô3 = Ô2 + Ô3 + Ô4 = Ô3 + Ô4 + Ô5 = = Ô8 + Ô9 + Ô10 = 2002 Việc lựa chọn những tổng này giúp học sinh linh hoạt hơn trong việc tìm ra các ô chưa biết, từ đó tối ưu hóa quá trình giải bài toán.

Học sinh: Theo đề bài ta có: Ô4 + Ô5 + 783 = 2002; Ô5 + 783 + Ô7 = 2002; 783 + Ô7 + Ô8 = 2002; Ô8 + Ô9 + 998 = 2002

Hướng dẫn học sinh quan sát và tìm ra 2 tổng chứa 2 số hạng giống nhau để so sánh và tìm được số hạng còn lại? (tính mềm dẻo)

Học sinh: Ta thấy 783 + Ô7 + Ô8 = Ô7 + Ô8 + Ô9 và có chứa 2 ô chung là Ô7 và Ô8 Từ đó các em suy ra Ô9 = 783

Yêu cầu học sinh tính các ô còn lại?

Học sinh: Vì Ô8 + Ô9 + 998 = 2002 nên thay thế Ô9 = 783 thì có thể tìm được: Ô8 = Ô5 = Ô2 = 2002 - (783 + 998) = 2002

Như vậy: Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998 và Ô3 = Ô6 = 783 Điền các số vào ta được dãy số:

Dãy số 2, 4, 6, 8, 10,…, 1992 là một dãy số chẵn bắt đầu từ 2 Để xác định số lượng số hạng trong dãy số này, ta có thể sử dụng công thức tính số hạng của dãy số Số hạng cuối cùng của dãy là 1992, và số hạng đầu tiên là 2, với công sai là 2 Số hạng thứ 2002 của dãy số này có thể được tìm thấy bằng cách tiếp tục kéo dài dãy số, và nó sẽ là 4002.

Phân tích: Để rèn luyện tính thuần thục cho học sinh, sau khi hướng dẫn học sinh giải ý a) theo công thức đã biết:

Số các số hạng = (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1

Học sinh có thể dễ dàng xác định số các số hạng của dãy số bằng công thức: (1999 – 2) : 2 + 1 = 996 Giáo viên yêu cầu học sinh thực hành với bài tập tương tự để nắm vững công thức Ví dụ, với dãy số 2, 4, 6, 8, 10,…, 2002, học sinh cần tìm số hạng của dãy này Dựa trên kiến thức đã học về bài toán “thuận”, học sinh sẽ áp dụng công thức: Số các số hạng = (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1 Giáo viên có thể sử dụng công thức này để đưa ra các câu hỏi giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán.

Câu hỏi 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992 Hỏi số 1876 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

Giáo viên hướng dẫn học sinh xác định số 1876 là số hạng cuối của dãy, từ đó tìm ra tổng số hạng trong dãy số và xác định thứ tự của số 1876.

Câu hỏi 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10, Tìm số hạng thứ 2002 của dãy?

Với câu hỏi này, để rèn luyện tính thuần thục cho học sinh, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích, tóm tắt bài toán như sau:

Coi dãy số đó có số các số hạng là 2002;

Với số hạng đầu là 2 và khoảng cách giữa các số hạng trong dãy là 2

Tìm số hạng thứ 2002 (số hạng cuối)

Ta có: Số các số hạng = (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1

Suy ra: 2002 = (Số hạng cuối - 2) : 2 + 1 Từ đây, học sinh tìm được số hạng cuối (số hạng thứ 2002) là 4004

Câu hỏi 3: Từ kết quả trên, có thể khái quát hóa tìm quy tắc tính số hạng thứ n bằng bao nhiêu?

Trên cơ sở nhận xét ở câu trả lời 2, học sinh tìm ra quy tắc:

Số hạng thứ n được tính bằng công thức: Số hạng đầu cộng với (n – 1) nhân với khoảng cách Trong bài toán này, học sinh đã thể hiện sự thuần thục khi nhanh chóng phát hiện và lựa chọn hướng giải quyết phù hợp trong các tình huống tương tự.

Ví dụ 2.9: Cho dãy số: 1, 2, 3, ……, 49 Tính tổng các chữ số trong dãy?

Học sinh thường nghĩ đến việc liệt kê tất cả các số trong dãy và cộng các chữ số lại với nhau.

Để rèn luyện tính độc đáo của tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạng toán 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + (1 + 0) + (1 + 1) + (1 + 2) + + (4 + 9), giáo viên có thể gợi ý và hướng dẫn học sinh thực hiện các bước giải toán sáng tạo Học sinh nên được khuyến khích suy nghĩ linh hoạt và tìm ra nhiều cách tiếp cận khác nhau để giải quyết bài toán, từ đó phát triển khả năng tư duy phản biện và sáng tạo.

Giáo viên đặt câu hỏi về phương pháp tính nhanh tổng các chữ số trong một dãy số lớn mà không cần liệt kê và tính từng bước.

Giáo viên gợi ý hướng dẫn học sinh viết lại dưới dạng:

Quan sát các phép tính theo hàng ngang và hàng dọc, hãy tìm sự giống nhau giữa các hàng ngang, hàng dọc?

Học sinh: Quan sát phép tính đã làm, ta thấy sự giống nhau ở tất cả các hàng ngang đều chứa tổng (1 + + 9),

Từ đó các em sắp xếp lại và tính được bằng cách:

Sau khi học sinh làm quen với việc giải bài toán trước đó, giáo viên nên hướng dẫn các em áp dụng lời giải đó để giải quyết bài toán mới dưới đây.

Bài toán: Cho dãy số: 1, 2, 3, ……, 195 Tính tổng các chữ số trong dãy?

Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh bổ sung thêm các số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy

Vì có 200 số và mỗi dòng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng)

Tổng các chữ số hàng đơn vị trong mỗi dòng là:

    2   Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị trong 20 dòng là: 45 x 20 = 900

Tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng đầu bằng tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng sau và bằng:

Vậy tổng các chữ số hàng chục là: 450 x 2 = 900

Ngoài ra dễ thấy tổng các chữ số hàng trăm là: 1 x 10 x 10 = 100

{Có 10 dòng có hàng trăm, mỗi dòng có 10 số 1}

Vậy tổng các chữ số của dãy số này là:

Từ đó suy ra tổng các chữ số của dãy ban đầu là:

Giáo viên kể về nhà toán học người Đức Carl Gauss, khi thầy giao bài toán tính tổng tất cả các số nguyên từ 1 đến 100 Ngay khi thầy vừa phân tích đề bài, Gauss đã nhanh chóng đáp: "Thưa thầy, em đã giải xong rồi!"

Thầy giáo không hề để ý đến Gauss, dạo quanh các bàn và nói chế nhạo:

- Carl, chắc em sai rồi đấy, không thể giải quá nhanh một bài toán khó như vậy đâu!

- Thầy tha lỗi cho em, em giải rất đúng ạ!

Em nhận thấy ở dãy số này có các tổng hai số của từng cặp số đứng cách đều phía đầu và phía cuối của dãy số đều bằng nhau: 100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 =… = 50 +

51 = 101 Có 50 tổng như vậy và đều bằng 101, nên kết quả sẽ là 101  50 = 5050

Thầy giáo rất ngạc nhiên khi Gauss giải bài toán một cách chính xác và độc đáo Từ đó, Gauss được công nhận là một thiên tài toán học.

Câu hỏi gợi ý: Liệu chúng ta có thể học được cách làm của Gauss đối với bài toán này hay không? Nếu ghép giữa 1 và 195, 2 và 194, thì sao?

Câu hỏi: Điểm khác nhau giữa 2 bài toán là gì?

Học sinh: Từ 1 đến 100, có thể ghép được 50 cặp số, nhưng từ 1 đến 195 thì không có cặp số chẵn nào Học sinh cũng nhấn mạnh rằng yêu cầu không phải là tính tổng của dãy số mà là tổng các chữ số của dãy số đó!

Để tạo ra các cặp thuận lợi cho yêu cầu tính tổng các chữ số, chúng ta có thể bổ sung một số hạng nhất định.

Giáo viên: Nếu chỉ bổ sung một số hạng 196 thì sao? Cặp cuối cùng là gì? Học sinh: Khi đó ta có thể lập được 98 cặp Cặp cuối cùng (98;99)

Giáo viên: So sánh tổng các chữ số của một số cặp tạo thành: cặp (1;196); cặp (98;99)?

Học sinh: Sau khi tính ta thấy các cặp có tổng các chữ số không giống nhau!

Giáo viên: Gợi ý, hướng dẫn học sinh

Học sinh bổ sung số 0 và các số từ 196 đến 199 vào dãy số, tạo thành một dãy gồm 200 số hạng Khi ghép các số này theo cặp, ta sẽ có những sự kết hợp độc đáo và thú vị.

199), (1; 198), (2; 197), …, (x, 199 – x) thì ta thu được 100 cặp

Vấn đề là nếu tính được tổng các chữ số ở từng cặp thì sẽ giải quyết được bài toán

Phát triển một số yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải toán về tương quan tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch

về tương quan tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch

Ví dụ 2.10: Một người dự kiến đi xe đạp từ nhà với tốc độ 14 km/giờ để đến huyện lúc

10 giờ Do trời trở gió nên mỗi giờ người ấy chỉ đi được 10 km và đến huyện lúc 10 giờ 36 phút Tính quãng đường từ nhà đến huyện?

Với bài toán này, giáo viên rèn luyện cho học sinh tính mềm dẻo thể hiện qua việc gợi ý, hướng dẫn các em tìm ra lời giải bằng cách:

Nhận diện và thể hiện mối quan hệ tỷ lệ nghịch giữa vận tốc và thời gian là một phần quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn liên quan đến chuyển động vật lý Khi vận tốc tăng, thời gian di chuyển sẽ giảm và ngược lại, điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về bản chất của chuyển động Việc áp dụng kiến thức này vào các tình huống thực tế không chỉ giúp giải quyết bài toán hiệu quả mà còn nâng cao khả năng tư duy logic trong vật lý.

- Kết hợp giữa suy luận, tính toán với sơ đồ hóa đưa về dạng bài toán “Tìm 2 số khi biết hiệu và tỷ số của chúng”

Chuyển đổi đơn vị thời gian là quá trình loại bỏ các yếu tố không cần thiết, nhằm biểu đạt các dữ kiện về chuyển động vật lý dưới dạng mối quan hệ toán học, như tỷ số và hiệu số.

Từ những gợi ý, hướng dẫn của giáo viên, các em có thể đưa ra lời giải bài toán dưới đây:

Thời gian người ấy đi lâu hơn dự kiến là: 10 giờ 36 phút – 10 giờ = 36 (phút)

Tỉ số giữa vận tốc thực đi và vận tốc định đi là: 10 : 14 = 5/7

Tỉ số giữa thời gian định đi và thời gian thực đi là: 5/7

Ta có sơ đồ sau:

Thời gian người ấy dự định đi là: 36 : (7 – 5) x 5 = 90 (phút)

(Đổi 90 phút = 1,5 giờ) Quãng đường từ nhà đến huyện là: 14 x 1,5 = 21 (km)

Trong bài toán này, một chiếc tàu thủy dài 15m đang chạy ngược dòng, trong khi một chiếc tàu dài 20m chạy xuôi dòng với vận tốc nhanh gấp rưỡi tàu ngược dòng Hai mũi tàu cách nhau 165m, và sau 4 phút, hai chiếc tàu sẽ vượt qua nhau Cần tính toán vận tốc của mỗi tàu để giải quyết bài toán này.

Quãng đường hai tàu đi được trong 1 phút là: (20 + 165 + 15) : 4 = 50 (m) Như vậy, tổng vận tốc của hai tàu thủy là 50 (m/phút)

Ta có sơ đồ sau:

Vận tốc tầu xuôi dòng:

Vận tốc tầu ngược dòng:

Vận tốc tàu ngược dòng là: 50 : (2 + 3) x 2 = 20 (m/phút)

Vận tốc tàu xuôi dòng là: 50 - 20 = 30 (m/phút)

Giáo viên giúp học sinh rèn luyện tính thuần thục qua việc hướng dẫn vận dụng kinh nghiệm giải bài toán chuyển động ngược chiều, sử dụng sơ đồ đoạn thẳng, và hiểu biết về tàu thủy cho các bài toán liên quan Học sinh cũng được dạy phương pháp giải bài toán "Tìm 2 số biết tổng và tỷ số của chúng" cùng với mối tương quan tỷ lệ thuận giữa vận tốc và quãng đường.

Một đội vận tải được giao nhiệm vụ vận chuyển một lô hàng Nếu sử dụng 12 xe, mỗi xe chở 5 tấn trong một chuyến, thời gian hoàn thành lô hàng là 24 giờ Vậy nếu huy động 18 xe, mỗi xe chở 8 tấn trong một chuyến, thời gian cần thiết để hoàn thành lô hàng sẽ là bao lâu?

Học sinh thường bắt đầu với các bài toán liên quan đến tỷ lệ thuận hoặc nghịch, trong đó có 3 đại lượng: một đại lượng không đổi và hai đại lượng biến thiên theo tỷ lệ Tuy nhiên, trong một số bài toán phức tạp hơn, có thể xuất hiện đến 4 đại lượng, làm tăng mức độ khó khăn trong việc nhận diện mối quan hệ tỷ lệ.

Một đại lượng không đổi: Khối lượng hàng phải chở

Ba đại lượng biến thiên:

- Số ô tô tham gia vận chuyển

- Số hàng mỗi xe chở được trong một chuyến

Để giải quyết vấn đề thời gian chở xong lô hàng, giáo viên khuyến khích học sinh phát triển tư duy sáng tạo bằng cách cố định một đại lượng, như loại xe hoặc số lượng xe, nhằm biến bài toán thành dạng quen thuộc mà các em đã biết cách giải.

Cách 1: Bằng cách cố định đại lượng là số xe, ta có thể chuyển việc giải bài toán ban đầu sang giải hai bài toán sau đây:

12 xe, mỗi xe chở một chuyến được 5 tấn: chở xong trong 24 giờ

12 xe, mỗi xe chở một chuyến được 8 tấn: chở xong trong ? giờ

12 xe, mỗi xe chở một chuyến được 5 tấn: chở xong trong 24 giờ

18 xe, mỗi xe chở một chuyến được 8 tấn: chở xong trong ? giờ

Thời gian để 12 xe loại 8 tấn/chuyến chở xong lô hàng là:

24 × 5 : 8 = 15 (giờ) Thời gian để 18 xe loại 8 tấn/chuyến chở xong lô hàng là:

Cách 2: Bằng cách cố định đại lượng là loại xe, ta có thể chuyển việc giải bài toán ban đầu sang giải hai bài toán sau đây:

12 xe, mỗi xe chở một chuyến được 5 tấn: chở xong trong 24 giờ

18 xe, mỗi xe chở một chuyến được 5 tấn: chở xong trong ? giờ

18 xe, mỗi xe chở một chuyến được 5 tấn: chở xong trong B giờ

18 xe, mỗi xe chở một chuyến được 8 tấn: chở xong trong ? giờ

Thời gian để 18 xe loại 5 tấn/chuyến chở xong lô hàng là:

24 × 12 : 18 = 16 (giờ) Thời gian để 18 xe loại 8 tấn/chuyến chở xong lô hàng là:

2.4.4.1 Yêu cầu về lý thuyết và dạng bài tập a) Về lý thuyết học viên cần nắm được:

Trong bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch, thường có ba đại lượng, trong đó một đại lượng không đổi và hai đại lượng còn lại biến thiên theo tỉ lệ Khi giải bài tập, học viên cần nắm vững các dạng bài tập cơ bản, trong đó thường được cung cấp hai giá trị của một đại lượng và một giá trị của đại lượng còn lại, từ đó yêu cầu tìm giá trị chưa biết Việc hiểu rõ mối quan hệ giữa các đại lượng là rất quan trọng để giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả.

Các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận;

Các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch;

Các bài toán về tỉ lệ kép;

Trong đó, với mỗi dạng toán cần nắm được:

+ Những kiến thức cần củng cố và bổ sung để giải toán;

+ Cách nhận dạng bài toán;

+ Cách lựa chọn phương pháp giải;

+ Cách trình bày lời giải cho từng dạng tiêu biểu;

+ Cách phát triển bài toán từ một bài toán vừa giải

Trong bài tập 1, một đơn vị vận tải sử dụng 8 xe để chở 480 tấn hàng và sau khi hoàn thành 160 tấn, họ cần chở thêm 640 tấn Để hoàn thành trong thời gian quy định, đơn vị cần huy động thêm 16 xe Bài tập 2 nêu rõ một đội công nhân gồm 8 người có nhiệm vụ đắp một đoạn mương trong 20 ngày Sau 5 ngày làm việc, đội được bổ sung thêm 16 người và hoàn thành công việc trong 10 ngày Cuối cùng, bài tập 3 cho biết Công ty Than Quảng Ninh thuê 24 xe vận chuyển than trên 100km với cước phí 64.000.000 đồng Với cùng mức cước, nếu một đơn vị thuê 36 xe để vận chuyển trên 180km, họ sẽ phải trả 172.800.000 đồng.

Trong bài tập 4, một phân xưởng cần hoàn thành kế hoạch sản xuất một lô hàng Ban quản đốc tính rằng với 12 công nhân, mỗi người sản xuất 50 sản phẩm/ngày, kế hoạch sẽ hoàn thành sau 16 ngày Nếu tăng số công nhân lên 15 và mỗi người sản xuất 80 sản phẩm/ngày, phân xưởng sẽ hoàn thành kế hoạch trong 8 ngày Bài tập 5 đề cập đến một đơn vị bộ đội gồm 20 người được giao nhiệm vụ đắp một con đường dài 800m.

Trước khi khởi công, đơn vị được bổ sung thêm 30 người và được giao nhiệm vụ đắp thêm 400m đường Với năng suất làm việc của mọi người trong một ngày như nhau, đơn vị sẽ hoàn thành kế hoạch trong 6 ngày.

Phát triển một số yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải toán về tính toán một số đại lượng hình học

về tính toán một số đại lượng hình học

Để tính thể tích hình hộp chữ nhật, bạn sử dụng công thức: V = chiều dài × chiều rộng × chiều cao Với chiều dài 5cm, chiều rộng 3cm và chiều cao 4cm, thể tích sẽ được tính như sau: V = 5cm × 3cm × 4cm = 60cm³.

Bài toán này cho phép giáo viên sử dụng hình vẽ để hướng dẫn học sinh thực hiện các thao tác tư duy và rèn luyện tính mềm dẻo Qua hai phương pháp giải quyết khác nhau, học sinh sẽ phát triển khả năng tư duy linh hoạt và sáng tạo.

Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng các thao tác tư duy phân tích và so sánh kích thước của khối hộp chữ nhật với khối lập phương có thể tích 1cm³ Qua đó, học sinh sẽ nhận biết được số lượng khối lập phương 1cm³ cần thiết để xếp thành hình hộp chữ nhật với kích thước đã cho, sử dụng quy tắc đếm.

Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng các thao tác tư duy phân tích và so sánh để nhận biết rằng hộp chữ nhật có kích thước chiều dài 5cm, chiều rộng 3cm và chiều cao 4cm có thể chia thành 4 khối hộp chữ nhật có kích thước tương tự Từ đó, học sinh có thể tính được thể tích của hình hộp chữ nhật bằng công thức (5 x 3) x 4 hoặc 5 x (3 x 4), kết quả là 60 cm³.

Sau khi học sinh hiểu cách giải bài toán, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh áp dụng các thao tác tư duy để phát triển tính linh hoạt Điều này có thể thực hiện thông qua một số hoạt động cụ thể nhằm rèn luyện kỹ năng tư duy cho học sinh.

Để tính thể tích hình hộp chữ nhật, ta áp dụng các thao tác phân tích, so sánh, tương tự và khái quát hóa Quy tắc tính thể tích được hình thành từ ba kích thước a, b, c, tất cả đều có cùng đơn vị đo Công thức tính thể tích là V = a × b × c, trong đó V là thể tích của hình hộp chữ nhật.

Khái quát: Muốn tính diện tích hình hộp chữ nhật ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng rồi nhân với chiều cao (cùng đơn vị đo)

V = a x b x c (Với a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật)

Để hỗ trợ học sinh trong việc thực hiện thao tác đặc biệt hóa, giáo viên có thể hướng dẫn các em trả lời những câu hỏi quan trọng như: Hình lập phương có phải là hình hộp chữ nhật không? Nếu hình lập phương cũng được xem là hình hộp chữ nhật, vậy liệu chúng ta có thể tính được thể tích của hình lập phương? Và phương pháp tính thể tích này là gì?

Trong tam giác ABM, khi kéo dài BM một đoạn MC bằng MB, chúng ta cần so sánh diện tích của các tam giác AMB và AMC với diện tích của tam giác ABC Diện tích tam giác AMB sẽ bằng một nửa diện tích tam giác ABC, trong khi đó, diện tích tam giác AMC sẽ bằng diện tích tam giác ABM cộng thêm diện tích tam giác AMB Do đó, việc kéo dài BM sẽ ảnh hưởng đến mối quan hệ giữa các diện tích của các tam giác này.

Trong bài toán này, học sinh cần áp dụng kiến thức về đường cao và diện tích tam giác Giáo viên có thể chỉ ra rằng hai tam giác AMB và AMC có chung đường cao AH và hai đáy MB = MC bằng nhau Từ đó, học sinh sẽ nhận ra rằng diện tích tam giác AMB bằng diện tích tam giác AMC, và cả hai đều bằng một nửa diện tích tam giác ABC.

Khi học sinh đã thành thạo cách giải bài toán, giáo viên có thể nâng cao kỹ năng cho học sinh bằng cách yêu cầu giải quyết bài toán sau đây.

Bài toán: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 200cm 2 Kéo dài AB một đoạn

BM bằng AB; BC một đoạn CN bằng BC và CA một đoạn AP bằng AC Nối các điểm

M, N, P Tìm diện tích tam giác MNP?

Sau khi học sinh vẽ hình và quan sát, so sánh với bài toán 1, các em phát hiện được:

Có nhiều cặp tam giác thỏa mãn tính chất đã dùng ở bài toán 1, chẳng hạn:

Trong tam giác PBC, với điều kiện AC = AP, ta có thể áp dụng tính chất đã biết để xác định rằng diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tam giác ABP, cả hai đều là 200 cm² Nhờ vào việc nắm vững các tính chất này, học sinh có thể áp dụng cho nhiều cặp tam giác tương tự, từ đó giải quyết bài toán một cách hiệu quả.

Ta có: diện tích BAP = diện tích BAC = 200 cm 2

(Vì cùng đường cao hạ từ B và AC = AM) diện tích PAB = diện tích PBM = 200 cm 2

(Vì cùng đường cao hạ từ P và BA = BM) Suy ra: diện tích PAM = 2 x diện tích ABC

Tương tự, ta cũng có: diện tích MBN = 2 x diện tích ABC diện tích NCP = 2 x diện tích ABC Vậy, diện tích MNP = 7 x diện tích ABC = 1400 (cm 2 )

Ví dụ 2.15: Cho tam giác ABC Trên cạnh đáy BC ta lấy 6 điểm Nối đỉnh A với 6 điểm vừa chọn Hỏi đếm được bao nhiêu tam giác trên hình vẽ?

Bài toán đếm hình là một thách thức đòi hỏi sự kết hợp giữa trí tưởng tượng không gian và tư duy độc đáo để tránh bỏ sót hoặc trùng lặp Giáo viên có thể phát triển tư duy sáng tạo của học sinh bằng cách phân tích các trường hợp đặc biệt và áp dụng phương pháp quy nạp để rút ra quy luật chung Một cách tiếp cận hiệu quả là hướng dẫn học sinh đếm số hình tam giác dựa trên các cạnh tạo ra tam giác thông qua việc vẽ hình và quan sát cẩn thận.

Cách 1: Giáo viên gợi ý hướng dẫn học sinh xét từng trường hợp riêng của bài toán (số điểm trên cạnh BC là 1 điểm, 2 điểm, )

+ Khi trên cạnh đáy BC có 1 điểm D Đếm số tam giác trên hình vẽ?

Quan sát hình vẽ, học sinh nhận thấy: có 2 tam giác đơn là ADB, ADC và 1 tam giác đôi ABC được ghép từ 2 tam giác đơn

Vậy số tam giác trên hình vẽ là: 2 + 1 = 3 (tam giác)

+ Khi trên cạnh đáy BC có 2 điểm D và E Đếm số tam giác trên hình vẽ?

Học sinh quan sát hình vẽ và nhận ra có tổng cộng 3 tam giác đơn là ADB, ADE, AEC; 2 tam giác đôi ABE và ADC được tạo thành từ các tam giác đơn (ADB, ADE) và (AED, AEC); cùng với 1 tam giác ABC được hình thành từ sự kết hợp của 3 tam giác đơn.

Vậy số tam giác trên hình vẽ là: 3 + 2 + 1 = 6 (tam giác)

+ Khi trên cạnh đáy BC có 3 điểm D, E và P Đếm số tam giác trên hình vẽ?

Học sinh quan sát hình vẽ và nhận thấy có bốn tam giác đơn: ADB, ADE, AEP, APC Ngoài ra, có ba tam giác đôi được tạo thành từ các tam giác đơn: ABE (ghép từ ADB và ADE), ADP (ghép từ ADE và AEP), và AEC (ghép từ AEP và APC) Bên cạnh đó, còn có hai tam giác ghép từ ba tam giác đơn, và một tam giác lớn ABC được cấu thành từ bốn tam giác đơn.

Vậy số tam giác trên hình vẽ là: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (tam giác)

Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng các thao tác tư duy như phân tích, so sánh, tương tự và tổng hợp để dự đoán quy luật số tam giác trên cạnh BC Cụ thể, số tam giác được tính bằng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến (số điểm cộng 1) Ví dụ, với 6 điểm trên cạnh đáy BC, số tam giác có thể đếm được là 28, được tính bằng công thức 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Phát triển một số yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải toán về vẽ, cắt ghép, gấp và xếp hình hình học

về vẽ, cắt ghép, gấp và xếp hình hình học

Để giải bài toán cắt một mảnh bìa hình chữ nhật thành bốn mảnh bìa hình chữ nhật có diện tích bằng nhau, có thể thực hiện theo nhiều cách khác nhau Một phương pháp đơn giản là chia mảnh bìa thành bốn phần bằng nhau bằng cách cắt theo chiều dài và chiều rộng Ngoài ra, có thể cắt theo các tỷ lệ khác nhau, miễn là đảm bảo mỗi mảnh bìa sau khi cắt đều có diện tích giống nhau Việc áp dụng các cách cắt khác nhau không chỉ giúp tìm ra nhiều giải pháp mà còn tăng cường khả năng tư duy sáng tạo trong hình học.

Bài toán này không quá khó khăn, học sinh có thể tìm ra nhiều cách cắt hình dựa trên việc chia độ dài các cạnh hình chữ nhật thành những phần bằng nhau Giáo viên có thể rèn luyện tính linh hoạt của học sinh trong việc vẽ và cắt ghép hình, bởi bài toán không yêu cầu sự bằng nhau của các hình Học sinh có thể suy nghĩ sáng tạo, không nhất thiết phải chia ngay thành 4 hình chữ nhật mà có thể thực hiện việc phân chia dần dần để đưa ra nhiều phương án khác nhau.

Bài viết mô tả quá trình phân chia hình chữ nhật ban đầu thành hai hình chữ nhật, trong đó một hình có diện tích gấp ba lần diện tích của hình nhỏ Tiếp theo, hình chữ nhật lớn được chia thành ba hình chữ nhật nhỏ có diện tích bằng nhau.

Quá trình bắt đầu bằng việc chia hình chữ nhật thành 3 phần, trong đó có một hình lớn với diện tích gấp đôi hai hình nhỏ còn lại có diện tích bằng nhau Sau đó, hình chữ nhật lớn này sẽ tiếp tục được chia đôi để tạo ra các phần mới.

Dưới sự gợi ý, hướng dẫn của giáo viên, học sinh có thể đưa ra được một số kết quả dưới đây:

Ví dụ 2.17: Xây dựng công thức tính diện tích hình tam giác Biết công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình bình hành

Sau khi học sinh nắm vững công thức tính diện tích hình chữ nhật và hình bình hành, giáo viên yêu cầu các em xây dựng công thức tính diện tích hình tam giác.

Học sinh tiểu học cần nắm vững kiến thức và kỹ năng để rút ra công thức tính diện tích tam giác mà không cần chứng minh Việc này đòi hỏi sự nhuần nhuyễn và khả năng vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy, giúp các em nhìn nhận vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau.

Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng các thao tác tư duy như phân tích, so sánh và tổng hợp trong các hoạt động vẽ, cắt và xếp hình, giúp các em tiếp cận và giải quyết bài toán mới một cách hiệu quả.

“Tính diện tích hình tam giác” về bài toán quen thuộc tính diện tích các hình đã biết, cụ thể như sau:

+ Trước hết, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại các kiến thức:

- Nếu hình P được tách thành hai hình M và N thì: diện tích (P) = diện tích (M) + diện tích (N)

- Công thức diện tích hình chữ nhật, diện tích hình bình hành

Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng các hoạt động hình học như cắt, ghép và xếp hình để chuyển đổi hình tam giác thành hình chữ nhật và hình bình hành Những hoạt động này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức về hình học mà còn phát triển tư duy sáng tạo và khả năng quan sát Thông qua việc thực hành, học sinh sẽ hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các hình học và cách chúng có thể biến đổi lẫn nhau.

Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng hai hình tam giác bằng nhau để thực hiện thao tác phân tích và tổng hợp Học sinh sẽ cắt một trong hai hình tam giác theo chiều cao, sau đó ghép lại cả ba mảnh để tạo thành một hình chữ nhật.

Quan sát và so sánh để rút ra nhận xét:

- Tổng diện tích của 2 tam giác vừa bằng diện tích của hình chữ nhật tạo ra

- Hình chữ nhật này có chiều dài bằng độ dài cạnh đáy, chiều rộng bằng chiều cao hình tam giác

Học sinh đã nắm vững cách tính diện tích hình chữ nhật, từ đó giáo viên hướng dẫn các em áp dụng phương pháp so sánh để tìm ra công thức tính diện tích hình tam giác.

Diện tích hình chữ nhật là: S= a×b

Diện tích hình tam giác bằng một nửa diện tích hình chữ nhật

Vậy diện tích hình tam giác là: a×h

S= 2 (với a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao của tam giác)

Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng hai hình tam giác bằng nhau để tạo thành một hình bình hành thông qua thao tác phân tích và tổng hợp Bằng cách áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành, học sinh sẽ so sánh và từ đó rút ra được công thức tính diện tích hình tam giác.

Diện tích hình bình hành là: S = a x h

Diện tích hình tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành Vậy diện tích hình tam giác là:

S  a h (với a là đáy, h là chiều cao của tam giác)

Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng thao tác phân tích và tổng hợp để cắt tấm bìa hình tam giác thành ba mảnh và ghép lại thành hình chữ nhật Qua thao tác so sánh, học sinh nhận xét rằng hình chữ nhật tạo ra có chiều dài bằng cạnh đáy của hình tam giác và chiều rộng bằng một nửa chiều cao của tam giác ban đầu.

Diện tích hình chữ nhật là:

Vậy diện tích tam giác bằng diện tích hình chữ nhật Tức là:

S  a h (với a là đáy, h là chiều cao của tam giác)

Cách 4 tương tự như cách 3 (xem hình vẽ), tạo ra một hình chữ nhật với chiều dài bằng chiều cao của hình tam giác và chiều rộng bằng một nửa độ dài cạnh đáy của tam giác ban đầu.

Diện tích hình chữ nhật là:

Vậy diện tích tam giác bằng diện tích hình chữ nhật Tức là:

S a h (với a là đáy, h là chiều cao của tam giác)

Trong quá trình xây dựng công thức tính diện tích tam giác, học sinh đã rèn luyện kỹ năng vẽ và cắt ghép hình, giúp họ áp dụng các phương pháp tính diện tích Sự thuần thục của học sinh còn thể hiện qua việc hình thành quy tắc tính diện tích tam giác từ nhiều cách khác nhau, không chỉ theo cách máy móc trong sách giáo khoa Điều này góp phần hình thành thói quen và khả năng suy luận toán học, tạo nền tảng cho việc chứng minh trong tương lai.

Ví dụ 2.18: Cho một mảnh bìa hình tam giác Hãy cắt mảnh bìa đó thành bốn mảnh bìa có diện tích bằng nhau

Theo kinh nghiệm, "những tam giác có cùng chiều cao và độ dài cạnh đáy thì có diện tích bằng nhau" Học sinh thường chia một cạnh của tam giác ABC thành 4 phần bằng nhau và vẽ các tam giác tương ứng Điều này cho thấy 4 tam giác này đều có cùng chiều cao và độ dài cạnh đáy, từ đó thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Phát triển một số yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải toán về

Gia đình Lan gồm 5 thành viên: ông nội, bố, mẹ, Lan và em Hoàng Vào sáng chủ nhật, cả nhà muốn đi xem xiếc nhưng chỉ mua được hai vé Mỗi người trong gia đình đều có ý kiến riêng về việc ai sẽ đi xem.

1 Hoàng và Lan đi xem;

Cuối cùng, mọi người đã đồng ý với đề nghị của Lan, vì nó đáp ứng một phần cho mỗi đề nghị của 4 người còn lại, đồng thời cũng bác bỏ một phần.

Bạn hãy cho biết những ai đi xem xiếc hôm đó

Giáo viên có thể rèn luyện tính mềm dẻo cho học sinh bằng cách gợi ý và hướng dẫn phân tích, tìm tòi nhiều phương pháp giải bài toán khác nhau.

Hướng thứ nhất: Hướng dẫn học sinh xem xét lần lượt từng phương án, kiểm tra yêu cầu “đúng một nửa” 4 phương án còn lại Cụ thể như sau:

- Nếu chọn đề nghị thứ nhất thì mâu thuẫn hoàn toàn với đề nghị thứ hai, nên không thể chọn đề nghị thứ nhất

- Nếu chọn đề nghị thứ hai thì mâu thuẫn hoàn toàn với đề nghị thứ nhất, nên cũng không thể chọn đề nghị thứ hai

- Nếu chọn đề nghị thứ ba thì mâu thuẫn hoàn toàn với đề nghị thứ bốn, nên cũng không thể chọn đề nghị thứ ba

- Nếu chọn đề nghị thứ tư thì mâu thuẫn hoàn toàn với đề nghị thứ ba, nên cũng không thể chọn đề nghị thứ tư

- Khi chọn đề nghị thứ năm thì rõ ràng là mỗi đề nghị còn lại đều thỏa mãn một phần và bác bỏ một phần

Vậy sáng hôm đó Hoàng và bố đi xem xiếc

Giáo viên có thể rèn luyện tính mềm dẻo và linh hoạt cho học sinh bằng cách hướng dẫn các em tìm tòi và trình bày lời giải theo nhiều cách khác nhau.

Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận xét rằng nếu có hai phương án mâu thuẫn hoàn toàn với nhau, thì cả hai sẽ bị loại Điều này giúp học sinh lập luận một cách logic và hiệu quả hơn trong quá trình phân tích các phương án.

Khi lựa chọn đề nghị thứ nhất, đề nghị thứ hai sẽ bị bác bỏ hoàn toàn và ngược lại Do đó, không thể cùng lúc chọn cả hai đề nghị.

- Nếu chọn đề nghị thứ ba thì đề nghị thứ tư bị bác bỏ hoàn toàn và ngược lại

Vì vậy không thể chọn đề nghị thứ ba và thứ tư

- Nếu chọn đề nghị thứ năm thì mỗi đề nghị còn lại đều thỏa mãn một phần và bác bỏ một phần

Vậy sáng hôm đó Hoàng và bố đi xem xiếc

Giáo viên hướng dẫn học sinh quan sát năm phương án và tìm kiếm phương án đáp ứng điều kiện có ít nhất một người trong mỗi phương án còn lại Sau khi xem xét, học sinh nhận ra chỉ có phương án 5 thỏa mãn điều kiện, vì Bố hoặc Hoàng xuất hiện trong bốn phương án kia, trong khi các phương án còn lại đều không đáp ứng yêu cầu.

Trong một buổi gặp mặt của năm cặp vợ chồng, mọi người bắt tay nhau nhưng không ai bắt tay với người trong gia đình mình hoặc với người mà chồng hoặc vợ mình đã bắt tay Mỗi người chỉ được bắt tay một lần với mỗi người khác Sau khi kết thúc việc bắt tay, một người chồng tên Kiên đã hỏi tất cả mọi người, bao gồm cả vợ mình, về số lần họ đã bắt tay.

Họ nhận thấy rằng 9 người được hỏi đều trả lời các con số khác nhau Hỏi vợ của Kiên đã bắt tay bao nhiêu lần?

Trong bài toán này, giáo viên có thể giúp học sinh rèn luyện tính thuần thục bằng cách huy động và vận dụng nhiều kiến thức, kỹ năng Học sinh sẽ học cách chuyển đổi ngôn ngữ thành dữ kiện toán học dưới dạng cặp số, lập luận để tìm ra 9 tình huống câu trả lời khác nhau cho các số từ 0 đến 8, và khéo léo sắp xếp các cặp số “vợ, chồng” cũng như loại trừ các trường hợp không phù hợp.

Theo quy định, mỗi khách chỉ được bắt tay tối đa 8 lần Do 9 người đưa ra các số khác nhau, các số này phải là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Người bắt tay 8 lần chắc chắn là vợ hoặc chồng của người không bắt tay lần nào, vì nếu không, số lần bắt tay tối đa chỉ là 7 lần.

Người bắt tay 7 lần thường có vợ hoặc chồng chỉ bắt tay 1 lần, trong khi người bắt tay 6 lần có vợ hoặc chồng bắt tay 2 lần Tương tự, người bắt tay 5 lần lại có vợ hoặc chồng bắt tay 3 lần.

Mỗi cặp vợ chồng cần có số lần bắt tay nằm trong các cặp (0;8), (1;7), (2;6), (3;5) và (4;4) Trong số 9 người tham gia khảo sát, có 4 cặp vợ chồng đã thực hiện đầy đủ các cặp bắt tay, chỉ còn lại một người không có vợ hoặc chồng, và người này đã bắt tay đúng 4 lần, đó là vợ của Kiên.

Ví dụ 2.21: Người ta đồn rằng ở một ngôi đền nọ rất thiêng do ba vị thần ngự trị: thần

Trong một ngôi đền, ba vị thần Thật thà, Dối trá và Khôn ngoan ngự trị, nhưng hình dạng của họ giống nhau khiến người ta khó phân biệt Một học giả đến thỉnh cầu và hỏi thần bên phải về người ngồi cạnh, nhận được câu trả lời là thần Dối trá Tiếp theo, ông hỏi thần ở giữa, và được biết đó là thần Khôn ngoan Cuối cùng, khi hỏi thần bên trái, ông biết đó là thần Thật thà.

Nghe xong học giả khẳng định được mỗi vị thần là gì Bạn hãy cho biết người đó đã suy luận như thế nào?

Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng phương pháp suy luận lôgic để phát triển tính độc đáo thông qua việc phân tích quá trình “Hỏi - Đáp” giữa học giả và ba vị thần.

Phát triển một số yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải toán về toán vui, toán cổ

về toán vui, toán cổ

“Trời vừa tang tảng lúc rạng đông

Rủ nhau đi hái mấy quả bòng Mỗi người năm quả thừa năm quả Mỗi người sáu quả một người không”

Hỏi có bao nhiêu người? Bao nhiêu quả bòng?

Trong bài toán này, giáo viên có thể phát triển tính linh hoạt cho học sinh bằng cách hướng dẫn các em sử dụng các thao tác tư duy và phương pháp suy luận một cách linh hoạt Điều này giúp học sinh loại bỏ những yếu tố không cần thiết và xác định mối quan hệ giữa các đối tượng được đưa ra.

Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích bài toán thông qua hai câu thơ cuối: “Mỗi người năm quả thừa năm quả; Mỗi người sáu quả một người không”, giúp học sinh nhận ra giả thiết của bài toán.

Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh phân tích giả thiết để nhận thấy có thể sử dụng dấu hiệu chia hết vào giải quyết bài toán

“Mỗi người 5 quả thừa 5 quả" Suy ra số quả bòng phải chia hết cho 5

“Mỗi người 6 quả 1 người không" Suy ra số quả bòng phải chia hết cho 6

Số quả bòng cần tìm phải chia hết cho cả 5 và 6, do đó các số thích hợp là 30, 60, 90, Qua phương pháp thử chọn, ta xác định được có 11 người và tổng số quả bòng là 60.

Ví dụ 2.23: Tìm một số, biết rằng nhân số đó với 4 rồi cộng với 5 sau đó bớt đi 25 và cuối cùng chia cho 8 thì được kết quả bằng 11

- Với bài toán này, thông thường giáo viên hướng dẫn học sinh theo các bước dưới đây:

Bước 1: Ta có thể xác định được số trước khi chia cho 8 được kết quả là 11

Bước 2: Dựa vào số tìm được ở bước 1, ta tìm được số trước khi bớt đi 25

Bước 3: Dựa vào số tìm đựợc ở bước 2, ta tìm được số trước khi cộng với 5

Bước 4: Dựa vào kết quả ở bước 3, ta xác định được số cần tìm

Từ phân tích trên, ta đi đến lời giải của bài toán như sau:

Số trước khi chia cho 8 là: 11 x 8 = 88

Số trước khi bớt đi 25 là: 88 + 25 = 113

Số trước khi cộng 5 là: 113 - 5 = 108

Để nâng cao kỹ năng cho học sinh thông qua phương pháp "Tính ngược từ cuối", giáo viên cần hướng dẫn học sinh rút ra những nhận xét quan trọng sau đây.

Phương pháp “Tính ngược từ cuối” có thể áp dụng cho những bài toán cho biết kết quả sau khi thực hiện một chuỗi phép tính liên tiếp Để giải quyết hiệu quả và rõ ràng, việc tóm tắt bài toán dưới dạng sơ đồ là rất cần thiết.

Sơ đồ tóm tắt bài toán:

- Để rèn tính thuần thục cho học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán:

Dì Út mang trứng ra chợ bán, lần đầu bán một nửa số trứng cộng thêm nửa quả Lần thứ hai, dì bán một nửa số trứng còn lại cộng thêm nửa quả Cuối cùng, lần thứ ba, dì bán một nửa số trứng còn lại cộng thêm nửa quả thì vừa hết trứng Câu hỏi đặt ra là dì Út đã mang bao nhiêu trứng ra chợ bán?

Sơ đồ tóm tắt bài toán:

Số trứng dì Út mang ra chợ bán là: (((0 + 1

Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn”

Hỏi có bao nhiêu con gà? Bao nhiêu con chó?

Giáo viên có thể khuyến khích học sinh phát triển tính độc đáo bằng cách hướng dẫn các em sáng tạo trong cách giải bài toán thông qua phương pháp giả thiết tạm.

Trong bài toán này, giáo viên gợi ý rằng khó khăn nằm ở việc cả hai đại lượng, số con và số chân, đều thay đổi trong khi vẫn phải đảm bảo tổng số đã cho.

Nếu giả sử tất cả đều là gà, thì với mỗi con gà có 2 chân, tổng số chân của 36 gà sẽ là 72 Tuy nhiên, so với yêu cầu ban đầu, chúng ta thiếu 28 chân, tính từ 100 - 72 = 28 Sự thiếu hụt này xảy ra vì chúng ta đã giả định rằng tất cả đều là gà.

Làm như thế nào để số con bằng 36 không thay đổi, mà số chân lại tăng thêm được 28 chân? Ta thấy rằng: mỗi chó nhiều hơn gà được 2 chân

Học sinh có thể nghĩ đến: Thay thế 2 con gà bởi một con chó (cùng có số chân

4) và gặp khó khăn, sai lầm bế tắc

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để số lượng con không thay đổi nhưng số chân lại tăng lên đủ để đạt tổng cộng 100 chân Điều này dẫn đến việc thay thế mỗi con gà bằng một con chó, và mỗi lần thay thế sẽ giúp đạt được mục tiêu này.

+ Số con không thay đổi (vẫn là 36)

+ Số chân tăng thêm 2 chân (mỗi lần thay)

Như vậy để tăng thêm được 28 chân thì cần phải thay thế bao nhiêu lần?

28 : 2 = 14 (lần thay thế) có nghĩa là có 14 con chó được thay thế cho 14 gà, còn lại 22 con gà

2.8.4.1 Yêu cầu về lý thuyết và dạng bài tập a) Về lý thuyết học viên cần nắm được hai phương pháp giải toán: phương pháp tính ngược từ cuối và phương pháp giả thiết tạm b) Về bài tập học viên cần giải thành thạo 4 dạng bài tập cơ bản dưới đây:

Các bài toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối;

Các bài toán giải bằng phương pháp giả thiết tạm;

Các bài toán về chuyển động;

Một số bài toán khác

Trong đó, với mỗi dạng toán cần nắm được:

+ Những kiến thức cần củng cố và bổ sung để giải toán;

+ Cách nhận dạng bài toán;

+ Cách lựa chọn phương pháp giải;

+ Cách trình bày lời giải cho từng dạng tiêu biểu;

+ Cách phát triển bài toán từ một bài toán vừa giải;

Bài tập 1 Một người qua đường hỏi ông lão chăn vịt: "Đàn vịt của bác có bao nhiêu con?" và được trà lời như sau:

- Một nửa số vịt của tôi, thêm một nứa con nữa đang lắm mát ở dưới sông

- Ba phần tư số vịt còn lại thêm 1

4 con nữa đang kiếm ăn ở dưới hồ

- Bốn phần năm số vịt còn lại, thêm 1

5 con nữa đang nằm nghỉ ớ trên bờ

Trong bài viết này, có một số bài toán thú vị Đầu tiên, có 5 con vịt què trong lồng, và tổng đàn vịt của bác là 211 con Tiếp theo, một con sên bò từ đáy hố sâu 10m lên miệng hố, với tốc độ ban đêm là 5m và ban ngày tụt 4m, mất tổng cộng 5 ngày 6 đêm để lên tới miệng hố Bài toán tiếp theo liên quan đến một con sói đuổi theo một con thỏ, với khoảng cách 17 bước sói và 80 bước thỏ từ hang, nhưng sói không thể bắt được thỏ Cuối cùng, bác Ba Phi kể về thời trẻ, khi gánh đủ gạch để xây ba cái nhà, và nếu gánh thêm một gánh nữa, bác sẽ có đủ để xây bốn cái nhà và còn thừa 16 viên Với mỗi nhà tre có ít nhất 12 cột, bác đã gánh tổng cộng 96 viên gạch.

Một lão nhà giàu keo kiệt đã thuê một người thợ đào một cái giếng sâu 18m với mức trả công ban đầu là 500 đồng, nhưng thấy đắt quá Một người thợ đã đề xuất cách tính lương theo cấp số nhân: 1 xu cho mét đầu tiên, 2 xu cho mét thứ hai, 4 xu cho mét thứ ba, 8 xu cho mét thứ tư, và cứ thế mỗi mét xuống sâu lão sẽ trả gấp đôi Lão nhà giàu đồng ý với cách tính này Cuối cùng, tổng số tiền mà lão nhà giàu phải trả cho công đào giếng là 2621 đồng 4 hào 3 xu.

Phát triển một số yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải toán có yếu tố Thống kê - Xác suất

có yếu tố Thống kê - Xác suất

Ví dụ 2.25: (Dành cho đối tượng học sinh lớp 2)

Quan sát biểu đồ tranh rồi trả lời câu hỏi

Hình vuông Hình tròn Hình tam giác Hình chữ nhật a) Hình nào có nhiều nhất? Bao nhiêu hình? b) Hình nào có ít nhất? Bao nhiêu hình?

Mục tiêu chính trong việc dạy học các yếu tố thống kê trong chương trình toán lớp 2 là giúp học sinh nắm vững các yêu cầu cơ bản, từ đó phát triển khả năng tư duy và phân tích dữ liệu một cách hiệu quả.

- Làm quen với việc thu thập, phân loại, kiểm đếm các đối tượng thống kê (trong một số tình huống đơn giản)

- Đọc và mô tả được các số liệu ở dạng biểu đồ tranh

- Nêu được một số nhận xét đơn giản từ biểu đồ tranh Ở bài toán này, học sinh có 2 phương án để đi đến lời giải bài toán như sau:

- Phương án 1: Đếm số hình vuông, hình tròn, hình tam giác và hình chữ nhật rồi đi đến kết luận

Phương án 2 đề xuất sử dụng phương pháp 1 - 1 trong các bài toán so sánh số để đưa ra kết luận Việc này giúp học sinh phát triển tính mềm dẻo và linh hoạt qua việc "Đọc và mô tả số liệu ở dạng biểu đồ tranh" cũng như "Nêu một số nhận xét đơn giản từ biểu đồ tranh" Giáo viên có thể yêu cầu học sinh trả lời để khuyến khích sự tham gia và hiểu biết của các em.

Câu hỏi 1: Đọc và mô tả các số liệu trong biểu đồ tranh ở trên?

Biểu đồ này bao gồm 4 cột với các hình dạng khác nhau: cột thứ nhất có 6 hình vuông, cột thứ hai có 8 hình tròn, cột thứ ba có 4 hình tam giác, và cột thứ tư có 5 hình chữ nhật Qua đó, học sinh nhận thấy rằng hình tròn là hình dạng có số lượng nhiều nhất, trong khi hình tam giác là hình dạng có số lượng ít nhất.

Nếu không đếm số lượng các hình, vẫn có thể giải bài toán bằng cách rèn luyện cho học sinh khả năng nêu nhận xét đơn giản từ biểu đồ tranh Việc này giúp học sinh phát triển kỹ năng quan sát và phân tích thông tin một cách trực quan, từ đó hình thành tư duy logic và khả năng diễn đạt ý tưởng.

Câu trả lời mong đợi: Qua hình ảnh cao thấp ở mỗi cột và cách đặt tương ứng 1

- 1, học sinh chỉ ra hình tròn có nhiều nhất và hình tam giác có ít nhất

Trong túi vải có 3 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ Để chắc chắn bốc được 1 viên bi xanh, bạn chỉ cần bốc 1 lần Để bốc 1 viên bi đỏ, bạn cũng chỉ cần bốc 1 lần Tuy nhiên, để bốc 2 viên bi xanh, bạn cần bốc 2 lần để đảm bảo Cuối cùng, để bốc 2 viên bi đỏ, điều này là không thể vì chỉ có 1 viên bi đỏ trong túi.

Trong bài toán này, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh áp dụng kiến thức xác suất cơ bản để rút ra các kết luận cho các câu a, b, c, d Các bước phân tích sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách tính xác suất và áp dụng chúng vào thực tế.

Trong túi có 4 viên bi, bao gồm 3 viên xanh và 1 viên đỏ Để chắc chắn lấy ra 1 viên bi xanh, cần phải lấy 2 viên Để đảm bảo lấy ra 1 viên bi đỏ, cần phải lấy cả 4 viên Để chắc chắn lấy ra 2 viên bi xanh, cần phải lấy 3 viên Không thể lấy ra 2 viên bi đỏ vì chỉ có 1 viên bi đỏ trong túi.

Khi học sinh đã nắm vững cách giải bài toán, giáo viên có thể giúp học sinh rèn luyện tính thuần thục bằng cách mở rộng các bài toán.

Để giải bài toán, ta có một hộp chứa 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh Để đảm bảo có được ít nhất 2 màu bi, cần lấy tối thiểu 11 viên bi Trong trường hợp muốn chắc chắn có đủ 3 màu bi, số viên bi cần lấy ít nhất là 19.

Phân tích: a) Để chắc chắn lấy ra được 2 loại bi, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh qua một số câu hỏi gợi mở dưới đây:

Câu hỏi 1: Số bi loại nào là nhiều nhất, số lượng?

Câu trả lời mong đợi: Số bi đỏ nhiều nhất, có 10 viên

Câu hỏi 2: Nếu không nhìn vào hộp, lấy ngấu nhiên ra 10 viên liệu có chắc chắn được 2 loại bi khác nhau?

Câu trả lời mong đợi: không chắc chắn lấy được 2 loại (vì có thể cả 10 viên lấy ra đều là màu đỏ)

Câu hỏi 3: Vậy để chắc chắn lấy ra được 2 loại bi ta cần lấy ra ít nhất bao nhiêu viên? Câu trả lời mong đợi:

Để đảm bảo lấy ra được 3 loại bi, số bi tối thiểu cần lấy ra là 11 viên, được xác định qua thao tác tư duy phân tích và so sánh.

Để đảm bảo có ít nhất 10 viên bi màu đỏ từ một hộp chứa 100 viên bi (bao gồm 25 viên bi đỏ, 30 viên bi xanh, 35 viên bi vàng, và số còn lại là bi đen và bi trắng), cần tính toán số lượng viên bi cần lấy ra Trong trường hợp xấu nhất, nếu lấy ra tất cả viên bi không phải màu đỏ (tổng cộng 75 viên bi), ta vẫn cần thêm 10 viên bi đỏ Do đó, tổng số viên bi cần lấy ra tối thiểu là 75 + 10 = 85 viên bi.

Để phát triển tính độc đáo cho học sinh qua việc giải quyết bài toán, giáo viên nên hướng dẫn học sinh bằng cách đặt ra một số câu hỏi gợi mở.

+ Tìm số bi đen và bi trắng: 100 – ( 25 + 30 + 35 ) = 10 (viên bi)

+ Tổng số 4 lại bi xanh, vàng, đen và trắng có trong hộp là:

+ Như vậy, nếu lấy ra 75 viên bi thì chưa chắc đã có viên bi đỏ nào (vì có thể là

30 viên bi xanh, 35 viên bi vàng và 10 viên (bi đen; bi trắng))

+ Vậy để chắc chắn lấy ra được ít nhất 10 viên bi cùng màu đỏ, ta cần phải lấy:

Rèn luyện tính mềm dẻo, tình thuần thục, tính độc đáo cho học sinh thông qua một số bài toán dưới đây:

Bài 1 (Bài 2/tr105 - Toán 2 - Tập 2 - Bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống)

Biểu đồ sau biểu thị số gà, số ngỗng, số vịt có trên sân:

Quan sát biểu đồ rồi trả lời câu hỏi a) Con vật nào nhiều nhất?

Con vật nào ít nhất? b) Mỗi loại có bao nhiêu con? c) Số gà nhiều hơn số ngỗng mấy con?

Số ngỗng ít hơn số vịt mấy con?

Bài 2 Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu học sinh để chắc chắn rằng có 3 học sinh nữ tham gia làm trực nhật

Nếu chọn 5 bạn, có khả năng là 5 bạn nam

Vậy để chắc chắn có 3 bạn nữ cần chọn: 5 + 3 = 8 bạn

Bài 3 Một hộp đựng 100 viên bi, trong đó có 25 viên bi đỏ, 30 viên bi xanh, 35 viên bi vàng, còn lại là bi đen và bi trắng Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi để chắc chắn có ít nhất 10 viên bi cùng màu ?

Số viên bi đen và bi trắng là: 100 - ( 25 + 30 + 35 ) = 10 (viên bi)

Để đảm bảo có ít nhất 10 viên bi cùng màu, bạn cần lấy ra tổng cộng 46 viên bi, bao gồm 9 viên bi đỏ, 9 viên bi xanh, 9 viên bi vàng, 10 viên bi đen và 9 viên bi trắng.