tiểu luận toán cao cấp a1

Ví dụ, đại số tuyến tính là cơ bản trong các bài thuyết trình hiện đại về hình học, bao gồm cả việc xác định các đối tượng cơ bản như đường thẳng, mặt phẳng và phép quay.. Ngoài ra, giải

Trường: Đại học Gia Định KHOA: Kỹ thuật phần mềm

֎

TIỂU LUẬN TOÁN CAO CẤP A1

Sinh viên thực hiện : Vũ Trần Đức Thành

Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Ngọc Quỳnh Như

HCM, ngày 31 tháng 10 năm 2021

-LỜI NÓI ĐẦU Đại số tuyến tính là một nhánh của toán học liên quan đến các phương trình tuyến

tính như:

a x1 1 + … + an n x = b

ánh xạ tuyến tính như:

(x1 … x ) an  1 1x  an nx ,

và biểu diễn của chúng trong không gian vector và thông qua ma trận

Đại số tuyến tính là trung tâm của hầu hết các lĩnh vực toán học Ví dụ, đại số tuyến tính là cơ bản trong các bài thuyết trình hiện đại về hình học, bao gồm cả việc xác định các đối tượng cơ bản như đường thẳng, mặt phẳng và phép quay Ngoài ra, giải tích hàm, một nhánh của giải tích toán học, về cơ bản có thể được xem là ứng dụng của đại số tuyến tính vào không gian của các hàm

Đại số tuyến tính cũng được sử dụng trong hầu hết các ngành khoa học và lĩnh vực

kỹ thuật, vì nó cho phép mô hình hóa nhiều hiện tượng tự nhiên và tính toán hiệu quả với các mô hình như vậy Đối với các hệ thống phi tuyến, không thể được mô hình hóa bằng đại số tuyến tính, nó thường được sử dụng để xử lýcác phép xấp xỉ bậc nhất, do thực tế là vi phân của một hàm đa biếntại một điểm là ánh xạ tuyến tính gần đúng nhất của hàm gần điểm đó

Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đại số đại cương,giải tích hàm, hình học giải tích để giải các bài toán như phép quay trong không gian, nội suy bình phương nhỏ nhất, nghiệm của hệ phương trình vi phân, tìm đường tròn qua ba điểm Nó cũng có vô vàn ứng dụng trong khoa học tự nhiên (vật lý, công nghệ ) và khoa học xã hội (kinh tế ), vì các mô hình phi tuyến tính hay gặp trong tự nhiên và xã hội thường có thể xấp xỉ bằng mô hình tuyến tính

Chịu ảnh hưởng củađại dịch Covid-19 đại học Gia Định đã tạo điểu kiện cho sinh viên làm bài tiểu luận để kiểm tra lại kiến thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN - HỌC KỲ 1

NĂM HỌC 2021-2022

Môn thi: Toán cao cấp A1

Đề chung cho các lớp K15 đợt 2-3.

Lưu ý:

- N là số cuối mã số sinh viên.

- M là số áp cuối mã số sinh viên.

- Q =M-N(Q có thể âm hoặc dương)

VD: MSSV: 12240578=>N=8; M=7; Q=7-8=-1

Câu 1: (1.5 điểm)

Cho A là ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính Hãy Biện luận

số nghiệm của hệ phương trình này theo tham số k

Câu 2: (1.5 điểm)

Câu 3: (1 điểm)

Cho E={(1;2;M;1); (M;N;Q;2);(2;1;Q;3);(1;2;3;4)} là tập con của

R4 Kiểm tra E có phải là cơ sở của R hay không?4

Câu 4: (1 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f: R3 biết

R3

là ma trận ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E và E; E={(1;1;1);(2;3;1); (3;4;3)}

a/ Xác định f(1;2;3)

GVHD: Nguyễn Ngọc Quỳnh Như - 2 - SVTH: Vũ Trần Đức Thành

b/ Tìm Ker(f), cơ sở và số chiều của nó

c/ Tìm Im(f), cơ sở và số chiều của nó

Câu 5: (3 điểm) Mỗi Sinh viên dựa theo M ở trên làm theo yêu cầu

dưới đây

M=0 : trình bày những hiểu biết của em về định lý cơ bản của đại

số trong số phức, cách phân tích đa thức P(x) ra thừa số

M=1 : trình bày những hiểu biết của em về phần bù vuông góc trong không gian

con, cách tìm hình chiếu vuông góc của 1 vecto bất kỳ lên không gian con trong

không gian Euclide

M=2 : trình bày ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong quy hoạch tuyến

tính

M=3 : trình bày những hiểu biết của em về không gian con, cách tìm tổng và giao

của hai không gian con trong không gian vecto

M=4 : trình bày ứng dụng của hệ phương trình trong lý thuyết đồ thị

M=5 : trình bày phương pháp trị riêng, vector riêng trong Đại số tuyến tính

M=6 : trình bày cách tính tích vô hướng(tổng quát), độ dài của 1 vecto bất kỳ, cách

tính góc giữa 2 vecto bất kỳ và các định nghĩa liên quan đến tích

vô hướng trong

không gian Euclide

M=7 : trình bày ứng dụng ma trận trong hình học giải tích( tính diện tích, thể tích,

viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng)

M=8 : trình bày cơ sở lý thuyết quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt trong Đại số

tuyến tính và nêu những ứng dụng của nó

M=9 : trình bày cơ sở lý thuyết đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép

biến đổi trực giao và nêu những ứng dụng của nó

Lưu ý:

-Cách trình bày câu 5: ghi rõ cơ sơ lý thuyết, cho ít nhất 2 ví dụ bài toán cụ thể và giải theo phương pháp yêu cầu

- Bài thi được soạn thảo trên giấy khổ A4

•Lề trên, lề dưới, lề phải: 2.0 cm

•Lề trái: 3.0cm

- Bố cục 1 điểm, Trình bày 0.25 điểm, đánh máy, chính tả 0.25 điểm, trích dẫn nguồn tài liệu tham khảo cuối bài 0.5 điểm

TP.HCM, ngày 18 tháng 2 năm 2021

Cán bộ ra đề thi

Th.S Nguyễn Ngọc Quỳnh Như

GVHD: Nguyễn Ngọc Quỳnh Như - 4 - SVTH: Vũ Trần Đức Thành

Bài làm

 M=1, N=0, Q=1.

Câu 1:

k 0 Ko tồn tại bậc thang

Câu 2:

Câu 3:

E={(1;2;1;1);(1;0;1;2);(2;1;1;3);(1;2;3;4)}

, ta có:

x = a(1;2;1;1) + b(1;0;1;2) + c(2;1;1;3)+ d(1;2;3;4)

(x1, x , x , x ) = (a+b+2c+d, 2a+c+2d, a+b+c+3d, 2 3 4 a+2b+3c+4d)



 = (1.0.1.4+1.1.3.1+2.2.1.2) -

(1.1.1.1+2.1.2.1+3.3.2.1)

= -12 0

M là tập sinh của R4.(1)

Giả sử tồn tại a, b, c là các số thực sao cho:

a(1;2;1;1) + b(1;0;1;2) + c(2;1;1;3)+ d(1;2;3;4) = 0

Hệ PT viết lại:

 E độc lập tuyến tính (2)

Từ (1), (2) M là cơ sở của R  4

Câu 4:

A = , E={(1;1;1);(2;3;1);(3;4;3)}

GVHD: Nguyễn Ngọc Quỳnh Như - 6 - SVTH: Vũ Trần Đức Thành

a) C1: Giải bằng tay:

A = A = EE,E -1.M.E

C2: Bấm máy:

Dùng Matrix calculator để tìm X (https://matrixcalc.org/vi/)

- Chọn biểu tượng dấu + (Thêm một bảng để nhập ma trận), ta được thêm ô ma trận

- Nhập ma trận A vô ô Ma trận A, nhập Ma trận B vô ô Ma trận B, nhập Ma trận nghịch đảo A vô ô Ma trận C

- Nhập phép tính “𝐴*B*C” vô thanh chữ nhật rồi ấn Enter

Ta đ ược kếết qu nh hình vẽẽ: ả ư

b)

 = (0,0,0)

c) Chọn cơ sở của R là (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)3

 Im( ) = <f f (1,0,0);f (0,1,0); (0,0,1)>= {(-8;-14;-3);(7;11;4);f (5;8;3)}

GVHD: Nguyễn Ngọc Quỳnh Như - 8 - SVTH: Vũ Trần Đức Thành

Vậy cơ sở của Im(f ) là {(-8;7;5);(0;-5;-3),(0;0;12)} và dim(Im( )) =f 3

Câu 5: Nguồn:

https://vi.wikipedia.org/wiki/Tr%E1%BB%B1c_giao#Kh

%C3%B4ng_gian_vect%C6%A1_Euclid

https://hocdethi.tranganhnam.xyz/2012/10/ai-so-co-ban-bai-18-khong-gian-vecto.html?m=0

- Phần bù vuông góc trong không gian con:

Định nghĩa:

Trong không gian Euclid, hai vectơ trực giao khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0, tức là chúng tạo thành một góc 90° (π/2 radian), hay khi một trong hai vectơ không Vì vậy sự trực giao của các vectơ là sự mở rộng khái niệm tính vuông góc cho không gian với chiều bất kỳ

Phần bù trực giao của một không gian con là không gian bao gồm các vectơ trực giao với mỗi vectơ trong không gian con đó Trong một không gian vectơ Euclid ba chiều, phần bù trực giao của một đường thẳng qua gốc tọa độ là một mặt phẳng qua gốc tọa độ vuông góc với nó, và ngược lại

Lưu ý rằng khái niệm hai mặt phẳng vuông góc trong hình học không tương ứng với phần bù trực giao, vì trong không gian ba chều một cặp vectơ trong đó mỗi vectơ đến từ một mặt phẳng trong hai mặt phẳng vuông góc, có thể tạo với nhau một góc bất kỳ

Trong không gian Euclid bốn chiều, phần bù trực giao của một đường thẳng là một siêu phẳng và ngược lại, còn phần bù trực giao của một mặt phẳng cũng là một mặt phẳng

Định lý:

Cho là không gian vectơ Euclide, và là không gian vectơ con của E U E Khi đó mỗi vectơ đều viết được duy nhất dưới dạng:

trong đó

Vectơ gọi là hình chiếu trực giao của vectơ lên U, còn là đường trực giao hạ từ xuống U

Cho U là không gian vectơ con của không gian Euclide và là vectơ E thuộc E Khi đó góc giữa hai vectơ và hình chiếu trực giao cũng được gọi là là giữa vectơ và không gian con U

Độ dài của đường thẳng trực giao từ đến gọi là khoảng cách từ vectơ đến

Chứng minh

Giả sử e ,…,e1 k là một cơ sở trực chuẩn của U Vì nên có dạng:

Ta cần tìm

GVHD: Nguyễn Ngọc Quỳnh Như - 10 - SVTH: Vũ Trần Đức Thành

Vậy vectơ xác định duy nhất bởi

Trong đó e ,…,e1 k là một cơ sở trực chuẩn của , còn vectơ xác định bởi

- Cách tìm hình chiếu vuông góc của 1 vecto bất kỳ lên không gian con trong không gian Euclide:

Cho không gian vectơ Euclide , và là không gian vectơ con của Cho E U E vectơ Để tìm hình chiếu trực giao của vectơ ta có thể tìm bằng hai cách sau:

Cách 1: Tìm cơ sở trực chuẩn e1,…,ek của Khi đó hình chiếu trực giao của U vectơ xác định bởi công thức:

Giả sử là cơ sở bất kì của Vì U nên Ta cần tìm để vectơ

với

Lần lượt cho j = 1, 2, , k, ta có x1, , xk là nghiệm của hệ phương trình sau:

Như vậy, để tìm hình chiếu của lên , ta cần tìm một cơ sở của , sau đó lập hệ phương trình ( ) Giải hệ ( ) ta sẽ có nghiệm duy nhất (∗ ∗ ) Khi đó:

Ví dụ:

Trong không gian Euclide R cho không gian vectơ con sinh bởi các vectơ:4

Tìm hình chiếu trực giao của vectơ x = (1, 1, 0, 0) lên

Giải Cách 1:

Đầu tiên ta tìm một cơ sở trực chuẩn của Ở ví dụ trước ta đã tìm được một cơ

sở trực chuẩn của là:

GVHD: Nguyễn Ngọc Quỳnh Như - 12 - SVTH: Vũ Trần Đức Thành

Do đó, hình chiếu trực giao của là:

=

Cách 2:

Đầu tiên ta tìm một cơ sở trực chuẩn của Dễ thấy là một cơ sở của Sau đó lập hệ phương trình dạng (∗)

Ta có:

Do đó, hệ phương trình ( ) trong trường hợp này có dạng:∗

Đây là hệ Cramer, giải hệ này ta có Do đó, hình chiếu trực giao của vectơ x là:

LỜI KẾT

Em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô Trường Đại Học Gia Định

đã truyền đạt kiến thức cho em trong suốt thời gian ngồi trên giảng đường đại học

để em có thể tiếp thu những kiến thức quý giá giúp em hoàn thành bài viết này Đặc biệt, em xin chân thành cám ơn thầy Nguyễn Huy Phục đã tận tình hướng dẫn

và tao mọi điều kiện , quan tâm tốt nhất để giúp đỡ em hoàn thành tốt luận văn Mặc dù trong quá trình nghiên cứu đã có sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng với

sự hướng dẫn nhiệt tình của giáo viên nhưng cũng không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô để bài viết của em được hoàn thiện hơn

Lời cuối cùng, em xin kính chúc các thầy cô và gia đình năm mới nhiều sức khỏe, thành công và hạnh phục Em xin chân thành cảm ơn!

-HẾT -GVHD: Nguyễn Ngọc Quỳnh Như - 14 - SVTH: Vũ Trần Đức Thành