Cực trị của hàm nhiều biến và Ứng dụng trong một số lĩnh vực khác nhau

TEN DE TA.I: CUC TRI CUA HA.M NHIEU BIEN VA UNG DUNG TRONG Nganh: Phuang phap toan sa d.p HQ va ten h9c vien: Tdn Thi Ai Hy Nguai hu6ng d~n khoa h9c: TS.. Trong chlWng trinh toan hoc s

TRUdNGD~HQCSVPHAM

Chuye n nganh: Phudng phap Toan sd c§.p

Ma s5: 8 46 01 1 3

LUA N VAN TRA C Si

NGlfJQJI HlLl'ONG DAN KHOA HQC:

TS HOANG NHAT QUY

D2t :Nang - Nam 2024

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Loi cam d oan

Torn t~t de tai b1ng hai ngon ngfr tieng Vi~t va tieng Anh

MO DAU

CHUONG 1 KIEN THUC CHU.AN Bl-

1.1 Nh~c 19"i ve ClJ'C tri cua ham so rn9t bien

1.2 Cvc tri khong co dieu ki~n cua ham nhieu bien

1.3 Cvc tri co dieu ki~n cua ham nhieu bien

1.4 Gia tri Ion 1-tl1at, gia tri nho nhat cua ham ru1ieu bien tren rn()t t~p dong va bi ch~n

CHUONG 2 UNG DVNG cuA c{Jc TRJ HAM NHIEU BIEN TRONG cAc LINH v{jc KHAC NHAU

2.1 Ung d\lng trong toan pho thong

2.2 Cac bai toan thvc te lien quan toi kich thuoc hinh hqc

2 3 Cac , bai ' t oan ' t rong v9" At Iy ' va ' I 10a 19c , I

2.3.1 Cac bai toan trong v~t ly

2.3.2 Cac bai toan trong hoa h9c

2.4 Cac bai toan trong kinh te

2.4.1 Cac bai toan ve SlJ' Iva ch9n Clla ngubi tieu d llll g

2 4 2 C, b' ' 'A I I , -1 ' , A'~ ac a1 toan ve sv va c 19n cua 1u1a san x a,

KETLUAN

TAI Lr£u THAM KHAO

Ban sao quyet dinh giao de tai, ban tm:mg trinh chinh sua lu~n van,

ban sao bien ban hqp h{?i dong cham lu~n van th<;1c si, ban sao nh~n

xet cua hai phan bi~n

1

5

5

9

17

22

2 7

28

3 7

43

43

49

53

53

62

76

77

Toi xin cam doan day la cong trlnh nghien cau cua rieng tof va duQc hoan thanh duai s11 hu6ng dan khoa hoc cuathfi.y giao TS Hoang Nh~t Quy

Cac s6 li~u, k~t qua neu trong lu~n van la trung thvc va chua tltng duQc

ai cong b6 trong bit ki cong trlnh nao khac Toi xin chtu trach nhi~m v6i nhung lai cam doan cua minh_

Da N&ng, thang 4 nam 2024

H9c vien

TEN DE TA.I: CUC TRI CUA HA.M NHIEU BIEN VA UNG DUNG TRONG

Nganh: Phuang phap toan sa d.p

HQ va ten h9c vien: Tdn Thi Ai Hy

Nguai hu6ng d~n khoa h9c: TS Hoang Nh~t Quy

Ca sa dao t?o : TruCYilg DH Su ph?m - D?i h9c Da Ning

T6m tit : OS tai nghien ct'.ru "Ct,rc trj cua ham nhiSu bi€n va !'.mg d1,1ng trong m('>t s6 !Tnh v!Jc khac nhau"

da thtJc hi~n d~qc cac k€t qua sau:

- H~ th6ng, phan loi;ii cac ki€n thuc lien quan d~ trlnh bay khai ni~m vS CIJC trj (ttJ do) va CIJC trj c6 diSu ki~n; diSu ki~n d~ t6n ti;ii CIJC trj

- Trinh bay bai toan CIJC trj c6 diSu ki~n va xay dtJng giai thu?t: phtrong phap nhan ttr Lagrange v6-i nhiSu vf d1,1 minh h9~

- Tim hi~u (mg d1,1ng cua CIJC trj ham nhiSu bi€n vao vi~c giai quy€t nhfrng bai toan thtJc t€ lien quan d€n nhiSu chuyen nganh, nhiSu IYnh VIJC

- Cac bai toan dtrQ'C phan loi;ii, ch9n l9c da di;ing tu cac tai Ii~u tham khao va tu m('>t s6 CUQC thi Qu6c gia trong cac nam gfrn day Di;ing tht'.rc cac bai toan duqc thay d6i phu hqp, cac Iai giai dtrqc trinh bay b~ng ngon ngfr va l?p lu?n cua ban than, c6 cac hinh ve minh hoi;i trtJc giac d~ hi~u

Tu nhfrng v~n dS d~t ra nhu th€, em da hoan thanh lu?n van nay v6-i hy v9ng day se la m('>t tai li~u tham khao t6t cho nhfrng ai mu6n nghien ct'.ru vS CIJC trj ham s6 n6i rieng va cac !'.mg d1,1ng cua phep tfnh vi phan cua ham s6 n6i chung vase g6p phfrn nang cao nang ltJc toan h9c, nang cao ch~t luqng cong vi~c giang di;iy a ph6 thong cua ban than OS tai cilng duqc ky v9ng la ca s6 d~ xay dtJng cac chuyen dS h9c t?p ttJ ch9n cho h9c sinh nh~m dap !'.mg mvc tieu di;iy h9c phan h6a theo djnh huang cua chuong trinh giao d1,1c ph6 thong 2018

Huang nghien ct'.ru ti€p theo : Trong thai gian tai, cht'.mg toi se tim hi~u them m('>t s6 huang sau day:

- (fog d1,1ng CIJC trj cua ham nhiSu bi€n vao m('>t s6 l'i'nh v!Jc khac nhu sinh h9c, giao thong V?n tai, khoa h9c may tfnh,

- Trong IYnh VIJC kinh t€, CIJc trj cua ham nhiSu bi€n cilng c6 th~ duqc !'.mg d1,1ng trong cac bai toan vs tai chfnh, dfru tu,

- Nghien ct'.ru sfr d1,1ng cac phfrn mSm may tfnh nh~m h6 trq vi~c tfnh toan pht'.rc ti;ip

- Cung v6-i cac ki€n th(rc vs CIJC trj cua ham nhiSu bi€n va h6 trq cua phfrn mSm may tfnh , c6 th~ ti€p c?n nghien ct'.ru cac bai toan t6i tru tren m('>t s6 16-p ham nhtr ham 16i, ham diSu hoa dtr6-i,

Tu kh6a: ham s6 nhiSu bi€n, CIJC trj ham s6, !'.mg d1,1ng CIJC trj ham s6, phuong phap Lagrange

Xac nh~n cua giao vien hmmg d§n Nguoi th\fc hi~n d~ tai

~

Name of thesis: THE EXTREME OF MANY VARIABLE FUNCTIONS AND APPLICATIONS IN SOME FIELDS

Major: Elementary Mathematical Methods

Full name of Master student: Tran Thi Ai Hy

Supervisors: Dr Hoang Nhat Quy

Training institution : The Univercity of Danang - Univercity of Science and Education Abstract: The research project "The extreme of many variable functions and applications in some fields" has achieved the following results:

- System and classification of related knowledge to present the concept of extremes (freedom) and conditional extremes; conditions for extreme existence

- Presenting the conditional extremal problem and building an algorithm: Lagrange multiplier method with many illustrative examples

- Learn the application ofmultivariable function extrema in solving practical problems related to many specialties and fields

- Math problems are classified and selected diversely from reference documents and from a number of national competitions in recent years The format of the problems is changed appropriately, the solutions are presented in one's own language and arguments, and there are illustrations that are intuitive and easy to understand

From these questions, I have completed this thesis with the hope that it will be a good reference for those who want to research extrema of functions in particular and applications of differential calculus

of functions in general and will contribute to improving mathematical capacity, improving the quality

of teaching work in schools Thesis is also expected to be the basis for building elective learning topics for students to meet the goals of differentiated teaching according to the orientation of the 20 I 8 general education program

Future research direction : in the future, we will study more about the following directions:

- Applying extreme of many variable functions to other fields such as biology, transportation and machine science calculate,

- In the field of economics, extreme of many variable functions can also be applied in problems of finance, investment,

- Research and use computer software to support complex calculations

- Along with knowledge about extreme of many variable functions and support of computer software, can be continued approaching the study of optimization problems on a number of classes of functions such as convex jaw, lower harmonic functions,

Key words: Multivariable functions , extrema of functions, application of extrema of functions, Lagrange method

Trong chlWng trinh toan hoc so cap & b~c trung hoc ph6 thong, nhfrng

bai toan tlm gia tri lon nhat, gia tri nho nhat cua ham mot bien ho~c

ham nhieu bien rat thltdng hay xuat hi~n & cau hoi phan loi;ti cua cac de thi hoc sinh gioi, cac de thi t6t nghi~p THPT mon Toan Cac bai toan Cl,tC tri rat phong ph(1 va da di;tng mang noi dung VO cung sau sac, c6 tfnh tfch hqp cao va c6 Sr nghia rat quan trong d6i voi vi~c hlnh thanh

va phat tri@n nang Ive toan hoc cho hoc sinh Cac bai toan ve c1,tc tri g6p phan khong nho vao vi~c ren luy~n nang Ive tl1' duy cho hoc sinh

Bai toan di tlm cai t6t nhat, re nhat, ngan nhat, la mot trong nhfrng bai toan dan dan hlnh thanh cho hoc sinh th6i quen di tlm giai phap t6i lLU cho mot cong vi~c nao d6 trong cuoc s6ng sau nay

Trong chuong trinh toan hoc & b~c Di;ti hoc ([4], [5], [6], [7]), thl e v e

tri cua ham nhieu bien la mot trong nhfrng phan kien thuc trong tam

va quan trong trong hoc phan Toan cao cap Nhfrng kien th(tc tu qtc tri

ham nhieu bien chrqc ung d1,1ng nhieu va ph6 bien tren cac linh vvc khac

nhau nhu trong khoa hoc, ky thu~t, tai chinh, kinh te, ([2], [3], [6], [7]) Trong chltong trlnh Di;ti hoc, nhfrng kien thuc qtc tri cua ham nhieu bien

se giup giai quyet cac bai toan gia tri lon nhat, gia tri nho nhat cua ham nhieu bien & chlWng trlnh ph6 thong mot each de dang hon

Hon nfia, ev e tri cung la noi dung c6 nhieu (tng dvng th1,ic te nhat

Vi dv nhu nhfrng yeu cau ve tlm duang di ngan nhat, thai gian it nhat,

g6c nhln 16n nhit, th@ tfch 16n nh§.t, chi phi th§.p nh§.t, lqi nhu~n cao nhit la nhfrng yeu cau tv nhien xuit phat tU' cuoc s6ng h~ng ngay, tll' yeu cau cua lao dong san xutt, kinh doanh hay tv cac nganh khoa h9c khac Vi the nhfrng bai toan eve tri cua ham nhi@u bien can phai dltQC trlnh bay mot each c6 h~ th6ng va c6 mot cho d(rng x(rng dang trong chu'CJng trlnh toan ph6 thong

Chfnh vl nhfrng ling d1,mg quan trQng va phong ph(1 cua c1, tc tri ham nhieu bien cung v6i s1,t hlt6ng dan Clla thay giao TS Hoang Nh~t Quy toi

da chQn de tai: "C{JC TR~ CUA HAM NHIEU BIEN vA UNG D{JNG TRONG MQT SO LINH V{JC KHAC NHAU" cho lu~n van thc;1,c sI cua mlnh

Vi~c hoan thanh d@ tai nghien c(tu se g6p phan nang cao nang hrc toan hQC va nang cao ch§.t htQng cong vi~c giang d<;ty & ph6 thong Clla ban than toi De tai c[ mg dltQc ky VQng la co scJ d@ xay dl,ing cac chuyen

de hQC t~p tv chQn cho hQC sinh nh~m dap ling m1,1c tieu d<;ty hQc phan h6a theo dinh hlt6ng cua Chttong trlnh giao dt,1c ph6 thong 2018

2 Mvc dich nghien cuu

T<;to r a mot tai li ~ u day di'.1 ve lf r thuyet cung nhu ling d1,1n g cua C\l'C

tri ham nhieu bien d@ giup cho vi~c giang d<;ty bo mon Toan d<;tt ch§.t luc;mg t6t hon

3 D6i tu'gng va ph~m vi nghien cuu

• D6i tu<;:lng nghien cliu: bai toan C\l'C tri cua ham nhieu bien va (rng dt,1ng trong cac linh vvc khac nhau

• Ph<;tm vi nghien c( tu cua de tai thuoc linh V\l'C giai tfch toan hQC Ct,1 th@ hon la bai toan C\l'C tri cua ham nhieu bien s6 va cac (rng d l,lng Clla eve tri ham nhi@u bien trong cac linh Vl,LC khac nhau

4 Phtidng phap nghien cuu

• Thu th$,p, tlm hiJu cac tai li~u lien quan den CljC tri ci'.la ham m()t bien s6 va ham nhieu bien s6

• Phan tich, h~ th6ng cac tai li~u d@ t11 d6 t6ng hqp, chon lQc nhung n◊i dung c§,n thiet dua vao lu$,n van

• Quan sat, dieu tra, tlm hiJu vi~c di;ty va hoc n()i dung ClJC tri cJ

tnrang ph6 thong

• Ph1tong phap t6ng ket kinh nghi~m: trao d6i, tha,0 lu~n, tha1n kha,0

y kien c1'.la ng1rai h1r6ng dan va dia cac dong nghi~p

5 Y nghia khoa h9c va thljc tien cua d~ tai

• Vi~c hoan thanh de tai nghien c-Cru se g6p ph§,n nang cao nang l 1,rc toan hoc va nang cao ch§,t hrqng cong vi~c giang dc;1,y & ph6 thong ci'.ia ban than toi

• De tai cung d1r0c k3 r vong la co SCJ dJ xay d1,rng cac chuyen de hoc t$,p tl,i chon cho hoc sinh nhilm dap ung m1,1c tieu dc;ty hoc phan h6a theo dinh hu6ng cua Ch1rong trlnh giao d1,1c ph6 thong 2018

6 K~t citu cua lu~n van

Ngoai ph§,n m& d§,u va ket lu~n, n()i dung lu$,n van d1rqc chia thanh hai ch1rong

Chuong 1 "Ki~n thuc chufi.n bj": gi6i thi~u t6m uh m◊t s6 khai ni~m co ban ve CljC tri cua ham s6 m()t bien, qtc tri khong c6 dieu ki~n c1ia ham nhieu bien, qtc tri c6 dieu ki~n cua ham nhieu bien va cac vi d1,1

Ch1rong 2 "Ung d\J-ng cua cljc trj ham nhi~u bi~n trong m(>t s6

linh vljc khac nhau": trlnh bay Ung d1,1ng Clla CljC tri ham s6 vao cac bai toan ph6 thong, v$,t ly , h6a hoc, kinh te, hlnh hoc va th1,tc te dai s6ng

7 Huong phat tri~n cua lu~n van

D@ tai nghien Cu'U cua lu~n van c6 ti@m nang phat tri@n tiep t1,1c theo mot s6 hltong sau day:

• U'ng d1,mg eve tri cua ham nhi@u bien vao mot s6 linh vvc khac nhlt Sinh hoc, giao thong v~n tai, khoa hoc may tinh,

• Trong linh V\tC kinh te, qt c tri c1'.la ham nhi@u bien cung c6 th@ dltQC

vng d1,1ng trong cac bai toan v@ tai chinh, d§,u ttr,

• Nghien Cu'U sfr d1,1ng cac ph§,n m@m may tinh nh~m ho trQ vi~c tinh

toan ph(rc tf;Lp

• Cung voi cac kien th(rc v@ C C tri cua ham nhi@u bien va ho trQ cua

ph§,n m@m may tinh, c6 th@ tiep c~n nghien c(ru cac bai toan t6i l1'U tren

inot s6 lop ham nhlt ham l6i, ham di@u hoa dltoi,

CHUdNG1

KIEN THUC CHU.AN BJ

Noi dung cua chuong nay nh~m h~ th6ng h6a IQ,i cac khai ni~m va m()t s6 k~t qua lien quan t6i CltC tri cu.a ham s6 mot bi~n va ham s6 nhi@u bi~n lam cCJ scJ ly thuy~t cho vi~c trinh bay cac -ang d1,1ng a chuong 2 Cac khai ni~m va k~t qua o chuong l duQc tham khao ta cac tai lieu [1],

Khi d6 f(xo) dU(JC g9i la gia tri C'/JC a(J,i cua ham s6 f

@ x 0 dtt(Jc g9i la mQi di i m eve tii u cua ham s 6 f n i u t6n t(),i m(]t khoang (a;b) chita di i m x 0 sao cho (a; b) c V va j(x) > f(x0 ) vdi m9i x E ( a; b) \ { xo}

Khi d6 f(xo) dtt(Jc g9i la gia tri; C'/JC tiiu cua ham s6 f

Di§m eve d1;1,i ho~c cttc ti§u cu.a ham s6 goi chung la di§m eve tri cu.a

ham s6 do N~u x0 la mot di@m eve tri (tucmg ililg cttc d9-i, c1,tc tiJu) cu.a

ham s6 f thi nguai ta noi r~ng ham s6 f d<).t cue tri (tuong ling eve di:;1,i,

cl;[c ti@u.) t~i di@ni x 0

• Gia tri C?jC d9,i (c?jc ti i u) J(xo) cua ham s6 J n6i chung khong phdi

la gia tri l6n nhat (nho nhat) cua ham s6 f tren t(f,p h(Jp D; J( x o)

chi la gia tr i l6n nhat (nh6 nhat) cua ham s6 f tren m(}t khodng

( a; b) nao d6 chua di i m X o hay con g9i la gia tri C?jC d9,i ( C?jC ti i u)

dia phit(}ng

• Ham s6 f c6 th i d9,t C?jC d9,i hoij,c C ?jC ti i u t9,i nhieu di i m tr e n t(i,p

h(Jp D Tren d6 thi cua ham s6 y = f ( x ) tren hinh 1.1 , ta thdy ham

s6 c6 2 diim C?jC d9,i va 2 di i m C?jC ti i u Ham s6 cung c6 th i khong

c6 c?jc tri tr e n m(}t t(f,p h(Jp cho tru6c

• Neu ::r:o la m(}t di i m C?jC tri cua ham s6 J thi cti i m (xo; J( ;r o)) a?t(jc

g9i la di i m C?jC tri cua d6 thi ham s6 f

Quan sat do thi ham s6 y = J( x) (Hinh 1.1), ta thay neu ham s6

d~t Cl,l'.C tri tl;l,i di@m X o va neu do thi cua ham s6 c6 tiep tuyen t~i di@m

(x0 ; J( x o)) thl ti~p tuy~n d6 song song voi tn,ic hoanh, tuc la h~ s6 g6c

cua tiep tuyen J'( x0 ) = 0 D6 la n<)i dung ct'.ia dinh l y ve dieu ki~n can

cua ham s6 kha vi c6 C ljC tri

X

Djnh ly 1.1.2 Cid stl: ham s6 f khd vi t9,i x0 (titc la ham s6 c6 d9,o ham t9,i di i m x0) Khi d6 , n t u f d9,t cv:c tri t9,i x0 th z J'( x0 ) = 0

Chieng minh Xem Dinh l y 5.1 trong [4] □

Chu y 1.1.3 • Di e u ngU(fc lr;ii trong Dinh ly 1.1.2 c6 th i khong dung Th(it v(iy , x e t ham s6 J( x ) = 1, \I x ER Khi d6 , J'( x ) = 0, \I x ER Tuy nhien , ham s6 khong dr;it cv: c tri tr;ii bat c it di i m nao tr e n R ( d6 thi cua ham s6 la m9t duong thdng song song v6• i trV,c O x va cdt trV,c Oy t9,i

di i m c6 tung d9 bang 1)

• Ham s6 c6 th i d9,t C'ljC tri t9, i mM di i m ma tr;ii d6 ham s 6 khong c6 d9,o ham Chdng h9,n , xet ham s6 J( x ) = / x / , \:/ x E R Ta thay , ham s6 d9,t cv:c t ii u t9,i di i m x = 0, nhung khong t6n t9,i d9,o ham tr;ii di i m d6 ,

vz f' ( o - ) = -1 I f' ( o + ) = 1

Cac dinh l y sau day cho ta cac dieu lden du d~ ham s o c6 c1,rc trt

Djnh ly 1.1.4 Cid stl: ham s6 f li e n tV,c tren khodng (a ; b) chita di i m

x0 va c6 dr;io ham tr e n cac klwdng (a ; x o) va ( x o ; b ) J(hi d6:

• N t u f'( x: ) < 0, \:/ x E (a; .r0 ) va f'( x ) > 0, \I x E ( x: o ; b) th z ham s 6 dr;Lt cv:c ti i u t9,i x o

• N t u J'( x ) > 0, \Ix E (a ; x0 ) v a J'( x ) < 0, \1 1: E ( x0; b) th z ham s6 dr;it cv:c dr;i i tr;ii x0

Chieng minh Xem Dinh l y 1 (trang 14) trong [ l] □

Djnh ly 1.1.5 Cid stl: ham s 6 f c6 d9,o ham cap m9t t re n khodng (a ; b)

c hita di i m X o , f'( x o) = 0 va f c6 d9,o ham cap hai kha c O tr;ii di i m X o

• N t u f" ( X o) < O thz ham s6 d9,t cv:c d9, i tq, i di i m X o

• N t u f"( x 0 ) > 0 th z ham s6 d9,t c1 ;:c t ii u tq, i d ii m , ~co

Chung minh Xem Dinh l y 2 ( trang 16) trong [1] □

Tu cac Dinh lS, 1.1.2 va Dinh lS, 1.1.5 ta rut ra cac quy tac (thu~t

Sau day ta nhac li;ti khai ni~m gia tri 16n nh§.t ( Cl,(C di;ti toan Cl,l C) va

Djnh nghia 1.1.2 Gia siJ: ham s6 f x ac d i nh tr e n UJ,p h(Jp V ( V c JR.)

• N e u =l x o E V: f( x ) < f( x o) , \/x EV thz s6111 = f( x o) dU(Jc g9 i la gia tri l(Jn nhdt cua ham s6 f tr e n V, ki hi f u la NI = rna : c f ( x )

xE V

• N e u =l x o E V: f( x ) > f( x o) , \/ : c EV thz s6 1n = f( x o) du ' (J c g9 i la gia tri nh6 nhdt c ua ham s6 f tr e n V , ki hi f u la 1n = rninf( x )

x E V

Djnh ly 1 1.6 N e u ham s6 f l ie n tvc tr e n doq,n [ a ) b] th z f dq,t gia tr i

l6n nh a t va g i a tri nh6 nhat t re n doq,n d6

C h u ng m i nh Xem Dinh l S, (trang 20) trong [l ] □

Tu Dinh ly 1.1.6, ta rut ra quy t c tlm gia tri 16n nh§,t va gia tri nho

Quy tdc: cho ham s6 f ( X) kha vi tren khoang ( a, b) va lien t1.,1c tren

1 Tim cac di i m x1 x 2, , X m thu9c (a ; b) t9,i d6 ham s6 f c6 d9,o

ham b6,ng O hoiJ,c khong c6 d9,o ham

2 Tinh f(x1) , f(x2), , f(xm) , f(a) va J(b)

3 So sanh cac gia tri tzm du<;1c

S6 ldn nhat trong cac gia tri d6 la gia tri ldn nhat cua f tr e n do9,n

[a; b], s6 nho nhat trong cac gia tri d6 la gia tri nho nhat cua f tren do9,n

[a ; b]

1.2 C.;c trt kh6ng c6 di~u kien cua ham nhi~u

bi~n

Djnh nghia 1.2.1 lvf9t ham n bitn s6 la m9t quy tdc f : D -+ lR.1 vdi

D la m9t t(f,p h<;Jp con cua khong gian n chieu ]Rn I cha tuang ung m6i

di i m l \l!( x 1 X 2 , , X n) ED v(Ji mM va chi mM g i a tri J(Jv!) E JR

D dU(JC g9i la mi e n xac dinh cua ham s6

Djnh nghia 1.2.2 M ie n gia tri cua ham s6 u = f( x 1 ,X 2 ,X 'n) la t(f,p

h<;Jp tat ca cac gia tri cua ham s6 khi di i m J\1( :.r:1, x 2 , ; en ) bi t n th ie n trong m ie n x ac dinh D

Vi d\l 1.2.2

• Ham s6 f: D ~ 1R1 trong d6: D = {( x:, y): x2 + y2 < 1} ,

z = j( x, y) = ✓1 - x2 - y 2 1 mitn gia tri la z E [O; 1]

• Ham s6 f: D ~ 1R1 trong d6 : D = {( x, y): x+ y < 1} ,

f(x , y) = ln(l - x - y)1 mi t n gia tri la: (-oo , +oo)

Sau day ta nhiic l0i cac ni)i dung co ban lien quan t6i cvc tri khong

c6 dieu kien ci'.ia ham nhieu bien

Djnh nghia 1.2.3 T{j,p hr;Jp D c ]R n dur;Jc g9i la t{)p mcJ neu D c6 t i nh chdt 1 v(Ji m9i di i m lvf E D t6n t(li m(}t s6 ducJng r > 0 sao cho m9i di i m

N trong khong g i an n chi t u thoii man d( J\.1 , N) < r d t u thu(}c D

Dinh nghia 1.2.4 Cho ham s6 u = j( x 1 X2 , , Xn) x ac dinh tren m(}t t{j,p mcJ D va J\1o ED Ta n6i ham s6 J( x 1 ,X 2 , ,Xn ) d(lt qtc tri t(li

di i m J\.10 n t u t6n t(li m(}t s6 r > 0 sao cho vai m9i di i m , J\ 1 E D va d(J\.1 , l\ , 10) < r th 'i hi~u J(J\ 1 ) - J(J\10) khong dBi ddu

N t u J(l\1)-J(l\lfo) > 0 th'i J\.10 la di i m qtc tiiu 1 ntu J(J\ 1 )-j(l\1o) < 0

th 'i 1110 la d ii m cv;c d(li Di i m 1110 dur;Jc g9i la di i m cv;c tri cua ham s6

Dinh ly 1.2.1 (Di€u kifn cdn) N e u ham s6 z = f(x , y) d(lt cv;c tri t(l i di i m 1110 ma t(li di i m d6 cac d(lo ham rieng p = J ; ( J\.1o) ; q = f~ ( 1110) t6n t(li th'i p = q = 0

Dinh nghia 1.2.5 D if m Mo thoa man di e u k i~ n cua Dinh ly 1 2 1 dur;c g9i la di i m ditng cua ham s6 z = f( x, y )

Dinh ly 1.2.1 tren cho th§,y ham s6 z = f( x, y) chi c6 th i d(lt cv;c tri

tq, i cac diim ditng ( v6i gia thiet ham s6 c6 d 00 ham rieng) Tuy nhien

day m6i chi la dieu ki~n ciin, cha chua phai la dieu ki~n du Dieu ki~n du

neu du6i day cho phep ta ki@m tra xem t!;l,i di@m dung ham s6 c6 thl,l'c

S1,1' d!;l,t Cl,l'C tri hay khong Chu y r~ng dieu ki~n du chi ap dvng sau khi dieu ki~n ciin da du'c;Jc thoa man ( chi ap dvng cho cac di@m dung)

Dinh ly 1.2.2 (Di€u kifn du) Cid su: Mo( xo, Yo) la mpt di i m dilng cua ham s6 z = f ( x , y) va tr;i,i diim d6 tat cd cac dr;i,o ham ri e ng cap 2 cua n6 dtu t6n tr;i,i va lien tvc Xet dinh thitc

D=

trong d6

a11 = f " xx (x o Yo ), a12 = f " xy( Xo , Yo) ;

a 21 = t ' y ( x o , Yo) , a22 = f " y y( xo, Yo)

• N t u D > 0 thz di i m dftng M0 ( x0 y0 ) la di i m c?,tc tri cua ham s6 z= f( x:, y):

+ Mo( x o , Yo) la d ii m c ?,tc d9,i n e u a11 < O;

+ Mo( x o Yo) la di i m c?,tc t ii u n e u a11 > 0

• N e u D < 0 thz di i m dung l\1o( xo, Yo) khong phdi la di i m c?,tc tri cua

ham s6 z = J( x, y)

• N e u D = 0 ta khong c6 ket lu(in gz vt c?,tc tri tr;i,i a i m dung l\1o( x o Yo) :

ham s6 c6 th i dr;i,t c?,tc tri ho(),c khong dr;i,t c?,tc tr i tr;i,i d ii m d6

Ch(tng minh Xem Dinh lf r 8.15 trong [4] □

Tu hai dinh ly tren, ta ri:it due;c quy t~e tlin eve td :

Bude 1: Tim cac di~m dung c6 to?, do la nghi~m cua h~ phuong trinh:

1 ; = j~ = 0

Bude 2: Tinh cac gia tri d?,o ham rieng cap hai t?,i cac di~m dung

a11 = fi x ( !11) ; a12 = J;y( !11 ) ; a22 = ftv( !11) va xet dinh th(rc

• N e u D > 0 thi di~m dung llfo( ~ co , Yo ) la di i m c?,tc tri ci'.rn ham s 6

z = J( x, y):

+ fl!Io(~co, Yo) la di i m c v·c dr;i, i n e u au < 0;

+ llfo( xo, Yo) la di i m c?,tc t ii u n e u a11 > 0

• N@u D < 0 thl di@m dung lvfo( x o , Yo) khong phai la di i m c'ljc tr i

cua ham so z = f( x, y)

• N@u D = 0 ta kh6ng c6 k@t lu~n gl v@ ci,rc tri t<;:1,i d@m dung

l\lfo ( x o Yo): ham so c6 th§ d<;:1,t c1,rc tri ho~c khong d<;:1,t eve tri t<;:1,i

Theo d i nh ly v t d it u k if, n c an thz ham s6 ch i c6 th i dr;d qt: c tri t9, i c a c

di i m nay Ta sii: dvng dinh ly v e d it u k if, n du d i k ii m tra ldn luqt titng

Cho phu'.c:Jng trlnh: F( x, y) = 0, trong d6 F: V t JR la mot ham s6

xac dinh tren t~p hqp D C JR2 Voi moi gia td X = X o trong mot khoang

I c JR nao d6 c6 th~ c6 mot hay nhi~u gia td Yo sao cho F (x o , Yo ) = 0

Khi d6 ta n6i phtwng trlnh F( x, y) = 0 xac dinh mot hay nhi@u ham in

y theo biE\n x trong khoang I

Dinh nghia 1.2.6 Ham s6 y( x ) : I + ~ dU(JC g9i la ham s6 dn xac dinh biJi phuang trinh F( x, y) = 0 neu:

't/ x EI, ( x, y( x )) E 'D va F( x, y( x )) = 0

Vi dl} 1.2.4 Phuong trinh: x4 + y4 = 4; (0 < x < 2; 0 < y < 2) xac dinh cho ta m9t ham dn y = ✓ 4 - x2

( 0 < x < 2)

Tuy nh ie n, kh6ng phdi khong bao gid tit phuo·ng trinh dr;mg F( x, y) = 0

ta cung c6 th i gidi ra du(Jc tu&ng minh ham dn y = y( x ) thanh dr;mg ham

~ ?

so cua x

Vi dV, nhu phuo·ng trinh xY = y x ( x , y > 0) Tuy nhien trong nhiJ:ng truimg h(Jp nhfit dinh ta c6 th i n6i vt tinh khd vi cua ham dn ma khong can gidi tuiJng minh ra phuang trinh y = y( X )

Dinh ly 1.2.3 Cho phuong trinh F( x , y) = 0 , trong d6: F: 'D + ~ l a m9t ham s6 c6 cac d9,o ham ri e ng lien tV,c tren m¢t t(l,p miJ 'D c R2 Gia SU: (xo , Yo) E 'D va F( x o, Yo) = 0 Neu F'(xo, Yo) -/c O thi phuang trinh F( x, y) = 0 xac dinh trong m9t lan c(i,n I = ( :r: o - o , x0 + o) , (o > 0) cua

xo m9t ham s6 tiny= y( x ) duy nhfit , thod man di t u k if n y( xo ) = Yo ,

y( x ) li e n t· µ,c va c6 d9,o ham l en tV,c trnng lan c(i,n I n6i tr e n

D i tinh d9,o ham ham dn, ta thay c6ng thuc y( :1 : ) vao phuang trinh F( x, y) = 0 va thu du(Jc d6ng nhfit thuc F( x, y( 1: )) 0

D9,o ham hai v e th e o x ta c6:

Dr;w ham hai vt theo bitn x:

Tr;,i di i m: x = O; F(0, y(0)) - 1 = 0 Suy ra : y(0) = l

Thay y = y( x ) ta du9·c d8ng nhat thitc:

Dr;,o ham hai v t theo bdn x:

Suy ra:

, eY + y ex - y ex y

y ( x) = - - -

xeY + ex - xexv Thay x = 0 ,y = 1 co y'(0) = - e

c) Cid sit phurJng tr'inh: F (;-r, y) = ln Jx2 + y2 - arctan 'Jj = 0 xac

d) Tim c1,tc dr;,i cua ham d n z = z ( x , y) (c6 cac dr;,o ham ri e ng cap 2

lien tvc tr e n lR.2) dU'rJc xac dinh biJi ph'Ltdng trznh:

1.3 Cuc tri c6 di~u kien cua ham nhi~u bi~n

Ta da xet bai toan Cl.,iC tri khong c6 dieu ki~n, U'tc la gilia cac bien doc l~p xu§,t hi~n trong ham s6 khong rang buoc nhau Tuy nhien trong th1.,rc te nhieu tnrang hqp giua cac bien nay se c6 sv rang buoc Ian nhau

Vf dv nhu mot ngLtai tieu dung mu6n mua hai loc;ti hang hoa nao d6, s6 llt<;:lng mua dlt<;:lc cang nhieu thl cang thoa man tam lf r Clla nglt<Ji d6, tuy nhien voi s6 tien mua hang c6 hc;tn thl nguai d6 buoc phai Iva chon mua moi loc;ti san phim bao nhieu dcm vi d@ dem lc;1,i lqi ich t6t nh§,t D6 chfnh

la bai toan tlm eve tri c6 dieu ki~n

Ta xet bai toan: Tlm cac diJm eve tri cua ham hai bien s6 z = f( x, y)

voi dieu ki~n rang buoc g(x , y) = 0

Dinh nghia 1.3.1 Gia sii: D la m(}t tq,p miJ trong JR.2 va f : D ➔ JR la m(}t ham s6 xac dinh tren D Ta n6i r6,ng:

• f d9,t c7/c d9,i c6 ditu kifn t9,i cliim l\fo( x o, Yo) E D vdi clitu kifn rang bu(}c g ( ~ , y) = 0 neu g ( Xo, Yo) = 0 va t6n t9,i m(}t Zan cq,n V

cua cliim l\l/0 sao cho

f(x , y) < f(xo, Yo)

vrJi m9i cliim (x, y) EV th6a g(x, y) = 0

• f cl9,t c7/c tiiu c6 clitu kifn t9,i cti i m l\1o( r o, Yo) E D vdi clitu kifn rang bu(}c g( x: , y) = 0 n e u g(;r0 , Yo) = 0 va t6n tr;ii m(}t Zan cq,n V cua cli i m l\lf O sao cho

f( : c , y) > f( x o , Yo)

vdi m9i di i m ( x , y) EV th6a g( x , y) = 0

Tuy nhien trong ph§.n Ham in ta da biet khong phai bao gia ciing giai

ra duQc ttrang minh cong thuc cua ham in Do d6 ta c§.n mot quy t~c

ki@m tra tnrc ti@p, sau day la quy tic tlm c1,rc tri c6 dieu ki~n:

Xet ham s6 ph1,1: L( x, y, A) = J( x, y) + Ag( x, y)

Bi~n ph1,1 A goi la nhan t11 Lagrange Ta thay r~ng voi tat ca cac di@m

(x, y) thoa man dieu ki~n g(x, y) = 0 thl hai ham s6 J(x, y); L( x, y, A)

nh~n cung mot gia tri, Do d6 eve tri cua ham s6 f ( x, y) voi dieu l<i~n

g(x , y) = 0 cung la mot eve tri cua ham s6 L( x, y, A) Do d6 cac di@m

ma tc;1,i d6 eve tri c6 dieu ki~n xay ra phai roi vao cac di@m dung ciia

ham s6 L( x,y, A) Ta c6 quy tic sau day:

Quy tdc tzm qtc trj c6 di€u kifn:

d@ tlm nhan t11 A va cac di@m dung tuong ung

• N@u h~ (I) vo nghi~m, tuc la khong c6 di@m dung nao Ta dung thu~t toan va k~t lu~n ham s6 z khong c6 qtc tri voi dieu ki~n da

cho

• N~u h~ (I) c6 nghi~m thl moi nghi~m la mot bo ba (Ao, xo , Yo)

nao d6, cho ta mot nhan t11 /\ = Ao va mot di@m dung ttwng ung

.Afo (xo , Yo) Ta c§.n lam ti~p buoc hai

Bu'oc 2:

Ki@m tra dieu ki~n c§.n tc;1,i di@m dung va nhan t11 ttwng 1tng Ching hc;tn, xet di@m dung IVIo( ~ r:o , Y o ) ung voi nhan t11 Ao Voi gia thi@t cac ham s6

f (x , y) va g(x , y) c6 cac dc;to ham rieng cap hai lien t1,1c tc;1,i di@m ( : ro , Yo),

Tc;1,i di@m dttQc xet ( x = xo, y = Yo , > = > o)

• N§u D > 0 thl cti@m ]\lf 0 la di@m c1Jc d1;1,i c6 di~u ki~n v6i

Z max = z ( x o Yo)

• N§u D < 0 thl di@m J\ lf 0 la di@m qtc ti@u c6 di~u ki~n v6i

Z m i n = z (xo , Yo)

• N§u D = 0 thl chua k§t lu~n gl v~ di~m ]\lf 0 ma c§,n xem xet, phan

Bu'oc 3:

Vi dv 1.3.1 Tim qtc tri cua ham s6 z = 3x + 4y vJi dieu kifn

x2 + y2 = 1

Giai

+) L(i,p ham Lagrange: L( x, y, > ) = 3x + 4y + > ( x2 + y2 - 1)

+ ) Giai h f phv:o·ng trinh:

+ Khi d6 diim C'I/C tri la nghifm cua h f ph'ltdng tr'inh:

L23 = L32 = - 2,\ :r;

V (f, y h am so d9, t C'/,tC t ieu t 9,i diem X = 3, y = 2) z = 2

1.4 Gia trj Ion nh§.t, gia trj nho nh§.t cu.a ham

nhi~u bi~n tren m9t t~p dong va bi ch~n

Cac bai toan q t c t ri da xet cJ tren la cac gia tri 1611 nh§.t, gia tri nho

nh§.t ci'.1a ham s6 mang tinh dia phuong, tuc la chi 16n nh§.t hoi;ic nho

nh§,t trong mot l~n c~n cua diJm eve tri, Tuy nhien thvc t@ ta can tlm

gia tri 16n nh§,t, gia tri nho nh§,t trong toan bo mi@n xac dinh cua ham s6 can xet

Djnh nghia 1.4.1 C ho h am s6 J ( c l , X 2 , "') ; en) xac din h tr e n mi e n

Djnh ly 1.4.1 M 9 i h am s6 n b i n l e n tvc t ren mien d6n g va b i c h i;i,n

V c JRn l uon c6 gia tri lrJn n h dt va g i a tri n h o n h at

C h itn g min h Xem Dinh ly 8.16 Trong [4] D

Ta da biet mot ham s6 lien t1,1c tren mot mien dong va bi ch~n D c6

ca bien thi se dl:;1,t dtt<;ic gia tri Ion nhat, gia tri nho nhat tren mien d6 Neu f dl:;1,t d11<;1c gia tri 1cm nhat (gia tri nho nhat) trong mien D thi di@m d6 c6 th@ fa di@m eve tr( Ngoai ra, f c6 th@ dl:;1,t dtt<;1c gia tri Ion nhat, gia tri nho nhat tren bien cua mien D , hie nay ta c6 them rang buoc d6

fa phttong trinh bien cua D Ta cac phan tich nhtt the ta rut ra quy t~c tlm gia tri Ion nhat va nho nhat cua ham nhieu bien tren mot mien d6ng

la ph ucmg trlnh xac dinh cac di@m bien cua D

• Bttoc 3: Tinh gia tri ham s6 tc;1,i tat ca cac di@m toi hl:;1,n tlm du<;1c

a buoc 1 va bttoc 2 a tren Gia tri Ion nhat (gia tri nho nhat) tlm d11<;1c chfnh la gia tri 16n nhat va gia tri nho nhat cua ham s6 tren

Vi du 1.4.1

a) Tim gia tri lrJn nhfit 1 gia tri nho nhfit cua ham s6:

J ( x :, y) = ; c2 - 2: cy + 2y tren mitn D du(Jc gi(Ji hq,n bCfi cac du·ong thdng

; c = 0, y = 0 X = 3, y = 2

Giai

G9i mitn D = { (x, y) E JR.2jO < x < 2, 0 < y < 2} la mitn dong va bi chif,n 1 dur;fc gi6'i lu ;1,n b6i hinh chil nhJ),t nhu hinh ve:

Tit day ta thay:

Gia tri lrJn nhat f~ ax = f(3 , 0) = 9, gia t,i nho nhat } ~ 1 in = f(0 , 0) = 0

b) Tim gia tri l 6n nhat 1 gia tri nho nhat cua ham s6 z = x2 + 2y2 - ;c trong mi t n tron x2 + y2 < l

Giiii

Ta c6: D = {( x,y) E JR.2j x2 + y2 < 1}

+) Xet tren mitn trong cu a D : U = { (x, y) E JR.2jx2 + y2 < 1}

'nm diim trJi h9,n cua mien

1 < x + y < 3 'nm gia tri lrJn nhfit va gia tri nho nhfit cua bila thuc

P = x 2 + y 2 + xy - 3 ; c - 3y

Giiii

Dat J( x, y) = x 2 +y 2 +.Ty-3x-3y va V = {O < x, y < 2; 1 < x + y < 3}

Ta thfiy ham s6 f khd vi, l ien tvc tren mien dong va bi chiJ,n V n e n s e

ten t9,i gia tri lrJn nhfit va gia tri nho nhfit tren mi e n d6 Khi d6 f d9,t dV:(}c C'ljC tri t9,i di er n dung hoij,c di i m bi e n cua V

{

Ta xe t ht phuong trinh ¢:?

H t nay c6 nghi t m duy nhdt ( x, y) = (l; 1) va tinh du(Jc j(l ; l) = -3

Ta xet tr e n bien cua mi t n V

• T9,i x = 0 thi l < y < 3 Khi d6 J( x, y) = y2 - 3y la ham s6 m(}t

bi t n n e n d e dang tim dU(}c gia tri ldn nhat bdng - 2 t9,i ( x, y) = ( 0; 1)

horJ,c (x, y) = (0; 2) va gia tri nho nhat bdng - ~ t9, i ( x, y) = (0; ~)

• Tuong tv: , t9,i y = 0 thi l < x < 3 ta cilng dur;Jc ktt qua nhu tr e n:

• Tuong tv: , t9,i y = 2 th i 0 < x < l ta cilng dur;Jc k t t qua:

CHU'dNG2

Ung d1,mg cua eve tri vao Vi$C giai quyet nhfrng bai toan thvc te duc;Jc viet rit nhieu trong sach giao khoa va mot s6 tai li$u khac Tuy nhien)

cac bai toan dc;).,ng nay chua dttc;Jc chu y nhieu trong cac de thi, chl tu

nam hoc 2016 - 2017, khi Bo Ciao D1,1c va Dao Tc;).,o quyet dinh d6i hlnh th(rc thi mon Toan sang trac nghi~m thl cac dc;).,ng toan nay m6i th1,rc s1,t

dttc;Jc quan tam Day la slJ thay d6i dung dan, n6 ph11 hc;Jp voi chttc:Jng

trlnh giao d1,1c ph6 thong 2018: giam tfnh han lam, tang tinh th1,rc tien

va tfnh lien mon cua mon hoc

Bai toan thvc te xuit phat tu yeu c§,u cua cuoc s6ng nen n6 lien quan den nhieu chuyen nganh, nhieu linh Vl,!C Cho nen trong de tai nay, toi

- Ung d1,1ng trong toan ph6 thong

- Cac bai toan thvc te lien quan toi kich thuoc hlnh hoc

- Cac bai toan trong v~t Ii va h6a hoc

- Cac bai toan trong kinh te

Cac noi dung va bai toan trong chucmg nay, toi tham khao tu cac tai

li$U [1], [2], [3], [4], [6], [7] va tu mot s6 de thi Qu6c gia qua cac nam Mot s6 bai toan c6 th@ duc;Jc thay d6i s6 li~u, each hoi mot chut, cac bai toan tham khao tu tai li$U ntroc ngoai duc;Jc vi~t hoa cho ph11 hc;Jp Cac

bai toan deu duc;Jc giai chi tiet theo ngon ngfr va l?,p lu?,n cua ban than,

c6 hlnh anh minh ho<;t tnrc giac de hi@

2.1 Ung d1,1ng trong toan ph6 thong

Cvc tri ci'.la ham nhieu bi~n trong chucmg trlnh toan cao c§.p ci'.rn b~c

d~i hoc la mot c6ng C\l kha hvu hi~u, giai quy~t nhanh mot s6 bai toan

qtc tri trong de thi T6t nghi~p THPT hi~n nay Sau day la mot s6 vf d \ 1

Vi d'l;l 2.1.1 Cho hznh ch6p S.ABCD c6 day A B C D la hznh vuon g c(l,n h

a1 c(l,nh b e n SA = y (y > 0) va vuong g6c v6i miJ,t phdng (ABCD) Tren

C(l, nh AD lay diim M sao c ho AM= X (0 < .'r < a) Bitt x ;2 + y2 = a2

th i tich lrJn nhat Vma x cua kh 6i ch6p S.ABCM theo a b6ng

Vizy th i t ic h kh6i c h6p S.ABCM la

6y( x + a)

D

Bai toan triJ thanh tim c?,tc tri c6 dieu kitn cila ham hai bitn Tue la tim

V = iy( x + a) Zan nhdt vdi dieu kitn x2 + y2 = a2

Su d'l/.,ng phuong phap Lagrange:

Vf d9- 2.1.2 Trang cac nghi t m (x , y) thoa man bat phuong tr i nh:

log x2+ 2y 2 (2x + y) > 1 Gia tri Mn nhdt cila bi i u thuc T = 2x + y bang

Do chdc chdn ddng thuc se xay ra nen ta c6 dinh 2x + y = x2 + 2y2

L( x , y , >.) = x + y + >.(;c2 + y2 + 2 x y - 7 ; c - lly + 1)

Khi d6, diim C'I/C tri la nghitm cua hf ph'lt(}ng trinh:

V{).,y P min = -3 + \l'lO Ch9n A

⇒ f'(t) = (y + 2)-ll_ + l > 0, Vy > 0, t > 2

t n2

Suy ra ham s6 ddng bitn tren (O; +oo)

Nh(tn thay phuong trinh ( 1) c6 nghitm t = 8 la nghitm duy nhat hay

(y+2)(2 x+ l) = 8

Bai toan tr6' thanh tim qtc tri c6 ditu ki1n cua ham hai bi t n 1 titc la tim

P = 2x + y nho nhat voi di tu ki1n (y + 2)(2 x + 1) = 8

Ta c6 th i dua v t bai toan tim CUC tri cua ham mot bitn

Tit ditu kitn (y + 2)(2x + 1) =· 8 ta suy ray = 8