Luận án tiến sĩ Toán học: Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia

LỜI CAM ĐOANToi xin cam đoan luận án tiến sĩ ngành Dai số và Lý thuyết số với đề tài “Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia” là công trình nghiên cứu do tôi

DẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ QUÍ DANH

NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TONG QUÁT

TRÊN VÀNH CHIA

LUẬN ÁN TIÊN SĨ

TP Hồ Chí Minh - 2023

VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH

DAI HỌC QUOC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ QUÍ DANH

NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA

NHÓM TUYỂN TÍNH TÔNG QUÁT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MAI HOÀNG BIÊN

TP Hồ Chí Minh - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Toi xin cam đoan luận án tiến sĩ ngành Dai số và Lý thuyết số với đề tài “Nhóm

con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia” là công trình

nghiên cứu do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Mai Hoàng Biên.

Các kết quả mà tôi cùng với các tác giả khác thực hiện được đưa vào luận án

dưới sự đồng ý của tập thể nhóm nghiên cứu Các kết quả trong luận án là hoàn

toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bat kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Lê Quí Danh

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS Mai Hoàng Biên, là người

thầy tận tâm đã trực tiếp hướng dẫn tôi học tập và nghiên cứu, đồng thời là người anh, người đồng nghiệp đủ nhẫn nai để lắng nghe, động viên và giúp đỡ

tôi vượt qua rất nhiều khó khăn trong học tập, công việc và cuộc sống Tôi xin

gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS TS Bùi Xuân Hải, người thầy đã chỉ bảo tận

tình và cho những lời khuyên quý báu để giúp tôi rèn luyện các đức tính cần có

trong nghiên cứu khoa học.

Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán-Tin học, Trường Dai hoc Khoa

học Tự nhiên, ĐHQG-HCM đã tận tình giảng dạy trong suốt thời gian tôi học

tập tại trường từ Dai hoc, Cao học và đến bây giờ là Nghiên cứu sinh Đặc biệt,

tôi trân trọng cảm ơn TS Trần Ngọc Hội, thầy hướng dẫn luận văn thạc sĩ của

tôi, là người tận tình hướng dẫn, kiểm tra và góp ý về trình bày giúp tôi hoàn

thiện trong học tập và nghiên cứu; tôi tran trong cảm ơn TS Trịnh Thanh Déo,

là một trong những người thầy đầu tiên giúp tôi có niềm đam mê Toán học.

Toi xin cảm ơn đến bạn Huỳnh Việt Khánh và chị Vũ Mai Trang, là các thành

viên của nhóm Seminar Dại số của trường Dại học Khoa học Tự nhiên, đã luôn

động viên và hỗ trợ, giúp tôi vượt qua rất nhiều khó khăn trong học tập.

Tôi kính gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong Ban Giám hiệu, Khoa Khoa

học Cơ bản và các Phòng Ban của Trường Đại học Kiến trúc TP Hồ Chí Minh,

nơi tôi đang công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt các

nhiệm vụ trong công việc lẫn học tập Đặc biệt, tôi trân trọng cảm ơn cô Huỳnh

Thị Hoàng Dung và thầy Nguyễn Anh Triết đã tạo điều kiện trong công tác và

động viên trong học tập để tôi hoàn thành chương trình Nghiên cứu sinh.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô của Trường Trung học Phổ thông

Phước Thiền, tỉnh Đồng Nai, khoá học năm 2000-2003 Chính tấm gương của

các thầy cô về sự nhiệt tình trong giảng dạy và sự quan tâm đến học sinh đã

ảnh hưởng rất nhiều đến việc lựa chọn con đường học tập và làm việc của tôi.

Đặc biệt, tôi trân trọng cam ơn cô Đặng Thi Chi, nguyên Phó hiệu trưởng, là

người thầy đầu tiên giúp tôi nhận ra ý nghĩa của việc học tập suốt đời; tôi trân

trọng cảm ơn thầy Nguyễn Hồng An va thay Huỳnh Minh Hậu, là những người

thầy dạy Toán đầu tiên mang đến cho tôi những yêu thích ban đầu đối với Toán

học.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình vì tình yêu thương và sự giúp

đỡ không giới hạn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành va sâu sắc đến Ba và Mẹ

của tôi, những người luôn mong mỏi tương lai của anh em chúng tôi luôn tốt

đẹp Chính sự hy sinh và những kỳ vọng của Ba và Mẹ là động lực giúp tôi có ý

thức không ngừng hoc tập để tự hoàn thiện bản thân Tôi cảm ơn người vợ đã

động viên, sẻ chia và ân cần lo lắng để tôi có nhiều cơ hội học tập.

1.1 Vấn đề nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc trong nhóm tuyến tính 14

1.2 Vấn đề nghiên cứu về sự tồn tại của nhóm con tự do không giao hoán 19

1.3 Van đề nghiên cứu đồ thi giao các nhóm con tựa chuẩn tắc 25

Chương 2_ KIÊN THỨC CHUAN BỊ 31

2.1 Nhóm con tựa chuẩn tic 2.0 000.000 ee eee 31

2.2 Nhóm tuyến tính trên vành cha 36

2.3 Dai số thoả mãn đồng nhất thức đathức 38

Chương 3_ NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM TUYẾN

TÍNH TONG QUAT TREN VÀNH CHIA 413.1 Nhóm con tựa chuẩn tắc của GLUa(D)vớin>2_ 41

3.2 Nhóm con tựa chuẩn tắc của H*

3.3 Nhóm con tựa chuẩn tắc trong vành chia Mal’cev-Neumann

Chương 4 SỰ TON TẠI CUA NHÓM CON TỰ DO TRONG

NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC

4.1 Sự tồn tại của nhóm con tự do trong nhóm con tựa chuẩn tắc của

(es >) da

4.2 Su tồn tai của nhóm tự do trong nhóm con tựa chuẩn tắc chứa

nhóm con giải ỞƯỢC cv v2

4.2.1 Sự tồn tại của nhóm con tự do trong vành chia các phân thức

4.2.2 Sự tồn tại của nhóm tự do trong nhóm con á chuẩn tắc hoặc

tựa chuẩn tắc chứa nhóm con giải được

4.3 Nhóm con tựa chuẩn tắc căn trên vành chia con thực sự

4.3.1 Trường hợp vành chia hữu hạn địa phương yếu và vành chia

có tâm không đếm

được -4.3.2 Trường hợp vành chia Mal’cev-Neumann

Chương 5 DO THỊ GIAO CÁC NHÓM CON TUA CHUAN

TAC CUA NHÓM TUYEN TÍNH TONG QUAT

TREN VANH CHIA

5.1 D6 thi giao các nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm bat ky

5.2 Điều kiện cần và đủ để Fạ(GL„(Ð)) là đồ thị đầy

5.3 Dường kính của đồ thị Fạa(GL„(Đ)) vớin>2

Chương6 KẾT LUẬN

6.1 Tiếp tục nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc trong vành chia

6.2 Nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc trong nhóm nhân của đại số

60

Tài liệu tham khảo

Danh mục công trình của tac giả

Báo cáo hội nghị

TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN

Tên đề tài luận án: Nhém con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát trên

vanh chia

Ngành: Dai số và Ly thuyết số

Mã số ngành: 9460104

Họ tên nghiên cứu sinh: Lê Quí Danh

Khoá đào tạo: 2020

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Mai Hoàng Biên

Co sở đào tạo: Trường Dai học Khoa học Tu nhiên, DHQG-HCM

1 TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN

Chúng tôi nghiên cứu các tính chất của nhóm con tựa chuẩn tắc của nhómtuyến tính tổng quát GL„(D) bậc n > 1 trên vành chia D, gồm ba nội dung

chính: nghiên cứu sự tồn tại của nhóm con tựa chuẩn tắc nhưng không á chuẩn

tắc trong GL,(D); nghiên cứu sự tồn tại của nhóm con tự do không giao hoán

trong nhóm con tựa chuẩn tắc của GL,,(D); mô tả đồ thị giao các nhóm con tựa

chuẩn tắc Tạ(GL„(D))

2 NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN

Cho D là vành chia với tâm F và n là số nguyên dương.

a Sự tồn tại của nhóm con tựa chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc

trong GL,,(D):

(1) Nếu G = H*' hoặc G = GL,(D) vdi n > 9 thà mọi nhớm con tựa chuẩn tắc

của G đều chuẩn tắc

(2) Ton tại vanh chia sao cho nhóm nhân của nó có nhóm con tựa chuẩn tắc

7

nhưng không á chuẩn tắc.

b Sự tồn tại của nhóm con tự do không giao hoán trong nhóm con

tựa chuẩn tắc trong GL„(D):

(1) Cho N là nhém cơn tựa chuẩn tắc của D* Nếu N chứa nhớm con giải được

không giao hoán thà N chúa nhóm con tự do không giao hoán.

(2) Cho N là nhóm con tựa chuẩn tắc của D* Giả sử D thoả mãn một trong

các điều kiện: (i) D là uành chia hữu han địa phương yếu, (ii) Tam F của

D không đếm được, (ii) D là vanh chia Mal’cev-Neumann Nếu N căn trên

vanh chia con thực sự của D thà N C F.

c Đồ thị giao các nhóm con tựa chuẩn tắc Tạ(GL„(0))

(1) Với G là nhóm không đơn bat kỳ, đường kính của đồ thị giao các nhóm con

tựa chuẩn tắc Tq(G) của G là 0, 1, 2 hoặc oo

(2) Phân loại các nhóm GL„(D) với n > 2 theo đường kính của T'y(GL,(D)).

3 CÁC ỨNG DỤNG/ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIÊN

HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU

e Tiếp tục nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn tắc trong vành chia.

e Nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn cho nhóm nhân của các đại số khác,

chang hạn đại số nhóm.

Supervisor: Assoc Prof Dr Mai Hoang Bién

At: VNUHCM - University of Science

1 SUMMARY

We study properties of quasinormal subgroups of the general linear group

GL, (D) of degree n > 1 over a division ring D Namely, three main problems have been considered: the existence of non-subnormal quasinormal subgroups of GLa(D), the existence of non-abelian free subgroups in quasinormal subgroups

of GL,(D), and describing the intersection graphs of quasinormal subgroups

Pq(GLn(D)).

2 NOVELTY OF THESIS

Let D be a division ring with center F and n be a positive integer.

a The existence of non-subnormal quasinormal subgroups of GL„(D)

(1) If either G = H* or G = GL,(D) where n > 2, then every quasinormal

subgroup of G is normal.

(2) There exists a division ring whose multiplicative group has non-subnormal

quasinormal subgroups.

b The existence of non-abelian free subgroups in quasinormal

sub-groups of GL,,(D)

(1) If N contains a non-abelian solvable subgroup, then N contains a non-abelian

free subgroup.

(2) Let N be a quasinormal subgroup of D* Assume that D satisfies one of the

following conditions: (i) D is a weakly locally finite division ring; (it) the center F of D is uncountable; (iti) D is a Mal’cev-Neumann division ring.

If N is radical over a proper division subring, then N C F.

c The intersection graphs of quasinormal subgroups Tạ(GL„(D))

(1) Let G be an arbitrary non-simple group The diameter of the intersection

graph of quasinormal subgroups Tq(G) of G is 0, 1, 2, or co.

(2) Classifying GL„(D), where n > 2, depends on the diameter of ['4(GL,(D)).

3 APPLICATIONS/ APPLICABILITY/ PERSPECTIVE

e We will continue studying quasinormal subgroups in division rings.

e We will continue studying quasinormal subgroups of the multiplicative group

of other algebras, for instance, group algebras.

10

BANG KÝ HIEU

Cho H và G là các nhóm, D va A là các vành chia.

Z(G) tâm của G

nhóm con giao hoán tử của nhóm G

nhóm con giao hoán tử của nhóm G

bao chuẩn tắc của nhóm con H trong G

lõi chuẩn tắc của nhóm con H trong G

HH là nhóm con chuẩn tắc của G

H dang cấu với G

H dang cấu với G qua dang cấu y

tam hoa tit cha H trong G

nhóm cyclic cấp n

với GO) G

p-nhóm quasicyclic (si | g = 1,0.) =g,ic€2,1> 1)

nhóm quaternion tổng quát

(xy |z?”=wt =1,z" =w°,w ley = ra)

trường hữu hạn với q phần tử

tâm của D nhóm nhân của D

11

D [D*, D*], nhóm con giao hoán tử cia D*

char(D) đặc trưng của D

Mn(D) vành các ma trận vuông cấp n trên D

GL, (D) nhóm tuyến tinh tổng quát bậc n trên D

SL„(D) nhóm tuyến tính đặc biệt bậc ø trên D

Cp(H) tâm hoá tử của H trong D

In phần tử don vi của nhóm GL„(D)

On phan tử không của M,,(D)

Da D đẳng cấu với A

D((G,w)) — vành chia Mal’cev-Neumann của G trên D tương ứng với w

D((G)) vành chia Mal’cev-Neumann của G trên D tương ứng với đồng

cấu tầm thường

supp(a) giá của a

min(q) min(supp(a))

Kz, 0] vành các đa thức lệch theo biến z tương ứng với o trên trudng K

K (a,c) vành chia các phan thức của K[z, ơ]

K((,ø)) — vành chia các chuỗi Laurent lệch theo biến x tương ứng với ø

trên trường K

Cho T là đồ thị và u, v là hai đỉnh của T.

UnY u ké véi v

dist (u, v) khoảng cách giữa u và 0

Diam(T) đường kính của F

Girth(T) chi số girth của T

12

CHƯƠNG Ỉ

MỞ ĐẦU

Định lý Wedderburn-Artin nói rằng mọi vành artin trái nửa đơn đều đẳng

cấu với tích trực tiếp của các vành ma trận trên vành chia (xem [44, (3.5)

Wedderburn-Artin Theorem]) Như vậy, các kết quả nghiên cứu về vành các

ma trận trên vành chia có thể ứng dụng để nghiên cứu các cấu trúc đại số

khác Cho D là vành chia và n là số nguyên dương Một trong những hướng

nghiên cứu chính liên quan đến cấu trúc dai số của vành các ma trận M„(Ð)

là nghiên cứu nhóm nhân của nó, nghĩa là nhóm tuyến tính tổng quát GL,(D).

Nhiều lớp các nhóm con của GL„(D) đã được tìm hiểu như: lớp các nhóm conchuẩn tắc, lớp các nhóm con á chuẩn tắc, lớp các nhóm con tối đại, (xem

[3, 5, 45, 46, 47, 48, 49]) Tiếp nối theo hướng nghiên cứu này, đối tượng nghiên

cứu chính trong luận án là các nhóm con tựa chuẩn tắc trong nhóm tuyến tínhtổng quát GL,(D) bậc n > 1 trên vành chia D Từ lúc được O Ore giới thiệu lần

đầu tiên vào năm 1937 trong [51] cho đến nay, trong nghiên cứu về nhóm hữu

hạn và về lý thuyết nhóm nói chung, đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về

các nhóm con tựa chuẩn tắc ([2§, 29, 60, 38, 40, 52]) Mặt khác, trong lĩnh vực

nghiên cứu về nhóm tuyến tính, đã có rất nhiều lớp các nhóm con của nhóm

GL,(D) đã được nghiên cứu như lớp các nhóm con chuẩn tắc ([5, 12, 46, 65]),lớp các nhóm con á chuẩn tắc (2, 13, 25, 27, 30, 33]), lớp các nhóm con gan á

13

chuẩn tắc ({49]), lớp các nhóm con tối đại ([3, 35]), Về nghiên cứu các nhómcon tựa chuẩn tắc của GL„(D), có lẽ kết qua đầu tiên là [43] được công bố vào

năm 2020 Như vậy, nghiên cứu về các nhóm con tựa chuẩn tắc của GL,(D) là

một đề tài khá mới mẻ Vì là đề tài mới nên những câu hỏi đầu tiên được đặt

ra để định hướng nghiên cứu đó là:

(1) Nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn tắc của GL,(D) có tầm thường hay

không? Ta có nhóm con tựa chuẩn tắc và nhóm con á chuẩn tắc đều là cáccấu trúc tổng quát hơn nhóm con chuẩn tắc Trong khi đó, đến thời điểm

hiện tại, trong GL„(Ð), lớp các nhóm con á chuẩn tắc đã được nghiên cứu

với nhiều tính chất phong phú và đa dạng Luận án sẽ trả lời cho câu hỏi

cụ thể: Trong nhóm GL,,(D), liệu có thể xảy ra việc lớp các nhóm con tựa

chuẩn tắc chứa trong lớp các nhóm con á chuẩn tắc hay không?

(2) Những lớp bài toán nào được nghiên cứu cho đối tượng nhóm con tựa chuẩn

tác của GL„(D)? Cụ thể, trong luận án, chúng tôi xét hai vấn đề sau: Bài

toán nghiên cứu về sự tồn tại của nhóm con tự do không giao hoán trong

nhóm con tựa chuẩn tắc của GL,(D) và bài toán mô tả về đồ thị giao cácnhóm con tựa chuẩn tắc của GL„(Ð)

Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách tổng quan các kết quả đã đượcnghiên cứu trước đó và phát biểu các kết quả chính của luận án có liên quan

đến các câu hỏi này Các kết quả chính được trình bày trong luận án đã được

công bố trong các công trình [I, II, IH, IV, V, VI].

1.1 Van đề nghiên cứu nhóm con tựa chuan tac

trong nhóm tuyên tính

Cho G là nhóm Ta nói nhóm con N á chuẩn tắc (subnormal) trong G nếu

tồn tại dãy hữu hạn các nhóm con

NE—N,<N, < -< Nị< Ng=Œ,

14

trong đó N; chuẩn tắc trong W;_¡ với mỗi i € {1, ,r} Nếu r là số nguyêndương nhỏ nhất để tồn tại dãy trên thì ta nói N á chuẩn tắc độ dài r trong G.

Ta nói nhóm con Q tựa chuẩn tắc (quasinormal hoặc permutable) trong G nếu

QH = HQ với mọi nhóm con H của G Nhu vậy, nhóm con á chuẩn tắc và nhóm

con tựa chuẩn tắc là sự tổng quát hoá của khái niệm nhóm con chuẩn tắc Tacũng định nghĩa một lớp nhóm con tổng quát hơn, đó là lớp nhóm con á tựa

chuẩn tắc Nhóm con P được gọi là nhóm con á tựa chuẩn tắc (subpermutable)

của G nếu tồn tại dãy hữu hạn các nhóm con

P=N.<N,<-.-.<N_<Ng=G.

trong đó N; tựa chuẩn tắc trong Ñ;_¡ với mỗi i € {1, ,r}

Việc đầu tiên là chúng ta phải khang định được nghiên cứu các nhóm con tựachuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát GL„(D) là có ý nghĩa Cu thể hơn, về

mặt tổng quát, ta phải chỉ ra được rằng trong GL,(D), lớp các nhóm con tựa

chuẩn tắc không chứa trong lớp các nhóm con á chuẩn tắc Bên cạnh đó, chúng

ta cũng cần chỉ ra những trường hợp nào mà lớp các nhóm con tựa chuẩn tắcnằm trong lớp các nhóm con á chuẩn tắc nhằm mục đích kế thừa các kết quả

đã được nghiên cứu trước đó Như vậy, chúng ta cần nghiên cứu sự tương đồng

và sự khác biệt của lớp các nhóm con tựa chuẩn tắc so với lớp các nhóm con áchuẩn tắc trong nhóm GL,,(D)

Trước hết, ta nhắc lại mối liên hệ của lớp các nhóm con tựa chuẩn tắc sovới lớp các nhóm con á chuẩn tắc trong lý thuyết nhóm tổng quát Từ các kết

quả của O Ore trong [52] cho thấy mọi nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm hữu

hạn đều á chuẩn tắc Sau đó, S E Stonehewer chứng minh kết quả tổng quáthơn: Mọi nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn sinh đều á chuẩn tắc [60,Theorem BỊ Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là, liệu mọi nhóm con tựa chuẩntắc có A chuẩn tắc hay không? Câu trả lời là ‘khong’ khi K Isawasa chứng minh

được sự tồn tại các nhóm có nhóm con tựa chuẩn tắc nhưng không á chuẩn

tắc [40, 55, 62] Thêm vào đó, S E Stonehewer chứng minh được rằng lớp các

15

nhóm con tựa chuẩn tắc của một nhóm nằm trong một lớp tổng quát hơn lớp

các nhóm con á chuẩn tắc.

Định lý 1.1.1 ({60, Theorem A]) Nếu N là nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm

G thi N là nhóm con tăng trong G.

Ta nhắc lại định nghĩa của nhóm con tăng (ascendant subgroup) của một

nhóm Khái niệm tự số được sử dụng trong định nghĩa này có thể được tham

khảo trong [59] Cho G là nhóm Một chuỗi tăng (ascending series) trong nhóm

G là họ các nhóm con (Na)a<p được đánh chỉ số theo các tự số nhỏ hơn một tự

số ø thoả mãn các điều kiện sau:

() Na, < Nas nếu ay S@2;

Nhóm con N của G được gọi là nhém con tăng của G nếu N xuất hiện trong

một chuỗi tăng nào đó của G Lưu ý rằng, việc nghiên cứu các nhóm con tăng

của một nhóm khá phức tạp Do đó, việc nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc

theo hướng kế thừa các tính chất của nhóm con tăng hiện tại vẫn chưa khả thi.

May mắn thay, trong luận án, ta có bổ đề sau rất hữu dụng, có thể hỗ trợ nhiều

on oA ⁄4 z 2 ‹

cho việc nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc.

Bổ dé A ([[V, Lemma 2.4], [V, Lemma 6|) Cho G là nhóm va N là nhớm contựa chuẩn tắc của G Khi đó, hoặc G căn trên N hoặc N á chuẩn tắc độ dài tối

đa 2 trong G.

Nhắc lại rằng, nhóm G căn trên nhóm con có nghĩa là với mỗi phan tử

g € G, tồn tại số nguyên dương ny sao cho g”s € N Bổ đề A cho thấy được mối

liên hệ giữa lớp các nhóm con tựa chuẩn tắc và lớp các nhóm con á chuẩn tắc

16

trong trường hợp tổng quát Bồ đề A là một trong những công cụ chính được

sử dụng trong luận án khi nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn tắc

Chúng ta trở lại vấn đề nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm GL„(D).Với sự hỗ trợ của Bổ đề A, chúng ta có thể kế thừa các tính chất của nhóm con

A chuẩn tắc để nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc của GL„(D) Một số kết quảđáng lưu ý của nhóm con á chuẩn tắc trong GL„(D) đã được chứng minh:

e Nếu n = 2 và D có ít nhất 4 phần tử hoặc n > 2 thì lớp các nhóm con á

chuẩn tắc và lớp các nhóm con chuẩn tắc trùng nhau (xem [47])

e Trong vành chia các quaternion thực H, mọi nhóm con á chuẩn tắc của H*

đều chuẩn tắc (xem [27])

e Nếu n > 2 và D có vô hạn phần tử thì lớp các nhóm con gan 4 chuẩn tắc

và lớp các nhóm con chuẩn tắc trong GL„(D) trùng nhau (xem [49]) Nhắclại rằng, ta nói một nhóm con N của nhóm G là gan á chuẩn tắc (almost

subnormal) nêu tồn tại dãy các nhóm con

NE=N,<N,¡< -.<XM<M=G

thoả mãn với mỗi i € {1, ,,r}, hoặc N; J M;_¡ hoặc [N;_¡ : Nj] hữu hạn.

Trong luận án, chúng ta sẽ có một số kết quả ban đầu về nhóm con tựa chuẩn

tắc trong nhóm tuyến tính tổng quát GL„(D) Déi với trường hợp n > 2, ta có

kết quả sau:

Định lý B ([IV, Theorem 3.3]) Cho D là vanh chia va số nguyên n > 2 Khi

đó, moi nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát GU„(D) đều

Định lý C ([VI, Theorem 1.1]) Cho D là vanh chia, số nguyên n > 2 va N là

nhóm con không nằm trong tâm của GUẠ(D) Giả sử D có ít nhất bốn phan tử trong trường hop n = 2 Khi đó, các điều kiện sau tương đương:

(1) N chúa nhóm tuyến tính đặc biệt SL„(D).

(2) N chuẩn tắc trong GL„(D)

(3) N á chuẩn tắc trong GL„(D)

(4) N tựa chuẩn tắc trong GL„(D)

(5) N á tựa chuẩn tắc trong GL„(D)

Đối với trường hợp n = 1, nghĩa là GLị(D) = D* là nhóm nhân của vành chia

D, nhìn chung việc nghiên cứu khá phức tạp Trong trường hợp vành chia các

quaternion thực H, ta có kết quả tương tự Dinh lý C:

Dinh lý D ([VI, Theorem 1.4]) Cho H là vanh chia các quaternion thục uới

(4) N tựa chuẩn tắc trong TH

(5) N á tựa chuẩn tắc trong TỪ

Định lý D đã đưa ra ví dụ về vành chia mà trong nhóm nhân của nó, tất cả

các nhóm con tựa chuẩn tắc và nhóm con á tựa chuẩn tắc đều chuẩn tắc Tuy

nhiên, tính chất này không đúng cho tất cả các vành chia Trong Chương 3, ta

18

sẽ nhắc lại cách xây dựng vành chia Mal’cev-Neumann va dựa trên đó, ta xây

dựng ví dụ về vành chia mà trong nhóm nhân của nó, tồn tại nhóm con tựa

chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc Hơn nữa, ta cũng xây dựng được ví dụ về

sự tồn tại của nhóm con á tựa chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc lẫn tựa chuẩn

tắc trong vành chia Nói cách khác, ta có các kết quả sau:

Dinh lý E ({IV, Example 4.3]) Ton tai uành chia mà nhém nhân của nó chứa

nhóm con tựa chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc

Dinh lý F Ton tại vanh chia mà nhóm nhân của nó chúa nhóm con á tựa

chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc lẫn tựa chuẩn tắc

Như vậy, việc nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn tắc và nhóm con á tựa

chuẩn tắc trong vành chia là hoàn toàn có ý nghĩa Bên cạnh đó, chúng ta lưu ýrằng, theo Định lý 1.1.1, mọi nhóm con tối đại tựa chuẩn tắc trong một nhómluôn là nhóm con chuẩn tắc Điều này có liên quan đến việc nghiên cứu lớp các

nhóm con tối đại trong vành chia D Ta có giả thuyết sau do 8 Akbari và M.

Mahdavi-Hezavehi giới thiệu:

Giả thuyết 1 ({5, Conjecturel) Cho D là vanh chia không giao hoán Nhóm

nhân D* luôn chứa nhóm con tối đại.

Trong [3], các tác giả đã xây dựng được nhóm con tối đại của nhóm nhân H”.

Thêm nữa, [35] trình bày ví dụ vành chia D mà D* có các nhóm con tối đại

không chuẩn tắc có chỉ số hữu hạn Luận án này sẽ trình bày ví dụ về vành chia

D mà D* có vô sô các nhóm con tối đại chuẩn tắc.

1.2 Van đề nghiên cứu về sự tồn tại của nhóm

con tự do không giao hoán

Bài toán nghiên cứu về sự tồn tại của nhóm con tự do trong nhóm tuyến tính

trên vành chia đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả kể từ những thập niên

19

cuối thế kỷ XX Xuất phát điểm là kết quả của J Tits đối với nhóm tuyến tính

trên trường, được công bố vào năm 1972, mà hiện tại các bài viết thường đề cập

dưới tên gọi Tits Alternative:

Định lý 1.2.1 ({63, Corollary 1]) Cho G là nhóm tuyến tính trên trường Nếu

G hữu hạn sinh thi hoặc G chúa nhóm con tự do không giao hoán hoặc G chứa

nhóm giải được có chỉ số hữu hạn.

Tại Hội nghị Quốc tế lần thứ hai về Lý thuyết Nhóm (the Second International

Conference on the Theory of Groups) năm 1974, S Bachmuch đã đặt ra câu hỏi

mở rộng của Tits Alternative (xem [1, S Bachmuth’s Prolem 1-page 736]): Nếu

G là nhóm tuyến tinh trên vành chia thì liệu rằng kết luận như trong Dinh lý

1.2.1 có còn đúng nữa hay không? Đã có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu

xoay quanh van đề này Chẳng hạn, năm 1977, trong [45] A I Lichtman đã chỉ

ra được một vành chia mà nhóm nhân của nó, cũng chính là nhóm tuyến tính

tổng quát bậc 1 trên vành chia, có chứa nhóm con hữu hạn sinh không thoả kếtluận của Tits Alternative Cụ thể, kết quả có được như sau:

Dinh lý 1.2.2 ([45, Theorem 2|) Ton tại vanh chia D mà nhóm nhân D* chứa

nhóm con hữu hạn sinh thoả man đồng nhất thúc không tầm thường nhưng không

chứa nhóm con chuẩn tắc giải được có chỉ số hữu hạn

Trong [46], A I Lichtman đã đặt ra giả thuyết rằng:

Giả thuyết 2 Nhóm nhân của vanh chia không giao hoán luôn chúa nhóm con

tự do không giao hoan.

Sau đó, vào năm 1986, các tác giả J Z Goncalves và A Mandel đã tổng quáthoá Giả thuyết 2 cho nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia như sau:

Giả thuyết 3 (25, Conjecture 2]) Cho D là vanh chia Khi đó, nhớm con á

chuẩn tắc của D* không nằm trong tâm luôn chứa nhóm con tự do không giao

hoám.

20

Luận án sẽ mở rộng Giả thuyết 2 theo một hướng khác như sau:

Giả thuyết 4 Cho D là uành chia Khi đó, nhóm con tựa chuẩn tắc của D*

không nằm trong tâm luôn chúa nhóm con tự do không giao hoán.

Do Bồ đề A, ta có thể kết nối Giả thuyết 4 với Giả thuyết 3 như sau: Nếu

vành chia thoả mãn được Giả thuyết 3 thì nó cũng sẽ thoả mãn Giả thuyết 4.

Đến thời điểm hiện tại, Giả thuyết 2 lin Giả thuyết 3 đều chưa được giải quyết

triệt để Điều này cho thấy việc nghiên cứu Giả thuyết 2, Giả thuyết 3 và Giả

thuyết 4 là hoàn toàn có ý nghĩa.

Ta nhắc lại một số khái niệm liên quan đến vành chia Vành chia D có thé xem

như không gian vector trên tâm của nó Nếu số chiều của không gian vector này

là hữu hạn thì ta nói D là vanh chia hữu hạn chiều trên tam (finite-dimensional

division ring) Vành chia D được gọi la vanh chia hữu han dia phương yéu (weakly

locally finite division ring) néu mọi vành chia con của D sinh bởi hữu han phan

tử trong D đều là vành chia hữu han chiều trên tam Vanh chia D là trường hữu

hạn địa phương (locally finite field hoặc absolute field) nếu mọi vành chia con

của D sinh bởi hữu hạn phần tử trong D đều là trường hữu hạn.

Giả thuyết 2 và Giả thuyết 3 đã được giải quyết theo nhiều mức độ khác

nhau Một số trường hợp riêng của các giả thuyết này đã được nghiên cứu:

e J Z Goncalves chứng minh Giả thuyết 3 đúng trong trường hợp D là vành

chia hữu hạn chiều trên tam (xem [24, Theorem 2.1]).

e K Chiba chứng minh Giả thuyết 2 đúng với vành chia không giao hoán với

tâm không đếm được (xem [19, Theorem 2]).

e B X Hai va N K Ngoc chứng minh Giả thuyết 3 đúng cho trường hợp D

là vành chia hữu han địa phương yếu (xem [32, Theorem 11]).

e J P Bell và J Goncavels chứng minh được rằng: Với N là nhóm con chuẩn

tác của D*, nếu N chứa nhóm con solvable-by-locally-finite địa phương

21

không giao hoán thì N chứa nhóm con tự do không giao hoán (xem [11,

Corollary 1.3]) Nhắc lại rằng, nhóm X được gọi là nhóm

solvable-by-locally-finite nếu N chứa nhóm con chuẩn tắc giải được A sao cho N/A hữu han

địa phương.

e B X Hai và M H Bien chứng minh được rằng: Cho D là vành chia tâm

F thoả mãn F có bậc siêu việt vô hạn trên trường con nguyên tố Khi đó,

nếu N là nhóm con á chuẩn tắc của D* sao cho W chứa nhóm con giải được

không giao hoán thì W chứa nhóm con tự do không giao hoán (xem [13, Theorem 4.1]).

Trong luận án, chúng tôi sẽ xem xét một số điều kiện để cho Giả thuyết 3 vàGiả thuyết 4 đúng Cu thể, trong luận án, chúng tôi chứng minh được các kết

quả sau:

Định lý G ([IV, Theorem 5.4]) Cho D là uành chia, n là số nguyên dương va

GL„(DÐ) là nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên D Giả sử N là nhóm con tựachuẩn tắc không nằm trong tâm của GLẠ(D) Khi đó, N chứa nhóm con tự do

không giao hoán nếu một trong những điều kiện sau được thoả mãn:

(1) >2 va D không là trường hữu han địa phương.

(2) n=1 vd D là vanh chia hữu hạn địa phương yếu không giao hoán.

Định ly H ([HI, Theorem 1.2]) Cho D là uành chia va N là nhóm cơn á chuẩn

tắc của D* Nếu N chứa nhóm con giải được không giao hoán thà N chứa nhóm

con tự do không giao hoán.

Và ta cũng có kết quả tương tự cho nhóm con tựa chuẩn tắc:

Dinh ly I Cho D là vanh chia va N là nhóm con tựa chuẩn tắc của D* Nếu

N chúa nhóm con giải được không giao hoán thi N chúa nhóm con tự do không giao hoán.

22

Hiển nhiên, nếu một nhóm con nằm trong tâm của vành chia thì nó khôngthể nào chứa nhóm con tự do không giao hoán Do đó, một lớp bài toán khác

liên quan đến bài toán tồn tại nhóm con tự do không giao hoán là tìm điều kiện

để một nhóm con trong nhóm tuyến tính nằm trong tâm Ta có giả thuyết sau:

Giả thuyết 5 ([34, Conjecture 1]) Cho D là vanh chia tâm F va N là nhóm

con á chuẩn tắc của D* Nếu N giải được địa phương thi N C F

Một số trường hợp riêng của Giả thuyết 5 đã được giải quyết Năm 1964, C.

J Stuth chứng minh được rằng:

Định lý 1.2.3 (61, Theorem 4]) Mọi nhóm con chuẩn á tắc giải được trong

nhóm nhân của vanh chia đều nằm trong tâm.

A E Zalesskii, năm 1965, chứng minh được rằng:

Dinh ly 1.2.4 ([67, Teopema 2]) Moi nhóm con chuẩn tắc giải được địa phương

trong nhóm nhân của vanh chia đều nằm trong tam.

B X Hai và N V Thin, trong các công bố năm 2009 và năm 2013, đã chứng

minh được rằng:

Dinh lý 1.2.5 ([33, Theorem 2.9]) Mọi nhớm con á chuẩn tắc lug lính địa

phương trong nhóm nhân của vanh chia đều nằm trong tâm.

Định lý 1.2.6 ((34, Theorem 2.3]) Moi nhớm con á chuẩn lắc giải được địa

phương trong nhóm nhân của vanh chia hữu hạn địa phương yếu đều nằm trong

tâm.

Trong luận án, Giả thuyết 5 được chứng minh là hoàn toàn đúng Hơn thế nữa,

Giả thuyết 5 vẫn sẽ đúng khi mà ta thay điều kiện 'á chuẩn tac’ bởi ‘tua chuẩntac’ Cụ thể, ta có kết qua sau đây:

Định ly J ([VỊ) Cho D là uành chia tâm F va N là nhóm con hoặc á chuẩn tắc

hoặc tựa chuẩn tắc trong D* Khi đó, nếu N giải được địa phương thà N C F

23

Cho S$ là tập con và R là vành con của vành chia D Ta nói 9 căn trên R nếu

với moi s € S, tồn tại số nguyên dương n, sao cho sTM € R Năm 1978, trong [36],

I N Herstein phát biểu giả thuyết sau:

Giả thuyết 6 ([36, Conjecture 3]) Cho D là vanh chia tâm F va N là nhớm

con á chuẩn tắc của D* Nếu N căn trên F thì NC F

Giả thuyết 6 đã được giải quyết trong một số trường hợp như sau:

e I Kaplansky, trong một công bố năm 1951, cho thấy Giả thuyết 6 đúng khi

N = D* (xem |42, Theorem]).

e I N Herstein, năm 1978, chứng minh Giả thuyết 6 đúng khi là nhóm

xoắn (xem [36, Theorem 8Ì).

e I N Herstein, năm 1980, chứng minh Giả thuyết 6 đúng khi D là vành chia

có tam không đếm được (xem [37, Theorem 2]).

e B X Hai và L K Huynh, năm 2004, chứng minh Giả thuyết 6 đúng khi D

là vành chia hữu hạn chiều trên tâm (xem [30, Theorem I]).

Bằng cách thay giả thiết ‘4 chuẩn tắc) trong Giả thuyết 6 bởi ‘tua chuẩn tac’,

ta có giả thuyết sau:

Giả thuyết 7 Cho D là uành chia tâm F va N là nhóm con tựa chuẩn tắc của

D* Nếu N căn trên F thà N CF.

Ta sẽ phân tích một chút về mối liên hệ giữa Giả thuyết 3, Giả thuyết 6 và

Giả thuyết 7 Giả sử D và N được cho như trong giả thiết của Giả thuyết 7.

Như đã nói ở trên, theo Bổ đề A, N tựa chuẩn tắc trong D* thì sẽ chỉ có thể xảy

ra hai trường hợp Trường hợp thứ nhất là D* căn trên N, đồng nghĩa D* căn

trên F Như vay, theo kết quả nói trên của I Kaplansky năm 1950, ta có D là

trường và do đó N C F Do đó, để giải quyết Giả thuyết 7, ta chỉ cần xét trườnghợp còn lại, chính là N 4 chuẩn tắc trong D* Điều này có nghĩa, một hướng

24

để nghiên cứu Giả thuyết 7 là giải quyết Giả thuyết 6 Mặt khác, Giả thuyết 6được suy ra từ Giả thuyết 3 Như vậy, Giả thuyết 3 là tổng quát hơn cả.

Trong luận án, chúng tôi xét giả thuyết tổng quát hơn Giả thuyết 7 như sau:

Giả thuyết 8 Cho D là uành chia tâm F va N là nhóm con tựa chuẩn tắc của

D* Nếu N căn trên vanh chia con thực sự của D thì N C F.

Kết quả sau của C Faith cho thấy Giả thuyết 8 đúng khi N = D*.

Bổ đề 1.2.7 ([23, Theorem BỊ) Néu vanh chia D căn trên uành cơn thực sự thà

D là trường.

Chúng tôi ràng buộc một số điều kiện cho vành chia D sao cho Giả thuyết 8

đúng:

Dinh lý K ([H]) Cho D là vanh chia tâm F va N là nhóm con tựa chuẩn tắc

của D* Giả sử D thoả mãn một trong các điều kiện sau:

(1) D là vanh chia hữu han địa phương yéu.

(2) Tam F không đếm được.

(3) D là vanh chia Mal’cev-Neumann.

Khi đó, nếu N căn trên uành chia con thực sự của D thà N C F.

1.3 Van đề nghiên cứu đồ thị giao các nhóm

con tựa chuẩn tắc

Việc xây dựng đồ thị liên kết với một cấu trúc đại số là đề tài thu hút sự

quan tâm của nhiều nhà toán học trong khoảng 150 năm trở lại đây Theo xu

hướng này, ta sẽ kết hợp các cấu trúc trừu tượng, chang hạn như nhóm, vành,module, với một đối tượng cụ thể là đồ thị Qua các đặc trưng của đồ thi, cáctính chất của cấu trúc đại số ban đầu có thể được khám phá một cách gián tiếp

25

Nghiên cứu đầu tiên trong xu hướng này có thể là bài viết [16] của A Cayleyvào năm 1878 A Cayley xây dựng một biểu diễn hình ảnh của một nhóm hữu

hạn dưới dạng đồ thị với các đỉnh là các phần tử của nhóm đó Cho đến thời

điểm hiện tại, trong nghiên cứu về nhóm, có rất nhiều biến thể khác nhau của

đồ thị liên kết với nhóm do A Cayley giới thiệu đã được định nghĩa và tìm hiểu.Cùng chung ý tưởng sử dụng đồ thị để liên kết với cấu trúc đại số, thay vì xây

dựng đồ thị với đỉnh là phần tử thì một số nhà toán học đã xây dựng các lớp

đồ thị với đỉnh là các cấu trúc đại số con Chẳng hạn, năm 1964, trong [15], J

Bosak lần đầu tiên xây dựng đồ thị giao của các nửa nhóm với các đỉnh là các

nửa nhóm con Lấy cảm hứng từ nghiên cứu của Bosak, năm 1969, trong [20],

Csákány và Pollák đã nghiên cứu đồ thị giao các nhóm con của một nhóm hữu

hạn với đỉnh là các nhóm con thực sự của nhóm đó Gần đây, đồ thị giao có các

đỉnh là các cấu trúc con của các cấu trúc nhóm, vành, module được S Akbari

và các cộng sự nghiên cứu sâu (xem [4, 6, 7, 53|) Trong luận án, chúng tôi sẽ

xét một loại đồ thị con cảm sinh từ đồ thị giao các nhóm con của một nhóm.

Đó là đồ thị giao các nhóm con tựa chuẩn tắc của một nhóm

Chúng ta nhắc lại một số khái niệm trong lý thuyết đồ thị Cho T là đồ thị

đơn với tập đỉnh V và tập cạnh # Với hai đỉnh phân biệt u và v, ta ký hiệu

w x^ nếu và ø kề nhau Nếu V = Ø thi ta gọi T là đồ thi null Trong đồ

thị T khác đồ thi null, một đường di từ đỉnh vp đến đỉnh ø„ là dãy các đỉnh

V9 1 VLAD +++A Un, trong đó oọ, v1, , Un—1 phân biệt Nếu vp = vy thì ta gọi day

đó là chu trinh Số nguyên n như trên được gọi là độ đài của đường di Với cặp

đỉnh u và v, nếu có đường đi từ u đến v thì ta nói và v liên thông Néu u và

v liên thông thì khoảng cách giữa u và v, ký hiệu dist(u,v), là độ dai của đường

đi ngắn nhất nối u và ø; ngược lại, dist(u,v) = oo Đặc biệt, dist(u,u) = 0 Đường

kính của T, ký hiệu Diam(T), là khoảng cách lớn nhất giữa hai đỉnh bất kỳ trong

F Nếu F có chứa ít nhất một chu trình thi girth của T, ký hiệu Girth(Œ), là độ

đài của chu trình ngắn nhất trong T.

26

Cho Gla nhóm Đồ thi giao các nhớm con của G, được ký hiệu là T(G), là đồ

thị có đỉnh là các nhóm con thực sự không tầm thường của G và hai đỉnh phân

biệt H và K kề nhau nếu HONK ¢ (1) Một số nghiên cứu về đồ thị T(G) cũng

như các đồ thị con của nó:

e S.H Jafari và N J Rad đã nghiên cứu đồ thị giao các nhóm con chuẩn tắc

Tu(G) của nhóm G, nghĩa là Ta(G) là đồ thị con của F(G) cảm sinh từ tap

các nhóm con chuẩn tắc của G (xem [39])

e Trong [4], S Akbari và các đồng tác giả đã chứng minh được rằng, nếu đồ

thị T(G) của nhóm có chứa chu trình thì F(G) sẽ chứa chu trình có độ dài 3.

Hơn nữa, các tác giả đã chứng minh rằng mọi nhóm Œ hữu hạn thoả mãn

T(G) không chứa chu trình thì Œ giải được.

e Trong [14], M H Bien và D H Viet đã phân loại các nhóm tuyến tinh tổng

quát GL,(F) trên trường F hữu hạn theo đường kính của đồ thị T(GL„(F)).

e Trong [31], B X Hai và các đồng tác giả đã nghiên cứu đồ thị T(GL„(Ð))

với D là vành chia Các tác giả đã chứng minh nếu tâm của D có ít nhất 3

phần tử thì đường kính của T(GL„(D)) tối đa là 3 Cũng trong báo cáo này,

các tác giả đã nghiên cứu hai loại đồ thị con của F(GLa(Ð)): Đồ thị giao

các nhóm con gần á chuẩn tắc và đô thị giao các nhóm con cyclic.

Đồ thị giao các nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm G, được ký hiệu là Tạ(G),

có các đỉnh là các nhóm con tựa chuẩn tắc thực sự không tầm thường và hai

đỉnh H và K của T,(G) kề nhau nếu HN K # (1) Các tính chất đầu tiên của

Ts(G) với G là nhóm tuỳ ý:

Định lý L ({1, Theorem 3.3]) Cho G là nhóm không đơn Khi đó, ta có

Diam(T4(G)) € {0,1,2, co}.

Định lý M (I, Theorem 3.4]) Cho G là nhóm không đơn Nếu Tạ(G) chứa chu

trinh thà Lạ(G) liên thông va Girth(Vs(G)) = 3.

27

Các kết quả tiếp theo là phân loại các nhóm GL„(Ð) theo đường kính của đồ

thị giao các nhóm con tựa chuẩn tắc Nếu D là vành chia tổng quát và n > 2 thì

ta có kết quả sau:

Dinh lý N (Í[, Theorem 5.4]) Cho D là vanh chia tâm F va số nguyên n > 2.

Khi đó, các nhém GL,(D) được phân loại theo đường kính của đồ thị giao các

nhóm con tựa chuẩn tắc Tạ(GLA(D)) như trong bang sau:

STT Các giả thiết Đường kính của

(11) | Tát cả các điều kiện chon > 2, F va D không 2

được liệt kê phía trên

trong đó k là số nguyên dương thoả man 2* + 1 là số nguyên tố va p là số nguyên

28

tô thoả mãn p = 2 hoặc p có dang 2° — 1.

Trong trường hợp D = F là trường và n > 1, định lý sau đây phân loại một

cách đầy đủ và cụ thể tất cả các nhóm tuyến tính tổng quát trên trường

Dinh lý O ({I, Corollary 5.6]) Cho F là trường va số nguyên n > 1 Khi đó,

các nhóm GL„(F) được phân loại theo đường kính của đồ thị giao các nhớm con

tựa chuẩn tắc Tạ(GL„(F)) như trong bang sau:

STT Các giả thiết Đường kính của

n F Tq(GL„(F))

(1) |n=1 FT, Foi vdig là Ta(GLa(F)) là do thi

số nguyên tô null

(12) | Tat cả các gid thiết chon va F không được liệt 2

kê bên trên

trong đó k là số nguyên dương thoả mãn 2* +1 là số nguyên tô va p là số nguyên

tô thoả mãn p = 2 hoặc p có dang 2“ — 1.

Kết luận Chương 1 Chúng ta đã nhắc lại một cách sơ lược lịch sử nghiên cứuliên quan và phát biểu các kết quả chính của luận án Dau tiên, các kết quả vềnhóm con tựa chuẩn tắc trong một nhóm tổng quát và về các nhóm con á chuẩn

tắc trong GL,(D) đã giúp chúng ta có những ý tưởng ban đầu cho việc nghiên

cứu các nhóm con tựa chuẩn tắc trong GL,(D) Hơn nữa, thêm vào các nghiêncứu về nhóm tuyến tính trên vành chia, chúng ta xem xét hai bài toán cụ thểcho lớp nhóm con tựa chuẩn tắc Đầu tiên là bài toán về sự tồn tại của nhómcon tự do không giao hoán trong nhóm con tựa chuẩn tắc của GL„(D) Cuối

cùng, tiếp nối ý tưởng từ những nghiên cứu về các đồ thị liên kết với các cấu

trúc đại số, đặc biệt là về đồ thị giao các nhóm con của một nhóm, chúng ta sẽ

có một số mô tả về đồ thị giao các nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm GL„(D).

j0

CHƯƠNG 2

KIÊN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức về lý thuyết nhóm có

liên quan trực tiếp đến nội dung của luận án Cụ thể, chúng tôi liệt kê các tính

chất của nhóm con tựa chuẩn tắc trong một nhóm và một số đặc điểm về mặtcấu trúc của nhóm tuyến tính tổng quát GL„(D) bậc n > 2 trên vành chia D

Chúng tôi cũng trình bày một vài tính chất của các đại số thoả mãn một đồng

nhất thức đa thức Vì một số tính chất khá khó tra cứu được trong các tài liệu

nên chúng được phát biểu và trình bày chứng minh mặc dù chúng khá cơ bản

2.1 Nhóm con tựa chuẩn tắc

Để tiện theo dõi, ta nhắc lại định nghĩa của nhóm con á chuẩn tắc và nhómcon tựa chuẩn tắc Cho G là nhóm Nhóm con N của G được gọi là nhóm con á

QH = HQ với mọi nhóm con H của G.

j1

Chúng ta bắt đầu từ vài tính chất cơ bản của nhóm con tựa chuẩn tắc trong

một nhóm.

Bổ đề 2.1.1 Cho G là nhém va N là nhóm con của G Khi đó, các điều kiện

sau tương đương:

(1) N tựa chuẩn tắc trong G

(2) Với moi nhóm con H của G, tích NH là nhóm con của G.

(3) Với moi nhóm con H của G, tích HN là nhóm con của G.

(4) Với moi nhóm con cyclic (x) của G, ta có N(x) = (x)N.

5) Với mọi phan tha € N vax € G, ton tai a’ € N va số nguyên n thoả manp guy

nt

ax=xra.

(6) Với mọi phan tử ac N vax € G, ton tai a’ € N va số nguyên n thoả man

ca —= d1",

Chứng mình Trước hết, dé thấy ta có các chiều (1) © (2) = (3), (1) = (4) va

(4) = (5) = (6) Ta chỉ cần chứng minh (4) > (1) Giả sử ta có điều kiện (4).

Cho H là nhóm con của G Ta sẽ chứng minh tích HN C NH Thật vậy, vì (4)

© (6) nên với mọi h € H vaa € N, tồn tai a’ € N và số nguyên n(a,h) sao cho

ha =a'h"TM"), Do đó ha € NH Từ day ta có HN C NH Tương tự, NHC HN

Nhu vay, NH = HN và do đó N là nhóm con tựa chuẩn tắc của G

Bồ đề 2.1.2 Cho G là nhớm va N là nhóm con tựa chuẩn tắc của G Khi đó,

ta có

(1) Nếu H là nhóm con của G thi NAH là nhóm con tựa chuẩn tắc của H

(2) Nếu H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G thà HN cũng là nhóm con tựa

chuẩn tắc của G

(3) Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G thà HN/H là nhóm con tựa chuẩn tắc

của G/H.

32

(4) Néug G thi NY là nhóm con tựa chuẩn tắc của G.

(5) Nếu py: H > G là toàn cấu nhóm thi ảnh ngược @~!(N) là nhóm con tựa

chuẩn tắc của H.

Chứng minh (1) Cho H < G Vì N tựa chuẩn tắc trong nên theo Bồ đề 2.1.1

với moia € NOH và h € H, tồn tại số nguyên n = n(a,h) và a’ € N sao cho

ah = h"a! Ta có a! = h-"ah € H và do đó a’ € NOH Theo Bồ đề 2.1.1, ta có

NO 4 là nhóm con tựa chuẩn tắc của H

(2) Cho H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G Ta có HN là nhóm con của G

Với mọi nhóm con của G, ta có

(HN)K = H(NK) = H(KN) = (HK)N = (KH)N = K(HN).

Như vậy, HN là nhóm con tựa chuẩn tắc của G

(3) Cho H JG Giả sử K/H là nhóm con của G/H Khi đó H C K Theo (2),

HN là nhóm con tựa chuẩn tắc của và do đó (HN)K = K(HN) Từ đây ta có

(HN/H)(K/H) =(HN)K/H = K(HN)/H = (K/H)(HN/H).

Như vậy, HN/H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G/H

(4) Vig G và K <G, ta có N9 và K# ` là các nhóm con của G Vì N tựa

chuẩn tắc trong G nên

KN9 = (K9 `)*N9= (K9 `N)9=(NK9 `)9= NIK.

Như vậy, V9 là nhóm con tựa chuẩn tắc của G

(5) Giả sử ta có toàn cấu nhóm y: H > G Với a € ¿~!(N) và h € H, đặt

b= ¿(a) vag = ¿(h) Vì ae vy !(N) nên be N Do N tựa chuẩn tắc trong G nên

tồn tại b! € N và số nguyên n = n(b, ø) sao cho bg = g”b! Mặt khác, vì ¿ là toàn

cấu nên tồn tai a’ € @~!(N) sao cho b! = g(a’) Do đó, ¿(a)¿(h) = ¿(h)"g(4') và

như vậy y((ah)~th"a’) = 1 Suy ra e:= (ah)~!h "4a! € kere C ¿@~!(N) Điều này có

nghĩa là ah = h"afe~! với a'e € @~!(N) Theo Bo đề 2.1.1, ø~!(N) là nhóm con

tựa chuẩn tắc của, H.

33

Những tính chất dưới đây nói lên mối liên hệ giữa nhóm con tựa chuẩn tắc

và nhóm con á chuẩn tắc Kết quả sau được 8 E Stonehewer chứng minh:

Mệnh đề 2.1.3 ([60, Theorem BỊ) Mọi nhóm con tựa chuẩn tắc trong nhóm

hữu hạn sinh đều á chuẩn tắc

Trong trường hợp tổng quát, lớp nhóm con tựa chuẩn tắc không nằm trong

và Coreg(H) được gọi là lõi chuẩn tắc (normal core) của H trong G Rõ rang,

Coreg(H) là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G nằm trong H Ký hiệu

Bổ đề 2.1.6 (2S, Theorem 2|) Cho G là nhóm va N là nhóm con tựa chuẩn

tắc của Œ Giả sử tồn tại nhóm con cyclic v6 hạn C của GŒ thoả mãn NNC = (1).

Khi đó, N chuẩn tắc trong NG va nhóm thương N/Coreg(N) giao hoán

Như là hệ quả của Bo đề 2.1.6, kết quả dưới đây rất hữu dụng cho việc tim

hiểu nhóm con tựa chuẩn tắc.

34

Bổ đề 2.1.7 (Bo đề A) Cho G là nhớm va N là nhóm con tựa chuẩn tắc của

G Khi đó, hoặc G căn trên N hoặc N á chuẩn tắc độ dài tối đa 2 trong G

Chứng minh Giả sử G không căn trên N, nghĩa là tồn tại phần tử z € G thoả

mãn z" ¢ N với mọi n Theo Bo đề 2.1.6, ta có N < NG 4G Nhu vậy, N 4chuẩn tắc trong G với độ dài tối da 2

Bo đề 2.1.7 là chìa khoá để chứng minh một số tính chất của nhóm con tựachuẩn tắc Nó là cầu nối giữa lớp các nhóm con tựa chuẩn tắc và lớp các nhómcon á chuẩn tắc

Nhắc lại rang, một nhóm G không tầm thường được gọi là nhớm đơn nêu G

có đúng hai nhóm con chuẩn tắc là (1) và Œ Ngược lại, ta nói G là nhóm khôngđơn Đối với nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm đơn, ta có tính chất sau:

Bổ đề 2.1.8 (60, Corollary C2]) Nhóm đơn không có nhóm con tua chuẩn tắc

Để chứng minh bổ đề kế tiếp, ta nhắc lại tính chất cơ bản sau:

Bổ đề 2.1.10 ([56, 3.3.5|) Nếu G là nhớm va H là nhóm con có chỉ số hữu hạn

của G thà nhóm thương G/Coreg(H) hữu han.

Bồ đề 2.1.11 Moi nhóm con tựa chuẩn tắc có chỉ số hữu hạn đều á chuẩn tắc

Chứng minh Giả sử N là nhóm con tựa chuẩn tắc có chỉ số hữu hạn trong nhóm

G Theo Bo đề 2.1.10, nhóm thương G/Coreg(N) là nhóm hữu hạn Mặt khác,theo Bo đề 2.1.2(3), nhóm con N/Coreg(N) tựa chuẩn tắc trong G/Coreg(N)

Điều này có nghĩa là N/Coreg(N) á chuẩn tắc trong G/Coreg(N) Như vậy, N á

chuẩn tắc trong G

35

Hệ quả 2.1.12 Mọi nhóm con tựa chuẩn tắc có chỉ số nguyên tố đều chuẩn

o

tac.

2.2 Nhóm tuyến tính trên vành chia

Cho số nguyên n > 2 và D là vành chia Trong phan này, chúng ta sẽ nhắc lại

một số tinh chất của nhóm tuyến tính tổng quát GL,(D) bậc n trên D Trong

vành các ma trận vuông M,,(D), ta ký hiệu e;; là ma trận có 1 tại vi tri (¡; 7) và

0 tại tât cả các vị trí còn lại Ta có

Dy(a) := In + (œT— leu, (1 <i < n).

Ta thấy rằng ƒ¡;(a) là ma trận có tất cả phần tử trên đường chéo chính là 1,

phần tử ở vị trí (¡; 7) là a và tất cả vị trí khác đều là 0; D;(a) là ma trận đường

chéo có phan tử ở vị trí (¡;¿) là a và các vị trí khác trên đường chéo chính là 1.

Bổ đề 2.2.1 (|22, Trang 8]) (1) Eij(a) - E(8) = Eij(a + 8), (a,8 € D)

(2) E„(a)"1 = ịj(—o), (a € D).

(3) Di(a) - Di(8) = Di(aB), (a, 8 € D).

(4) Di(a)~! = Di(ae"), (a € D*).

(5) Di(a) - Dj(8) = Dj(B) - Dị(a), (a, 8 € D,¡ F J).

Tiếp theo, ta có một số tinh chat của nhóm tuyến tinh đặc biệt SL,(D) Nhắc

lại rằng, SL,(D) là nhóm các ma trận vuông cấp n trên vành chia D có định

36

thức Dieudonné là 1 € D*/D’ Ta có thể tham khảo định nghĩa của định thức

Dieudonné trong [22] Tính chất đầu tiên khá thú vị là SL,(D) được sinh bởi tất

cả các ma trận !2;(o).

Bổ dé 2.2.2 ([22, Definition 4 và Theorem 3-§20]) Cho D là vanh chia va số

nguyên n > 2 Khi đó, SLy(D) = (Ej(o)|L < i,j <n,¡ # j 0à a € D)

Bổ đề sau cho thay ở hầu hết các trường hợp, nhóm SL„(D) là nhóm con giao

hoán tử của GL,(D) và là nhóm hoàn hao.

Bồ đề 2.2.3 (Í22, Theorem 4-§20]) Cho D là vanh chia va số nguyên n > 2

Khi đó,

(1) SL,(D) = [GL,(D), GLa(D)]| trừ trường hợp n = 2 va D 3 Fo;

(2) SL„(D) = [SLu(Ð),SL„(D)] tra trường hợp n = 2 va D có ít hơn 4 phần tử.

Bổ đề 2.2.4 ([22, Corollary 1 va Definition 4-§20]) Cho D là vanh chia Khi

đó, Glin(D)/SLn(D) = D*/D’.

Tam của các nhóm GL,(D) và nhóm SL,(D)) được xác định như sau:

Bổ đề 2.2.5 ((22, Theorem 1-§21]) Cho D là vanh chia tâm F Khi đó

(1) Z(GL„(D)) = {e- Inle € F*},

(2) Z(SLn(D)) = {c- l„|c € F* va c" € DỊ}.

Liên quan đến tâm của nhóm SL,(D), ta có tính chat sau:

Bổ đề 2.2.6 ([22, Theorem 2-§21]) Cho D là uành chia va số nguyên n > 2

Giả sử D có tt nhất bốn phan tử trong trường hợp n = 2 Khi đó, nhóm thương

PSL„(D) := SL„(D)/Z(SL„(D)) là nhóm đơn.

Kết quả sau cho thấy trong phần lớn các trường hợp, lớp các nhóm con á

chuẩn tắc của GL,(D) trùng với lớp các nhóm con chuẩn tắc:

37