Ta thấy, bài toán đối ngẫu (P*) cũng là bài toán QHTT. Do đó giải (P*) có 2 cách:
Cách 1: Dùng phương pháp đơn hình để giải trực tiếp (P*).
Cách 2: Giải (P*) thông qua (P), nghĩa là từ patư x* của (P) ta suy ra patư y* của (P*).
Vấn đề đặt ra là: từ patư x* của (P) ta làm thế nào suy ra được patư tối ưu y* của (P*).
Khi giải 1 bài toán QHTT (P) ta có 3 cách giải:
Cách 1: Dùng phương pháp đơn hình để giải trực tiếp (P).
Cách 2: Giải bài toán (P) bằng thuật toán đơn hình đối ngẫu. Ta được patư của BT gốc (P), đồng thời có luôn patư của bài toán đối ngẫu (bằng cách giải hệ pt tuyến tính).
Cách 3: Giải bài toán đối ngẫu (P*) bằng phương pháp đơn hình. Từ patư y* của (P*) ta suy ra patư x* của bài toán gốc (P).
Vấn đề đặt ra là: từ patư tối ưu y* của (P*) ta làm thế nào suy ra được patư x* của (P).
Vấn đề trên được giải quyết thông qua các định lý đối ngẫu. ĐN (P) (P*), (P*)* = P PPĐH PPĐH x* y* ĐLĐN Các định lý đối ngẫu:
Xét cặp bài toán đối ngẫu:
(P) (P*)
f(x) = <c,x> Ỉ min f*(y) = <b,y> Ỉ max x∈X y∈Y
X là miền ràng buộc (tập pa) của bài toán (P) Y là miền ràng buộc của bài toán (P*)
ĐL1 (đối ngẫu yếu):
x là pa của (P), y là pa của (P*) thì f(x)= <c,x> ≥f*(y)= <b,y> Hệ quả:
-Nếu X ≠Φ và f không bị chận dưới trên X thì Y=Φ
-Nếu Y ≠Φ và f* không bị chận trên trên Y thì X=Φ
ĐL2 (đối ngẫu mạnh):
• Nếu (P) có patư là x* thì (P*) cũng có patư là y*, và f(x*) = f*(y*)
• Nếu (P*) có patư là y* thì (P) cũng có patư là x*, và f(x*) = f*(y*) Hệ quả:
Nhận xét: Từ định lý này ta dùng kết quả sau để kiểm tra patư
x là pa của (P), y là pa của (P*) và f(x)=f*(y) ⇔ x là patư của (P) và y là patư của (P*) Lưu ý: Nếu f(x)≠f*(y) thì ta không có kết luận gì về x hoặc y.
Từ các định lý trên ta có kết quả sau:
* Cả hai bài toán cùng có pa thì cả 2 bài toán cùng có patư, và giá trị tối ưu của 2 hàm mục tiêu luôn bằng nhau.
* Chỉ 1 bài toán có pa thì cả 2 bài toán cùng không có patư (giả sử (P) có pa thì f(x) không bị chặn dưới, hoặc (P*) có pa thì f*(y) không bị chặn trên).
* Cả 2 bài toán cùng không có pa thì hiển nhiên chúng cùng không có patư.
Nhắc lại:
Ràng buộc chặt là ràng buộc xãy ra dấu =
Ràng buộc lỏng là ràng buộc xãy ra dấu bất đẳng thức thực sự (< , >) Các khái niệm này xét cho cả ràng buộc chung và ràng buộc biến
ĐL3 (độ lệch bù yếu):
x*, y* là patư của (P), (P*) ⇔ x*, y* là pa của (P), (P*) và thỏa điều kiện: Trong các cặp ràng buộc đối ngẫu, nếu ràng buộc này là lỏng thì ràng buộc kia là chặt.
Hệ quả:
Một ràng buộc là lỏng đối với một patư của bài toán này thì ràng buộc đối ngẫu với nó phải là
chặt đối với mọi patư của bài toán kia.
Từ các định lý đối ngẫu trên ta có cách làm như sau:
Từ patư x và các cặp ràng buộc đối ngẫu, ta sẽ được hệ phương trình tuyến tính theo y (có các ẩn là y1, y2,…).
Kiểm tra: Nếu y là pa của (P*) thì y sẽ là patư của (P*), và hai giá trị tối ưu sẽ bằng nhau (f*max=fmin).
Chú ý:
Ràng buộc lỏng ⇒ ràng buộc chặt Ràng buộc chặt ⇒/ ràng buộc chặt