Đối với GV, việc hướng dẫn HS giải toán chủ đề Giới hạn của hàm số cũng thườnggặp một số hạn chế trong việc rèn luyện các kĩ năng giải toán.. Nhằm hiểu thấu đáo hơn về kĩ năng giải các b
Trang 1ĐẠI HỌC QUOC GIA HA NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
NGUYEN TRUNG HIẾU
TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐÈ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ SU PHAM TOÁN HỌC
HÀ NOI - 2024
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
NGUYÊN TRUNG HIẾU
REN LUYEN KĨ NANG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 11
TRONG DAY HỌC CHU ĐÈ GIỚI HAN CUA HAM SO
LUAN VAN THAC Si SU PHAM TOAN HOCCHUYEN NGANH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHAP DẠY HỌC
BỘ MÔN TOÁN HỌC
Mã số: 8140209.01
HÀ NỘI - 2024
Trang 3yên tâm học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, xin cảm ơn tập thể lớp Cao học Toán 2 đã luôn giúp đỡ, hỗ trợ tôi trong suốtquá trình học tập và làm luận văn Tôi đã học hỏi được nhiều điều từ các học viên trong
Trang 4MỤC LỤC
LOT CAM 0 01 i
MO DAU ou 157 1
Lí do chọn đề tài - - - G << s s s s99 00 0.00 0.0 KH 1 Mục đích và nhiệm vụ nghiên CỨU - 5 << 1 1119911991011 0x nh nh 2 Mu dich nghién COU 01277 2
NhiéM Vu NYHIEN CUU 01232 2
Khách thể, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu - + + 5+ + 5s s+ss+ez+exeeeeeressesrs 2 Khach thé nghién 0u 008 2
DGi tong NHIEN 0000000 2
Pham vi nghiém COU 01, nnnnỗẼẼ.- 2
Var GE NGHIEN CUU oo 2
Gia thuyét 4108.1120001 3
Phương pháp nghiên CỨU (+ 311 95 E319 90 30 ng 3 Nhitng dong gop cia 800x007 — 4
Cu tric LUN VAN 0177 4
CHƯƠNG 1 CO SO LÍ LUẬN VÀ THUC TIEN cesscesssesssssssecsssessecsssesscesssssucssesssecssscssessssesuvenseeneeeneee 5 1.1 Các vấn đề chung về kĩ nang - - 5 + + 1191 91 9111 1 1h nh TH TT nọ Ti ng 5 1.1.1 tiên 04: 0 5
1.1.2 Sự hình thành kĩ nang - . s5 sọ HT nh 8 1.1.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng 56 5532513 sseseserese 9 1.1.4 Các mức độ của Ki năng - - - - -< sọ TH ng 10 I0 00 13
1.2.1 Khái niệm kĩ năng gidi tOáI - 5% 13191 9 30.10 ưng 13 1.2.2 Cac kĩ năng giải toán cần thiết trong nội dung giới han ham số - -«- «+ 14
1.2.3 Rèn luyện ki năng giải tOán - < s11 119.19 01 nnrư 14 1.2.4 Các mức độ của kĩ năng giải tOá - 5 x1 HH như 15 1.2.5 Vai trò, ý nghĩa của rèn luyện kĩ năng giải toán .- + 2c S33 *Eseeerereeerserrss 15 1.3 Thực tiễn dạy học giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình Toán 11 16
1.3.1 Yêu cầu cần đạt, nội dung giới hạn hàm số lớp 11 ¿5 <5 *++*+*#+veexeeersss 16 1.3.2 Những ki nang cở ban thuộc nội dung chương giới han lớp 11 - 5 «<s«+s+ 17 1.3.3 Tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung giới hạn của hàm số ở các trường phổ thông 18
1.3.4 Cách thức rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề giới hạn hàm số - «- -s «+ 24 Kt ludn CHUONG 010 26 CHƯƠNG 2 CÁC Ki NĂNG GIẢI TOÁN TÌM GIGI HAN CUA HAM SỐ - 55s s52 27
1
Trang 5CHƯƠNG 3 THUC NGHIỆM SƯ PHẠÌM 6 +12 HT HT HH nhung 72
3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm - - ó5 + 113113911 series 72
3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm - - - GG- < 5c E918 9111 910 9101 ng re 72 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạIm - - - - << E189 89111 91 9 11911 01 ng ng re 72
3.2 Hoạt động thực nghiệm sư phạIm - - - c6 1331199118991 189 1189111 9111 81 18 11 81 ng gym 73
3.2.1 Địa điểm đối tượng và bố trí thực nghiệm - 5 21331 * +3 £EEESEESeEeeressererreeree 73
Trang 6số từ cơ bản đến nâng cao rat đa dạng, phong phú, là nền tang dé học các nội dung trongmạch Một số yếu tố giải tích sau này, thường xuyên gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp trunghọc phổ thông, thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia, quốc tế cũng như trong các bài khảo sát
đánh giá năng lực.
Thực tế khi học sang chương Giới hạn - hàm số liên tục, HS thường gặp khó khăn khigiải các bài toán chủ đề Giới hạn của hàm số HS có thể thuộc các định lí, hệ quả nhưng lạikhông biết cách vận dụng để giải toán hoặc vận dụng vào giải toán một cách máy móc,
không có định hướng.
Đối với GV, việc hướng dẫn HS giải toán chủ đề Giới hạn của hàm số cũng thườnggặp một số hạn chế trong việc rèn luyện các kĩ năng giải toán Việc đó đòi hỏi phải tim raphương pháp hiệu quả hơn, thuận tiện hơn trong việc giải các bài toán chủ đề Giới hạn củaham số
Nhằm hiểu thấu đáo hơn về kĩ năng giải các bài toán chủ đề Giới hạn củahàm số và dưới sự hướng dẫn, định hướng của thay giáo TS Lê Đình Định, tôi quyết địnhchọn đề tài "Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh lớp 11 trong day học chủ đề Giới
hạn của hàm sô” cho luận văn thạc sĩ của mình.
Trang 7Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm đề xuất được một số biện pháp khả thi và hiệu quả trong rèn luyện các kĩnăng giải toán chủ đề Giới hạn của hàm số
Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa cơ sở lí luận về kĩ năng giải toán
- Nghiên cứu kĩ năng giải toán nội dung Giới han của hàm số
- Nghiên cứu nội dung, mục tiêu dạy học của bài Giới hạn của hàm SỐ
- Dé xuat một sô biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán bài Giới han của ham sô cho học sinh lớp 11 THPT.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài
Khách thé, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứuKhách thể nghiên cứu
- Tình hình dạy học ở trường THPT Phùng Khắc Khoan
Đối tượng nghiên cứu
- Quá trình dạy học nội dung bài Giới hạn của hàm SỐ
Pham vi nghiên cứu
- Nghiên cứu Giới hạn.
Van đề nghiên cứu
Có những phương pháp rèn luyện nào có thể được đề xuất đề cải thiện kĩ năng giải
toán của học sinh về giới hạn của hàm sô?
Trang 8Gia thuyết khoa học
Nếu vận dụng các kĩ năng được hệ thống trong luận văn thì sẽ rèn luyện cho HS lớp
11 kĩ năng giải toán thông qua các bài toán giới hạn của hàm số, góp phần nâng cao hiệuquả quá trình dạy Đại số và Một số yếu tố Giải tích ở THPT
Phương pháp nghiên cứu
Với đề tài "Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh lớp 11 trong dạy học chủ đềgiới hạn của hàm số”, trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi sẽ sử dụng các phương
pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận:
e Phân tích tài liệu: Nghiên cứu các tài liệu tham khảo, sách giáo khoa, tài liệu đào tạo,
và nghiên cứu trước đây về giáo dục toán hoc và việc giải toán vê giới han của hàm sô.
- Phương pháp điêu tra quan sat:
e Xây dựng và sử dụng những mau phiếu điều tra về tình hình day và học bài Giớihạn của hàm số (điều tra qua giáo viên và điều tra qua HS)
©_ Dự giờ, trao đôi kinh nghiệm với các đồng nghiệp trong trường và các đồng nghiệp
ở trường khác.
e_ Điều tra thực trạng tiếp thu kiến thức về bài Giới hạn của ham số
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
e Thiết kế các hoạt động thực nghiệm: Xây dựng các hoạt động giảng dạy và rèn luyện
kĩ năng giải toán về giới hạn của hàm số dựa trên các nguyên tắc sư phạm và kiến thứcchuyên môn Thiết kế các bài tập, ví dụ minh họa, và hoạt động thực hành phù hợp vớimục tiêu học tập và nhu cầu của học sinh
e Thực hiện thử nghiệm trong lớp học: Áp dụng các hoạt động và phương pháp giảngday đã thiết kế vào thực tiễn trong lớp học Quan sat và ghi nhận các phản hồi từ giáo viên
và học sinh trong quá trình thực hiện.
e Thu thập dỡ liệu: Thu thập dữ liệu về hiệu quả của các hoạt động giảng dạy và rèn
luyện thông qua việc quan sát, ghi chú, bảng ghi, cuộc trò chuyện, hoặc cuộc khảo sát.
3
Trang 9e Phân tích và đánh giá: Phân tích dữ liệu thu thập được dé đánh giá hiệu quả của cáchoạt động giảng dạy và rèn luyện Xác định các điểm mạnh, điểm yếu, cơ hội và thách thức
trong quá trình giảng dạy và học tập.
- Phương pháp phân tích thống kê toán học và kiểm định giả thuyết khoa học:
e Thu thập dữ liệu: Thu thập dữ liệu từ các hoạt động giảng dạy và rèn luyện, bao gồmđiểm số của học sinh, kết quả của các bài kiểm tra, và các phản hồi từ giáo viên và học
động rèn luyện kĩ năng giải toán.
Những đóng góp của luận văn
Đề tài có giá trị về mặt lí thuyết Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho
học sinh, sinh viên ngành sư phạm toán nói riêng và sinh viên ngành Toán nói chung, giáo
viên phô thông và các đối tượng quan tâm đến các kiến thức mạch Giải tích, chủ đề Giớihạn nói chung và bài Giới hạn của hàm số nói riêng
Cấu trúc luận văn
Mở đầu
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Các kĩ năng giải toán trong việc tìm giới hạn của hàm số
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
Kết luận
Trang 10CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỀN1.1 Các van đề chung về kĩ năng
1.1.1 Khái niệm kĩ năng
Trong cuộc sống, con người liên tục được học hỏi, trau déi những tri thức mới, nhữngkinh nghiệm từ thế hệ trước đề lại Đồng thời, chúng ta cũng liên tục phải thực hiện cácnhiệm vụ từ sự phát triển bản thân và từ yêu cầu của xã hội Các nhiệm vụ từ cơ bản đếnphức tạp đều đòi hỏi chúng ta vận dụng một số vốn tri thức, kinh nghiệm nhất định dé giảiquyết Điều cơ bản là chúng ta phải khéo léo và linh hoạt khi vận dụng các lí thuyết cơ bản
để đưa vào từng trường hợp cụ thé Thông qua quá trình học hỏi và vận dụng như vậy, conngười dần hình thành các khả năng vận dụng lí thuyết cần thiết để giải quyết các vấn đề
gặp phải Các khả năng đó được gọi chung lại là kĩ năng.
Theo Tir điển tiếng Việt [24, tr 426], "kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thứcthu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tẾ"
Khi nghiên cứu vê ki năng, có rat nhiêu quan diém đã được đưa ra, tùy thuộc vao quan
điểm của từng người và tùy vào mỗi lĩnh vực, khái niệm kĩ năng chưa thực sự thống nhất
thành một khái niệm chung Chăng hạn trong lĩnh vực tâm lí học đê cập một sô khái niệm
về kĩ năng được sử dụng như sau:
Trong Tâm li học đại cương [2, tr 149], tác giả Nguyễn Quang Uan định nghĩa "ki „ăng
là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng
dé phát hiện những thuộc tinh, bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm
vụ lí luận hay thực hành xác định".
Trong Tâm lí học lứa tuổi và Tâm lí học Sư phạm [6, tr 131], tác giả Lê Văn Hồng chorằng "kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) dé giải
quyết một nhiệm vụ moi”.
Trong khi đó, P.A Rudich đưa ra quan điểm: "ki năng là động tác mà cơ sở của nó là
sự vận dụng thực tế các kiến thức đã tiếp thu đề dat được kết quả trong một hình thức hoạt
Art
động cụ thê” [19] Ở đây tác giả đã quan niệm kĩ năng là hoạt động vật chất, hàm chỉ vận
Trang 11động vật chất cụ thể Với quan niệm như vậy thuận lợi cho việc hình thành những kĩ năng
vận động, những thao tác kĩ thuật,
Quan niệm thứ hai coi kĩ năng là kha năng thực hiện một công việc hay việc thực hiện
một hoạt động nào đó một cách có chất lượng và hiệu quả theo yêu cầu, theo mục đích xácđịnh trong những điều kiện nhất định (thời gian, phương tiện, môi trường hoạt động, nguồn
lực, ) Hoặc kĩ năng là khả năng của con người thực hiện công việc một cách có hiệu quả
và chất lượng trong một khoảng thời gian thích hợp, trong những điều kiện nhất định, dựa
vào tri thức và thói quen hình thành được Như vậy, quan niệm kĩ năng là quan niệm rộng
hơn, không chỉ coi kĩ năng đơn thuần là hành động vật chất hay là động tác cụ thể, mà cònbao gồm cả hành động trí óc Theo từ điển, "ki năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, cáctri thức hay các khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng dé phat hiện những thuộc tinh,
bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định”
Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất rằng, kĩ năng là khả
năng vận dụng các kiến thức, kinh nghiệm đã học dé giải quyết nhiệm vụ đặt ra Nói đến
kĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động dé dat
tới mục đích đã định.
Đặc điêm của kĩ năng:
Dựa trên khái niệm, tác giả đưa ra một sô đặc điêm của kĩ năng như sau:
- Kĩ năng được hình thành dựa trên cơ sở lí thuyết Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa
trên một hoặc một nhóm kiến thức cụ thé Dé tạo nên một kĩ năng từ một cơ sở lí thuyết,
ta cần hiểu mục đích của việc tạo nên kĩ năng đó, đồng thời biết cách thức tạo quy trìnhcác thao tác dé hình thành kĩ năng, cũng như cần phải nắm được các yếu tố điều kiện cóthê ảnh hưởng đến các thao tác đó
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bảnchất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của
hành động.
- Kĩ năng của con người không phải là yếu tô bất biến trong suốt cuộc đời mà phụ thuộcvào người học thông qua chính hoạt động của họ trong mối quan hệ của họ với cộng đồng
6
Trang 12Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vậndụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được dé giải quyết dau hiệu bản chatcủa đối tượng, từ đó phát hiện những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng
đó Trong trường hợp này, tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức, vànhư vậy khối kiến thức mà họ có là khô cứng, không gắn với thực tiễn, không biến thành
cơ sở của các kĩ năng.
Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khácnhau vả những thuộc tính bản chất của các sự vật Như vậy dé tri thức trở thành cơ sở lựachọn đúng đắn cho các hành động thì cần biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp
lí, nói cách khác, cần lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp với mục tiêu
x+2 1
Ta có lim = lm——*=-—.
x23 — 4x v3 4
x
Với bai toán này, cơ sở của ki năng là những kiến thức co bản về khử dang vô định
của giới hạn hàm sô Trước hêt học sinh phải nhận dạng được đây là giới hạn của hàm sô
dạng ® Khi x dần tới +00 từ đó lựa chọn phương pháp thích hợp dé giải bài toán Sau đó
œ
học sinh sử dụng kêt quả lim—=0, với c là hăng sô.
Trong thực tế, nhiều học sinh thuộc lí thuyết nhưng không biết vận dụng vào bài tậphoặc làm được ví dụ vừa rồi nhưng không biết mình đã sử dụng định lí nào dé giải bài toán
đó Hoặc nếu trong ví dụ đó ta thay x dần tới too thành x dan tới 1 thì lời giải có gì thayđổi không? Thực tế học sinh rất ling túng hay mắc phải những sai lầm thường gặp Nguyên
nhân của hiện tượng đó là do kĩ năng của học sinh chưa được hình thành.
Trang 131.1.2 Sự hình thành kĩ năng
Theo từ điển giáo dục học, dé hình thành được ki năng trước hết cần có kiến thức làm
cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hànhđộng theo đúng mục đích, yêu cầu Do kiến thức là cơ sở của kĩ năng cho nên tùy theo
kiên thức học sinh cân năm được mà có những yêu câu rèn luyện kĩ năng tương ứng.
Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt
ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi, phân tích đốitượng dé tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư duy dién ra nhờ cácthao tác phân tích, tổng hợp trừu tượng hóa và khái quát hóa cho tới khi hình thành được
mô hình về một mặt nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán
đã cho.
Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các tham số như:Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn luyện kĩ năng, mức độ tích cực, chủ động của họcsinh Tác giả đề xuất ba con đường đề hình thành kĩ năng cho học sinh:
Con đường thứ 1: Truyền thụ cho học sinh những trí thức cần thiết, rồi sau đó đề ra
cho học sinh những bai toán vận dụng những tri thức đó Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tòi
cách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm (Thử các phươngpháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng,những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động
Con đường thứ 2: Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xácđịnh được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối giải đó vào bài toán
cụ thé.
Con đường thứ 3: Day cho hoc sinh chủ yếu là các hoạt động tâm lí cần thiết đối với
việc vận dụng tri thức Trong trường hợp nay giáo viên không những chỉ cho học sinh tim
hiểu các mốc định hướng dé chọn lựa các dấu hiệu va thao tác mà còn tổ chức các hoạtđộng cho học sinh trong việc cải biến sử dụng thông tin thu được dé giai bai toan dat ra
Trang 14Thực chat của sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nam vững một
hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong
bài toán.
Khi hình thành kĩ năng cho học sinh cần tiến hành:
- Giúp hoc sinh biệt cách tìm tòi đê nhận ra các yêu tô đã cho, yêu tô phải tìm và môi
quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát dé giải các bài toán cùng loại
- Xác lập được mối liên quan giữa bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng.1.1.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng
Sự hình thành kĩ năng bị ảnh hưởng bởi các yếu tố sau đây:
- Độ phức tạp của hệ thống thao tác vận dụng kiến thức: Đề hình thành kĩ năng, ta cần
tạo và hướng dẫn học sinh thực hiện nhiệm vụ thông qua một hoặc một nhóm các thao tác.
Nếu các thao tác này có độ phức tạp quá cao sẽ gây cản trở trong việc hình thành kĩ năng.Ngay cả việc ghi nhớ đúng trình tự thao tác cũng đã phần nhiều ảnh hưởng đến sự hìnhthành kĩ năng Tuy nhiên trên thực tế vẫn sẽ có một số nhiệm vụ đòi hỏi một quy trình thaotác vận dụng kiến thức phức tạp Đề học sinh có thể giải quyết được các nhiệm vụ kiểu vậymột cách thuận lợi, có một số cách giáo viên có thể áp dụng như: chia nhỏ nhiệm vụ thànhcác don vi nhiệm vu đơn giản hon, từ đó chia nhỏ nhóm thao tác vận dụng nhằm dễ ghi
nhớ và dé thực hiện hơn; rèn luyện cho học sinh các nhiệm vu tương tự với độ phức tạp ở
mức thấp hơn, từ đó nâng dần trình độ kĩ năng của học sinh lên mức nhiệm vụ mong muốn.Quan trọng nhất là cần thiết kế các nhiệm vụ phù hợp với năng lực học sinh, tránh giao các
nhiệm vụ phức tạp khó khăn cho những học sinh không đủ năng lực.
- Thông tin, dữ kiện chứa đựng trong các nhiệm vụ: Một nhiệm vụ có nội dung cụ thé,
thông tin va dữ kiện đưa ra vừa đủ và tường minh sé tập trung được vào một nhóm các
thao tác ma giáo viên mong muốn học sinh thực hiện Khi đó sự hình thành kĩ năng sẽthuận lợi và nhanh chóng Đối với các kiểu nhiệm vụ có tính mở, học sinh sẽ cần nhiềuthời gian hơn khi phải tự xác định nhiệm vụ và lựa chọn các kĩ năng phù hợp Nếu nhiệm
Trang 15vụ được mô tả một cách mơ hồ hoặc chứa quá nhiều thông tin, hoặc chứa thông tin gâynhiễu có thể cản trở đến sự hình thành kĩ năng của học sinh, thậm chí có thé làm chệch
hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng của học sinh.
- Tâm thế và thói quen của học sinh cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng Mộthọc sinh sẵn sàng thực hiện nhiệm vụ và sẵn sàng thực hành các thao tác vận dụng kiếnthức để giải quyết vẫn đề sẽ dễ dàng hình thành các kĩ năng hơn một học sinh chưa sẵnsảng, không tự muốn thực hiện nhiệm vụ Một học sinh tự cảm thấy không có nhu cầu giảiquyết vấn đề, thậm chí đang có tư tưởng bị ép buộc sẽ rất khó đề hình thành kĩ năng ngay
cả là đơn giản nhất Bên cạnh đó, những thói quen tốt như làm bài tập về nhà đầy đủ,thường xuyên hay đọc trước nội dung bài học cũng sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho học sinhhình thành kĩ năng nhanh chóng, thuần thục Và ngược lại, các thói quen không tốt nhưkhông làm bài tập về nhà, không biết cũng như không quan tâm mình sắp học những gì
cũng sẽ gây khó khăn trong quá trình hình thành kĩ năng của học sinh do học sinh không
biết mình sẽ phải chuẩn bị những thao tác, những kĩ năng nào cho các nhiệm vụ sắp tới
Vì thế, cần tạo tâm thế thuận lợi, những thói quen tích cực trong học tập cho học sinh, nhờ
đó sẽ có tác động giúp học sinh trong việc hình thành kĩ năng.
1.1.4 Các mức độ của kĩ năng
Theo K.K.Platonov, G.G.Golubev, có năm mức độ hình thành kĩ năng như sau:
Mức độ 1: Kĩ năng ban đầu
Đầu tiên, học sinh biết được mục đích của nhiệm vụ, đối chiếu mục đích với quan sátquá trình làm mẫu/ trình diễn của giáo viên để biết được cách thức thực hiện hành động.Sau đó học sinh thực hành từng bước dưới sự chỉ dẫn của giáo viên, từ đó kĩ năng ban đầuđược hình thành nhưng học sinh chưa tự tin và tập trung chú ý rất căng thang
Mức độ 2: Kĩ năng chưa khéo léo.
Học sinh đã có kĩ năng ban đầu tiếp tục thực hành theo kế hoạch đến giai đoạn được
gọi là luyện tập có hướng dan Trong giai doan nay, về mặt nhận thức, học viên không chỉ biết, mà hiểu được mục đích, cách thức thực hiện hành động, phối hợp vận dụng kiến thức
và kĩ năng, kĩ xảo đã có.
10
Trang 16Hành động được tiễn hành còn biểu hiện vụng về Lúc này kĩ năng đạt được ở mức độchưa khéo léo Nếu gián đoạn trong tập luyện, kĩ năng này dễ mai một Vì thế một số học
sinh nghỉ học thực hành một vài buổi (vì các lí do nhất định) sẽ phải luyện tập lại vất vả
mới làm lại được các phần thực hành trước đó
Mức độ 3: Kĩ năng tương đối ôn định
Học sinh hiểu rõ ràng về cách thức hành động Năng lực tư duy thực hành khá nhạybén Cùng với việc tập luyện, giảm dần sự vụng về và nâng dần sự khéo léo, học sinh có
kĩ năng én định dan Hoc sinh đã vận dụng được ki năng vào một số tình huống thực tế
Trong giai đoạn này nếu có sự gián đoạn luyện tập thì ảnh hưởng chỉ có ở mức độ nhấtđịnh đến sự suy giảm kĩ năng Khi tập luyện trở lại, học sinh nhanh chóng khôi phục được
mức kĩ năng đã đạt được trước đó.
Mức độ 4: Kĩ năng thành thạo
Học sinh được bước vào giai đoạn luyện tập độc lập với sự giám sát của giáo viên Sau
một thời gian tập luyện nhất định, nhờ việc tiễn hành hàng loạt các thao tác tư duy thựchành và phát huy năng lực thực hiện của bản thân, học sinh cảm nhận về bản thân sâu sắcđến mức độ tự tin, do đó biết vận dụng sáng tạo kĩ năng của mình Học sinh có kĩ năngphát triển và ôn định cao, khá bền vững, gọi là kĩ năng thành thạo Sự gián đoạn trongluyện tập ảnh hưởng không nhiều đến sự suy giảm kĩ năng
Mức độ 5: Kĩ năng thuần thục và có nhiều kĩ xảo
Học sinh tiếp tục được luyện tập độc lập với sự giám sát giảm dần của giáo viên vềmặt nhận thức, học sinh thực hiện tốt việc phân tích, tổng hợp, đánh giá các vấn đề liênquan đến kĩ năng Năng lực tư duy thực hành và sáng tạo thực hành thể hiện rõ và rất linh
hoạt Với mức độ này học sinh dễ dàng thực hiện hành động một cách chính xác và nhanh
chóng, tiết kiệm được sức lực Học sinh biết sử dụng một cách hợp lí và có hiệu quả kĩnăng của mình cho công việc, phối hợp sử dụng sáng tạo kĩ năng mới với các kĩ năng khácvào hoạt động lao động một cách tổng thé nên có chất lượng sản phẩm đảm bảo và ồn định
Lúc này có thê nói răng ki năng cua sinh viên phát triên đạt dén mức kĩ năng thuân thục
11
Trang 17và có nhiêu kĩ xảo Mức kĩ năng này có sự ôn định và bên vững hơn cả, mặc dù sự ôn định
và bền vững đó là không tuyệt đối
Cần chú ý, khi các học sinh có được kĩ năng ở các mức 4 và 5 như trình bày trên đây
là có sự tự tin cao Yêu cầu cao nhất của dạy học thực hành là đào tạo học sinh vừa thànhthạo kĩ năng vừa tự tin Tự tin trong hoạt động nghề nghiệp sau này là biểu hiện tâm lí rấtquan trọng của người lao động Nó được hình thành và phát triển trên cơ sở thực hành sao
cho:
- Có kĩ năng phát triển hợp li
- Có khả năng nhìn nhận được môi quan hệ giữa mỗi kĩ năng và công việc như một
tổng thể
- Có khả năng điều chỉnh được các sai sót khi tập luyện
- Có khả năng hợp tác với các bạn học khi thực hành nghề.
Theo Nguyễn Thị Hải Yến và các tác giả [25]:
- Mức độ thấp nhất của kĩ năng thể hiện ở việc thực hiện thao tác hành động một cách
rập khuôn, máy móc theo sự chỉ dẫn Các mức độ cao hơn của kĩ năng đạt được khi có sự
gia tăng về độ chính xác, tính trôi chảy của hành động Thêm vào đó, mức độ kĩ năng càngcao thì nhận thức của người học về cách thức hành động, về ý nghĩa của hành động trongbối cảnh thực ngày càng tăng Tuy nhiên, đối với kĩ năng phức tạp như đánh giá quá trình,việc bắt đầu từ thao tác máy móc theo người hướng dẫn mà không dựa trên sự hiểu biết vềvai trò và ý nghĩa của hành động là không hợp lí và không có ý nghĩa về mặt sư phạm Do
đó, chúng tôi xác định rằng ngay từ cấp độ thấp nhất, người học cũng cần được trang bịnhững hiéu biết cơ bản về ý nghĩa của hành động
- Mức độ cao nhất của kĩ năng trong các thang đo của Dave, Harrow, Simpson vàDreyfrus đạt được chỉ khi có sự luyện tập và trải nghiệm trong bối cảnh thực tế lâu dai Do
đó, mức độ này khó có thé đạt được khi rèn luyện kĩ năng cho SV trong trường sư phạm
Dựa trên quan điểm trên, Nguyễn Thị Hải Yến và các tác giả xây dựng 3 mức độ kĩ
năng với các biêu hiện như sau:
12
Trang 18Mức độ 1: Mức độ sơ khởi:
e Thực hiện các thao tác theo tuần tự khi có sự hướng dẫn, giám sát
e Có sự hiểu biết sơ lược về hành động, tuy nhiên, vẫn xem hành động là các bước đơn
lẻ rời rạc và không găn với một ngữ cảnh thực
e Các thao tác hành động thuần thục và đạt tiêu chuẩn cao thường xuyên
e Có hiểu biết toàn diện về hành động và thực hiện hành động trong bối cảnh thực đạt
hiệu quả.
1.2 Kĩ năng giải Toán
1.2.1 Khái niệm kĩ năng giải toán
Theo Polya: “Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bai toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được” Kĩ năng giải
toán được hiểu là kĩ năng vận dụng các tri thức Toán học dé giải các bài tập Toán học(bằng suy luận, chứng minh )
Như vậy, kĩ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán học (bao gồm kiến thức, kĩnăng, phương pháp) Sau khi năm vững lí thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố kiếnthức Toán học thì kĩ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phan củng
cố, cụ thé hóa kiến thức Toán học, hoạt động học tập môn Toán Kĩ năng Toán học đượchình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động Toán học, hoạt động họctập trong môn Toán Kĩ năng cũng có thé được rút ngắn, bé sung và thay đổi trong quátrình hoạt động.
13
Trang 191.2.2 Các kĩ năng giải toán cần thiết trong nội dung giới hạn hàm số
Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là học sinh phải nắm vữngkiến thức, có kĩ năng, kĩ xảo vận dụng trong thực hành giải toán Tùy theo từng nội dung,kiến thức truyền thụ cho học sinh mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng Trongchương trình Toán phô thông nội dung giới hạn hàm só, ta có thể chỉ ra một số kĩ năng cầnthiết khi giải toán
1 Kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
2 Kĩ năng đặt nhân tử chung.
3 Kĩ năng nhân liên hợp.
1.2.3 Rèn luyện kĩ năng giải toán
Các kĩ năng giải toán sẽ được cung cấp cho học sinh thông qua hai phương pháp cơ
bản sau:
- Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh một số các bài toán có cùng cách giải
để sau khi giải xong học sinh tự rút ra kĩ năng giải toán Đây là phương pháp có hiệu quảnhất nhưng mat nhiều thời gian, khó đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng
lực trình độ của học sinh.
- Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành những bài giảng về những kĩ năng mộtcách hệ thống và đầy đủ Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ nâng cao độ phức tạp củabài toán cần giải quyết
Dé rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những van đề sau:
- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tô đã cho, yêu tố phảitìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặcđiểm bài toán
- Yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho học sinh biếtcách phân tích đặc điểm bài toán
14
Trang 20- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương
ứng.
Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực
của thói quen tâm lí băng cách rèn luyện các mặt sau:
- Nhìn bài toán dưới nhiêu khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhau
dé hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lí kiến thức
- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán
- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán
1.2.4 Các mức độ của kĩ năng giải toán
Dựa trên các mức độ của kĩ năng được nêu trong phân trên, tác giả chia kĩ năng giải
toán thành 3 mức độ như sau:
- Mức độ biết làm: Nam được qui trình giải một bài toán co bản nào đó tương tự như
bài tập mẫu nhưng chưa nhanh.
- Mức độ thành thạo: Biêt giải nhanh, ngăn ngọn, chính xác theo cách giải như bài tập
mẫu nhưng chưa có nhiều biến đổi.
- Mức độ mêm dẻo, linh hoạt sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngăn gọn, độc đáo, khác
lời giải mẫu do biết vận dung von kiến thức kĩ năng, kĩ xảo không chỉ với các bài toán cơ
ban mà với cả bai toán mới.
1.2.5 Vai trò, ý nghĩa của rèn luyện kĩ năng giải toán Rèn luyện kĩ năng giải toán giúp học sinh:
- Nâng cao được mức độ kĩ năng giải toán của học sinh Việc rèn luyện kĩ năng giải
toán thường xuyên và liên tục sẽ giúp học sinh đạt được các mức độ kĩ năng từ biết làmđến thành thạo và sau cùng là mềm dẻo, linh hoạt có sáng tạo
- Kiện toàn hệ thống lí thuyết, liên hệ được lí thuyết với bai tap Thông qua bai tập, hocsinh được xét cụ thé lí thuyết hơn, vì thé rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua giải quyết
các nhiệm vụ thông qua các bài tập, học sinh sẽ hiêu sâu sac hơn các nội dung toán học,
15
Trang 21liên hệ được các nội dung toán học với nhau, từ đó đưa ra được các nhận định phân dạng,
hệ thống, tạo chiều sâu trong tư duy toán học
- Phát triển các năng lực chung, các năng lực đặc thù của môn toán Rèn luyện kĩ nănggiải toán là con đường đơn giản nhưng hiệu quả giúp học sinh phát triển các phẩm chat,năng lực, từ đó giúp học sinh phát triển tư duy toán học
e2e rà
1.3 Thực tiễn dạy học giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình Toán 11
1.3.1 Yêu cầu cần đạt, nội dung giới hạn hàm số lớp 11
Nội dung giới hạn của hàm số thuộc chương IV - Giới hạn trong chương trình lớp 11
Chương này gôm 3 bài: Giới hạn của dãy sô, Giới hạn của hàm sô, Hàm sô liên tục.
Khái niệm giới hạn của hàm sô được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy sô.
Giới hạn của dãy sô các các khai niệm: giới han 0 , giới hạn là một sô thực, giới han là
+oo, giới hạn là —o, các định lí vê giới hạn của dãy sô.
Giới hạn của hàm sô có các khái niệm: giới hạn của hàm sô tại một điêm, tại vô cực, giới hạn một bên của ham sô, giới hạn vô cực Tiép đó là các khái niệm: hàm sô liên tục tại một điêm, trên một khoảng, một đoạn; các định lí vê giới hạn của hàm SỐ; các quy tắc tìm giới hạn vô cực; một vài tính chat cơ bản cua hàm sô liên tục.
Các yêu câu cân đạt của học sinh đôi với nội dung giới hạn hàm sô bao gôm:
- Nhận biêt được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm sô, giới hạn hữu hạn một phía của hàm sô tại một điêm.
- Nhận biệt được khái niệm giới hạn hữu han của hàm sô tại vô cực và mô tả được một
Trang 22- Giải quyêt được một sô vân đê thực tiên găn với giới hạn hàm sô.
Đề phù hợp với nhận thức của học sinh, chúng ta không đưa ra định nghĩa dãy số cógiới hạn 0 bằng ngôn ngữ < , mà định nghĩa theo kiểu mô tả như sau: Ta nói rằng dãy số(U,) có giới hạn 0 nêu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kế
từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó
Chú ý: Giới hạn là một khái niệm khó, nhưng lại hết sức quan trọng, là nền tảng chongành Giải tích Giới hạn của hàm số gắn kết chặt chẽ với nhiều nội dung khác trongchương trình toán phô thông, có thể kể đến như:
- Chủ đê Hàm sô và Dao hàm: Hiéu biét về giới hạn của ham sô là cơ sở quan trọng
cho việc hiệu định nghĩa và tính đạo hàm của hàm sô Việc tính giới hạn cua tỉ sô đạo hàm
khi tiên dén một giá tri cụ thê cũng thường được sử dụng đê xác định độ dôc của một đường
cong tại một diém.
- Chủ đề Tích phân: Trong tích phân, giới hạn của hàm số thường được sử dụng dé xácđịnh diện tích hình phăng giới hạn bởi các đường cong của hàm số trên một đoạn nhất
định.
- Chủ đề Day và Chuỗi: Trong chương trình toán phố thông, giới hạn của hàm số đượcđịnh nghĩa thông qua giới hạn của dãy số Vì thé dé hiểu rõ lí thuyết giới hạn hàm số, ta
đưa các nội dung cơ bản của giới hạn hàm sô nghiên cứu thông qua giới hạn của dãy sô.
- Chủ đề Các phương trình và bất phương trình: Trong việc giải các phương trình vàbat phương trình, việc hiểu biết về giới hạn của ham số có thé giúp xác định giá trị của biến
số khi tiến gần về vô cùng, từ đó giải quyết các bài toán phức tạp hơn
Ngoài ra, ở các chủ đề chuyên sâu bậc đại học, giới hạn của hàm số thường được sửdụng trong việc chứng minh định lí của I'Hôpital cũng như các chủ đề khác Bên cạnh đó,giới hạn của hàm số cũng ứng dụng trong vật lí, kinh tế và lĩnh vực khác
1.3.2 Những kĩ năng cở bản thuộc nội dung chương giới hạn lớp 11
Dé giúp học sinh có ki năng giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình lớp 11trước hết học sinh phải được trang bị hệ thống kiến thức lí thuyết cơ bản và đầy đủ Giáo
17
Trang 23viên cần phân loại bải tập một cách hệ thống Từ việc phân dạng bài tập, xác định kĩ năng
cơ bản, giáo viên xây dựng cho học sinh qui trình giải các dạng toán, từ đó giúp học sinh
tích lũy được những kinh nghiệm thông qua quá trình giải một dạng toán cụ thể Vì vậytrong đề tài này, tôi đặc biệt quan tâm đến xây dựng một hệ thống hóa bài tập theo chủ đề,sắp xếp hệ thong bai tập từ dén đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Cụ thé là:
- Kĩ năng phân tích định nghĩa khái niệm.
- Kĩ năng phân tích những sai lầm thường mắc phải trong quá trình giải các bài toántìm giới hạn.
- Kĩ năng hệ thống hóa các dạng toán tìm giới hạn
về chủ đề giới hạn của ham số trong trường phô thông, hiểu biết về dạy học rèn luyện kĩnăng, những biện pháp, quy trình giáo viên thường sử dụng khi tổ chức dạy học, nhữngkhó khăn gặp phải trong quá trình dạy học chủ đề này
Vì vậy, chúng tôi tiến hành điều tra, phỏng van, lay ý kiến học sinh và giáo viên trườngTHPT Phùng Khắc Khoan - Đống Đa - Hà Nội và các thầy cô giáo viên khác trên địa bànthành phố Hà Nội Và 200 học sinh khối 11, khối 12 trong trường THPT Phùng KhắcKhoan - Đống Da - Hà Nội
Đôi với học sinh:
18
Trang 24Câu hỏi 1 Em có thấy hứng thú với chủ đề giới hạn hàm số không?
A Rất hứng thú, yêu thích, muốn được tìm hiểu thêm (61%)
B Có một chút hứng thú (39%)
C Không quan tâm (0%)
Câu hỏi 2 Em thây giải bài toán giới hạn hàm sô dạng — có khó không?
œ
A Rất khó, thường không giải được (56%)
B Khó nhưng vẫn có thé giải được một SỐ dạng (44%)
C Không khó hiểu, dé học dé nhớ (0%)
Câu hỏi 3 Em thấy giải bài toán giới hạn hàm số dạng ' có khó không?
A Rất khó, thường không giải được (69,5%)
B Khó nhưng vẫn có thể giải được một số dạng (30,5%)
C Không khó hiểu, dé học dé nhớ (0% )Câu hỏi 4 Em thấy giải bài toán giới hạn hàm số dang œ—œ có khó không?
A Rất khó, thường không giải được (64%)
B Khó nhưng vẫn có thể giải được một số dạng (36%)
C Không khó hiểu, dé học dễ nhớ (0%)Câu hỏi 5 Em thấy giải bài toán giới hạn hàm số dạng 0-œ có khó không?
A Rất khó, thường không giải được (67%)
B Khó nhưng vẫn có thê giải được một số dạng (33%)
C Không khó hiéu, dé học dé nhớ (0%)
Câu hỏi 6 Em hay mắc những lỗi sai nào khi giải các bài toán giới hạn hàm số? (Có
thé chọn nhiễu đáp an)
19
Trang 25A Sai về kí hiệu, trình bày (56%)
B Nhằm lẫn, không phân biệt được giữa các dạng giới hạn (66,5%)
C Sai dấu, không nhớ các tính chất của các phép toán cơ bản (52,5%)
D Làm sai do áp dụng máy móc, rập khuôn, không đúng dạng bài (61%)
Câu hỏi 7 Em thấy cần tăng cường những biện pháp nào dé khắc phục những khókhăn và rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề giới hạn hàm số? (Có thé chọn nhiều đáp án)
A Phân tích kĩ khái niệm, định nghĩa, định lí (65%)
B Phân loại các dạng bai tập và đưa ra phương pháp giải cụ thé (100%)
C Tăng cường các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp theo từng dạng (100%)
D Phân tích các bài toán chứa lỗi sai và chỉ ra các sai lầm thường gặp (100%)
E Sử dụng thêm các phương tiện dạy học, thiết bị dạy học (bảng phụ, phiếu bài tập,trình chiếu, ) (60%)
F Rèn luyện các kĩ năng giải toán trong nội dung giới hạn hàm số (87,5%)
Phân tích định tính: Qua kết quả của bài khảo sát, ta thấy học sinh có sự hứng thú vớichủ đề này (trong đó: 61% học sinh tỏ ra rất hứng thú và 39% học sinh còn lại có quan
Trang 26em không tự giải được, 1/3 số học sinh còn lại chỉ làm được các bai tập cơ bản và vẫn còn
tương đối mơ hỗ về phương pháp giải
PID
m Rất khó, không giải được
= Khó, chỉ giải được một vài bài
m Không khó
(d)
Hau hết học sinh cảm thấy việc phân loại các dang bai tập và đưa ra phương pháp giải
cụ thể; cũng như tăng cường các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp theo từng dạng và phân
tích các bài toán chứa lỗi sai, chỉ ra các sai lầm thường gặp sẽ giúp các em hiéu bai hon,
học tập hiệu quả hơn.
Đôi với giáo viên
Câu hỏi 1 Thầy/cô hãy cho biết nhận định của mình về các khó khăn của học sinh khi
học nội dung giới hạn hàm sô
Không | Một chút | Khó | Rất
khó khó khăn |khăn | khó
khăn khăn
Học sinh có gặp khó khăn trong việc hiểu các | (0%) (40%) | (36%) | (24%)
định nghĩa, các định lí, qui tắc nội dung giới
hạn hàm số không?
Học sinh có gặp khó khăn trong việc vận dụng | (0%) |(32%) | (46%) | (22%)
lí thuyết giới hạn dé giải quyết bài tập phan nay
không?
21
Trang 27Học sinh có gặp khó khăn trong việc tìm giới | (0%) (40%) | (36%) | (24%)
hạn hàm sô dạng 9 hay không?
Học sinh có gặp khó khăn trong việc tìm giới | (0%) (40%) | (36%) | (24%)
hạn hàm số dang œ —œ hay không?
Học sinh có gặp khó khăn trong việc tìm giới | (0%) (40%) | (36%) | (24%)
hạn hàm số dang 0-œ hay không?
Học sinh có gặp khó khăn trong nhận dạng | (0%) (40%) (36%) | (24%)
nhân liên hợp của các giới hạn không?
Học sinh có gặp khó khăn trong việc xử lí các | (0%) (40%) | (36%) | (24%)
bài toán cần chú ý về dau (khi xét giới hạn tại
âm vô cùng, dương vô cùng, xét giới hạn trải,
giới hạn phải, biểu thức chứa dau giá trị tuyệt
đói, chứa căn, )
Câu hồi 2 Theo thay/cé, khi làm các bài tập giới hạn hàm số, học sinh hay mắc phảinhững lỗi sai nào? (Có thể chọn nhiều đáp án)
A Sai về kí hiệu (56%)
B Nhằm lẫn giữa các dạng giới hạn (66%)
C Lam sai do không chú ý dau (36%)
D Sai do ap dung máy moc, rap khuôn, sai dạng (30%)
E Trinh bay sai (70%)
22
Trang 28Câu hỏi 3 Theo thầy/cô, nguyên nhân của những sai lầm trên là gì? (Có thé chonnhiều đáp án)
A Học sinh không học kĩ định nghĩa, định lí, qui tắc trước khi làm bài tập (70%)
B Học sinh không đọc kĩ đề bài (60%)
C Học sinh không phân biệt được các dang bài tập (66%)
D Học sinh thiếu các kĩ năng giải các dang toán giới hạn (70%)Câu hỏi 4 Theo thầy/cô, để giải các dạng toán giới hạn, hoc sinh cần trang bị và rèn
luyện các kĩ năng nào?
A Kĩ năng tính toán và sử dụng được công cụ tính toán.
B Kĩ năng sử dụng được ngôn ngữ và kí hiệu.
C Kĩ năng biến đổi biéu thức đại số, phương trình, hệ phương trình
D Kĩ năng trình bày lời giải.
Câu hỏi 5 Thầy/cô đã sử dụng biện pháp gì dé khắc phục những khó khăn và lỗi sai
thường gặp của học sinh?
A Phân tích kĩ khái niệm, định nghĩa, định lí (70%)
B Thiết kế bài giảng, xây dựng phương pháp day hoc hợp lí, phù hợp với từng lớp học
(70%)
C Phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cụ thể (70%)
D Tăng cường các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp theo từng dạng (70%)
E Phân tích các bài toán chứa lỗi sai và chỉ ra các sai lầm thường gặp (70%)
F Sử dụng thêm các phương tiện dạy học, thiết bị dạy học (bảng phụ, phiếu bài tập,trình chiếu, ) (70%)
G Rèn luyện các kĩ năng giải toán trong nội dung giới hạn hàm số (70%)
23
Trang 29Phân tích định tính: Trong quá trình giảng dạy thực tế, giáo viên toán gặp nhiều khókhăn để truyền tải kiến thức chủ đề này đến với học sinh Đa số các thầy cô có nhận địnhrằng học sinh khó hiểu, khó nhớ các định nghĩa, định lí, lúng túng trong các việc tìm lờigiải và trình bày lời giải các bài toán trong chủ đề này, cụ thể là bài toán tính các dạng vôđịnh của giới hạn hàm số Giải tích là bộ môn mới lạ đối với học sinh trong cả cách tư duy
và trình bày Các bài toán Giải tích rất đa dạng và thường xuất hiện trong các đề thi họcsinh giỏi Nói chung, đây là một chủ đề "khó nhan" đối với cả học sinh và giáo viên Bên
cạnh đó, do hạn chế về mặt thời gian ma khối lượng kiến thức lại tương đối nặng, tư duy
học sinh chưa tốt, đa số các thầy cô chọn phương pháp thuyết trình, van đáp trong giảngdạy Do đó, các thầy cô đều rất hứng thú với đề tài dạy học rèn luyện kĩ năng giải toán chủ
đề tính giới hạn của hàm số
Qua thực tế dạy học khái niệm giới hạn, chúng tôi nhận thấy rằng có nhiều học sinhcòn bỡ ngỡ, chưa quen với cách định nghĩa các khái niệm Giải tích, không hiểu rõ bản chấtcác khái niệm, định lí, quy tắc tính giới hạn Từ đó, dẫn đến những sai lầm khi giải bài tập,gap nhiều khó khăn trong việc học chủ đề giới han và các chủ đề khác của Giải tích
1.3.4 Cách thức rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề giới hạn hàm sốDựa trên khảo sát thực trạng dạy học giải toán chủ đề giới han hàm số, tác giả đề xuất
cách thức rèn luyện ki năng giải toán cho chủ đê này như sau :
1 Hiểu rõ lí thuyết: Đầu tiên, cần đảm bảo học sinh hiểu rõ lí thuyết và các phương
pháp giải của từng dạng giới hạn.
2 Thực hành nhiều bài tập: Thực hành là chìa khóa quan trọng dé cải thiện kĩ nănggiải toán Bắt đầu với các bài tập dễ và dần dần tăng độ khó Quan trọng là không chỉ giảibài tập, mà còn phải hiểu cách giải và lí do tại sao phương pháp đó hoạt động Bên cạnh
đó, cần đa dạng hóa các dạng bài toán, từ cơ bản đến phúc tạp Điều này giúp học sinh làmquen với các phương pháp giải khác nhau và mở rộng kiến thức, từ đó rèn luyện linh hoạt
được các kĩ năng và phân biệt được các dạng giới hạn thường gặp.
3 Sử dụng tài liệu tham khảo: Giáo viên cần đưa thêm các phiếu bài tập tự luyện déhọc sinh tự thực hành ngoài giờ lên lớp, từ đó giúp học sinh hiểu sâu sắc các vấn đề Bên
24
Trang 30cạnh đó, giáo viên cũng cần hướng dẫn học sinh tìm kiếm và sử dụng các tài liệu thamkhảo phong phú, bao gồm sách giáo khoa, sách tham khảo, bài giảng trực tuyến, videohướng dẫn, và các tài liệu khác dé hỗ trợ quá trình học tập của học sinh.
4 Làm thêm các bài kiểm tra, đề thi minh họa: đây là một cách tốt để chuẩn bị chocác kỳ thi hoặc bài kiểm tra, giúp học sinh làm quen với định dạng của các bài toán và tăng
cường khả năng làm việc dưới áp lực thời gian.
5 Tố chức làm việc nhóm: Giáo viên có thể đưa ra các nhiệm vụ nhóm, thông qua đó,học sinh tham gia thảo luận với nhau hoặc với giáo viên về các van dé học sinh gặp phải,
từ đó tháo gỡ và khắc phục dần những hạn chế của học sinh Thông qua quá trình làm việcnhóm, học sinh cũng có thê tự đánh giá bản thân và đánh giá bạn bè trong nhóm, từ đó tạo
cơ sở dé giáo viên đưa ra nhận định đánh giá chính xác hơn
6 Tự đánh giá và cải thiện: Giáo viên cần thiết kế những hoạt động giúp học sinh cóthé xem xét lại các bài toán đã giải và phân tích những lỗi phổ biến hoặc điểm yếu của củahọc sinh Từ đó có thé phát hiện và tập trung vào việc cải thiện những hạn chế đó và điều
chỉnh phương pháp giải của học sinh.
25
Trang 31Kết luận chương 1
Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT có ý nghĩa hết sức quan trọng, gópphan trang bị cho HS những tri thức toán học cơ bản nhất dé phát triển các kĩ năng của
cuộc sông.
Chương I1 của luận văn đã hệ thông lại và trình bay rõ ràng, làm sâu sắc thêm các van
dé lí luận của việc day học rèn luyện kĩ năng cho học sinh giải bài toán tính giới hạn ham
SỐ Cụ thé:
- Trinh bay va phan tich khai niém, dac điểm, các yếu tô ảnh hưởng đến sự hình thành
kĩ năng, từ đó cho thấy sự cần thiết của dạy học rèn luyện kĩ năng dé phat trién tu duy cho
hoc sinh.
- Lam rõ khái niệm, vai tro, các thành phân liên quan đên ki năng giải toán, hệ thông
các phương pháp và tiến trình dạy học rèn luyện kĩ năng
- Tìm hiểu về mục tiêu chương trình giáo dục phé thông hiện nay, một số van đề thựctiễn về việc dạy học giải bài tập tìm giới hạn của hàm số Thực tiễn cho thấy việc rèn luyện
và phát triển kĩ năng giải toán tìm giới hạn của hàm số cho học sinh chưa được các giáoviên quan tâm đúng mực, cần phải có những biện pháp tích cực nhằm khắc phục tình trạng
đó góp phần tháo gỡ những khó khăn trong học tập cho học sinh và nâng cao chất lượng
việc học.
- Đưa ra cách thức rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đê giới hạn hàm sô.
Dựa trên những căn cứ lí luận trên, tác giả xác định phương hướng cho giải pháp rèn
luyện kĩ năng giải các dang toán tìm giới hạn của hàm số cho học sinh THPT sẽ được trình
bày trong chương 2
26
Trang 32CHUONG 2 CAC KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TÌM GIỚI HAN CUA HAM SO
2.1 Kĩ năng tính giới han của hàm số dạng “
œ
Cho hàm số y = a với limf (x)= va lim g(x) =00 Khi này, giới han của ham
g x x00 x70
sô lim sẽ có dạng — Dé tìm giới hạn dang này, ta chia làm các trường hợp sau:
2.2.1 Trường hợp 2 (*) là hàm phân thức hữu tí
g(x)
f (x) g(x)
quyết bai toán nay, ta can hướng hoc sinh chú ý đên bậc của tu va bậc của mâu Ta có hai
Cho là hàm phân thức hữu tỉ, tức là ƒ (x) va g (x) là các ham da thức Dé giải
hướng trình bày nhưng cùng một cách tư duy như sau:
Hướng 1: Chia cả tử và mẫu thức cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu và áp dụng
|
tính chất lim— =0 với mọi ø e Ñ” và kết luận
x00
Hướng 2:
Bước 1: Đặt nhân tử chung là ẩn có lũy thừa bậc cao nhất của tử và mau ra ngoài
Bước 2: Giản ước nhân tử chung của tử và mẫu.
Bước 3: Ap dụng tinh chat lim— =0 với mọi 0€ N’ và kết luận.
+x->®X
3 —
Ví dụ 2.1 Tính giới hạn lim” *ÈŸ,
xo” x +x —3
Phân tích: Ta thấy lũy thừa bậc cao nhất của cả tử và mẫu là x’, nên khi trình bày theo
Hướng 1, ta chia cả tử và mẫu cho x° và trình bày như sau:
Lời giải
27
Trang 332x7 —3x4+1 2x7 3x 1 3 1
_-3xel OS TY, 2 toa
lim 2 = tim ——— = lim 22 © = tim —* = 2.
xt0 x`+x —3 xo+% x7 + 7° —3 X40 X x 3 x+so ial 3
bậc của tử Vì thế ta cần hướng dẫn học sinh một cách rõ ràng với nhận xét sau:
Nhận xét 2.1 Một hàm số được cho bởi dạng tích các đa thức thì sẽ có lũy thừa bậccao nhất là tích các lãy thừa bậc cao nhất của các đa thức đó
Ở ví dụ này, lũy thừa bậc cao nhất của u(x) là x’, lũy thừa bac cao nhất của v(x) la
x", nên lũy thừa bac cao nhất của tử là x° -x* = x’ Khi nay, lũy thừa bac cao nhất của cả
tử và mẫu là x’, ta tiến hành đặt nhân tử chung là x’ cho cả tử va mẫu Tuy nhiên, cân lưu
ý nhân tử chung x’ trên tử là tích của x° từ u (x) và x* từ v(x) nên khi đặt nhân tử chung trên tử, ta sẽ rút x° từ u(x) và x* từ v(x) như sau
Trang 34Phân tích: Ở ví dụ này, ta thay bậc của tử và bậc của mẫu không giống nhau Đến đâybắt đầu xuất hiện lỗi sai của học sinh khi đặt nhân tử chung là lũy thừa bậc cao nhất ra
ngoài Học sinh thường mặc các sai lâm sau:
e Tử đặt nhân tử chung là bậc cao nhất của tử, mẫu đặt nhân tử chung là bậc cao nhất
Trang 355 3
Ví dụ 2.4 Tính giới hạn lim —
Phân tích: Ta thay lũy thừa bậc cao nhất của tử là x°, còn lũy thừa bậc cao nhất của
mẫu là x”, nên ta có thé đặt nhân tử chung của tử và mẫu là x° và trình bày như sau:
Vì Im| 1+ 440) =1 va im( -]=0 nên lim——*——*_=-—œ
Trang 36mả tạo lôi đi riêng như sau:
Bước 1: Xác định bậc cao nhất của mẫu.
Bước 2: Đặt nhân tử chung là bậc cao nhất của mẫu cho cả tử và mẫu, giản ước nhân
tử chung.
Bước 3: Xét giới hạn của tử và giới hạn của mẫu và kêt luận.
f(x) g(x)
2.2.2 Trường hop chứa các hàm mũ
f (x) g(x)
chung là hàm mũ có cơ sô lớn nhất của cả tử va mẫu, đưa về các giới han lim g" =0 khi
Phân tích: Ta thấy hàm mũ có cơ số lớn nhất là 5” nên ta tiến hành đặt nhân tử chung
là 5” cho cả tử và mau như sau
Lời giải
31
Trang 37„ „ ; 3° — 6**!
Vi dụ 2.6 Tính lim—————————.
x34+08.6*" + 2*
Phân tích: Ta thấy cơ số lớn nhất ở đây là 6 , tuy nhiên ta cần chú ý hoc sinh dé ý ki
hàm mũ lúc này không đơn giản là 6” mà là 6*"' và 6*" Học sinh vội vàng áp dụng đặt
nhân tử chung là 6* thường sai ở đoạn này Ta cần tránh lỗi sai này của học sinh bằng cáchlưu ý học sinh ngoài việc dé cơ số của các hàm mũ, ta cần dé ý cả phần biểu thức mũ Dé
có thé đặt nhân tử chung, ta cần biến đỗi theo công thức mũ - lity thừa, đưa về các hàm mũ
có phần mũ giống nhau (thường sẽ đưa hắn về dạng a* )
Ở ví dụ này, ta cũng đưa 6**' và 6*' về 6" như sau
Lời giải
_ 3⁄-6" _3'-6-6*
jim ead = him:
f (x) g(x)
2.2.3 Trường hợp là hàm vô tỉ (hàm chứa căn)
32
Trang 38Trước hệt, cân trang bi cho học sinh tính được bậc của một căn thức Gia sử bậc của
căn là bậc m, bậc cao nhât cua đa thức trong căn là bậc n Vậy khi đó bậc của căn thức sẽ
Nhận xét 2.2.
e Với n là số tự nhiên lẻ thì 4a"b = atfb.
alb — khi a>0
e Với nếu ø là số tự nhiên chan thì Va"b = |a|#2 =
-a&#b_ khia<0
3 3
Ví dụ 2.8 Tính lim 2&2 †3x‡E
X>+00 x-1
Phân tích: Lũy thừa bậc cao nhất của cả tử và mau là x nên ta sẽ đặt nhân tử chung là
x Trước khi tính giới hạn, ta cần lưu ý cho học sinh cách đưa thừa số ra ngoài căn thức.Đầu tiên ta cần tiến hành đặt nhân tử chung là x’ trong căn thức
V8x°+3x4+1=3 v[srẫ+g)
X xX
33
Trang 39Ta tiến hành đưa x° ra ngoài căn Vì đây là một căn bậc lẻ nên ta đưa ra ngoài bình
Phân tích: Ví dụ này xuất hiện căn bậc hai của một đa thức bậc hai Ta cần phân tích
rõ các bước đưa x° ra ngoài căn như sau: Đầu tiên, ta tiến hành đặt nhân tử chung là +”
V4x° -3x+4= v(4-244)
\ x Xx
Tiếp theo ta đưa x° ra ngoài căn theo nhận xét
trong căn thức
Đến dây, ta nhấn mạnh học sinh dé ý x tiến đến đâu để xét dấu cho chính xác Ở
ví dụ nay, x—>—œ nên x<Ô vì thế khi phá dau gia tri tuyét đối ta được
Lời giải
34
Trang 40Ngoài ki năng đưa thừa số vào trong căn như đã trình bay ở trên, hoc sinh có thé sửdụng kĩ năng đưa thừa số vào trong căn và xử lí tương tự.
Nhận xét 2.3.
e Với ø là số tự nhiên lẻ thì atlb =Va'b.