NHỮNG KET QUA MGI CUA LUẬN ÁN: e Khảo sát được các tính chất của hàm vô hướng hóa Gerstewitz suy rộng, bao gồm tính lồi, tính tựa lồi, tính liên tục và tính liên tục Hölder, vôhướng hóa
Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
1.3.1 Đối tượng nghiên cứu e Tính compact, đơn điệu, quan hệ thứ tự giữa các tập hợp. e Các tính chất nửa liên tục, liên tục, liên tục Hausdorff, liên tục Holder,
Lipschitz. e Tính chất hàm lồi và lồi suy rộng. se Các bài toán liên quan đến tối ưu bao gồm bài toán tối ưu vector, bài toán tối ưu tập, bài toán cân bằng vô hướng, bài toán cân bằng đa trị.
Để thực hiện nghiên cứu, các phương pháp được sử dụng bao gồm: phân tích, tổng hợp lý thuyết; phân loại, hệ thống hóa lý thuyết; tổng quát hóa và đặc biệt hóa; sử dụng chuyên gia.
Nội dung và phạm vi nghiên cứu
+ Nội dung chính của luận án là khảo sát điều kiện ổn định cho các mô hình tối ưu thông qua hàm vô hướng hóa Gerstewitz va các dạng mở rộng của nó.
- Khảo sát các tính chất của các hàm Gerstewitz suy rộng.
- Vô hướng hóa các bài toán tối ưu tập, bài toán cân bằng đa trị bằng các ham vô hướng hóa phi tuyến Gerstewitz.
- Nghiên cứu tính ổn định của các bài toán tối ưu tập, bài toán cân bằng đa trị thông qua các hàm vô hướng hóa phi tuyến Gerstewitz.
+ Trong luận án này chúng tôi chỉ tập trung vào hàm vô hướng hóa dạng Tammer và được xét trong không gian sắp thứ tự theo nón có phần trong khác rỗng Các kết quả ổn định được tiếp cận theo nghĩa liên tục Hausdorff, liên tục
Hửlder/Lipschitz cho cỏc mụ hỡnh bài toỏn tối ưu tập, bài toỏn cõn bằng đa trị.
Tổng quan 4
Mục tiêu nghiên eđỨu ẶẶ Ặ Q So ĩ
Các mục tiêu cụ thể của luận án này là:
Khảo sát tính chất hàm vô hướng hóa Gerstewitz mở rộng, bao gồm tính lồi, tính tựa lồi, tính liên tục và liên tục Hölder Hàm này ứng dụng trong cả toán tối ưu tập lẫn toán cân bằng đa trị.
- Chứng minh được các điều kiện đủ cho tính liên tục Hausdorff, liên tục Hửder/Lipschitz của ỏnh xạ nghiệm xấp xỉ bài toỏn tối ưu tập.
- Xây dựng được các điều kiện đủ cho tính liên tục Lipschitz của ánh xa nghiệm xấp xỉ bài toán cân bằng đa trị.
- Thiết lập được các điều kiện tồn tại của tập nghiệm và các điều kiện đặt chỉnh của bài toán tối ưu vector.
Phương pháp nghiên cứu 2.0.2 00 2022000 7 Chương 3 Cơ sở lý thuyết 8
Với mỗi cách tiếp cận, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu cụ thể như sau:
Để xử lý bài toán chứa tham số nhiễu, chúng tôi áp dụng phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết, phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết để tận dụng các kỹ thuật và công cụ của Giải tích đa trị, Giải tích lồi và Giải tích phi tuyến liên quan đến tính chất liên tục, tính lồi và tính đơn điệu Kết hợp phương pháp tổng quát hóa, chúng tôi tiếp cận các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục, tính liên tục Hausdorff và tính liên tục Hölder/Lipschitz của ánh xạ nghiệm bài toán phụ thuộc tham số.
Với các điều kiện đặt chỉnh, chúng tôi áp dụng phương pháp tổng quát hóa và đặc biệt hóa Tiếp theo, chúng tôi sử dụng công cụ Giải tích đa trị và Giải tích hàm để phân tích các điều kiện đặt chỉnh và tìm hiểu đặc trưng của chúng.
- Sit dụng phương pháp tổng hợp, phân tích và hệ thống hóa lý thuyết để khảo sát các tính chất của các hàm vô hướng hóa phi tuyến, và các phương pháp vô hướng hóa cho các bài toán đã được đề cập ở trên Áp dụng phương pháp đặc biệt hóa để nghiên cứu các tính chất nghiệm của bài toán tối ưu tập dựa trên tính chất tương ứng của bài toán vô hướng.
Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cũng như các tính chất nền tảng, phục vụ cho việc nghiên cứu sự ổn định của các mô hình tối ưu ở chương tiếp theo.
Một số khái niệm và tính chất cơbản
Cho X,Z là các không gian metric và Y là một không gian tuyến tính thực. Cho một tập khác rỗng A C Y, tập hợp core(A) kí hiệu cho phan trong dai số của A (xem [15]), được định nghĩa bởi core(A) := {4€ A|VoeY,3ÀA>0 sao cho a+ [0,A]u C A}.
Bao đóng đại số của A (xem [63]) được định nghĩa bởi lin(A) := {a € Y | dw € A sao cho [w,a[c A}, trong đú [w, ứ[:= tw + (1 — Ê)z, với mọi Ê €]0, 1].
Tập A được gọi là rắn đại số nếu core(A) 4 Ú, đóng đại số nếu lin(A) = A và mở đại số nếu core(A) = A Cho ŒC Y là một nón lồi, đóng đại số và có đỉnh trong Y với core(C) #4 Ú Khi đó, C cảm sinh các quan hệ thứ tự 4, Y là một ánh xa có giá trị vector Khi đó,
(a) g là C-nửa liên tục trên nếu va chỉ nếu lev pg là đóng uới moi be Y.
(b) g là C-nita liên tục dưới nếu va chỉ nếu levyy g là đóng vdi moi be Y.
(c) g là C-tua nita liên tục trên nếu va chỉ nếu leviyg là đóng vdi mọi b € Y.
(d) g is C-tua nửa liên tục dưới nếu va chỉ nếu lev no, đây là một điều mâu thuẫn.
(Y là một ánh xa có giá trị vector Khi đó,
(a) ứ là C-nita liờn tục trờn nếu va chỉ nếu uới mỗi b € Y, g~!{b — core(C)) là một tập con mé của X.
(b) g là C-nita liên tục dưới nếu va chỉ nếu uới mỗi b€ Y, g~!{(b + core(C)) là một tập con mé của X.
Cho ƒ: X >Y,g:Z — Y là các ánh xạ có giá trị vector Ta xét ánh xạ ft+g:X x Z—/Y được xác định bởi
Mệnh đề sau chỉ ra rằng tính nửa liên tục được bảo toàn qua ánh xạ tổng vừa được định nghĩa ở trên.
Mệnh đề 3.1.7 Cho ƒ: X + Y, g:Z-+Y là các ánh xa có giá trị vector Khi đó,
(a) Nếu f là C-nita liên tục trên va g là C-nita liên tục trên, thà f + g là C-nửa liên tục trên.
(b) Nếu f là C-nita liên tục dưới va g là C-nửa liên tục dưới, thì ƒ +g là C-nita liên tục dưới.
Chứng minh Vì kỹ thuật tương tự, nên ta chỉ chứng minh cho (a).
Với mỗi (x9, 20) € X x Z, giả sử V là một tập mở đại số chứa ƒ(zo) + ứ(zo), và do đú 0 ƒ(#o) — ứ(zo) + V là một tập mở đại số Vỡ vậy, tồn tại cỏc tập mở đại số VỊ, Vạ chứa 0 sao cho VỊ + Vạ C —ƒ(zo) — g(zo) +V Vì f(xo) + VỊ là một tập mở đại số chứa ƒ(zo) và f là C-nửa liên tục trên tại xo, nên tồn tai một lân cận ¡(zo) của zọ sao cho f(x) € ƒ(zo) + VỊ — C với moi z € U¡(zo) Tương tự, ta có thể tìm một lân cận U2(zo) của z sao cho g(z) € g(zo) + V2 — Ở với mọi z€U;(zo) Do đó, f(x) + g(z) € f(mo) + go) + VỊ + Vạ— Œ—ŒC V~C.
Vậy, f +g là C-nửa liên tục trên vi (zo, zo) là tùy ý.
Chú ý rằng các khang định trong Mệnh đề 3.1.7 chỉ đúng cho tính C-nửa liên tục, không đúng cho tính C-tựa nửa liên tục Ví dụ sau đây chi ra rằng tính
C-tua nửa liên tục không còn đúng nữa.
Sử dung lập luận tương tự như trong Vi dụ 3.1.1, ta cũng có ƒ và g là R‡-tựa nửa liên tục dưới trong khi ánh xạ
(2r,37+3), néuar>0 thì không R?-tua nửa liên tục dưới (thật vậy, với zo = 0 € R, b = (1,1), va ty = —„; thỡ (f + g)(#a) = (0,0) < b, nhưng (ƒ + ứ)(0) = (0,3) Kd).
Ta điều chỉnh ƒ và ứ như sau
Khi đú, f và g là Rễ -tựa nửa liờn tục trờn, nhưng ỏnh xạ f + ứ được xỏc định bởi
14 thì không IR2-tựa nửa liên tục trên (với rp = 0, b = (-3, —ÿ) VÀ Ln = +, (+
Thật may là, dưới các điều kiện thích hợp, ta cũng có một phiên ban tương tự của mệnh đề trên, được chúng tôi phát biểu trong bài báo [A1].
Mệnh đề 3.1.8 Cho ƒ: X 3 Y,g:Z>Y là các ánh xa có giá tri vector Các phát biểu sau đâu là đúng.
(a) Nếu f là Ơ-tựa nửa liên tục trên va g là C-nita liên tục trên, thì f + g là
C-tua nửa liên tục trên.
(b) Nếu f là C-tua nửa liên tục dưới va g là C-nita liên tục dưới, thì f + g là
C-tua nửa liên tục dưới.
Tính lồi (lõm) của ánh xa ee ee 15 3.3 Tinh liên tục của ánh xa c Q Q Q Q Q2 19 Chương 4 Kết quả nghiên cứu và phân tích, đánh giá, thảo luận 25 A Kết quả nghiên cứu
Trong phần còn lại của chương này ta xét X và Y là các không gian định chuẩn, C Cc Y là nón lồi, đóng, có đỉnh với intC # 0 và e € intC cố định.
Trong bài báo [A3], khái niệm tính tựa lõm được định nghĩa tổng quát như sau: Cho A C X là một tập con lồi, khác rỗng và f: A->R là một hàm số Khi đó, f được gọi là 0-mức dưới tựa lõm trên A nếu với mọi
#1,#a € A, A € [0,1] và @(Azi + (1 — À)z:) < 0 thì hoặc ¿(z¡) < 0 hoặc ¿(z›) < 0.
Sau đây, ta cung cấp một số điều kiện tương đương với tính 0-mức dưới tựa lõm.
Bồ đề 3.2.1 Xét y,A như trong Định nghĩa 3.2.1 Các phát biểu sau đâu là tương đương.
(a) ¿ là 0-mức dưới tựa lốm trên A.
(b) Với mỗi tập con hữu hạn {z1,za, ,#n} C A va x € conv{Z1,12, ,2„} ưới v(x) < 0, thà tồn tại i € {1,2, ,n} sao cho @(¡) < 0, trong đó conv{z4,#a, ,#„} ky hiệu cho bao lồi của {z\,+a, ,n}, nghĩa là, conv{24,#a, ,u} ={œœ€ X |z= Xin À¿¿, À¡> 0, ng Ay = l}.
Nhận xét 3.2.1 Nếu ¿ là tựa lõm trên A, nghĩa là,
#(Azi + (1 — À)z2) > min{g(21), y(x2)}, với moi 21,72 € A va A € [0, 1], thi nó cũng là 0-mức dưới tựa lõm trên A.
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng chiều ngược lại của Nhận xét 3.2.1 nói chung không đúng.
Phép biến đổi f: X → Y được gọi là 0-mức dưới tựa lõm trên tập lồi A nếu thỏa mãn: với mọi x1, x2 ∈ A, ta có min{f(x1), f(x2)} ≤ f(λx1 + (1 - λ)x2) với mọi λ ∈ [0, 1] Trong khi đó, nếu không tồn tại phép biến đổi f: X → Y nào thỏa mãn tính chất trên, thì A được gọi là không tựa lõm.
(a) C-lồi trên A nếu với bất kỳ z1,za € A vat € |0, 1], tF(a1)+ (1 —t)F (a2) C Fzi + (1—t)aa) + C.
(b) C-lom trên A nếu với bất kỳ z¡,z¿ € A vat € |0, 1],
(c) C-tua lồi trên A nếu với moi x1, 22 € A và t € [0, 1], hoặc
(d) C-tua lõm trên A nếu với moi 21,22 € 4 và t € [0, 1], hoặc
Nhận xét 3.2.2 Trong trường hợp # là đơn trị, Y = R va C = R-, các khái niệm trong Định nghĩa 3.2.2 thu về các khái niệm cổ điển tương ứng. Định nghĩa sau đây nói về tính lõm tổng quát của các ánh xạ, được đề xuất trong bài báo [A2]. Định nghĩa 3.2.3 Chol C R, y: X + R là một hàm số, ƒ : X > Y là một ánh xạ có giá trị vector, Q: X = Y là một ánh xạ da tri và là một tập con lồi của X.
(a) ¿ được gọi là T-lõm trên D nếu với bất kỳ z1,z¿ € D, p€ T sao cho với moi t € [0,1],
(b) f được gọi là I-lõm ứng với e trên D nếu với bất kỳ 21,22 € D, p € T sao cho với mọi ¢ € |0, 1], ƒŒ1) € C, f(a2) € pe + C => ƒ(tza + (1— f)z1) € tpe + C.
(c) Q được gọi là T-lõm ứng với e trên D nếu với bất kỳ z1,za € D, p€T sao cho với moi ¢ € 0, 1],
Q(1) C C,Q(a2) C pe + C = > Q(fz¿ + (1— thai) C tpe + Œ. Để nói lên mối quan hệ giữa tính lõm theo nón và tính lõm tổng quát của ánh xạ đa trị ở trên, ta có bổ đề sau (xem bài báo [A2]).
Bồ đề 3.2.2 Cho ánh xa da trị Q va tập D như trong Định nghĩa 3.2.3 Nếu Q là Œ-lốm trên D, thà Q là R-lom ứng vdi e trên D.
Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng chiều ngược lại của Bổ đề 3.2.2 nói chung không đúng.
Với bất kỳ x1,22 € D,t € [0,1] và p e R, nếu Q(zĂ) C R4 và Q(z›) C (ứ,p) + R3, thì
Vi vậy, Q là R-lõm ứng với e trên D Tuy nhiên, với xy = —l;#a = 1 và £ = 3,
Q(zs+(1—Ê)zĂ) = Q(0) = |0, 1] x [0,1] Â 3@(—=1)+2@0)+ RY = |2, +s[x[ử, +%|, suy ra Q không C-lõm trên D.
3.3 Tính liên tục của ánh xạ
Cho ƒ: X > R là một hàm số Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa cổ điển về tính nửa liên tục của hàm số. Định nghĩa 3.3.1 (a) f được gọi là nửa liên tục trên tại rq € X nếu với mỗi day {z„}C X,zz +20, f(2o) > limsup f(a).
(b) f được gọi là nửa liên tục dưới tai zo € X nếu với mỗi dãy {z„} C X,z„ > ro, ƒ(#o) < liminf f(x).
(c) f được gọi là liên tục tai zo € X nếu nó vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới tai zg, và f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm z€ X.
Bo đề sau đây nói lên mối quan hệ giữa tính nửa liên tục và tính đóng của các tập mức.
(a) ƒ là nửa liờn tục dưới trờn X nếu va chỉ nếu Lôyƒ := {x € X : f(a) < b} là tập đóng voi mọi be R.
(b) ƒ là nửa liờn tục trờn trờn X nếu va chỉ nếu L>ằụƒ := {z € X : f(x) > b} là tập đóng voi mọi be R.
Cho F: X = Y là một ánh xạ đa trị và xo € X Ta có thể tìm thấy định nghĩa về tính nửa liên tục, liên tục của ánh xạ đa trị sau đây trong [65]. Định nghĩa 3.3.2 (a) F được gọi là nửa liên tục trên tại xo nếu với bất kỳ tập con mở U của Y thỏa mãn Ƒ{(zo) C U, tồn tại một lân cận của xo sao cho F(N) CU.
(b) F được gọi là nửa liên tục dưới tại zo nếu với bat ky tập con mở U của
Y thỏa mãn F(29) NU # Ú, tồn tại một lân cận N của zp sao cho với mọi z„€ xo va yo € F (20), ton tai yn € F(œ„) sao cho yn — 90.
(b) F là mửa liên tục dưới tại zọ nếu va chỉ nếu uới moi ay —> x0, ta có F(a9) C
Lim inf, F(œa), trong đó Liminf, F(a) := {yo € Y : dyn € F(2n), Yn > 90}:
Bổ dé 3.3.3 (xem [66]) Nếu F(zo) là tap compact, thi F là nửa liên tục trên tại xo nếu va chi nếu voi day {tn} bat kỳ hội tụ vé xp vad ym € F (an), ton tại một day con {yn,} hội tụ vé y € F(xo) Hơn nữa, nếu F(xo) = {yo} là đơn phan tử, thì dấu {yn} hội tu vé yo. Đối với tinh nửa liên tục, liên tục theo nghĩa Hausdorff, ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 3.3.3 (xem [5])
(a) F được gọi là nửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff (H-nửa liên tục trên) tai xo nếu, với mỗi lân cận By của gốc trong Y, tồn tại một lân cận N của xq sao cho F(a) C F(zo) + By với mọi z€ N.
(b) F được gọi là nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff (H-nửa liên tục dưới) tai vo nếu, với mỗi lân cận y của gốc trong Y, tồn tại một lan cận N của xo sao cho Ƒ(zo) C F(a) + By với mọi x Ee N.
(c) F được gọi là liên tục Hausdorff tai zo nếu nó vừa H-ntia liên tục trên vừa
H-nitia liên tục dưới tai xo F được gọi là liên tục Hausdorff trên X nếu F liên tục Hausdorff tại mọi điểm z € X.
Bổ đề sau nói về mối quan hệ giữa hai dạng nửa liên tục của ánh xạ đa trị.
(a) Nếu F là nửa liên tục trên tại ao, thi F là H-nữa liên tục trên tại 29 Ngược lại, nếu F là H-nita liên tục trên tại ro va F(so) là tập compact, thà F là nửa liên tục trên tại zọ.
(b) Nếu F là H-nửa liên tục đưới tại xo, thà F là nửa liên tục dưới tại xo.
Ngược lại, nếu F là nửa liên tục dưới tại xo va F(zo) là tập compact, thà F là H-nửa liên tục dưới tại xo.
Theo định nghĩa cổ điển, liên tục Hölder của hàm đa giá trị Q : X → Y được hiểu là tồn tại một lân cận của điểm x0 ∈ X sao cho với mọi x1, x2 ∈ N,
21 Đặc biệt, một ham số k: X > R được gọi là h.0-HửIder tại x9 € X, nếu tồn tại một lân cận N của zo sao cho với moi 71,72 € N,
Định nghĩa 3.3.5: Hàm số k : X x X x X → R được gọi là (r1,r2,r3)-Hölder tại (x0,y0,z0) ∈ X x X x X nếu tồn tại một lân cận U của (x0,y0,z0) sao cho:
(x0, yo, 20) sao cho với moi (#1, y1, z1), (w2, ye, 22) € Ny x No x N3,
|k(a1, 41, 21) — k(x, yo, 22)| < ủi||#t — #2||f' + lolly — yall? + la||zỡ — z2||.
Nếu bac Hửlder bằng 1, thi tinh liờn tục Hửlder được gọi là liờn tục Lipschitz.
Lấy động lực từ [6S], ta đề xuất khái niệm sau liên quan đến tính liên tục
Lipschitz theo nón của ánh xạ đa tri. Định nghĩa 3.3.6 Một ánh xạ đa trị Q : X = Y được gọi là C-£-liên tục
Lipschitz tại xo € X ứng với e nếu tồn tại một lân cận V của zọ sao cho với mọi
Rõ ràng tính liên tục Lipschitz cổ điển suy ra tính liên tục Lipschitz theo nón.
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng chiều ngược lại nói chung không đúng.
Ví dụ 3.3.1 Cho X = R, Y = R’, C = R2, e = (1,1) € intR? Ta định nghĩa ánh xạ Q: X 3 Y như sau
Dé thấy Q là C-1-lién tục Lipschitz tại 0 ứng với e.
Thật vậy, đặt = B 3] là một lân cận của 0 Khi đó, với moi z¡,zs € V and
21,02 # 0, ta có |#i — #a| > xo — z¡, nghĩa là, zị + |x, — #a| > xe, suy ra
Trong trường hợp có một biến bằng 0, chang han z¡ = 0, ta có |x| > x2 và
Tương tự, ta cũng có
Tuy nhiên, Q không liên tục Lipschitz tại 0 Để thấy điều này, lấy z¡ = 0,z¿ = 1.
Khi đó, sẽ không tồn tại £ > 0 sao cho [0, 1] x [0,+s[C [l—#,3+#jx[1—#,2+1.
Kết quả sau đây trình bày về các điều kiện tương đương của tính liên tục Lipschitz theo nón của ánh xạ đa trị Chứng minh chi tiết có trong bai báo [A2].
Bồ đề 3.3.5 Cho é€ intC Khi đó, các khẳng định sau đâu là tương đương.
(a) Q là C-¢-lién tục Lipschitz tại xo € X ứng tới e;
(b) Q là C-(-liên tục Lipschitz tại ro € X ứng tới 6;
(c) tồn tại một số thực dương Ê va một lân cận V của xo sao cho vdi mọi
KET QUA NGHIÊN CỨU VÀ PHAN
TÍCH, ĐÁNH GIÁ, THẢO LUẬN
Hàm vô hướng hóa phi tuyến Gerstewitz suy rộng
Trong mục này, chúng tôi xem xét các dạng mở rộng của hàm vô hướng hóa
Gerstewitz và nghiên cứu các tính chất của chúng.
Cho X và Y là các không gian định chuẩn, C C Y là nón lồi, đóng, có đỉnh với intC z# và e,e* lần lượt là hai phan tử cố định trong intŒ và —intC Cho
Po(Y) là họ các tập con khác rỗng của Y Với A,B € Po(Y), ta định nghĩa các quan hệ thứ tự tập kiểu ¡ và kiểu u ứng với Œ như sau
AXP BSBCATC và AX°>BSEBCA+intC,
AX°BSACB-C và A0 sao cho Act By +C
(d) A được gọi là C-compact nếu bat ky phủ của A dang {U, + C | Uô là mở } trích ra một phủ con hữu han.
Cho Poo) (Y) và Porc) (Y) lần lượt là ho các tap con khác rỗng, C-chinh thường và —C-chinh thường của Y Cho Y* là không gian đối ngẫu của Y, C* := {€ €
Y* | &(c) >0 We€ C} và BY = {€ € C* | &(—e*) = 1). Định nghĩa 4.1.2 (xem [1,6,69]) Cho a€ Y và A € Po(Y) Hàm Gerstewitz và hàm Gerstewitz suy rộng được định nghĩa bởi,
(a) Ie a ‘Yo R, 9+ a(¥) = inf{te R|y € te*+a4+C};
(b) Goes :Y > RU {—oo}, Gh A0) =inf{te R|y € te*+A+C};
(c) GL : Po(o(Y) x Porey(¥) 4 RU {00}, Gh (P,Q) = supgegG- p(g) VP,Q €
Tuong tu nhu dinh nghĩa trên, ta xét các ham Gerstewitz ham Gerstewitz suy rộng cho quan hệ thứ tự tập kiểu wu như sau. Định nghĩa 4.1.3 Cho ức Y và A € Po(Y) Khi đú ta định nghĩa cỏc hàm số sau:
(b) G84: Y + RU {-co}, Gt y(y) = inf{t¢ R| y ete + A-C};
(c) GE: Po-ey(Y) x Por-ey(Y) > RU {00}, G2(P,Q) = supyepGÿo(p) VP,Q €
Rõ rang, GL 4(y) = infacage-a(y) Va GY 4() = infaca g2„(0) với bat ky y € Y.
Hai bo đề sau đây trình bày các tinh chất cơ bản của các hàm vô hướng hóa ở trên.
Bổ đề 4.1.1 (xem [1]) Chor €R vay €Y Khi đó,
Tương tự, ta có các kết quả sau.
Bồ đề 4.1.2 Chor eR uàycY Khi đó,
Sử dung bổ đề trên, ta chứng minh được các kết quả sau đây.
Mệnh đề 4.1.1 Với mỗi A € Py_c)(Y),r ER vay EY, khi đó ta có các khẳng định sau đâu.
Chứng minh (a) (=) Ta có Gt 4(y) = infaca{gea(y)} < r, khi đó tồn tại ao € A sao cho GE 4) € ỉ¿a¿() < r Tu Bo đề 4.1.2 ta được y € re + ao — intC C re+ A —ntŒ.
( [T1 là tựa lồi:
Với moi 71,72 € X vat € [0,1], vì F là C-tựa lồi, ta có hai trường hợp.
Trường hợp 1: F(a) C F(trì + (1 — t)r2) + C Với mỗi € € B*, ay € F(x) va b€ F(y), tồn tại a € F(t, + (1 —t)arg) và c € C với €(a — b) < €(ai — b) Vì vậy, supecpe (a — b) < supgep: €(a1 — b) Do đó, infaepqz+(1—¿)z„) 8IĐẹep- §(@ — b) < supecp: €(a¡ — 6) Điều này dẫn đến inf su a—b)< inf su a, — b),
— `a = me) op S - suy ra sup inf sup €(ứ—)< sup inf sup €(@ — ề). bE F(y) 4€F (tait+(1-t)22) €e B* be F(y) G1 €F (21) £eB* dl
Trường hợp 2: F(a2) C F(ta, + (1 —t)z2) + C Tương tự Trường hợp 1, ta cũng
Kết hợp (4.1.5) và (4.1.6), ta có
Ta được điều phải chứng minh.
Về tính liên tục của các hàm vô hướng hóa suy rộng, ta có định lý sau đây.
Dinh lý 4.1.1 Nếu F là liên tục va có giá tri compact trên X, thà T1" va T! là liên tục trên X x X.
Chứng minh Do kỹ thuật chứng minh tương tự, ta chỉ chứng minh cho tính liên tục của 7“ Dé chứng minh tính nửa liên tục trên của TJ”, ta chứng td rằng với moi ao € R, tập con P := {(z,)€ X x X: T"(x,y) > ao} là một tập đóng.
Cho (an, Yn) € P với (#a,a) —> (xo, yo), ta chứng minh rang (x0, yo) € P Nếu
T"(x0, yo) = Ge(F(20), F(yo)) = Sup Gee ew)()} < q0. acl (Xo
Suy ra GY p(,j(4) < ag với moi a € F(a) Kết hợp điều này với Mệnh dé 4.1.1 ta được
Ta chứng to rằng F(z„) C age + F(yn) — intC với n đủ lớn Nếu không thì, ta có thể tìm một dãy con {zn„} thỏa mãn Ƒ(z„„) Z aoe + F'(0n,) — intC với moi np.
Khi đó, tồn tại vp, € F(z„,) sao cho
Vì F là nửa liên tục trên với giá tri compact, nên theo Bổ đề 3.3.3, ta có thé gia
SỬ Un, + vo € Ƒ(zo) Từ (4.1.7), tồn tai uo € F(yo) sao cho
Vì F là nửa liên tục dưới, nên theo Bổ đề 3.3.2, tồn tại un, € F(yn,) sao cho
Un, => Ug Từ (4.1.9) suy ra vn, € aoe + Un, — intC với ứ„ đủ lớn, điều này mõu thuẫn với (4.1.8) Vỡ vậy, tồn tại no € ẹ sao cho Ƒ(#a) C ape + F(yn) — intŒ với moi n > no Ap dụng Mệnh đề 4.1.1, ta được T“(2n, yn) < ao, điều này vô lý vì
Chuyển sang tinh nửa liên tục dưới của 7", ta sẽ chứng tỏ rằng, với moi ao € R, tập hợp Q := {(z,) € X xX : T"(z,g) < ao} là một tập đóng Xét
(an, Yn) € Q hội tụ về (xo, yo), ta sẽ chứng minh 7*(zo, yo) < ao Nếu 7“(zo, yo) > ag, thỡ tồn tại ứo € F(zo) sao cho GP p(,(60) > ao Kết hợp điều này với Mệnh đề 4.1.1, ta được ag € age + cl(F (0o) — C) (4.1.10) Áp dụng Mệnh đề 4.1.3 và Bồ đề 3.3.2, ta có thể lấy ay € Ƒ(z„) và bn € F(yn) sao cho an € œoe-+b„ — Ơ Theo Bổ đề 3.3.3, ta có thể giả sử rằng b„ > bọ € F(yo) Từ
(4.1.10), ta được ao £ œoe+bo—Œ Do tính đóng của œoe— Œ, ta có an ¢ œge+ba—Œ với n đủ lớn, đây là điều mâu thuẫn. Định lý sau phỏt biểu về tớnh liờn tục Hửlder của cỏc hàm Gerstewitz suy rộng. Định lý 4.1.2 Với bat kya c Y, nếu F liên tục Holder trên X, thà rị,r", TỶ va
Chứng minh Vì kỹ thuật chứng minh tương tự, nên ta chỉ trình bày chứng minh cho 7! và 71.
Giả sử F là m.a-Holder trên X Khi đó với mỗi zọ € X, tồn tại một lan cận
U của xp sao cho với mọi z1,za € U,
Với bất kỳ e > 0, tồn tại to € R sao cho 7/(#a) < to < 74(#a) +e, và a a € toe* + F(x2) +C (4.1.12)
Vì e* € —intC, nên tồn tại y > 0 với Bi0,y] C e* +C, va do đó BỊ0, lla, — z2||*] C + lle — r9|\%e* + C Kết hợp điều này với (4.1.11) va (4.1.12) ta được
33 a € đọc" + Fứ) + mB, a1 — ứa||°| +C C (to + Bllx — #a|*) e* + F(e1) + C, suy ra 7/(#1) < fo+ TIl#i— xal|* < T/(2)+e+ li — xal|° Vie là tùy ý, nên ta được T/(z1) < ria) + “||zi — v2||° Tương tự, ta có ti (a2) < tH (ay) + \|e1 — z2|J# Vì VẬY, TỶ là liên tục Holder.
Với mọi xo, yo € X, tồn tại các lân cận U của zg và V của yo sao cho
F(a) Cc F (a1) + mB(O0, llr — z2l| V#Zq,za € U, (4.1.13)
F(y1) C F(y2) + mB(0, ||uì — yal|® Vi, ye € V (4.1.14)
Với x1, 72 € U và y1,y2 € V, ta có thể tìm được một số dương + sao cho
B[0, mai — z2||T + m|[yì — yall] C G lzi — z2||Ứ 4 P lly nl) e*+C (4.1.15) m m
Dat p:= T||#i — z2||[? + Fly — y2i|®, ta sẽ chứng minh
Giả sử T'(21, y1) > T!(x2, yo) +p Theo định nghĩa của T! (21, y1), tồn tại a, € F(y1) sao cho T!(x1,y1) > 71, (a1) > T'(x2, y2) +p Từ (4.1.14) suy ra tồn tai az € F(y2) sao cho aye a2 + m]B[0, liếm = a||f] (4.1.17)
Vì tl (21) > T'(x2, y2) +p > Tả,(22) +p, ta có rh (z1) —p > T¿„(2z2) Theo định nghĩa của r¿ (z›), tồn tại t € R với r! (x1) —p>t> 7¿„(za), và do đó a2 az € te* + F(a2)+C (4.1.18)
Kết hợp (4.1.13), (4.1.15), (4.1.17) với (4.1.18), ta được ai € ag+mB(0, ||yi —9a||#], và do đó ay € te* + F(za) + C + mBI|0, lly — 9⁄2||f] te* + F(a1) + B[0,mllzri — za|[? + my — yall*] + €
* 1 * te” + F(21) 7 mle xr2||° + mlyi — yall) e* +C
Vir! (x1) > t+p, ta có ai ¢ (t+p)e* + F(zì) +C, đây là điều mau thuẫn Vì vậy,
(4.1.16) được chứng minh Tương tự, ta có
Từ (4.1.16) va (4.1.19), ta được tính liên tục Holder của T’.
4.2 Võ hướng hóa cho bài toán tối ưu tập, bài toán cân bằng đa trị
Trong mục này, chúng tôi phát biểu các bài toán tối ưu tập, bài toán cân bằng vô hướng va bài toán cân bằng da trị Sau đó, chúng tôi sẽ vô hướng hóa cho bài toán cân bằng da trị và bài toán tối ưu tập bởi hàm Gerstewitz và ham
Cho X,Y,W, Z là các không gian định chuẩn, D là tap con lồi, khác rỗng của
X, và A,M lần lượt là các tập con khác rỗng của W,Z Cho C c Y là một nón lồi, đóng, có đỉnh với intC # và e,e* lần lượt là các phần tử thuộc intC va
—intŒ Cho K : A = D là một ánh xạ đa trị có giá trị lồi, khác rỗng và bi chặn. Trước hết, ta xét các bài toán sau.
- Bai toán tối ưu tập.
Cho F: X x M Y là một ỏnh xạ đa trị cú giỏ trị khỏc rỗng Với (A, 1ứ) €
Ax M, ta xét bài toán tối uu tập chứa tham số sau đây: min F(x, ) với z € K(A) (SOP)
Với mỗi (e,À,) € Ry x A x AM, ta ký hiệu các tập e-nghiém của (SOP) ứng với At r€ {l,u} bởi LI(e,À,ứ), nghĩa là,
I (e,A, 1) := {@ € K(A) | F(a, pn) XP Fu,w) — ee° Vụ € KQ)},
II"(e,A, uw) = {x € K(A) | F(a, nu) Sỹ Fly,p) +ee Vụ € KA)}.
- Bai toán cân bằng v6 hướng.
Tìm ze K(A) sao cho f(Z,y, ) > 0 với mọi € K(A), (EP)
39 trong đó f: X x X x M + R là một tam hàm thỏa mãn ƒ(z,z,) = 0 với mọi z(€ X vane M.
Với (c,A,u) € Ry x Ax M, ta ký hiệu tập e-nghiệm của (EP) bởi S(e,À, 6), nghĩa là,
- Bai toán cân bằng đa trị.
Cho F:Dx Dx M —ơ Y là một ỏnh xạ đa trị Với mỗi (À,/) € Ax M, ta xột bài toán cân bằng đa trị chứa tham số dạng mạnh sau đây: tìm z € K(A) sao cho F(Z, y,) C C với mọi y € K(A) (SEP)
Với (c,À,) € Rt x Ax M, ta ký hiệu tập e-nghiém của (SEP) bởi
S(,A,w) = fe € KA) | Fla ys) + se CC, Vụ € K(A)}.
Phân tích, đánh giá, thảo luận
— Trong luận án này, chúng tôi đã tiến hành khảo sát tính lồi, tính tựa lồi, tính liên tục và liên tục Holder của các ham vô hướng hóa Gerstewitz suy rộng, sau đó áp dụng các hàm này để vô hướng hóa bài toán tối ưu tập Ngoài ra, chúng tôi đã nghiên cứu các dạng ổn định theo nghĩa liên tục Hausdorff, liên tục Hửlder/Lipschitz của bài toỏn tối ưu tập thụng qua phương phỏp vụ hướng hóa Bên cạnh đó, chúng tôi đã hiệu chỉnh hàm Gerstewitz trong việc vô hướng hóa bài toán cân bằng đa trị và nghiên cứu các điều kiện đủ cho tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ của bài toán này (Dinh lý 4.3.4) Trong định lý này, chúng tôi đã giảm nhẹ giả thiết lõm theo nón của hàm mục tiêu, được sử dụng trong [88, Dinh lý 3.1], thành tính lõm tổng quát được đề xuất trong Định nghĩa 3.2.3.
— Đối với bài toán tối ưu trong không gian tuyến tính, cho đến nay sự khảo sát tính ổn định chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu các đặc trưng nghiệm hoặc các điều kiện tối ưu cho các mô hình này Vì theo cách tiếp cận thông thường thì tính ổn định phải dựa trên cấu trúc tôpô Đối với lớp bài toán này, chúng tôi đã xây dựng và chứng minh các tính chất của hàm nửa liên tục theo nghĩa đại số và bước đầu đã vận dụng để thiết lập các điều kiện ổn định theo nghĩa đặt chỉnh cho nghiệm hữu hiệu của bài toán Các kết quả đạt được là mới và cách tiếp cận này là nền móng để tiến hành các nghiên cứu tiếp theo liên quan đến chủ đề này.
— Chú ý là đối với mô hình tối ưu vector thì có rất nhiều loại nghiệm khác nhau như là nghiệm Henig, nghiệm Benson, nghiệm Borwein, Tuy nhiên, khi khảo sát tính chất nghiệm của các mô hình tối ưu bằng phương pháp vô hướng hóa thì mỗi hàm vô hướng hóa chỉ đáp ứng tốt cho một dạng nghiệm của mô hình Do đó, việc nghiên cứu các hàm vô hướng hóa đáp ứng được đa dạng các loại nghiệm vẫn còn là chủ đề mở Hơn nữa, do các tính chất hàm trong không gian tuyến tính còn hạn chế nên đối với bài toán tối ưu trong không gian tuyến tính, cho đến nay các công trình chỉ đạt được kết quả cho trường hợp không gian ảnh là không gian tuyến tính trong khi đó không gian nguồn vẫn phải cần được trang bị cấu trúc tôpô Vì vậy mà việc xem xét bài toán hoàn toàn trong không gian tuyến tính là chủ đề hay và cần được tiến hành trong thời gian tới.
KET LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ
Trong luận án này, chúng tôi đã đạt được các kết quả sau đây.
— Khảo sát được các tính chất của hàm vô hướng hóa Gerstewitz suy rộng, bao gồm tính lồi, tính tựa lồi (Mệnh đề 4.1.4 và 4.1.5), tính liên tục và tính liên tục
Holder (Định lý 4.1.1 và 4.1.2) Sử dụng hàm Gerstewitz và các phiên bản mở rộng của nó, chúng tôi đã vô hướng hóa cho bài toán cân bằng da trị và bài toán tối ưu với hàm mục tiêu có giá trị tập (Định lý 4.2.1 và 4.2.2).
— Thiết lập được các điều kiện tồn tại nghiệm cho bài toán tối ưu tập và bài toán tối ưu vector trong không gian tuyến tính (Định lý 4.3.1 và 4.4.2).
— Nghiên cứu thành công các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff cho ánh xạ nghiệm bài toán tối ưu tập mà không cần dùng đến các giả thiết đơn điệu (Định lý 4.3.2).
— Xõy dựng được cỏc điều kiện đủ cho tớnh liờn tục Hửlder/Lipschitz cho ỏnh xạ nghiệm bài toán tối ưu tập (Định lý 4.3.3 và Hệ quả 4.3.1) và tính liên tục Lipschitz cho ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng đa trị (Dịnh lý 4.3.4 và 4.3.5).
— Thiết lập được các điều kiện đặt chỉnh cho bài toán tối ưu vector trong không gian tuyến tính (Định lý 4.4.3, 4.4.4, 4.4.5 và 4.4.6).
Từ các kết quả đạt được của luận án, chúng tôi nhận thấy rằng các vấn đề sau đây cần tiếp tục nghiên cứu, phát triển.
— Tiếp tục đề xuất và nghiên cứu các hàm vô hướng hóa mới tương ứng với các dạng nghiệm khác như nghiệm Henig, nghiệm Benson, nghiệm Borwein cho các mô hình tối ưu vector.
— Tiếp tục nghiên cứu sự ổn định nghiệm của các bài toán liên quan đến tối ưu trong không gian tuyến tính và các mô hình tối ưu thông qua các tập cải tiến, các tập dạng radiant, hoặc dựa trên các quan hệ hai ngôi tổng quát.
Gerth, C., Weidner, P (1990) Nonconvex separation theorems and some applications in vector optimization Journal of Optimization Theory and Applications 67(2), 297-320.
Chen, G.Y., Goh, C.J., Yang, X.Q (1999) Vector network equilibrium problems and nonlinear scalarization methods Mathematical Methods of Operations Research 49, 239-253.
Chen, G.Y., Yang, X.Q., Yu, H (2005) A nonlinear scalarization func- tion and generalized quasi-vector equilibrium problems Journal of Global Optimization 32, 451-466.
Wu, Y.N., Cheng, T.C.E (2005) Convergence results for weak efficiency in vector optimization problems with equilibrium constraints Journal of Optimization Theory and Applications 125(2), 453-472.
Khan, A., Tammer, C., Zalinescu, C (2015) Set-Valued Optimization: An Introduction with Applications Springer, Berlin.
Hernandez, E., Rodriguez-Marin, L (2007) Nonconvex scalarization in set optimization with set-valued maps Journal of Mathematical Analysis and
Kuwano, I., Tanaka, T., Yamada, S (2010) Inherited properties of unified types of scalarizing functions for sets In A Akashi, Y Kimura and T. Tanaka (eds.), Nonlinear Analysis and Convex Analysis (NACA2009), pp.
Sonda, Y., Kuwano, I., Tanaka, T (2010) Cone-semicontinuity of set-valued maps by analogy with real-valued semicontinuity Nihonkai Mathematical
Kuwano, I., Tanaka, T (2012) Continuity of cone-convex functions Opti- mization Letters 6(8), 1847-1853.
Sach, P.H (2012) New nonlinear scalarization functions and applications. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 75(4), 2281-2292.
Araya, Y (2012) Four types of nonlinear scalarizations and some applica- tions in set optimization Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applica- tions 75(9), 3821-3835.
Sach, P.H., Tuan, L.A (2013) New scalarizing approach to the stability analysis in parametric generalized Ky Fan inequality problems Journal of Optimization Theory and Applications 157, 347-364.
Han, Y., Huang, N.J (2018) Continuity and convexity of a nonlinear scalar- izing function in set optimization problems with applications Journal of Optimization Theory and Applications 177(3), 679-695.
Bao, T.Q., Mordukhovich, B.S (2010) Set-valued optimization in welfare economics In Advances in mathematical economics, pp 113-153 Springer.
Jahn, J (2011) Vector Optimization Springer, Berlin.
Chen, G.Y., Jahn, J (1998) Optimality conditions for set-valued opti- mization problems Mathematical Methods of Operations Research 48(2),
Luc, D.T (1989) Theory of Vector Optimization title: Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems Springer, Berlin.
Kuroiwa, D (2003) Existence of efficient points of set optimization with weighted criteria Journal of Nonlinear and Convex Analysis 4(1), 117-124.
Alonso, M., Rodriguez-Marin, L (2005) Set-relations and optimality con- ditions in set-valued maps Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Appli- cations 63(8), 1167-1179.
Hernandez, E., Rodriguez-Marin, L (2007) Existence theorems for set op- timization problems Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 67(6), 1726-1736.
Hernandez, E., Rodriguez-Marin, L (2007) Lagrangian duality in set- valued optimization Journal of Optimization Theory and Applications 134,
Alonso, M., Rodriguez-Marin, L (2009) Optimality conditions for set- valued maps with set optimization Nonlinear Analysis: Theory, Methods
Xu, Y.D., Li, S.J (2014) Continuity of the solution set mappings to a parametric set optimization problem Optimization Letters 8(8), 2315-
Gutiérrez, C., Jiménez, B., Miglierina, E., Molho, E (2015) Scalarization in set optimization with solid and nonsolid ordering cones Journal of Global
Xu, Y.D., Li, S.J (2016) On the solution continuity of parametric set opti- mization problems Mathematical Methods of Operations Research 84(1),
Zhang, W.Y., Li, S.J., Teo, K.L (2009) Well-posedness for set optimiza- tion problems Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 71(9),
Gutiérrez, C., Miglierina, E., Molho, E., Novo, V (2012) Pointwise well- posedness in set optimization with cone proper sets Nonlinear Analysis:
Khoshkhabar-amiranloo, S., Khorram, E (2015) Pointwise well-posedness and scalarization in set optimization Mathematical Methods of Operations
Vui, P.T., Anh, L.Q., Wangkeeree, R (2019) Levitin—Polyak well-posedness for set optimization problems involving set order relations Positivity 23(3),
Han, Y., Huang, N.J (2017) Well-posedness and stability of solutions for set optimization problems Optimization 66(1), 17-33.
Kassay, G., Radulescu, V (2018) Equilibrium Problems and Applications.
Bigi, G., Castellani, M., Pappalardo, M., Passacantando, M (2019) Non- linear Programming Techniques for Equilibria Springer, Switzerland.
Li, X.B., Li, S.J (2011) Continuity of approximate solution mappings for parametric equilibrium problems Journal of Global Optimization 51(3),
Xu, Y.D., Li, S.J (2013) On the lower semicontinuity of the solution mappings to a parametric generalized strong vector equilibrium problem.
Chen, B., Huang, N.J (2013) Continuity of the solution mapping to para- metric generalized vector equilibrium problems Journal of Global Opti- mization 56, 1515-1528.
Anh, L.Q., Duoc, P.T., Tam, T.N (2017) Continuity of approximate so- lution maps to vector equilibrium problems Journal of Industrial & Man- agement Optimization 13(4), 1685.
Anh, L.Q., Nguyen, K.T., Tam, T.N (2017) On Holder continuity of ap- proximate solution maps to vector equilibrium problems Turkish Journal of Mathematics 41(6), 1591-1607.
Xu, Y.D., Li, S.J (2016) A new nonlinear scalarization function and ap- plications Optimization 65(1), 207-251.
Li, L., Chen, C (2014) Nonlinear scalarization with applications to Hélder continuity of approximate solutions Numerical Algebra, Control and Op- timization 4(4), 295-307.
Tammer, C., Zalinescu, C (2010) Lipschitz properties of the scalarization function and applications Optimization 59(2), 305-319.
Sadeqi, I., Salehi Paydar, M (2016) Lipschitz continuity of an approximate solution mapping for parametric set-valued vector equilibrium problems.
[42] Adan, M., Novo, V (2002) Optimality conditions for vector optimization problems with generalized convexity in real linear spaces Optimization
[43] Bao, T.Q., Tammer, C (2019) Scalarization functionals with uniform level sets in set optimization Journal of Optimization Theory and Applications
[44] Giinther, C., Khazayel, B., Tammer, C (2022) Vector optimization wrt relatively solid convex cones in real linear spaces Journal of Optimization Theory and Applications 193, 408-442.
[45] Eichfelder, G (2014) Variable Ordering Structures in Vector Optimization.
[46] Khazayel, B., Farajzadeh, A., Gũnther, C., Tammer, C (2021) On the intrinsic core of convex cones in real linear spaces SIAM Journal on Opti- mization 31(2), 1276-1298.
[47] Gutiérrez, C., Novo, V., Ródenas-Pedregosa, J.L., Tanaka, T (2016) Non- convex separation functional in linear spaces with applications to vector equilibria SIAM Journal on Optimization 26(4), 2677-2695.
[48] Adan, M., Novo, V (2003) Weak efficiency in vector optimization using a closure of algebraic type under cone-convexlikeness European Journal of
[49] Adan, M., Novo, V (2004) Proper efficiency in vector optimization on real linear spaces Journal of Optimization Theory and Applications 121(3),
[50] Gutiérrez, C., Huerga, L., Jiménez, B., Novo, V (2018) Approximate so- lutions of vector optimization problems via improvement sets in real linear spaces Journal of Global Optimization 70(4), 875-901.
[51] Zhou, Z.A., Peng, J.W (2012) Scalarization of set-valued optimization problems with generalized cone subconvexlikeness in real ordered linear spaces Journal of Optimization Theory and Applications 154(3), 830-841.
Tikhonov, A.N (1966) On the stability of the functional optimization problem USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics
Levitin, E.S., Polyak, B.T (1966) Convergence of minimizing sequences in conditional extremum problems Doklady Akademii Nauk SSSR 168(5), 997-1000.
Anh, L.Q., Duy, T.Q., Khanh, P.Q (2021) Levitin-Polyak well-posedness for equilibrium problems with the lexicographic order Positivity 25(4),
Zolezzi, T (1995) Well-posedness criteria in optimization with application to the calculus of variations Nonlinear Analysis 25(5), 437-453.
Bednarczuk, E., Penot, J.P (1992) Metrically well-set minimization prob- lems Applied Mathematics and Optimization 26(3), 273-285.
Hu, R., Fang, Y.P (2013) Levitin-Polyak well-posedness by perturbations of inverse variational inequalities Optimization Letters 7(2), 343-359.
Lignola, M.B., Morgan, J (2006) Vector quasi-variational inequalities: ap- proximate solutions and well-posedness Journal of Convex Analysis 13(2),
Anh, L.Q., Duy, T.Q., Hien, D.V (2020) Well-posedness for the optimistic counterpart of uncertain vector optimization problems Annals of Opera- tions Research 295(2), 517-533.
Virmani, G., Srivastava, M (2021) Levitin-Polyak well-posedness of gener- alized bilevel equilibrium problem with perturbations Optimization 70(11),
Ceng, L.C., Yao, J.C (2008) Well-posedness of generalized mixed varia- tional inequalities, inclusion problems and fixed-point problems Nonlinear
|62| Wangkeeree, R., Anh, L.Q., Boonman, P (2017) Well-posedness for general
[70] parametric quasi-variational inclusion problems Optimization 66(1), 93-
Van Cuong, D., Mordukhovich, B.S., Mau Nam, N., Cartmell, A (2022). Algebraic core and convex calculus without topology Optimization 71(2),
Ansari, Q.H., Kửbis, E., Yao, J.C (2018) Vector Variational Inequalities and Vector Optimization Springer, Cham.
Aubin, J.P., Frankowska, H (1990) Set-Valued Analysis Birkhauser,
Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Van, D.T.M., Yao, J.C (2009) Well-posedness for vector quasiequilibria Taiwanese Journal of Mathematics 13(2B), 713-737.
Anh, L.Q., Khanh, P.Q (2004) Semicontinuity of the solution set of para- metric multivalued vector quasiequilibrium problems Journal of Mathe- matical Analysis and Applications 294(2), 699-711.
Anh, L.Q., Duoc, P.T., Tam, T.N (2018) On Holder continuity of so- lution maps to parametric vector primal and dual equilibrium problems.
Gopfert, A., Riahi, H., Tammer, C., Zalinescu, C (2003) Variational Meth- ods in Partially Ordered Spaces Springer Science & Business Media.
Li, S.J., Yang, X.Q., Chen, G.Y (2003) Nonconvex vector optimization of set-valued mappings Journal of Mathematical Analysis and Applications
Fan, K (1984) Some properties of convex sets related to fixed point theo- rems Mathematische Annalen 266(4), 519-537.
Jafari, S., Farajzadeh, A.P., Moradi, S., Khanh, P.Q (2017) Existence results for-quasimonotone equilibrium problems in convex metric spaces.
Sadeqi, I., Alizadeh, C.G (2011) Existence of solutions of generalized vector equilibrium problems in reflexive banach spaces Nonlinear Analysis 74(6),
Alleche, B., Radulescu, V.D (2016) Set-valued equilibrium problems with applications to Browder variational inclusions and to fixed point theory. Nonlinear Analysis: Real World Applications 28, 251-268.
Alleche, B., Radulescu, V.D (2017) Further on set-valued equilibrium problems and applications to Browder variational inclusions Journal of
Durea, M (2007) On the existence and stability of approximate solutions of perturbed vector equilibrium problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 333(2), 1165-1179.
Eslamizadeh, L., Naraghirad, E (2020) Existence of solutions of set-valued equilibrium problems in topological vector spaces with applications Opti- mization Letters 14(1), 65-83.
Bao, T.Q., Gupta, P., Mordukhovich, B.S (2007) Necessary conditions in multiobjective optimization with equilibrium constraints Journal of Opti- mization Theory and Applications 135(2), 179-203.
Mordukhovich, B.S (2009) Characterizations of linear suboptimality for mathematical programs with equilibrium constraints Mathematical Pro- gramming 120(1), 261-283.
Outrata, J.V (2000) A generalized mathematical program with equilibrium constraints SIAM Journal on Control and Optimization 38(5), 1623-1638.
Kuratowski, K (1930) Sur les espaces complets Fundamenta Mathemati- cae 1(15), 301-309.
Milovanovié-Arandjelovié, M.M (2001) Measures of noncompactness on uniform spaces — the axiomatic approach Filomat 15, 221—225.
Khoshkhabar-amiranloo, S., Khorram, E (2017) Scalarization of Levitin- Polyak well-posed set optimization problems Optimization 66(1), 113-127.
[84] Peng, J.W., Wu, S.Y., Wang, Y (2012) Levitin-Polyak well-posedness of generalized vector quasiequilibrium problems with functional constraints.
[85] Huang, X.X., Yang, X.Q (2006) Generalized Levitin-Polyak well- posedness in constrained optimization SIAM Journal on Optimization 17(1), 243-258.
[86] Darabi, M., Zafarani, J (2016) Levitin-Polyak well-posedness of strong parametric vector quasiequilibrium problems In Applied Analysis in Bio- logical and Physical Sciences, pp 321-337 Springer.
[87] Khoshkhabar-amiranloo, S (2019) Characterizations of generalized
Levitin-Polyak well-posed set optimization problems Optimization Let- ters 13(1), 147-161.
[88] Han, Y (2018) Lipschitz continuity of approximate solution mappings to parametric generalized vector equilibrium problems Journal of Optimiza- tion Theory and Applications 178, 763-793.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC
CÁC BÀI BÁO ĐÃ XUẤT BẢN
[AI] Lam Quoc Anh, Nguyen Huu Danh, Tran Ngoc Tam (2023) Levitin-
Polyak well-posedness for vector optimization problems in linear spaces.
[A2] Lam Quoc Anh, Tran Ngoc Tam, Nguyen Huu Danh (2023) On Lip- schitz continuity of approximate solutions to set-valued equilibrium prob- lems via nonlinear scalarization Optimization, 72 (2), 439-461
[A3] Lam Quoc Anh, Nguyen Huu Danh, Pham Thanh Duoc, Tran Ngoc Tam
(2021) Qualitative properties of solutions to set optimization problems. Computational and Applied Mathematics, 40, 1-18
[A4] Lam Quoc Anh, Nguyen Huu Danh, Tran Ngoc Tam (2020) Continuity of solution maps to parametric set optimization problems via parametric equilibrium problems Acta Mathematica Vietnamica, 45, 383-395
CAC BAO CAO HOI NGHI VA HOI THAO
[C1] Nguyen Huu Danh, Nguyen Phuc Duc, Nguyen Chi Thang Continuity of approximate solution maps to set-valued equilibrium problems Hội nghị
Toán học toàn quốc lan thứ X, Trường Dai hoc Sư phạm — Dai hoc Da Nẵng, ngày 08—12 tháng 8 năm 2023 — Thanh phố Da Nẵng, Việt Nam.
[C2] Nguyen Huu Danh, Tran Thi Thuy Duong, Tran Thi Bich Tram Stability of solution maps to set-valued equilibrium problems via nonlinear scalariza- tion functions 21th Workshop on Optimization and Scientific Computing. April 20-22, 2023 — Ba Vi, Vietnam.
[C3] Nguyen Huu Danh, Truong Thi My Dung and Vo Thi Mong Thuy Ez- istence and Holder continuity of solutions to set optimization problems. The International Symposium on Applied Science October 14—16, 2022, HCMC University of Technology, Ho Chi Minh City, Vietnam