Về tính hyperbolic của miền trong cn

Về tính hyperbolic của miền trong cn Về tính hyperbolic của miền trong cn Về tính hyperbolic của miền trong cn Về tính hyperbolic của miền trong cn Về tính hyperbolic của miền trong cn Về tính hyperbolic của miền trong cn Về tính hyperbolic của miền trong cn Về tính hyperbolic của miền trong cn Về tính hyperbolic của miền trong cn Về tính hyperbolic của miền trong cn

Đ�I HQC QUOC GIA HÀ N(>I TRƯONG Đ�I HQC KHOA HQC Tlj NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HQC ———————o0o——————– VŨ TH� DUNG VE TÍNH HYPERBOLIC CUA MIEN TRONG Cn Lui'n văn th1c sĩ khoa h9c Chuyên ngành: Toán giai tích Hà N9i 2020 Đ�I HQC QUOC GIA HÀ N(>I TRƯONG Đ�I HQC KHOA HQC Tlj NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HQC ———————o0o——————– VŨ TH� DUNG VE TÍNH HYPERBOLIC CUA MIEN TRONG Cn Lui'n văn th1c sĩ khoa h9c Chun ngành : Tốn giai tích Mã s6 : 8460101.02 Cán b9 hưdng d§.n khoa h9c: PGS.TS Ninh Văn Thu LOI CAM ƠN Lai đ§u tiên, em xin bày to sl) cam ơn chân thành nh§t tdi th§y Ninh Văn Thu, ngưai th§y ti'n tình hưdng dan giúp đa em su6t q trình hồn thành lui'n văn Em xin giti lai cam ơn tdi th§y giáo cán b9 Khoa ToánCơ-Tin h9c, trưang Đ1i h9c Khoa h9c Tl) nhiên, Đ1i h9c Qu6c gia Hà N9i, quan tâm, d1y do, chia se nhfrng kinh nghi�m, kien thuc giúp đa em thai gian h9c ti'p t1i trưang Nhân dip này, em xin cam ơn gia đình b1n bè ln a bên em, đ9ng viên, khuyen khích t1o m9i đieu ki�n su§t q trình h9c ti'p thl)c hi�n lui'n văn Do thai gian trình đ9 cịn h1n che nên lui'n văn khơng th@ tránh khoi nhfrng thieu sót Em r§t kính mong nhi'n đưQc sl) góp ý cua th§y b1n bè đ@ lui'n văn đưQc hoàn thi�n nfra Em xin chân thành cam ơn Hà N 0} , Cn ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ (iii) Vρ(z) = ( , , , , /= vdi m9i z ∈ ∂Ω ∂x1 ∂y1 ∂xn ∂yn Xét Ω ⊆ Cn vdi biên C1 hàm xác đinh ρ Ký hi�u pT C(∂Ω) không gian tiep xúc phuc cua ∂Ω t1i p ∈ ∂Ω fw ∈ Cn : ∂ρ (p)wj = C n ∂zj Tp (∂Ω) = {w ∈ C : wVρ = j= 0} = Đinh nghĩa 1.1.2 Gia sit Ω ⊆ Cn m9t mien vdi biên trơn thu9c ldp C2 p ∈ ∂Ω i) Đi@m p ∈ ∂Ω đưQc g9i đi@m gia l6i cua Ω neu ton t1i hàm xác đinh ρ thu9c ldp C2 cua Ω cho: n L (ρ)(w) := n ∂2ρ j,k=1 ∂z j ∂z k p (p)w w ≥ vdi m9i w ∈ Tp C(∂Ω) ii) Tương tl) ta đinh nghĩa p đi@m gia l6i ch�t cua Ω neu Lp(ρ)(w) > vdi m9i w ∈ T C(∂Ω) \ {0} p iii) Mien Ω đưQc g9i gia l6i (ch�t) neu m9i đi@m thu9c ∂Ω đeu điJm gia l6i (ch�t) Ví dl;l 1.1.3 Xét E1,m = {(z1, z2) ∈ C2 : ρ = |z1|2 + |z2|2m − < 0}, m ∈ Z+ p = (p1, p2) ∈ ∂E1,m Khi đó, mien E1,m mien gia loi Thi't vi'y, b�ng tính tốn ta có ma tri'n Hessian phuc 1 0 m2|z2|2m−2 H=  ≥  Do đó, Lp(ρ)(w) ≥ vdi m9i w ∈ pT 1,0(∂E1,m) m9i p ∈ ∂E1,m Vi'y, E1,m mien gia loi Ngoài ra, đi@m (eiθ, 0), ≤ θ ≤ 2π, gia loi ch�t 1.2 H9 chu§n tic, mi@n taut Đinh lý Montel Đinh nghĩa 1.2.1 (i) M9t dãy (fν)ν cua h9 ánh x1 chinh hình mien D vào mien G, D, G mien Cn, đưQc g9i phân kỳ compact neu vdi m9i ti'p compact K cua D m9i ti'p compact Kt cua G ton t1i ν0 ∈ Z+ cho fν(K) ∩ Kt = ∅, ∀ν ≥ ν0 (ii) M9t h9 A ánh x1 tu D vào G đưQc g9i chu§n tic neu moi dãy cua A phân kỳ compact ho�c chua m9t dãy h9i tv đeu m9i ti'p compact cua D (iii) Mien Ω ⊂ Cn đưQc g9i taut neu h9 Hol(∆, Ω) gom ánh x1 chinh hình tu ∆ vào Ω h9 chuin t�c infz∈Ω∩∂U ϕ(z) = −ct   supz∈Ω∩∂V ϕ(z) = −c  xác đinh bai Ta xét hàm ϕ- mien Ω đưQc  ϕ(z)  - − ( c + c1  t ϕ(z) = sup ϕ(z),  ( c + c1− neu z ∈ Ω ∩ U ∈ ∩ \ neu z Ω (V U ) t ∈ \ neu z Ω V Khi đó, ϕ- m9t hàm peak t1i đi@m p, đa đieu hịa dưdi âm tồn cvc Gia sit f m9t đĩa giai tích Ω Vì ϕ- ◦ f hàm đieu hịa dưdi nên b§t đ�ng thuc dưdi tích phân suy r�ng vdi m9i α < cho (ϕ ◦ f )(0) > α, đ9 đo cua { } ti'p Eα := θ ∈ [0, 2π],- (ϕ ◦ f )(eiθ) ≥ 2α (kí hi�u bai mes(Eα)) thoa mãn mes(Eα) ≥ π (2.1) L§y E > đu nho cho infΩ∩∂U (ϕ + Eψ) = −c1 < sup Ω∩∂V (ϕ + Eψ) = −c2 < −c1  Ta đinh nghĩa hàm ρ trên Ω đưQc xác đinh bai  (ϕ + Eψ)(z) neu z ∈Ω ∩ U  (   c1 + c2 neu z ∈ Ω ∩ (V \ U ) ρ(z) = sup (ϕ + Eψ)(z), −  c + c ( 1− neu z Ω V ∈ \ Khi đó, ρ m9t hàm đa đieu hịa dưdi âm liên tvc Ω thoa mãn ρ−1(−∞) = {p} Áp dvng cơng thuc tích phân Possion cho moi đi@m ζ ∈ ∆1/2, ta nhi'n đưQc 2π (ρ ◦ f )(eiθ)dθ (2.2) (ρ ◦ f )(ζ) 10 ≤ π Vì ϕ- m9t hàm peak t1i p hàm ρ thoa mãn ρ(p) = −∞ nên vdi moi h�ng s6 L > 0, ton t1i h�ng s6 α < cho vdi ∀z ∈ Ω, b§t đ�ng thuc ϕ-(z) ≥ 2α kéo theo ρ(z) < −L Ket hQp (2.1), (2.2) ý ρ m9t hàm âm, vdi m9i đĩa giai tích f : ∆ → Ω vdi m9i đi@m ζ ∈ ∆1/2, ta đeu có −3L ϕ(f (0)) > α ⇒ (ρ ◦ f )(ζ) ≤ (2.3) 10 Vì ρ−1(−∞) = {p}, h9 (Un = z ∈ Ω : ρ(z) < − n�1 m9t sa lân ci'n cua n 03 p Ω Do đó, vdi m9i s6 nguyên dương n (n ≥ 1), ton t1i h�ng s6 αn < cho ϕ-(z ) ≥ 2αn ⇒ ρ(z) < −n G9i Utn lân ci'n cua p Ω đưQc đinh nghĩa bai Ut n { } = z ∈ Ω : ϕ-(z) > αn Sit dvng phương trình (2.3), vdi m9i n ta nhi'n đưQc f (0) ∈ U t ⇒ f (∆1/2) ⊂ Un n Đó đieu phai chung minh Nh(in xét Tu Bo đe 2.1.1, vdi moi dãy (fν)ν đĩa giai tích Ω cho lim fν(0) = p dãy (fν)ν h9i tv đeu ∆1/2 đen p ν→∞ B6 đ@ 2.1.2 Cho Ω mien Cn Gia sit t n t9i hàm peak antipeak đa đieu hịa dưdi đia phương t9i vơ Khi đó, Ω m