Tiểu luận cuối kỳ môn Toán cao cấp 1 trường đại học Ngân hàng thành phố Hồ Chí Minh (HUB). Nội dung bao gồm chương 1, chương 2, chương 3 phần đại số tuyến tính................................................
NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP.HCM HỆ CHẤT LƯỢNG CAO TIỂU LUẬN CHỦ ĐỀ: TOÁN CAO CẤP Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Minh Tùng Học phần: Toán cao cấp Lớp học phần: AMA301_2111_9_GE25 Sinh viên thực hiện: Nguyễn Hồng Khơi Ngun MSSV: 050609212077 LỜI MỞ ĐẦU Chúng ta nhận thấy mơn Tốn cao cấp đóng vai trị quan trọng sinh viên ngành kinh tế Mặc dù Toán cao cấp chưa giải trực tiếp toán kinh tế lớn, tảng tư tri thức để hiểu giải môn chương trình học Giúp thân người học nắm rõ quy luật, mô hình dịch chuyển vận hành tương đối kinh tết qua dạng ma trận phép tính đơn giản qua mơn Tốn cao cấp Trong thi kết thúc học phần, hiểu biết học hỏi tham khảo em xin trình bày kiến thức mà em học để trả lời câu hỏi mà đề yêu cầu MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU .2 MỤC LỤC .3 YÊU CẦU BÀI LÀM Câu 1: a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B .5 b) Định lý số nghiệm hệ phương trình Mỗi trường hợp cho ví dụ minh họa, ma trận A có dòng c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm phần hệ phương trình Câu 2: 11 a) Trình bày cách tính định thức ma trận vng cấp Mỗi cách cho ví dụ minh họa? 11 b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu phương pháp để xác định tính khả nghịch ma trận? Cho ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)? 14 c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm nội dung liên quan đến định thức ma trận khả nghịch 15 Câu 3: 17 a) Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vector Cho ví dụ minh họa? .17 b) Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất? Hãy cho ví dụ minh họa xác định số chiều sở 18 c) Xét khơng gian R, cho ví dụ khơng gian nằm khơng gian R có số chiều Xác định sở cơng thức biểu diễn tọa độ vector nằm khơng gian với sở trên? 19 KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BỘ MƠN TỐN KINH TẾ ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần: Tốn Cao Cấp Hình thức thi: TIỂU LUẬN KHƠNG THUYẾT TRÌNH THƠNG TIN BÀI THI Bài thi có: (bằng số) 20 trang (bằng chữ) hai mươi trang YÊU CẦU Câu (4 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết em nội dung sau a) Thuật tốn Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B b) Định lý số nghiệm hệ phương trình Mỗi trường hợp cho ví dụ minh họa, ma trận A có dòng c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm phần hệ phương trình Câu (3 điểm) a) Trình bày cách tính định thức ma trận vng cấp Mỗi cách cho ví dụ minh họa? b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu phương pháp để xác định tính khả nghịch ma trận? Cho ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)? c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm nội dung liên quan đến định thức ma trận khả nghịch Câu (3 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết em nội dung sau a) Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vector Cho ví dụ minh họa? b) Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất? Hãy cho ví dụ minh họa xác định số chiều sở c) Xét khơng gian R, cho ví dụ khơng gian nằm khơng gian R có số chiều Xác định sở công thức biểu diễn tọa độ vector nằm khơng gian với sở trên? 4 BÀI LÀM Câu 1: a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B Định nghĩa: Cho A Mm x n(K) có ma trận rút gọn theo dịng bậc RA, số dòng khác RA gọi hạng A, kí hiệu r(A) 2 7 VD: RA = => r(A) = 0 0 - Mệnh đề • r(RA) = r(A) • r(A) {m, n} • r(A) = A = Om x n - Sơ đồ giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss Jordan ~ = [ A B ] phép biến đổi sơ cấp theo hàng ma trận [ A’ B’ ]: Dạng bậc thang Khi Ax = B A’x = B’ Trong A’x = B’ hệ dạng bậc thang nên dễ dàng giải Ta giải hệ phương trình theo ma trận tương đương bình thường Kết luận nghiệm ❖ Chú ý: Nếu ma trận thu cuối thuật tốn Gauss – Jordan có dạng (A’|B’) Thì A’ gọi ma trận rút gọn theo dòng bậc A (hay ma trận rút gọn), ký hiệu RA Ví dụ: Giải hệ phương trình sau 2 x −2 x2 x − x2 − x2 x1 x1 −3 x2 +4 x3 +4 x4 +6 x5 =5 +2 x3 +3 x4 +5 x5 =5 +3 x3 +x +2 x5 =3 +5 x3 +4 x4 +7 x5 =8 Giải Lập ma trận hệ số bổ sung hệ −2 4 5 1 −1 5 d 1 d ⎯⎯⎯→ 1 −2 3 −3 8 2 2 1 1 2 1 −1 0 d + ( −2) d 1→ d d 3+ ( −1) d 1→ d ⎯⎯⎯⎯⎯→ d + ( −2) d 1→ d 0 −1 0 −1 1 −1 0 −1 d 2 d ⎯⎯⎯→ 0 0 −1 2 5 −4 −5 −3 −2 −3 −2 5 1 −1 0 −1 −2 ( −1) d 3→ d ⎯⎯⎯⎯⎯→ −5 d 4+ ( −1) d 2→d 0 −2 0 −2 −2 −2 −1 5 −2 4 5 −2 3 −3 8 −2 −3 −2 −4 −2 −3 5 −2 −3 −2 5 0 0 Ta có hệ phương trình tương đương x1 − x2 +2 x3 +3x4 +5 x5 =5 − x2 + x3 −2 x4 −3x5 = −2 (2) x4 +4 x5 (1) =5 (3) Hệ có dạng hình thang, ta chuyển x3, x5 qua làm ẩn tự Từ (3) rút x4 = − x5 , thay vào (2) ta được: x2 = −3 + x3 + x5 Thay x4, x2 vào (1) ta x1 = −11 − x3 + x5 −11 − x3 + x5 x1 = x2 = −3 + x3 + x5 x3 Vậy nghiệm hệ phương trình − x5 x4 = x5 b) Định lý số nghiệm hệ phương trình Mỗi trường hợp cho ví dụ minh họa, ma trận A có dịng Muốn tính tốn số nghiệm hệ phương trình tuyến tính, ta sử dụng định lý tiếng Kronecker – Capelli để chứng thực tính tốn số nghiệm phương trình ❖ Định lý Kronecker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số, AX=B ta có: ✓ Điều kiện cần đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hạng ma trận hệ số hệ hạng ma trận hệ số bổ sung hệ: r(A) = r( A ) Hơn nữa: • Nếu r (A) = r( A ) = số ẩn hệ hệ phương trình tuyến tính có nghiệm • Nếu r (A) = r ( A ) số ẩn hệ hệ phương trình tuyến tính có vơ số nghiệm • Nếu r (A) < r ( A ) hệ phương trình tuyến tính cho vơ nghiệm Ta đến ví dụ cho trường hợp VD1: Giải hệ phương trình tuyến tính sau x1 2 x1 + x2 x2 − x3 =2 + x3 =1 +2 x3 = −2 Thực tìm ma trận hệ số mở rộng sau phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận mở rộng ta được: 1 −1 1 −1 d 2− d 1→d A = 1 ⎯⎯⎯⎯⎯ → −2 −3 −2 −2 1 −1 −3 d 1− d 2→d ⎯⎯⎯→ −2 ⎯⎯⎯⎯⎯ → −2 d 3+ d → d −2 −3 0 −7 d 2d −3 1 0 d 1+3d 3→d ⎯⎯⎯⎯ → −2 ⎯⎯⎯⎯⎯ →0 0 d − d 3→ d 0 −1 0 −1 d 3→ d Ta có r(A) = = r( A ) = ( số ẩn) Vậy hệ có nghiệm x1 = 1, x2 = 0, x3 = −1 VD2: Giải hệ phương trình tuyến tính sau Thực tìm ma trận hệ số mở rộng sau phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận mở rộng ta được: x1 4 x1 2 x −3x2 +2 x3 − x4 =2 + x2 +3 x3 −2 x4 =1 +7 x2 − x3 = −1 −3 −1 d 2− d 1→d −3 −1 d 3− d 1→d A = −2 ⎯⎯⎯⎯⎯ → 13 −5 −7 −1 −1 13 −5 −5 −3 −1 ⎯⎯⎯⎯→ 13 −5 −7 0 0 d 3− d → d Ta nhận hệ phương trình tương đương, hàng ( 0 0 ) cho ta phương trình 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = Phương trình vơ nghiệm, hệ cho vơ nghiệm Thế nên thấy r(A) < r( A ) hệ vơ nghiệm VD3 : Giải hệ phương trình tuyến tính sau: x1 x x1 12 x1 − x2 − x3 +2 x4 =1 − x2 −2 x3 +4 x4 =5 + x2 +3 x3 −6 x4 = −9 −2 x2 + x3 −2 x4 = −10 Thực phép biến đổi sơ cấp hàng ma trận hệ số mở rộng hệ −1 −1 −1 −2 −1 −2 d 2 d −1 −1 A= ⎯⎯⎯→ 1 −6 −9 1 −6 −9 12 −2 −2 −10 12 −2 −2 −10 −1 −2 −1 −2 d −3 d 1→ d 2 −10 −14 d 3− d 2→d −10 −14 d 3− d 1→ d ⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯⎯ → d −12 d 1→ d −10 −14 d 4−5 d 2→d 0 0 0 10 25 −50 −70 0 0 Bỏ hai hàng cuối, ta ma trận bổ sung hệ phương trình tương đương −1 −2 −10 −14 Ta có r(A) = r( A ) < n ( số ẩn hệ phương trình) phương trình vơ số nghiệm với: Số ẩn tự = n – r(A) Ở ta có số ẩn tự Ta chọn x1 , x2 làm ẩn sở x3 , x4 làm ẩn tự − x2 x1 x2 =5 +2 x3 = −14 −5 x3 x +10 x4 x −4 x4 = −2 − x3 = −7 − x3 + x4 , x3 , x4 +5 x4 c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm phần hệ phương trình 2 x1 Câu 1: Giải hệ phương trình 3 x1 5 x −4 x2 +6 x3 =0 −6 x2 +9 x3 =0 −10 x2 +15 x3 =0 A x1=2x2-3x3, x2=x2, x3=x3, x2, x3 B x1=x2=3x3, x3 C x1= 2x2+3x3, x2=x2, x3=x3, x2, x3 D x1= -2x2-x3, x2, x3 x +2 y −2 z = Câu : Giải hệ phương trình 3x +7 y −2 z = 2 x +5 y + z = A x=5, y=8, z=10 B x=4, y=-1, z=0 D x=-4, y=1, z=0 C.x=7, y=5, z=6 Câu 3: Trong tất nghiệm hệ phương trình, tìm nghiệm thỏa 2x+y+z= 2 x +5 y +3 z = 2 x +5 y +7 z = 3 x +4 y +4 z = A ( −1 , , ) 14 , ) 16 B ( , 5 C , , 14 −2 D , , 14 x +12 y +7 z = 8 x +10 y +7 z = Câu 4: Giải hệ phương trình 2 x +5 y + z = x +2 y +3 z = A ( 2, 7, ) 43 B ( , ,2) 187 43 C Tất sai 2 x + y −3 z +t Câu 5: Giải hệ phương trình 5 x +2 y −6 z −2t 3 x − y −4 y +t A x=-3+4t , y= −26 22 −8 + t , z= + t, t 7 7 B x= -3-4t, y= 22 25 − t, t + t , z= 7 7 7 D ( 8, 6) =4 =5 =7 C x= -2-4t, y= − t , z= − t , t D x= 5-6t, y= 26 15 − t , z= − t , t 7 x + y + z +t = 2 x +3 y +4 z −t = Câu 6: Tìm m để hệ phương trình sau vơ nghiệm 3 x + y +2 z +5t = 4 x +6 y +3 z + m = A m=5 B m= 14 C m=3 D m=2 + y −2 z = x Câu 7: Tìm m để hệ phương trình sau vơ số nghiệm 2 x +3 y −3 z = 3 x + my −7 z = A m B m C câu sai D m=2 10 +z = −1 x +3 y Câu 8: Tìm tất m để hệ sau vô nghiệm 2 x +6 y +(1 − m) z =0 2 x +6 y + (m + 1) z = m − A m B m = 1 C m=3 D m=-1 +z x +2 y Câu 9: Tìm m để hệ phương trình sau vơ nghiệm 2 x +5 y +3z x +7 y + m z A m=2 B m 2 C m=-2 D m = 2 =1 =5 =7 x + my + mz = Câu 10: Tìm tất m để hệ phương trình sau có nghiệm mx + y + mz = mx + my + z = m A m B m C m −1 D m=-2 Câu 2: a) Trình bày cách tính định thức ma trận vuông cấp Mỗi cách cho ví dụ minh họa? Định nghĩa định thức cấp n: Định thức ma trận vuông A = ( aij ) cấp n ( gọi tắt định thức cấp n ) số, ký hiệu A det(A), có cách quy nạp sau: ▪ Nếu n = det(A) = a11 ▪ Nếu n = ta có định thức cấp 2: o Det ( A ) = a11 a12 a21 a22 ▪ Nếu n = ta có định thức cấp o a11 a12 a13 Det ( A ) = a21 a22 a23 a31 a31 a33 11 Có cách tính định thức ma trận vng cấp ➢ Quy tắc Sarrus: Quy tắc Sarrus phép tính phương pháp ghi nhớ để tính định thức ma trận 3×3 Nó đặt theo tên nhà toán học Pháp Pierre Frederic Sarrus ✓ Cách tính: Viết cột bên phải cột thứ ba ma trận, ta cột Sau đó, viết kết tính tốn theo đường chéo từ xuống trừ sản phẩm đường chéo từ lên a11 Ma trận vuông cấp 3: A = a21 a 31 Xây dựng ma trận A3 x a11 = a21 a 31 a32 a13 a23 a33 a12 a13 a11 a22 a23 a21 a32 a33 a31 a12 a22 a12 a22 a32 Mơ hình hóa cách tính: a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Xác định công thức quy tắc Sarrus Det ( A ) = ( a11a22 a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ) − ( a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12 ) 2 7 VD: Cho ma trận A = Tìm định thức A quy tắc Sarrus 2 9 Giải 2 7 → A= 4 Ta có A = 2 9 12 = ( 2.4.9 + 5.2.2 + 7.3.7 ) – ( 2.4.7 + 7.2.2 + 9.3.5 ) = 239 – 219 = 20 ➢ Công thức Laplace: Trong đại số tuyến tính, khai triển Laplace, đặt tên theo Pierre-Simon Laplace, gọi khai triển phần bù đại số, biểu thức cho định thức |B| ma trận n × n B theo định thức đầu B.Đối với ma trận lớn, tính tốn, khai triển Laplace nhanh chóng trở nên hiệu so sánh với phương pháp sử dụng phân tích ma trận Định lý: Giả sử B =[ bij ] ma trận n x n i, j hai phần tử {1, 2, , n } Thế định thức | B | thỏa mãn: Các biểu thức gọi khai triển Laplace theo hàng i theo cột j ma trận B Mà phần bù đại số ( i, j ) ma trận B vô hướng Cij xác định Cij = (-1)i+j Mij Với Mij định thức B tạo từ việc xóa hàng thứ i cột thứ j B 5 VD: Cho ma trận B = Tìm định thức ma trận phương pháp Laplac 2 3 Giải 5 Ta có B = → B = 2 3 2 = ( −1) 1+1 + ( −1) 2+1 + ( −1) 3+1 13 =3 b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu phương pháp để xác định tính khả nghịch ma trận? Cho ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)? Định nghĩa ✓ Cho A ma trận vuông cấp n Ma trận nghịch đảo ma trận A (nếu có) ma trận cấp n ký hiệu A−1 thỏa mãn: A A-1 = A-1 A = I ( I ma trận đơn vị cấp n ) ✓ Nếu A có ma trận nghịch đảo A gọi ma trận khả nghịch ➢ Phương pháp xác định tính khả nghịch ma trận Muốn xác định xem ma trận có tính khả nghịch hay khơng ta tính định thức ma trận - TH1: det( A) A khả nghịch - TH2: det( A) = A khơng khả nghịch −2 −3 Ví dụ: Cho ma trận A = Xác định tính khả nghịch ma trận A ? 2 −2 −3 −2 −2 −3 Giải: Ta có A = → A = 2 2 = ( -2 ).1.2 + 0.3.1 + ( -3 ).2.2 - 1.1.(-3) – 2.3.(-2) – 2.2.0 = -1 Ma trận A khả nghịch 0 Ví dụ: Cho ma trận B = 1 0 0 Giải: B = 1 0 0 1 Xác định tính khả nghịch ma trận B ? 1 0 0 0 1 → B = 1 0 1 0 0 1 0 14 = 1.( −1) + 1 1 = 1.1.( −1) +1 1 = −1.0 =0 Ma trận B không khả nghịch c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm nội dung liên quan đến định thức ma trận khả nghịch 1 3 Câu 1: Cho A = −1 Tìm đáp án −1 A det (A) = 12 B det ( A) = 12 2 C det ( A) = 1 m 2 Câu 2: Cho A = Định thức A theo tham số m ? 3 0 A B -1 C 3m+3 D 3m-3 m m + 1 Giá trị m det (A) = Câu 3: Cho A = m +1 1 A − B + C −1 + D 1 m m Câu 4: Cho A = Tìm m để det (A) = 3 m 0 m A m=1 B m=-1 C m=0 D m=1 m=-1 15 D det ( A) = 1 m Câu 5: Cho A = m Với giá trị m det (A.AT) =4 0 m A m 0 B m 0,1 C m 0,1, 2 D m 0, 2 m −1 Câu 6: Cho A = m −1 Với giá trị m det (A) < 3 m A -1 < m < B m < -1 m > C m D −3 Câu 7: Cho A = m Tìm m để A ma trận khả nghịch 1 m A m B m −2 C m −8 m D m −2 m −8 1 0 Câu 8: Cho A = m Xác định m để A khả nghịch phần tử a33 A-1 m 0 A m = a33 = m-1 C m a33 = m-1 B m = -1 a33= D m a33 =1 3 Câu 9: Cho A = −1 m Với giái trị m A khơng khả nghịch m A m=1 B m D m C m=0 1 2 Câu 10: Cho A = −1 Tìm ma trận khả nghịch A 4 8 −11 2 A −4 −1 −1 −1 B −5 −1 2 C −4 −1 16 −2 D −4 −1 Câu 3: a) Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vector Cho ví dụ minh họa? Độc lập tuyến tính: Định nghĩa: Cho V không gian vecto S= { u1, u2, …, un } V Hệ S độc lập tuyến tính : k , k2 , , kn , k1.u1 + k2 u2 + + kn un = k = k2 = = kn = Ví dụ: Cho u1= ( 0,1,1 ); u2 = ( 1,2,1 ); u3 = ( 1,5,3 ) Vecto có độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính ? Giải: Xét hệ phương trình x1u1 + x2u2 + x3u3 = x1 x x2 + x3 +2 x2 +5 x3 + x2 +3x3 =0 x1 = x2 x =0 =0 =0 =0 Vậy u1 , u2 , u3 độc lập tuyến tính Phụ thuộc tuyến tính: Định nghĩa: Ngược lại với độc lập tuyến tính khi: k1u1 + k2u2 + + knun = ki Ví dụ: Cho u1 = ( 1,1,2 ), u2 = ( 1,2,5 ), u3 = ( 0,1,3 ) Xét hệ phương trình sau: 17 x1u1 + x2u2 + x3u3 = x1 x1 2 x + x2 =0 +2 x2 + x3 =0 +5 x2 +3 x3 =0 Giải hệ phương pháp Gauss, ta có nghiệm tổng quát hệ x1 = m; x2 = −m; x3 = m với m Vậy u1 , u2 , u3 phụ thuộc tuyến tính b) Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất? Hãy cho ví dụ minh họa xác định số chiều sở Đầu tiên phải tìm hiểu hệ phương trình ? Và cách xác định nghiệm hệ • Hệ phương trình tuyến tính Ta biết hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số có dạng: → Hệ phương trình ln có nghiệm x1 = x2 = = xn = Nghiệm tầm thường Thế nên với hệ phương trình tuyến tính bất kỳ, hệ ln có nghiệm → Hệ phương trình n ẩn số có nghiệm khơng tầm thường hạng ma trận hệ số nhỏ số ẩn • Không gian nghiệm hệ x1 x n AX = O không gian không gian vecto Tập ker(A) = X = xn Rn gọi tập hợp tất nghiệm hệ AX=OAX=O hay không gian nghiệm hệ • Mỗi sở ker(A) gọi hệ nghiệm hệ • Số chiều không gian nghiệm hệ dim(ker(A)) = n – r(A) 18 • Vậy r(A)= r < nr(A)= r < n hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc n – r tham số Ví dụ: Xác định sở số chiều x1 x x1 2 x4 +2 x2 −3 x3 +5 x4 =0 +3 x2 −13 x3 +22 x4 =0 +5 x2 + x3 −2 x4 =0 +3 x2 +4 x3 −7 x4 =0 −3 5 −3 d 2−d −13 22 d 3−3d −10 17 ⎯⎯⎯→ −2 d 4− d −1 10 −17 −7 −1 10 −17 1 A= 3 2 1 d 3+ d ⎯⎯⎯ → d 4+ d 0 0 x1 Ta có x2 −3 −10 0 0 17 +17 x3 −29 x4 =0 −10 x3 +17 x4 =0 Số ẩn tự = 4-2=2 dim W= Đặt x3 = , x4 = Nghiệm tổng quát ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( −17 + 29 ,10 − 17 , , ) • Cho 𝛼 = 1, 𝛽 = → u1 = ( -17, 0, 1, ) • Cho 𝛽 = 1, 𝛼 = → u2 = ( 29, -17, 0, ) Cơ sở W gồm { u1, u2 } c) Xét khơng gian R, cho ví dụ không gian nằm không gian R có số chiều Xác định sở cơng thức biểu diễn tọa độ vector nằm khơng gian với sở trên? x1 x Cho xét X = R , W = x R x1 x1 − x2 +2 x3 −3 x4 =0 −4 x2 +3 x3 −2 x4 =0 +4 x2 − x3 −2 x4 =0 −8 x2 +5 x3 −2 x4 =0 Ta có ma trận mở rộng áp dụng biển đổi dòng lên ma trận mở rộng hệ phương tình sau: 19 1 −1 1 −4 1 −1 1 −8 −3 −1 −3 −2 d 2− d −3 1 ⎯⎯⎯→ −2 dd 34−−dd11 −3 −2 −7 −1 −3 −1 −3 −3 1 d 4+ d −3 1 d 3+ d ⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯→ 3d 4−7 d 0 −4 0 −4 0 −4 0 0 x1 − x2 +2 x3 −3x4 −3x2 + x3 + x4 −4 x3 +8 x4 =0 x1 =0→ = 0 0 0 0 =0 x2 = x4 x3 = x4 Cho x4 =1 x2 = 1, x3 = → u1= ( 0, 1, 2, ) Cho x4 = x2 = 2, x3 = →u2 = ( 0, 2, 4, ) Ta có dim W = số ẩn – r (A) = 4-3=1 Cơ sở W gồm { u1, u2 } KẾT LUẬN Qua tiểu luận trên, em trình bày cung cấp kiến thức em có qua trình em tham khảo tìm hiểu thêm Em mong thân hiểu rõ môn học rèn luyện cho tư đắn TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo trình Tốn cao cấp ĐH Tài – Marketing Giáo trình Đại số tuyến tính ĐH Cơng nghệ thơng tin Đại số tuyến tính – Bùi Xuân Hải ( chủ biên ) – 2000 – Ban xuất trường ĐH Khoa học Tự nhiên Câu hỏi trắc nghiệm Đại số tuyến tính – Đặng Văn Vinh – Trường ĐH Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh Một số tài liệu tham khảo khác 20 ... a 21 a32 a33 a 31 a12 a22 a12 a22 a32 Mô hình hóa cách tính: a 11 a12 a13 a 11 a12 a 21 a22 a23 a 21 a22 a 31 a32 a33 a 31 a32 Xác định công thức quy tắc Sarrus Det ( A ) = ( a11a22 a33 + a12a23a 31. .. ? ?1 −2 d 2 d ? ?1 ? ?1 A= ⎯⎯⎯→ 1 −6 −9 1 −6 −9 ? ?12 −2 −2 ? ?10 ? ?12 −2 −2 ? ?10 ? ?1 −2 ? ?1 −2 d −3 d 1? ?? d 2 ? ?10 ? ?14 d 3− d 2→d ? ?10 ? ?14 d 3− d 1? ?? d ... ? ?1 2 ? ?1 ? ?1 0 d + ( −2) d 1? ?? d d 3+ ( ? ?1) d 1? ?? d ⎯⎯⎯⎯⎯→ d + ( −2) d 1? ?? d 0 ? ?1 0 ? ?1 ? ?1 ? ?1 0 ? ?1 d 2 d ⎯⎯⎯→ 0 0 ? ?1 2 5 −4 −5 −3 −2 −3 −2 5 ? ?1 ? ?1 0 ? ?1 −2 ( ? ?1)