Các khái niệm cần ghi nhớ: ▷ Ma trận chéo hóa được ▷ Bội đại số ▷ Bội hình học 5.4.2 Tóm tắt lý thuyết Mục này trình bày khái niệm ma trận chéo hóa được và đưa ra một thuật toán tường
Trang 15.4 Chéo hóa ma trận
Bài giảng trực tuyến
https://youtu.be/pxZGCb9bjTs?si=3yihF3AYRgtpYI2n
Bài giảng hướng dẫn chéo hóa ma trận
https://youtu.be/rN3QxhFqO2c?si=tamGf-nuSKQW8jC1
5.4.1 Mục tiêu
Mối liên hệ giữa chéo hóa được của ma trận và giá trị riêng, véc tơ riêng của nó
Điều kiện cần và đủ để một ma trận là chéo hóa được
Thuật toán:
▷ Xác định xem một ma trận có chéo hóa được hay không
▷ Chéo hóa một ma trận
▷ Tính lũy thừa của ma trận chéo hóa được
Các khái niệm cần ghi nhớ:
▷ Ma trận chéo hóa được
▷ Bội đại số
▷ Bội hình học
5.4.2 Tóm tắt lý thuyết
Mục này trình bày khái niệm ma trận chéo hóa được và đưa ra một thuật toán tường minh để
xác định xem một ma trận có chéo hóa được hay không,
thực hiện chéo hóa ma trận khi ma trận này chéo hóa được
Trang 2Ma trận chéo
Theo định nghĩa, một ma trận vuông được gọi là ma trận chéo nếu tất cả các phần
tử không thuộc đường chéo chính của ma trận đều bằng không:
D =
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
0 0 · · · λn
Các phần tử thuộc đường chéo chínhλ1, λ2, , λn nhận giá trị bất kỳ, bằng không hoặc khác không
Ma trận chéo là một lớp ma trận đặc biệt đơn giản
Tác động của ma trận chéo lên véc tơ
Với mọi véc tơ x ∈ Rn, ta có
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
0 0 · · · λn
D
x1
x2
xn
| {z } x
=
λ1x1
λ2x2
λnxn
Dx
Từ đó, ta dễ dàng xác định tác động nhiều lần của ma trận chéo D lên véc tơ x
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
0 0 · · · λn
k
D k
x1
x2
xn
| {z } x
=
λkx1
λk
2x2
λk
nxn
D k x
Do đó
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
0 0 · · · λn
k
=
λk 0 · · · 0
0 λk
· · · 0
.
0 0 · · · λk
n
Trang 3Như vậy, ta dễ dàng tính lũy thừa của các ma trận chéo.
Phép nhân với với ma trận chéo
Phép nhân một ma trận với ma trận chéo cũng rất đơn giản
v1 v2 · · · vn
A
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
0 0 · · · λn
D
=
λ1v1 λ2v2 · · · λnvn
AD
và
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
0 0 · · · λn
D
B
=
— λ1w1 —
— λ2w2 —
— λnwn —
DB
Ma trận chéo hóa được
ĐỊNH NGHĨA 5.4.1 Một ma trận vuông A được gọi là chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo, tức là, nếu ma trận A có phân tích
A = SDS−1 trong đó D là một ma trận chéo
Vì ta dễ dàng tính lũy thừa của ma trận chéo, nên ta cũng dễ dàng tính lũy thừa của ma trận chéo hóa được Thật vậy, nếu
A = S
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
0 0 · · · λn
S−1
Trang 4Ak = SDkS−1= S
λk
1 0 · · · 0
0 λk · · · 0
.
0 0 · · · λk
n
D k
S−1
Điều kiện cần của chéo hóa được
MỆNH ĐỀ 5.4.2 Cho A là một ma trận cỡ n× n Giả sử A chéo hóa được, A
đồng dạng với ma trận chéo D =
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
0 0 · · · λn
Khi đó, ĐTĐT của ma
trậnA là
fA(λ) = (λ1− λ) (λ2− λ) · · · (λn− λ) Đặc biệt, ĐTĐTfA(λ) có đủ n nghiệm thực
VÍ DỤ 5.4.3 CMR các ma trận sau đây không chéo hóa được
!
0 1
!
Giải (a) ĐTĐT của ma trận A là
fA(λ) = det (A− λI) =
−λ −1
= λ2+ 1
Vì fA(λ) không có nghiệm thực nên ma trận A không chéo hóa được
(b) ĐTĐT của ma trận B là
fB(λ) = det (B− λI) =
= (1− λ)2
Giả sử phản chứng rằng ma trận B chéo hóa được, B đồng dạng với ma trận chéo
Trang 5λ1 0
0 λ2
Suy ra
(1− λ)2= fA(λ) = (λ1− λ) (λ2− λ) , tức là λ1= λ2= 1 Do đó hai ma trận
0 1
!
0 1
!
đồng dạng với nhau Ta nhận được mâu thuẫn vì ma trận I chỉ đồng dạng với chính nó
Như vậy, ma trận B không chéo hóa được
Tiêu chuẩn chéo hóa được
Cho A là một ma trận vuông cỡ n × n
Ta đưa ra điều kiện cần và đủ để ma trận A là chéo hóa được thông qua các VTR
và GTR của ma trận A
Ta có
A = SDS−1 ⇔
(
S khả nghịch,
AS = SD
Đặt
D =
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
0 0 · · · λn
, S =
v1 v2 · · · vn
Điều kiện ma trận Skhả nghịchcó nghĩa là hệ véc tơ v1, v2, , vnlà mộtcơ sởcủa
Rn
Mặt khác, ta có
AS = A
v1 v2 · · · vn
=
Av1 Av2 · · · Avn
Trang 6SD=
v1 v2 · · · vn
0 λ2 · · · 0
. . .
=
λ1v1 λ2v2 · · · λnvn
Do đó
AS = SD
⇔ Avi= λivi với mọi i = 1, 2, , n
⇔ vi là một VTR của A ứng với GTR λi, với mọi i = 1, 2, , n
ĐỊNH LÝ 5.4.4 (Tiêu chuẩn chéo hóa được) Cho A là một ma trận vuông cỡ
n× n
(a) A chéo hóa được khi và chỉ khi Rn có một cơ sở gồm toàn VTR của ma trận A
(b) Hơn nữa, nếu A chéo hóa được thì
A = SDS−1 với
S =
v1 v2 · · · vn
, D =
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
0 0 · · · λn
trong đó v1, v2, , vn là một cơ sở của Rn gồm toàn VTR của A và λi là GTR ứng với vi
HỆ QUẢ 5.4.5 ChoA là một ma trận vuông cỡ n× n Giả sử A có n GTR phân biệt Khi đó,A chéo hóa được
Chứng minh Gọi λ1, λ2, , λn là n GTR phân biệt của ma trận A
Với mỗi i, lấy v là một VTR của A ứng với λ
Trang 7Hệ véc tơ v1, v2, , vn độc lập tuyến tính vì nó là hệ các VTR ứng với các GTR khác nhau
Vì số véc tơ của hệ độc lập tuyến tính v1, v2, , vnbằng đúng số chiều của Rn, nên
hệ véc tơ v1, v2, , vnlà một cơ sở của Rn, tức là, Rn có một cơ sở gồm toàn VTR của ma trận A
Vậy ma trận A chéo hóa được
Trang 8VÍ DỤ 5.4.6 Ma trận
3 1
!
có chéo hóa được không? Nếu A chéo hóa được, tìm một phân tích A = SDS−1 với
D là một ma trận chéo
Giải ĐTĐT của ma trận A là
fA(λ) = λ2− tr (A) λ + det (λ) = λ2
− 2λ − 8
Ta có
fA(λ) = (λ− 4) (λ + 2)
Do đó, các GTR của A là 4 và −2
Vì A là một ma trận cỡ 2 × 2 và A có 2 GTR phân biệt nên A chéo hóa được Cụ thể hơn, A đồng dạng với ma trận chéo D = 4 0
0 −2
! Tiếp theo, ta tìm ma trận khả nghịch S trong phân tích A = SDS−1 Đặt S =
v1 v2
Khi đó
véc tơ v1 là một VTR của A ứng với GTR λ = 4,
véc tơ v2 là một VTR của A ứng với GTR λ = −2
Xét GTR λ = 4 Ta có
Av = 4v ⇔ (A− 4I) v = 0
Khử Gauss:
A− 4I = −3 3
!
! KGCR E4= Nul (A− 4I) cho bởi
v = x1 x
!
∈ E4 ⇔ v = x2
x
!
= x2
1 1
!
Trang 9Do đó, một VTR của A ứng với GTR λ = 4 là v1= 1
1 Xét GTR λ = −2 Ta có
Av =−2v ⇔ (A + 2I) v = 0
Khử Gauss:
A + 2I = 3 3
3 3
!
0 0
! KGCR E−2= Nul (A + 2I) cho bởi
v = x1
x2
!
x2
!
= x2 −1
1
!
Do đó, một VTR của A ứng với GTR λ = −2 là v1= −1
1
! Vậy ta có A = SDS−1 với
0 −2
!
!
Bội đại số, bội hình học
ĐỊNH NGHĨA Cho λ là một GTR của ma trận A
(a) Bội đại số của λ là bội của λ như là một nghiệm của đa thức đặc trưng (b) Bội hình học của λ là số chiều của không gian con riêng Eλ ứng với GTR λ
VÍ DỤ 5.4.7 Giả sử ĐTĐT của một ma trận vuông A là
fA(λ) = (λ− 4) (λ + 1)2(λ + 3) λ2+ 1 Bảng các GTR của A và bội đại số của chúng là
Giá trị riêng 4 -1 -3
Trang 10VÍ DỤ 5.4.8 Bảng các GTR và bội đại số, bội hình học tương ứng của ma trận
1 3
3 1
!
là
Giá trị riêng 4 -2 Bội đại số 1 1 Bội hình học 1 1
Lưu ý: Tổng các bội đại số của các giá trị riêng của một ma trận A chính là số nghiệm thực của ĐTĐT fA(λ)
Ta thừa nhận kết quả sau về mối liên hệ giữa hai loại bội của một GTR bất kỳ
MỆNH ĐỀ 5.4.9 Choλ là một GTR của ma trận A Khi đó
1≤ Bội hình học của λ ≤ Bội đại số của λ
Tiêu chuẩn chéo hóa được
ĐỊNH LÝ 5.4.10 ChoA là một ma trận vuông cỡ n× n
(a) Ma trận A chéo hóa được khi và chỉ khi ĐTĐT fA(λ) có đủ n nghiệm thực,
và mỗi GTR củaλ có bội đại số bằng bội hình học
(b) Hơn nữa, nếu A chéo hóa được thì
A = SDS−1 với
S =
v1 v2 · · · vn
, D =
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
0 0 · · · λn
trong đó v1, v2, , vn là một cơ sở của Rn nhận được bằng cách ghép lại cơ
sở của các KGCR củaA, và λi là GTR ứng với vi
LƯU Ý:Hai khẳng định sau tương đương với nhau:
ĐTĐT f (λ) có đủ n nghiệm thực
Trang 11 Tổng các bội đại số của các GTR của A bằng n.
Từ đó, ta có thuật toán để xác định xem một ma trận có chéo hóa được hay không,
và chéo hóa ma trận khi nó chéo hóa được
THUẬT TOÁN 5.4.11 ChoA là một ma trận vuông cỡ n× n
Bước 1 Tính đa thức đặc trưngfA(λ)
Nếu fA(λ) không có đủ n nghiệm thực, ta kết luận ma trận A không chéo hóa được
Nếu ngược lại, fA(λ) có đủ n nghiệm thực, tiến hành bước tiếp theo Bước 2 Với mỗi GTRλ, tính bội đại số và bội hình học của nó
Nếu tồn tại một GTR λ có bội hình học khác bội đại số, ta kết luận ma trậnA không chéo hóa được
Nếu ngược lại, mọi GTR λ có bội đại số bằng bội hình học, ta kết luận
ma trận A chéo hóa được Để tìm phân tích chéo hóa của ma trận A, tiến hành bước tiếp theo
Bước 3 Ghép lại các cơ sở của các KGCREλđể nhận được một cơ sởv1, v2, , vn củaRn gồm toàn VTR củaA Với mỗi i, gọi λi là GTR ứng với vi Khi đó
A = SDS−1 với
S =
v1 v2 · · · vn
, D =
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
0 0 · · · λn
Trang 12Để thuận tiện, ta thường ghi lại các thông tin về GTR-VTR của ma trận dưới dạng một bảng
VÍ DỤ 5.4.12 Bảng các thông tin về GTR-VTR của ma trận 1 3
3 1
! là
Một cơ sở của KGCR 1
1
!
−1 1
!
Nhìn vào bảng này, ta biết được ma trận chéo hóa được hay không và biết được cách chéo hóa ma trận khi ma trận chéo hóa được
VÍ DỤ 5.4.13 Cho A là một ma trận vuông cỡ 4 × 4 có bảng các GTR-VTR là
Một cơ sở của KGCR
1 0 1 1
,
1 0 0 1
−1 1 2 3
Ma trận A có chéo hóa được hay không?
Giải Vì GTR λ = 5 của ma trận A có bội đại số khác bội hình học, nên ma trận
A không chéo hóa được
VÍ DỤ 5.4.14 Cho A là một ma trận vuông cỡ 3 × 3 có bảng các GTR-VTR là
Một cơ sở của KGCR
1
−1 2
2
−3 4
,
3
−3 7
Ma trận A có chéo hóa được hay không? Tìm A
Trang 13Giải Vì ma trận A có cỡ 3 × 3 và
tổng các bội đại số của các GTR của A là 3,
mỗi GTR của A có bội đại số bằng bội hình học,
nên ma trận A chéo hóa được Hơn nữa, từ bảng trên, ta có phân tích A = SDS−1 với
S =
−1 −3 −3
, D =
Ta có
S−1=
−1 −3 −3
−1
=
Do đó
−1 −3 −3
S
D
S −1
=
−36 −8 11
VÍ DỤ 5.4.15 Cho ma trận vuông
A = 1 6
!
Biết rằng v1= −1
1
!
và v2= 1
2
!
là các VTR của A
(a) Chéo hóa ma trận A
(b) Chéo hóa ma trận B = A3+ 2I
(c) Từ đó, tìm các GTR và KGCR của B
Trang 14Giải (a) Để chéo hóa ma trận A, ta xác định bảng các GTR-VTR.
Ta tìm các GTR ứng với các VTR trong v1, v2đề bài Ta có
Av1=1 6
!
−1 1
!
1
!
= v1
và
Av2= 1 6
! 1 2
!
= 1 2
1 2
!
=1
2v2. Suy ra, các GTR ứng với các VTR v1, v2 là 1,1
2 Vì ma trận A có cỡ 2 × 2 và A có
2 giá trị riêng phân biệt, nên A chéo hóa được Bảng các GTR-VTR của nó là
2
Một cơ sở của KGCR −1
1
! 1 2
!
Hơn nữa, từ bảng trên, ta có phân tích A = SDS−1 với
!
0 1/2
!
(b) Ta không cần tính tường minh ma trận B Thật vậy, ta có
B = A3+ 2I
= SDS−13
+ 2I
= SD3S−1+ S (2I) S−1
= S D3+ 2I S−1
0 17/8
!
S−1 (c) Từ phân tích chéo hóa của ma trận B, ta thấy rằng
Trang 15 các giá trị riêng của B là 3 và 17
8,
KGCR E3là một không gian véc tơ 1 chiều với một cơ sở là v1= −1
1
! ,
KGCR E17 / 8 là một không gian véc tơ 1 chiều với một cơ sở là v2= 1
2
!
Trang 165.4.3 Bài tập
Trước khi làm bài tập, các em cần đọc lý thuyết và xem bài giảng trực tuyến Tất cả các phương pháp làm khác mà không giải thích tường minh cách làm đều không được tính điểm
Trong các bài tập bên dưới, cho phép tính ma trận nghịch đảo sử dụng máy tính bỏ túi
BÀI TẬP 5.4.16 Các ma trận sau đây có chéo hóa được hay không? Nếu ma trận chéo hóa được, cho biết nó đồng dạng với ma trận chéo nào?
(a)
−1 4 −2
https://1drv.ms/u/s!AvFLs1NjAhHzj8krmC0s1JGdve9k1w?e=n6Tqg0
BÀI TẬP 5.4.17 Ma trận
A =
4 0 1
2 3 2
1 0 4
có chéo hóa được hay không? Nếu ma trận chéo A hóa được, hay chéo hóa nó, tức
là tìm phân tích A = SDS−1 trong đó D là một ma trận chéo; rồi sử dụng kết quả này để tính cột 2 của ma trận lũy thừa A100
https://1drv.ms/u/s!AvFLs1NjAhHzj8k1iHot2ikm_hU_qw?e=zVjUkp
BÀI TẬP 5.4.18 Cho ma trận
A =
Trang 17(a) CMR véc tơ
−1
−1 1
là một VTR của ma trận A Tìm GTR tương ứng
(b) Chéo hóa ma trận A
(c) Tính hàng 3 của ma trận lũy thừa An trong đó n là một số nguyên dương nào đó
(d) Chéo hóa ma trận B = 3A2
− 5I
(e) Tìm các GTR và các KGCR của B
https://1drv.ms/u/s!AvFLs1NjAhHzj8lEreDNPYtEKf3M5g?e=6ONX5c
BÀI TẬP 5.4.19 Cho ma trận
A =
Chéo hóa ma trận A10
https://1drv.ms/u/s!AvFLs1NjAhHzj8lJLOG5zIgIOYknXA?e=XPTwx4
BÀI TẬP 5.4.20 Cho ma trận
0 a
!
trong đó a, b là hai tham số
Tìm điều kiện cần và đủ cho a, b để ma trận A chéo hóa được
https://1drv.ms/u/s!AvFLs1NjAhHzj8lW7K_TJoKay1KeBw?e=zBxc7S
Trang 18BÀI TẬP 5.4.21 Cho ma trận
A =
trong đó a, b, c là các tham số
Tìm điều kiện cần và đủ cho a, b, c để ma trận A chéo hóa được Trong trường hợp
đó, cho biết A đồng dạng với ma trận chéo nào
https://1drv.ms/u/s!AvFLs1NjAhHzj8oCGONi3ExZPVwLgg?e=uRfNd1
BÀI TẬP 5.4.22 Cho A là một ma trận chéo hóa được
(a) CMR ma trận ATcũng chéo hóa được
(b) CMR ma trận A đồng dạng với ma trận AT
https://1drv.ms/u/s!AvFLs1NjAhHzj8oGywuoxJI5U9k6Iw?e=cGuG1D
BÀI TẬP 5.4.23 Giả sử ma trận A có đa thức đặc trưng là
fA(λ) =−λ3− λ − 2
CMR ma trận A không chéo hóa được
https://1drv.ms/u/s!AvFLs1NjAhHzj8oEpRbVwoXUzg8XLw?e=tL1jbR
BÀI TẬP 5.4.24 Giả sử ma trận A có đa thức đặc trưng là
fA(λ) =− (λ − 1) (λ + 2) (λ − 5) CMR ma trận A chéo hóa được Cho biết A đồng dạng với ma trận chéo nào?
Trang 19BÀI TẬP 5.4.25 Giả sử ma trận A có đa thức đặc trưng là
fA(λ) = (λ− 3)2
Ma trận A có chéo hóa được hay không? Cho ví dụ
https://1drv.ms/u/s!AvFLs1NjAhHzj8oDbig4jU2sG9wYYA?e=IJ7Nqj