Bài giảng Toán tối ưu hóa - bài toán vận tải - Đại Học Ngân Hàng Thành Phố Hồ Chí Minh

Bài giảng Toán tối ưu hóa - bài toán vận tải - Đại Học Ngân Hàng Thành Phố Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM ThS PHẠM TRÍ CAO www37.websamba.com/phamtricao HOẶC www.phamtricao.web1000.com 2005 LỜI NÓI ĐẦU Bạn đọc thân mến Tập giảng biên soạn dành cho sinh viên hệ quy, học viên luyện thi cao học trường đại học Kinh tế Tp.HCM Bài giảng đúc kết kinh nghiệm nhiều năm trình giảng dạy môn Tối ưu hóa (Quy hoạch tuyến tính) Bài giảng biên soạn dựa đề thi học kỳ, đề thi tuyển sinh cao học trường đại học Kinh tế Tp.HCM Bài giảng biên soạn dựa thắc mắc, câu hỏi sinh viên trình giảng dạy Trong giảng chủ yếu trình bày mô hình toán kinh tế thuật toán, phương pháp giải mà không sâu vào sở lý thuyết Nếu muốn tìm hiểu sâu mặt lý thuyết dạng toán mở rộng – nâng cao, bạn cần xem thêm tài liệu chuyên ngành toán kinh tế Bài giảng biên soạn tinh thần “Đơn giản–Tự học“ với tiêu chí “Dừa–Đủ–Xoài“ Mong đọc xong tập giảng bạn cảm thấy tâm hồn nhẹ nhàng, thư thái; tinh thần thoải mái bước vào phòng thi !!! Mọi góp ý sai sót giảng xin gởi địa mail: phamtricao@ ueh.edu.vn Tp.HCM, tháng 10 năm 2005 CHƯƠNG TRÌNH HỌC (45 tiết) Chương 1: Bài toán Quy hoạch tuyến tính -Các khái niệm định nghóa toán QHTT −Bài toán QHTT tổng quát −Bài toán QHTT dạng tắc −Bài toán QHTT dạng chuẩn tắc -Phương pháp hình học giải toán QHTT biến -Phương pháp đơn hình giải toán QHTT (dạng chuẩn, minf) -Thuật toán đơn hình đơn vị đo biến -Phương án cực biên suy biến, tượng xoay vòng -Vấn đề phương án cực biên ban đầu − Bài toán (M) -Phương pháp đơn hình giải toán QHTT (dạng chuẩn, maxf) -Giải toán QHTT tổng quát -Vấn đề phương án tối ưu Chương 2: Bài toán Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu -Cách thành lập toán QHTT đối ngẫu -Các định lý đối ngẫu -Các ví dụ dùng định lý đối ngẫu (định lý độ lệch bù) để giải toán đối ngẫu Chương 3: Bài toán vận tải -Các khái niệm toán vận tải cân thu phát (BT vận tải cổ điển) -Thuật toán vị giải BTVT (Cân thu phát, f min) -Trường hợp có pa cực biên không suy biến -Trường hợp gặp pa cực biên suy biến -BTVT không cân thu phát −Bài toán có tổng phát < tổng thu −Bài toán có tổng phát > tổng thu -BTVT có ô cấm -BT dạng vận tải có f max -Vấn đề phương án tối ưu -BT xe không GIÁO TRÌNH THAM KHẢO 1) Chủ biên: Bùi Phúc Trung Giáo trình Tối ưu hóa (Quy hoạch tuyến tính) – Trường ĐHKT 2) Trần Gia Tùng – Vũ Thị Bích Liên – Hoàng Đức Hải Toán kinh tế –Trường ĐH TCKT 3) Nguyễn Thành Cả Toán kinh tế * Phần QHTT – Trường ĐHKT 4) Bùi Thế Tâm –Trần Vũ Thiệu Các phương pháp tối ưu hóa – NXB GTVT 5) Bùi Minh Trí Quy hoạch toán học – NXB KHKT 6) Phan Quốc Khánh Quy hoạch tuyến tính – NXB GD 7) Trần Túc Bài tập quy hoạch tuyến tính – NXB KHKT 8) Đặng Văn Uyên Quy hoạch tuyến tính – NXB GD 9) Lê Văn Hợp Giáo trình quy hoạch tuyến tính – ĐH Tổng hợp Tp.HCM 10) Chủ biên: Hoàng Ngọc Nhậm Tài liệu ôn thi Cao học kinh tế: Môn toán kinh tế  Trường ĐHKT 11) Lê Khánh Luận Lý thuyết, tập, giải Quy hoạch tuyến tính (Tối ưu hóa)  NXB Lao Động 2006 Tối ưu hóa * Chương 1: Bài toán Quy hoạch tuyến tính CHƯƠNG I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH I) CÁC KHÁI NIỆM: 1) Các ví dụ dẫn đến toán QHTT VD1.1: Lập kế hoạch sản xuất Một XN có loại nguyên liệu khác nhau: A, B, C với lượng dự trữ tối đa 10, 16, 20 Người ta dùng để sản xuất loại sản phẩm I, II, III, IV Định mức kỹ thuật loại nguyên liệu để sản xuất sản phẩm tiền lãi loại sản phẩm cho bảng sau: Loại nguyên Dự trữ liệu Định mức kỹ thuật I II III IV A (tấn) 10 B (tấn) 16 C (tấn) 20 Lãi (triệu đ/tấn) 1 2 2 Hãy lập kế hoạch sản xuất loại sản phẩm cho thỏa mãn yêu cầu hạn chế nguyên liệu, đồng thời tổng số tiền lãi thu lớn HD: Gọi xj số sp loại j cần sản xuất, j =1,4 Bài toán là: Tìm véc tơ x=(x1, x2, x3, x4) cho: max f(x) = f(x1, x2, x3, x4) = 4x1+5x2+6x3+4x4 x1 + 2x2+ 2x3+ 3x4 =12 x1+ x2+ x3 >=14 xj >= , j=1,3 Giải toán ta x =(14, 0, 0) fmin = 42 VD 1.3: Bài toán phân bổ vốn đầu tư Một người có 70 triệu đồng muốn cho vay theo loại hình sau: -Tiết kiệm không kỳ hạn với lãi suất 5% -Tiết kiệm có kỳ hạn với lãi suất 8% -Mua tín phiếu với lãi suất 10% Thời gian đáo hạn cho Để giảm rủi ro, người cho vay theo dẫn tư vấn sau: -Mua tín phiếu tiết kiệm có kỳ hạn 70% vốn -Số tiền mua tín phiếu không vượt loại hình lại -Cho vay toàn số tiền Cho biết kế hoạch đầu tư cho lợi nhuận tối đa HD: Gọi x1 , x2 , x3 (triệu đ) số tiền đầu tư vào: TK có kỳ hạn, tín phiếu, TK không kỳ hạn Bài toán là: Tìm x=(x1, x2, x3) cho: f(x) = 0,08x1 +0,1x2 +0,05x3 max >= 49 x1 +x2 x1 –x2 +x3 >= ⇔ x2 = , j=1,3 Giải toán ta x= (35, 35, 0) fmax = 6,3 2) Bài toán QHTT tổng quát Tìm x = (x1,x2, ,xn) cho: f(x) = n ∑ cj xj (max) (1) j =1 (*) n ∑ aij xj ( = ) bi , i =1,m (2) j =1 xj ( >=0 , = f(x*) BT max: ∀x∈D: f(x) < Chuyển toán max toán min: f(x) max ⇔ g(x)= −f(x) x∈D x∈D Câu hỏi: Chứng minh toán tương đương Phương án cực biên (pa bản) BT QHTT tổng quát • Một ràng buộc gọi chặt pa x xãy dấu bằng, thí dụ n ∑ aij xj = bi j =1 Một ràng buộc gọi lỏng pa x xãy dấu bất đẳng thức thực sự, thí dụ n ∑ aij xj > bi j =1 Khái niệm chặt, lỏng xét cho ràng buộc chung ràng buộc biến • Một pa có n ràng buộc chặt độc lập tuyến tính gọi pacb − Một pacb có n ràng buộc chặt gọi pacb không suy biến − Một pacb có nhiều n ràng buộc chặt gọi pacb suy biến • Một pa có n ràng buộc chặt độc lập tuyến tính gọi pa không cực biên Lưu ý: Số ràng buộc chặt đltt =0, x2>=0, x3>=0, x4 2x1+ x2+ x3 −x4 =−1 x1+4x2−2x3+ x4 =0 x1>=0, x2>=0, x3>=0, x4= , j=1,n Đặt: A= a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn (3) b1 b2 bm b= Ta viết toán (1)-(3) dạng ma traän: f(x) = (max) Ax = b x >= Với quy ước: (x1,x2, ,xn) >= (y1,y2, yn) ⇔ x= x1 x2 xn c = (c1,c2, ,cn) xj >= yj , j=1,n Bất kỳ toán QHTT tổng quát đưa dạng tắc phép biến đổi tuyến tính sau: * Ràng buộc biến: Nếu xj =0 Nếu xj ta ñaët xj = xj+ − xj− , xj+ , xj− >=0 * Ràng buộc chung: n ∑ aij xj =0: j =1 n ∑ j =1 n ∑ aij xj +yi = bi j =1 aij xj >= bi Thêm biến phụ yi >=0: n ∑ aij xj – yi = bi j =1 Ví dụ 1.4: Bài toán (P) f(x) = x1+x2+2x3 x1 +4x2 +x3 =16 xj >=0 , j=1,3 HD: Đưa (P) dạng tắc (P*) ⇔ f(x) = x1+x2+2x3 f(x) = x1+x2+2x3 +0.x4 +0.x5 =10 x1 +4x2 +x3 +x4 3x1 + x2 +x3 =12 –x5 =16 2x1 +3x2 +x3 xj >= , j=1,5 x4 ,x5 biến phụ Câu hỏi: hệ số hàm mục tiêu biến phụ phải 0? Quan hệ (P) (P*) -(P*) PATƯ (P) PATƯ -(P*) có PATƯ (x1*, x2*, , x5*) (x1*, x2*, x3*) patư (P), fmin = f(x1*, x2*, x3*) Tối ưu hóa * Chương 1: Bài toán Quy hoạch tuyến tính Ví dụ1.5: Bài toán (P) f(x) = x1+2x2+5x3 x1+ x2 +x3 =2 2x1+3x2 +x3 =5 x1 =0 HD: Đưa (P) dạng tắc (P*) ; x2 = y2 −y3 , y2 , y3 >=0 Đặt y1 = −x1 >=0 f = -y1 +2(y2-y3 )+5x3 -y1+( y2-y3 )+x3 =2 -2y1+3(y2-y3)+x3 =5 y1 , y2 , y3 , x3 >=0 Quan hệ (P) (P*) -(P*) PATƯ (P) PATƯ -(P*) có PATƯ (y1*, y2*, y3*, x3*) (−y1*, y2*−y3*, x3*) patư (P), fmin = f(-y1*, y2*-y3*, x3*) VD 1.6: Bài toán (P) f= x1 +2x2 +x3 max x1 +x2 –x3 =0 HD: Đưa (P) dạng tắc (P*) Đặt y1 = -x1 >=0 max f= -y1 +2x2 +x3 -y1 +x2 –x3 +x4 =2 -2y1 +x2 +x3 =3 y1 >=0 , x2 >=0 , x3 >=0 ; x4 >=0 (biến phụ) Quan hệ (P) (P*): -(P*) patư (P) patư -(P*) có patư (y1*, x2*, x3*, x4*) (-y1*, x2*, x3*) patư (P) fmax= f(-y1*, x2*, x3*) Vậy ta có kết sau: -(P) có pa ⇔ (P*) có pa -(P) có patư ⇔ (P*) có patư PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN QHTT: đọc thêm –không thi Với toán QHTT biến người ta dùng phương pháp hình học để giải, với tương ứng sau: -Miền ràng buộc D tập lồi đa diện (giới nội không giới nội) hệ trục tọa độ vuông góc Đề các, D giới nội ta gọi đa giác lồi D có đỉnh đỉnh D tập rỗng (nếu ràng buộc không tương thích nhau) D có hữu hạn đỉnh -Giá trị hàm mục tiêu f(x) gọi đường mức Ta cho đường mức di chuyển D f(x) giới nội (bị chặn) D không Bài toán minf: Nếu f(x) giới nội D ta tìm patư, f(x) không giới nội toán patư Bài toán maxf: Nếu f(x) giới nội D ta tìm patư, f(x) không giới nội toán patư Ta có số trường hợp sau: -D giới nội: toán có patư đỉnh D (gọi pa cực biên tối ưu) Nếu toán có patư đạt đỉnh trở lên toán có vô số patư www37.websamba.com/phamtricao ThS Phạm Trí Cao * 2005 www.phamtricao.web1000.com -D không giới nội có đỉnh: toán có patư không Nếu có patư patư đạt đỉnh -D không giới nội đỉnh: toán có patư không Nếu có patư patư không đạt đỉnh Nếu toán QHTT có dạng tắc có pa đỉnh D (gọi pa cực biên) Các kết sử dụng để giải BT theo pp hình học: Đường thẳng ax+by=c chia mặt phẳng Oxy thành miền: miền có ax+by>c miền có ax+by max −x1+2x2=0 1) cmr x=(0,0), x=(1,0), x=(0,1), x=(8/5, 9/5) pacbksb? 2) Cmr fmax =17/5 Ví dụ 2: f(x)= −2x1+x2 −−> x1− x2>=−2 −x1+2x2>=−2 x1>=0, x2>=0 1) cmr x=(0,0), x=(2,0), x=(0,2) pacbksb? 2) Cmr f−−> −∞ Ý tưởng pp hình học từ đỉnh ban đầu D ta đến đỉnh “kề” có giá trị hàm mục tiêu tốt đỉnh tối ưu hàm mục tiêu không bị chặn Nếu có đỉnh tối ưu có patư, hàm mục tiêu không bị chặn (trên) toán minf (maxf) patư Vì số đỉnh D hữu hạn nên sau số bước ta kết thúc Dựa vào ý tưởng từ pp hình học người ta đưa phương pháp đơn hình để giải toán QHTT II) PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH: 1) Các khái niệm định nghóa: f(x) = (max) Ax = b x >= (1) (2) (3) Ký hiệu: Aj , j=1,n véc tơ cột ma trận A Ta có: Ax = b ⇔ x1A1+x2A2+ +xnAn = b • x = (x1,x2, ,xj, ,xn) pa BT (1)-(3) Đặt J(x) ={j / xj > 0} x phương án cực biên (pacb) ⇔ hệ véc tơ cột tương ứng với thành phần dương x độc lập tuyến tính Nghóa là: x=(x1,x2, ,xj, ,xn) pacb ⇔ {Aj / j∈ J(x)} độc lập tt • x pacb Ta có: |J(x)| B2 ->A1 :30T Sau xác định tuyến điều động Trừ lượng hàng điều động ta được: 66 Tối ưu hóa * Chương 3: Bài toán Vận tải A1 A2 B1 B2 (20) [35]• (25)• B3 B4 (30)• [15] ∗ (40) ∗ [35] ∗ (15) A3 (10) [30]• ∗ [25] Vòng xen kẽ ô có tải ( ) ô không tải [ ] laø: (1,1)(1,4)(2,4)(2,1): A1 ==>B4 ->A2 ==>B1 ->A1 :25T (2,2)(2,3)(3,3)(3,2): A2 ==>B3 ->A3 ==>B2 ->A2 :15T Lưu ý: Viết tuyến điều động ô ( ) vòng Trừ lượng điều động ta được: A1 B1 B2 (20)• [10] A2 B3 [15] • (25) • [20] • A3 (10) B4 (5) [5] [10] (1,2)(1,3)(2,3)(2,2): A1 ==>B2 ->A2 ==>B3 ->A1 :15T Trừ lượng điều động ta được: A1 B1 B2 B3 (5) • B4 (5) [10] • A2 [5] • A3 (10) • (10) • [5] [10] • (1,1)(1,2)(2,2)(2,3)(3,3)(3,1) : A1 ==>B2 ->A2 ==>B3 ->A3 ==>B1 ->A1 :5T Trừ lượng điều động ta được: A1 B1 B2 B3 [5] A2 A3 (5) B4 (5) (5) [5] [5] Vòng (1,1)(1,4)(2,4)(2,3)(3,3)(3,1) có giá trị 5: A1 ==>B4 ->A2 ==>B3 ->A3 ==>B1 ->A1 :5T 67 www37.websamba.com/phamtricao ThS Phạm Trí Cao * 2005 www.phamtricao.web1000.com Vậy lộ trình xe chạy không tải là: A1 ==>B2 ->A1 :30T A1 ==>B4 ->A2 ==>B1 ->A1 :25T A2 ==>B3 ->A3 ==>B2 ->A2 :15T A1 ==>B2 ->A2 ==>B3 ->A1 :15T A1 ==>B2 ->A2 ==>B3 ->A3 ==>B1 ->A1 :5T A1 ==>B4 ->A2 ==>B3 ->A3 ==>B1 ->A1 :5T Tổng số tấn*km xe chạy không tải nhỏ 1600 Câu hỏi: Giả sử ta có tuyến điều động, bảng phối hợp Ta kiểm tra tuyến điều động viết có không Lưu ý: Ta có tuyến điều động khác sau: A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 (50) (30) [35] [30] [15] (25) (40) [35] [30] (10) (15) [25] Các tuyến điều động đầu tiên: Ô (1,2) : A1 ==>B2 ->A1 :30T Trừ lượng điều động ta được: A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 (20) • ∗ (30) [35] • ∗[15] (25) • ∗ (40) [35] • ∗ [30] (10) (15) [25] Vòng xen kẽ ô có tải ( ) ô không tải [ ] laø: (1,1)(1,2)(2,2)(2,1): A1 ==>B2 ->A2 ==>B1 ->A1 :20T (1,3)(1,4)(2,4)(2,3): A1==>B4 ->A2 ==>B3 ->A1 :15T Trừ lượng điều động ta được: A1 B1 ∗ [15] A2 ∗ (5) A3 (10) B2 B3 B4 ∗ (15) (25) • [15]• (15) • ∗ [15] [25] • Voøng (2,2)(2,3)(3,3)(3,2): A2 ==>B3 ->A3 ==>B2 ->A2 :15T Voøng (1,1)(1,4)(2,4)(2,1): A1 ==>B4 ->A2 ==>B1 ->A1 :5T 68 Tối ưu hóa * Chương 3: Bài toán Vận tải Trừ lượng điều động ta được: A1 B1 B2 B3 B4 (10) [10] A2 (10) [10] A3 (10) [10] Vòng (1,1)(1,4)(2,4)(2,3)(3,3)(3,1) có giá trị 10: A1 ==>B4 ->A2 ==>B3 ->A3 ==>B1 ->A1 :10T Nhận xét: Việc xác định tuyến điều động xe không vì: * Ta chọn vòng khác * Bài toán XK có nhiều patư VD 3.16: Một XN vận tải phải thực kế hoạch vận chuyển sau: Địa điểm lên hàng A1 A2 A3 Loại hàng Cam Xoài Sầu riêng Cam Xoài Sầu riêng Số lượng 20 30 20 25 15 25 Địa điểm xuống hàng B1 B2 B1 B3 B2 B3 Khoảng cách điểm lên hàng xuống hàng là: (cij) = 4 Hãy lập kế hoạch chuyên chở cho tổng số tấn*km xe chạy không tải nhỏ HD: B1: Xác định patư toán xe không Giải toán cân thu phát (về xe không) ta có kết quả: TXK 50 FXK 40 45 50 [40] [10] 45 40 4 [45] [35] [5] fmin = 275 tấn*km B2: Phối hợp patư với KHVCH theo hợp đồng để xác định lộ trình xe chạy không tải: Phối hợp patư BTXK kế hoạch vận chuyển hàng ta có bảng phối hợp sau: 69 www37.websamba.com/phamtricao ThS Phạm Trí Cao * 2005 www.phamtricao.web1000.com A1 A2 A3 B1 B2 B3 (20) (30) [40] [10] (20) (25) [45] (15) (25) [35] [5] Các tuyến điều động đầu tiên: Ô (1,1): A1 ==>B1 ->A1 : 20 Ô (1,2) : A1 ==>B2 ->A1 : 10T Ô (2,3): A2 ==>B3 ->A2 : 25T OÂ (3,2): A3 ==>B2 ->A3 : 15T OÂ (3,3) : A3 ==>B3 ->A3 : 5T Sau xác định tuyến điều động, trừ lượng điều động ta có bảng sau: A1 A2 A3 B1 [20] (20) B2 B3 (20) [20] [20] (20) Vòng xen kẽ ô có tải ( ) ô không tải [ ] là: Vòng (1,1)(1,2)(3,2)(3,3)(2,3)(2,1) có giá trị 20 Ta xác định lộ trình tương ứng từ vòng ô ( ) A2 ==>B1 ->A1 ==>B2 ->A3 ==>B3 ->A2 : 20T Vậy lộ trình xe chạy không tải là: A1 ==>B1 -> A1 :20 A1 ==>B2 ->A1 : 10T A2 ==>B3 ->A2 :25T A3 ==>B2 ->A3 :15T A3 ==>B3 ->A3 :5T A2 ==>B1 ->A1 ==>B2 ->A3 ==>B3 ->A2 : 20T Tổng số tấn*km xe chạy không tải nhỏ 275 70 ... = 4-5 (1)/2=3/2 (2) -4 x''6 = 2-5 (-4 )/2=12 (2) -5 f'' = -5 -5 (6)/2= -2 0 (2) -1 -2 z''52 = -2 -1 (-1 )/2= =-3 /2 (2) -1 -4 z''62 = 1-( -4 ) (-1 )/2 =-1 (2) -1 -1 ∆''2 = -1 -6 (-1 )/2=2 Chú ý: bảng đơn hình thì: -Biến... -0 ,5 -2 1 24 A4 -2 4 18 -8 -1 8 -2 04 -4 -2 -9 8 -8 (2) (18) 0 0 A5 0 -1 -2 -2 0 -0 ,75 -0 ,25 0,75 -6 ,75 -1 ,5 0,5 15 (0,5) 0,25 (10,5) 0 0 A6 0 0 2,75 0,25 -2 ,75 -1 3,25 5,5 -2 ,5 -9 3 -4 ,5 -1 ,25 -7 0,5 -9 ... B6 -1 0 0 -1 0 57 57 24 0 24 -1 0 A1 (0,5) 0,5 (10) 0 0 -1 -2 9 -2 -0 ,5 -2 0 -4 (0,5) (22) 57 A2 -5 ,5 -1 ,5 -5 7 -1 1 (4) 11 (53) 0 0 0,5 -9 -1 ,5 -9 3 A3 -2 ,5 -0 ,5 -9 -5 41 (0,5) 0,5 -0 ,5 (14,5) 0 0 -0 ,5