MỤC LỤC
Trong chương nay, ta xét đa thức P theo biến z' giá trị thực, đa điều hoà dưới, không chứa hạng tử đa điều hoà, cho bởi. Trước tiên, chúng tôi chứng minh rằng Aut(Dp) sinh bởi tập các tự đẳng cấu ở trên và Gp, trong đó Gp là tập tất cả các tự đẳng cấu có dạng (z,z„) 4. Tiếp theo, để giới thiệu kết quả chính thứ hai, chúng ta sé nhắc lại định nghĩa về miền WB giới thiệu trong [I].
Cu thể, mô hình Mp như trên được gọi là miền WB (weighted-bumped) nếu Mp là giả lồi chặt tại mọi điểm biên bên ngoài tap. Carathéodory và Kobayashi-Eisenman, hàm squeezing, bất biến Fridman là các bất biến song chỉnh hình, ngày càng được quan tâm hơn trong những năm gần đây (xem trong [6], [36], [46], [42|). Trong chương này, chúng tôi cũng xét đến hàm squeezing của một lớp miền giả lồi trong C”.
Để phát biểu kết quả chính thứ hai trong chương này, ta cũng nhắc lại rằng OQ là lồi tuyến tính tại điểm £o € OQ nếu tồn tại lân cận của € sao cho với. Miền lồi tuyến tính kiểu hữu hạn cũng còn có tính chất đủ tốt (khi so sánh với miền lồi kiểu hữu hạn) để ta có thể sử dụng phương pháp scaling nhằm chỉ ra.
Khi đó, định lý dưới đây chỉ ra rằng hàm squeezing hội tụ tới 1 hạn chế trên dãy.
Tiếp theo, ta đưa ra định nghĩa và một số tính chất của ham da điều hòa dưới. Tập hợp những ham da điều hòa dưới không đồng nhất bằng —oo trên Q được. Khi đú, miền 2 giả lồi tại p € OO nếu ma trận Hessian phức của ứ tại p là dạng song tuyến tớnh xỏc định khụng õm khi ta hạn chế trên không gian tiếp xúc phức 700.
Hơn nữa, do 0Q là một đa tạp trơn nên theo Định lý ham ẩn, biên OQ (siêu mặt). Cũng nhận xét thêm rằng điểm biên (0, —1) là điểm giả lồi yếu của miền Eyằ. Mien D được gợi là miền taut nếu uới mọi day {fi}, C Hol(Q, D) chúa một day con hội tu hoặc chúa một dãy con phân ky compact.
Chúng ta nhắc lại định nghĩa sau đây mà sẽ được dùng cho các chứng minh ở phần sau (xem trong hoặc [22}). Day {Q,} được gợi là hội tụ đến nhân của nó tại p nếu mọi dấu con của.
Trước tiên, chúng ta sẽ nhắc lại định nghĩa về miền WB được giới thiệu trong bài báo [I]. Trong [HH Hệ qua 4.3] đã chỉ ra rằng mọi điểm biên của miền Mp đều tồn tại hàm peak tai vô cùng đối với O (Mp), trong đó. Hệ quả là các metric Kobayashi và Bergman trên Mp là đầy đủ (xem trong HỊ ZT]).
Thêm nữa, cũng tồn tại ham peak tại vô cùng đối với O (Mp). Cụ thể, Herbort. Cho Mp là miền WB. Khi đó, tồn tại. b) Đa thức thuần nhất theo trọng. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số tính chất cơ bản của đa thức. Bây giờ, chúng tôi chuẩn bị thêm một bổ đề nữa, tương tự như “Đồng nhất.
Gia sử D va G là các miền nhẫn trong C”. Giá sử thêm rằng D va G lần lượt là giả lôi kiểu hữu hạn trong một lân cận. Khi đó, f va ƒ~} lan lượt thác triển trơn lên biên OD trong một. lân cận nào đó của điểm z va wo. Thực tế, trong luận án này chúng tôi chỉ xét các mô hình giả lồi, kiểu hữu. Do các mô hình này xác định bởi đa thức nên biên OMp là siêu mặt. giải tích thực. Vì thế, các ánh xạ ánh xạ song chỉnh hình giữa các mô hình này. có thể thác triển chỉnh hình qua điểm biên. Cụ thể, ta nhắc lại định lý sau đây. M' CW' CC”) là hai siêu mặt thực, giải tích thực, giả lồi, kiểu hữu han trong. Mệnh dé này đóng vai trò chính trong chứng minh kết quả chính thứ hai (Định lý dưới đây). Trước khi tiến tới những kết quả tốt hơn, ta cần chuẩn bị một bổ đề kỹ thuật.
Trong phần này, chúng tôi chứng minh Định lý dưới đây; đó là kết quả nghiên cứu chính thứ hai trong chương này. Kết hợp với giả thiết là P có n hạng tử điều hòa chúng ta có thể kết luận rằng. Chúng ta sẽ chứng minh rằng df = Id tại gốc tọa độ, sai khác một phép hợp.
(ệ đõy, nhắc lại ring hạ(z) là mầm cỏc hàm chỉnh hỡnh. tại gốc tọa độ có bậc theo trọng lớn hơn 2.). Khi đú, nếu ỉ # 0 thi Mp là song chỉnh hỡnh với Qp, điều đó dẫn tới mâu thuẫn. Do ƒ có thể thác triển trơn tới biên của Mp (xem trong [đ|) nên chúng ta thu được.
Trong mục này, giả sử rang © là miền bị chặn trong C” với biên trơn, giả lồi. Giả sử £o là một điểm biên của © có kiểu D’Angelo hữu han sao cho dang Levi có đối hạng nhiều nhất là 1 tại Êo. Sau khi đổi hệ trục tọa độ, chúng ta có thể tìm được các hàm tọa độ zị,.., z„ xác định trên lân cận của.
Mp đã được biết đến là giới hạn của miền giả lồi Am o Gự (Ug ). Trước hết, chúng tôi nhắc lại một định lý dưới đây đảm bảo tính chuẩn tắc của dãy scaling, được dùng để chứng minh Mệnh đề.
Trong phan này, chúng ta giả sử rằng miền Dp là miền WB, tức là Dp là giả. Khi đó, định lý dưới đây chỉ ra rằng hàm squeezing hội tụ tới 1 trên dãy điểm hội tụ A-tiép xúc đến (0,1). Do sự bị chặn của {b;}, không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng.