TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn thi TOÁN CAO CẤP 2 Họ và tên sinh viên NGUYỄN THỊ THANH THẢO MSSV 030137210473 Lớp học phần D17 THÔNG TIN BÀI THI YÊU CẦU Khuyến khích các ví dụ mang ý nghĩa kinh tế. Số trang bài làm: không quá 5 trang A4. Các ví dụ minh họa giống nhau từ 50% trở lên sẽ chỉ được tối đa 50% điểm của nội dung đó. NỘI DUNG BÀI LÀM Câu 1: (2 điểm) a) Hãy cho một ví dụ tìm các đạo hàm riêng cấp một của hàm tại một điểm cụ thể ) và giải thích ý nghĩa các kết quả tính. Ví dụ:Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số: z = f (x,y) = 3x4 2x3 y 2 + y 3 xy tại (1;2) Giải. Ta có : Đạo hàm riêng cấp một của hàm số z theo biến x: z’x = 12x3 6x2 y 2 y
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Mơn thi: TỐN CAO CẤP Họ tên sinh viên: NGUYỄN THỊ THANH THẢO MSSV: 030137210473 Lớp học phần: D17 THÔNG TIN BÀI THI Bài thi có: (bằng số): …10… trang (bằng chữ): mười…… trang YÊU CẦU - Khuyến khích ví dụ mang ý nghĩa kinh tế - Số trang làm: khơng q trang A4 - Các ví dụ minh họa giống từ 50% trở lên tối đa 50% điểm nội dung BÀI LÀM NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BỘ MƠN TỐN KINH TẾ _ BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP Giảng viên hướng dẫn: ĐINH NGUYỄN DUY HẢI Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ THANH THẢO MSSV: 030137210473 Lớp học phần :D17 Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01, năm 2022 NỘI DUNG BÀI LÀM Câu 1: (2 điểm) a) Hãy cho ví dụ tìm đạo hàm riêng cấp hàm điểm cụ thể ) giải thích ý nghĩa kết tính Ví dụ:Tính đạo hàm riêng cấp hàm số: z = f (x,y) = 3x4 - 2x3y2 + y3- xy (-1;2) Giải Ta có : Đạo hàm riêng cấp hàm số z theo biến x: z’x = 12x3 - 6x2y2 - y => z’x (-1;2)=12.(-1)3-6.(-1)2.22 -2 = -38 Đạo hàm riêng cấp hàm số z theo biến y: z’y = - 4x3y + 3y2 - x => z’y (-1;2)= (-4).(-1)3.2+3.22-(-1)= 21 Vậy: Các đạo hàm riêng cấp hàm số z = 3x4-2x3y2+y3-xy (-1;2) z’x = -38 z’y = 21 b) Hãy viết biểu thức vi phân toàn phần cấp cho ví dụ minh họa với ) cụ thể Biểu thức vi phân toàn phần cấp df ( ) hàm ) hàm ) = f 'x ( )dx + f 'y ( có dạng: )dy Ví dụ: Cho hàm z=f (x,y)= x3 +y3 -3xy.exy Tính df (1; -2) Giải Ta có: z’x=3x2-3yexy-3xy2exy => z’x(1;-2) = 3.12-3.(-2)e1.(-2)-3.1.(-2)2e1.(-2) = 3-6e-2 z’y=3y2-3xexy-3x2yexy => z’y(1;-2) = 3.(-2)2-3.1.e1.(-2)-3.12.(-2)e1.(-2) = 12+3e-2 Vậy: df (1;-2) = 3-6e-2dx + 12+3e-2dy c) Trình bày ứng dụng đạo hàm, vi phân họa ví dụ minh * Ứng dụng đạo hàm hai biến kinh tế để cực đại hóa lợi nhuận doanh nghiệp theo sản lượng -Phương pháp giải: +Tìm hàm doanh thu,lợi nhuận doanh nghiệp TR= P1Q1+ P2Q2 = TR-TC +Bài toán trở thành tìm cực trị hàm hai biến số Tìm điểm dừng M(Q1;Q2) từ { Tính A = ,B= ,C = B2-AC { M(Q1;Q2) điểm cực đại hay hàm lợi nhuận đạt tối đa +Kết luận: Để tối đa lợi nhuận doanh nghiệp cần sản xuất với mức sản lượng Q1 Q2 đơn vị sản phẩm Ví dụ: Một doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm điều kiện cạnh tranh hoàn hảo.Giá bán hai loại sản phẩm thị trường P1=160, P2=120 (đơn vị tiền).Biết hàm tổng chi phí : TC = 3Q12+2Q22+2Q1Q2+10.Hãy tìm mức sản lượng sản phẩm mà doanh nghiệp cần sản xuất để tối đa hố lợi nhuận Giải.Ta có : Doanh thu doanh nghiệp :TR= P1Q1+ P2Q2=160Q1+120Q2 Lợi nhuận doanh nghiệp : = TR-TC= 160Q1+120Q2-3Q12-2Q22-2Q1Q2 -10 Tìm điểm dừng: { { { => M(20;20) điểm dừng Mặt khác: A= Do , B= = -2 , C= = -4 B2-AC = -20 < A = -6 < nên M(20;20) điểm cực đại Vậy: Doanh nghiệp cần sản xuất loại sản phẩm với sản lượng đơn vị sản phẩm để tối đa hoá lợi nhuận *Ứng dụng vi phân hàm nhiều biến để tính giá trị gần biểu thức -Công thức : f ( f( )+ + -Phương pháp giải: Bước 1:Lấy x,y (là số lẻ),suy hàm f(x,y) Bước 2:Chọn phù hợp ( Bước 3: Tính số đẹp cho gần với x,y ),rồi tìm p dụng cơng thức tính kết Ví dụ: Dùng vi phân hàm hai biến số tính giá trị gần sau √ Giải.Ta có : => f (x,y) =√ { f (2;4)=√ (2;4)= (2;4)= => √ => √ (2;4) = (2;4) = - Vậy: √ +(- ).0,02 Câu 2: (2 điểm) a) Cho với { Tính với giải thích ý nghĩa kết tính Giải.Ta có : Với x=0 Dựa vào định nghĩa đạo hàm ta có: f '(x0) = ( f '(0) = ) = ( ) = Áp dụng công thức VCB tương đương: => f '(0) = ,x =2 Vậy: b) Trình bày ứng dụng đạo hàm, vi phân hàm biến (có ví dụ minh họa) *Ứng dụng đạo hàm hàm biến kinh tế để phân tích cận biên Xét mơ hình kinh tế có dạng y = f (x) xác định khả vi D, x biến đầu vào ,y biến đầu ; f( )- giá trị cận biên y ý nghĩa kinh tế :Tại x tăng đơn vị y tăng khoảng -Đối với hàm sản xuất ngắn hạn: Q = f (L) => f (L) gọi sản phẩm vật cận biên lao động L , kí hiệu MPPL MPPL = f (L) => Ý nghĩa kinh tế: Tại mức sử dụng lao động L, sử dụng thêm đơn vị lao động sản lượng tăng khoảng f (L) đơn vị lao động Ví dụ: Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp Q = √ Tính sản phẩm vật cận biên lao động mức sử dụng 100 đơn vị lao động giải tích ý nghĩa kết tìm Giải Ta có : MPPL= Q (L) = ( √ ) √ => MPPL (100) = 0,45 Vậy:Tại mức sử dụng 100 đơn vị lao động , sử dụng thêm đơn vị lao động sản lượng vật tăng thêm khoảng 0,45 đơn vị *Ứng dụng vi phân hàm biến phân tích kinh tế để tính tổng chi phí gần -Cơng thức df f ( ) Ví dụ: Hàm tổng chi phí sản xuất loại sản phẩm công ty xác định +10Q -5.Tại mức sản lượng hàm tổng chi phí TC(Q)= đơn vị sản phẩm , sản phẩm tăng 0,5 đơn vị sản phẩm tổng chi phí thay đổi nào? Giải (4Q+10) = 65 Vậy Tại mức sản lượng đơn vị sản phẩm ,nếu sản phẩm tăng 0,5 đơn vị sản phẩm tổng chi phí tăng xấp xỉ 65 đơn vị sản phẩm Câu 3: (2 điểm) a) Tính ∫ {| | với Giải.Theo đề ta có : ∫ ∫ | | ∫ với với với ∫ | | dx+∫ | |={ )| + ( )| =[0 - (- )] +( dx =( b) Một doanh nghiệp sản xuất có hàm chi phí biên sản lượng) chi phí cố định – ( (đơn vị tiền) Nếu doanh nghiệp sản xuất ] (đơn vị sản lượng) chi phí sản xuất doanh [ khoảng = nghiệp bao nhiêu? Giải Theo đề ta có Mà: MC = TC’(Q) ∫ – – ∫( – ) =8Q- +k (k số) Mặt khác: TFC( chi phí cố định) = TC(0) => k= TC(0) = TC(Q) = 8Q- +3 Vậy: Chi phí sản xuất doanh nghiệp sản xuất khoảng Q [ ] (đơn vị sản lượng) : TC(15)-TC(10) = ∫ dQ =∫ ( – ) = 2290 (đơn vị tiền) Câu 4: (2 điểm) Một công ty độc quyền sản xuất hai sở với hàm chi phí tương ứng là lượng sản , với phẩm sản xuất sở tương ứng Hàm cầu ngược công ty – với a) Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất sở để tối đa hóa lợi nhuận cơng ty Giải Ta có : Tổng chi phí sản xuất công ty là: TC( = = TC ( + = 284 + Doanh thu công ty là: – TR= P.Q= ( TR= [( mà – ]( = (800-0,1 = 800 0,1 ( -0,2 Lợi nhuận công ty là: = TR-TC( = (800 -0,2 (284 + =1860 -0,2 – 284 (1) Tìm điểm dừng: { { { { Mặt khác: A= Do , B= => M(2680;1260) điểm dừng = -0,2 ,C= = -0,4 B2-AC = -0,2 f(0)= =2 => =4 => =8 => =1 =4 Khai triển Maclaurint hàm số f(0) + x2 + + đến bậc với phần dư Peano ta được: x3+ 0(x3) 1+x+2x2+ x3+ 0(x3) 1+x+2x2+ x3+ 0(x3) Vậy: 5.4 Tính ∫ ∫ Giải: ∫ = ∫ Đặt t= đổi cận : x=a => t= x=e => t= ln(2e) ∫ | =( = + + )= Vậy: Tích phân ∫ hội tụ 5.5Cho ( ) Tính Giải Ta có: 2x4y +2y = = 8x3y => = = 8.13.2 = 16 √ 5.6Cho Giải Ta có : f (x)=ln [ = ln Vậy: (√ Tính )] f (x) = ln )' = +ln(√ + (√ ) √ ) +ln(√ √ = √ = = 5.7Trong lân cận , hàm số phương trình Tính Giải Đặt F(x,y,z)= F’x =1-yz ; Ta có: F’y =1-xz =- ; – F’z =2z –xy (*) x = 1, y= -1 vào phương trình ta được: +z=0 => { - – = xác định Vậy : 5.8Tính với Giải Ta có =( xác định câu 5.7 – ) =- – (**) Từ kết câu 5.7 ta nghiệm z = -1 vào (**) ta được: =0 10 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BỘ MƠN TỐN KINH TẾ _ BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP Giảng viên hướng dẫn: ĐINH NGUYỄN DUY HẢI Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ THANH THẢO MSSV:... tìm đạo hàm riêng cấp hàm điểm cụ thể ) giải thích ý nghĩa kết tính Ví dụ:Tính đạo hàm riêng cấp hàm số: z = f (x,y) = 3x4 - 2x3y2 + y3- xy (-1;2) Giải Ta có : Đạo hàm riêng cấp hàm số z theo... (-1;2)=12.(-1)3-6.(-1)2.22 -2 = -38 Đạo hàm riêng cấp hàm số z theo biến y: z’y = - 4x3y + 3y2 - x => z’y (-1;2)= (-4).(-1)3.2+3.22-(-1)= 21 Vậy: Các đạo hàm riêng cấp hàm số z = 3x4-2x3y2+y3-xy (-1;2) z’x