Luận văn thạc sĩ Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán: Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung "Bất đẳng thức"

Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học ở học sinh khi học nội dung “Bất đẳng thức” trong chương trình môn Toán trung học phổ thông.. Kết quả điều tra mức độ cần thiết của việ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

NGUYỄN THỊ BÍCH LIÊN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG “BẤT ĐẲNG THỨC”

LUẬN VĂN THẠC SĨ

LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

HẢI PHÒNG - 2023

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

NGUYỄN THỊ BÍCH LIÊN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO

HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG “BẤT ĐẲNG THỨC”

LUẬN VĂN THẠC SĨ

LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

MÃ SỐ: 8140111

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Chung

HẢI PHÒNG - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan luận văn “Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức” là công trình nghiên cứu của riêng tác giả Các kết quả

nghiên cứu và các số liệu nêu trong luận văn là hoàn toàn trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào trước đó

Hải Phòng, ngày 25 tháng 6 năm 2023

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Bích Liên

LỜI CẢM ƠN

Tác giả luận văn xin bày tỏ tình cảm và lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Chung, các thầy cô đã dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để luận văn sớm hoàn thành

Tôi trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu, các quý thầy cô trong khoa Toán&KHTN, Phòng QLSĐH trường Đại học Hải Phòng đã tạo điều kiện thuận lợi cho cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô đồng nghiệp trường THCS Võ Thị Sáu, quận Lê Chân, Thành phố Hải Phòng đã cho phép, tạo điều kiện và động viên tôi trong suốt thời gian nghiên cứu

Trân trọng cảm ơn các nhà khoa học, các bạn đồng nghiệp, các thầy cô giáo và các em học sinh ở một số trường trung học phổ thông đã giúp đỡ và cộng tác với tôi trong quá trình điều tra, đánh giá và thực hiện các nghiên cứu các vấn đề liên quan đến đề tài luận văn

Và cuối cùng tôi xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, các bạn cùng lớp đã luôn ủng hộ, hỗ trợ và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Dù đã cố gắng nhiều, tuy nhiên luận văn chắc chắn không tránh khỏi có những sai sót cần được góp ý và sửa chữa Tôi rất mong nhận được những nhận xét, ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và các bạn đọc

Hải Phòng, ngày 25 tháng 6 năm 2023

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Bích Liên

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT vi

DANH MỤC CÁC BẢNG vii

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ viii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Tổng quan những nghiên cứu về năng lực tư duy và lập luận toán học 6

1.2 Một số vấn đề cơ bản về năng lực tư duy và lập luận toán học 7

1.2.1 Năng lực toán học 7

1.2.2 Năng lực tư duy và lập luận toán học 10

1.2.3 Vai trò của năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học môn toán16 1.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh trung học phổ thông trong dạy học nội dung “Bất đẳng thức” 17

1.3.1 Nội dung “Bất đẳng thức” trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông 17

1.3.2 Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học ở học sinh khi học nội dung “Bất đẳng thức” trong chương trình môn Toán trung học phổ thông 20

1.4 Thực trạng dạy học nội dung “Bất đẳng thức” ở một số trường Trung học phổ thông trên địa bàn thành phố Hải Phòng 26

1.4.1 Đối tượng và mục đích điều tra 26

1.4.2 Nội dung điều tra 26

1.4.3 Phương pháp và tiến hành điều tra 26

1.4.4 Kết quả điều tra 26

1.5 Kết luận chương 1 32

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG “BẤT ĐẲNG THỨC” 34

2.1 Các định hướng xác định các biện pháp sư phạm 34

2.1.1 Định hướng 1 34

2.1.2 Định hướng 2 34

2.1.3 Định hướng 3 34

2.1.4 Định hướng 4 34

2.1.5 Định hướng 5 35

2.2 Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học cho học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung “Bất đẳng thức” 35

2.2.1 Biện pháp 1 Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi từ ngôn ngữ bất đẳng thức sang ngôn ngữ tự nhiên và ngược lại 35

2.2.2 Biện pháp 2 Rèn luyện cho học sinh sử dụng các thao tác tư duy trong dạy học nội dung BĐT 44

2.2.3 Biện pháp 3 Rèn luyện và phát triển khả năng sử dụng đúng các suy luận toán học cho học sinh THPT thông qua dạy học nội dung BĐT 54

2.2.4 Biện pháp 4 Rèn luyện khả năng dự đoán và lập luận cho học sinh THPT thông qua dạy học nội dung BĐT 59

2.2.5 Biện pháp 5 Phát hiện và sửa chữa một số sai lầm về suy luận toán học, lập luận toán học trong quá trình dạy học giải các bài toán BĐT ở trường THPT 65

2.3 Kết luận Chương 2 74

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 76

3.1 Mục đích, yêu cầu, nội dung thực nghiệm 76

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 76

3.1.2 Yêu cầu thực nghiệm 76

3.1.3 Nhiệm vụ thực nghiệm 76

3.1.4 Nội dung thực nghiệm 76

3.2 Thời gian và đối tượng thực nghiệm 77

3.3 Tổ chức thực nghiệm 77

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 78

3.4.1 Kết quả định lượng 78

3.4.1 Kết quả định tính 80

3.5 Kết luận Chương 3 81

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 82

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

Kết quả điều tra mức độ cần thiết của việc rèn luyện và

phát triển các thao tác tư duy của HS qua dạy học chủ đề

BĐT

27

1.3

Kết quả điều tra mức độ thường xuyên thiết kế hoạt động

dạy học môn Toán theo định hướng phát triển NL tư duy

và lập luận toán học trong quá trình giảng dạy chủ đề có

liên quan đến BĐT

27

1.4

Kết quả điều tra mức độ thường xuyên rèn luyện những

thành tố của NL tư duy và lập luận toán học trong quá trình

giảng dạy chủ đề có liên quan đến BĐT

28

1.5

Kết quả điều tra những khó khăn của GV Toán khi tổ chức

thực hiện dạy học nội dung BĐT theo định hướng phát

triển NL tư duy và lập luận cho HS

28

1.6 Kết quả khảo sát GV về NL tư duy và lập luận toán học

của HS đạt được khi học nội dung BĐT 29

1.7 Kết quả điều tra những khó khăn HS hay gặp khi sử dụng

các thao tác tư duy để chứng minh BĐT 31

1.8 Kết quả điều tra những khó khăn HS hay gặp khi làm bài

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Số hiệu

3.1 So sánh kết quả kiểm tra thường xuyên của lớp TN và

3.2 Thống kê số điểm bài kiểm tra trước và sau khi TN

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Bước sang thế kỉ XXI, xã hội đang phát triển nhanh chóng, nền kinh tế, văn hóa và hội nhập không ngừng biến đổi Do đó, nền giáo dục cần chú trọng tăng cường đào tạo được những con người mới đáp ứng thời đại công nghiệp hóa và toàn cầu hóa phát triển nhanh chóng như ngày nay Bốn trụ cột của giáo dục Việt Nam trong thế kỉ XXI do UNESCO đã đề ra “Học

để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình” là mục tiêu mà giáo dục Việt Nam hướng tới Với mục tiêu đó thì HS không chỉ cần lĩnh hội được những kiến thức mà còn phải được phát triển năng lực

Để đáp ứng được điều đó, giáo dục Việt Nam chuyển hướng dần từ dạy học tiếp cận nội dung môn học sang dạy học sinh phương pháp tư duy, dạy học sinh cách tự học Đặc biệt là chú trọng việc phát triển và rèn luyện NL tư duy và lập luận cho HS trong quá trình dạy học môn Toán và các môn khoa học khác

1.2 Toán học là môn học khoa học có tính logic cao, mọi kết quả thu được trong môn Toán đều cần được chứng minh một cách chặt chẽ, lập luận logic Theo tác giả Nguyễn Anh Tuấn: “Khoa học nói chung và toán học nói riêng đều nằm trong quá trình nhận thức cảm tính (cảm giác → tri giác → biểu tượng) đến nhận thức lí tính (tư duy) Trong đó, tư duy được biểu thị dưới các hình thức khái niệm, phán đoán và suy luận Đồng thời tư duy gắn liền với ngôn ngữ như một phương tiện được biểu đạt và giao tiếp” [25] Nhờ

đó, toán học có nhiều cơ hội thuận lợi cho việc phát triển tư duy và khả năng lập luận cho HS Đặc biệt là môn toán ở bậc THPT giúp HS phát triển cách

tư duy, cách lập luận và vận dụng nó vào các lĩnh vực khác của cuộc sống

Vì vậy, việc phát triển NL tư duy và lập luận cho HS là rất quan trọng trong

DH Toán

Theo chương trình giáo dục môn Toán - chương trình GDPT 2018, môn toán có những đặc điểm riêng biệt sau: “Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho HS; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ, Tin học

để thực hiện giáo dục STEM Nội dung môn Toán thường mang tính logic, trừu tượng, khái quát Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “vận dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể” [4]

1.3 Môn Toán cấp Trung học phổ thông góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học cho HS với yêu cầu cần đạt được: Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề; sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để hiểu được những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề; thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp

đã thực hiện, khái quát hoá được cho vấn đề tương tự; sử dụng được công cụ, phương tiện học toán trong học tập, khám phá và giải quyết vấn đề toán học

Trong chương trình môn Toán, chủ đề về bất đẳng thức (BĐT) nằm rải rác trong toàn bộ ở chương trình Trung học phổ thông (THPT) và có nhiều tiềm năng để GV rèn luyện cho HS sử dụng các phép biến đổi tương đương, các suy luận hợp logic, các lập luận toán học vào chứng minh các BĐT Từ đó

nhiên, ở các trường THPT, khi dạy học môn Toán, đặc biết là khi dạy học về BĐT, nhiều GV vẫn còn chủ yếu tập trung vào dạy kiến thức và chứng minh được số lượng bài tập lớn về BĐT mà chưa thực sự chú trọng nhiều vào hoạt động phát triển tư duy và lập luận Toán học cho HS Điều đó dẫn đến HS chỉ giải được các bài tập quen thuộc với cách giải theo mẫu; hạn chế khả năng độc lập, sáng tạo trong học tập và trong xử lí các tình huống liên quan đến thực tiễn

Vì những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là “Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức”

2 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

2.1 Đối tượng nghiên cứu

Các biện pháp dạy trong dạy học BĐT góp phần phát triển NL tư duy

và lập luận toán học cho HS THPT

4 Giả thiết khoa học

Dựa trên cơ sở lí luận và thực tiễn có thể xác định được một số các thành tố của NL tư duy và lập luận toán học của HS THPT Trên cơ sở đó, nếu đề xuất và thực hiện được một số biện pháp dạy học thích hợp trong dạy học BĐT ở trường THPT thì sẽ góp phần phát triển NL tư duy và lập luận toán học, đáp ứng được yêu cầu đổi mới DH môn Toán ở trường THPT theo

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Tìm hiểu về NL toán học, NL tư duy và lập luận toán học, tư duy,

NL suy luận toán học, suy luận logic và suy luận không hợp logic, suy luận diễn dịch và suy luận quy nạp

5.2 Xác định các biểu hiện của NL tư duy và lập luận toán học của HS THPT trong dạy học nội dung BĐT

5.3 Hệ thống nội dung dạy học BĐT trong chương trình Toán THPT 5.4 Khảo sát thực trạng dạy học nội dung “Bất đẳng thức” ở một số trường Trung học phổ thông trên địa bàn thành phố Hải Phòng

5.5 Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển NL tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông

5.6 Thực nghiệm sư phạm để làm rõ tính khả thi của các biện pháp sư phạm được đề xuất trong luận văn

6 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu việc phát triển một số thành tố của năng lực tư duy và lập

luận Toán học cho HS khi dạy học nội dung “Bất đẳng thức” ở trường THPT

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Các phương pháp nghiên cứu lí luận

Đọc tài liệu, sử dụng phối hợp các phương pháp phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa, khái quát hóa… trong nghiên cứu tổng quan các tài liệu lí luận có nội dung liên quan đến phát triển năng lực tư duy và lập luận cho học sinh, về dạy học nội dung BĐT

7.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Dự giờ các tiết học, phát phiếu điều tra về thực trạng dạy nội dung BĐT ở một số trường THPT

7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tiến hành áp dụng các biện pháp vào dạy học nội dung BĐT ở một số

lớp, so sánh kết quả trước và sau khi áp dụng các biện pháp vào dạy ở các lớp

đó để xem xét về hiệu quả và tính khả thi của các biện pháp dạy học nhằm

7.4 Phương pháp thông kê toán học

Khảo sát, điều tra, xử lí và đánh giá số liệu thực nghiệm sư phạm

8 Đóng góp của luận văn

- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm trong dạy học BĐT góp phần phát triển NL tư duy và lập luận toán học cho HS THPT

8.2 Về mặt thực tiễn

- Hệ thống các biện pháp sư phạm giúp cho HS nhận thức và hành động trong quá trình dạy học BĐT, giúp HS vận dụng tốt hơn những kiến thức về BĐT vào giải các bài toán liên quan đến BĐT, giúp HS phát triển NL tư duy

và lập luận toán học ở trường phổ thông

- Các hệ thống ví dụ, bài tập, chuyên đề trong luận văn là tư liệu tốt cho

GV và HS tham khảo trong dạy học các nội dung toán học liên quan đến BĐT

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp góp phần phát triển năng lực tư duy và lập

luận Toán học cho học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung

“Bất đẳng thức”

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tổng quan những nghiên cứu về năng lực tư duy và lập luận toán học

Trên thế giới, việc phát triển NL tư duy và lập luận toán học cho HS cũng rất được chú trọng Điều đó được thể hiện ở một số công trình nghiên

cứu sau:

Theo tác giả Tadesse Walelign (2014): “Năng lực toán học phổ thông

là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống, vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt

là khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng, quy trình, kiến thức và hoạt động” Từ đây, nhận thấy năng lực toán học có vai trò rất lớn trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn Trong đó, năng lực tư duy và lập luận toán học đặc biệt được chú trọng [29]

Bên cạnh đó, tác giả Niss cho rằng năng lực Toán học gồm tám thành

tố là: NL tư duy toán học, NL giải quyết vấn đề toán học, NL mô hình hóa toán học, NL suy luận toán học, NL biểu diễn, NL sử dung ngô ngữ và kí hiệu hình thức, NL giao tiếp toán học, NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán Niss cũng đã mô tả tám NL luôn có mối liên hê chặt chẽ với nhau [28]

Ở Việt Nam, chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018 đã xác định năng lực Toán học bao gồm 5 năng lực cốt lõi: NL tư duy và lập luận toán học, NL mô hình hóa toán học, NL giải quyết vấn đề toán học, NL giao tiếp toán toán học, NL sử dụng công cụ và phương tiện học toán Trong đó, với NL tư duy và lập luận toán học, một trong những biểu hiện quan trọng

nhất là “thực hiện tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt là phát

tạp và lí giải được sư quan sát” [3]

Trong các nghiên cứu trên, chúng tôi thấy lập luận là một thành phần và

là một phương thức đặc thù của tư duy toán học, chú trọng đến khả năng suy luận và chứng minh (hoặc phản bác) của HS Với mỗi HS, tùy vào những sắc thái khác nhau thì sẽ có khả năng hoạt động suy luận khác nhau Và thông qua quá trình học tập, rèn luyện – nhất là qua môn Toán, GV có thể phát triển năng lực tư duy cho học sinh – trong đó có năng lực tư duy và lập luận Toán học

Tuy nhiên trong các tài liệu nghiên cứu về bất đẳng thức trong sách giáo khoa, sách tham khảo ở THPT, các tác giả mới chú trọng vào sử dụng kĩ thuật chứng minh BĐT, trình bày các phương pháp chứng minh nhưng chưa tập trung vào rèn luyện cho HS phần suy luận và lập luận toán học, sửa chữa snhững lỗi sai trong quá trình chứng minh một BĐT cho HS

Bên cạnh đó, ở các trường THPT hiện nay, việc DH môn Toán theo hướng phát triển năng lực tư duy cho HS vẫn còn nhiều hạn chế vì những lí

do như gặp khó khăn về thời lượng dạy học ít nhưng nội dung bài học thì nhiều, khả năng nhận thức HS trong một lớp không đồng đều, còn nhiều đối tượng là HS yếu về môn toán Vì vậy, việc phát triển NL tư duy và lập luận toán học cho HS ở trường THPT thông qua việc dạy học BĐT vẫn còn nhiều bất cập và cần được chú trọng nhiều hơn

Mặt khác, trong chương trình Giáo dục phổ thông 2018 thời lượng dành cho BĐT càng ít nên việc dạy về chủ đề BĐT khó khăn hơn vì vậy GV cần có

kế hoạch cụ thể để bồi dưỡng và phát triển NL tư duy và lập luận toán học cho HS trong quá trình dạy học

1.2 Một số vấn đề cơ bản về năng lực tư duy và lập luận toán học

1.2.1 Năng lực toán học

Trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể 2018 mà Bộ giáo dục

và đào tạo ban hành: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như

hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” Đây là một quan điểm chung về NL mà hiện nay được nhiều người thừa nhận [3]

Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực toán hoc và chưa có sự thống nhất hoàn toàn giữa các quan điểm của các nhà khoa học

Quan niệm về năng lực toán học của HS phổ thông theo nghiên cứu của tác V.A Krutexki cho rằng: “Năng lực học tập toán học là đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng nhu cầu hoạt động học toán và giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo toán học” Đây là tiền đề cho định hướng phát hiện và bồi dưỡng HS giỏi toán của các tác giả Phạm Văn Hoàn và Hoàng Chúng Quan điểm này đã được cụ thể hóa phần nào trong các nghiên cứu về các năng lực toán học của tác giả Trần Luận và Trần Đình Châu [5], [6], [13, tr.13-14],[14]

Quan niệm thuộc khuôn khổ chương trình đánh giá HS quốc tế PISA (2003) về năng lực toán học: “Năng lực toán học là khả năng của một cá nhân

có thể nhận biết và hiểu vai trò của toán học trong đời sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi, khám phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó với vai trò là một công dân có ý thức, có tính xây dựng, và có hiểu biết” [10]

Để thích nghi hơn với xu thế phát triển kinh tế xã hội hiện nay, quan niệm về mục tiêu giáo dục toán học đã có sự thay đổi Do đó, quan niệm năng lực toán học cũng đã có những đổi mới, phát triển đáng kể PISA 2015 quan niệm: “Năng lực toán học phổ thông (Mathematical Literacy) là khả năng của

cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự kiện và công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán

học trên thế giới và đưa ra phán đoán, quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm” [2]

Qua những nghiên cứu trên, cho thấy hai quan niệm thuộc khuôn khổ chương trình đánh giá HS quốc tế PISA thể hiện sự quan tâm rõ nét hơn về các kiến thức toán học và sự vận dụng nó trong đời sống Còn quan điểm của tác giả

V A Kruchetxki đối với năng lực toán học lại quan tâm nhiều hơn đến thuộc tính tâm lí của năng lực toán học và việc vận dụng toán học vào thực tiễn không được đề cập tới

Về cấu trúc của năng lực Toán học, đã có nhiều công trình nghiên cứu tâm lí được thực hiện khá công phu nhằm vạch ra cấu trúc các năng lực toán học của HS, sau đây là một số công trình tiêu biểu:

Theo tác giả V A Kruchetxki, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi học sinh là như sau:

1) Về mặt thu thập những thông tin toán học:

Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm được những cấu trúc hình thức của bài toán;

2) Về mặt chế biến thông tin toán học:

a) Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian, các kí hiệu dấu và kí hiệu số; năng lực suy nghĩ với các

f) Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư

3) Về mặt lưu trữ thông tin Toán học:

Trí nhớ toán học (tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, về các đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy luận và chứng minh)

4) Về các thành phần tổng hợp khái quát:

Khuynh hướng toán học của trí tuệ [13, tr 129, 385-386]

Theo quan niệm của chương trình đánh giá HS quốc tế Pisa, NL Toán học gồm những thành tố sau: NL tư duy và suy luận; NL lập luận; NL mô hình hóa; NL đặt và giải quyết vấn đề; NL giao tiếp; NL biểu diễn; NL sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu hình thức; NL sử dụng các phương tiện hỗ trợ và công cụ [10]

Ở Việt Nam, trong nghiên cứu của mình tác giả Trần Kiều đã đưa ra kết luận như sau: “Các NL cần hình thành và phát triển cho người học qua dạy học môn Toán trong trường phổ thông Việt Nam là: NL tư duy; NL giải quyết vấn đề; NL mô hình hóa toán học; NL giao tiếp; NL sử dụng các công cụ, phương tiện học toán; NL học tập độc lập và hợp tác” [14]

Dựa vào những kết quả nghiên cứu ở cả Việt Nam và trên thế giới, chương trình giáo dục phổ thông 2018 đã xác định NL toán học đối với học sinh bao gồm năm NL cốt lõi: NL tư duy và lập luận toán học; NL mô hình hóa toán học; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp toán học; NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán Tùy vào từng đối tượng học sinh, và yêu cầu cần đạt của từng cấp học, các thành tố của NL toán học được biểu hiện ở các mức độ khác nhau [3]

1.2.2 Năng lực tư duy và lập luận toán học

1.2.2.1 Tư duy

a) Khái niệm tư duy

Con người luôn nhận thức thế giới này bằng suy nghĩ Và tư duy chính

là quá trình nhận thức của con người về tự nhiên và xã hội

Theo từ điển Tiếng Việt phổ thông: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý” [20]

Tác giả Nguyễn Quang Uẩn thì cho rằng: “Tư duy là một quá trình tâm

lý phản ánh những thuộc tính, bản chất, mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó

ta chưa biết” [26]

Theo nghiên cứu của Nguyễn Văn Thuận thì: “Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ, quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” [24]

Vì vậy, có thể hiểu tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là quá trình nhận thức thế giới khách quan theo một cách tích cực Tư duy là một quá trình sáng tạo giúp con người phát triển kiến thức để xác định vấn đề và cách giải quyết chúng

b) Đặc điểm của tư duy

Theo quan điểm của tác giả Nguyễn Bá Kim thì tư duy có những đặc điểm cơ bản như sau:

+ Tính có vấn đề của tư duy: Tư duy không xảy ra trong mọi tình huống Trên thực tế, tư duy chỉ nảy sinh khi chúng ta gặp những tình huống

“có vấn đề” Tình huống “có vấn đề” là tình huống chưa có câu trả lời, nhưng câu trả lời đã ẩn chứa trong đó và chứa đựng những điều kiện giúp ta tìm ra câu trả lời Nhưng không phải tình huống có vấn đề nào cũng có thể kích thích hoạt động tư duy Để kích thích tư duy của chúng ta, tình huống

có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ và trở thành nhiệm vụ tư duy của cá nhân Tức là cá nhân xác định cái đã biết, đặt cái chưa biết, cần tìm

và cần tìm Chỉ trên cơ sở này, tư duy mới có thể ra đời Tính “có vấn đề” của tư duy là thuộc tính cơ bản và quan trọng nhất trong quá trình tư duy Không có tình huống có vấn đề nào mà quá trình tư duy không thể hình thành và phát triển

+ Tính gián tiếp của tư duy: Tư duy con người không nhận thức thế giới một cách trực tiếp mà nhận thức thế giới một cách gián tiếp Tính gián tiếp của tư duy thể hiện trước hết ở việc con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy Khi chúng ta suy nghĩ, chúng ta dùng ngôn ngữ để diễn đạt suy nghĩ của mình, con người dùng bộ não để suy nghĩ nên những gì chúng ta nghĩ không thể diễn đạt được, người khác cũng không thể nhìn thấy Nhờ có ngôn ngữ, con người chuyển hóa các kết quả nhận thức (quy tắc, công thức, khái niệm, ) thành các quá trình tư duy (phân tích tổng hợp, so sánh, ) để hiểu được bản chất của sự vật hiện tượng Tính gián tiếp của tư duy còn thể hiện

ở chỗ con người sử dụng các phương tiện, công cụ khác nhau để nhận thức các sự vật, hiện tượng mà trong quá trình tư duy không thể nhận thức trực tiếp được Do tính gián tiếp của tư duy, bộ não con người mở rộng khả năng nhận thức của con người không giới hạn

+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy: Tư duy có khả năng tách rời những cái trừu tượng khỏi sự vật và hiện tượng, những thuộc tính và biểu tượng cụ thể và chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung của nhiều sự vật

và hiện tượng, rồi khái quát trên cơ sở đó những sự vật và hiện tượng riêng

lẻ khác nhau nhưng có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một phạm trù Nói cách khác, tư duy có tính trừu tượng và khái quát Nhờ tính trừu tượng và khái quát của tư duy, con người khi giải quyết vấn đề cụ thể có thể xếp nó vào một nhóm, một loại, một phạm trù với những quy luật

và cách giải quyết tương tự nhau

+ Tư duy gắn liền với ngôn ngữ: Tư duy của con người gắn liền với ngôn ngữ, sử dụng ngôn ngữ làm phương thức đại biểu cho quá trình và kết quả của tư duy Nếu không có tư duy thì ngôn ngữ không thể xuất hiện và nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy sẽ không được thể hiện ra ngoài Tư duy và ngôn ngữ không đồng nhất nhưng cũng không thể tách rời nhau [11]

c, Các thao tác tư duy

Dựa theo nghiên cứu của một số tác giả như Nguyễn Bá Kim, Chu Cẩm Thơ về tư duy thì quá trình tư duy được tiến hành qua các thao tác tư

duy: Phân tích - tổng hợp; so sánh – tương tự; khái quát hóa - đặc biệt hóa; trừu tượng hóa – cụ thể hóa

+ Phân tích – tổng hợp: Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ; Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành nhiều một hệ thống” Như vậy, có thể hiểu phân tích là phân chia cái toàn thể thành các thành phần, còn tổng hợp

là sắp xếp các bộ phận của cái tổng thể vào với nhau [11]

+ So sánh – tương tự: So sánh là nhìn cái này với cái kia, xem giống nhau, khác nhau, khác nhau nhiều hay ít; là tìm ra cái chung, cái riêng của các sự vật, sự việc Tương tự là một phép toán tinh thần dựa trên sự giống nhau của các tính chất tính chất và mối quan hệ giữa các đối tượng toán học khác nhau [11]

+ Khái quát hóa – đặc biệt hóa: “Khái quát hóa là việc chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn bao gồm tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số nét chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” “Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của khái quát hóa, là việc chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong nó” Khái quát hóa và đặc biệt hóa thường được sử dụng trong yêu cầu toán học và giải quyết vấn đề [23]

+ Trừu tượng hóa – cụ thể hóa: Theo nghiên cứu của tác giả Nguyễn

Bá Kim: “Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất Sự phân biệt bản chất với không bản chất mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động” [11]

1.2.2.2 Năng lực suy luận toán học

Trong dạy học môn Toán, việc phát triển NL tư duy và lập luận toán học cho học sinh là rất quan trọng Trong đó, NL tư duy toán học là tổ hợp

tìm ra lời giải của bài toán, khái quát, mở rộng, phát triển bài toán Còn lập luận được xem là một thành phần, một phương thức đặc thù của tư duy và một thành phần của NL toán học

NL suy luận toán học là một phần quan trọng của NL tư duy và lập luận toán học NL suy luận toán học bao gồm khả năng phân tích, đánh giá độ chính xác và sáng tạo trong việc giải quyết các vấn đề toán học nó yêu cầu người học phải có khả năng suy nghĩ rõ ràng và logic, đưa ra các giải pháp thích hợp và kiểm tra tính đúng đắn của chúng

Theo tác giả Nguyễn Như Hải thì suy luận là hình thức logic của tư duy, trong đó các phán đoán được kết hợp lại với nhau để rút ra phán đoán

mới Bất kì suy luận nào cũng có ba bộ phận hợp thành là tiền đề (các phán đoán có trước), lập luận (cách thức liên kết logic giữa các phán đoán cho trước để rút ra phán đoán mới) và kết luận (phán đoán mới được rút ra từ tiền

đề thông qua những lập luận logic) [7]

Tóm lai, việc phát triển NL tư duy và lập luận toán học cho HS ở THPT là rất cần thiết, giúp cho HS tìm ra lời giải của bài toán, khái quát hóa,

mở rộng và phát triển bài toán trong từng trường hợp cụ thể

1.2.2.3 Suy luận logic và suy luận không hợp logic

Có rất nhiều cách để phân loại suy luận Dựa theo nghiên cứu của tác giả Nguyễn Anh Tuấn, căn cứ vào sự tuân thủ các quy tắc suy luận và suy

luận tư duy ta có thể chia suy luận thành hai loại: Suy luận logic và suy luận không hợp logic [25]

Nếu suy luận X1; X2; X3; …; Xk Y là hàm mệnh đề hằng đúng (bất

kể các Xi lấy giá trị nào) thì ta có suy luận hợp lôgic Y được gọi là kết luận lôgic hay hệ quả lôgic Ngược lại, nếu suy luận X1; X2; X3; …; Xk Y là hàm mệnh đề không hằng đúng (tồn tại ít nhất một bộ giá trị của Xi làm cho X1; X2; X3; …; Xk Y có giá trị chân lí bằng 0) thì ta có suy luận không hợp lôgic Suy luận không hợp lôgic gọi là suy luận sai (dẫn theo [21])

Chú ý trong toán học, chúng ta cần sử dụng các suy luận logic để lập luận giải quyết vấn đề Tuy nhiên, suy luận logic không phải lúc nào cũng đảm bảo dẫn đến được kêt quả chắc chắn đúng Bởi lẽ một phép chứng minh toán học phải đồng thời là suy luận logic và chỉ dựa trên những tiền đề đã được chấp nhận là đúng đắn

1.2.2.4 Suy luận quy nạp và suy luận diễn dịch

Dựa theo nghiên cứu của tác giả Nguyễn Anh Tuấn thể hiện trong cuốn

“Giáo trình Lôgic Toán và lịch sử Toán”, căn cứ vào cách thức lập luận, ta có

hai loại suy luận: Suy luận quy nạp và suy luận diễn dịch (dựa theo [25])

Suy luận quy nạp là suy luận đưa ra những kết luân khái quát từ những

yếu tố riêng lẻ Ba điều kiện cần thiết để có kết luận đúng đắn rút từ suy luận quy nạp là:

Thứ nhất, để thực hiện khái quát các sự vật cụ thể dẫn đến cái chung thì các sự vật phải cùng loại

Thứ hai, việc khái quát phải dựa trên các thuộc tính bản chất của các

nạp mà kết luận được rút ra dựa trên việc kiểm tra tất cả các đối tượng riêng

lẻ Còn suy luận quy nạp không hoàn toàn thì kết luận được rút ra trên việc không kiểm tra không đầy đủ các đối tượng riêng lẻ Suy luận quy nạp hoàn toàn thường sẽ rút ra được những kết luận đúng đắn và đáng tin cậy hơn, tuy

nhiên chỉ sử dụng được với các lớp đối tượng có ít đối tượng riêng Còn với các lớp đối tượng có các rất nhiều đối tượng riêng, thậm chí là vô hạn thì

người ta phải sử dụng suy luận quy nạp không hoàn toàn

Ngược lại với suy luận quy nạp thì suy luận diễn dịch là suy luận

tuân theo những quy tắc logic nhất định để bảo đảm rằng nếu tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng đúng Suy luận diễn dịch cũng được chia làm hai loại là

suy luận diễn dịch trực tiếp (kết luận được rút ra từ một tiền đề) và suy luận diễn dịch gián tiếp (kết luận được rút ra từ sự liên kết hai hay nhiều tiền đề)

So với suy luận diễn dịch, kết luận rút ra từ suy luận quy nạp chỉ mang

tính chất dự đoán (có thể đúng hoặc sai) Vì vậy, trong toán học, để dự đoán, tìm tòi, khám phá các quy luật, kết quả nào đó thì người ta thường sử dụng

suy luận quy nạp

1.2.2.5 Năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

Chương trình môn toán – Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 đã đưa các biểu hiện cụ thể của NL tư duy và lập luận toán học và yêu cầu cần đạt cho cấp THPT như sau:

- Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát

- Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn

ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học [4]

Như vậy, thống nhất theo quan điểm của chương trình giáo dục phổ thông 2018, NL tư duy và lập luận toán học là khả năng thực hiện thành thạo các thao tác tư duy và khả năng dự đoán chính xác các tình huống toán học, khả năng phân tích và đánh giá độ chính xác và sáng tạo trong giải quyết các vấn đề toán học, khả năng sử dụng các lập luận có căn cứ

1.2.3 Vai trò của năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học môn toán

Theo tác giả Nguyễn Anh Tuấn, trong quá trình dạy học Toán, NL tư duy và lập luận toán học giữ vai trò rất quan trọng, vừa là phương tiện nhận

thức, vừa gắn liền với mục tiêu phát triển tư duy cho HS Nhờ có sự tư duy

và lập luận mà các em có thể có được cái nhìn sâu sắc, sáng suốt, giúp các

em có thể học tốt hơn môn toán và các môn học khác Đồng thời, họ sẽ có thể tham gia các hoạt động thực tế tốt hơn và tự khẳng định mình trong xã hội ngày nay

NL tư duy giúp HS hiểu sâu hơn về bản chất của các khái niệm và quy tắc toán học, giúp họ tạo ra các hình ảnh tưởng tượng và hiểu các mô hình toán học một cách rõ ràng và có cấu trúc Việc này giúp cho HS dễ dàng hơn trong việc giải các vấn đề toán học khó nhằn bằng cách áp dụng các quy tắc

và công thức để tìm ra câu trả lời chính xác

NL lập luận giúp HS có khả năng căn cứ vào dữ liệu và logic để đưa ra các lưu ý, chứng minh và giải thích về giải pháp của một vấn đề toán học NL lập luận còn giúp HS nâng cao kỹ năng phán đoán và phân tích các bài toán toán học để đưa ra các giải pháp tốt nhất và đúng đắn

Vì vậy, việc phát triển NL tư duy và lập luận luôn được coi là một trong những mục tiêu quan trọng trong dạy học môn Toán GV cần phải cung cấp cho HS những bài tập và thực hành để tăng cường khả năng tư duy và lập luận của các em [dựa theo 25]

1.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh trung học phổ thông trong dạy học nội dung “Bất đẳng thức”

1.3.1 Nội dung “Bất đẳng thức” trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông

1.3.1.1 Mạch kiến thức về “Bất đẳng thức” ở trường Trung học phổ thông

Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2006, trước khi vào học bậc THPT, học sinh đã được học sơ lược về “Bất đẳng thức” ở bậc THCS Đến bậc THPT, học sinh tiếp tục được tìm hiểu chủ đề này một cách tổng quát và có tính hệ thống Cụ thể là:

nội dung liên quan đến BĐT như sau:

- Thứ tự trên trục số

- Khái niệm về BĐT

- Mối liên hệ giữa thứ tự với phép nhân và phép cộng

- HS còn được tìm hiểu về một số BĐT quen thuộc như: BĐT Cauchy

• Ở lớp 9, HS không được tìm hiểu sâu về BĐT tuy nhiên HS khá giỏi

có thể tìm hiểu thêm qua một số bài nâng cao và bài tập vận dụng cao trong

đề thi vào 10

• Lên cấp THPT, ở lớp 10 trong SGK theo chương trình cũ, HS được nghiên cứu sâu hơn về BĐT với những nội dung:

- Định nghĩa BĐT theo quan điểm mệnh đề chứa biến

- Khái niệm về BĐT hệ quả và BĐT tương đương

- Củng cố lại các tính chất của BĐT

- BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân (BĐT Cauchy) và một

số hệ quả của nó

- BĐT chứa dấu trị tuyệt đối

• Ở lớp 11, lớp 12 với HS có thể tìm hiểu sâu hơn về BĐT qua những tiết tự chọn, qua một số bài tập vận dụng BĐT như bài toán tìm GTLN, GTNN, so sánh, … [1]

Nội dung BĐT là nội dung khá khó với HS Vì vậy, trong Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018, nội dung BĐT cũng được tinh giảm bớt

và điều chỉnh phù hợp với khả năng của HS hơn Cụ thể là:

• Ở lớp 9, HS bắt đầu được học một số nội dung liên quan đến BĐT:

- Thứ tự trên tập hợp số các số Thực

- Khái niệm BĐT và một số tính chất cơ bản của BĐT (tính chất bắc cầu, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân)

• Ở cấp THPT, nội dung về BĐT bị tinh giảm đi Tuy nhiên, HS vẫn

có thể được nghiên cứu thêm về nội dung BĐT thông qua một số chủ đề liên

quan đến BĐT như nội dung về BPT và hệ BPT, phương trình, các bài toán so

sánh,… [4]

1.3.1.2 Các kí hiệu trong nội dung “Bất đẳng thức”

BĐT có thể được coi là một kiến thức nền rất quan trọng, có liên quan hầu hết đến các dạng bài tập ở cả chương trình THCS và THPT Để hiểu được nội dung BĐT, HS cần hiểu được ý nghĩa của các kí hiệu được sử dụng trong nội dung này

• Kí hiệu “<” nghĩa là “Nhỏ hơn”

• Kí hiệu “>” nghĩa là “Lớn hơn”

• Kí hiệu “” nghĩa là “Nhỏ hơn hoặc bằng”

• Kí hiệu “” nghĩa là “lớn hơn hoặc bằng”

Từ đó, ta có một số kí hiệu sau:

• Nếu A lớn hơn B, ta kí hiệu “A B ”

• Nếu A lớn hơn hoặc bằng B, ta kí hiệu “A B ”

• Nếu A nhỏ hơn B, ta kí hiệu “A B ”

• Nếu A nhỏ hơn hoặc bằng B, ta kí hiệu “A B ”

• Nếu a là số thực dương, ta kí hiệu “a  0”

• Nếu a là số thực âm, ta kí hiệu “a 0”

• Nếu a là số thực không âm, ta kí hiệu “a 0”

• Nếu a là số thực không dương, ta kí hiệu “a 0”

1.3.1.3 Yêu cầu khi dạy học nội dung “Bất đẳng thức”

Theo Chương trình giáo dục phổ thông 2006, việc dạy học nội dung BĐT ở trường phổ thông cần tập trung vào 2 mục tiêu về kiến thức và kĩ năng như sau:

1 Về kiến thức:

- Nắm vững khái niệm của BĐT và các tính chất của BĐT

- Hiểu được BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số (BĐT Cauchy)

1 Về kiến thức:

- HS nhận biết được bất đẳng thức và mô tả được một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức (tính chất bắc cầu; liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân)

2 Về năng lực: Qua các bài tập chứng minh BĐT, HS cần được:

- Rèn luyện tư duy thuật toán, tư duy và suy luận lôgic, chính xác, cẩn thận

- Phát triển NL tư duy và lập luận toán học và NL giải quyết vấn đề

- Khả năng chuyển đổi linh hoạt, kết hợp và thống nhất giữa hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp: đường lối suy nghĩ tiếp cận để chứng minh BĐT

Để xác định các thành tố NL tư duy và lập luận toán học của HS THPT, chúng tôi dựa vào một số căn cứ sau:

• Chương trình GDPT năm 2018 [4]

• Nội dung BĐT trong chương trình môn Toán THPT [Mục 1.2.1]

• Tham khảo một số quan điểm của các tác giả đề cập đến NL tư duy

và lập luận Toán học của HS THPT [23]

• Căn cứ vào kết quả nghiên cứu về NL, NL tư duy và lập luận [Mục 1.1] Chúng tôi cho rằng NL tư duy và lập luận toán học của HS THPT bao gồm các thành tố sau:

• Thành tố 1 – HS thực hiện được các thao tác tư duy cơ bản khi chứng minh các BĐT

• Thành tố 2 – HS phát hiện được sự tương đồng và khác biệt khi nhận dạng một số BĐT không quen thuộc và chứng minh được BĐT đó

• Thành tố 3 – HS sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc chứng minh BĐT

• Thành tố 4 – HS có khả năng tự đưa ra câu hỏi và định hướng trả lời

câu hỏi liên quan đến việc tìm tòi nhiều đường lối chứng minh

• Thành tố 5 – HS đánh giá, phát hiện lỗi sai của bản thân trong quá

trình chứng minh BĐT và lựa chọn được phương pháp tối ưu

Bảng 1.1: Các thành tố và biểu hiện của NL tư duy và lập luận toán học

của HS THPT

1 HS thực hiện được các thao

tác tư duy cơ bản khi học các

nội dung liên quan đến BĐT

1.1 Khả năng thực hiện được thao tác phân tích – tổng hợp khi học các nội dung liên quan đến BĐT

1.2 Khả năng sử dụng được thao tác so sánh – tương tự khi học các nội dung liên quan đến BĐT

1.3 Khả năng thực hiện thao tác khái quát hóa – đặc biệt hóa khi học các nội dung liên quan đến BĐT

2 HS phát hiện được sự tương

2.3 Khả năng sử dụng được một số kĩ thuật trong chứng minh BĐT

3.2 Khả năng sử dụng được đúng suy luận quy nạp toán học trong chứng minh BĐT 3.3 Khả năng lập luận có căn cứ khi chứng minh BĐT

4 HS đưa ra được câu hỏi và

định hướng trả lời câu hỏi khi

lập luận và chứng minh BĐT,

liên quan đến việc tìm tòi nhiều

đường lối giải quyết vấn đề

4.1 Khả năng chuyển đổi từ ngôn ngữ BĐT sang ngôn ngữ tự nhiên và ngược lại 4.2 Khả năng phát biểu một bài toán chứng minh BĐT hoặc tìm GTLN, GTNN bằng nhiều cách khác nhau

4.3 Khả năng giải thích, điều chỉnh được phương pháp chứng minh BĐT

5 HS đánh giá, phát hiện lỗi

sai của bản thân trong quá

trình chứng minh BĐT và lựa

chọn được phương pháp tối ưu

5.1 Khả năng phát hiện và sửa chữa những sai lầm thường gặp về sử dụng các phép biến đổi tương đương khi thực hiện chứng minh BĐT

5.2 Khả năng phát hiện và sửa chữa những sai lầm thường gặp về sử dụng các BĐT cơ bản khi thực hiện chứng minh BĐT

5.3 Khả năng phát hiện và sửa chữa những sai lầm hay gặp về sử dụng các luận đề, luận cứ, luận chứng khi làm việc với BĐT Các thành tố NL trên có thể có các điểm chung, sự phân chia chỉ mang tính tương đối, có sự bổ sung và bổ trợ cho nhau Trong luận văn nay, giới hạn ở những thành tố mà GV có thể chuẩn bị được thông qua việc dạy học BĐT trong trường THPT

- Căn cứ vào các yêu cầu cần đạt được trong các nội dung dạy học trong môn Toán đối với HS THPT [4]

- Căn cứ vào cách xây dựng các mức độ hiểu biết toán học theo PISA [2]; [10]

- Dựa vào kết quả khảo sát HS trường THPT Ngô Quyền; THPT Lê Chân, THPT Lê Quý Đôn Phân tích việc ghi chép các bài kiểm tra thường xuyên, bài kiểm tra học kì của HS, chúng tôi nhận thấy: trong 15 tiêu chí trên của NL tư duy và lập luận toán học của HS đều có mức chưa đạt, đạt, khá, tốt Trên cơ sở đó, chúng tôi lượng hóa thành 4 mức độ phát triển NL tư duy và lập luận toán học cho HS THPT như sau:

Mức độ 1: = Yếu (Y) Mức độ này HS thường thụ động, chưa sử dụng

được các thao tác tư duy, ngôn ngữ BĐT trong ghi chép, trình bày và khi giải thích một số tình huống khi học tập về BĐT

Mức độ 2: = Trung bình (TB) HS sử dụng được các thao tác tư duy,

ngôn ngữ BĐT trong ghi chép, trình bày hoặc giải thích một số tình huống đơn giản khi học tập về BĐT, ở mức độ này, HS còn lúng túng khi lập luận, suy luận, giải thích một nội dung liên quan đến BĐT

Mức độ 3: = Khá (K) HS sử dụng chính xác các thao tác tư duy, BĐT

cơ bản để suy luận, lập luận về những vấn đề liên quan đến BĐT khi học nội dung này

Mức độ 4: = Tốt (T) HS sử dụng thành thạo, linh hoạt, sáng tạo các

thao tác tư duy, sử dụng các BĐT cơ bản để suy luận, lập luận về những vấn

đề liên quan đến chứng minh BĐT và tìm GTLN, GTNN khi học về nội dung này

Ví dụ 1.1: Minh họa cách đánh giá mức độ về khả năng tư duy và lập luận Toán học của HS THPT Sau khi HS được tiếp cận với nội dung

khái niệm và các tính chất của BĐT GV có thể đánh giá NL tư duy và lập luận toán học của HS thông qua bài tập sau:

Bài tập: Tìm GTNN của biểu thức M = + − x2 2 x 3

GV cho HS 5 phút để HS suy nghĩ và trình bày cách làm vào vở, dựa vào kết quả đó GV hướng dẫn để HS đánh giá mức độ đạt được về khả năng

sử dụng BĐT trong giải quyết tình huống trên, giúp họ rèn luyện khả năng tự đánh giá NL tư duy và lập luận Toán học

Mức độ 1: Đây là mức độ thấp nhất của NL tư duy và lập luận toán học Ở mức độ này, HS thường thụ động, chưa biết cách sử dụng BĐT để tìm

GTNN của biểu thức

Mức độ 2: Ở mức độ này, HS lúng túng khi sử dụng BĐT để tìm

GTNN của biểu thức, chưa biết tách thế nào để đưa về hằng đẳng thức hoặc

sử dụng sai BĐT, sai tính chất của BĐT khi lập luận, suy luận Chẳng hạn:

HS trình bày cách làm như sau:

Ta có: M = + − = + + − = + x2 2 x 3 x2 2 x 1 4 ( x 1)2− 4

Vì ( x + 1)2   0, x nên ( x + 1)2 −    4 4, x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = −1

Vậy GTNN của M bằng 4

Ở bài làm trên HS vẫn mắc lỗi khi áp dụng tính chất

a  +  +b a c b c của BĐT khi lập luận Điều này cho thấy HS cần xem lại tính chất của BĐT

Mức độ 3: HS đã nắm được phương pháp tìm GTNN của biểu thức

bằng cách sử dụng kết quả của BĐT đã biết, biết cách tách số để đưa về hằng đẳng thức và sử dụng tính chất của BĐT để lập luận, giải thích Tuy nhiên, đôi khi trình bày còn thiếu căn cứ, lập luận chưa chặt chẽ HS trình bày như sau:

Mức độ 4: HS đã sử dụng đúng, linh hoạt BĐT (𝑎 + 𝑏)2 ≥ 0 để tìm GTNN của biểu thức M, trình bày phần suy luận, lập luận một cách chính xác, đầy đủ bằng ngôn ngữ bản thân Như vậy, HS đã hiểu rõ về khái niệm, tính chất của BĐT và biết cách sử dụng các BĐT cơ bản để giải quyết một số bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức hoặc hàm số HS trình bày được như sau:

1.4 Thực trạng dạy học nội dung “Bất đẳng thức” ở một số trường Trung học phổ thông trên địa bàn thành phố Hải Phòng

1.4.1 Đối tượng và mục đích điều tra

Tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung BĐT theo hướng phát triển NL

tư duy và lập luận Toán học ở một số trường THPT trên địa bàn thành phố Hải Phòng

Thời gian tiến hành khảo sát: tháng 3/2023 - tháng 4/2023

Đối tượng khảo sát:

- Giáo viên Toán: 40 giáo viên

- Học sinh khối 10, 11: 150 học sinh (đã và đang học những nội dung liên quan đến BĐT)

Những đối tượng khảo sát này thuộc trường THPT Ngô Quyền; THPT

Lê Chân, THPT Lê Quý Đôn trên địa bàn thành phố Hải Phòng nơi tôi đang công tác

1.4.2 Nội dung điều tra

Tìm hiểu nhận thức của GV và HS về vấn đề phát triển NL tư duy và lập luận toán học cho HS, những khó khăn của GV khi dạy học nội dung BĐT cho HS và khó khăn của HS khi học nội dung BĐT Đồng thời, tìm hiểu hoạt động phát triển NL tư duy và lập luận toán học cho HS trong dạy học chủ đề BĐT ở các trường THPT trên địa bàn thành phố Hải Phòng hiện nay

1.4.3 Phương pháp và tiến hành điều tra

- Dùng phiếu khảo sát với hình thức trắc nghiệm khách quan

- Tiến hành phỏng vấn GV và HS

- Quan sát thông qua dự giờ các tiết dạy của GV (mỗi GV 1 tiết)

- Xem hồ sơ, giáo án của các GV Toán

- Chấm bài kiểm tra khảo sát đối với HS

1.4.4 Kết quả điều tra

1.4.4.1 Phân tích kết quả khảo sát đối với GV

Khảo sát GV ở trường THPT về việc phát triển NL tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề BĐT, tôi phát phiếu điều tra

số 01 (phụ lục 01) với các GV toán trong trường THPT Ngô Quyền Kết quả tổng hợp ý kiến được thể hiện như sau:

* Thông tin phản hồi của GV đánh giá về mức độ cần thiết của việc rèn

luyện và phát triển các thao tác tư duy cho HS qua dạy học chủ đề BĐT thể hiện ở bảng 1.2 dưới đây:

Bảng 1.2: Kết quả điều tra mức độ cần thiết của việc rèn luyện và phát

triển các thao tác tư duy của HS qua dạy học chủ đề BĐT

* Về mức độ thường xuyên thiết kế hoạt động dạy học môn Toán theo định hướng phát triển NL tư duy và lập luận toán học trong quá trình giảng dạy chủ đề có liên quan đến BĐT ta có kết quả sau:

Bảng 1.3: Kết quả điều tra mức độ thường xuyên thiết kế hoạt động dạy học môn Toán theo định hướng phát triển NL tư duy và lập luận toán học trong quá trình giảng dạy chủ đề có liên quan đến BĐT

Qua số liệu ở bảng 1.3 trên, tôi thấy GV đã có ý thức về việc thiết kế hoạt động dạy học theo định hướng phát triển NL tư duy và lập luận toán học cho HS qua dạy học chủ đề BĐT, nhưng hoạt động này chỉ thỉnh thoảng diễn ra

* Quan sát bảng 1.4 cho thấy, đa số GV thường xuyên rèn luyện thao tác phân tích - tổng hợp, chưa chú trọng rèn luyện các biểu hiện trong các thành tố khác của NL tư duy và lập luận toán học cho HS qua dạy học chủ

đề BĐT

Bảng 1.4: Kết quả điều tra mức độ thường xuyên rèn luyện

những thành tố của NL tư duy và lập luận toán học

trong quá trình giảng dạy chủ đề có liên quan đến BĐT

Thao tác phân tích - tổng hợp 72,3%

Các thao tác tư duy tương tự, đặc biệt

hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa 60,3%

Các phương pháp lập luận toán học 50,6%

Các quy tắc suy luận toán học 50,4 %

Kĩ năng điều chỉnh cách thức giải

quyết vấn đề toán học 45,8%

* Điều tra về những khó khăn của GV toán khi tổ chức thực hiện dạy học nội dung BĐT theo định hướng phát triển NL tư duy và lập luận cho HS

ở trường tôi có kết quả như sau:

Bảng 1.5: Kết quả điều tra những khó khăn của GV Toán khi tổ chức thực hiện dạy học nội dung BĐT theo định hướng phát triển

NL tư duy và lập luận cho HS

1 Chưa hiểu rõ về NL tư duy và lập luận toán học 10,8%

2 Thiếu kiến thức về vấn đề định hướng dạy học nội 47,1%

dung BĐT theo hướng phát triển NL tư duy và lập

luận cho HS

3

Chưa có kinh nghiệm tổ chức các hoạt động dạy

học nội dung BĐT theo định hướng phát triển NL

tư duy và lập luận cho HS

62,4%

* Về thực trạng học nội dung BĐT của HS THPT với việc phát triển

NL tư duy và lập luận toán học, tôi thu thập ý kiến, nhận định, đánh giá của

GV về NL tư duy và lập luận của HS đạt được khi học nội dung BĐT Tôi được kết quả như sau:

Bảng 1.6: Kết quả khảo sát GV về NL tư duy và lập luận toán học của HS

đạt được khi học nội dung BĐT

Mức 1 Mức 2 Mức 3 Mức 4

Yếu Trung

bình Khá Tốt

1 HS có khả năng sử dụng các thao tác tư

duy cơ bản khi chứng minh các BĐT 14,3% 47,7% 27,3% 10,7%

2 HS có khả năng phát hiện được sự

tương đồng và khác biệt khi nhận

dạng một số BĐT không quen thuộc

và chứng minh được BĐT đó

25,1% 42,4% 23,9% 8,6%

3 HS có khả năng sử dụng được các

phương pháp suy luận quy nạp và suy

luận suy diễn để tìm ra những cách

chứng minh BĐT

30,1% 40,1% 21,7% 8,1%

4 HS có khả năng tự đưa ra câu hỏi và

định hướng trả lời câu hỏi liên quan

đến việc tìm tòi nhiều hướng chứng

minh BĐT

45,6% 32,5% 16,6% 5,3%

5 HS có khả năng đánh giá, phát hiện

lỗi sai của bản thân trong quá trình

chứng minh BĐT và lựa chọn được

phương pháp tối ưu

51,7% 24,1% 19,3% 4,9%

* Nhận xét chung: Thông qua khảo sát 40 GV Toán có số năm công

tác đều từ 5 năm trở lên, để tìm hiểu về thực trạng dạy học nhằm phát triển một số thành của NL tư duy và lập luận toán học cho HS của GV, đặc biệt qua dạy học nội dung BĐT, có thể nhận xét như sau:

- Tất cả các GV được khảo sát đều nhất trí rằng phát triển NL tư duy và lập luận toán học rất quan trọng đối với việc học của HS Nhưng làm cách nào

để phát huy NL tư duy và lập luận toán học cho HS thì nhiều GV chưa nắm được hoặc không hiểu rõ các biểu hiện của NL này

- Nhiều GV đã có ý thức bồi dưỡng các thao tác tư duy cho HS, nhưng chủ yếu chỉ thực hiện giải toán bằng những phương pháp truyền thống như: phân tích bài toán bằng cách yêu cầu HS nêu giả thiết kết luận; rèn luyện thao tác tương tự bằng cách thực hiện các bài giải mẫu; chưa quan tâm đến việc khái quát hóa, giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau…

1.4.4.2 Phân tích kết quả khảo sát đối với HS

Để thăm dò về NL tư duy và lập luận toán học của HS khi học nội dung

BĐT, tôi phát phiếu điều tra số 02 (phụ lục 02) với các HS lớp 10,11 của một

trường THPT trên địa bàn thành phố Hải Phòng Kết quả tổng hợp ý kiến được thể hiện như sau:

* Những khó khăn mà HS hay gặp khi sử dụng các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, so sánh, để chứng minh BĐT được thể hiện qua bảng sau: