i LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lâm Quốc Anh và PGS TS Đinh Huy Hoàng Tôi xin cam đoan đây là công trình của riêng tôi Các kết quả được viế[.]
i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Lâm Quốc Anh PGS TS Đinh Huy Hoàng Tơi xin cam đoan cơng trình riêng Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa cơng bố trước Tác giả Nguyễn Văn Hưng ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Lâm Quốc Anh PGS TS Đinh Huy Hồng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc hai Thầy hướng dẫn tận tình chu đáo cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Phan Quốc Khánh, q thầy nhóm seminar Thành Phố Hồ Chí Minh Cần Thơ ln tận tình giúp đỡ, đóng góp nhiều ý kiến tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành kết nghiên cứu trình bày luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn Viện Sư phạm Tự nhiên, Tổ mơn Giải tích, Phòng đào tạo Sau đại học phòng chức khác Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin bày tỏ cảm ơn đến đồng nghiệp lãnh đạo Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Thành phố Hồ Chí Minh quan tâm tạo điều kiện cho tác giả tập trung học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người bạn thân thiết sẻ chia, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nguyễn Văn Hưng MỤC LỤC Mở đầu Chương Tính liên tục ánh xạ nghiệm cho toán tựa cân 15 1.1 Kiến thức chuẩn bị 15 1.2 Bài toán tựa cân 19 1.3 Hàm đánh giá cho toán tựa cân 21 1.4 Tính liên tục ánh xạ nghiệm cho toán tựa cân 26 1.5 Áp dụng cho bất đẳng thức tựa biến phân 33 1.6 Kết luận Chương 35 Chương Tính hội tụ tập nghiệm cho tốn tựa cân 36 2.1 Dãy toán tựa cân 36 2.2 Tính hội tụ tập nghiệm cho toán tựa cân 44 2.3 Áp dụng cho bất đẳng thức tựa biến phân 53 2.4 Kết luận Chương 55 Chương Tính ổn định đặt chỉnh cho toán cân hai mức 56 3.1 Tính ổn định ánh xạ nghiệm cho tốn cân hai mức 57 3.2 Tính đặt chỉnh toán cân hai mức 71 3.3 Kết luận Chương 84 Kết luận chung kiến nghị 85 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 87 Tài liệu tham khảo 88 MỘT SỐ KÝ HIỆU R tập số thực R+ tập số thực không âm R tập số thực mở rộng R ∪ {±∞} N tập số nguyên không âm ∅ tập rỗng ∃x tồn x ∀x với x f :X→Y ánh xạ đơn trị từ X vào Y F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y F −1 : Y ⇒ X ánh xạ ngược ánh xạ F graphF đồ thị ánh xạ F : X ⇒ Y domF miền hữu hiệu ánh xạ F : X ⇒ Y L(X; Y ) khơng gian tất tốn tử tuyến tính từ X vào Y hz, xi giá trị tốn tử tuyến tính z ∈ L(X; Y ) x ∈ X intC phần tập C x ∈ Rn {xi } x phần tử Rn đượcviếtdưới dạng x1 x = (x1 , , xn ) x = xn dãy véctơ kết thúc chứng minh A := B A định nghĩa B (QEP1 ) toán tựa cân loại Minty (QEP2 ) toán tựa cân loại Stampacchia (WQEP) toán tựa cân yếu (SQEP) toán tựa cân mạnh (MSQEP) toán tựa cân mạnh với nón di động (MQVI) bất đẳng thức tựa biến phân loại Minty (SQVI) bất đẳng thức tựa biến phân loại Stampacchia (BEP) toán cân hai mức (MBEP) toán cân hai mức với nón di động (VIEC) bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân (OPEC) toán tối ưu với ràng buộc cân (TNEC) tốn mạng giao thơng với ràng buộc cân MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Tính chất ổn định nghiệm toán liên quan đến tối ưu bao gồm tớnh na liờn tc, liờn tc, liờn tc Hăolder v liên tục Lipschitz chủ đề quan trọng lý thuyết tối ưu ứng dụng Trong thập kỷ gần đây, có nhiều cơng trình nghiên cứu điều kiện ổn định nghiệm cho toán liên quan đến tối ưu toán tối ưu ([47], [74]), bất đẳng thức biến phân ([44]), toán cân ([6], [8], [9]), toán quan hệ biến phân ([45]) Chúng ta biết tính ổn định nghiệm theo nghĩa liệu tốn thường phải giả thiết theo nghĩa Trong thực tế, có nhiều nhiều tốn mà giả thiết chặt q liệu khơng thỏa mãn Vì vậy, tính ổn định nghiệm theo nghĩa nửa liên tục tập nghiệm quan tâm nghiên cứu 1.2 Tính chất hội tụ tập nghiệm toán liên quan đến tối ưu theo nghĩa Painlev´e-Kuratowski đóng vai trò quan trọng lý thuyết ổn định nghiệm toán bị nhiễu dãy tập ràng buộc dãy hàm mục tiêu Chủ đề tính hội tụ tập nghiệm theo nghĩa Painlev´e-Kuratowski liên quan chặt chẽ đến thuật toán nghiệm lý thuyết xấp xỉ Vì có nhiều cơng trình nghiên cứu hội tụ Painlev´e-Kuratowski tập nghiệm cho tốn liên quan đến tối ưu ([34], [50]) Vì tính quan trọng chủ đề hội tụ theo nghĩa Painlev´e-Kuratowski tập nghiệm cho toán cân nói riêng tốn liên quan đến tối ưu nói chung, nên chủ đề nhiều nhà toán học nước giới quan tâm nghiên cứu 1.3 Tính đặt chỉnh toán liên quan đến tối ưu chủ đề quan trọng giải tích ổn định lý thuyết tối ưu Trong năm gần đây, có nhiều cơng trình nghiên cứu tính đặt chỉnh cho lớp toán khác toán tối ưu ([55]), bất đẳng thức biến phân ([31]), toán cân ([10], [12], [32], [56]) Gần đây, Anh, Khanh Van ([12]) thiết lập điều kiện đủ cho tính đặt chỉnh tốn cân hai mức toán tối ưu với ràng buộc cân với số giả thiết tồn nghiệm sử dụng tính mức đóng giả thiết giả đơn điệu Tuy nhiên, tính đặt chỉnh đặt chỉnh tổng quát theo nghĩa Levitin-Polyak cho toán cân mạnh hai mức véctơ toán mạng giao thông với ràng buộc cân chủ đề mở nhiều người quan tâm nghiên cứu Với lý trên, chọn chủ đề cho luận án là: “Tính liên tục ánh xạ nghiệm toán cân ” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án thiết lập tính liên tục ánh xạ nghiệm cho tốn tựa cân bằng, khảo sát tính hội tụ theo nghĩa Painlev´eKuratowski tập nghiệm toán tựa cân bằng, nghiên cứu tính chất ổn định nghiệm tính đặt chỉnh cho tốn cân hai mức Ngồi ra, chúng tơi thiết lập số mơ hình đặc biệt liên quan đến tối ưu bất đẳng thức biến phân loại Minty Stampacchia, bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng, toán tối ưu với ràng buộc cân toán mạng giao thông với ràng buộc cân Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án số mơ hình liên quan đến tối ưu toán tựa cân bằng, bất đẳng thức biến phân loại Minty Stampacchia, toán cân hai mức, bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng, toán tối ưu với ràng buộc cân tốn mạng giao thơng với ràng buộc cân Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định nghiệm, tính hội tụ theo nghĩa Painlev´e-Kuratowski tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho số cân Phương pháp nghiên cứu Trong luận án này, sử dụng phương pháp tiếp cận giải tích hàm, giải tích biến phân lý thuyết tối ưu trình nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận án góp phần làm phong phú tính chất ổn định nghiệm, tính hội tụ Painlev´e-Kuratowski tính đặt chỉnh lý thuyết tối ưu Luận án tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh lĩnh vực lý thuyết tối ưu ứng dụng Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến luận án Một lớp toán quan trọng thu hút nhiều nhà toán học nước giới lý thuyết tối ưu toán cân Lớp toán chứa nhiều toán quan trọng liên quan đến tối ưu toán bù, toán cân Nash, toán điểm bất động điểm trùng, tốn mạng giao thơng, toán tối ưu bất đẳng thức biến phân Trong suốt hai thập kỷ qua, có nhiều nhà toán học nghiên cứu toán cân toán liên quan với chủ đề khác tồn nghiệm, ổn định nghiệm, hội tụ, đặt chỉnh Năm 2004, Mordukhovich ([59]) giới thiệu thiết lập lớp toán liên quan đến tối ưu gọi toán cân với ràng buộc cân Chúng ta coi chúng toán phân bậc hai cấp toán cân hai mức, toán liên quan đến cân mức mức Bài toán chứa nhiều toán trường hợp đặc biệt bao gồm toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân ([73]), toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân [62], toán tối ưu với ràng buộc cân ([17], [60]) Năm 2010, Maudafi ([61]) giới thiệu lớp tốn cân vơ hướng hai mức khơng gian Hilbert nghiên cứu thuật tốn hội tụ cho toán Gần đây, Chen, Wan Cho ([24]), Ding ([28]) mở rộng tốn cân vơ hướng hai mức đến tốn cân vơ hướng hai mức hỗn hợp không gian Banach Họ thiết lập điều kiện tồn nghiệm hội tụ dãy lặp với số giả thiết phù hợp ([20], [25], [29]) Chúng ta biết rằng, hàm đánh giá lần giới thiệu Auslender ([13]) cho bất đẳng thức biến phân vơ hướng Từ sau, hàm đánh giá nhiều tác giả phát triển mở rộng cho toán khác Fukushima ([35]), Mastroeni ([58]) Yamashita Fukushima ([72]) Một ứng dụng hữu hiệu hàm đánh giá nghiên cứu tính ổn định nghiệm Năm 1997, Zhao ([74]) giới thiệu