Luận án tiến sĩ toán học: Nhóm tự đẳng cấu của một số lớp miền trong Cn và dáng điệu biên của hàm squeezing

DAI HỌC QUOC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Lan Hương

NHÓM TU DANG CẤU CUA MOT SỐ LỚP MIEN

TRONG C”

LUAN AN TIEN SI TOAN HOC

Hà Nội - 12/2023

DAI HỌC QUOC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Lan Hương

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 94 60 101.02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS NINH VĂN THU

CHU TICH HOI DONG

GS TSKH PHAM KY ANH

Hà Nội - 12/2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là mới, đã đượccông bố trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước.

Các kết quả viết chung với PGS TS Ninh Văn Thu, PGS TS Hyeseon Kim,

TS Mai Anh Đức, PGS TSKH Nguyễn Quang Diệu, ThS Trần Quang Hùng đãđược sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án.

Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bốtrong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Lan Hương

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự quan tâm và hướng dẫn tận tình của PGS.

TS Ninh Văn Thu Nhân dịp này, tôi xin được gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành

và sâu sắc nhất.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TS Nguyễn Thạc Dũng, PGS TS.Ngo Quốc Anh và PGS TS Hyeseon Kim, những người đã giúp đỡ tôi nhiều

trong quá trình học nghiên cứu sinh và hoàn thành luận án.

Tôi xin được bày td lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin

học, Phòng Dao tao va Ban Giám hiệu trường DH KHTN - DHQGHN đã tạo

mọi điều kiện thuận lợi để tôi có thể hoàn thành luận án của mình.

Cuối cùng, tôi cũng xin được bày td lòng biết ơn đến các thầy cô trong Bộ

môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học thuộc trường DH KHTN - DHQGHN;

Bộ môn Toán, Khoa Khoa học Cơ bản thuộc trường DH Mỏ-Địa chất; các thành

viên Seminar “Giải tích” thuộc Khoa Toán - Cơ - Tin học; cùng các bạn đồng

nghiệp về sự động viên, khích lệ cũng như những trao đổi hữu ích trong suốt quá

trình học tập và công tác.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Lan Hương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 15

11 Hàm đa điều hoa dưới 151.2 Khái niệm miền giả lồi 18

1.3 Khái niệm kiểu theo nghĩa DAngelodl - 211.4 Khái niệm dãy hàm chuẩn tắc và giới han của dãy miền 23

Chương 2 Nhóm tự dang cấu của một số miền trong C” 25

2.1 Một số khái niệm và bổ đề 26

2.2 Nhóm tự dang cấu của mô hình Dp và @p|_ 312.3 Tự dang câu của mô hình kiểu hữu hạn 39

2.4_ Một số vi dụ minh họa cho kết quả chính 46

Chương 3 Dáng điệu biên của ham squeezing 48

⁄ nA nA ` x 22 oA z he

3.1 Dáng điệu biên của ham squeezing gan điểm biên có đôi hang của

3.1.1 Day scaling trong miền nhiều chiều

3.2.1 Một số bổ đề kỹ thuật

3.2.2 Hàm squeezing đối với miền lồi tuyến tính

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Aut(Q): nhóm tự đẳng cấu của miền ©.

C*(Q): không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên ©.

.- H(w,Q) (hoặc Hol(w,Q)): tập các ánh xạ chỉnh hình từ vào Ô).

SH(Q): tập các hàm điều hoà dưới trên Q C C.

PSH(Q): tập các hàm đa điều hoà dưới trên Q Cc C”.

USC(Q): tập các hàm nửa liên tục trên trong Q Cc C”,

Pon: không gian tất cả các đa thức, giá trị thực, thuần nhất, điều hòa dưới

trên C với bậc 2m.

Ma = {z EC": Re(z-) † Q(z) t |z2|? bess \2n—1|? < 0} VỚI Q € Pom.

€9 & Og với nghĩa: Q; va Q2 là song chỉnh hình với nhau.

a <b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, độc lập với các tham số (thường là

q và tham số thực e) sao cho a < Cb.

a b có nghĩa là tồn tại hằng số Œ¡, Cy > 0, độc lập với các tham số (thường

là q và tham số thực e) sao cho Œ1b < a < Cb.

7r(09,p): kiểu của biên OO tại điểm biên p € ON.

Π^ oh 2 Z 2 on =

T,, (M): không gian tiep xúc phức của siêu mặt M tại p.

A, = D, = {z €C: |z| <r}, A:= Ai.

Ko: gia metric Royden-Kobayashi trên miền Ô.

oq(z): ham squeezing của miền C C” tại z € 9.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cho © là một miền trong C° Tap tất cả các tự dang cấu (ánh xạ song chỉnh

hình từ Q vào Q) của Q, kí hiệu bởi Aut(Q) lập thành một nhóm với phép toán

hợp thành Hơn nữa, Aut(Q) cũng là một nhóm tôpô với tôpô hội tụ đều trên các

tập con compact (tức là tôpô compact-mở).

Các nghiên cứu trong mấy chục năm qua chỉ ra rằng, hình học của miền được

xác định bởi cấu trúc của nhóm tự dang cấu, tức là biết được nhóm Aut(Q) ta

có thể suy ra được một số tính chất hình học của miền 2 Vì vậy, việc tính hoặc

mô tả nhóm tự đẳng cấu là cần thiết Tuy nhiên, với hầu hết các miền, việc tínhcác nhóm tự đăng cấu không đơn giản và mới chỉ thực hiện được trong một số

trường hợp Cụ thể, trong mặt phẳng phức, nhóm tự đẳng cấu của đĩa đơn vị

được tính toán dễ dàng Dối với các miền trong không gian phức với chiều > 2,da dia A” và hình cầu đơn vị B” cũng được mô tả chỉ tiết Từ việc hai nhóm này

không đẳng cấu với nhau (chiều của hai nhóm tự đẳng cấu khác nhau) ta suy

ra ngay A” và I8" không song chỉnh hình với nhau, mặc dù chúng đồng phôi với

nhau (Định lý Poincaré).

Năm 1931, P Thullen đã mô tả nhóm tự dang cấu của miền ellipsoid (miền

D={(u,z) €C?: |u| + |z|? < 1},1<p#2.

Sau đó, các nhà Toán học như Cartan.H, Narukil, Sunada.T, Greene.R E,

Krantz.S đã thành công trong việc mô tả nhóm tự đẳng cấu của một số lớp

miền Thullen tổng quát trong C” Đặc biệt, Thu N.V và Dức M.A [40] đã tính

được nhóm tự đẳng cấu của mô hình thuần nhất trong C? sau đây:

My = {(w,z) € C*: |u|?+ A(z) < 1},

trong đó H(z) là da thức thực thuần nhất theo trọng điều hoa dưới bac 2m

6

(m > 1) và không chứa hạng tử điều hoà.

Phần đầu của luận án được dành để mô tả nhóm tự đẳng cấu của một số lớp

miền tổng quát hơn trong C” Cu thể, luận án sẽ mô tả nhóm tự dang cấu củamô hình đa kiểu hữu han (theo nghĩa của D Catlin) trong C” sau đây:

Mp = {z = (z,z„) € C": Re(zn) + P(2) < 0},

trong đó P(z’) là đa thức giá tri thực, đa điều hoà dưới, thuần nhất theo trọngvà không chứa hạng tử đa điều hoà.

Trong Giải tích phức nhiều biến, các nhà Toán học tập trung nghiên cứu các

tính chất của miền bất biến qua các tự đẳng cấu Cụ thể, các metric bất biến như

metric Carathéodory, metric Kobayashi, metric Bergman, và các hàm bat biến

như ham squeezing, ham Fridman.

Bay giờ, ta nhắc lại khái niệm ham squeezing Cho Q là miền trong C” và

p € Q Với phép nhúng chỉnh hình ƒ : O > B", ƒ(p) =0, ta định nghĩa

Øo,;(p) := sup{r >0: B(O,r) C f(Q)},

trong đó B(z,r) C C" ký hiệu cho hình cầu phức bán kính r và tâm tại zp và3“ ký hiệu cho hình cầu đơn vị Ø(0, 1) Khi đó, ham squeezing og : Q > R được

định nghĩa như trong [11] bởi

Øo(p) := sup {70,¢(p)}

-Trên tập con compact tuỳ ý của Q, ham squeezing bị chặn dưới bởi hằng số

dương và do đó các metric bất biến sẽ tương đương nhau trên tập này Vì vậy,

ham squeezing có ý nghĩa khi điểm p rất gần biên OQ Trong trường hợp miền ©

có ham squeezing bị chặn dưới bởi hằng số dương trên © (miền squeezing đều),

các metric trên 2 tương đương nhau Tuy nhiên, đối với miền bat kì ước lượng

này có thể không xảy ra và hàm squeezing có thể dần đến 0 khi điểm p dần đến

biên của miền Vì vậy, trong phần tiếp theo, luận án tập trung nghiên cứu dáng

điệu biên của hàm squeezing trên các miền giả lồi kiểu hữu hạn.

Để đưa ra được ước lượng cho hàm squeezing, luận án sử dụng phương phápscaling của Pinchuk.S [47] Phương pháp scaling được Bedford.E và Pinchuk.S

3| và Berteloot.F [ð| sử dụng một cách hiệu quả để đặc trưng cho miền giả lồichặt, giả lồi kiểu hữu han trong C?, miền lồi kiểu hữu hạn với nhóm tự đẳng cấu

không compact Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương phap scaling cho

miền có đối hạng của dạng Levi bằng 1 trong bài báo và cho miền lồi tuyếntính trong bài báo [39] Ngoài ra, tính bất biến của hàm squeezing qua ánh xạ

song chỉnh hình được chúng tôi sử dụng để đưa ước lượng dưới cho hàm squeezingcho miền giả lồi kiểu hữu hạn, đặc biệt cho miền ellipsoid tổng quát.

Với các lý do nói trên chúng tôi lựa chọn đề tài luận án “Nhóm tự đẳng cấucủa một số lớp miễn trong " va đáng điệu biên của ham squeezing” để tiếp tục

giải quyết hai bài toán sau đây:

Bài toán 1 Mô tả nhóm tự đẳng cấu của miền trong C",

Bài toán 2 Nghiên cứu dáng điệu biên của hàm squeezing của miền trong C”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là mô tả nhóm tự đẳng cấu của một số lớp miền trongC” (mô hình đa kiểu hữu han) và nghiên cứu dáng điệu biên của ham squeezingtrên miền giả lồi kiểu hữu han trong C”.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu của luận ánlà các miền trong C” Trong luận án, tư tưởng chính xuyên suốt là khảo sát các

tính chất hình học của miền Cụ thể, luận án khảo sát nhóm tự đẳng cấu của mô

hình đa kiểu hữu hạn và khảo sát dáng điệu của hàm squeezing tại các điểm gần

biên của miền giả lồi kiểu hữu hạn.

4 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương

pháp nghiên cứu và kĩ thuật truyền thống của Giải tích phức, Hình học phức.

Đặc biệt, chúng tôi 4p dụng kĩ thuật scaling của Pinchuk.S linh hoạt cho từng

8

trường hợp cụ thể Ngoài ra, chúng tôi cũng sáng tạo ra những kĩ thuật mới cũng

như đưa ra các ví dụ minh hoa.

5 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài

Luận án gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày về một số kiến thức cốt lõi liên quan đến các van đề nghiên

cứu Nội dung của chương bao gồm: các khái niệm về hàm điều hoà dưới, đa điều

hoà dưới, miền giả lồi, kiểu theo nghĩa D'Angelo, đa kiểu Catlin, hàm peak đa

điều hoà dưới, sự hội tụ của dãy miền.

Chương 2: Trình bày về nhóm tự đẳng cấu của một số miền trong C” Cụ thể

chúng tôi sẽ mô tả nhóm tự dang cấu của một số lớp miền trong C”.

Với mỗi điểm z = (zị, ,z„) € C", ta kí hiệu 2’ = (zI, ,zu-¡) € CTM! Cố

định các số nguyên dương ?m1,?ma, ,?m„_¡ Khi đó, theo thứ tự ta gán trọng

P(/ mi, " 2mm 1) =tP(z, ,%-1) với mọi z' € C"ˆ† vat > 0.

Mục đích của chương này là mô tả nhóm tự đẳng cấu của mô hình đa kiểu

hữu han (theo nghĩa của D Catlin) trong C" sau đây:

Mp = {z €C”: Re(z„) + P(2) < 0}.

Cần nhấn mạnh rằng các mô hình này xuất hiện trong các công trình về đặc trưng

cho miền kiểu hữu hạn © trong C” với nhóm tự đẳng cấu không compact Chang

9

hạn, Bedford E-Pinchuk S [3] và Gaussier H đã chứng minh rằng nếu 2 là

miền lồi, kiểu hữu han trong một lân cận của điểm tụ quỹ dao thì Q song chỉnh

hình với mơ hình Mp nĩi trên Gan đây, đặc trưng của mơ hình đa kiểu hữu han

cũng được thiết lập bởi Rong F và Zhang B trong [49] Trong trường hợp 2 là

giả lồi chặt, B Wong B [53] và Rosay.J.P [50] chỉ ra rằng mọi miền giả lồi chặt

bi chặn trong C” với nhĩm tự dang cấu khơng compact là song chỉnh hình vớicầu đơn vị 8“ Thêm nữa, khi n = 2, nhĩm tự đẳng cấu của mơ hình Mp cũng

đã được mơ tả đầy đủ trong [40].

Chúng tơi quan tâm đến hai lớp miền đặc biệt Dp và Qp trong C"(n > 2),

được xác định lần lượt như sau:

Dp := {(2',2n) € C": len|? + P(2) < 1};

Qp := {(2',2n) € C” : Re(zn) + P (z’) < 0},

Luu ý rang Dp là bị chặn khi và chỉ khi P(2') > 0 với moi z € C”=1\40} (xem

[25], Bổ đề |2.2 1) Hơn nữa, nếu Dp bị chặn thì nhĩm tự đẳng cấu Aut (Dp) là

khơng compact vì nĩ chứa tập các tự đẳng cấu {Ĩà:œ€ A,O € R}, trong đĩ day

xác định bởi:

trong đĩ ø€ A:={zEC: |z| < 1} vàØ0c€R.

Trước tiên, chúng tơi chứng minh rằng Aut(Dp) sinh bởi tập các tự đẳng cấu

ở trên và Gp, trong đĩ Gp là tập tất cả các tự đẳng cấu cĩ dạng (z,z„) 4

(Az’, zn), trong đĩ A = diag(4i, , A¿) là ma trận chéo khối thỏa mãn điều

kiện: mỗi A; (1 < 7 < &) là ma trận khả nghịch cỡ (i; — ij-1) x (4; — ?;_¡) và

P(A2) = P(z') với các số nguyên dương j\, ,i„ thỏa mãn

My SS Mi, > wee > TH¿, ¡+1 SS Mi, > we > TH, _ 1+1 = = Mi, = Th„ạ_—1.

Kết quả chính thứ nhất của chương hai là định lý sau đây.

Định lý Cho P là da thúc thực da điều hịa dưới thuần nhất theo trọng

trên C"~! cho bởi uới giả thiết thêm rằng P (2z) > 0 uới moi 2’ € C"~1\10}.

Khi đĩ, Aut(Dp) được sinh bởi Gp va {ĩ„ø: a€ A,0 € R}.

10

Lưu ý rằng Dp là song chỉnh hình với Qp Do đó, nhóm Aut(Qp) được sinh

bởi các phép biến đổi 7¡ cho bởi: T;(z) = (z!,z„ + it) với t € R, Gp, và tập các

Ta kí hiệu S\(\ > 0) (phép co giãn) và T,(s € R) (phép tịnh tiến) là các tự

dang cấu của Mp, lần lượt định nghĩa bởi:

Sy(z) = ( 2m Z1 Pa zn-1, À2n) >T.(z) = (2', 2, +18).

Cuối cùng, ta gọi mô hình Mp là “tổng quát” (generic) nếu nó không song

chỉnh hình với bất kỳ mô hình tròn xoay hay ống nào (xem Định nghĩa |2.3 1Ì.

Với các ký hiệu như trên, kết quả chính thứ hai trong chương này là định lý

dưới đây.

Định lý Cho Mp là một mô hành tổng quát thỏa mãn Mp không song

chỉnh hành uới Qp va P(2') > 0 vdi moi z' € C"~1\{0} Khi đó, nếu Mp là miền

WB thi Aut(Mp) được sinh bởi {T¡, SẠ : t € R,A > 0} U Gp.

Như vậy, với các kết quả của Chương 2 ta gần như hoàn thành việc mô tả

nhóm tự dang cấu của mô hình Mp với hàm P dương ngoài gốc toa độ Các

trường hợp khác, việc mô tả nhóm tự đẳng cấu gặp khó khăn về mặt kĩ thuật và

đó là vẫn các bài toán mở.

Chương 3: Trình bày một số van đề về dáng điệu biên của ham squeezing Trongchương này, chúng tôi trình bày hai kết quả chính.

Để nâng cao sự hiểu biết và các ứng dụng của lớp các ánh xạ song chỉnh

hình của các miền phức, việc nghiên cứu về các bất biến song chỉnh hình đã

11

thu hút được nhiều sự chú ý trong hình học vi phân phức Các phần tử thể tích

Carathéodory và Kobayashi-Eisenman, hàm squeezing, bất biến Fridman là các

bất biến song chỉnh hình, ngày càng được quan tâm hơn trong những năm gầnđây (xem trong [6], [36], [46], [42|) Trong chương này, chúng tôi cũng xét đến

hàm squeezing của một lớp miền giả lồi trong C”.

Cho © là miền bị chặn trong C" với biên trơn OQ và £o € ON Giả sử rằng

OQ là giả lồi kiểu D'Angelo hữu hạn tại lân cận £g Trong các nghiên cứu gần

đây [12] [13] 28], các tác giả đã chứng minh rằng nếu p là điểm biên giả lồi chặtthì " Øo(z) = 1 Ngược lại, tương tự như Bài toán 4.1 trong bài báo [17],

chúng tôi đặt ra bài toán sau:

Bài toán Nếu © là miền giả lồi bị chặn với biên trơn và nếu lim, Øo(;) = 1 với

day {n;} C Q nào đó hội tụ tới p € AQ thì biên của 2 có giả lồi chặt tại p?

Kết quả chính xung quanh vấn đề này thuộc về Zimmer A [Bi 57], Forneess.

J E va Wold F E [7], Joo S and Kim K T [26], Mahajan P and Verma K

[36] Hơn nữa, trong [ð6| 57], Zimmer A đã chứng minh điều khẳng định với miền

lồi bị chặn với biên trơn Œ”“ Trong [T7], Forness J E và Wold F E đã xây dựngmột miền Q Cc C” lồi bị chặn có biên trơn lớp C? mà không giả lồi chặt, nhưng

et oan zo) =1,

Bay giờ chúng ta xét dãy {n;} CÔ hội tụ tới €) Giả sử rằng Ø9 là giả lồi theo

kiểu D’Angelo hữu hạn tại lân cận & và lim oo (nj) = 1 Trong các bài báo [26]

và [36], các tác giả đã chứng minh được rằng nếu dãy {n;} C Q hội tụ tới > dọc

theo pháp tuyến trong của biên Ø9 tại & thì €o là giả lồi chặt (xem chi tiết trong

với n = 2 va [36] cho trường hợp tổng quát) Hơn nữa, kết quả này cũng đã

đạt được trong [45] cho trường hợp ?; C Q hội tụ không tiếp xúc tới & và trong

[42| cho trường hợp n; C Q hội tụ th any =) -khong tiếp xúc tới điểm biên

h-thác triển £o (xem định nghĩa trong ), trong đó (1,mị, ,rm„_¡) là da kiểuCatlin của OO tại €) và tính h-thác triển tại £o có nghĩa là đa kiểu Catlin va dakiểu D’Angelo của Ø9 tại € là trùng nhau (xem trong [55)).

Phan đầu của chương này, chúng tôi xét miền bị chặn trơn © trong C” và điểm

12

&) € OO sao cho OO là giả lồi kiểu D’Angelo hữu han gần & va dạng Levi có đối

chiều nhiều nhất bằng 1 tại &o.

Kết quả chính đầu tiên của chương này là định lý sau đây:

Định lý |8.1.1|Cho Q là miễn bị chặn trong C” vdi biên trơn, gid lồi Giá sử &

là một điểm biên của Q có kiểu D’Angelo hữu han sao cho dang Levi có đối hang

nhiều nhất là 1 tại & va tồn tại day {@;} C Aut(Q) sao cho nj = @;(4) —> &o khij > oo 1uới a nào đó thuộc © Khi đó, nếu lim oo (n;) = 1 thà OQ là giả lồi chặt

tại Ep.

Để phát biểu kết quả chính thứ hai trong chương này, ta cũng nhắc lại rằng

OQ là lồi tuyến tính tại điểm £o € OQ nếu tồn tại lân cận của € sao cho với

mọi z € OQNU ta luôn có

(z+7799)n(0nU) =9.

Miền lồi tuyến tính kiểu hữu hạn cũng còn có tính chất đủ tốt (khi so sánh với

miền lồi kiểu hữu hạn) để ta có thể sử dụng phương pháp scaling nhằm chỉ ra

đặc trưng cho miền (xem bài báo [39]).

Ta thấy không gian tiếp xúc phức TAN luôn nằm trong không gian tiếp xúc

thực 7329 Do đó, mọi miền lồi trong C” đều là lồi tuyến tính Dối với miền bất

kì trong C, không gian tiếp xúc phức T°OQ = 0 Do đó, mọi miền trong C đều

là miền lồi tuyến tính mặc dù miền đó có thể không lồi.

Kết quả chính thứ hai của chương này là định lý sau đây:

Định lý [3.2.11 Cho Q là một miền bi chặn trong C" tới biên tron, gid loi Giả

sử &y là một điểm biên của Q có kiểu hữu hạn D’Angelo sao cho OQ là lồi tuyến

tính tại €ạ va tồn tại day {@;} C Aut(Q) sao cho nj = @;() — & khả j + co tới

a nào đó thuộc Q Khi đó, nếu lim øo(n;) = 1 thà OQ là giả lồi chặt tại Éo.

Ngoài ra, trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kết quả về ước lượng

hàm squeezing trên ellipsoid tổng quát Trước hết, ta cần các kí hiệu sau.

Với s,r € (0,1] theo [34 Bo đề 2.5] chúng ta định nghĩa 2ÿ và Ds” lần lượt

13

Ds := {2 €C": |z„ — b|+ sP(2z) < 3°};

Sự VU ".l> — p21 2 p(s! 2

D3 ={zeC : |z„ — OI +P(z)<#},

trong đó s = 1— b Chúng ta lưu ý rằng Dp = Dy’ và limy;! (Dp) = Dp với

một dãy {;} C Aut(Dp) nào đó Dinh lý sau cho ta ước lượng dưới cho hàm

Dinh ly [3.2.21 Cho Q là miền cơn của Dp sao cho D$ CQ C Dp với s € (0,1).

Khi đó, uới moi r € (0,1), tồn tại y phụ thuộc vao r sao cho

øo(z) > yo, Vz € DB NA.

Bay giờ chúng ta xét đến trường hợp {a;} C QNU hội tụ A-tiép xúc tới p = 0

theo nghĩa với mỗi 0 < r < 1 đều tồn tại 7„ € N sao cho a; ¢ Dp’ với mọi j > ÿ„.Khi đó, định lý dưới đây chỉ ra rằng hàm squeezing hội tụ tới 1 hạn chế trên dãy

điểm hội tụ A-tiếp xúc tới điểm (0, 1) nếu Ø9; có chung lân cận đủ nhỏ của điểm

(0, 1) với ODp Chính xác hơn, chúng tôi còn chứng minh được định lý dưới day.

Định lý [3.2.3] Cho {O;} la day của miền con của Dp sao cho Q;AU = DpNU

uới j > 1 uới một lan cận cố định U của (0',1) trong C" Cho {nj} C Dp NU là

dãy hoi tu A-tiép xúc tới (0,1) Khi đó, lim oo, (n;) = 1.

6 Cau trúc luận án

Bồ cục của luận án ngoài phần mở đầu và phần phụ lục, gồm ba chương, đượcviết theo tư tưởng kế thừa Ba chương của luận án được viết dựa trên hai côngtrình đã được đăng trên hai tap chí Journal of Geometric Analysis (ISI-Q1) và

Bulletin of the Korean Mathematical Society (ISI-Q3) và một tiền 4n phẩm đã

công bố trên trang arXiv.org.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chương 2: Nhóm tự dang cấu của một số miền trong C”.

Chương 3: Dáng điệu biên của hàm squeezing.

14

CHƯƠNG 1

KIÊN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày về một số kiến thức cốt lõi liên quan

đến các vấn đề nghiên cứu như: hàm điều hòa dưới, đa điều hòa dưới, miền giả

lồi, kiểu theo nghĩa D'Angelo, đa kiểu Catlin, hàm peak đa điều hòa dưới và sự

hội tụ của dãy miền.

1.1 Ham đa điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.1 (Hàm điều hòa dưới) Cho Q CC là một miền Một hàm

u : © — [—oo, +00) là điều hòa dưới nếu nó là ham nửa liên tục trên trong © (kíhiệu là USC(Q)) va uới moi a € Q, ton tại 0 < p(a) < dist(a,0Q) sao cho tới

mọi 0 < r < p(a), ta có

1 2z

u(a) < >Í u(at re”) d0.

Tap hợp các ham điều hòa dưới không đồng nhất bằng —oo được ky hiệu la SH(Q).

Mệnh đề 1.1.1 Cho Q CC là một miền Khi đó, ta có

i) Nếu u : Q + [—oo,+o©) là điều hòa dudi trên QD va x : I > R là ham lôi,tăng trên khoảng I chứa u(Q) thi x ou là hàm điều hòa dưới trên Q.

ii) Cho (Uj) sen là một day giảm của các ham điều hòa dưới trong Q Khi đó,

ham u := lim \, u; là điều hòa dưới trên Q.

tii) Cho (Uj) sen là một day các ham điều hòa dưới trên Q va bị chặn trên địaphương trong ©, (€j) jen là một day số thực đương sao cho È) ej < co Khi

đó, ham u := S2 cu; là điều hòa dưới trong Q.

15

Ví dụ 1.1.1 i) Cố dinha € C và c> 0 Khi đó, ham z 4 clog |z — a| là điều

hòa dưới trên C và điều hòa trên C\{ø} Tổng quát hon, giả sử © là một

miền trong C và f : O > C là hàm chỉnh hình với ƒ # 0 trên Q Khi đó,

log|f| là hàm điều hòa dưới trên © Hơn nữa, với a > 0, hàm |f|* là điều

hòa dưới trên ©.

ii) Cho (4;),- là một day số phức bị chặn và (c;),„p là một day số thực dương

sao cho 3) e; < oo Khi đó, ham

zh u(z) := » log |z — a,|

là điều hòa dưới trên C.

Mệnh đề 1.1.2 Cho Q là một miền trong C Khi đó, ta có

i) Một ham u : Q —> C trơn lớp C? là hàm điều hòa dưới nếu va chỉ nếu Au > 0

trên, Q.

it) Mot ham u : Q + C thuộc USC(Q) AN LH}loc (Q) la điều hòa dudi nếu va chỉ

nếu Au > 0 theo nghĩa phân bố.

Tiếp theo, ta đưa ra định nghĩa và một số tính chất của ham da điều hòa dưới.

Định nghĩa 1.1.2 (Ham đa điều hòa dưới) Cho 2 là miễn trong C" Một ham

u:Q — [-00,+00) là đa điều hòa dưới nếu nó là ham nửa liên tục trên va uới

mọi đường thang phúc A C C", ta có Ul,qg là ham điều hòa dưới trên An 9.

Tập hợp những ham da điều hòa dưới không đồng nhất bằng —oo trên Q được

Mệnh đề dưới đây được suy ra trực tiếp từ các tính chất của hàm điều hòa

Mệnh đề 1.1.3 Cho Q là một miền trong C” Khi đó,

i) Nếu u: 9 — [-00, +00) là ham đa điều hòa dưới trong Q va x là một hamgiá trị thực, loi, tăng trên một khoảng chúa ảnh u(Q) của u thà xou là đa

điều hòa dưới trên ©.

tt) Cho (w;),-w là mot dãy giảm của các hàm da điều hòa dưới trên Q Khi đó,

u := lim u; là hàm đa điều hòa dưới trên Q.

theo nghĩa phân bồ.

Các mệnh đề dưới đây sẽ cho ta các tính chất cũng như ví dụ về các hàm đađiều hòa dưới.

Mệnh đề 1.1.4 Cho Q C C" là một miền va f là hàm chỉnh hành trên Q sao

cho f # 0 trên Q Khi đó, ham log |ƒ| là đa điều hòa đưới trên Q va đa điều hòatrên Q\{ƒ = 0} Hơn nữa, vdia > 0, ham |f|* là đa điều hòa dưới trên Q.

Mệnh đề 1.1.5 Có định Q C C" va Q'C C” là các miền Giá situ € PSH(Q)

va ƒ:©! + Q là ánh xa chỉnh hành Khi đó, wo ƒ € PSH (Q').

17

1.2 Khái niệm miền giả lồi

Định nghĩa 1.2.1 Gọi © là một miền trong C" vdi biên trơn lớp C! Trong một

lân cận đủ bé U của điểm biên p € OQ, ta có thể viet

OnU={ze€U:p(z) < 0},

trong đó p là hàm thỏa mãn Vp #0 trên OONU Khi đó,

i) Ham p được gọi là ham xác định biên cho miền Q trong lan cận của p.

it) Ta nói rằng miền © có biên trơn lớp CK(1 < k < œ) tai p nếu ham xác định

biên p trơn lớp C* tại p.

iii) Biên OQ được gọi là trơn lớp CẺ nếu nó trơn lớp C* tại mọi điểm.

Định nghĩa 1.2.2 i) Miền Q C C" với biên trơn lớp C2 được gọi là giả lồi tạip€ 09 nếu tồn tại ham xác định biên p, tức laQNU = {p < 0} uới U là

một lan cận của p, sao cho dạng Levi L, thoả man

n ap

it) Miền Q C C" với biên tron lớp C? được gọi là giả lồi chặt tại p € OQ nếu

ton tại ham «dc định biên p, túc là QNU = {p < 0} tới U là một lân cận

của p sao cho

Egle) w) = 3) g2 (pyar > 0bai 02,02

uới moi w € Ty (AQ) \ {0}.

Ma tran

0" p

or ] ik

được gọi là ma tran Hessian phức của ø tại p Khi đó, miền 2 giả lồi tại p € OOnếu ma trận Hessian phức của ø tại p là dạng song tuyến tính xác định không âm

khi ta hạn chế trên không gian tiếp xúc phức 700 Chang hạn, hình cầu đơn

vị B” là giả lồi mạnh vi ma trận Hessian phức của hàm xác định biên ø(z, Z) =

|ziq|”+: + |zu|?— 1 chính là ma trận đơn vị.

Ví dụ 1.2.1 Cho ⁄ = { (21,22) e2: pla, 22) = Jal? + lx?" < i}, trong đó

m € N* Ta sẽ chứng minh # là một miền giả lồi Thật vậy, bằng tính toán đơn

Do ma trận (+) xác định không âm nên # là miền giả lồi.

Ví du 1.2.2 Ta dé dàng chứng minh được rằng hình cầu đơn vị trong C”

B" = {2 EC": |x? + lal? + - + |z„|Ÿ < }

là một miền giả lồi chặt.

Bây giờ, ta nhắc lại khái niệm hạng của dang Levi Giả sử Q C C” với biên ØÔ

trơn lớp C? gần điểm biên p € OQ Không mất tổng quát, ta có thể giả sử p = 0.

Hơn nữa, do 0Q là một đa tạp trơn nên theo Định lý ham ẩn, biên OQ (siêu mặt)

gần p = 0 được cho bởi hàm xác định biên

0(z, Z, tu, 0) = Re(w) — @(z, Z, Im(0)),

trong đó y là hàm trơn lớp C? trong một lân cận nào đó của p = 0 Khi đó, ma

trận Hessian phức của ø có dạng

19

L là xác định không âm thi 00 giả lồi tại p = 0 Ta định nghĩa hang của dạng

Levi tại p chính là hạng của ma trận Ù.

Vi du 1.2.3 Cho n > 3 và miền

D:= {(,w) EC? x C: p:= Re(w) + Jal* + lal? < 0},

Khi đó, ma trận Hessian phức của p tại p = (21, z2,w) € OD có dang

Định nghĩa 1.2.3 Mot điểm p € OQ được gợi la điểm tụ quỹ đạo nếu tồn tại

day {ƒf;} C Aut(Q) va ton tại q€ © sao cho ƒj(qg) 4 p khi j > ©.

Ví dụ 1.2.4 Cho F¡¿ là miền Thullen cho bởi

Chọn dãy aj := 1— 1/7 —> 1, 7> 1 Khi đó, aj = 1— 1/7 — I1 khi j —> œ và

2 ⁄ 1 —_ ï 2 1⁄4 — Í

dãy tự dang cau ó; € Aut (E\›), cho bởi ó;(z¡, z2) = (| las) Z1 +2 — Sj(L— jz)!” ',1— đ7Z2

thoả mãn ¢;(0,0) = (0,—a;) — (0,—1) khi j > oo Điều này chứng tỏ rằng điểm

biên (0, —1) là một điểm tụ quỹ đạo Cũng nhận xét thêm rằng điểm biên (0, —1)là điểm giả lồi yếu của miền Ey» Vi F¡ › không song chỉnh hình với hình cầu don

vị B? nên các điểm biên tụ quỹ dao của nó bắt buộc phải giả lồi yếu Điều này

suy ra từ Dinh lý Wong-Rosay [B0] 53] hoặc kết quả mở rộng của Efimov A chomiền không bị chặn trong

1.3 Khái niệm kiểu theo nghĩa D’ Angelo

Định nghĩa 1.3.1 Cho Q C C” là một miền uới biên trơn lớp C® va điểm

p € OQ Khi đó, kiểu D’Angelo r(89,p) của OQ tại p được định nghĩa như sau

T(OQ, p) = sup

trong đó p là một ham xác định biên cho Q trong một lan cận của p, (+) là cấptriệt tiêu tại 0, supremum được lay trên tat cả các đường cong chỉnh hành khác

hằng +: (C,0) + (C",p) Ta noi rằng p là điểm có kiểu hữu hạn nếu (AQ, p) < œ

va là điểm có kiểu uô hạn nếu ngược lại.

Ví dụ 1.3.1 Cho siêu mặt M = {2 €C?: p= lal? + |x)" —1= 0} với ?m € N*.

T(M,p) < 2m (xem trong bài báo [27]) Vì vay, 7(M,p) = 2m.

Bằng chứng minh tương tự, ta có 7(M, (e”,0)) = 2m với moi Ø € R Hơn nữa,

các điểm biên p # (e'”,0) với mọi Ø € R đều là điểm biên giả lồi chặt (tức là

T(M,p) = 2).

21

Ví dụ 1.3.2 Cho siêu mặt #1 „ = { (2,22) €C?: |x)? + P(x) = i}, trong đó

P(z) = 2e-Vl2l" nếu zy # 0 và P(0) = 0 Khi đó, 7 (E1+,(1,0)) = +00.

Chứng minh Xét + : (C,0) —> (C?,p) là đường cong chỉnh hình cho bởi y(t) =

Để thuận tiện cho các kết quả nghiên cứu, chúng tôi nhắc lại đa kiểu Catlin

(chi tiết hơn, xem trong [8] [54]) Cho Q là miền trong C” và ø là hàm xác định

biên cho miền Q gần z € OQ Chúng ta ký hiệu A” là tập của tất cả các n-chỉ sốtụ = (HI, , Hạ) sao cho:

i) l<”„< < hạ < +00;

ii) Với mỗi j, hoặc 4; = +00 hoặc tồn tại tập các số nguyên không âm k\, , k„

với &; > 0 sao cho:

Trọng € A” được gọi là “phân biệt” nếu tồn tại hệ tọa độ chỉnh hình(zi, , z„) quanh zp với zo gắn với gốc toa độ sao cho

ape oat Ôi

® Z2®

1.4 Khái niệm dãy hàm chuẩn tắc và giới hạn của

dãy miền

Định nghĩa 1.4.1 Cho ©,D là các miền trong C”.

i) Day các ánh xa chỉnh hành {fi} C Hol(Q, D) gọi la phân kỳ compact nếuuới mỗi tập con compact K C © va mỗi tập con compact L C D, ton tại jo

sao cho f;(K) AL =9 uới moi j > jo.

it) Mot họ F là không phan kỳ compact nếu F không chúa day con phan ky

Dinh nghĩa 1.4.2 Mien D được gợi là miền taut nếu uới mọi day {fi}, C

Hol(Q, D) chúa một day con hội tu hoặc chúa một dãy con phân ky compact.

Định nghĩa 1.4.3 Một hàm ¿ được gọi là ham peak đa điều hòa dưới địa phương

tại một điểm p thuộc 8Q nếu tồn tại một lan cận U của p trong C" sao cho ¢ làda điều hòa dưới trên U© liên tục trên ƯñQ va thỏa man

ý) =0

¿(z) <0

với z€ (UNQ)\{p}.

Chúng ta nhắc lại định nghĩa sau đây mà sẽ được dùng cho các chứng minh ở

phần sau (xem trong hoặc [22}).

Định nghĩa 1.4.4 Cho {Q;} 2, là day các tập mở trong C” va Qo là một tậpmở trong C" Day (9/1: được got là hội tụ tới Qo (va viết là limQ; = Qo) nếuhai điều kiện sau đâu được thoả mãn:

(i) Với moi tap compact K C Qo, tồn tai jo = jo(K) sao cho K CQ; tới moi

J > Jo;

(ii) Với mọi tập K compact chúa trong Q; uới j du lớn, ta luôn có K C Qo.

Dinh nghĩa 1.4.5 (Hội tụ Carathéodory) Gid sử {Q,} là một dãy các miền

œ lo)

trong C" sao cho p € (\ Qy Nếu p là một điểm trong của (\ Q, thi hat nhân

23

Caratheodory Q tai p của day {Q,} là mién lớn nhất chứa p thỏa man tính chat:

mỗi tập con compact của Ô nằm trong tất cả các miền trừ ra một số hữu hạn

các mién {Q,} Nếu p không là điểm trong của ñ Q,, thà nhân Caratheodory Ô

là {p} Day {Q,} được gợi là hội tụ đến nhân của nó tại p nếu mọi dấu con của

day {Q,} đều có cùng nhân tại p.

24

Trong chương này, ta xét đa thức P theo biến z’, với giá trị thực, đa điều hoà

dưới, không chứa hạng tử đa điều hoà, cho bởi

P(?M 2 2m 12 1) = tP(x, , 1) với mọi z EC”! và £ > 0.

Trong chương này, chúng tôi mô tả nhóm tự dang cấu của mô hình kiểu hữu

han (theo nghĩa Catlin) trong C” xác định bởi:

Mp = {2 €C": Re(z„)+ P(z) < 0},

trong đó P là đa thức thực da điều hòa dưới thuần nhất theo trọng trên C*“~! ma

không chứa hang tử đa điều hòa Mô hình Mp xuất hiện trong các công trình về

đặc trưng cho miền kiểu hữu hạn bởi nhóm tự đẳng cấu không compact (chẳng

hạn xem các bài báo [3} [Si [20]).

Trong bài báo [40], các tác giả đã mô tả đầy đủ nhóm tự đẳng cấu của mô

hình My C C2, trong đó H là đa thức thực, điều hoà dưới trên C Trong chương

này, chúng tôi mô tả nhóm tự dang cấu của mô hình Mp trong C”.

25

2.1 Một sô khái niệm và bồ dé

a) Hàm Peak tại vô cùng đối với O (Mp)

Trước tiên, chúng ta sẽ nhắc lại định nghĩa về miền WB được giới thiệu trong

bài báo [I] Một miền Mp trong C” được gọi là miền WB (weighted-bumped)nếu:

Mp = {z €C": Re(zn) + P(z) < 0},

trong đó:

i) P là đa thức thực thuần nhất theo trọng trên C"=† với trọng (mmị, ,?n„_1);ii) Mp là giả lồi chặt tại mọi điểm biên bên ngoài tập {ØM/pñn({0} x iR)}.

Trong [HH Hệ qua 4.3] đã chỉ ra rằng mọi điểm biên của miền Mp đều tồn tại hàm

peak tai vô cùng đối với O (Mp), trong đó

O(Mp):= {ƒ : Mp —> C: ƒ là chỉnh hình}.

Hệ quả là các metric Kobayashi và Bergman trên Mp là đầy đủ (xem trong HỊ ZT]).

Thêm nữa, cũng tồn tại ham peak tại vô cùng đối với O (Mp) Cụ thể, Herbort.

G [23] chứng minh được kết quả sau đây:

Định lý 2.1.1 (Bổ đề 3.3 trong [23|) Cho Mp là miền WB Khi đó, tồn tại

hàm F,, chỉnh hành khác không va hằng số L, > 0 va N EN sao cho

(i) ZS mg VFe <5:

(ti) Ly'2(z) < |Foo(2)| < Luð(z);

(iii) 5 (bs ta(2))""TM < 5 FFeot2) < Re VW Fx (2) < (L.6(z))",

trong đó G(z) := > lz)" + |z„| uới moi z EC”.

Nhận xét 2.1.1 Ham y(z) := exp (- : ) là hàm peak tại vô cùng đốiẦ/ F.c(z)

với O(Mp) thỏa mãn điều kiện yp € O(Mp),|y(z)| < 1 với mọi z € Mp va

lim ¿(z) = 1.

Mp 2z>0

26

b) Đa thức thuần nhất theo trọng

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số tính chất cơ bản của đa thức

thuần nhất theo trọng Trước hết là bổ đề sau đây (xem trong [I8|).

Bổ đề 2.1.1 (xem trong [[§|) Cho ƒ (ì, ,#;) là ham nhẫn xác định trong lan

cận của gốc toa độ trong R" Giả sử tồn tại kị € N, j = 1, ,r, sao cho

f (t/t ay, ,t/Fra,) =tf (r, ,@-) vdi mọi l <t<1+c.

Khi đó, f có dang như sau

Từ Bổ đề |9.1.1| ta có thé dé dàng thiết lập hệ quả sau đây.

Hệ quả 2.1.1 Nếu P là da thúc thuần nhất theo trọng tới trọng (m4, ,Mn—1)

P (2) = » agpz 2” We € cnt

trong đó ax, € C vdiagy = dị.

Bây giờ, chúng tôi chuẩn bị thêm một bổ đề nữa, tương tự như “Đồng nhất

thúc Euler” cho đa thức thuần nhất theo trọng.

Bồ đề 2.1.2 Nếu P là đa thúc thuần nhất theo trọng vdi trọng (mị, ,?mạ_1),

với mọi z’ € C"=! và với mọi t > 0 Lay đạo hàm riêng 2 về theo ft, ta có

11 /0P z, OP z,

Sot ‘( J , J )=r)w em!

j=l 02; 2m; 02; 2m;

với mọi t > 0 Thay t = 1 vào phương trình trên ta có điều phải chứng minh.

Lưu ý rằng mọi miền WB đều có kiểu hữu hạn theo nghĩa D’Angelo Do đó,

biên của nó không chứa tập con giải tích thực sự nào và vì vậy tập {P = 0} không

chứa tập giải tích không tầm thường đi qua gốc tọa độ Bổ đề sau đây khẳng định

tính duy nhất của Đồng nhất thức Euler đối với đa thức thuần nhất theo trọng

không suy biến.

Bo đề 2.1.3 Cho P Là đa thức thuần nhất theo trọng vdi trọng (m\, ,rn„—1)

cho bởi sao cho {P = 0} không chúa tập giải tích không tầm thường di qua

gốc tọa độ Nếu ton tại œi, ,d„_¡ € R sao cho

Lưu ý rằng Kim K.T và tác giả Thu N V trong [27 Bổ đề 4] đã chứng minh

được rằng Re(izR(z)) = 0 khi va chỉ khi R(z) = R(|z|) với điều kiện R € C' (A.)

với c > 0, trong đó AÁ,: = {z € C: |z| < €} Bo đề dưới đây khái quát hóa kết

quả trên cho các đa thức thuần nhất theo trọng.

28

Bổ đề 2.1.4 Cho P là da thức thuần nhất theo trọng vdi trọng (mị, ,mạ_).

trong đó ax, € uới ayr = GzK.

Chứng minh Dé chứng minh điều kiện “cần”, ta chi cần chứng minh cho trường

hợp P(z) = az” + az" (a € C*), trong đó I, J là các (n — 1)-chi số với

Trường hợp (a) đã đúng với kết luận Tiếp đến, từ (b) ta cũng suy ra J = J.

Bây giờ, điều kiện “đủ” được suy ra bằng cách lấy đạo hàm hai về của (2.4)

theo biến z;,1 < j <n—1 Do đó, ta chứng minh xong bổ đề.

Trong phần còn lại, chúng tôi sẽ nhắc lại một số kết quả đã biết về thác triểnchỉnh hình của các song chỉnh hình tới lân cận của một điểm biên cho trước và

29

sau đó chúng tôi sẽ chứng minh bổ đề then chốt được sử dụng trong việc chứng

minh kết quả chính thứ hai (Định lý dưới đây).

Trước hết, chúng tôi định nghĩa tập cụm (cluster) như sau.

Định nghĩa 2.1.1 Nếu ƒ: D > C% là hàm chỉnh hành trên miền D C C" va

zy € OD, ta ky hiệu C (f, 20) là tập cum của tại zo xác định bởi:

C(f, 20) = {w € CX: w= lim ƒ (z;) ,z; € D,lim z; = 2}.

A.B Sukhov [ð1| đã chứng minh bổ đề dưới day:

Bổ đề 2.1.5 (Xem Hệ quả 1.4 trong |ðT]) Gia sử D va G là các miền nhẫn trong

C” Giá sử thêm rằng D va G lần lượt là giả lôi kiểu hữu hạn trong một lân cận

của 2 € OD va wo € OG Cho f là ánh xa song chỉnh hành từ D vao G sao cho

wo € C(f, 20) Khi đó, f va ƒ~} lan lượt thác triển trơn lên biên OD trong một

lân cận nào đó của điểm z va wo.

Thực tế, trong luận án này chúng tôi chỉ xét các mô hình giả lồi, kiểu hữu

hạn Mp Do các mô hình này xác định bởi đa thức nên biên OMp là siêu mặt

giải tích thực Vì thế, các ánh xạ ánh xạ song chỉnh hình giữa các mô hình này

có thể thác triển chỉnh hình qua điểm biên Cụ thể, ta nhắc lại định lý sau đây

(xem [14] Dinh lý 2.1] hoặc [48) Dinh lý 2']).

Dinh lý 2.1.2 (xem Dinh lý 2.1 trong [[4|) Cho M C W CC” (iương ứngM' CW' CC”) là hai siêu mặt thực, giải tích thực, giả lồi, kiểu hữu han tronglan cận W (tương ứng W') trong C”" va cho f: M > M là CR-ánh xa liên tục.Khi đó, f thác triển thành hàm chỉnh hành trên lân can của M.

Bây gid, chúng tôi chứng minh mệnh đề mở rộng của lỗ| Bổ đề 3.2] từ mô

hình trong C? lên mô hình trong C” Mệnh dé này đóng vai trò chính trong chứngminh kết quả chính thứ hai (Định lý dưới đây).

Mệnh dé 2.1.1 Cho Mp va Mg là hai miền WB Giả sti : Mp —> Mg là một

dnh xa song chỉnh hành Khi đó, tồn tại tạ € R va 2 € OMg sao cho yp va ye!

lần lượt thác triển chỉnh hành lên các lan cận của (0, ito) va zo.

30

Chứng minh Theo Nhận xét tồn tại hàm chỉnh hình ¢ trên Mo, liên tục

trên Mg sao cho |¢| < 1 với z € Mg và tiến tới 1 tại vô cùng Cho j : Mp >

Mg là ánh xa song chỉnh hình Chúng ta thấy rằng tồn tai to € R sao cho

lim inf,_,9- | (0, x + itg)| < +œ Thực vậy, giả sử ngược lại, hàm óo có thể

bằng 1 trên nửa mặt phẳng {(z’, z„) € C" : Re(z„) < 0, 2’ = 0} Điều này là không

thể vì |ó| < 1 với |z| >> 1 Do đó, chúng ta có thể giả sử tồn tại dãy {z„} sao cho

rp < 0, lim, „„ ty = 0 và limp ¿s 9 (Ú,# + ito) = 2 € OMg Theo Bồ đề J.1.5]

ánh xạ song chỉnh hình thác triển trơn lên biên Hơn nữa, là CR-ánh xạ trơn

giữa các phần siêu mặt OMp và OMg tương ứng trong các lân cận của (0, ity) và

zo Vì vậy, từ Dinh lý ta suy ra điều phải chứng minh.

2.2_ Nhóm tự đẳng cấu của mô hình Dp và Qp

Phần này dành cho sự mô tả dạng hiện của các nhóm tự đẳng cấu của các

miền đặc biệt Dp và Qp, lần lượt được định nghĩa bởi

trong đó ax, € với ax, = Gxr.

Ta đã biết rằng nếu Dp là bị chặn thi P (2z) > 0 với mọi 2’ € C"~†! (xem trong

[25]) Hơn nữa, chúng ta có bổ đề sau đây.

Bồ đề 2.2.1 Cho P là đa thúc thuần nhất theo trọng uới trọng (m\, ,tn„—1)

cho bởi (2.1) Khi đó, miền Dp sác định bởi

ñp:= {(2',2n) EC": |x)? +P (2) < 1} ,

là bị chăn trong C" khi va chỉ khí P(z') > 0 vdi moi z' € C"~*\{O}.

Chứng minh Cho P là đa thức thuần nhất theo trong với trọng (mị, ,?m„_1)cho bởi (2.1) Trước tiên, chúng ta sẽ chứng minh điều kiện “đủ” của bổ đề Giả

Bài

sử Dp là bị chặn Khi đó, ta sẽ chứng minh P(z') > 0 với moi 2’ C"=!\{0}.

Giả sử ngược lại, tồn tại điểm z’ € C“=!\{0} sao cho P(z’) < 0 Do P là đa thức

thuần nhất theo trọng với trọng (mm, ,rm„_¡) nên ta suy ra rằng

P (t2 mai, " Tnhh =tP(z, ,2n-1) < 0,Vt > 0.

Từ đó, ta suy ra (2m, " v8/2n=12—1 € Dp với mọi t > 0 Điều này mauthuẫn với tinh bị chặn của Dp Vậy, ta thu được P (2) > 0 với moi 2’ € C"=1\{0}.

Tiếp đến, ta sẽ chứng minh điều kiện “can” của bổ đề Giả sử P (z') > 0 với mọi

zhe€ CTM!\{O} Khi đó, vì Dp C {(2,z„¿) €C*":0< P(2) < 1;|z„¿| < 1} nên ta

suy ra rằng miền {z” € C”=!:0< P(z') < 1} là bị chặn Giả sử ngược lại, néu tồntại dãy HN C{zZ€Œ"!:0< P(2) < 1} sao cho z'* := (2f, , 281) => %

1/2m1 _k 1/2mn-1 _

(ti Zp yee ly z,1)\, = 1,

trong đó || - || ký hiệu cho chuẩn Euclidean trong C*“=!, Giả sử rằng t, + 0* khi

khi k —> oo Chon dãy {f„}¿—¡ sao cho t;, > 0 và

k — oo Khi đó, do P là đa thức thuần nhất theo trọng với trọng (m, ,m„_1)

nên ta suy ra

n-khi k > oo Điều này là vô lí vi P liên tục trên mặt cầu {z' € C°=1: ||z'|| = 1}.

Như vậy, bổ đề đã được chứng minh.

Chúng ta lưu ý rằng Aut(Dp) là không compact do bổ đề dưới day.

Bo đề 2.2.2 Cho P là da thúc thuần nhất theo trọng uới trọng (m1, ,TMn—1)

cho bởi sao cho P(z') > 0 vdi moi z' € C"~1\{0}, Khí đó, Aut(Dp) chúa

các tu đẳng cấu bay xác định bởi

trong đóa € Avid ER.

32

Chứng minh Thực vậy, tính toán trực tiếp chỉ ra rằng

Vậy, bổ đề được chứng minh.

Tiếp đến, cho ?, ,i„ là các số nguyên sao cho mmị = = mj, > >

Mi, ¡+ = = Thị, > > Thị, ¡+ = = My, = mạ Ký hiệu Gp là tập các

tự dang cấu có dạng (4z, z„), trong đó A = diag(4i, , 4z) là ma trận khối

đường chéo sao cho mỗi 4;(1 < j < k) là (4; — i;_¡) x (tj — ij-1) ma trận và

P(Az) = P(z’) Thêm nữa, ký hiệu h,(z) là mầm các ham chỉnh hình tại gốc

tọa độ với trọng lớn hơn s (s > 0).

Trước khi tiến tới những kết quả tốt hơn, ta cần chuẩn bị một bổ đề kỹ thuật

được sử dụng trong các chứng minh của Dinh lý và Định lý

Bồ đề 2.2.3 Cho P là đa thúc thuần nhất theo trọng uới các trong (m\, ,rn„—)

cho bởi sao cho {P = 0} không chúa tập giải tích không tầm thường di quagốc tọa độ Cho f = (fi, ,fn—1) là ánh xa song chinh hành trên một lân cậnnào đó của 0 € C"=! uới ƒ(0) =0 Nếu P (fi (2), , fri (2)) = P(2!) uới mọiz' trong lân cận của 0 € C"~1 thà ƒ có thể thác triển thành một ánh xa tuyến tính

trên C" va hơn nữa ƒ (z”, Zn) = (/ (z) ấn) thuộc vao Gp.

33

Chứng minh Cho P là đa thức thuần nhất theo trọng sao cho

P (fi (2) , +5fn-1 (2)) = P (2’)

với moi 2’ trong lan cận 0 € C"=†!, Ký hiệu U(0) là lan cận của 0 € C"=! Không

mất tính tổng quát, có thể giả thiết rằng

Hơn nữa, do P là đa thức thuần nhất với trọng số (m, ,rm„_¡) nên ta suy rarằng

1 =L_

P (f (mai " ` yee c3 Fn—1 (15 Z1, 7 1) =tP (z),

với mọi t € (0, 1) và 2’ € (0).

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng df = Tả tại gốc tọa độ Chúng ta sẽ xét các

trường hợp sau đây:

Trường hợp 1: mị¡ > m2 > > mạ ¡ Cố định một điểm z € U(0) Khi đó,

1 1 1

do f2” > f7m2 > > ¢?TM-1 với mọi t € (0,1) nên ta có

1; (z) = 5525 + hijo; (z) › VỚI mỗi 1 < 1 < Tì — 1,

trong đó a11, -,@n—1n-1 # 0 Nhắc lại rằng h,(z) ký hiệu cho mầm tại gốc toa

độ của hàm chỉnh hình với trọng lớn hơn s Phương trình (2.5) trở thành

với mọi 2’ € (0) Tính toán tương tự với ƒ~! ta thu được

là tự dang cấu của Mp, tức IA € Gp Thay thế f bởi foyTM!, ta có thể giả thiết

rằng đi = =đ„-i„—¡ = 1 Do đó, ta thu được df = Id tại gốc toa độ.

Trường hợp 2: mị > mz > > m„_¡ Giống như trường hợp 1, ta có thể

viết f(z) = (Az'+g(z).,z„) trong đó g = (g1, -,9n-1) là chỉnh hình trong

lan cận của gốc tọa độ trong C” sao cho mỗi g; có bậc theo trọng lớn hơn

1/2m;,j = 1, ,m — 1 Nhóm các hạng tử có bậc theo trọng bằng 1, suyra ánh xa (2z,z„) F> (Az’, zn) thuộc tap Gp Do đó, sau khi lay ham hợp với

(z,z„) => (AT†!z!,z„), ta có thé giả sử rằng df = Id tại gốc tọa độ.

Bây giờ, ta sẽ chứng minh f = Id Thực vậy, giả sử f(z’) = z'+ g(z’), tức là

với mỗi Ì < j <n— ],

fi) =z¡ +9 (2),

trong đó ø = (øi, , øa_1) là hàm chỉnh hình trong lân cận gốc tọa độ trong C”

sao cho ø; có bậc theo trọng lớn hơn 1/2m;, j = 1, ,n — 1 Vì vậy, ta có

P(at+gi(2’), 22+ 92(2), -,2n-1 + In-1 (2’)) = P(2) (2.10)

39