Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .Một số tính chất của miền trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact .
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Lan Hương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MIỀN TRONG Cn VỚI NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU KHƠNG COMPACT Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ Hà Nội - 5/2023 Cơng trình hồn thành tại: Người hướng dẫn khoa học: Phản biện: Phản biện: Phản biện: Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho Ω miền Cn Tập tất tự đẳng cấu (song chỉnh hình từ Ω vào Ω) Ω, kí hiệu Aut(Ω) lập thành nhóm với phép tốn hợp thành Hơn nữa, Aut(Ω) nhóm tơpơ với tơpơ hội tụ tập compact (tức tôpô compact-mở) Các nghiên cứu thập kỉ qua rằng, hình học miền xác định cấu trúc nhóm tự đẳng cấu, tức biết nhóm Aut(Ω) ta suy số tính chất hình học miền Ω Vì vậy, việc tính mơ tả nhóm tự đẳng cấu cần thiết Tuy nhiên, với hầu hết miền, việc tính nhóm tự đẳng cấu không đơn giản thực số trường hợp cụ thể Cụ thể, mặt phẳng phức, nhóm tự đẳng cấu đĩa đơn vị tính tốn dễ dàng Đối với miền không gian phức với chiều ≥ 2, đa đĩa ∆n hình cầu đơn vị Bn mơ tả chi tiết Từ việc hai nhóm không đẳng cấu với (chẳng hạn chiều hai nhóm tự đẳng cấu khác nhau) ta suy ∆n Bn khơng song chỉnh hình với nhau, chúng đồng phôi với (Định lý Poincaré) Năm 1931, P Thullen mơ tả nhóm tự đẳng cấu miền miền ellipsoid (miền Thullen) D = {(w, z) ∈ C2 : |w|2 + |z|p < 1}, < p ̸= Sau đó, nhà Tốn học H Cartan, I Naruki, T Sunada, R E Greene, S Krantz thành cơng việc mơ tả nhóm tự đẳng cấu số lớp miền Thullen tổng quát Cn Đặc biệt, Ninh Văn Thu and Mai Anh Đức tính nhóm tự đẳng cấu mơ hình C2 sau đây: MH = {(w, z) ∈ C2 : |w|2 + H(z) < 1}, H(z) đa thức thực theo trọng điều hoà bậc 2m (m ≥ 1) khơng chứa hạng tử điều hồ Phần đầu luận án dành để mơ tả nhóm tự đẳng cấu số lớp miền tổng quát Cn Cụ thể, luận án mơ tả nhóm tự đẳng cấu mơ hình đa kiểu hữu hạn (theo nghĩa D Catlin) Cn sau đây: MP = {z = (z ′ , zn ) ∈ Cn : Re(zn ) + P (z ′ ) < 0}, P (z ′ ) đa thức giá trị thực, đa điều hoà dưới, theo trọng khơng chứa hạng tử đa điều hồ Tiếp theo, Giải tích phức nhiều biến nhà Tốn học tập trung nghiên cứu tính chất miền bất biến qua tự đẳng cấu Cụ thể, metric bất biến metric Carathéodory, metric Kobayashi, metric Bergman, hàm bất biến hàm squeezing, hàm Fridman Trên tập compact tuỳ ý Ω, hàm squeezing bị chặn số dương metric bất biến tương đương tập Vì thế, hàm squeezing có ý nghĩa điểm p gần biên ∂Ω Trong trường hợp miền Ω có hàm squeezing bị chặn số dương Ω (miền squeezing đều), metric Ω tương đương Tuy nhiên, miền ước lượng khơng xảy hàm squeezing dần đến điểm p dần đến biên miền Vì vậy, luận án tập trung nghiên cứu dáng điệu biên hàm squeezing miền giả lồi kiểu hữu hạn Như vậy, với lý nói lựa chọn đề tài luận án “Một số tính chất miền Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact” để tiếp tục giải hai tốn sau đây: Bài tốn Mơ tả nhóm tự đẳng cấu miền Cn Bài toán Nghiên cứu dáng điệu biên hàm squeezing miền Cn Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án mơ tả nhóm tự đẳng cấu số lớp miền Cn (mơ hình đa kiểu hữu hạn) nghiên cứu dáng điệu biên hàm squeezing miền giả lồi kiểu hữu hạn Cn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Như trình bày phần lý chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu luận án miền Cn Trong luận án, tư tưởng xuyên suốt khảo sát tính chất hình học miền Cụ thể, luận án khảo sát nhóm tự đẳng cấu mơ hình đa kiểu hữu hạn khảo sát dáng điệu hàm squeezing điểm gần biên miền giả lồi kiểu hữu hạn Phương pháp nghiên cứu Để giải vấn đề đặt luận án, sử dụng phương pháp nghiên cứu kĩ thuật truyền thống Giải tích phức, Hình học phức Đặc biệt, áp dụng kĩ thuật scaling S Pinchuk linh hoạt cho trường hợp cụ thể Ngoài ra, sáng tạo kĩ thuật đưa ví dụ minh hoạ Các kết đạt ý nghĩa đề tài Luận án gồm ba chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức cốt lõi liên quan đến vấn đề nghiên cứu Nội dung chương bao gồm: khái niệm hàm điều hoà dưới, đa điều hoà dưới, miền giả lồi, kiểu theo nghĩa D’Angelo, đa kiểu Catlin, hàm peak đa điều hoà dưới, hội tụ dãy miền Chương 2: Trình bày nhóm tự đẳng cấu số miền Cn Cụ thể mô tả nhóm tự đẳng cấu số lớp miền Cn Với điểm z = (z1 , , zn ) ∈ Cn , ta kí hiệu z ′ = (z1 , , zn−1 ) ∈ Cn−1 Cố định số nguyên dương m1 , m2 , , mn−1 Khi đó, theo 1 thứ tự ta gán trọng , , cho các biến z1 , , zn−1 Với 2m1 2mn−1 n−1 P kj đa số K = (k1 , , kn−1 ) ∈ Nn−1 , ta kí hiệu wt(K) := j=1 2mj trọng Trong chương này, ta xét đa thức P theo biến z ′ giá trị thực, đa điều hồ dưới, khơng chứa hạng tử đa điều hoà, cho P z′ = X L aKL z ′K z ′ , (1) wt(K)=wt(L)= 21 với aKL ∈ C, aKL = a ¯LK Chú ý đa thức P đa thức 1 , , , tức theo trọng Λ := m1 mn−1 P (t1/2m1 z1 , , t1/2mn−1 zn−1 ) = tP (z1 , , zn−1 ) t > với z ′ ∈ Cn−1 Mục đích chương mơ tả nhóm tự đẳng cấu mơ hình đa kiểu hữu hạn (theo nghĩa D Catlin) Cn sau đây: MP = {z ∈ Cn : Re(zn ) + P (z ′ ) < 0} Cần nhấn mạnh mơ hình xuất cơng trình đặc trưng cho miền kiểu hữu hạn Ω Cn với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Chẳng hạn, Bedford-Pinchuk H Gaussier chứng minh Ω miền lồi, kiểu hữu hạn lân cận điểm tụ quỹ đạo Ω song chỉnh hình với mơ hình MP nói Gần đây, đặc trưng mơ hình đa kiểu hữu hạn thiết lập Rong Zhang Trong trường hợp Ω giả lồi chặt, Wong Rosay miền giả lồi chặt bị chặn Cn với nhóm tự đẳng cấu khơng compact song chỉnh hình với cầu đơn vị Bn Thêm nữa, n = 2, nhóm tự đẳng cấu mơ hình MP mơ tả đầy đủ Chúng quan tâm đến hai lớp miền đặc biệt DP QP Cn (n ≥ 2), xác định sau: DP := (z ′ , zn ) ∈ Cn : |zn |2 + P (z ′ ) < ; QP := {(z ′ , zn ) ∈ Cn : Re(zn ) + P (z ′ ) < 0}, Kết thứ chương hai định lý sau Định lý 2.2.1 Cho P đa thức thực đa điều hòa theo trọng Cn−1 cho (1) với giả thiết thêm P (z ′ ) > với z ′ ∈ Cn−1 \{0} Khi đó, Aut(DP ) sinh GP {ϕa,θ : a ∈ ∆, θ ∈ R} Tiếp theo, giới thiệu kết thứ hai Trước hết, nhắc lại định nghĩa miền W B giới thiệu Cụ thể, mơ hình MP gọi miền W B (weighted-bumped) MP giả lồi chặt điểm biên bên tập {∂MP ∩ ({0′ } × iR)} Để giới thiệu kết thứ hai, ta kí hiệu Sλ (λ > 0) (phép co giãn) Ts (s ∈ R) (phép tịnh tiến) tự đẳng cấu MP , định nghĩa bởi: Sλ (z) = λ 2m1 z1 , , λ 2mn−1 zn−1 , λzn ; Ts (z) = z ′ , zn + is Thêm nữa, ta gọi mơ hình MP “tổng qt” (generic) khơng song chỉnh hình với mơ hình trịn xoay hay ống Với ký hiệu trên, kết thứ hai chương định lý Định lý 2.3.1 Cho MP mơ hình tổng qt thỏa mãn MP khơng song chỉnh hình với QP P (z ′ ) > với z ′ ∈ Cn−1 \{0} Khi đó, MP miền WB Aut(MP ) sinh {Tt , Sλ : t ∈ R, λ > 0}∪ GP Như vậy, với kết chương ta gần hồn thành việc mơ tả nhóm tự đẳng cấu mơ hình MP với hàm P dương gốc toạ độ Các trường hợp khác, việc mơ tả nhóm tự đẳng gặp khó khăn mặt kĩ thuật tốn mở Chương 3: Trình bày số vấn đề dáng điệu biên hàm squeezing Trong chương này, trình bày hai kết Để nâng cao hiểu biết ứng dụng lớp hàm song chỉnh hình miền phức, việc nghiên cứu bất biến song chỉnh hình thu hút nhiều ý hình học vi phân phức Các phần tử thể tích Carathéodory Kobayashi-Eisenman, hàm squeezing, bất biến Fridman bất biến song chỉnh hình, ngày quan tâm năm gần Trong chương này, xét đến hàm squeezing lớp miền giả lồi Cn Cho Ω miền Cn p ∈ Ω Với phép nhúng chỉnh hình f : Ω → Bn , f (p) = 0, định nghĩa σΩ,f (p) := sup{r > : B(0, r) ⊂ f (Ω)}, B (z0 , r) ⊂ Cn ký hiệu cho hình cầu phức bán kính r tâm z0 Bn ký hiệu cho hình cầu đơn vị B(0, 1) Khi đó, hàm squeezing σΩ : Ω → R định nghĩa σΩ (p) := sup {sΩ,f (p)} f Lưu ý < σΩ (z) ≤ với điểm z ∈ Ω Cho Ω miền bị chặn Cn với biên trơn ∂Ω ξ0 ∈ ∂Ω Giả sử ∂Ω giả lồi kiểu D’Angelo hữu hạn lân cận ξ0 Trong nghiên cứu gần đây, tác giả chứng minh p điểm biên giả lồi chặt lim Ω∋z→p∈∂Ω σΩ (z) = Ngược lại, chúng tơi đặt tốn sau: Bài toán Nếu Ω miền giả lồi bị chặn với biên trơn lim σΩ (ηj ) = j→∞ với dãy {ηj } ⊂ Ω hội tụ tới p ∈ ∂Ω biên Ω có giả lồi chặt p? Kết xung quanh vấn đề thuộc A Zimmer, J E Fornæss F E Wold, S Joo and K T Kim, P Mahajan and K Verma Hơn nữa, A Zimmer chứng minh điều khẳng định với miền lồi bị chặn với biên trơn C 2,α J E Forness F E Wold xây dựng miền Ω ⊂ Cn lồi bị chặn có biên trơn lớp C mà không giả lồi chặt, lim z∈Ω→p∈∂Ω σΩ (z) = Bây xét dãy {ηj } ⊂ Ω hội tụ tới ξ0 Giả sử ∂Ω giả lồi theo kiểu D’Angelo hữu hạn lân cận ξ0 lim σΩ (ηj ) = j→∞ Các tác giả chứng minh dãy {ηj } ⊂ Ω hội tụ tới ξ0 dọc theo pháp tuyến biên ∂Ω ξ0 ξ0 giả lồi chặt Hơn nữa, kết đạt cho trường hợp ηj ⊂ Ω hội tụ không tiếp xúc tới ξ0 cho trường hợp ηj ⊂ Ω hội tụ 1 m1 , , mn−1 -không tiếp xúc tới điểm biên h-thác triển ξ0 , (1, m1 , , mn−1 ) đa kiểu Catlin ∂Ω ξ0 khái niệm h-thác triển ξ0 có nghĩa đa kiểu Catlin đa kiểu D’Angelo ∂Ω ξ0 trùng Phần đầu chương này, xét miền bị chặn trơn Ω Cn điểm ξ0 ∈ ∂Ω cho ∂Ω giả lồi kiểu D’Angelo hữu hạn gần ξ0 dạng Levi có đối chiều nhiều ξ0 Kết chương định lý sau đây: Định lý 3.1.1.Cho Ω miền bị chặn Cn với biên trơn, giả lồi Giả sử ξ0 điểm biên Ω có kiểu D’Angelo hữu hạn cho dạng Levi có đối hạng nhiều ξ0 tồn dãy {φj } ⊂ Aut(Ω) cho ηj = φj (a) → ξ0 j → ∞ với a thuộc Ω Khi đó, lim σΩ (ηj ) = ∂Ω giả lồi chặt ξ0 j→∞ Để phát biểu kết thứ hai chương này, ta nhắc lại ∂Ω lồi tuyến tính điểm ξ0 ∈ ∂Ω tồn lân cận U ξ0 cho với z ∈ ∂Ω ∩ U ta ln có z + TzC ∂Ω ∩ (Ω ∩ U ) = ∅ Kết thứ hai chương định lý sau đây: Định lý 3.2.1.Cho Ω miền bị chặn Cn với biên trơn, giả lồi Giả sử ξ0 điểm biên Ω có kiểu hữu hạn D’Angelo cho ∂Ω lồi tuyến tính ξ0 tồn dãy {φj } ⊂ Aut(Ω) cho ηj = φj (a) → ξ0 j → ∞ với a thuộc Ω Khi đó, lim σΩ (ηj ) = ∂Ω giả lồi chặt ξ0 j→∞ Ngoài ra, chương giới thiệu số kết ước lượng hàm squeezing ellipsoid tổng quát Trước hết, ta cần kí hiệu sau Với s, r ∈ (0, 1] định nghĩa Dps Dps,r DPs := nz ∈ Cn : |zn − b|2 + sP (z ′ ) < s2 o; s DPs,r := z ∈ Cn : |zn − b|2 + P (z ′ ) < s2 , r s = − b Chúng ta lưu ý DPs = DPs,1 lim ψj−1 (DPs ) = DP với dãy {ψj } ⊂ Aut (DP ) Định lý sau cho ta ước lượng cho hàm squeezing Định lý 3.2.2 Cho Ω miền DP cho DPs ⊂ Ω ⊂ DP với s ∈ (0, 1] Khi đó, với r ∈ (0, 1), tồn γ0 phụ thuộc vào r cho σΩ (z) ≥ γ0 , ∀z ∈ DPs,r ∩ Ω Bây xét đến trường hợp {aj } ⊂ Ω ∩ U hội tụ Λ-tiếp xúc tới p = theo nghĩa với < r < tồn jr ∈ N cho aj ∈ / DPs,r với j ≥ jr Khi đó, định lý hàm squeezing hội tụ tới hạn chế dãy điểm hội tụ Λ-tiếp xúc tới điểm (0′ , 1) ∂Ωj có chung lân cận đủ nhỏ điểm (0′ , 1) với ∂DP Chính xác hơn, chúng tơi chứng minh định lý Định lý 3.2.3.Cho {Ωj } dãy miền DP cho Ωj ∩ U = DP ∩ U với j ≥ với lân cận cố định U (0′ , 1) Cn Cho {ηj } ⊂ DP ∩ U dãy hội tụ Λ-tiếp xúc tới (0′ , 1) Khi đó, lim σΩj (ηj ) = j→∞ Cấu trúc luận án Bố cục luận án phần mở đầu phần phụ lục, gồm ba chương, viết theo tư tưởng kế thừa Ba chương luận án viết dựa hai cơng trình đăng hai tạp chí Journal of Geometric Analysis (ISI-Q1) Journal of the Korean Mathematical Society (ISI-Q3) tiền ấn phẩm công bố trang arXiv.org Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nhóm tự đẳng cấu số miền Cn Chương 3: Dáng điệu biên hàm squeezing CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.1.1 (Hàm điều hòa dưới) Cho Ω ⊂ C miền Một hàm u : Ω → [−∞, +∞) điều hòa hàm nửa liên tục Ω với a ∈ Ω, tồn < ρ(a) < dist(a, ∂Ω) cho với < r < ρ(a), ta có Z 2π u(a) ≤ u a + reiθ dθ 2π 1.2 Khái niệm miền giả lồi Định nghĩa 1.2.2 i) Miền Ω ⊂ Cn với biên trơn lớp C gọi giả lồi p ∈ ∂Ω tồn hàm xác định biên ρ, tức Ω ∩ U = {ρ < 0} với U lân cận p, cho dạng Levi Lρ thoả mãn Lρ (p)(w) = n X j,k=1 ∂2ρ (p)wj wk ≥ ∂zj ∂z k với w ∈ TpC (∂Ω) ii) Miền Ω ⊂ Cn với biên trơn lớp C gọi giả lồi chặt p ∈ ∂Ω tồn hàm xác định biên ρ, tức Ω ∩ U = {ρ < 0} với U lân cận p cho Lρ (p)(w) = n X j,k=1 ∂2ρ (p)wj wk > ∂zj ∂z k với w ∈ TpC (∂Ω) \ {0} 1.3 Khái niệm kiểu theo nghĩa D’Angelo Định nghĩa 1.3.1 Cho Ω ⊂ Cn miền với biên trơn lớp C ∞ điểm p ∈ ∂Ω Khi đó, kiểu D’Angelo τ (∂Ω, p) ∂Ω p định 10 nghĩa sau τ (∂Ω, p) = sup γ νρ ◦ γ) ν(γ) Ở đó, ρ hàm xác định biên cho Ω lân cận p, ν(γ) cấp triệt tiêu 0, supremum lấy tất đường cong chỉnh hình khác γ : (C, 0) → (Cn , p) Ta nói p điểm có kiểu hữu hạn τ (∂Ω, p) < ∞ điểm có kiểu vơ hạn ngược lại 1.4 Khái niệm dãy hàm chuẩn tắc giới hạn dãy miền Định nghĩa 1.4.3 Một hàm φ gọi hàm peak đa điều hòa địa phương điểm p thuộc ∂Ω tồn lân cận U p Cn cho φ đa điều hòa U ∩ Ω liên tục U ∩ Ω thỏa mãn φ(p) = φ(z) < với z ∈ (U ∩ Ω)\{p} Chúng ta nhắc lại định nghĩa sau mà dùng cho chứng minh phần sau n Định nghĩa 1.4.4 Cho {Ωj }∞ j=1 dãy tập mở C Ω0 tập mở Cn Dãy {Ωj }∞ j=1 gọi hội tụ tới Ω0 (và viết lim Ωj = Ω0 ) hai điều kiện sau thoả mãn: (i) Với tập compact K ⊂ Ω0 , tồn j0 = j0 (K) cho K ⊂ Ωj với j ≥ j0 ; (ii) Với tập K compact chứa Ωj với j đủ lớn, ta có K ⊂ Ω0 11 CHƯƠNG NHĨM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MỘT SỐ MIỀN TRONG Cn 2.1 Một số khái niệm bổ đề a) Hàm Peak vô O (MP ) Năm 2016, T Ahn cộng điểm biên miền MP thừa nhận hàm peak vơ O (MP ), O (MP ) := f : MP → C : f chỉnh hình Hệ metric Kobayashi Bergman MP đầy đủ Thêm nữa, G Herbort chứng minh kết sau đây: Định lý 2.1.1 (Herbort) Cho MP miền W B Khi đó, tồn hàm F∞ chỉnh hình khác khơng số L∗ > N ∈ N cho (i) − √ π π ≤ arg N F∞ ≤ ; 8 (ii) L−1 ˆ (z) ≤ |F∞ (z)| ≤ L∗ σ ˆ (z); ∗ σ (iii) p 1/N 1 −1 L∗ σ ˆ (z) ≤ |F∞ (z)|1/N ≤ Re N F∞ (z) ≤ (L∗ σ ˆ (z))1/N , 2 n−1 P σ ˆ (z) := |zj |2mj + |zn | với z ∈ Cn j=1 Nhận xét 2.1.1 Hàm φ(z) := exp − √1 N F∞ (z) hàm peak vô O (MP ) thỏa mãn điều kiện φ ∈ O (MP ) , |φ(z)| < với z ∈ MP lim MP ∋z→∞ φ(z) = b) Đa thức theo trọng Trong phần cịn lại, chúng tơi nhắc lại số kết biết thác triển giải tích song chỉnh hình tới lân cận điểm biên cho trước sau chứng minh bổ đề then chốt 12 sử dụng việc chứng minh kết thứ hai (Định lý 2.2.1 đây) Trước hết, định nghĩa tập cụm (cluster) sau Nếu f : D → CN hàm chỉnh hình miền D ⊂ Cn z0 ∈ ∂D, ta ký hiệu C (f, z0 ) tập cụm f z0 xác định bởi: C (f, z0 ) = w ∈ CN : w = lim f (zj ) , zj ∈ D, lim zj = z0 Bổ đề 2.1.5 (Sukhov) Giả sử D G miền nhẵn Cn Giả sử thêm D G giả lồi kiểu hữu hạn lân cận z0 ∈ ∂D w0 ∈ ∂G Cho f song chỉnh hình từ D vào G cho w0 ∈ C (f, z0 ) Khi đó, f f −1 thác triển trơn lên biên ∂D lân cận điểm z0 w0 Thực tế, luận án chúng tơi xét mơ hình giả lồi, kiểu hữu hạn MP Do mơ hình xác định đa thức nên biên ∂MP siêu mặt giải tích thực Vì thế, song chỉnh hình mơ hình thác triển chỉnh hình qua điểm biên Cụ thể, ta nhắc lại định lý sau Định lý 2.1.2 (Diederich-Pinchuk) Cho M ⊂ W ⊂ Cn (tương ứng M ′ ⊂ W ′ ⊂ Cn ) hai siêu mặt thực, giải tích thực, giả lồi, kiểu hữu hạn lân cận W (tương ứng W ′ ) Cn cho f : M → M ′ CR-ánh xạ liên tục Khi đó, f thác triển thành hàm chỉnh hình lân cận M Bây giờ, chứng minh mệnh đề, đóng vai trị chứng minh kết thứ hai (Định lý 2.2.1 đây) Mệnh đề 2.1.1 Cho MP MQ hai miền WB Giả sử ψ : MP → MQ song chỉnh hình Khi đó, tồn t0 ∈ R z0 ∈ ∂MQ cho ψ ψ −1 thác triển chỉnh hình lên lân cận (0, it0 ) z0 13 2.2 Nhóm tự đẳng cấu mơ hình DP QP Phần dành cho mô tả dạng nhóm tự đẳng cấu miền đặc biệt DP QP , định nghĩa n o DP := (z ′ , zn ) ∈ Cn : |zn |2 + P (z ′ ) < ; QP := {(z ′ , zn ) ∈ Cn : Re(zn ) + P (z ′ ) < 0} , K L aKL z ′ z¯′ , X P z′ = wt(K)=wt(L)=1/2 aKL ∈ C với aKL = aKL Kết thứ chương là: Định lý 2.2.1 Cho P đa thức thực đa điều hòa theo trọng Cn−1 với giả thiết thêm P (z ′ ) > với z ′ ∈ Cn−1 \{0} Khi đó, Aut(DP ) sinh GP {ϕa,θ : a ∈ ∆, θ ∈ R}, ϕa,θ xác định ′ z , zn 7→ − |a|2 1/2m1 (1 − a ¯zn )1/m1 z1 , , − |a|2 1/2mn−1 (1 − a ¯zn )1/mn−1 zn − a zn−1 , e 1−a ¯zn ! iθ a ∈ ∆ θ ∈ R 2.3 Tự đẳng cấu mô hình kiểu hữu hạn Trong phần này, chúng tơi chứng minh Định lý 2.3.2 đây; kết nghiên cứu thứ hai chương Trước tiên, nhắc lại vài ký hiệu khái niệm Đặt Sλ (λ > 0), Ts (s ∈ R) tự đẳng cấu MP xác định Sλ (z) = λ1/2m1 z1 , , λ1/2mn−1 zn−1 , λzn ; Ts (z) = z ′ , zn + is 14 , Định nghĩa 2.3.1 Một mơ hình MP gọi ống (hoặc tròn xoay) MP song chỉnh hình với mơ hình MPe , đa thức theo trọng Pe thỏa mãn Pe (z1 , , zn−1 ) = Pe (Imz1 , z2 , , zn−1 ) ( tương ứng Pe (z1 , z2 , , zn−1 ) = Pe (|z1 | , z2 , , zn−1 )) với z ′ ∈ Cn−1 Định nghĩa 2.3.2 Mơ hình MP gọi tổng qt khơng song chỉnh hình với mơ hình trịn xoay mơ hình ống Kết thứ hai chương định lý sau đây: Định lý 2.3.2 Cho MP mơ hình tổng qt thỏa mãn MP khơng song chỉnh hình với QP P (z ′ ) > với z ′ ∈ Cn−1 \{0} Nếu MP miền WB Aut(MP ) sinh bởi: {Tt , Sλ : t ∈ R, λ > 0} ∪ GP 2.4 Một số ví dụ minh họa cho kết Ví dụ 2.4.1 Cho E1,m Ellipsoid n o E1,m := (z1 , z2 ) ∈ C2 : |z2 |2 + |z1 |2m < , m ≥ Với Ellipsoid E1,m , đa thức P cho P (z1 ) = |z1 |2m Khi đó, P (f1 (z1 )) ≡ P (z1 ) f1 (z1 ) = eiθ z1 với θ ∈ R Vì vậy, Định lý 2.2.1 suy Aut (E1,m ) tập ( ! ) 1/2m − |a| z − a (z1 , z2 ) 7→ eiθ1 z1 , eiθ2 : |a| < 1, θ1 , θ2 ∈ R 1−a ¯ z2 (1 − a ¯z2 )1/m Ngồi ra, chúng tơi cịn ba ví dụ 15 CHƯƠNG DÁNG ĐIỆU BIÊN CỦA HÀM SQUEEZING 3.1 Dáng điệu biên hàm squeezing gần điểm biên có đối hạng dạng Levi 3.1.1 Dãy scaling miền nhiều chiều Trong mục này, giả sử ξ0 điểm biên miền Ω ⊂ Cn có kiểu D’Angelo hữu hạn cho dạng Levi có đối hạng nhiều ξ0 Gọi 2m kiểu D’Angelo ∂Ω ξ0 Khơng tính tổng qt, giả sử ξ0 = ∈ Cn hạng dạng Levi ξ0 n − Cho ρ hàm xác định biên cho miền Ω Sau đổi hệ trục tọa độ, tìm hàm tọa độ z1 , , zn xác định lân cận U0 ξ0 cho: X ρ(z) =Re (zn ) + aj,k z1j z¯1k j+k≤2m j,k>0 + n−1 X α=2 |zα |2 + n−1 X α=2 X Re bαj,k z1j z¯1k zα j+k≤m j,k>0 + O |zn | |z| + |z ∗ |2 |z| + |z ∗ |2 |z1 |m+1 + |z1 |2m+1 , z = (z1 , , zn ) , z ∗ = (0, z2 , , zn−1 , 0), aj,k , bαj,k (2 ≤ α ≤ n − 1) hàm trơn lớp C ∞ lân cận đủ nhỏ gốc tọa độ Cn S Cho rằng, với điểm η lân cận đủ nhỏ gốc tọa độ, tồn song chỉnh hình Φη Cn , z = 16 Φ−1 η (w) cho X ρ Φ−1 aj,k (η)w1j w ¯1k η (w) − ρ(η) = Re (wn ) + j+k≤2m j,k>0 + n−1 X α=2 |wα | + n−1 X α=2 X Re h i bαj,k (η)w1j w ¯1k wα j+k≤m j,k>0 + O |wn | |w| + |w∗ |2 |w| + |w∗ |2 |w1 |m+1 + |w1 |2m+1 , (3.1) w∗ = (0, w2 , , wn−1 , 0) Bây giờ, ta ký hiệu sau: Al (η) = max {|aj,k (η)| : j + k = l} (2 ≤ l ≤ 2m), Bl′ (η) = max bαj,k (η) : j + k = l′ , ≤ α ≤ n − ≤ l′ ≤ m (3.2) Với δ > định nghĩa τ (η, δ) đây: 1/l′ τ (η, δ) = (δ/Al (η))1/l , δ /Bl′ (η) : ≤ l ≤ 2m, ≤ l′ ≤ m Ta định nghĩa phép co giãn đặc biệt ∆ϵη cho ∆ϵη (w1 , , wn ) = wn w1 , , τ1 (η, ϵ) τn (η, ϵ) τ1 (η, ϵ) = τ (η, ϵ), τk (η, ϵ) = √ , ϵ (2 ≤ k ≤ n − 1), τn (η, ϵ) = ϵ Với η ∈ ∂Ω, đặt ϵ ρϵη (w) = ϵ−1 ρ ◦ Φ−1 η ◦ ∆η 17 −1 (w) ta suy ρϵη (w) X =Re (wn ) + aj,k (η)ϵ −1 τ (η, ϵ) j+k w1j w ¯1k n−1 X α=2 |wα |2 α=2 j+k≤2m j,k>0 + + n−1 X ¯1k wα + O(τ (η, ϵ)) Re bαj,k (η)ϵ−1/2 τ (η, ϵ)j+k w1j w X j+k≤m j,k>0 (3.3) Tiếp theo, cố định lân cận đủ nhỏ U0 ξ0 đặt {ηj } ⊂ Ω dãy hội tụ tới ξ0 Hơn nữa, giả sử ηj ∈ U0− := U0 ∩ {ρ < 0} với j Ứng với dãy {ηj }, ta có dãy liên kết ηj′ = η1j , , η(n−1)j , ηnj + ϵj , ϵj > 0, ηj′ thuộc siêu mặt ϵ {ρ = 0} Chúng ta xét đến dãy phép co giãn ∆ηj′ Khi đó, j ϵ ∆ηj′ ◦ Φηj′ (ηj ) = (0, , 0, −1) j Hơn nữa, từ (3.3) ta suy ϵ ∆ηj′ ◦ Φηj′ ({ρ = 0}) j xác định Re (wn )+Pηj′ (w1 , w ¯1 )+ n−1 X |wα |2 + α=2 n−1 X Re Qαη′ (w1 , w ¯1 ) wα = O τ ηj′ , ϵj , j α=2 Pηj′ (w1 , w ¯1 ) := j+k j k ′ w1 w ¯1 , aj,k ηj′ ϵ−1 j τ ηj , ϵj X j+k≤2m j,k>0 Qαη′ (w1 , w ¯1 ) := X j −1/2 j+k j k bαj,k ηj′ ϵj τ ηj′ , ϵj w1 w ¯1 j+k≤m j,k>0 18 ϵ Do đó, sau chọn dãy con, ta suy ∆ηj′ ◦ j Φηj′ U0− hội tụ tới mơ hình sau ( MP := ρˆ := Re (wn ) + P (w1 , w ¯1 ) + n−1 X ) |wα | < , (3.4) α=2 P (w1 , w ¯1 ) đa thức có bậc ≤ 2m, khơng chứa hạng tử điều hịa Nhận xét 3.1.1 MP biết đến giới hạn miền giả lồi ϵ ∆ηj′ ◦ Φηj′ U0− Do đó, MP trở thành miền giả lồi Bởi vậy, hàm ρˆ j (3.4) đa điều hịa dưới, P đa thức điều hịa mà có tốn tử Laplace khơng triệt tiêu khắp nơi 3.1.2 Tính chuẩn tắc dãy scaling Phần trình bày hai mệnh đề quan trọng giới thiệu kết chương định lý sau đây: Mệnh đề 3.1.1 (Đ.Đ Thái N.V.Thu) Cho Ω miền Cn Giả sử ∂Ω giả lồi, kiểu D’Angelo hữu hạn C ∞ -trơn lân cận điểm biên (0, , 0) ∈ ∂Ω Giả sử dạng Levi có đối hạng lớn (0, , 0) Cho D miền Ck φj : D → Ω dãy ánh xạ chỉnh hình cho ηj := φj (a) hội tụ tới (0, , 0) ϵ với điểm a thuộc D Khi đó, {Tj ◦ φj }, với Tj = ∆ηj′ ◦ Φηj′ , j chuẩn tắc giới hạn ánh xạ chỉnh hình từ D vào mơ hình ( MP = (w1 , , wn ) ∈ Cn : Re (wn ) + P (w1 , w ¯1 ) + n−1 X α=2 P ∈ P2m 19 ) |wα | < , Định lý 3.1.1 Cho Ω miền bị chặn Cn với biên trơn, giả lồi Giả sử ξ0 điểm biên Ω có kiểu D’Angelo hữu hạn cho dạng Levi có đối hạng nhiều ξ0 tồn dãy {φj } ⊂ Aut(Ω) cho ηj = φj (a) → ξ0 j → ∞ với a thuộc Ω Khi đó, lim σΩ (ηj ) = ∂Ω giả lồi chặt ξ0 j→∞ 3.2 Dáng điệu biên hàm squeezing gần điểm biên lồi tuyến tính 3.2.1 Một số bổ đề kỹ thuật Bổ đề 3.2.1 Cho {ψj } ⊂ Aut (DP ) dãy tự đẳng cấu q q 2m1 2mn−1 − |aj | − |aj |2 z + a n j ψj (z, w) = mp z1 , , m p zn−1 , , 1 + a n−1 + a 1+a ¯ j zn ¯ j zn ¯ j zn aj ∈ (0, 1) với lim aj = Khi đó, với s ∈ (0, 1) có ψj−1 (DPs ) → DP j → ∞ Thêm nữa, với < ε < với lân cận U (0′ , 1) Cn , tồn số nguyên dương j0 ≥ cho DP \B ((0′ , −1) , ε) ⊂ ψj−1 DP ∩ U với j ≥ j0 3.2.2 Hàm squeezing miền lồi tuyến tính Mục đích phần chứng minh đinh lý sau đây: Định lý 3.2.1 Cho Ω miền bị chặn Cn với biên trơn, giả lồi Giả sử ξ0 điểm biên Ω theo kiểu hữu hạn D’Angelo cho ∂Ω lồi tuyến tính ξ0 tồn dãy {φj } ⊂ Aut(Ω) cho ηj = φj (a) → ξ0 j → ∞ với a thuộc Ω Khi đó, lim σΩ (ηj ) = ∂Ω giả lồi chặt ξ0 j→∞ Với s, r ∈ (0, 1], ta định nghĩa miền Dps Dps,r DPs := nz ∈ Cn : |zn − b|2 + sP (z ′ ) < s2 o; s DPs,r := z ∈ Cn : |zn − b|2 + P (z ′ ) < s2 , r 20 s = − b Chúng ta lưu ý DPs = DPs,1 lim ψj−1 (DPs ) = DP với họ {ψj } ⊂ Aut (DP ) đóng vai trò quan trọng việc chứng minh kết Định lý 3.2.2 Cho Ω miền DP cho DPs ⊂ Ω ⊂ DP với s ∈ (0, 1] Khi đó, với r ∈ (0, 1), tồn γ0 phụ thuộc vào r cho σΩ (z) ≥ γ0 , ∀z ∈ DPs,r ∩ Ω Bây xét đến trường hợp {aj } ⊂ Ω ∩ U hội tụ Λ-tiếp xúc tới p = theo nghĩa với < r < tồn jr ∈ N cho aj ∈ / DPs,r với j ≥ jr Khi đó, định lý hàm squeezing hội tụ tới dãy điểm hội tụ Λ-tiếp xúc đến (0′ , 1) Chính xác hơn, chứng minh định lý Định lý 3.2.3 Cho {Ωj } dãy miền DP cho Ωj ∩ U = DP ∩ U với j ≥ với lân cận cố định U (0′ , 1) Cn Cho {ηj } ⊂ DP ∩ U dãy hội tụ Λ-tiếp xúc tới (0′ , 1) Khi đó, lim σΩj (ηj ) = j→∞ n o Ví dụ 3.2.1 Cho E1,2 = (z1 , z2 ) ∈ C2 : |z2 |2 + |z1 |4 < Xét dãy ! r 2 → (0, 1) n → ∞ an = − , − n n n dãy tự đẳng cấu ψn ∈ Aut (E1,2 ) cho 1/4 − |a | n2 z2 − an2 ψn (z) = z , 1/2 1 − a ¯n2 z2 (1 − a ¯n2 z2 ) Khi đó, chúng tơi σE1,2 (an ) = σE1,2 (ψn (an )) → n → ∞ Tuy nhiên, điểm biên (0, 1) giả lồi yếu 21 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Các kết luận án: 1) Mơ tả nhóm tự đẳng cấu mơ hình kiểu hữu hạn Cn xác định bởi: MP = {z ∈ Cn : Re(zn ) + P (z ′ ) < 0}, P đa thức thực đa điều hịa theo trọng Cn−1 không chứa hạng tử điều hòa 2) Chứng minh hàm squeezing dần đến điểm biên tụ quỹ đạo ξ0 ∈ ∂Ω với biên ∂Ω trơn, giả lồi, có kiểu D’Angelo hữu hạn có đối hạng dạng Levi nhiều ξ0 ξ0 giả lồi chặt 3) Chứng minh hàm squeezing dần đến điểm biên tụ quỹ đạo ξ0 ∈ ∂Ω với biên ∂Ω trơn, lồi tuyến tính, có kiểu D’Angelo hữu hạn ξ0 ξ0 giả lồi chặt 4) Đưa ước lượng cho hàm squeezing cho miền Elipsoid tổng quát Kiến nghị nghiên cứu Luận án đạt số kết nghiên cứu tính chất hình học miền Cn với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Tuy nhiên, nhiều vấn đề cần mở rộng tiếp tục nghiên cứu sâu để mô tả nhóm tự đẳng cấu miền Cn mơ tả dáng điệu biên hàm squeezing miền kiểu hữu hạn Cn 22 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Ninh Van Thu, Nguyen Thi Lan Huong, Tran Quang Hung, Kim Hyeson (2019), On the automophism Groups of Finite Multitype models in C n , Journal of Geometric Analysis, January 2019, Volume 29, Issue 1, pp 428–450 (ISI-Q1) Hyeseon Kim, Anh Duc Mai, Thi Lan Huong Nguyen, Van Thu Ninh, A note on the boundary behaviour of the squeezing function and Fridman invariant, Bulletin of the Korean Mathematical Society, 2020, Volume 57, Issue 5, pp 1241–1249 (ISI-Q3) Ninh Van Thu, Nguyen Thi Lan Huong, Nguyen Quang Dieu, On the bounary behaviour of the squeezing function near linearly convex boundary points, https://arxiv.org/abs/2209.14168 CÁC KẾT QỦA TRONG LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO TẠI CÁC HỘI NGHỊ, HỘI THẢO Báo cáo “On the automorphism group of finite multitype model in Cn ”, Trường hè Giải tích Hình học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, 11-14/06/2020 Báo cáo “A note on the boundary behaviour of the squeezing function and Fridman invariant”, Hội nghị “Một số chủ đề thời toán học ứng dụng”, Trường Đại học KHTN - Đại học Quốc gia Hà Nội, 30-31/10/2021 23