Lý do lựa chọn đề tài Chúng ta đã biết đến nhiều lớp hàm rất đẹp với số lượng các tính chấtrất phong phú như hàm liên tục, hàm khả vi, hàm trơn hàm khả vi vô hạnlần xem [3], hàm chỉnh hì
Một số khái niệm mở đầu
Không gian tô pô, không gian mêtric và không gian đo được
Trong không gian tô pô, định nghĩa 1.1.1 cho một tập hợp X là một tập hợp khác rỗng bất kỳ Gọi τ là một họ các tập con của X, với các điều kiện rằng tập rỗng ∅ và tập X đều thuộc τ.
Khi dó, τ được gọi là một tô pô trên tập hợp X, và bộ (X, τ) hay đơn giản là X được định nghĩa là một không gian tô pô Định nghĩa không gian mêtric được đưa ra cho tập hợp X không rỗng, với ánh xạ d: X × X → R phải thỏa mãn điều kiện d(x, y) ≥ 0 cho mọi x, y thuộc X.
(ii) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
Khi d được xác định là một khoảng cách trên tập hợp X, thì cặp (X, d) được gọi là không gian mêtric Định nghĩa không gian đo được cho biết rằng với tập hợp X không rỗng, nếu F là một σ-đại số trên X và à là một độ đo trên F, thì X được xem là không gian đo được.
F Khi đú, bộ (X,F, à) được gọi là một khụng gian đo được.
Nếu X là khụng gian tụ pụ và F = B(X) là σ− đại số Borel thỡ độ đo à trên B(X) được gọi là độ đo Borel. Định nghĩa 1.1.4 Cho (X,F, à) là một khụng gian đo được và A⊂ X.
• Hàm đo được f trên A được gọi là khả tích nếu
• Hàm đo được f trên A được gọi là khả tích địa phương nếu với mọi tập compact K ⊂ A ta có
Sơ lược về tô pô trên mặt phẳng phức
Định nghĩa 1.1.5 1) Tập hợp những điểm z ∈ C thỏa mãn hệ thức
Trong toán học, ϵ được định nghĩa là một số dương, được gọi là ϵ-lân cận của điểm z0 ϵ-lân cận này có thể được hình dung như một hình tròn với tâm tại điểm z0 và bán kính ϵ, hoặc là một đĩa mở với tâm z0 và bán kính ϵ, thường được ký hiệu là ∆(z0, ϵ).
2) Tập hợp những điểm z ∈ C thỏa mãn hệ thức d C (z, z0) < ϵ, z0 ∈ C, được gọi là ϵ- lân cận của điểm z 0 trong C.
Do đó ta hiểu ϵ - lân cận của điểm ∞ là tập hợp
U(∞, ϵ) = {z ∈ C : z > 1 ϵ} là phần ngoài hình tròn với tâm tại gốc tọa độ và bán kính r = 1 ϵ Trong nhiều trường hợp, thuật ngữ "lân cận thủng" được sử dụng Theo định nghĩa, ϵ - lân cận thủng của điểm z 0 ∈ C được hiểu là tập hợp các điểm xung quanh z 0 với khoảng cách nhỏ hơn ϵ.
Tương tự, ϵ - lân cận thủng của điểm z 0 ∈ C là tập hợp
U˙(z0, ϵ) = {z : 0 < dC(z, z0) < ϵ} Định nghĩa 1.1.6 cho biết một điểm z0 được xem là điểm trong của tập hợp con M ⊂ C nếu tồn tại ϵ > 0 sao cho ϵ-lân cận của z0 thuộc M Định nghĩa 1.1.7 nêu rõ rằng tập con A ⊂ C được gọi là tập hợp mở nếu mọi điểm z ∈ A đều là điểm trong của A Theo Định lý 1.1.1, các tập con mở của C thỏa mãn những tiên đề cấu trúc tôpô nhất định.
1 ∅ và C là những tập hợp mở.
2 Hợp của một số hữu hạn hay vô hạn bất kỳ các tập hợp mở là một tập hợp mở.
3 Giao của một số hữu hạn tập hợp mở là tập hơp mở.
2 Giả sử {U λ } là họ cỏc tập con mở nào đú Nếu z 0 ∈ U à nào đú thỡ ∃ > 0 sao cho U(z 0 , r) ⊂ U à ⊂ U = S λ
3 Giả sử U 1 , U n là những tập hợp mở Nếu U 0 n
1) Giả sử U 0 ̸= ∅ và z 0 ∈ U 0 Khi đó, với mỗi giá trị i(i = 1,2, , n) sẽ tồn tại ϵ i > 0 sao cho
Hiển nhiên rằng U(z 0 , ϵ i ) ⊂ U 0 , trong đó ϵ = min i=1,n
Với việc áp dụng khái niệm tập hợp, C và C trở thành không gian Tôpô Định lý 1.1.2 (tiên đề tách Hausdorff) khẳng định rằng, nếu z1 và z2 là hai điểm khác nhau trong C, thì tồn tại những lân cận U(z1, ) và U(z2, ) sao cho
Tập con A⊂ C được gọi là tập đóng nếu phần bù C\A của nó là tập mở Định lý 1.1.3 nêu rõ rằng hệ các tập hợp đóng thỏa mãn những tính chất nhất định, trong đó U(z₁, )∩U(z₂, ) = ∅, cho thấy sự phân tách giữa các tập hợp này.
1 C và ∅ là những tập đóng.
2 Hợp của một số hữu hạn tập đóng là tập hợp đóng.
3 Giao của một số vô hạn hay hữu hạn bất kỳ các tập hợp đóng là tập hợp đóng.
Chứng minh Suy ra trực tiếp từ định lý 1.1.1 và các quy tắc lấy phần bù.
Một số không gian hàm
• Một số ký hiệu: Cho E ⊂ R n ∞ Ta ký hiệu C(E) là không gian các hàm liên tục trên E, C n (Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp n và
C ∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên Ω (ta còn gọi là các hàm trơn trên Ω).
Giả sử f là hàm khả vi Gradient của hàm f, được ký hiệu là ∇f, cho bởi
Giả sử f là hàm thuộc lớp C 2 Toán tử Laplace của hàm f, được ký hiệu là
• Hàm liên tục f : E −→ [−∞,∞] được gọi là liên tục theo nghĩa mở rộng.
• Hàm đặc trưng của tập E, ký hiệu là χE, cho bởi χ E (x)
Giới hạn trên (lim sup) và giới hạn dưới (lim inf) của hàm f xác định trên tập E tại điểm y ∈ E được xác định theo các công thức sau: lim sup x∈E, x→y f(x) := inf.
! và lim inf x∈E,x→yf(x) := sup
, ở đây, N y là họ tất cả các lân cận của điểm y Ta có đánh giá sau lim inf x∈E,x→yf(x) ≤ lim sup x∈E,x→y f(x).
Giới hạn lim x∈E,x→y f(y) tồn tại khi và chỉ khi các giới hạn trên và dưới của f tại y đều tồn tại và bằng nhau Khi đó, ta có x∈E,x→ylim f(x) = lim inf x∈E,x→yf(x) = lim sup x∈E,x→y f(x) thuộc khoảng [−∞,∞].
Khi E là một miền hoặc E ∈ N y thì ta lược bỏ cùm "x ∈ E" trong các giới hạn trên.
•Thác triển biên của hàm số: Cho hàm f xác định trên Ω và điểm y ∈ ∂ ∞ Ω.
Hàm số được gọi là khả thi thác triển liên tục tại một điểm y nếu tồn tại giới hạn lim x→y f(x) Nếu hàm số có khả năng thác triển liên tục tại mọi điểm thuộc biên ∂ ∞ Ω, thì ta nói rằng hàm f có thác triển liên tục ra biên.
• Cho x 0 ∈ R n ∞ và các hàm thực f và g xác định trên U \ {x 0 } với g > 0 và
U là một lân cận của điểm x0 Ta nói f(x) = O(g(x)) khi x → x0 nếu tồn tại lân cận V ⊂ U của x 0 và số M > 0 sao cho
Và f(x) = o(g(x)) khi x →x 0 nếu x→xlim0 f(x) g(x) = 0. Đặc biệt, trong trường hợp dãy số (a j ) và (b j ) với b j > 0,∀j ≥ 1 thì ta viết a j = O(b j ) nếu tồn tại M > 0 sao cho |a j | ≤ M b j với mọi j ≥ 1 và viết aj = o(bj) nếu lim j→∞ a b j j = 0.
• Phân tích hàm: Cho hàm số f Ta định nghĩa f + = max(f,0) và f − = max(−f,0).
Khi đó, ta có các đẳng thức sau f = f + −f − và |f| = f + +f −
Ta viết f| A là để chỉ hàm f hạn chế (hoặc thu hẹp) trên tập con A của miền xác định của hàm f.
Hàm số f : Ω −→ R được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho f(x) ≤ M với mọi x ∈ Ω, và bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho f(x) ≥ m với mọi x ∈ Ω Hàm f được xem là bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới Ngoài ra, hàm f cũng có thể bị chặn trên địa phương, bị chặn dưới địa phương và bị chặn địa phương nếu nó lần lượt bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn trên mọi tập con compact của Ω Đối với một họ các hàm số F xác định trên Ω và A⊂ Ω, họ F được gọi là bị chặn đều trên A nếu tồn tại số M > 0 sao cho |f(x)| ≤ M với mọi f ∈ F và x ∈ A Họ F cũng được gọi là bị chặn đều địa phương trên Ω nếu F bị chặn đều trên mỗi tập con compact của Ω, với các định nghĩa tương tự cho bị chặn đều phía trên, bị chặn đều phía dưới, bị chặn đều địa phương phía trên, và bị chặn đều địa phương phía dưới.
• Dãy hàm hội tụ đều: Cho hàmf và dãy hàm (f n ) cùng xác định trên Ω và
A ⊂ Ω Dãy hàm (f n ) được gọi là hội tụ đều trên A tới hàm f nếu với mọi ϵ >0 tồn tại n0 ≥1 sao cho
Dãy hàm (fn) được xem là hội tụ đều địa phương khi nó hội tụ đều trên mọi tập con compact của Ω Hơn nữa, dãy hàm (fn) được gọi là dãy Cauchy đều trên A nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại n₀ ≥ 1 sao cho
Dãy hàm (f n ) được gọi là dãy Cauchy đều địa phương nếu nó là dãy Cauchy đều trên mỗi tập con compact của Ω.
• Giá của hàm số: Cho hàm số f xác định trên Ω Ta goi giá của hàm f, ký hiệu là suppf, xác định như sau suppf = Ω\ {x ∈ Ω : f = 0 trên một lân cận của x}.
Ta có thể kiểm tra rằng suppf = {x ∈ Ω : f(x) ̸= 0} Đặc biệt, suppf là một tập đóng trong Ω.
Ta ký hiệu C 0 ∞ (Ω) là không gian các hàm ϕ ∈ C ∞ (Ω) có giá suppϕ là tập con compact trong Ω.
• Không gian các hàm khả tích bậc p: Cho 1 ≤ p < ∞, ta gọi L p (Ω) là không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω, tức là f ∈ L p (Ω) nếu
Khi đó, ||.|| L p (Ω) là một chuẩn trên không gian L p (Ω) Hơn nữa, không gian
L p (Ω) với chuẩn xác định như trên là một không gian Banach và không gian các hàm liên tục trên Ω (C(Ω)) trù mật trong L p (Ω).
Giả sử p, q ≥ 1 là hai số liên hợp, tức là 1 p + 1 q = 1 Khi đó, nếu f ∈ L p (Ω) và g ∈ L q (Ω) thì bởi bất đẳng thức H¨older ta có
Hàm f được gọi là bị chặn hầu khắp nơi trên miền Ω nếu tồn tại tập con ω ⊂ Ω với Vn(ω) = 0 và hàm f bị chặn trên miền Ω\ω Tập hợp các hàm bị chặn hầu khắp nơi trên Ω được ký hiệu là L ∞ (Ω) Nếu hàm f thuộc L ∞ (Ω), thì tồn tại một tập con ω ⊂ Ω với Vn(ω) = 0 và một số M sao cho hàm f được chặn bởi M trên miền còn lại.
Khi đó, ||.|| L ∞ (Ω) là một chuẩn trên không gianL ∞ (Ω) Hơn nữa, không gian
L ∞ (Ω) với chuẩn đó là một không gian Banach.
Không gian các hàm khả tích bậc p địa phương, ký hiệu là L p loc (Ω), được định nghĩa cho 1 ≤ p ≤ ∞ Một hàm f thuộc L p loc (Ω) nếu như với mọi tập compact K ⊂ Ω, hàm f bị giới hạn trên K thuộc L p (K) Điều này có nghĩa là hàm f có thể được tích phân trên các tập compact trong không gian Ω.
|f| p dVn < ∞ nếu 1 ≤p < ∞ f bị chặn hầu khắp nới trên K nếu p = ∞.
Giả sử 1 ≤ p < ∞ và f ∈ L p (Ω) Khi đó, với mọi tập compact K ⊂ Ω, bởi bất đẳng thức H¨older ta có
K χ K |f|dV n ≤ ||χ K || L q (K) ||f|| L p (K) = V n (K) 1 q ||f|| L p (K) < ∞, ở đó, q là số liên hợp với p Điều này chứng tỏ f ∈ L 1 loc (Ω) Nói cách khác ta có
Nhắc lại về hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.2.1 (Hàm biến phức) Cho Ω ⊂ C là một tập mở Ta gọi ánh xạ f : Ω →C xác định bởi w = f(z) (z ∈ Ω), là hàm biến phức trên Ω.
Giả sử z = x + iy ∈ Ω với x, y ∈ R, hàm f(z) có thể được biểu diễn dưới dạng f(z) = u(x, y) + iv(x, y), trong đó u(x, y) và v(x, y) là các hàm thực hai biến Định nghĩa 1.2.2 đề cập đến đạo hàm phức của hàm f(z) xác định trên một tập mở.
Nếu tại điểmzgiới hạn này tồn tại thì nó được gọi làđạo hàm phức của f tại z, ký hiệu là f ′ (z) hay dz df (z).
Hàm f(z) được gọi là C-khả vi trên miền mở Ω nếu nó có đạo hàm phức tại mọi điểm z ∈ Ω Ngược lại, hàm f(z) được xem là R-khả vi nếu các hàm u(x, y) và v(x, y) là khả vi tại mọi điểm (x, y) trong Ω Ngoài ra, hàm f xác định trong miền Ω ⊂ C với giá trị trong C được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại một bán kính r > 0 sao cho f là C-khả vi trong miền này.
- khả vi tại mọi z ∈ ∆(z 0 , r) ⊂ Ω Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω. Định nghĩa 1.2.5 (Ánh xạ bảo giác) Cho Ω1,Ω2 là các tập mở trong
C Ánh xạ f : Ω 1 → Ω 2 được gọi là ánh xạ bảo giác nếu f ′ (z) ̸= 0 với mọi z ∈ Ω 1
Kết quả nghiên cứu cho thấy mối quan hệ giữa hàm C-khả vi và hàm R²-khả vi Theo định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy - Riemann), hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) xác định trong miền Ω ⊂ C cần phải thỏa mãn điều kiện để trở thành C-khả vi tại điểm z = x + iy ∈ Ω Cụ thể, điều kiện cần và đủ là tại điểm (x, y), các đạo hàm riêng của hàm u(x, y) và v(x, y) theo biến x và y phải được thỏa mãn.
Các hệ thức 1.2 được gọi là điều kiện Cauchy - Riemann.
Chứng minh • Điều kiện cần Giả sử f là C - khả vi tại z = x+ iy ∈ Ω. Khi đó tồn tại giới hạn f ′ (z) = lim
Vì giới hạn này tồn tại không phụ thuộc khi ∆z tiến đến 0 nên nếu chọn
∆x tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x,y) và f ′ (z) = ∂u
∂x(x, y) (1) Tương tự khi chọn ∆z = i∆y ta có f ′ (z) = −i∂u
Lại có, vì f là C khả vi tại z, nên
∆f = f(z+ ∆z)−f(z) =f ′ (z)∆z + 0(∆z) với 0(∆z) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆z, tức là
∂y∆y+0(|∆z|) Điều đó có nghĩa u và v khả vi tại (x, y).
• Điều kiện đủ Vì u và v khả vi tại (x, y) nên
∂y∆y = 0(p∆x 2 + ∆y 2 ) Theo điều kiện 1.2 hai đẳng thức trên có thể viết thành
Từ hai đẳng thức trên ta có
∂x tức là f là C - khả vi tại z = x+iy. Định lý 1.2.2 ([1]) Giả sử miền D ⊂ C và H(D) tập hợp mọi hàm chỉnh hình trong miền D Khi đó:
3 Nếu f ∈ H(D) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là hằng số.
Chứng minh Bằng cách tính toán trực tiếp ta thu được δ δz¯(f +g) = δf δz¯ + δg δz¯, δ δz¯(f.g) = δf δz¯.g +f.δg δz¯.
Từ những nhận xét trên, ta có thể suy ra rằng δf/δx và δf/δy đều nhận giá trị thực, và do đó, nếu δf/δx = iδf/δy, thì δf/δx và δf/δy đều bằng 0, dẫn đến kết luận rằng f là một hằng số Định lý 1.2.3 cho biết rằng nếu f(ω) là hàm chỉnh hình trong D∗ và g : D → D∗ cũng là hàm chỉnh hình trong D, thì hàm hợp f[g(z)] sẽ là hàm chỉnh hình trong D.
Chứng minh Thật vậy dễ dàng thấy rằng
∂z¯ = 0 nên suy ra f[g(z)] là hàm chỉnh hình trong
Giả sử w = f(z), với z thuộc miền D, là một hàm chỉnh hình ánh xạ đơn trị từ miền D sang miền D* Điều này có nghĩa là mỗi giá trị z trong miền D tương ứng với một giá trị w trong miền D*, và ngược lại, mỗi w trong miền D* cũng tương ứng với một z trong miền D Từ đó, ta xác định được hàm đơn trị z = φ(w), với w thuộc miền D*, có đặc tính f[φ(w)] = w, w thuộc miền D* Hàm z = φ(w) được gọi là hàm ngược của hàm w = f(z).
Ta chứng minh rằng nếu f ′ (z) ̸= 0, z ∈ D thì hàm z = φ(w) là hàm chỉnh hình trên D ∗
Thật vậy giả sử w, w+ ∆w ∈ D ∗ Nhờ hàm ngược, các điểm này tương ứng với z, z+ ∆z Theo giả thiết hàm f có đạo hàm tại điểm z nên f(z) liên tục tại đó: ∆w →0 nếu ∆z → 0.
Do đó tính đơn trị một-một ta có thể khẳng định ngược lại ∆z → 0 nếu
= 1 f ′ (z) (f ′ (z) ̸= 0) Điều đó chứng tỏ rằng đạo hàm của hàm ngược z = φ(w) tồn tại điểm w và bằng φ ′ (z) = 1 f ′ (z), w ∈ D ∗
Vì w là điểm tùy ý của D ∗ , f ′ (z) liên tục và f ′ (z) ̸= 0 nên hàm φ(w) chỉnh hình trên D ∗
Hàm w = az + b, với a khác 0, là một hàm tuyến tính nguyên, ánh xạ đơn trị một-một từ mặt phẳng phức z sang mặt phẳng phức w Hàm ngược của nó được biểu diễn dưới dạng z = (w - b) / a.
Dễ thấy rằng hàm w = az + b và hàm ngược của nó z = w −b a chỉnh hình khắp nơi trên mặt phẳng z và w tương ứng (w ′ z = a, z w ′ = 1 a).
Một số kết quả sau đây được tham khảo từ tài liệu [1]. Định lý 1.2.4 ([1]) Giả sử chuỗi lũy thừa
Nếu bán kính hội tụ của chuỗi (2.16) khác 0 thì tổng S(z) của nó là hàm chỉnh hình trong hình tròn hội tụ {|z| < R, R > 0} của nó, tức là khi |z| < R ta có
. Định lý 1.2.5 ([1])Tổng f(z) của chuổi lũy thừa X n≥0 a n (z −z 0 ) n là hàm chỉnh hình trong hình tròn hội tụ |z−z 0 | < R của chuỗi đó và tạo hàm f ′ (z) được tìm theo công thức f ′ (z) = X n≥0 na n (z−z 0 ) n−1 .
Nhắc lại về hàm nửa liên tục trên
Định nghĩa 1.3.1 Cho X là một không gian tô pô Hàm u : X −→ [−∞,∞) được gọi là hàm nửa liên tục trên nếu tập {x ∈ X : u(x) < α} là tập mở trong X với mỗi α ∈ R.
Hàm v : X −→ (−∞,∞] được gọi là hàm nửa liên tục dưới nếu hàm −v là nửa liên tục trên.
Hàm đặc trưng của tập con S trong không gian tô pô X, ký hiệu là 1S, được coi là nửa liên tục nếu và chỉ nếu S là một tập đóng trong X Điều này có nghĩa là tính chất nửa liên tục của hàm đặc trưng liên quan trực tiếp đến sự đóng của tập S trong không gian tô pô.
Chứng minh • ” ⇒ ”: Giả sử hàm 1 S là nửa liên tục trên trên X Khi đó, ta có thể kiểm tra rằng
Từ đây suy ra S là một tập đóng trong X.
•” ⇐”: Giả sử S là một tập đóng trong X Khi đó với α ∈ R ta có
Vậy tập {x ∈ X : 1 S (x) < α} là mở với mọi α ∈ R, tức là 1 S là hàm nửa liên tục trên.
Như vậy, theo ví dụ trên thì hàm số 1 [0,1] xác định như sau là hàm nửa liên tục trên
Ví dụ 2.1.1 trình bày một hàm nửa liên tục trên một biến phức, đồng thời cũng là hàm nửa liên tục trên hai biến trong R² Dưới đây là một tiêu chuẩn để xác định tính nửa liên tục.
Mệnh đề 1.3.1 Giả sử X là không gian mêtric Khi đó, hàm u là nửa liên tục trên trên X nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ X ta có lim sup y→x u(y) ≤ u(x).
Chứng minh Trước hết, ta làm rõ khái niệm lim sup như sau lim sup y→x u(y) = inf r>0(sup{u(y) : y ∈ B(x, r)} \ {x}).
Và bất đẳng thức trong mệnh đề tương đương với:
• ” ⇒”: Lấy x ∈ X và ϵ > 0 Ta xét hai trường hợp sau:
Trong trường hợp u(x) = −∞, theo giả thiết, với mọi n ≥ 1, tập A n được định nghĩa là {y ∈ X : u(y) < −n} là tập mở trong X và x thuộc A n với mọi n ≥ 1 Do đó, với mỗi n ≥ 1, tồn tại bán kính rn > 0 sao cho B(x, rn) ⊂ A n Điều này dẫn đến kết luận rằng lim sup u(y) = −∞, tức là u(x) = −∞.
- Trường hợp 2; u(x) ∈ R Khi đó, chọn α = u(x) +ϵ, theo giả thiết ta có tập A = {y ∈ X : u(y) < α} là tập mở trong X Và hiển nhiên x ∈ A, do đó tồn tại r > 0 sao cho: B(x, r) ⊂ A, tức là u(y) < u(x) +ϵ,∀y ∈ B(x, r).
Để chứng minh rằng tập A = {y ∈ X : u(y) < α} là tập mở trong không gian X, ta bắt đầu với một điểm x ∈ A, tức là u(x) < α Đặt ϵ = α - u(x) > 0, theo giả thiết, tồn tại một bán kính r > 0 sao cho u(y) < u(x) + ϵ cho mọi y ∈ B(x, r) Điều này có nghĩa là u(y) < α cho mọi y trong B(x, r), từ đó suy ra B(x, r) ⊂ A.
Nhận xét 1.3.2 Hàm u là liên tục tại x nếu và chỉ nếu nó vừa nửa liên tục trên, vừa nửa liên tục dưới tại điểm đó.
Tính nửa liên tục yếu hơn tính liên tục, nhưng các kết quả quan trọng của hàm liên tục như bị chặn và đạt giá trị lớn nhất trên tập compact vẫn áp dụng cho hàm nửa liên tục Cụ thể, Định lý 1.3.3 khẳng định rằng cho u là một hàm nửa liên tục trên không gian tô pô.
X và K là tập con compact của X Khi đó, u bị chặn trên trên K và đạt giá trị cận trên đúng trên K.
Chứng minh Theo giả thiết ta có với mỗin ≥1, tậpAn := {x ∈ X : u(x) < n} là các tập mở và là một dãy tăng theo n Và ta có
DoK là tập compact nên tồn tại n 0 ≥1 sao cho K ⊂ A n 0 hay nói cách khác u(x) < n 0 ,∀x ∈ K Tức là hàm u bị chặn trên trên K. Đặt M = sup K u Giả sử u(x) < M,∀x ∈ K Với mỗi n≥ 1 ta đặt
Khi đó, A n , n = 1,2, là các tập mở trong X và là một dãy tăng theo n.
Và K ⊂ ∪ ∞ n=1 An Thật vậy: lấy x ∈ K, ta có u(x) < M nên suy ra tồn tại n 0 ≥ 1sao cho: u(x) < M− n 1
0, tức là x ∈ A n 0 Do Alà tập compact nên tồn tại n ∗ ≥ 1 sao cho K ⊂ An ∗ hay nói cách khác là u(y) < M − n 1 ∗ ,∀y ∈ K, tức là sup
K u ≤ M − 1 n ∗ Điều này mâu thuẫn vớiM = P K u Vậy hàmu phải đạt cận trên đúng trên
Kết quả nghiên cứu cho thấy có thể xấp xỉ một hàm nửa liên tục bằng một dãy giảm các hàm liên tục Cụ thể, định lý 1.3.4 chỉ ra rằng, với hàm nửa liên tục u trên không gian mêtric (X, d) và giả sử hàm u bị chặn trên X, tồn tại các hàm liên tục ϕ n: X −→ R thỏa mãn ϕ 1 ≥ ϕ 2 ≥ ϕ 3 ≥ ≥ u trên X, đồng thời lim n→∞ ϕ n = u.
Chứng minh Ta xét hai trường hợp của hàm u như sau:
• Trường hợp 1: u ≡ −∞ Khi đó, chọn ϕ n ≡ −n,∀n = 1,2,3, sẽ thỏa mãn các yêu cầu của định lý
• Trường hợp 2: u ̸≡ −∞ Khi đó, với mỗi n ≥ 1 ta xét hàm ϕn : X −→ R xác định bởi ϕ n (x) = sup y∈X
Với x, x ′ ∈ X và ϵ > 0 tồn tại y ϵ , y ϵ ′ ∈ X sao cho u(y ϵ )−nd(x, y ϵ ) > ϕ n (x)−ϵ (∗) u(y ϵ ′ )−nd(x ′ , y ϵ ′ ) > ϕ n (x ′ )−ϵ (∗∗) Khi đó ta có ϕ n (x)−ϕ n (x ′ ) ≤ ϵ+u(y ϵ )−nd(x, y ϵ )−ϕ n (x ′ ) (theo (∗))
Tương tự ta cũng có ϕ n (x ′ )−ϕ n (x) ≤ ϵ+u(y ϵ ′ )−nd(x ′ , y ϵ ′ )−ϕ n (x) (theo (∗∗))
|ϕ n (x)−ϕ n (x ′ )| ≤ nd(x, x ′ ), từ đây suy ra hàm ϕ n liên tục trên X.
Từ định nghĩa của hàm ϕ n ta có thể dễ dàng suy ra ϕ 1 ≥ϕ 2 ≥ ≥ u trên X.
Và vì vậy ta có lim n→∞ ϕ n ≥ u.
Mặt khác, với x ∈ X và ρ > 0, ta đặt ∆(x, ρ) = {y ∈ X : d(x, y) < ρ} Ta có ϕn(x) = max sup y∈∆(x,ρ)
Cho n→ ∞ ta có n→∞lim ϕn(x) ≤ sup
Cho ρ →0, do u là hàm nửa liên tục trên nên ta có n→∞lim ϕ n (x) ≤ sup
Vậy ta có lim n→∞ ϕ n = u trên X.
HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI MỘT BIẾN PHỨC
Chương hai của luận văn tập trung vào hai vấn đề chính: hàm điều hoà dưới trên mặt phẳng phức và xấp xỉ trơn hàm điều hoà dưới Mục 2.1 trình bày khái niệm hàm điều hoà dưới, với Định nghĩa 2.1.1 chỉ ra rằng hàm này yêu cầu nửa liên tục, và theo Định lý 2.1.4, hàm điều hoà dưới thuộc lớp hàm khả tích địa phương Định lý 2.1.2 mô tả mối quan hệ giữa hàm điều hoà dưới và hàm chỉnh hình Mục 2.2 giới thiệu khái niệm tích chập (Định nghĩa 2.2.1) như một công cụ để xấp xỉ trơn hàm điều hoà dưới, với Định lý 2.2.1 và Hệ quả 2.2.2 là kết quả quan trọng về xấp xỉ hàm điều hoà dưới bằng dãy giảm các hàm điều hoà dưới trơn Các ứng dụng của kết quả này được thể hiện qua Định lý 2.2.3 về hợp thành giữa hàm chỉnh hình và hàm điều hoà dưới, cùng với Định lý 2.2.5 về nguyên lý đồng nhất yếu của hàm điều hoà dưới Nội dung chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [4], [6].
Hàm điều hòa dưới trên mặt phẳng phức
Khái niệm hàm điều hòa dưới
Định nghĩa 2.1.1 • Cho U là một tập con mở trong C Hàm u : U −→ [−∞,∞) được gọi là điều hòa dưới nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
(i) u là hàm nửa liên tục trên trên U;
(ii) u thỏa mãn bất đẳng thức trung bình dưới địa phương, tức là với mọi ω ∈ U tồn tại ρ sao cho u(ω) ≤ 1
• Hàm v : U −→ (−∞,∞] được gọi là điều hòa trên nếu hàm −v là hàm điều hòa dưới.
Theo định nghĩa 2.1.1, hàm u ≡ 0 trên U được xem là hàm điều hòa dưới Bất đẳng thức trung bình dưới (công thức 2.1) có tính địa phương, nghĩa là số ρ phụ thuộc vào mỗi ω Do đó, tính điều hòa dưới cũng là một tính chất địa phương; cụ thể, nếu (U α ) α∈I là một phủ mở của U, thì hàm u là điều hòa dưới trên U khi và chỉ khi nó là điều hòa dưới trên mỗi Uα.
Một số tính chất đơn giản của hàm điều hòa dưới
Dưới đây là một phương pháp xây dựng hàm điều hòa dưới từ các hàm chỉnh hình, dựa trên Định lý 2.1.2 Định lý này khẳng định rằng nếu f là một hàm chỉnh trên một tập mở U trong C, thì hàm log|f| sẽ là hàm điều hòa dưới trên U.
Chứng minh Đặtu := log|f| Ta có hàm logf là chỉnh hình hoặc bằng −∞ tương ứng tại các điểm z ∈ U mà f(z) ̸= 0 hoặc f(z) = 0 Do đó, hàm u là nửa liên tục trên trên U.
Ta sẽ chứng minh u thỏa mãn bất đẳng 2.1 địa phương Lấy ω ∈ U Ta xét
• Nếu u(ω) =−∞ thì bất đẳng thức 2.1 hiển nhiên thỏa mãn.
Nếu u(ω) > −∞, tồn tại ρ > 0 sao cho u(z) > −∞ trên B(ω, ρ) Khi đó, u là phần thực của hàm chỉnh hình logf trên B(ω, ρ), dẫn đến việc u là hàm điều hòa trên B(ω, ρ) theo Định lý 1 trong tài liệu tham khảo Do đó, u thỏa mãn điều kiện 2.1 trên B(ω, ρ).
Ví dụ 2.1.1 Xét hàm chỉnh hình f(z) = z trên C Khi đó, theo Định lý 2.1.2, hàm sau đây là hàm điều hòa dưới trên C: u(z) = log|z| = 1
Hàm u được định nghĩa là hàm nửa liên tục trên C với biểu thức 2log(x² + y²), trong đó z = x + yi Định lý 2.1.3 chứng minh rằng tập hợp các hàm điều hòa dưới trên một tập mở U tạo thành một nón lồi, không phải là không gian vectơ Cụ thể, nếu u và v là các hàm điều hòa dưới trên U, thì max(u, v) cũng là hàm điều hòa dưới trên U, và αu + βv là hàm điều hòa dưới trên U với mọi α, β ≥ 0.
Chứng minh a.• Ta kiểm tra rằngmax(u, v) là hàm nửa liên tục trên: Thật vậy, lấy α ∈ R, ta có
Vậy {z ∈ U : max(u, v)(z) < α} là một tập mở.
• Ta chứng minh max(u, v) thỏa mãn 2.1 Thật vậy, lấy ω ∈ U Khi đó tồn tại ρ > 0 sao cho với mọi 0 ≤r < ρ ta có u(ω) ≤ 1
Z 2π 0 max(u, v)(ω +re it )dt, và v(ω) ≤ 1
Từ đó suy ra max(u, v)(ω) ≤ 1
Z 2π 0 max(u, v)(ω+re it )dt. b Hiển nhiên!
Hàm điều hòa dưới u trên miền D trong C được xác định là một hàm khả tích địa phương, theo Định lý 2.1.4 Điều này có nghĩa là nếu u không đồng nhất bằng -∞ trên D, thì u khả tích địa phương trên miền này.
K|u|dA < ∞ với mọi tập compact K ⊂ D Ở đây, ký hiệu dA là độ đo Lebesgue hai chiều.
Để chứng minh hàm u khả tích trên tập compact K trong không gian D, ta cần chỉ ra rằng với mỗi điểm ω thuộc D, tồn tại một bán kính ρ > 0 sao cho K được bao phủ bởi một số hữu hạn đĩa mở.
Gọi A và B là các tập con của D như sau:
A = {ω ∈ D : công thức (2.2) thỏa mãn tại ω}.
B = {ω ∈ D : công thức (2.2) không thỏa mãn tại ω}.
• Ta sẽ chứng minh A là một tập mở trong D: Lấy ω ∈ A Chọn ρ > 0 sao cho (2.2) thỏa mãn Lấy ω ′ ∈ ∆(ω, ρ) Đặt ρ ′ = ρ− |ω ′ −ω| Khi đó,
Vì vậy ∆(ω, ρ) ⊂A, tức là A là môt tập mở trong D.
• Ta sẽ chứng minh B cũng là tập mở trong D: Lấy ω ∈ B Chọn ρ > 0 sao cho ∆(ω,2ρ) ⊂ D Theo định nghĩa của B nên suy ra
Lấy ω ′ ∈ ∆(ω, ρ) Đặt ρ ′ = ρ + |ω ′ −ω| Khi đó, ta có thể kiểm tra rằng:
∆(ω, ρ) ⊂∆(ω ′ , ρ ′ ) ⊂ ∆(ω,2ρ) và từ đây suy ra
Do u bị chặn trên trên ∆(ω ′ , ρ ′ ) nên ta suy ra
Vậy ∆(ω, ρ) ⊂ B, tức là B là một tập mở trong D Hơn nữa, áp dụng bất đẳng thức trung bình dưới trên ∆(ω ′ , ρ ′ ) ta có u(ω ′ ) ≤ 1
Nhân với 2πr vào 2 vế của bất đẳng thức trên, rồi lấy tích phân theo r từ r = 0 đến r = ρ ′ ta có
Suy ra u = −∞ trên ∆(ω, ρ) Và từ đây suy ra u = −∞ trên B.
Do A và B là một phân hoạch mở của D và D là một tập liên thông nên hoặc A = D hoặc B = D Do u ̸≡ −∞ trên D nên A= D.
Xấp xỉ trơn của hàm điều hòa dưới một biến phức
Hàm điều hòa dưới không nhất thiết phải là hàm trơn, nhưng có thể được xấp xỉ bằng các hàm trơn thông qua phép hợp thành Định nghĩa 2.2.1: Cho U là một tập mở trong C và r > 0, ta tiến hành định nghĩa.
Cho hàm u : U −→ [−∞,∞) là một hàm khả tích địa phương và ϕ :
C −→ R là hàm liên tục với giá suppϕ ⊂ ∆(0, r) Khi đó, tích chập của u và ϕ là hàm u∗ϕ :U r −→R xác định như sau u∗ϕ(z) :Z
Bằng cách đổi biến (chẳng hạn, đặt ω = z−w), ta có dạng sau của phép hợp thành u∗ϕ(z) Z
Kết hợp công thức với tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số, ta có thể suy ra rằng nếu ϕ ∈ C ∞ thì u∗ϕ cũng thuộc C ∞ Định lý 2.2.1, hay còn gọi là định lý xấp xỉ trơn, nêu rằng cho hàm điều hòa u trên miền D trong C với u không đồng nhất bằng -∞, tồn tại hàm χ : C −→ R thỏa mãn các điều kiện χ ∈ C ∞, χ ≥ 0, χ(z) = χ(|z|) và hỗ trợ của χ nằm trong ∆(0,1).
Khi đó, hàm u∗χ r là hàm điều hòa dưới thuộc lớp C ∞ trên D r với mỗi r > 0 và (u∗χ r ) ↓u trên D khi r ↓ 0.
Chú ý: • Ta có thể đưa ra một ví dụ về hàm χ thỏa mãn các điều kiện của định lý trên như sau χ(z)
0, nếu |z| ≥ 1 2 , với C là hằng số được chọn sao cho R χdA = 1.
• Hàm χ r xác định như trong định lý thỏa mãn R
• Giá của hàm χ r thỏa mãn suppχ r ⊂ ∆(0, r).
Chứng minh • Do u là khả tích địa phương (theo Định lý 2.1.4) nên theo định nghĩa phép hợp thành thì u∗χr là hàm thuộc lớp C ∞ trên Dr.
• Hàm u∗χ r là điều hòa dưới được suy ra bằng cách áp dụng Định lý 2.4.8 trong ([6]) cho khụng gian đo (Ω, à) = (C, χ r dA) và v(z, w) =u(z −w).
• Lấy ξ ∈ D Với 0< r < dist(ξ, ∂D) ta có u∗χr(ξ) Z
∆(0,r) u(ξ −w)r −2 χ(w r )dA(w) (đặt w = se it ta suy ra)
Theo Định lý 2.6.8 trong tài liệu [6], hàm C v (rσ) giảm về v(0) khi r tiến tới 0 Do đó, khi lấy giới hạn khi r giảm về 0 và áp dụng Định lý hội tụ đơn điệu, ta có kết quả lim r→0 u∗χ r (ξ) = 2π.
Hệ quả 2.2.2 Cho u là một hàm điều hòa dưới trên một tập mở U trong
C và D là miền con compact tương đối trong U Khi đó, tồn tại dãy hàm điều hòa dưới (u n ) n≥1 ⊂ C ∞ (D) thỏa mãn u 1 ≥ u 2 ≥ ≥ u trên D và lim n→∞ u n = u.
Chứng minh • Nếu u ≡ −∞ trên D thì ta lấy u n ≡ −n, n = 1,2,3, sẽ thỏa mãn hệ quả.
• Nếu u ̸≡ −∞ trên D: khi đó tồn tại r > 0 sao cho D ⊂ U r Ta đặt u := u∗χ r Theo Định lý 2.2.1 thì (u ) là dãy hàm thỏa mãn hệ quả.
Kết quả sau đây là hệ quả của Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.3 khẳng định rằng, nếu f : U1 −→ U2 là ánh xạ chỉnh hình giữa các tập mở U1 và U2 trong C, thì khi u là hàm điều hòa dưới trên U2, hàm u◦f cũng sẽ là hàm điều hòa dưới trên U1.
Để chứng minh hàm u ◦ f là điều hòa dưới trên miền U1, chỉ cần chứng minh nó điều hòa dưới trên miền con compact D1 Đặt D2 = f(D1), ta có D2 là miền compact tương đối trong U2 Theo Hệ quả 2.2.2, tồn tại dãy hàm điều hòa dưới (un) n≥1 thuộc C∞(D2) sao cho un hội tụ xuống u trên D2 Theo Định lý 2.4.4, ta có ∆un ≥ 0 trên D2 với mọi n, và từ công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có thể tiếp tục phân tích.
Từ kết luận ∆(u n ◦f) ≥ 0 trên miền D 1, ta áp dụng Định lý 2.4.4 trong tài liệu [6] để suy ra rằng hàm u n ◦f là hàm điều hòa dưới trên D 1 Khi n tiến tới vô cực và dựa vào Hệ quả 2.2.2, ta có thể kết luận rằng hàm u◦f cũng là hàm điều hòa dưới trên miền D 1.
Chúng ta sẽ áp dụng Định lý 2.2.1 để chứng minh nguyên lý đồng nhất cho lớp hàm điều hòa Mặc dù phiên bản này yếu hơn so với nguyên lý đồng nhất của hàm chỉnh hình và hàm điều hòa, nhưng nó vẫn có nhiều ứng dụng hữu ích sau này Để thuận tiện cho việc so sánh, chúng ta sẽ phát biểu lại nguyên lý đồng nhất của hàm chỉnh hình một biến Định lý 2.2.4 nêu rõ rằng nếu f và g là hai hàm chỉnh hình trên miền D ⊂ C, với D là một tập mở và liên thông, thì
C) Nếu tồn tại dãy điểm (zn) khác nhau đôi một và hội tụ trong D sao cho f(z n ) =g(z n ) (∀n ≥ 1) thì f ≡ g trên D.
Định lý 2.2.5, hay còn gọi là Nguyên lý đồng nhất yếu, khẳng định rằng nếu u và v là các hàm điều hòa trên một tập mở U trong C và chúng bằng nhau trên một tập hợp hạng nhất (h.k.n) trong U, thì u và v sẽ bằng nhau trên toàn bộ U.
Giả sử các hàm u và v bị chặn dưới trên miền U Lấy hàm χ theo giả thiết của Định lý 2.2.1 Với Dou = v (h.k.n), ta có u∗χr = v∗χr trên U r Khi r tiến tới 0, ta suy ra u = v trên U.
• Trường hợp tổng quát, ta đặt u n = max(u,−n) và v n = max(v,−n), suy ra u n = v n (h.k.n) Áp dụng trường hợp trên ta suy ra u n = v n trên U Cho n→ ∞ ta suy ra u = v trên U.
Trong phần 2.2.6, chúng ta nhận thấy rằng đối với hàm điều hòa dưới, không thể áp dụng phiên bản mạnh của nguyên lý đồng nhất như đối với hàm chỉnh hình Cụ thể, với hai hàm u(z) = max(Rez, 0) và v(z) = 0, ta có u = v trên tập mở nơi Rez < 0, nhưng u không đồng nhất với v trên toàn bộ tập C.
Luận văn tốt nghiệp với đề tài "Vấn đề xấp xỉ trơn của hàm điều hoà dưới một biến phức" đã đạt được một số kết quả sau đây:
Bài viết này hệ thống hóa ngắn gọn các kiến thức cơ bản về không gian hàm, đồng thời nhắc lại khái niệm về hàm chỉnh hình và hàm nửa liên tục Những nội dung này đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ các tính chất và ứng dụng của các loại hàm trong toán học.
Nội dung chính của bài viết tập trung vào hai vấn đề: hàm điều hòa dưới trên mặt phẳng phức và xấp xỉ trơn hàm điều hòa dưới Mục 2.1 trình bày về hàm điều hòa dưới, với Định nghĩa 2.1.1 chỉ ra rằng hàm điều hòa dưới yêu cầu nửa liên tục và Định lý 2.1.4 khẳng định rằng hàm này thuộc lớp hàm khả tích địa phương Định lý 2.1.2 cũng cung cấp mối quan hệ giữa hàm điều hòa dưới và hàm chỉnh hình Tiếp theo, Mục 2.2 giới thiệu khái niệm tích chập (Định nghĩa 2.2.1) như một công cụ cho việc xấp xỉ trơn hàm điều hòa dưới, với Định lý 2.2.1 là kết quả quan trọng nhất của đề tài.
Hệ quả 2.2.2 liên quan đến xấp xỉ hàm điều hòa dưới bởi một dãy giảm các hàm điều hòa dưới trơn, cùng với các ứng dụng của kết quả này được trình bày qua Định lý 2.2.3 về sự hợp thành giữa hàm chỉnh hình và hàm điều hòa dưới, cũng như Định lý 2.2.5 về nguyên lý đồng nhất yếu của hàm điều hòa dưới Đề tài nghiên cứu về lớp hàm điều hòa dưới là một lĩnh vực khá mới mẻ trong chương trình đào tạo Sư phạm toán, mặc dù đã có nhiều cố gắng trong nghiên cứu, nhưng vẫn còn tồn tại nhiều khiếm khuyết Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ Hội đồng đánh giá để luận văn có thể được hoàn thiện hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn Hội đồng!