Luận án tiến sĩ Toán học: Tính đại số và tính hữu hạn chiều trong vành chia

Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu tác động của tính đại số trên tâm và tính đại số một phía trên một vành chia con của một nhóm con nào đó lên cấu trúc toàn bộ vành chia, qua đó đánh giá số c

DẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG DẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH

UNIVERSITY OF SCIENCE

VU MAI TRANG

ALGEBRAICITY AND FINITE

-DIMENSIONALITY IN DIVISION RINGS

Doctoral Thesis

Ho Chi Minh City - 2023

DẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG DẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

hắn biện 1: PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

hản biện 2: PGS TS LÊ ANH VŨ

han biện 3: PGS TS PHAN THANH TOAN

han biện độc lập 1: PGS TS PHAN HOANG CHON

v UD Ddhan bién doc lap 2: PGS TS LE CONG TRINH

Người hướng dẫn khoa hoc: PGS TS MAI HOANG BIEN

TP H6 Chi Minh - 2023

Lời cam đoan

Toi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Đại số và Lý thuyết số, với đề tài Tính đại

số va tính hữu hạn chiều trong vanh chia, là công trình khoa học do tôi thực hiện

dưới sự hướng dẫn của PGS TS Mai Hoàng Biên.

Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và không trùng lắp với các công trình đã công bố trong và ngoài nước.

Nghiên cứu sinh

Vũ Mai Trang

Lời cảm ơn

Trước hết, xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy hướng dẫn của tôi, PGS TS Mai Hoàng Biên - người đã tận tâm dẫn dắt, giúp đỡ tôi từ những ngày đầu nhiều gian nan quay trở lại con đường nghiên cứu Toán học Tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn to lớn đến GS TS Bùi Xuân Hải, người thầy

dù không đứng tên hướng dẫn trên văn bản nhưng vẫn luôn thầm lặng hỗ trợ và chỉ dẫn bất cứ khi nào tôi cần, trao cho tôi lời khuyên và sự khích lệ quý báu khi tỉnh thần tôi nao núng, lung lạc.

Xin cảm ơn những người bạn, những cộng sự trong nhóm Seminar Đại số trường Dai học Khoa học tự nhiên, đặc biệt là hai người ban thân thiết Lê Qui Danh và Huỳnh Việt Khánh Những niềm vui chung có, những khó khăn cùng trải với nhau

đã giúp mỗi chúng ta thêm gắn bó và trưởng thành.

Cảm ơn chồng và các con tôi, dù chịu nhiều thiệt thòi khi tôi dành quá nhiều thời gian cho nghiên cứu, vẫn trao cho tôi tình yêu lớn lao và khiến cuộc sống tôi trở nên đẹp dé và ý nghĩa Cảm ơn mẹ và em gái đã luôn ở bên tôi, chia sẻ những vui buồn, bù đắp những thiếu sót khi tôi chưa chăm lo cho gia đình được trọn vẹn.

Và cuối cùng, lời cảm ơn đặc biệt nhất xin gửi đến ba tôi - người luôn luôn đồng hành với tôi trong mọi trăn trở, vui buồn của cuộc sống Bao nhiêu ngôn từ cũng

không đủ để nói về tình yêu thương và sự hy sinh ba đã dành cho con, chỉ có thể nói rằng những ước mơ trong đời của con sẽ không thể trở nên trọn vẹn nếu không

có ba ở bên, là chỗ dựa vững chắc để con bước lên phía trước.

b2

Chương 1 Tổng quan 11

và một sô van đề liên quan!

3_ Giao hoán tử đại số trong

[rường con tối đại sinh bởi các giao hoán tử| 30 Giao hoán tử đai số bậc bị chăn trên tâm|

Chương 5_ Vành chia đại số địa phương bậc bị chặn| 57

Chương 6 Kết luận| 61

Tai liệu tham khảo|

Danh mục công trình của tác giả

Chỉ mục

64

68

69

TRANG THONG TIN LUẬN AN

Tên đề tai luận án: Tính đại số và tính hữu han chiều trong vành chia

Ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số ngành: 9460104

Họ tên nghiên cứu sinh: Vũ Mai Trang

Khóa đào tạo: 2019

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Mai Hoàng Biên

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM

1 TÓM TAT NỘI DUNG LUẬN ÁN

Luận án nghiên cứu tính đại số và tính hữu hạn chiều trong vành chia Cụ thể, chúng

tôi nghiên cứu tác động của tính đại số trên tâm và tính đại số một phía trên một

vành chia con của một nhóm con nào đó lên cấu trúc toàn bộ vành chia, qua đó đánh

giá số chiều trên tâm của vành chia trong một số trường hợp cụ thể.

2 NHUNG KET QUA MỚI CUA LUẬN AN

Chúng tôi liệt kê ra đây một số kết qua tiêu biểu:

a Kết quả liên quan đến tinh đại số của các giao hoán tử:

Cho D là một vanh chia với tâm là F va N là một nhóm con á chuẩn tắc không

nam trong tam của D* Nếu tất cả các giao hoán tử nhân aba~!b~!, trong đó a€Nuàbc D*, đều đại số bậc bị chặn bởi d trên F thi [D : F] < dỀ Tương

tự, nếu tất cả các giao hoán tử cộng ac — ca, trong đó a€ N vac € D, đều đại

số bậc bi chặn bởi d trên F thà [D : F] < d?.

b Kết quả liên quan đến tính đại số của nhóm con chuẩn tắc và á chuẩn tắc:

(1) Cho D là một vanh chia tới tam là F va N là một nhóm con á chuẩn tắc không

nam trong tâm của D* Nếu N đại số bậc bị chặn bởi d trên F thà [D : F] < ad’.

(2) Cho D là một vanh chia uới tâm F không đếm được va K là mot vanh chia con

của D chúa F Giả sử N là một nhớm con chuẩn tắc không nằm trong tâm của

D* Khi đó, N đại số trái (t.u, phải) trên K nếu va chỉ nếu D đại số trái (t.u,

phải) trên K.

(3) Cho D là một vanh chia uới tam là F va K là một trường con của D Giả sử

N là một nhóm con chuẩn tắc không nằm trong tâm của D* Nếu N dai số trái

(hoặc phải) bậc bị chặn bởi d trên K th [D: F] < ®.

5

c Kết quả liên quan đến lớp vành chia đại số địa phương:

Nếu D là một vanh chia dai số địa phương bậc b‡ chặn bởi d thi D là uành chia hữu han tâm uới số chiều không uượt quá d?.

3 CAC UNG DỤNG/ KHẢ NANG UNG DUNG TRONG THUC

TIEN HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIEP TUC

THESIS INFORMATION

Thesis title:: Algebraicity and finite-dimensionality in division rings

Speciality: Algebra and Number theory

Code: 9460104

Name of PhD Student: Vu Mai Trang

Academic year: 2019

Supervisor: Assoc Prof Dr Mai Hoang Bien

At: VNUHCM - University of Science

1 SUMMARY

This thesis is written with the intention of providing a study of algebraicity and finite-dimensionality in division rings Our attention focuses on the influence of the algebraicity over the center and the one-sided algebraicity over a division subring of

certain subgroups on the structure of whole the division ring, thereby evaluating the

dimension of the division ring over its center in some specific cases.

2 NOVELTY OF THESIS

Some main results of the thesis:

a The results relating to algebraicity of commutators:

Let D be a division ring with center F Assume that N is a noncentral subnormal

subgroup of D* If all multiplicative commutators aba~'b-!, where a € N and

b € D*, are algebraic over F of bounded degree d, then [D : F] < d? Also, if

all additive commutators ac — ca, wherea € N and c € D, algebraic over F' of

bounded degree d, then [D: F] < @.

b The results relating to the algebraicity of normal and subnormal subgroups:

(1) Let D be a division ring with center F Assume that N is a noncentral subnormal

subgroup of D* If N is algebraic of bounded degree d over F, then[D: F] <

(2) Let D be a division ring with uncountable center F, K a division subring of D

containing F', and N a normal subgroup of D* If N is noncentral then N is left

(or right) algebraic over K if and only if so is D.

(3) Let D be a division ring with center F, and K a subfield of D Asume that N is

a noncentral normal subgroup of D* If N is left (or right) algebraic of bounded

degree d over K, then [D: F] < d?.

c The result relating to the class of locally algebraic division rings:

Let D be a division ring If D is locally algebraic of bounded degree d, then D is

centrally finite with its dimension not greater than d?.

3 APPLICATIONS/ APPLICABILITY/ PERSPECTIVE

- If a division ring is left algebraic over a subfield, must it also be right algebraic over that subfield?

- Under what circumstances does an algebraic division ring be weakly locally finite?

Bảng ký hiệu

Xuyên suốt luận án, bên cạnh các ký hiệu quen thuộc Ñ, Z, Q, R, C lần lượt

để chỉ tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên, tập hợp các số hữu tỉ, tập hợp các số thực và tập hợp các số phức; ta luôn sử dụng các ký hiệu R để chỉ một vành có đơn vị, F để chỉ một trường, D để chỉ một vành chia và S để chỉ một tập

hợp con của D Ngoài ra, ta cũng có bảng quy ước như sau:

e H - vành chia các quaternion thực

e Z(R) - tâm của vành R

e D* = D\ {0} - nhóm nhân của vành chia D

e charD - đặc trưng của D

e D?' - nhóm con giao hoán tử của D*

e 2” - nhóm con giao hoán tử bậc n của D*

e [D: F| - số chiều của D trên F

e [R: K], - số chiều trái của R trên K

e [R: K], - số chiều phải của R trên K

e [5S] - vành con của D sinh bởi S

e (5) - vành chia con của D sinh bởi $

e Ƒ{S] - vành con của D sinh bởi FUS

e F(S) - vành chia con của D sinh bởi FUS

e M,(D) - vành các ma trận vuông bậc ø trên D

e GL„(D) - nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên D

e End(Rx) - vành các tự đồng cấu của không gian vector phải # trên K

e End(x R) - vành các tự đồng cấu của không gian vector trái R trên K

e A~B- ma trận A đồng dạng với ma trận B

e Cy - ma trận bằng hữu Frobenius của đa thức ƒ

e /(u) - chiều dài của từ w

10

Chương 1

Tổng quan

Mục đích của chương này là trình bày tổng quan về hướng nghiên cứu của luận

án, con đường dẫn tới những suy nghĩ và cảm hứng cho việc nghiên cứu Một sốkhái niệm được đề cập ở đây sẽ được định nghĩa và trình bày một cách hệ thống

và chỉ tiết trong các chương sau đó, khi chúng tôi đi vào từng vấn đề cụ thể.

Giả sử R là một vành có đơn vị và là một vành chia con của R Khi đó, ta có

thể xem # như các không gian vector trái và phải trên AK’, được ký hiệu tương ứng

là xR và Re Ta cũng ký hiệu [R: K]; và [R: K], theo thứ tự là số chiều trái và

phải của các không gian vector này Nếu nằm trong tâm của R thì hiển nhiên

[R: K], =[R: K], và khi đó ta viết đơn giản [R : K] để chỉ số chiều của không gian

vector R trên K Câu hỏi đặt ra là số chiều trái và phải liên hệ với nhau như thé

nào trong trường hợp K không nằm trong tâm của R? Có nhiều ví dụ chỉ ra rằng

[R: K], và [R: K], không nhất thiết bằng nhau Chẳng hạn, trong |29| Trang 158],

nhân trong # như sau

(a(t) + Ø0)u)(x0) + š(Đ) = a()30) + (a0)ð0) + +()80))4.

Kiểm tra trực tiếp, ta có R là một vành chứa K trong đó [R: K], = 2 và [R: K], = 3,

hay vành R là không gian vector có các số chiều trái và phải khác nhau trên trường

con K.

Bay giờ, ta xét R = D là một vành chia E Artin từng đặt câu hỏi rằng đốivới cặp vành chia D D K bất kỳ, phải chăng [D : kK]; = [D: K],? (Xem Trang

235].) Câu trả lời là khang định trong trường hợp D là một vành chia hữu hạn

tâm, nghĩa là [D : F] < oo với F là tâm của D (theo Theorem 3.1.3]) Trong

trường hợp D là một vành chia vô hạn tâm, nghĩa là [D : F] = co, vào năm 1961, P.

M Cohn đã xây dựng một cặp vành chia kK C D thỏa [D : K]; = 2 và [D : Kk]; > 2

(xem [HÌ) Sau đó, vào năm 1985, trong [39], A H Schofield chi ra rang với m và

n là hai số nguyên dương lớn hon 1 khác nhau bất ky, có thể xây dựng được cặp

vành chia C D sao cho [D : K]; =m và [D : K], =n.

Tiếp theo, ta quan tâm đến mối liên hệ giữa tính đại số và tính hữu hạn chiềutrong vành chia Nhắc lai rằng nếu K C D là các trường và D là mở rộng hữuhan sinh va đại số trên K thì [D : K] < oo Tuy nhiên, mối liên hệ này sẽ như thếnào trong trường hợp D không giao hoán? Liên quan đến van đề này, năm 1941,Kurosh đặt vấn đề về vành chia đại số trên tâm như sau:

Giả thuyết Kurosh Moi vanh chia hữu hạn sinh, đại số trên tâm đều hữu

han chiều trên tâm.

Giả thuyết nổi tiếng trên vẫn là bài toán mở trong trường hợp tổng quát dù có vài trường hợp đặc biệt đã được giải quyết Cụ thể, năm 1945, Jacobson chứng minh

được rằng:

Định lý 1.2 Nếu vanh chia D đại số bậc bi chặn trên tâm F thà [D : F] < o

Năm 2004, Chebotar, Fong và Lee đã mở rộng Dịnh lý khi đánh giá được số

chiều thông qua bậc bị chặn:

12

Định lý 1.3 Nếu uành chia D đại số bậc bi chặn bởi d trên tâm F thì

[D:F]< #®

Trong luận án, chúng tôi mở rộng kết quả này bằng cách thay thế giả thiết vành

chia D bằng giả thiết yếu hơn là tồn tại nhóm con 4 chuẩn tắc không nằm trong

tâm của D* đại số bậc bị chặn bởi d trên F (xem Dinh lý [4.3.3).

Một hướng tiếp cận khác tới Giả thuyết Kurosh có thể kể đến là cách tiếp cận

của Mahdevi-Hezavehi Ông đưa ra bài toán:

Giả thuyết Mahdevi-Hezavehi Mọi vanh chia không giao hoán đại số trên

tâm đều chúa uành chia con không giao hoán hữu han tâm

Giả thuyết do Mahdevi-Hezavehi đặt ra có thể xem là dạng yếu của Giả thuyết Kurosh và có nhiều lý do để quan tâm tới bài toán này Trong trường hợp giả thuyết này đúng, ta có thể chứng minh được rất nhiều bài toán cho lớp vành chia

đại số trên tâm như giả thuyết của Tits về sự tồn tại của nhóm con tự do, giảthuyết của Herstein về các giao hoán tử căn trên tâm

Một hướng tiếp cận khác nữa tới Giả thuyết Kurosh là xét đến tính đại số một

phía trên vành chia con hoặc trường con Năm 2013, Bell và các cộng sự đã nghiên

cứu về vành chia mà mọi phần tử của nó đại số trái trên một trường con bất kỳ

và cho ra kết quả mở rộng của Định Iý[L2}

Định lý 1.4 ñ Nếu vanh chia D tâm F đại số trái bậc bị chặn bởi d trên một

trường cơn K thà [D: F] < d?

Các kỹ thuật trong chứng minh Định Iý[L.4|là rất khác biệt so với những kỹ thuật

trước đó vì khái niệm đại số trái và đại số phải trên một trường con bất kỳ khôngnhất thiết trùng nhau Cũng trong bài báo này, các tác giả đã đặt ra bài toán sau:

Giả thuyết Bell Vanh chia D đại số trái trên trường con K khi va chỉ khi D đại

số phải trên K

Ở khía cạnh khác, việc nghiên cứu cấu trúc nhóm nhân D* = D \ {0} của vành

chia D cũng là nguồn cảm hứng của nhiều nhà toán học lớn trong suốt hơn 100

13

năm qua Một trong những hướng nghiên cứu đó là tìm câu trả lời cho câu hỏi:

Với điều kiện nào của D* thì D giao hoán (nghĩa là D là trường)? Da có nhiềucông trình nghiên cứu đi theo hướng này, trong đó các nhà toán học đã cố gắngtrả lời câu hỏi điều gì xảy ra nếu D* là nhóm lũy linh hay giải được Trong quá

trình nghiên cứu ấy, người ta nhận thấy vai trò quan trọng của các giao hoán tử

nhân trong D* Nam 1949, L K Hua (xem [26}) đã chứng minh rằng nếu với số

nguyên r > 2 cho trước, mọi r-giao hoán tử của D* đều nằm trong một vành chia

con thực sự của D thi D là một trường Tiếp sau đó, vào năm 1950, Hua đã chứng

minh được rằng nếu D* là nhóm giải được thì D giao hoán (xem (27|) Trong [37],

Putcha va Yaqub cũng chứng minh nếu mọi giao hoán tử nhân có bình phương

thuộc tâm của D thì D là một trường Trường hợp tổng quát hơn đã được nghiên

cứu bởi Herstein vào năm 1978:

Định lý 1.ã Cho D là một uành chia Nếu moi giao hoán tử nhân của D*

có cấp hữu hạn hoặc nếu D là một uành chia hữu hạn tâm trong đó mọi giao hoán

tử nhân đều căn trên tâm của D thà D là một trường

Bên cạnh giao hoán tử nhân, các tác giả cũng nghiên cứu về vai trò của các giao

hoán tử cộng trong vành chia:

Định lý 1.6 Cho D là một uành chia uới tâm là F Nếu moi giao hoán tử

cong trong D đều căn trên F thà [D: F] < 4

Ngoài ra, cấu trúc của vành chia D còn chịu ảnh hưởng mạnh bởi cấu trúc của

nhóm con chuẩn tắc va á chuẩn tắc của D* Đã có nhiều công trình cho thấy các

nhóm con chuẩn tắc và á chuẩn tắc mang rất nhiều tính chất tương tự như D*.

Một trong những kết quả quan trọng mô tả cấu trúc của nhóm con á chuẩn tắc

trong vành chia có thể kể đến là Dinh lý của Stuth trong khẳng định rằng mọi

nhóm con á chuẩn tắc giải được của D* đều nằm trong tâm của D Trong |28|,

Huzurbazar chỉ ra rằng mọi nhóm con 4 chuẩn tắc luỹ linh địa phương của D* đều

nằm trong tâm Nam 2021, L Q Danh và H V Khanh đã chứng minh mọi nhóm

con á chuẩn tắc giải được địa phương của D* đều nằm trong tâm (xem {15)).

14

Theo cách thức trên, chúng tôi nghiên cứu tác động của tính đại số trái trên

một vành chia con của nhóm con chuẩn tắc lên toàn bộ vành chia Chúng tôi cũng

đánh giá số chiều của vành chia trên tâm của nó trong một số trường hợp đặc biệt

liên quan đến nhóm con á chuẩn tắc và các giao hoán tử Dựa trên các kết quả này, ta có được câu trả lời khẳng định cho Giả thuyết Kurosh trên một số lớp vành chia đặc biệt Một cách chỉ tiết, ta có được một số kết quả tiêu biểu trong luận án

như sau:

(1) Cho D là một uành chia uới tam là F va N là một nhóm con á chuẩn tắc không

nam trong tâm của D* Nếu tat cả các giao hoán tử nhân aba~!b~!, trong đó

aéN vibe D*, đều đại số bậc bi chặn bởi d trên F thà [D : F] < d? Tương

tu, nếu tat cả các giao hoán tử cộng ac — ca, trong đóa N vice D, đều đại

số bậc bị chặn bởi d trên F thi [D : F] < đ2

(2) Cho D là một uành chia uới tâm F không đếm được va K là một vanh chia

cơn của D chứa F Giả sử N là một nhóm con chuẩn tắc không nằm trong

tâm của D* Khi đó, N đại số trái (t.u, phải) trên K nếu va chỉ nếu D đại số

trái (t.u, phải) trên K.

(3) Cho D là một vanh chia uới tâm là F va K là một trường con của D Giả sử

N là một nhóm con chuẩn tắc không nằm trong tâm của D* Nếu N đại số

trái (hoặc phải) bậc bi chặn bởi d trên K thi [D : F] < d?

(4) Cho D là một uành chia uới tâm là F va N là một nhóm con á chuẩn tắc không

nam trong tâm của D* Nếu N đại số bậc bi chặn bởi d trên F thà [D : F] < đ2

(5) Nếu D là một vanh chia đại số dia phương bậc bị chặn bởi d thà D là một vanh

chia hữu hạn tâm uới số chiều không uượt quá d2

Một điều đáng lưu ý là trong các kết quả liên quan đến bậc bị chặn bởi đ ở trên,

ta đều nhận được số chiều bị chặn trên tâm của vành chia không vượt quá d? Ta

đánh giá giá tri bị chặn này qua ví dụ sau:

15

Ví dụ 1.7 Cho K là một trường và o là một tự đẳng cấu của K Xét

ioe)

D= K((,ø)) = { ait" | a; € Kn € Z}

¡—n

là vanh các chuỗi Laurent lệch theo t trên kK Phép cộng trên K((t,ø)) được định

nghĩa như phép cộng đa thức thông thường Phép nhân trên K((t,c)) là sự mở

rộng của quy tắc ta = o(a)t với a € K, nghĩa là

(S2) (Soe) = Woaio' ye.

1,

Khi đó, D = K((.ø)) là một vành chia (xem [33, Example 1.8]) Giả sử ø có cấp

là đ và F là trường con cố định của co Cũng theo Proposition 14.2], tâm của

D = K((t,ø)) là vành các chuỗi Laurent theo £# trên F, nghĩa là

Nhu vậy, ta đã chỉ ra rằng tồn tại vành chia có các phan tử dai số bac bi chặn

bởi d trên tâm trong khi số chiều trên tâm của nó là d? Do đó, có thể xem giá trị

bị chặn d? trong các kết quả ta nhận được ở trên là giá trị tốt nhất

Luận án được trình bày thành sáu chương Trong chương 1, chúng tôi trình bay

tổng quan về hướng nghiên cứu của luận án Ỏ chương 2, ta sẽ nêu chỉ tiết một

số kiến thức cần cho các chứng minh ở chương sau Nội dung chương 3 là bàn vềtính đại số của các giao hoán tử Chương 4 nghiên cứu về tác động của tính đại số

trái của nhóm con chuẩn tắc và á chuẩn tắc lên cấu trúc vành chia Trong chương

5, chúng tôi đưa ra khái niệm vành chia đại số địa phương và những kết quả liên

quan đến Giả thuyết Kurosh Và cuối cùng, ở chương Kết luận, chúng tôi tổng kết

lại các kết quả nhận được từ luận án và những đề xuất cho hướng nghiên cứu tiếp

theo Đây cũng là kết quả từ quá trình nghiên cứu của chúng tôi, được tổng hợp

từ các bài báo {101/211/42).

16

Chương 2

Vanh chia và một so van dé

hén quan

Để di sâu vào các vấn đề liên quan đến tinh đại số và tinh hữu hạn chiều trong

vành chia, ta cần xem xét lại một số kiến thức cơ bản và quan trọng Những khái

niệm và tính chất được phát biểu, trích dẫn hoặc chứng minh ở đây là nền tang

cho các chứng minh ở các chương sau.

2.1 Tính đại số một phía

Cho K là một vành chia và {¿] là vành đa thức biến ¿ với hệ số trong K, biến

t và các phần tử của K giao hoán nhau Nhu vậy, một đa thức f(t) € K[t] có thể

viết theo hai cách

n n

f(t)= À “ai = So tay.

i=l

i=1

Tuy nhiên, nếu lay a € R trong đó R là một vành chứa K thì các ham thay thé có

thể cho những giá trị khác nhau, nghĩa là ta có thể có

n n

» a¡d! z » day.

¿=1 i=1

Trong toàn bộ luận án, ta quy ước với bất kỳ da thức f(t) e K[f| va a € R, để có

được f(a), trước tiên ta viết f(t) ở dang f(t) = Soni nan it’, nghĩa là hệ số được

17

viết về phía bên trái, sau đó mới thay ø vào í.

Định nghĩa 2.1.1 Cho K là một vành chia và # là một vành chứa K Một phần

tử øc R được gọi là dai số trai trên nếu tồn tai đa thức khác không f(t) € K{/|

sao cho f(a) = 0 Khi đó, ta cũng gọi a là một nghiệm phải của f(t) Hơn nữa, nếuf(t) là đa thức đơn khởi có bậc là số nguyên dương nhỏ nhất n thỏa mãn điều kiện

ƒ(a) = 0 thì ta gọi ƒ(f) là đa thúc tối tiểu trái và n là bậc đại số trái của a trên

K, hay a đại số trái bậc n trên K, ký hiệu ldegz(a) = n Với d là một số nguyêndương, ta nói phan tử a € R đại số trái bậc bi chặn bởi d trên K nếu a đại số trái

trên với ldegx(a) < d.

Nếu mọi phần tử của một tập con T C R đều đại số trái trên K thì ta nói T dai

số trái trên K Giả sử tồn tại một số nguyên dương d để mọi phan tử của 7 đều

đại số trái bậc bị chặn bởi đ trên thì 7 được gọi là đại số trái bậc bị chặn bởi dtrên K hoặc đơn giản là T đại số trái bậc bi chặn trên K

Khái niệm đại số phải, nghiệm trái, đa thúc tối tiểu phải, bậc đại số phải, đại

số phải bậc bi chặn được định nghĩa tương tự, trong đó đa thức f(t) tương ứng sé

được viết dưới dang các hệ số nằm về phía bên phải Nếu a đại số phải trên K, ký

hiệu rdegx(ø) để chỉ bac đại số phải trên của phần tử a Trong trường hợp K

nằm trong tâm của R, rõ ràng tính đại số trái và phải lúc này trùng nhau, do đó

ta có thể gọi đơn giản các khái niệm tương ứng bên trên là đại số, nghiệm, đa thức

tối tiểu, bậc đại số, đại số bậc bi chặn mà không cần nhắc đến tinh trái hay phải.

Khi đó, ta cũng ký hiệu tương ứng deg, (a) là bậc đại số trên K của phần tử a

Lưu ý rằng đa thức tối tiểu trái (t.ư, phải) của một phần tử đại số trái (t.ư, phải) trên K là duy nhất nhưng không nhất thiết bất khả quy, kế cả trong trường hợp K được giả thiết là nằm trong tâm của R Chang hạn, xét là một trường

và R = Ma(X) là vành ma trận bậc 2 trên K, khi đó đa thức tối tiểu của phần

1 1 Z

tử a = trên K là (t — 1)? không bất khả quy Một vi dụ khác, xét H =

0 1

R @ Ri @ Rj @Rzé là vành chia các quaternion thực, khi đó, ¿2 + 1 là đa thức tối

tiểu trái của j trên C và cũng không bất khả quy trên C Trong trường hợp K là

18

một trường nằm trong tâm của vành R, nếu đa thức tối tiểu của phần tử đại số a

bất khả quy thì dé dàng chứng minh được vành con K[a] của R sinh bởi a trên K

là một trường Để tiện cho việc sử dụng, ta phát biểu lại tính chất này dưới dạng

bo đề:

Bồ đề 2.1.2 Cho K là một trường nằm trong tâm của một vanh R via € R là một phan tử đại số trên K Giả sử đa thúc tối tiểu pạ(t) của a trên K bat khả quy.Khi đó, vanh con K[a| của R sinh bởi a trên K là một trường.

Bây giờ, ta xét trường hợp R = D là một vành chia và là một trường con của

D nằm trong tâm Z(D) Lúc này, đa thức tối tiểu của một phần tử đại số trên K

là bất khả quy (và duy nhất) Ngoài ra, vì K C Z(D) nên tính đại số trái và phải

của một tập con T C D trên trùng nhau Tuy nhiên, nếu Kk là một vành chia

con không nằm trong tâm của D thi Cohn (trong (14}) đã chỉ ra rằng tồn tại các

vành chia K C D thỏa D đại số trái nhưng không đại số phải trên K

2.2 Vành con và vành chia con sinh bởi một tập

hợp

Cho D là một vành chia với tam là F Với mỗi tập con S của D, ký hiệu [5] và (5) tương ứng là vành con và vành chia con của D sinh bởi S Đặc biệt, ta ký hiệu

F[S] và F(S) tương ứng là vành con và vành chia con của D sinh bởi FU S.

Dễ dàng kiểm tra được rằng

Ménh dé 2.2.1 L,s là vanh chia con của D sinh bởi S, tức là Log = (S).

Chứng minh Xét hai phan ttt x,y bat ky, # 0 thuộc L„ s Khi đó, tồn tại các

số nguyên dương kz, ky sao cho z € L¿„s và € L„„ø Đặt k = max{k„,k„} Ta

có x,y € Lys, do đó x—y, z thuộc Lag C Log và Ì€ Lis C Lpyi,s © Loo,

s-Như vậy, Loo,5 là một vành chia con của D Ta chứng minh 7 s cũng là vành chia

con nhỏ nhất của D chứa S$ That vậy, nếu L là một vành chia con nào đó của D

chứa 6 thì hạ, C L và Los C L Giả sử Lng C L với n > 0, suy ra rằng Lig CL,

nên „1g = [Lng U Lisl C L Từ day ta có Lng C L với moi số tự nhiên n và

oo

«„s = U Ins C L Vậy «„s = (S).

n=1

Bồ đề 2.2.2 Giá sử D là vanh chia sinh bởi S Khi đó, uới moi tap con T hữu

hạn của D, tồn tại một tập con Sp hữu hạn trong S sao cho TC (Sr)

Chứng minh Giả sử T = {a1,a2, ,a¢} Theo Mệnh đề |2.2.1| ta có D = (8) =

Ủ,s= U Lys, do đó tồn tại một số nguyên dương k dé a; € Lys với mọi 1 <i <t.

k>0

Cũng theo cách xây dựng L„,s đề cập ở trên, mỗi a; có thể biểu diễn dưới dang

cộng, trừ, nhân, chia (các phần tử khác không) của hữu hạn các phần tử trong S

Vì ta có thé xem vành chia là không gian vector trên tâm của nó nên có thể

phân lớp vành chia dựa theo số chiều trên tâm Lớp vành chia hữu hạn tâm là lớp

20

vành chia đơn giản nhất theo cách phân loại này.

Định nghĩa 2.3.1 Vành chia D tâm F được gọi là hữu hạn tâm nêu D là không gian vector hữu hạn chiều trên F Trường hợp ngược lại, ta gọi D là vành chia vd

han tâm.

Ví dụ về vành chia hữu hạn tâm đầu tiên có thể nghĩ tới là vành chia các

quatenion thực H = R@lR¿@ R7 © Rk, ở đây tâm của H là Z(H) = R và [H : R] = 4.

Ta cũng có thể xây dựng nhiều ví dụ về vành chia vô hạn tâm, chang hạn vành

chia các chuỗi Laurent lệch #(Œ,ø)) xây dựng trong Ví dụ ?? là vô han tâm

theo Proposition 14.2].

Các lớp vành chia sau là sự mở rộng của khái niệm vành chia hữu han tâm:

Định nghĩa 2.3.2 Vanh chia D tâm F được gọi là hữu han địa phương nêu moi

vành chia con sinh bởi một tập con 9 hữu hạn của D trên F là không gian vector

hữu hạn chiều trên F, tức là [F(S) : F] < œ

Định nghĩa 2.3.3 Vành chia D được gọi là hữu han địa phương yếu nêu mọi

vành chia con sinh bởi một tập con S$ hữu hạn của D đều hữu hạn tâm, tức là

(5): Z((5))] < %:

Dễ dàng chứng minh được rằng một vành chia hữu han tâm là hữu han địa

phương và một vành chia hữu hạn địa phương là hữu hạn địa phương yếu Ta cũng

có những ví dụ để chứng tỏ các lớp vành chia hữu hạn tâm, hữu hạn địa phương

và hữu hạn địa phương yếu không trùng nhau (xem [16)53]) Chúng tôi tóm tắt

lại các ví dụ được đề cập trong các tài liệu này mà không đi sâu vào chứng minhchỉ tiết:

Vi dụ 2.3.4 Xét py, < po < - là một dãy các số nguyên tố Với mỗi số nguyên

dương n, có thể chỉ ra được rằng tồn tại một Q-dai số chia A, có tâm Q thỏa

[An : Q] = py Xét

Dạ = Ái 6g - ®g

An-21

Ta chứng minh được D,, là một vành chia với tam là Q và [D„ : Q] = p? p?; Dn

cũng là một vành chia con của D„„¡ = Dn ®o Aa+i Đặt

D=|{]Da.

n>1

Khi đó, D là một vành chia với tam là Q va [D : Q| = 00 hay D vô han tâm Mat

khác, với S là một tập con hữu hạn bất kỳ của D, tồn tại n sao cho Ø9 C D„, hay Q(5) C Dy Do đó [Q(S) : Q] < [Dn : Q] = p2 < co Như vậy, D là một vành chia

hữu hạn địa phương mà không hữu hạn tâm.

Vi dụ 2.3.5 Cho k là một trường có đặc trưng chark = p # 2 và Q = k(A) là

trường các thương của vành da thức #&{A] theo biến A Kí hiệu @ là bao đóng đại

số của Q Ta biết rằng k[A| chứa vô số các phần tử nguyên tố Xét {p; |i c N} làmột tập vô hạn các phan tử nguyên tố phân biệt của k[A] Với mỗi i € N, đa thức

£?— p¡ bat khả quy trong Q(t) Gọi wØ¡ là một nghiệm của phương trình ¢? — p; = 0trong Q Với n EN, đặt Kn = Q(VPI Pa) và K = UnenKn Khi đó, K,/Q va

K/Q là mở rộng Galois Với mỗi i € Ñ, tồn tại Q-tự đẳng cấu f;: K > K thỏa

Sil VPi) = —VDi và f( VWPj) = VĐj với j # ï.

Đặt G = @Qjen Z là tổng trực tiếp của vô han vành các số nguyên Trên G, định

nghĩa một thứ tự như sau: với hai phần tử x = (m,na, ) va = (mị,ma, )bất kỳ trong G, ta quy ước x < nếu ny < mị hoặc ny = rm\, - ,ng = mạ và

nại < my¿¡ với k€ Ñ nào đó Với cách xây dựng thứ tự này, G là một tập sắp thứ

tự toàn phần Đặt x; = (0, ,0,1,0, ) Œ là phần tử có 1 nằm ở vị trí thứ ¡ và

0 ở các vi trí còn lại Với mỗi x = (m,na, ) = Sonia; € G, định nghĩa ¢, = |] f"

và ó: G > Gal(K/Q), 6(x) = ó„ Xét tổng hình thức a = 7g art, a„ € K, và đặt

supp(a) = {z € G: a, # 0} Xây dựng vành Mal’cev - Neumann:

D=K((G,¢)) = {a= So de®, dy € K | supp(a) được sắp tốt},

zcŒ

trong đó các phép toán được định nghĩa như sau

So dex + So bow = So (ar + by)ax,

rEG reEG „cŒG

22

» » 33 )

zcG — zcŒ zeŒ \ay=z

Khi đó, D là vành chia có tâm là

F = Q((H)) = {a= ape | ay € Q và supp(a) C H},

zcH

trong đó H = {z? | x € G} Có thể chứng minh được phần tử y = z¡!+z;Ì+: c€ D

không đại số trên F Đặt

Khi đó, R, là một vành chia con hữu han tâm của D với mọi số nguyên dương n

và Rs là một vành chia con hữu han địa phương yếu của D với tâm cũng là F.Mặt khác, y € Ro không đại số trên F Nói cách khác, Ro hữu hạn địa phươngyếu nhưng không hữu hạn địa phương

Ngoài ra, người ta cũng phân lớp vành chia dựa trên tính đại số của các phần

tử của nó trên tâm:

Định nghĩa 2.3.6 Một vành chia được gọi là dai số trén tam nêu mọi phần tửcủa nó đều đại số trên tâm

Định nghĩa 2.3.7 Một vành chia được gọi là dai số dia phương néu mọi vànhchia con sinh bởi tập con hữu hạn của nó đều đại số trên tâm

Rõ ràng một vành chia hữu hạn địa phương là một vành chia đại số trên tâm và một vành chia hữu hạn địa phương yếu là một vành chia đại số địa phương Câu

hỏi liệu một vành chia đại số trên tâm có phải là vành chia hữu hạn địa phươnghay liệu một vành chia đại số địa phương có phải là vành chia hữu hạn địa phương

yếu hay không là các vấn đề tương đương với Giả thuyết Kurosh Đây cũng có thể xem là một cách thức để tìm ra lời giải cho các bài toán liên quan đến Giả thuyết

Kurosh cho vành chia.

23

2.4 Trường con tối dai trong vành chia

Cho K là một trường và R là một vành chứa Kk Giả sử [R : K], =n Khi đó, ta có

thể xem R như một vành con của vành End(Rx) qua phép nhúng ¿ : R + End(Rx),

yp(a) = øa trong đó ýa(#) = ar với mọi z € R Ngoài ra, ứng với một cơ sở nào đó

của Re, ta có một dang câu vành : End(f) M„(X) Nhắc lai rằng,

T=U: R— Mạ(K)

được gọi là một biểu diễn chính quy phải của R Dựa trên biểu diễn này, R có thể

xem như một vành con của vành M,,(K) Với mỗi phan tử a € R, bằng cách đồng

nhất a với ảnh A, = r(a) của nó, đôi khi để tiện lợi, ta xem a như một phần tử

của vành ma trận M„(K).

Bay giờ, xét D là một vành chia hữu hạn tâm với tâm là F và K là một trường

con tối đại của D Đặt [D : F] = n2 Ta có một số tính chất sau:

(1) Tâm F nằm trong K, tức là € K và quan hệ bao hàm này là nghiêm

ngặt nếu D là vành chia không giao hoán Ngoài ra, [D : K], = [D : K]) =n

(xem Theorem 15.8]) Nhu vừa nói ở trên, D có thé xem như một F-dai

số con của M„(X) qua biểu diễn chính quy phải r của D ứng với mỗi cơ sở nào

đó Lưu ý rằng, tâm của D là F trong khi tâm của M,(K) là K

(2) Xét phần tử a € D Giả sử pra(0) € F| là đa thức tối tiểu của a trên F Xem

a như một phần tử của M„(K) thông qua 7 Sử dụng [7| Lemma 16.3(1) và

Lemma 16.4], đa thức tối tiểu px „(#) của a trên K trùng với pr„(£) Do đó từ đây, với mỗi a € D, ta dùng ký hiệu p,(t) để chỉ đa thức tối tiểu của œ trên

cả F và K.

Nhận xét 2.4.1 Cho F là một trường Giả sử là một trường con của M,(F)

thoả K chứa F và [K : F] = n Qua phép biểu diễn chính quy phải r của K ứng với một cơ sở 93 của K trên F, ta có thé xem K như một vành con của M,(F).

Theo Lemma 5], nếu a € K thì a va A, := 7(a) đồng dang với nhau, nghĩa là

tồn tại ma trận P € GL,(F) thỏa Ag = P~!aP

24

2.5 Ma trận bằng hữu Frobenius của một đa thức

Trước hết, chúng ta quy ước một số ký hiệu như sau: Cho F là một trường vàmỊ,na, ,m¿ là t số nguyên dương Giả sử ta có t ma trận

va ký hiệu e¿; là ma trận mà có phần tử ở vị trí (i, 7) là 1 còn các vị trí còn lại là 0

Định nghĩa 2.5.1 Cho F là một trường va f(t) = ag+a1f+ -+a„_1f”=1+f" € Fit]

là một đa thức trên F Khi đó, ta gọi

là ma trận bằng hữu Frobenius của f(t)

Một tính chất quan trong của Cy là đa thức đặc trưng và đa thức tối tiểu trên

F của nó trùng nhau và cùng bằng f(t) Hơn nữa, nếu A là một ma trận trong

M„(Ƒ) có đa thức đặc trưng và đa thức tối tiểu là f(t) thì A đồng dạng với Cy (xem Theorem 3.3.15]) Ta ký hiệu A ~ để chỉ hai ma trận A,B € M„ạ(F)

đồng dạng với nhau

25

Bổ đề 2.5.2 Cho n là một số nguyên dương va L/F là mở rộng trường tách được

bậc n Giả sử phần tử a € L có đa thúc tối tiểu Pa(t) = ap+a1£+ -+aa 1É! +14 €

Fit] va

d—1 d

Cy = » j+1,j — So ai-16id € Ma(F)

i=l i=l

là ma trận bằng hữu Frobenius của pa(t) Khi đó, d là một tước của n va tồn tại

một cơ sở 9 của L trên F sao cho qua phép biểu diễn chính quy phải của L tương

ứng uới cơ sở ®, ma trận tương ứng Aa € Mn(F) của œ là Ay = Cp@ Cp ® - PCy

(ÿ lan)

Chứng minh Dễ thay rằng n = kd, trong đó k = [L: F(a)] Vì L/F là một mở rộngtách được nên ”/F(œ) cũng là một mở rộng tách được Lấy phan tử Ø € L thỏa

L = F(a)(8) Xét cơ sd

B= {l,a, ,a7!, B,a8, ,a418, , 8" api} a4 1 pk}

của L trên F Bang cách kiểm tra trực tiếp mỗi phần tử thuộc cơ sở 93 trong biểu

diễn chính quy phải của L tương ứng với cơ sở 3, ta thấy Ag = Cp OC, ® - ® Œp(k = 7 lần)

Tính chất sau liên quan tới ma trận bằng hữu Frobenius được suy trực tiếp

từ Corollary 1 và 2|:

Bồ đề 2.5.3 Cho F là một trường, n là một số nguyên dương lớn hơn 2 van =

mì +nạ+ - +na, trong đó nị > 1 Với mỗi 1 < ¡ < d, giả sử C; là ma trận bằng hữuFrobenius của một đa thúc nào đó trên F Nếu Ở = C1 @ Ca @ -@Œn € Mn(F) thìton tai A GU„(F) va B € M,(K) sao cho CAC7!A7! va BƠ — ƠB dai số bậc n

trên F.

2.6 Đồng nhất thức Laurent suy rộng

Định nghĩa 2.6.1 Cho F là một trường, R là một vành có tâm chứa và X =

{?1,2, ,m} là một tập các biến không giao hoán Goi F(X) là đại số nhóm của

26

nhóm tự do (X) sinh bởi X trên F Tích tự do của R va F(X) trên F, ký hiệu

Rp(X), tức là " = Rxz F(X), là một F-không gian vector mà mỗi phan tửcủa nó có dạng ƒ(X) =~, fi(X), trong đó

fi(X) = G000, 2, `.

VỚI az, € R, xp, € {Z1,#2, ,đ‡m} va ng, € {-1, 1}.

(1) Mỗi phan tử của Rr(X) được gọi là một da thức Laurent suy rộng

(2) Giả sử S là một tập con của # và 0 # f(x1,72, ,2%m) € Rg(X) là một đa thức

Laurent suy rộng Nếu ƒ(eI,ca, , em) = 0 với mọi e,ea, , cm € 5 thì ta nóiƒ(#I,#a, , mạ) = 0 là một đồng nhất thúc Laurent suy rộng của S hay S thỏa

dong nhất thúc Laurent suy rộng ƒ(1,za, , #m) = 0

Đồng nhất thức Laurent suy rộng là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu cấu

trúc vành chia Dưới đây, chúng tôi liệt kê một số kết quả quan trọng liên quanđến đồng nhất thức này

Bồ đề 2.6.2 Theorem 1] Vanh chia thoả một đồng nhất thúc Laurent suy

rộng là vanh chia hữu hạn tâm.

Ta ký hiệu Z(R) là tập hợp tất cả các đồng nhất thức Laurent suy rộng của R.Xét riêng trường hợp R = D là một vành chia hữu hạn tâm, định lý sau cho ta mốiquan hệ giữa tap tất cả các đồng nhất thức Laurent suy rộng trong D và trong

vành ma trận trên trường mở rộng của tâm của D.

Bổ đề 2.6.3 Theorem 11] Cho D là một vanh chia uới tâm F v6 hạn Giả sử

[D: F] =n? < œ va L là một trường mé rộng bat ky của F Khi đó,

Ta xét đến một đa thức Laurent suy rộng đặc biệt sau: Cho một số nguyêndương d va đ+ 1 biến không giao hoán 2, y1, y2, ,yq Đặt

ơ€CS4+l

27

trong đó 5¿¿¡ là nhóm đối xứng trên tập hợp {0,1, ,đ} và sign(ø) là dau của

phan tử ø € 5¿¿¡ Theo BỊ ta có bổ đề sau:

Bồ đề 2.6.4 Cho D là một vanh chia uới tam là F Với bất kỳ a € M„(D), hai khẳng định sau tương đương:

(1) a đại số bậc bi chặn bởi d trên F;

(2) ga(@, 71,72, " Td) = 0 vot mot r1,72, -,Td E M,(D).

Chứng minh Kết quả trên là một trường hợp đặc biệt của |ð| Corollary 2.3.8]

2.7 Tổ hợp từ

Cho X = {zi,za, ,#„} là một tập gồm m biến không giao hoán và M là vị

nhóm tự do sinh bởi X.

Định nghĩa 2.7.1 Mỗi phần tử của M được gọi là một fờ trên X Nếu w =

aj, 2, € M, trong đó z¿, € X, thì ý được gọi là chiéu dai của w, ký hiệu (0) = t

Ta cũng quy ước phan tử đơn vị của M có chiều dài bằng 0

Giả sử X được trang bị thứ tự z¡ > x2 > - > am Khi đó M có thể xem là một

tập sắp thứ tự toàn phần theo quy tắc sau: Với hai từ u,v € M bất kỳ, ta thực

hiện phép so sánh như sau:

(1) Nếu /(u) > &(v) thì ta nói u > 0

(2) Nếu f(u) = (0) và giả sử u = s, z¿, (¡€ X), u =z/ #j, (vj, € X) thì ta

nói w > ø nêu 2, >; với k là giá trị đầu tiên ma #;, # #„.

Thứ tự toàn phan trang bị cho M theo quy tắc trên gọi là thứ tự từ điển phan

bậc, hay ngắn gọn là thứ tu từ điển Dễ thấy rằng M là nửa nhóm con nhân trong

đại số tự do F(X) theo X trên một trường F nào đó Tinh chất sau liên quan đến

tổ hợp từ được suy trực tiếp từ lũ Theorem 2.4]:

28

Bồ đề 2.7.2 Cho M, m va X được định nghĩa như trên va d là một số nguyên

dương Khi đó, tồn tại số nguyên dương n = n(m,d) phụ thuộc uào m,d sao cho

nếu + là một từ trong M có chiều dai f(m) >n thì

d

(1) w= vuve, trong đó 0ì,u,ua € M 0à u không tam thường, hoặc

(2) w = vyu1U2 ugve, trong đồ v1, v2, u, U1, tạ, , uạ € M thỏa điều kiện u1ua uạ >

Up (1)Uo(2) +++ Uo(a) ĐỐI mot hoan vt không tầm thường o € Sq trên {1,2, ,d} va

(d — 1)/(u¡) < f(u1ua ug).

29

Chương 3

Giao hoán tử đại số trong

vành chia

Như đã đề cập ở chương Tổng quan, tính chất của các giao hoán tử trong vành

chia ảnh hưởng mạnh tới cấu trúc toàn bộ vành chia Trong chương này, chúng tôixem xét tính đại số trên tâm và tính đại số một phía của các giao hoán tử và nhậnđược một số kết quả thú vị

3.1 Trường con tối dai sinh bởi các giao hoán tử

Định nghĩa 3.1.1 Cho # là một vành va a,b là hai phan tử trong R Ta ký hiệu(a,b) = ab — ba và gọi phần tử nay là giao hoán tử cộng của a và b Nêu a,b là các

phần tử khả nghịch của R, ký hiệu [a,b] = aba~'b~! và gọi đây là giao hoán tử nhân

của a và b.

Định nghĩa 3.1.2 Cho D là một vành chia Ký hiệu DTM = D! = (la,b||a,b D*)

là nhóm con sinh bởi tat cả các giao hoán tử nhân trong D* Ta gọi ?' là nhóm

con giao hoán tử của D* Một cách quy nap, ta định nghĩa 2 là nhóm con giao

hoán tử của DŒ—Đ và DTM được gọi là nhém con giao hoán tử bậc n của D*.

Xét D là một vành chia hữu hạn tâm và F là tam của D Theo 33) Theorem

30

15.12] và Corollary 5.7], tồn tại một phần tử a € D tách được trên F sao cho

F(a) là một trường con tối đại của D Gọi M là tập tất cả các phần tử a € Dsao cho F(a) là một trường con tối đại của D Van đề đặt ra ở đây là tập M này

“lớn” như thế nào? Có nhiều lý do để chúng ta quan tâm đến câu hỏi này Chẳng hạn, Định lý Albert-Brauer phát biểu rằng nếu a € M và [D : F] = n? thi tồn

tại b€ D sao cho tập {a'ba |1 < i,j < n} là một cơ sở của không gian vector Dtrên F (xem Theorem 15.16]) Ta đã thấy rằng M chứa một phan tử nào đó

của D tách được trên F Từ [H| Theorem 6 và 7], ta có thể suy ra rằng tồn tại

a,b,c,d € D* thoả ab — ba và cde~'d~! thuộc vào M Điều này trả lời cho câu hỏi

Mahdavi-Hezavehi đặt ra trong Problems 28, 29] Mục đích chính của mục này

là chỉ ra rằng nếu là nhóm con á chuẩn tắc không nằm trong tâm của D* thì

tồn tại a € N va b,c € D* sao cho ab— ba và aca~!c7! thuộc vào M Bổ đề đầu tiên

được suy ra từ chứng minh của Theorem 9]:

Bổ đề 3.1.3 Cho D là một vanh chia uới tâm là F va N là một nhớm con á chuẩn

tắc của D* Nếu N thuần túu không tách được trên F thi N nằm trong tâm F

Bổ đề tiếp theo đây có thé xem như sự mở rộng của Dinh lý Noether-Jacobson (xem Theorem 15.11]) cho nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia.

Bổ đề 3.1.4 Cho D là một vanh chia uới tâm là F va N là một nhớm con á chuẩn

tắc không nằm trong tâm của D* Nếu N dai số trên F thà N chúa phần tử khôngnam trong F va tách được trên F

Chứng minh Nếu charD = 0 thì D tách được trên F nên ta chỉ cần xét trường hợp

charD = p với p là một số nguyên tố Nếu N là một nhóm con á chuẩn tắc không nằm trong tâm va đại số trên F thì theo Bo đề N chứa một phan tử a mà

a không là một phần tử thuần túy không tách được trên F Theo Proposition

4.6], tồn tại số một nguyên dương ø sao cho a?” tách được trên F Do a không phải

là một phần tử thuần tuý không tách được trên F, ta suy ra rằng a?” ¢ F

Từ đây, ta có được kết quả sau:

31

Dinh ly 3.1.5 Cho D là một vanh chia hữu hạn tâm uới F là tam của D Gia

sử N là một nhóm con á chuẩn tắc không nằm trong tâm của D* Khi đó tồn tại

a€N vib,c € D* sao cho F(aba~!b~!) va F(ac— ca) là các trường con tối dai của

(a +1) ((a +1) †a(œ + 1)a7! — (œ °aaa}))

=a(a+1)a~! — (a+ 1)a7*aaa7!

= aaa! +1—aaa~! —a7!aaaq!

a(aœ) — (aa)a = a(aa — aa).

Nhung vi aa — aa # 0 và a(aœ) — (aa)a € F nên

a = (a(aa) — (aa)a)(aœ — aa)! € F,

mâu thuẫn với cách chon a Do đó, tồn tại c € D* sao cho ac — ca ¢ F N6i cáchkhác, ac — ca đại số bậc 2 trên F

Trường hợp 2:n > 2 Via tách được trên F nên F(a) cũng tách được trên F’.

Theo Theorem 15.12], tồn tại một trường con tối đại K của D chứa F(a) va

tách được trên F Như đã nói ở Mục Chương 2, ta có thể xem D như là một

F-dai số con của M„(K)

32

Trước tiên, ta sẽ chứng minh rằng tồn tại v € GL,(K) và u € M,(K) sao cho

1,,-1

aua_—1u—~Ì và au — ua đại số bac n trên F Gọi

pa(t) = ứo + a1£ + - 3 dạ 1+ 8

là đa thức tối tiểu của a trên F Vì mở rộng K/F là hữu hạn và tách được, tồn

tại b€ K sao cho K = F(b) (xem Corollary 5.7]) Lại theo Theorem

(15.8)], [X : F] =n, da thức tối tiểu của b trên F có bậc là n Goi đa thức nay là

p(t) = bo + bịt + + + bạ 1É} +t” Cũng theo nhận xét trong Mục 2.4 Chương 2,

p;(£) cũng là đa thức tối tiểu của b trên K Xét ma trận bằng hữu Frobenius của

Khi đó, tồn tai P € GL,(K) sao cho e = PT1bP Xem M,,(F) như là một vành

con của M,(K) Lưu ý rằng e€ M,(F) Gọi L = F{c] là một vành con của M„(#)

sinh bởi c trên F Vì đa thức tối tiểu p.(t) = p(t) của c bất khả quy bậc n trên

F, theo Bo đề 2.1.2| L là một trường con của M,(F) và [F[c] : F] = n Ta lại có

a € Fla] C F[b], vì vậy

P*aPc P'Fl|a|PC P}F|b|P = FỊP 'bP| = Fle] = L

Đặt 6 = P-'aP Da thức tối tiểu của 6 và a trùng nhau, nghĩa là p¿(f) = pa(t) =

ay + ayt +++» +aa 1£! + Do đó, nêu C,, là ma trận bằng hữu Frobenius của ps

thì bởi Bổ đề|2.5.2| tồn tại một cơ sở B của K trên F sao cho ma trận tương ứng