Tiểu luận môn toán cao cấp a1 Đề tài Đề số 9

- Sau đó ta tính giới hạn của tỷ số đạo hàm của tử và mẫu... Hệ thống lý thuyết: * Phương pháp tích phân từng phần tính tích phân bất định: - Định lý: Giả sử u ? và ? ? có các đạo hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG THƯƠNG TP HCM

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Như Thảo

1 Thái Ngô Thanh Trúc (Nhóm trưởng)

2 Nguyễn Như Thảo

3 Võ Nguyễn Thanh Vy

4 Trịnh Thị Như Ý

5 Nguyễn Thị Phương Quỳnh

6 Phạm Thanh Thúy

7 Lê Hiếu Nhân

8 Phạm Phan Gia Linh

9 Bùi Ngọc Gia Yên

10 Trần Ngọc Thi Uyên

11 Ngô Mỹ Ý

Tp HCM, tháng 11 năm 2024

MỤC LỤC

ĐỀ TOÁN 9

1 Chủ đề 1: Giới hạn và liên tục 2

1.1 Hệ thống lý thuyết: 2

1.2 Hệ thống bài tập: 3

2 Chủ đề 2: Đạo hàm và ứng dụng 8

2.1 Hệ thống lý thuyết: 8

2.2 Hệ thống bài tập: 9

3 Chủ đề 3: Tích phân và ứng dụng 13

3.1 Hệ thống lý thuyết: 13

3.2 Hệ thống bài tập: 14

4 Chủ đề 4: Ứng dụng trong khoa học kỹ thuật 19

1

BỘ SÁCH LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

TOÁN CAO CẤP A1

CHỦ ĐỀ 9

- Đây là các trường hợp đặc biệt khi tử và mẫu tiến đến một giá

trị vô cùng nhỏ hoặc vô cùng lớn khi 𝑥 tiến về một giá trị xác

𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) (nếu giá trị bên phải tồn tại)

- Sau đó ta tính giới hạn của tỷ số đạo hàm của tử và mẫu

• Vô cùng lớn dạng 𝟎

𝟎 & ∞

∞

- Xác định các hạng mục cấp thấp

1.2 Hệ thống bài tập:

1) Tính giới hạn sau:

5

Vậy giới hạn của lim

𝑥→0

𝑙𝑛(1+4𝑥2) 7𝑥2+5(𝑒𝑥5−1)+sin3𝑥 là 4

7

c 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟏

𝒆𝐬𝐢𝐧 𝟔𝒙−𝒆𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙𝒍𝒏(𝟏+𝟑𝒙)

𝑢 = 1

= lim

𝑥→0

3𝑓′(3𝑥)5cos25𝑥 = lim

→ lim

𝑥→2+ 𝑓(𝑥) = 2

3

1 (√2+7+3)(2+2)= 1

số bằng cách lấy giới hạn của tỷ số đạo hàm của chúng

* Cách sử dụng quy tắc L’Hospital:

Giả sử bạn có một giới hạn dạng: lim

𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) với điều kiện:

- Giới hạn của cả 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) khi 𝑥 → 𝑐 đều bằng 0 hoặc vô cùng

2) Tính giới hạn 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝝅𝟐

𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙− 𝟏

cot 𝑥 là 0

12

=>Chu kỳ lặp lại sau mỗi 4 bậc đạo hàm

Vậy: nếu 𝑛 chia hết cho 4 thì:

𝑦 = 2𝑥 − 2𝑥2+8

3𝑥

3+ 𝑜(𝑧3)

13

3 Chủ đề 3: Tích phân và ứng dụng

3.1 Hệ thống lý thuyết:

* Phương pháp tích phân từng phần tính tích phân bất định:

- Định lý: Giả sử u (𝑥) và 𝑣 (𝑥) có các đạo hàm liên tục Khi đó ta

có công thức:

∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖

Hay:

∫ 𝒖(𝒙)𝒗′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒖(𝒙)𝒗(𝒙) − ∫ 𝒗(𝒙)𝒖′(𝒙)𝒅𝒙 Công thức này được gọi là tích phân từng phần

- Để tính tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 bằng phương pháp tích phân từng phần ta cần phân tích 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥), sau đó đặt:

2 −𝑒2𝑥

2 + 𝐶

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

=> {𝑑𝑢 = −

2𝑛𝑑𝑥 (𝑥 2 +𝑎 2 ) 𝑛−1

𝑣 = 𝑥

Ta có: 𝐼ₙ = 1

(𝑥 2 +𝑎 2 ) 𝑛+ 2𝑛 ∫ 𝑥2

(𝑥 2 +𝑎 2 ) 𝑛+1𝑑𝑥 = 𝑥

− ∫ 3

2sin 2𝑥 𝑑𝑥

𝜋 3 0

= (𝜋+2)√3

8

17

2) Cho biết:

𝟐 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + 𝟓 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟏𝟒𝟎𝟏 𝟏𝟐 và ∫ 𝒇(𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 = 𝟔𝟎𝟏 Hãy tính ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝟎𝟐

1 0

19

= 0 − (−2)

= 2

b Từ kết quả của câu a

Hãy xét sự hội tụ của tích phân suy rộng

4 Chủ đề 4: Ứng dụng trong khoa học kỹ thuật

Hãy nêu một ví dụ của ứng dụng đạo hàm (tích phân) trong sản xuất, kỹ thuật-công nghệ

Ví dụ:

Trong công việc hằng ngày của các kỹ sư và các nhà thiết kế thì

‘tích phân’ và ‘đạo hàm’ được sử dụng rất thường xuyên và mạnh

mẽ Họ thường sử dụng 2 thứ này vào việc tính toán các diện tích

bề mặt, thể tích và trọng tâm của các vật thể hình học phức tạp Việc này đóng vai trò quan trọng trong quá trình thiết kế sảm phẩm, máy móc và cấu trúc xây dựng Điều này rất quan trọng vì

sẽ đảm bảo được rằng sản phẩm hoặc cấu trúc thành phẩm có ổn định và an toàn hay không Và cụ thể hơn cho việc sử dụng 2 phương pháp đó là chúng được dùng trong việc sản xuất ô tô

Cụ thể hơn chính là việc TỐI ƯU HÓA HIỆU SUẤT ĐỘNG CƠ trong việc sản xuất ô tô Ta có thể thấy rằng kỹ sử sử dụng:

+) Đạo hàm tính toán tốc độ thay đổi áp suất trong buồng đốt lúc

nhiên liệu cháy để họ có thể dễ dàng điều chỉnh thời điểm đánh lửa và giúp đạt được hiệu suất đốt cháy tối ưu

20

+) Tích phân để tính toán lượng nhiệt sinh ra trong quá trình đốt

cháy và qua đó học có thể thiết kế một hệ thống làm mát hiệu quả

Không chỉ thế cả 2 phương pháp đạo hàm và tích phân còn được các kĩ sư dùng để:

- Tối ưu hóa mô-men xoắn

bị sinh học,….Kết lại thì nó rất hữu ích cho ngành công nghệ sinh học nói riêng và các ngành khác nói chung Chúng em cảm

ơn GV Lê Hữu Kỳ Sơn đã truyền đặt nhiều kiến thức cho chúng

em để chúng em hiểu ra được rằng nó cũng có thể áp dụng được vào ngày theo học và đóng một vai trò rất quan trọng Chúng em cảm ơn thầy

Các tài liệu nhóm e đã tham khảo:

- Tạp chí Khoa Học và Công Nghệ Tập 57-Số 6 (12/2021)

- Th.S Đinh Tiến Dũng, bài giảng giải thích 1 (giáo trình)

Quốc Tiến, giáo trình Toán Cao cấp A1 (giáo trình), nhà

xuất bản Trường đại học Công nghiệp Thực phẩm

TPHCM, năm xuất bản 2020

MỨC ĐỘ ĐÓNG GÓP

Lớp học phần: 15DHSH01 Nhóm: Xứ sở thần tiên Mã đề tài: Chủ đề 9

được phân công

Mức

độ đóng góp (%)

9,09%

6 Phạm Thanh Thúy 2008240288 Tìm kiếm nội

dung và giải bài tập

9,09%

7 Lê Hiếu Nhân 2008240190 Tìm kiếm nội

dung và giải bài tập

9,09%

9 Bùi Ngọc Gia Yên 2008240378 Tìm kiếm nội

dung và giải bài tập

9,09%

11 Ngô Mỹ Ý 2008240376 Tìm kiếm nội

dung và giải bài tập

9,09%

Họ và tên MSSV Đã thực hiện Ký tên

Nhận xét của nhóm trưởng

thành nội dung đầy đủ

2,3)

Năng nổ trong hoạt động nhóm

8/11-10/11 Võ Nguyễn Thanh Vy 2008240370 Phần 2.2 (câu 1,

2, 3)

Hoàn thành bài đầy đủ và đúng hạn

4,5)

Hòa động giúp đỡ các bạn trong nhóm Nội dung

2, 3)

Hoàn thành bài đầy đủ và đúng hạn

suất, đầy đủ hòa

suất, đầy đủ hòa