Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC LỤC CÂU 1………………………………………………………………………………..............1 a.1.Khái niệm……………………………………………………………………….............1 a.2.Dạng tổng quát hệ phương trình AX=B…………………………………………….......1 a.3. Phương pháp GaussJordan trong giải hệ phương trình AX=B………………………..1 a.4.Ví dụ giải hệ bằng phương pháp GaussJordan……………………………………..….2 b.1.Định lí về nghiệm của hệ phương trình AX=B…………………………………………3 b.2.Ví dụ từng trường hợp nghiệm hệ phương trình AX=B………………………….……3 c.1.Bài tập giải hệ phương trình…….………………………………………………………4 CÂU 2………………………………………………………………………………………..6 a.1.Định thức của ma trận vuông cấp 3……………………………………………………..6 b.1.Định nghĩa ma trận khả nghịch ………………………………………………………...7 b.2.Phương pháp xác định tính khả nghịch của ma trận ……………………………….…..7 b.3.Ví dụ minh hoạ………………………………………………………………………….7 c.1.Vận dụng giải các phương trình ma trận………………………………………………..8 c.1.1.Phương trình ma trận dạng AX=B………………………………………………...9 c.1.2.Phương trình ma trận dạng XA=B………………………………………………...9 c.1.3. Phương trình ma trận dạng AXB=C…………………………………………….10 CÂU 3………………………………………………………………………………………11 a.1.Hệ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính………………………………………...11 a.1.1.Định nghĩa………………………………………………………………………...10 a.1.2.Tính chất ……………………………………………………………………….…11 a.1.3. Điều kiện độc lập hay phụ thuộc tuyến tính trong không gian Rn ………….…...12 a.1.4.Ví dụ minh hoạ………………………………………………………………..…..12 b.1.Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất………………………13 b.1.1Điều kiện để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường………….13 b.1.2.Tính chất của tập nghiệm của hệ thuần nhất và hệ nghiệm cơ bản…….…………13 b.2.Ví dụ minh hoạ………………………………………………………………………...14 c.1.Không gian con trong R 4 ...………………..…………………………………………..15
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn thi: Họ tên sinh viên: MSSV: TOÁN CAO CẤP NGUYỄN THỊ THANH THẢO 030137210473 Lớp học phần: D16 THÔNG TIN BÀI THI Bài thi có: (bằng số): 16 trang (bằng chữ): mười sáu trang YÊU CẦU 1.Bài làm định dạng pdf,tối thiểu trang, font chữ Times New Roman,cỡ chữ 13,cách dòng 1.5,căn lề bên,khổ giấy A4 2.Số trang phải đánh cuối trang 3.Các ví dụ minh hoạ phải tính tốn chi tiết BÀI LÀM NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP Giảng viên hướng dẫn: NGUYỄN THANH HIÊN Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ THANH THẢO Mã số sinh viên: 030137210473 Lớp: DH37DC09 Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11, năm 2021 MỤC LỤC CÂU 1……………………………………………………………………………… a.1.Khái niệm……………………………………………………………………… a.2.Dạng tổng quát hệ phương trình AX=B…………………………………………… .1 a.3 Phương pháp Gauss-Jordan giải hệ phương trình AX=B……………………… a.4.Ví dụ giải hệ phương pháp Gauss-Jordan…………………………………… ….2 b.1.Định lí nghiệm hệ phương trình AX=B…………………………………………3 b.2.Ví dụ trường hợp nghiệm hệ phương trình AX=B………………………….……3 c.1.Bài tập giải hệ phương trình…….………………………………………………………4 CÂU 2……………………………………………………………………………………… a.1.Định thức ma trận vuông cấp 3…………………………………………………… b.1.Định nghĩa ma trận khả nghịch ……………………………………………………… b.2.Phương pháp xác định tính khả nghịch ma trận ……………………………….… b.3.Ví dụ minh hoạ………………………………………………………………………….7 c.1.Vận dụng giải phương trình ma trận……………………………………………… c.1.1.Phương trình ma trận dạng AX=B……………………………………………… c.1.2.Phương trình ma trận dạng XA=B……………………………………………… c.1.3 Phương trình ma trận dạng AXB=C…………………………………………….10 CÂU 3………………………………………………………………………………………11 a.1.Hệ độc lập tuyến tính & phụ thuộc tuyến tính……………………………………… 11 a.1.1.Định nghĩa……………………………………………………………………… 10 a.1.2.Tính chất ……………………………………………………………………….…11 a.1.3 Điều kiện độc lập hay phụ thuộc tuyến tính khơng gian Rn ………….… 12 a.1.4.Ví dụ minh hoạ……………………………………………………………… … 12 b.1.Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất………………………13 b.1.1Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường………….13 b.1.2.Tính chất tập nghiệm hệ hệ nghiệm bản…….…………13 b.2.Ví dụ minh hoạ……………………………………………………………………… 14 c.1.Khơng gian R4 ……………… ………………………………………… 15 NỘI DUNG Câu (4 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết em nội dung sau a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B b) Định lý số nghiệm hệ phương trình Mỗi trường hợp cho ví dụ minh họa, ma trận A có dịng c) Xét hệ phương trình sau ax1 x2 x3 a x1 bx2 x3 b x x cx c Trong a ngày sinh, b tháng sinh c năm sinh bạn Hãy giải phương trình cách Giải CÂU a.1.Khái niệm Phương pháp Gauss-Jordan dùng cách khử dần ẩn để đưa hệ phương trình cho dạng ma trận đường chéo giải hệ phương trình này, khơng phải tính định thức a.2.Dạng tổng quát hệ phương trình AX=B Hệ phương trình tuyến tính tổng qt: (I) { => Hệ phương trình tuyến tính A X=B A( ) X=( ) , B( ) Trong đó: A: ma trận thành lập từ hệ số biến X: ma trận cột biến B: ma trận cột số hạng tự a.3 Phương pháp Gauss-Jordan giải hệ phương trình AX=B Bước 1: Lập ma trận mở rộng [A|B] hệ (A ma trận hệ số, B cột tự do) Bước 2: Biến đổi sơ cấp (trên dòng của) ma trận mở rộng để đưa dạng bậc thang Từ tính hạng A [A| B] + Nếu rank(A) < rank([A| B]) kết luận hệ vơ nghiệm Thuật tốn dừng + Nếu rank(A) = rank([A| B]) = r ẩn hệ có nghiệm Làm tiếp bước Bước 3: Từ ma trận bậc thang, viết lại hệ tương đương với hệ cho đơn giản Giữ lại vế trái r ẩn ứng với hệ số khác khơng dịng khác khơng ma trận bậc thang gọi chúng ẩn (có r ẩn chính) Các ẩn cịn lại chuyển sang vế phải làm ẩn tự (có n – r ẩn tự do) Sau xem ẩn tự tham số gán cho chúng giá trị tùy ý giải hệ ngược từ phương trình cuối lên phương trình đầu cách ẩn từ phải sang trái, từ lên Bước 4: Tóm tắt kết kết luận nghiệm hệ Chú ý: Mỗi cột ma trận hệ số tương ứng với ẩn Do đó, đổi chỗ cột tên ẩn đổi theo a.4.Ví dụ giải hệ phương pháp Gauss-Jordan Ví dụ: Giải hệ phương trình sau :{ Ma trận hệ số mở rộng: A= ( | d2=d2-3d1 ) d3=d3-2d1 ( | ( ) d2 | d3 ( | ) d3=d3-6d2 d4=d4-2d2 ) d4=47d4-21d3 ( | ) d4=d4/150 | ) d3= - d3/47 d1=d1+d4 ( | ) d2=d2-3d4 ( d3=d3+13d4 ( | ( | ) d1=d1+3d3 d2=d2-10d3 ( | ) d1=d1-2d2 ( | ) d2= - d2 ) Vậy : hệ phương trình có nghiệm x1=1, x2= -1, x3=0, x4=2 b.1.Định lí nghiệm hệ phương trình AX=B Định lí Kronecker-Capelli: Cho hệ phương trình Ax=b hệ có nghiệm r(A)= r( ̅) Cụ thể hơn, ta có kết sau: Nếu Ax=b hệ n ẩn số, ta có + r(A) < r( ̅) hệ vô nghiệm + r(A) = r( ̅) = n hệ có nghiệm + r(A) = r( ̅) = r < n hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số b.2.Ví dụ trường hợp nghiệm hệ phương trình AX=B *TH1: r(A) < r( ̅) hệ vơ nghiệm Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính (A) { Ma trận hệ số mở rộng ̅ ( | ( ) d3=d3-2d2 ( | ) d1 | d2 ( | ) Ta có r(A) = < r( ̅) =3 Vậy hệ phương trình vơ nghiệm *TH2: r(A) = r( ̅) = n hệ có nghiệm X = A-1B Ví dụ : Giải hệ phương trình tuyến tính ) d3=d3-2d1 (A) { Ma trận hệ số mở rộng ̅ ( | ( ) d1=d1+d2 | ) d2=d2-2d1 ( ( | | ) d2 d3 ) d3=d3-3d2 Ta có :r(A) = r( ̅) = 3=n(số ẩn) suy hệ phương trình tương đương { Vật hệ có nghiệm X=(1,2,3) *TH3: r(A) = r( ̅) = k < n hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n − k tham số Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính (A) { Ma trận hệ số mở rộng ̅ ( | ) d2=d2-2d1 ( | ) d3=d3-d2 d3=d3-3d1 ( | ) d1=2d1+d2 ( | ) Ta có r(A) = r( ̅)=2 < (số ẩn) =>hệ phương trình vơ số nghiệm Hệ phương trình:{ Cho = suy nghiệm tổng quát { Vậy hệ phương trình vơ số nghiệm với nghiệm tổng qt X=( ( ) c.1.Bài tập giải hệ phương trình Xét hệ phương trình sau ax1 x2 x3 a x1 bx2 x3 b x x cx c với Trong a ngày sinh, b tháng sinh c năm sinh bạn *Cách 1:Phương pháp Gauss (A) { Xét ma trận hệ số mở rộng ̅ : ( | ) d2=12d2-d1 d4=12d4-d1 ( | ) d4=d4-d1 ( | ) Ta có r(A) = r( ̅)=3=số ẩn =>hệ có nghiệm Suy hệ phương trình có dạng:{ => { Vậy hệ phương trình có nghiệm x=1 *Cách 2:Phương pháp Cramer Hệ Cramer: Hệ phương trình tuyến tính n phương trình=n ẩn với ma trận hệ số ma trận vuông,khả nghịch,(detA ) áp dụng cho ma trận vuông cấp cấp Định lí Cramer: Cho hệ Cramer với dạng ma trận AX=B hệ có nghiệm X= A-1 B= ( D=det(A) ,Dj định thức nhận từ D thay cột j det(A) cột tự ma trận B,j= 1,2 ,n -Bước 1: Tính det(A) -Bước 2: Xét det(A) +Nếu det(A) ) => xj = Dj => hệ phương trình có nghiệm +Nếu det(A)=0, det(Dj)=0 với j => hệ phương trình có vô số nghiệm + Nếu det(A)=0, j : det(Dj) => hệ phương trình vơ nghiệm Giải Xét ma trận hệ số mở rộng ̅ : ( ) D1=( => D1=22022 | ) => D=22020 ) ; D3=( ; D2 =( ; => D2=22020 ) ; => D3=22020 Suy ra: x1= =1 , x2= =1 , x3= =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x=1 Câu (3 điểm) a) Trình bày cách tính định thức ma trận vng cấp Mỗi cách cho ví dụ minh họa? b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu phương pháp để xác định tính khả nghịch ma trận? Cho ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)? c) Hãy cho ví dụ để vận dụng tính khả nghịch ma trận việc giải phương trình ma trận sau AX B, XA B, AXB C Giải CÂU a.1.Định thức ma trận vuông cấp Cách 1: Sử dụng quy tắc Sarrus Cho ma trận vng cấp có dạng ( ) detA = |A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31− a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11 Ví dụ :Tính định thức cấp B=( Det(B)=| (-2 ) | ( ( ( = -12 - 24 + 3m - - 54 - 8m = -36 +3m -56 -8m = -92 -5m Cách 2: Khai triển định thức dòng cột Ai j =(-1) i+j | | (Pij định thức sau loại bỏ dòng i ,cột j ) ( – Định thức theo dòng i: Det(A)=(-1)i+1.|Pi1|.ai1+(-1)i+2.|Pi2|.ai2+….+ (-1)i+n.|Pin|.ain – Định thức theo cột j: Det(A)=(-1)j+1.|P1j|.a1j+(-1)j+2.|P2j|.a2j+….+ (-1)j+n.|Pnj|.anj Ví dụ: Tính det A=| | Ta thấy cột có nhiều phần tử nên ta khai triển theo dòng 2: detA=2.(-1)2+1.| |+1.(-1)2+3.| | Vậy: det(A)= b.1.Định nghĩa ma trận khả nghịch Cho A ma trận vuông cấp n, ma trận A gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận B vuông cấp n cho : A B = B A = I Ma trận B gọi ma trận nghịch đảo A Kí hiệu:B = A−1 b.2.Phương pháp xác định tính khả nghịch ma trận Dựa vào phương pháp Gauss-Jordan để tìm ma trận nghịch đảo ma trận A vuông cấp n (n ,ta lập ma trận hệ số mở rộng ( | ( | ( | ) Sau dùng phép biến đổi sơ cấp theo dòng để đưa A I , I A-1 b.3.Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm ma trận khả nghịch ma trận A=( Xét ma trận hệ số mở rộng ( | : ( ) | ) d2=d1-d2 d3= 2d1-d3 ( | ) d2 ( | ) d1=d3+2d1 d3 ( | ( ) d1=d1+d2 | ) d1=d1/2 ( | ) d2=d2/(-1) d3=d3/(-2) Vậy :A-1 =( ) Ví dụ 2:Tìm ma trận khả nghịch ma trận A=( Xét ma trận hệ số mở rộng ( | : ( ( | d2=-d1+d2 d3=-d1+d3 | ) d1= 1/3d1 ( ) ) d1=d1+d2+d3+d4 ( | | ) ) d1=d1+d2+d3+d4 d4=-d1+d4 ( | ) d2=-d2 d3=-d3 d4=-d4 ( | Vậy :A-1=( ) ) c.1.Vận dụng giải phương trình ma trận Áp dụng tìm ma trận khả nghịch định thức (cơng thức phần bù đại số): -Bước 1:Tính det (A) +Nếu det(A)=0 (A không khả nghịch) +Nếu det (A) (làm tiếp bước 2) Bước 2: Ma trận nghịch đảo ma trận A: A-1 = Với A ( ij ) ( phần bù đại số= (-1) i+j det(M ij) det(M ij) định thức mà xoá hàng i ,cột j tương ứng c.1.1.Phương trình ma trận dạng AX=B Ví dụ: Tìm X biết ( )X=( ) => X=A-1B => X= ( ) ( Xét ma trận A=( ) (1) ) A11= (-1)1+1.| | ( ; A12=(-1)1+2 | A13=(-1)1+3 | | -1 ; A21=(-1)2+1 | A22=(-1)2+2 | |= -18 ; A23=(-1)2+3.| A31=(-1)3+1 | | ; A32=(-1)3+2| A33=(-1)3+3 | | A-1= | = -29 | | -1 ) =( ( Ta được: X=( Vậy X=( | ) ( )=( ) ) c.1.2.Phương trình ma trận dạng XA=B Ví dụ: Tìm X biết X ( ) (1) ) =( )=( ) X=BA-1 X=( ) ( Xét ma trận A=( ) (1) ) => Det (A)= -1 A11= (-1)1+1 | |= -1 ; A12=(-1)1+2.| |=2 A13=(-1)1+3 | |= -2 ; A21=(-1)2+1.| |= -2 A22=(-1)2+2.| | ; A23=(-1)2+3 | | A31=(-1)3+1.| |= -2 ; A32=(-1)3+2.| |=3 A33=(-1)3+3.| A-1= ) =( Ta được: X= ( ) vào (1) ) =( ) ( ) =( ) ) c.1.3 Phương trình ma trận dạng AXB=C Ví dụ: Tìm X biết ( )X( )=( ) => X= A-1C B-1 => X=( |=-3 ( Vậy X=( ) ( ).( ) =( ) ( ) ( ) =( ).[( ) ( )] =( ) ( ) 10 ) =( Vậy X=( ) Câu (3 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết em nội dung sau a) Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vector Cho ví dụ minh họa? b) Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất? Hãy cho ví dụ minh họa xác định số chiều sở c) Xét khơng gian R , cho ví dụ khơng gian nằm khơng gian R có số chiều Xác định sở cơng thức biểu diễn tọa độ vector nằm khơng gian với sở trên? Giải CÂU a.1.Hệ độc lập tuyến tính & phụ thuộc tuyến tính a.1.1.Định nghĩa *Hệ độc lập tuyến tính Cho hệ vector u1, u2, …., uk không gian tuyến tính V Hệ u1, u2, · · · , uk gọi độc lập tuyến tính x1u1 + x2u2 + … + xkuk = θ kéo theo tất xi=0 -Nhận xét:Hệ u1, u2, …., uk độc lập tuyến tính hệ phương trình tuyến tính x1u1 + x2u2 + … + xkuk = θ có nghiệm tầm thường * Hệ phụ thuộc tuyến tính Cho hệ vector u1, u2, …., uk khơng gian tuyến tính V Hệ u1, u2, …., uk gọi phụ thuộc tuyến tính khơng độc lập tuyến tính Nghĩa tồn số xi không đồng thời cho x1u1 + x2u2 + … + xkuk = θ -Nhận xét: Hệ u1, u2, …., uk không gian tuyến tính V gọi phụ thuộc tuyến tính hệ phương trình tuyến tính x1u1 + x2u2 + … + xkuk = θ có nghiệm khơng tầm thường a.1.2.Tính chất Cho V không gian vectơ trường K *Hệ độc lập tuyến tính 11 -Mọi tập hợp độc lập tuyến tính không chứa vectơ 0v, tức S tập độc lập tuyến tính V 0v S -Mọi tập khác rỗng tập độc lập tuyến tính độc lập tuyến tính Tức E ≠ F F độc lập tuyến tính E độc lập tuyến tính -Tập S ≠ độc lập tuyến tính vectơ u S đầu khơng thể tổ hợp tuyến tính vectơ lại S * Hệ phụ thuộc tuyến tính -Mọi tập hợp chứa vectơ 0v phụ thuộc tuyến tính, tức 0v S S phụ thuộc tuyến tính -Mọi tập hợp chứa tập phụ thuộc tuyến tính phụ thuộc tuyến tính, tức E F E phụ thuộc tuyến tính F phụ thuộc tuyến tính -Tập S={u1,u2, ,um} (m≥2) phụ thuộc tuyến tính tồn vectơ ui S cho ui tổ hợp tuyến tính vectơ cịn lại S a.1.3 Điều kiện độc lập hay phụ thuộc tuyến tính không gian Rn -Trong R n cho hệ m vectơ (dòng) tùy ý v1, v2, …, vm Thiết lập ma trận A cách xếp v1, v2, …, vm dịng 1, 2, …, m Khi ta có a) (Hệ v1, v2, …, vm độc lập tuyến tính) (rankA = m = số vectơ hệ) b) (Hệ v1, v2, …, vm phụ thuộc tuyến tính) (rankA < m = số vectơ hệ) *Đặc biệt m = n, ta có c) (Hệ v1, v2, …, độc lập tuyến tính) (detA ≠ 0) d) (Hệ v1, v2, …, phụ thuộc tuyến tính) (detA = 0) a.1.4.Ví dụ minh hoạ Ví dụ:Trong khơng gian cho hệ vectơ a1=(1,2,-1,1),a2=(1,-2,2,1),a3=(1,1,-1,1) có độc lập tuyến tính khơng? Xét hpt: x1a1+x2a2+x3a3=0 Ma trận hệ số: A=( ) d2=2d 2-d1 ( ) d3=4d3+3d2 d3=d3+d1 d4=d4-d1 ( ) Để hệ độc lập tuyến tính r(A)=số ẩn=3 (thoã mãn ) 12 Vậy hệ { a1, a2, a3 } độc lập tuyến tính Ví dụ: Trong R3,tìm điều kiện m để hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính {(-m;1;1),(1-4m ;3;m+2)} ) c1 Xét ma trận A=( ( ) c2 ( ) d2=d2-3d1 Để hệ vectơ cho phụ thuộc tuyến tính r(A) m=1 Vậy m=1 hệ vectơ cho phụ thuộc tuyến tính b.1.Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính có dạng (II) { Có thể viết dạng ma trận :AX=0 ) X=( ) , O=( ) A( Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm x1=x2= =xn=0, nghiệm gọi nghiệm tầm thường hệ b.1.1.Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường Hệ phương trình n ẩn số có nghiệm khơng tầm thường hạng ma trận hệ số nhỏ số ẩn Hệ 1: Hệ phương trình có số phương trình nhỏ số ẩn ln có nghiệm khơng tầm thường (vơ số nghiệm) Hệ 2: Hệ phương trình có số phương trình số ẩn có nghiệm khơng tầm thường định thức ma trận hệ số Hệ 3: Hệ phương trình có số phương trình số ẩn có nghiệm tầm thường (nghiệm nhất) định thức ma trận hệ số khác b.1.2.Tính chất tập nghiệm hệ hệ nghiệm *Tập nghiệm hệ 13 + Tổng (hiệu) hai nghiệm lại nghiệm: (X1, X2 nghiệm) (X1±X2 nghiệm) + Bội nghiệm lại nghiệm: (a số, X nghiệm) (aX nghiệm) + Giả sử hạng ma trận hệ số r với < r < n (số ẩn) Khi ta biết, hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc n – r tham số (ẩn tự do) Hơn nữa, ta ln tìm hệ n – r nghiệm khơng tầm thường { X1, X2, …, X n–r }sao cho tập {X= a1X1 + a2X2 + … + an–r X n–r / a1, a2, …, a n–r số tùy ý} tập nghiệm hệ xét Hệ { X1, X2, …, X n–r} nói chung không *Hệ {X1, X2, …, X n–r} gọi hệ nghiệm hệ xét Nói chung, hệ có vơ số hệ nghiệm Mỗi X = a1X1 + a2X2 + … + an–r X n–r gọi nghiệm tổng quát hệ Khi gán cho tham số a1, a2, …, a n–r giá trị cụ thể (nhưng tùy ý) ta nghiệm riêng hệ b.2.Ví dụ minh hoạ Ví dụ: Giải xác định sở ,số chiều hệ phương trình sau: A={ Xét ma trận hệ số A=( ) d2=2d 2-3d1 ( ) d3= d3-d1 d3=d 3-2d1 ( ) Ta thấy rank(A) = < (số ẩn) => hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số Từ ma trận bậc thang ta hệ phương trình tương đương: { { (a,b 14 Vậy nghiệm tổng quát hệ cho (a + 8b, 2a, – 6b, 2b) với (a, b Cho a = -1, b = suy X1=(1,1,-1,0) ; Cho a = 0, b = suy X2=(1,12,0,7) Ta hệ nghiệm hệ {X1, X2} A sinh X1=(1,1,-1,0), X2=(1,12,0,7) hệ {X1, X2} độc lập tuyến tính nên {X1, X2} sở M dim A=2 c.1.Không gian R Ví dụ: Trong khơng gian R cho tập hợp L= { X=( *CMR: L không gian vector R *Tìm sở số chiều L Giải * CMR: L không gian vector R Ta có : (0,0,0,0) X,Y X( ) ; x1+x2=x3+x4=0 Y (( ) ; (1) =0 (2) Từ (1) (2) : (x1+y1)+ (x2+y2) =( x3+y3) +( x4+y4 )=0 (3) X+Y =( x1+y1; x2+y2; x3+y3; x4+y4 ) Từ (3) => X+Y k.X=( kx1,kx2,kx3,kx4 ) Từ (1) :k(x1+x2)= k(x3+x4) =0 kx1+kx2 = kx3+kx4=0 kX 15 ) R ; x1+x2=x3+x4=0} Vậy : L không gian vector R4 * *Tìm sở số chiều L : X= ( ) thoã mãn x1+x2=x3+x4=0 X= (x1,-x1,x3,-x3) =(x1,-x1,0,0) +( 0,0,x3,-x3 ) Hay: X =x1(1,-1,0,0 )+x3(0,0,1,-1) Hệ { (1,-1,0,0 ), (0,0,1,-1)} hệ sinh L Mặt khác : hệ { (1,-1,0,0 ), (0,0,1,-1)} độc lập tuyến tính Hệ sở L => dim L= 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO (1) Hệ phương trình tuyến tính tổng qt Khảo sát tổng qt hệ phương trình tuyến tính,(11/2020), Vtedonline, https://vted.vn/tin-tuc/he-phuong-trinh-tuyen-tinh-tongquat-va-khao-sat-tong-quat-he-phuong-trinh-tuyen-tinh-6021.html (2) Phép khử Gauss-Jordan (05/11/2021),Wikipedia-Bách khoa toàn thư,https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A9p_kh%E1%BB%AD_Gauss-Jordan (3) Định thức (determinants),Math Physics & more , https://thunhan.wordpress.com/bai- giang/dai-so-tuyen-tinh/dinh-thuc/ (4) Độc lập tuyến tính,Wikipedia Bách khoa tồn thư mở,https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%99c_l%E1%BA%ADp_tuy% E1%BA%BFn_t%C3%ADnh (5) Hệ phương trình tuyến tính nhất,Vted online,https://vted.vn/tin-tuc/he-phuongtrinh-tuyen-tinh-thuan-nhat-6022.html (6) MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO,SAMI, http://sami.hust.edu.vn/wp-content/uploads/03-Matran-nghich-dao1.pdf (7) Nguyễn Cơng Hà,Hệ phương trình tuyến tính,HỌC247,https://hoc247.net/dai-so-tuyentinh/bai-1-he-phuong-trinh-tuyen-tinh-l8257.html (8) Nguyễn Huy Hồng (Chủ biên),Nguyễn Trung Đơng, (2020),Giáo Trình TỐN CAO CẤP,TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING: https://ufm.edu.vn/Resources/Docs/SubDomain/khoakinhteluat/Gi%C3%A1o%20tr %C3%ACnh%20to%C3%A1n%20cao%20c%E1%BA%A5p.pdf (9) PGS TS Mỵ Vinh Quang,(06/12/2004),ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH MA TRẠN KHẢ NGHỊCH,Thư viện GIÁO ÁN,http://thuviengiaoan.vn/giao-an/dai-so-tuyen-tinh-matran-kha-nghich-72043/ (10) PGS.TS Lê Anh Vũ, BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (HIGHER MATHEMATICS), Bài giảng Toán Cao Cấp PGS.TS Lê Anh Vũ: https://maths.uel.edu.vn/Resources/Docs/SubDomain/maths/TOAN%20CAO%20CA P%20CHAPTER%201%20VER1.pdf (11) Phùng Nhâm,(15/06/2021), Ma trận nghịch đảo gì?Cách tìm ma trận nghịch đảo 2×2,3×3,4×4,ĐIỆN MÁY SHARP VIỆT NAM,https://kyniemsharp10nam.vn/tuvan-dich-vu/ma-tran-nghich-dao/ (12) ThS Vũ Quỳnh Anh, ĐỊNH THỨC,EDUTOP TỔ HỢP GIÁO DỤC TOPICA: http://eldata3.neu.topica.vn/TXTOCB02/PDF%20slide/NEU_TXTOCB02_Bai4_v1 0014105206.pdf ... Vũ, BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (HIGHER MATHEMATICS), Bài giảng Toán Cao Cấp PGS.TS Lê Anh Vũ: https://maths.uel.edu.vn/Resources/Docs/SubDomain/maths/TOAN%2 0CAO% 20CA P%20CHAPTER%201%20VER1.pdf (11)... thức ma trận vng cấp Mỗi cách cho ví dụ minh họa? b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu phương pháp để xác định tính khả nghịch ma trận? Cho ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)? c) Hãy... trận vuông cấp Cách 1: Sử dụng quy tắc Sarrus Cho ma trận vng cấp có dạng ( ) detA = |A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31− a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11 Ví dụ :Tính định thức cấp B=( Det(B)=|