Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1 Cho Ω là tập khác rỗng trong R n , Ω gọi là tập lồi khi và chỉ khi λx + (1 − λy) ∈ Ω với mọi x, y ∈ Ω và với mọi λ ∈ [0, 1].
Ví dụ 1.1 Tập lồi, tập không lồi.
Hình 1.1: Tập lồi và tập không lồi. Định nghĩa 1.2 ChoΩlà tập khác rỗng trongR n , bao lồi củaΩkí hiệu convΩ được định nghĩa convΩ : =
Hình 1.2: Tập Ω và bao lồi của Ω
Tính chất 1.1 (Xem [37]) Cho Ω là tập lồi khác rỗng trong R n Khi đó phần trong intΩ và bao đóng clΩ cũng là tập lồi.
Các định lý tách tập lồi là một trong những ứng dụng quan trọng nhất của định lý Hahn-Banach Dưới đây, ta nhắc lại một số định lý tách các tập lồi. Định lý 1.1 (Xem [37]) Cho A, B là hai tập lồi rời nhau trong R n
(i) Nếu int A 6 = 0 thì A và B tách được, nghĩa là tồn tại x ∗ ∈R n \ { 0 } thỏa mãn h x ∗ , a i6 h x ∗ , b i với mọi a ∈ A, b ∈ B.
(ii) Nếu int A 6 = 0 và một trong hai tập A, B là tập compact thì A và B tách chặt, nghĩa là x ∗ ∈R n \ { 0 } thỏa mãn h x ∗ , a i < h x ∗ , b i với mọi a ∈ A, b ∈ B.
Hình 1.3: Minh họa định lý tách tập lồi Định nghĩa 1.3 Cho Ω là tập khác rỗng trong R n
(i) Ω là nón nếu với mọi x ∈ Ω và với mọi λ ≥ 0 thì λx ∈ Ω.
(ii) Nón sinh bởi tập Ω kí hiệu cone Ω được định nghĩa bởi công thức sau cone Ω : = { λx | x ∈ Ω, λ ≥ 0 }
Hình 1.5: Nón sinh bởi tập Ω 2 Định nghĩa 1.4 Cho Ω là tập khác rỗng trong R n a) Nón cực âm của tập Ω, kí hiệu Ω 0 , được định nghĩa là
Ω 0 := { d ∈R n | h x, d i ≤ 0, ∀ x ∈ Ω } b) Nón cực âm chặt của tập Ω, kí hiệu Ω − , được định nghĩa là
Hình 1.6: Nón cực âm và nón cực âm chặt sinh bởi tập Ω
Tính chất 1.2 Cho tập Ω khác rỗng trong R n Khi đó ta có
(i) Ω 0 luôn là nón lồi đóng Nếu Ω − 6 = ∅ thì clΩ − = Ω 0
= clcone Ω. Định nghĩa 1.5 Cho tập Ω khác rỗng trong R n và x ∈ Ω Nón tiếp xúc của Ω tại x, kí hiệu T (Ω, x) được định nghĩa
Cho hàm số f :R n → R ∪ { + ∞} , miền xác định domf và trên đồ thị epif lần lượt được định nghĩa dom f : = { x ∈R n | f(x) < + ∞} , epi f : = { (x, r) ∈R n × R | f(x) ≤ r } Định nghĩa 1.6 Cho f :R n → R ∪ { + ∞} Khi đó a) f được gọi là hàm lồi nếu bất đẳng thức f (λx 1 + (1 − λ)x 2 ) ≤ λf (x 1 ) + (1 − λ)x 2 được thoả mãn với mọi x 1 , x 2 ∈ dom f và với mọi λ ∈ [0, 1]. b) f được gọi là hàm lõm nếu bất đằng thức f (λx 1 + (1 − λ)x 2 ) ≥ λf (x 1 ) + (1 − λ)x 2 được thoả mãn với mọi x 1 , x 2 ∈ dom f và với mọi λ ∈ [0, 1].
Ví dụ 1.2 Ví dụ về hàm lồi và hàm lõm.
Ánh xạ Lipschitz và dưới vi phân Clarke
Bên cạnh lớp hàm tuyến tính và hàm lồi, các hàm Lipschitz có ứng dụng rất phong phú trong toán học, và được nghiên cứu rất nhiều trong những thập niên gần đây Tài liệu [12] là một trong những quyển sách kinh điển về giải tíchLipschitz được viết bởi nhà toán học nổi tiếng F.H Clarke Các nội dung trong phần này chúng tôi đều trích dẫn từ quyển sách trên. Định nghĩa 1.7 Cho hàm số f : R n → R.
(i) f được gọi là hàm Lipschitz trên R n nếu có một số thực L > 0 sao cho với mọi x, y ∈R n thì bất đẳng thức sau thỏa
(ii) f được gọi là hàm Lipschitz địa phương tại x nếu có một số thực L > 0 và lân cận U của x sao cho với mọi x, y ∈ U thì bất đẳng thức sau thỏa
Ví dụ 1.3 (a) Hàm số f(x) = √ x 2 + 1 là hàm Lipschitz trên R với L = 1. Thật vậy với mọi x, y ∈ R, giả sử x < y Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có u ∈ (x, y) thỏa
(b) Hàm số f (x) = x 3 không là hàm Lipchitz trên R nhưng là Lipchitz địa phương trên R.
Thật vậy, giả sử f (x)là hàm Lipschitz trên R, khi đó với mọi x, y ∈Rtồn tại
Vậy f(x) = x 3 không là hàm Lipschitz trên R.
Bây giờ, với mọi x 0 ∈R, với mọi x, y ∈ [x 0 − 1, x 0 + 1], giả sử x < y Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có u ∈ (x, y) sao cho
| f (x) − f (y) | = | x 3 − y 3 | = | f ′ (u) || x − y | = 2u 2 | x − y | ĐặtL = max u∈[x 0 −1,x 0 +1] 2u 2 , giá trị max này tồn tại theo nguyên lý Weierstrass. Khi đó, với mọi x, y ∈ [x 0 − 1, x 0 + 1], ta được
Do đó, ta có f (x) = x 3 là hàm Lipschitz tại mọi điểm trên R. Định nghĩa 1.8 Cho f :R n → R ∪ { + ∞} , x ∈domf, và d ∈R m
(i) Đạo hàm theo hướng theo nghĩa cổ điển của f tại x theo hướng d, kí hiệu f ′ (x, d), xác định bởi công thức sau f ′ (x, d) : = lim tց0 f (x + td) − f (x) t
(ii) Đạo hàm theo hướng theo nghĩa Clarke của f tại x theo hướng d, kí hiệu f 0 (x, d), xác định bởi công thức sau f 0 (x, d) : = lim sup x→x,tց0 f(x + td) − f(x) t
(iii) Hàm f gọi là chính quy tại x nếu f 0 (x, d) = f ′ (x, d), ∀ d ∈R n
Với các hàm số không trơn (không khả vi Frechet), việc nghiên các dưới vi phân đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát các tính chất của hàm và các ứng dụng Đối với lớp các hàm lồi, chúng ta có dưới vi phân lồi được đề xuất bởi 2 nhà toán học Rockafellar và Moreau (xem [37]) Với các hàm Lipschitz địa phương, nhà toan học Clarke đã xây dựng nên một lý thuyết hoàn chỉnh về dưới vi phân cho các hàm Lipschitz (xem [12]). Định nghĩa 1.9 Cho f : R n → R ∪ { + ∞} là ánh xạ Lipschitz tại x ∈ domf. Dưới vi phân Clarke của f tại x, kí hiệu ∂f (x), được định nghĩa
∂f (x) : = { ξ ∈R n | f 0 (x, d) ≥ h ξ, d i , ∀ d ∈ R n } Định lý sau đây cho ta một cách tính đơn giản và hữu hiệu cho dưới vi phân Clarke. Định lý 1.2 Cho hàm số f : R n → R Lipschitz địa phương tại x Khi đó, ta có
Sau đây, chúng tôi sẽ hệ thống lại các tính chất quan trọng của dưới vi phân theo nghĩa Clarke (xem [12]). Định lý 1.3 Cho f, g :R n → R là các hàm Lipschitz địa phương tại x ∈R n với hằng số L và hướng d ∈R n Khi đó, ta có các tính chất sau.
(i) Ánh xạ d 7→ f ◦ (x; d) là ánh xạ lồi thỏa các tính chất sau f ◦ (x; d) = max x ∗ ∈∂f(x) h x ∗ , d i , và
∂ convex f ◦ (x, ã )(0) = ∂f (x) ⊆B (0, L), trong đó ∂ convex ký hiệu cho dưới vi phân lồi.
(ii) Ánh xạ đa trị∂f :R n ⇒ R n nhận giá trị lồi, compact, và nửa liên tục trên. (iii) ∂(λf) = λ∂(f ) for λ ∈R +
(v) Nguyên lý cực trị Fermat: Nếux ∈R n là cực tiểu (hoặc cực đại) địa phương của hàm số f trên R n , thì ta có bao hàm thức sau
0 ∈ ∂f (x). Định lý giá trị trung bình sau đây đóng vai trò quan trọng trong các chứng minh về sau. Định lý 1.4 ([12]) Cho f :R n → R là hàm Lipschitz địa phương và x, y ∈R n Khi đó, tồn tại điểm u ∈ conv{ x, y } và ξ ∈ ∂f (u) thỏa đẳng thức sau f(y) − f (x) = h ξ, y − x i Điều kiện tối ưu
Điều kiện chính quy cho các ràng buộc
Đối với bài toán (UP), chúng tôi xét ánh xạ đa trị V : I ⇒R p xác định như sau
Với mỗi phần tử x ∈R n , ta có các ký hiệu sau, với k ∈ { 1, , m }, và i ∈ I,
Chúng tôi khảo sát bài toán tối ưu vững (RP) cho bài toán (UP) như sau: (RP) min R m + F (x) s.t g i (x, v i )6 0 với mọi v i ∈ V i, i ∈ I.
Tập các nghiệm chấp nhận được là
Chúng tôi nhận thấy có nhiều khái niệm về nghiệm hữu hiệu vững cho bài toán (UP), sau đây là một số khái niệm được dùng phổ biến.
(i) Nghiệm vững chặt được nghiên cứu trong các tài liệu [22] và [24].
(ii) Nghiệm được xác định theo quan hệ thứ tự trên tập có thể tham khảo trong các tài liệu [16, 31, 41, 36].
(iii) Nghiệm theo nghĩa minimax được xây dựng trong các bài gần đây [11, 16].
Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu định nghĩa nghiệm hữu hiệu vững theo hướng thứ (iii). Định nghĩa 2.1 ([11, 16]) Xét bài toán (RP) và điểm x ∈ F.
(i) x là nghiệm hữu hiệu địa phương có tính chất vững của (RP), được ký hiệu x ∈ LP(RP), nếu có một lân cận U của x thỏa tính chất
(ii) x là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương có tính chất vững của (RP), được ký hiệu x ∈ LW(RP), nếu có một lân cận U của x thỏa tính chất
(iii) x là nghiệm chính thường dương địa phương có tính chất vững của (RP), được ký hiệux ∈ LPos(RP), nếu có một lân cận U củaxvàλ = (λ 1 , , λ m ) ∈ intR n + thỏa, với mọi x ∈ U ∩ F,
Nếu lân cận U = R n , thì các khái niệm trên sẽ thành các nghiệm toàn cục tương ứng.
+ là tập các hàm số β : I →R + nhận giá trị β i >tại hữu hạn điểm trên I và bằng 0 với các điểm còn lại Với mỗi phần tử x ∈ F, ta định nghĩa các tập hợp sau, với k ∈ { 1, , m } ,
Tiếp theo các nghiên cứu trong các bài báo [9, 10, 11, 33], các giả thiết sau luôn được chúng tôi dùng trong báo cáo này.
(A) W k là tập compact với k ∈ { 1, , m }, và ánh xạ V nhận giá trị compact trên tập I.
(B) Với k ∈ { 1, , m }, i ∈ I và x ∈ F, tồn tại lân cận U k (x) và U bi (x) của x thỏa các điều kiện sau:
(B1) • hàm số w ∈ W k 7→ f k (x, w) có tính chất nửa liên tục trên theo x ∈ U k (x) và f k ( ã , w) Lipschitz tại x với hằng số L f k theo w ∈ W k;
• hàm số v ∈ V i 7→ g i (x, v) có tính chất nửa liên tục trên theo x ∈ U bi (x) và g i ( ã , v) Lipschitz tại x với hằng số L g i theo v ∈ V i
(B2) • ánh xạ (x, w) ∈ U k (x) × W k ⇒ ∂ x f k (x, w) đóng tại (x, w) với w ∈ W k (x);
• ánh xạ (x, v) ∈ U b i (x) × V i ⇒ ∂ x g i (x, v) đóng tại (x, v) với v ∈ V i (x).
Các điều kiện chính quy cho các ràng buộc (hay còn được gọi là định tính ràng buộc) đóng vai trò quan trọng trong việc thiết lập các điều kiện tối ưu. Sau đây, một số điều kiện chính quy cho bài toán (RP) sẽ được nghiên cứu. Định nghĩa 2.2 Xét bài toán (RP) và x ∈ F với ∆(x) 6 = ∅.
(i) Điều kiện chính quy cơ bản (BCQ) đạt tại giá trị x nếu
(ii) Điều kiện chính quy kiểu Mangasarian-Fromovit (MFCQ) đạt tại giá trị x nếu ẹ conv [ i∈I 1 (x),v∈V i (x)
(iii) Điều kiện chính quy kiểu Pshenichnyi-Levin-Valadire (PLVCQ) thỏa tại giá trị x nếu hàm G có tính chất Lipschitz địa phương tại x và
Nhận xét 2.1 (i) Khi g i là các hàm khả vi liên tục, điều kiện chính quy (MFCQ) có dạng tường minh sau (xem [33]): tồn tại d ∈ R n , với mọi v ∈ V i (x), i ∈ I 1 (x) thỏa
< 0. Đặc biệt nếu tập I là hữu hạn, đây chính là điều kiện chính quy (MFCQ) dạng cổ điển (xem [8]).
(iii) Chúng tôi nhận thấy không có mối quan hệ giữa (BCQ) và (PLVCQ) (được khảo sát chi tiết trong các ví dụ 2.1 và 2.2 sau).
Việc tính toán dưới vi phân Clarke của ánh xạ G i có vai trò quan trọng trong nhiều nghiên cứu Đặc biệt là ứng dụng trong điều kiện tối ưu và khảo sát tính ổn định vi phân Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày một ước lượng trên cho dưới vi phân Clarke của ánh xạ G i
Mệnh đề 2.1 Xét phần tử x ∈ F và i ∈ I 1 (x), ta có ước lượng sau
Chứng minh Đầu tiên, chúng tôi chứng minh tập sau là tập compact
Lấy dãy { x ∗ s } nằm trong tập hợp S v i ∈V i (x) ∂ x g i (x, v i ) thỏa x ∗ s → x ∗ Theo định nghĩa, ta có phần tử v s ∈ V i (x) thỏa x ∗ s ∈ ∂ x g i (x, v s ) với mọi s ∈ N Do các hàm g i (x, ã ) nửa liờn tục trờn và tập V i (x) compact, chỳng tụi cú thể giả thiết v s → v ∈ V i (x) (dùng dãy con) Bên cạnh đó, tính đóng của ánh xạ (x, v) ∈
Vận dụng giả thiết (B1) và mệnh đề 1.3, ta có conv ẹ [ v i ∈V i (x)
Do đó, tính compact của tập trên được thỏa.
Tiếp theo, ta dùng phản chứng để chứng minh tính chất (2.1) Giả sử tồn tại d ∗ ∈ ∂G i (x) sao cho d ∗ ∈ / conv [ v i ∈V i (x)
∂ x g i (x, v i ). Áp dụng Định lý tách tập lồi (xem [37]), ta thu được d ∈R n \ { 0 } thỏa max
Vì d ∗ ∈ ∂G i (x) và G 0 i (x; d) =max {h d ∗ , d i | d ∗ ∈ ∂G i (x) } , điều này kéo theo h d ∗ , d i6 G 0 i (x; d).
Do đó, với x s → x và r s → 0, ta có h d ∗ , d i6 lim s→+∞ G i (x s + r s d) − G i (x s ) r s
Sử dụng giả thiết (A), ta có phần tử v s thuộc tập V i (x s + r s d) thỏa
Tính chất trên cùng với bất đẳng thức g i (x s , v s )6G i (x s ) cho ta h d ∗ , d i6 lim s→+∞ g i (x s + r s d, v s ) − g i (x s , v s ) r s
(2.3) Áp dụng Định lý giá trị trung bình (1.4), tồn tại x s ∈ (x s , x s + r s d) và x ∗ s ∈
∂ x g i (x s , v s ) thỏa tính chất sau g i (x s + r s d, v s ) − g i (x s , v s ) = h x ∗ s , r s d i (2.4) Áp dụng giả thiết (B1) và mệnh đề 1.3, ta có k x ∗ s k6 L g i
Do đó, ta có x ∗ s → x ∗ (dùng dãy con) Kết hợp điều này và các bất đẳng thức (2.3) va (2.4), ta thu được h d ∗ , d i6 h x ∗ , d i (2.5) Sau cùng, chúng ta sẽ chứng minh x ∗ ∈ [ v i ∈V i (x)
Do V i là tập compact, ta được v s → v (dùng dãy con) Với v ∈ V i , ta có g i (x s + r s d, v)6G i (x s + r s d) = g i (x s + r s d, v s )
Vỡ g i ( ã , v s ) cú tớnh Lipschitz nờn g i (x s + r s d, v s )6 g i (x, v s ) + L g i k x s + r s d − x k
Cho s → + ∞, ta có g i (x, v) 6 g i (x, v), và G i (x) = g i (x, v) Vì i thuộc tập chỉ số
I 1 (x) và G i (x) = 0 do đú v ∈ V i (x) Tớnh đúng của ỏnh xạ ∂ x g i ( ã , ã ) kộo theo x ∗ ∈ [ v i ∈V i (x)
Do đó, (2.5) mâu thuẫn (2.2) Vậy, ta thu được kết quả
Điều kiện cần tối ưu
Trong phần này, chúng tôi thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu có tính chất vững cho (RP) Điểm mạnh trong các kết quả này là các điều kiện trên được viết dưới dạng quy tắc nhân tử Karush-Kuhn-Tucker (KKT), nghĩa là các nhân tử gắn với hàm mục tiêu sẽ khác không Chúng tôi phân tích các kết quả đạt được qua các ví dụ minh họa.
Quy tắc nhân tử KKT cho nghiệm yếu được phát biểu trong kết quả sau. Định lý 2.1 Cho x ∈ LW(RP) và điều kiện (PLVCQ) thỏa x Khi đó, tồn tại các nhân tử (α 1 , , α m ) ∈ R m + và β ∈ R |I + | không đồng thời bằng 0, và thỏa các tính chất sau:
(2.6) β i sup v i ∈V i g i (x, v i ) = 0, ∀ i ∈ I (2.7) Hơn nữa nếu thêm điều kiện (BCQ) đạt tại x, ta có
Chứng minh Do x ∈ LW(RP), ta tìm được một lân cận U củax thỏa, với mọi x ∈ U ∩ F,
F (x) − F (x) ∈ − / int R m + Chúng ta xây dựng hàm ϕ trên R n như sau ϕ :R n → R x 7→ ϕ(x) := max 1 6k6m ảG (x), F k (x) − F k (x) â
Ta có x là nghiệm cực tiểu của hàm vô hướng ϕ trên lân cận U Thật vậy, nếu có x ˆ ∈ U sao cho ϕ(ˆ x) < ϕ(x).
Do x ∈ F, ta có ϕ(x) = 0 và ϕ(ˆ x) < 0 Từ đây, ta được
G (ˆ x) < 0 Điều này kéo theo x ˆ ∈ F và
F (ˆ x) − F (x) ∈ − int R m + , điều này mẫu thuẫn với tính chất nghiệm của x.
Từ đây, chúng ta áp dụng Nguyên lý cực trị Fermat để được
0 ∈ ∂ϕ(x). Áp dụng các công thức về dưới vi phân cho hàm max và quy tắc cộng (xem [12]), ta thu được các nhân tử α k ≥ 0, k = 1, , m + 1, thỏa α 1 + + α m + α m+1 = 1 và
Mặt khác, theo điều kiện chính quy (PLVCQ), ta có
(2.10) Áp dụng Mệnh đề 2.1, ta được các ước lượng vi phân sau
Từ đây, điều kiện (2.8) trở thành
∂ x f k (x, w k ) é +α m+1conv ẹ [ i∈I 1 (x) conv ∪ v∈V i (x) ∂ x g i (x, v) é Áp dụng kết quả về biểu diễn tập lồi trong [37] cho tập sau conv ẹ [ i∈I 1 (x) conv ∪ v i ∈V i (x) ∂ x g i (x, v i ) é , ta thu được các nhân tử β ˆ i ∈R |I|
∂ x g i (x, v i ) é Đặt β i = α m+1 β ˆ i với i ∈ I 1 (x), điều kiện (2.6) thỏa mãn.
Ta xét 2 trường hợp sau:
(2.9) dẫn đến α m+1 = 0, và β i = 0 với i ∈ I 1 (x) Với i ∈ I 2 (x), đặt β i = 0, điều kiện (2.7) được thỏa.
Ta có sup v i ∈V i g i (x, v i ) = 0 với i ∈ I 1 (x), vì thế β i sup v i ∈V i g i (x, v i ) = 0 Đặtβ i = 0 với i ∈ I 2 (x), ta cũng thu được điều kiện (2.7).
Sau cùng, với điều kiện chính quy (BCQ), ta sẽ có
(α 1 , , α m ) ∈R m + \ { 0 } Thật vậy, giả sử α 1 = = α m = 0 Từ (2.8), ta có
0 ∈conv ẹ [ i∈I 1 (x) conv ∪ v∈V i (x) ∂ x g i (x, v) é , mẫu thuẫn với điều kiện chính quy (BCQ) Chứng minh đã được hoàn thành.
Chúng tôi minh họa định lý trên bằng các ví dụ sau đây.
Ví dụ 2.1 Xét các hàm số f 1 : R × W 1 → R, f 2 : R × W 2 → R, và g i : R 2 → R, i ∈ I = [0, 1] được xác định như sau f 1 (x, w 1 ) = ®2x 1 + w 1 , x 1 < 0 x 1 − x 2 2 + w 1 x 1 ≥ 0 , w 1 ∈ W 1 = [ − 1, 0] f 2 (x, w 2 ) = x 1 − w 2 2 , w 2 ∈ W 2 = [ − 1, 1], g 0 (x, v) = x 1 − x 2 − v , v ∈ [0, 1], g i (x, v) = − x 1 − iv − i , v ∈ [0, i], i ∈ (0, 1), g 1 (x, v) = − x 1 + x 2 − v , v ∈ [0, 1].
Tính toán trực tiếp, ta được tập chấp nhận là
F = { (x 1 , x 2 ) ∈R 2 | x 1 = x 2 , x 1 > 0 } , x = (0, 0) ∈ LW(RP), và các giả thiết (A) and (B) thỏa tại x, và giá trị các tập như sau
Từ trên, ta tính được
G (x) = max {− x 1 , | x 1 − x 2 |} Đây là hàm Lipschitz và có dưới vi phân tại x là
Do đó điều kiện chính quy (PLVCQ) thỏa tại x Lấy w 1 ∈ W 1 (x), w 2 ∈ W 2 (x), v 0 ∈ V 0 (x), và v 1 ∈ V 1 (x), ta được
∂ x g 1 (x, v 1 ) = { ( − 1, 1) } Áp dụng Định lý 2.1, tồn tại các nhân tử α 1 , α 2 , β 0 , β 1 >0 không đồng thời thiệt tiêu, và thỏa tính chất sau
Vậy tồn tại giỏ trị à ∈ [1, 2] sao cho ò àα 1 + α 2 + β 0 − β 1 = 0,
Giải hệ trờn ta thu được àα 1 + α 2 = 0 và α 1 = α 2 = 0 Điều này mẫu thuẫn với Định lý 2.1.
Lý do chính là điều kiện (BCQ) không đạt tại x vì
Ví dụ tiếp theo minh họa 2 điều:
• vai trò điều kiện (PLVCQ) trong định lý 2.1,
• điều kiện (PLVCQ) không thỏa nhưng điều kiện (BCQ) thỏa.
Ví dụ 2.2 Xét các hàm số f : R × W → R và g i : R 2 → R, i là phần tử trong tập I = { 0 } ∪ 1 n | n ∈N ∗ được xác định bởi công thức sau f (x) = ®2e x + w 3 , x 1 < 0 sin x − w 2 , x 1 ≥ 0 , w ∈ W = [ − 1, 0], g 0 (x, v) = v 2 x, 1 ≤ v ≤ 2, g i (x, v) = − iv + 5x, i = 1 n , n > 2, 1 ≤ v ≤ 2, g 1 (x, v) = −| v | + x, 0 ≤ v ≤ 1.
Tập chấp nhận F = ( −∞ , 0] Bằng các phép tính cụ thể, ta được x = 0 ∈LW(RP), đồng thời các giả thiết (A) and (B) đạt tại x, và các tập sau
I 1 (x) = { 0, 1 }, W (x) = { 0 }, V 0 (x) = [1, 2], V 1 (x) = { 0 }, và các dưới vi phân sau, với w ∈ W (x), v 0 ∈ V 0 (x), và v 1 ∈ V 1 (x),
Từ đó, ta thấy 0 ∈ /conv∆(x), nghĩa là điều kiện chính quy (BCQ) thỏa x. Áp dụng Định lý 2.1, tồn tại các nhân tử α, β 0 , β 1 không đồng thời thiệt tiêu, và thỏa tính chất sau
Theo đú, ta cú à ∈ [1, 2] vàv 0 ∈ [1, 2] thỏa món phương trỡnh àα + β 0 v 2 0 + β 1 = 0.
Kéo theo α = β 0 = β 1 = 0, điều này mẫu thuẫn với kết luận Định lý 2.1 Lý do ở đây là điều kiện (PLVCQ) không thỏa tại x Tính toán trực tiếp ta thu được
∂G i (x), nghĩa là điều kiện (PLVCQ) không thỏa tại x.
Chúng tôi nhận thấy Định lý 2.4 trong bài báo [32] và Mệnh đề 3.11 trong bài báo [11] đã chứng minh các tập
∂ x g i (x, v i ) cú tớnh chất lồi với giả thiết cỏc hàm f k (x, ã ) và g i (x, ã ) là hàm lừm Với chỳ ý này chúng tôi thu được 2 kết quả sau từ Định lý 2.1.
Mệnh đề 2.2 Cho x ∈ LW(RP) và các điều kiện (PLVCQ) và (BCQ) đạt tại x Giả sử cỏc tập W k và V i là cỏc tập lồi, và cỏc hàm f k (x, ã ), g i (x, ã ) cú tớnh chất lõm trên các miền W k and V i, với k ∈ { 1, , m } và i ∈ I 1 (x) Khi đó tồn tại các nhân tử (α 1 , , α m ) ∈ R m + \ { 0 } , β ∈R |I| + , w k ∈ W k với k ∈ { 1, , m } và v i ∈ V i (x) thỏa mãn các tính chất sau
Mệnh đề 2.2 đã mở rộng các kết quả tương ứng trong [9] và [32], trong đó I là tập hữu hạn và hàm mục tiêu chưa có yếu tố không chắc chắn. Đặc biệt khi f k và g i là các hàm khả vi liên tục, ta có
∂ v f k (x, ã ) = {∇ f k (x, ã ) } và ∂ x g i (x, ã ) = {∇ x g i (x, ã ) }. Khi đó áp dụng Định lý 2.1 ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.3 Cho x ∈ LW(RP), các điều kiện (PLVCQ) và (BCQ) đạt tại x, vàf k , g i là các hàm khả vi liên tục Giả sử các tập W k và V i là các tập lồi, và các hàm f k (x, ã ), g i (x, ã ) cú tớnh chất lừm trờn cỏc miền W k và V i, với k ∈ { 1, , m } vài ∈ I 1 (x) Khi đó tồn tại các nhân tử(α 1 , , α m ) ∈R m + \{ 0 } ,β ∈R |I|
+, w k ∈ W k với k ∈ { 1, , m } và v i ∈ V i (x) thỏa mãn các tính chất sau
Mệnh đề 2.3 đã cải tiến các kết quả trong [10] và [26] ở các khía cạnh sau:
• phát triển từ bài toán tối ưu vô hướng sang bài toán tối ưu vector;
• hàm mục tiêu có khảo sát thêm yếu tố bất định.
Bên cạnh nghiệm yếu, thì các nghiệm chính thường cũng được quan tâm trong các nghiên cứu về tối ưu vector Chúng tôi sẽ trình bày định lý sau về điều kiện cần cho nghiệm chính thường dương Kết quả này mạnh hơn kết quả ở định lý 2.1 ở chỗ: các nhân tử của hàm mục tiêu đều thật sự dương. Định lý 2.2 Cho x ∈ LPos(RP), các điều kiện (PLVCQ) và (BCQ) thỏa tại x. Khi đó, tồn tại các nhân tử (α 1 , , α m ) ∈ intR m + và β ∈ R |I + | thỏa các tính chất sau
Chứng minh Vì x là nghiệm chính thường dương, nên có lân cận U của x và (α 1 , , α m ) ∈ intR n
+ thỏa vớix ∈ U ∩ F, α 1 (F 1 (x) − F 1 (x)) + + α m ( F m (x) − F m (x)) > 0 (2.11) Đặt hàm Φ trên R n xác định như sau Φ :R n → R x 7→ Φ(x) := maxả
Ta nhận thấy x là cực tiểu địa phương Φ trên U Giả sử ta tìm được một phần tử x ˆ ∈ U với Φ(ˆ x) < Φ(x) = 0, thì α 1 (F 1 (x) − F 1 (x)) + + α m ( F m (x) − F m (x)) < 0 and G (ˆ x) < 0 , điều này mẫu thuẫn với (2.11). Áp dụng nguyên lý Fermat, ta được
Từ đó, tồn tại các nhân tử γ 1, γ 2 không đồng thời bằng 0 và thỏa
0 ∈ γ 1 ∂ (α 1 (F 1 (x) − F 1 (x)) + + α m ( F m (x) − F m (x))) + γ 2 ∂ G (x) (2.12)Nếu γ 1 = 0 thì 0 ∈ ∂G (x) điều này mẫu thuẫn với điều kiện (BCQ).
Do đó γ 1 6 = 0 và không mất tính tổng quát chúng ta có thể xem γ 1 = 1 Từ (2.12), ta được
0 ∈ ∂ (α 1 (F 1 (x) − F 1 (x)) + + α m ( F m (x) − F m (x))) + γ 2 ∂ G (x) Áp dụng quy tắc cộng trong mệnh đề 1.3, ta được
Phần còn lại của chứng minh được thực hiện tương tự như định lý 2.1.
Điều kiện đủ tối ưu
Một trong những phương pháp để thiết lập các điều kiện đủ là sử dụng các giả thiết lồi cho dữ liệu Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu một tính chất lồi suy rộng tổng quảt, và từ đó áp dụng vào xây dựng các điều kiện đủ cho các nghiệm tối ưu. Định nghĩa 2.3 Xét bài toán (RP) và điểm x ∈ F.
(i) (f, g) có tính chất lồi suy rộng tại x nếu với mọi phần tử y k ∗ ∈ ∂ x f k (x, w k ) và w k ∈ W k (x), k ∈ { 1, , m }, và z i ∗ ∈ ∂ x g i (x, w i ) với v i ∈ V i (x), i ∈ I 1 (x), tồn tại véctơ η ∈R n thỏa mãn các tính chất sau: với x ∈ F, f k (x, w k ) − f k (x, w k )> h y k ∗ , η i ,
(ii) (f, g)có tính chất lồi chặt suy rộng tạixnếu với mọi phần tửy k ∗ ∈ ∂ x f k (x, w k ) và w k ∈ W k (x), k ∈ { 1, , m }, và z i ∗ ∈ ∂ x g i (x, w i ) với v i ∈ V i (x), i ∈ I 1 (x), tồn tại véctơ η ∈R n thỏa mãn các tính chất sau: với x ∈ F, f k (x, w k ) − f k (x, w k ) > h y k ∗ , η i ,
− g i (x, v i )> h z i ∗ , η i Định lý 2.3 Xét bài toán (RP) vàx ∈ F Giả sử (f, g) có tính chất lồi suy rộng tại x.
(i) Nếu tồn tại các nhân tử (α 1 , , α m ) ∈ R m + \ { 0 } và β ∈ R |I| + thỏa các điều kiện (2.6) và (2.7), khi đó ta có x ∈ W(RP).
(ii) Nếu tồn tại các nhân tử (α 1 , , α m ) ∈ intR m
+ thỏa các điều kiện (2.6) và (2.7), khi đó ta có x ∈ Pos(RP).
Chứng minh Từ điều kiện (2.6), ta có các nhân tử α ∈ R m + \ { 0 } với α = (α 1 , , α m ) và β ∈R |I| + thỏa
Do đó ta có các phần tử y k ∗ ∈conv ẹ [ w k ∈W k (x)
∂ x g i (x, v i ) é , thỏa mãn đẳng thức sau
Vìy ∗ k ∈conv ÄS w k ∈W k (x) ∂ x f k (x, w k )ọ nên ta có s k ∈N,α kj > 0 với Ps k j=1 α kj = 1, w kj ∈ W k (x) và y kj ∗ ∈ ∂ x f k (x, w kj ), j ∈ { 1, , s k } thỏa y k ∗ = s k
Mặt khác, tồn tại l i ∈N, β ij > 0 với Pl i j=1 β ij = 1 và v ij ∈ V i (x), z ij ∗ ∈ ∂ x g i (x, v ij ) với j ∈ { 1, , l i } thỏa z i ∗ = l i
(i) Giả sử x không là nghiệm yếu Khi đó ta có x ˆ ∈ F thỏa
Do tính chất lồi của hàm (f, g) tại x, ta tìm được η ∈R n thỏa f k (ˆ x, w kj ) − f k (x, w kj )> h y ∗ kj , η i
Vìw kj ∈ W k (x)nênF k (x) = f k (x, w kj ) Mặt khác, ta lại cóf k (ˆ x, w kj )6F k (ˆ x) Do đó, ta được
F k (ˆ x) − F k (x) > h y ∗ kj , η i , và kéo theo bất đẳng thức sau s k
Vì Ps k j=1 α kj , điều này dẫn đến, với k ∈ { 1, , m },
Với phần tử ν đã có, tính chất lồi cho ta bất đẳng thức sau
Kết hợp với (2.16), ta được
Vì v ij ∈ V i (x), nên ta có g i (x, v ij ) = 0 Theo (2.17), ta nhận thấy α 1F 1 (x) + + α m F m (x) 6 α 1 F 1 (ˆ x) + + α m F m (ˆ x)
Mặt khác, do α ∈R m + \ { 0 } , tồn tại phần tử k thuộc { 1, , m } thỏa
Fk (x)6 F k (ˆ x), điều này mẫu thuẫn với (2.15).
(ii) Lấy x ∈ F, với lập luận tương tự như phần (i), ta có ν ∈R n thỏa
Vì v ij ∈ V i (x) nên g i (x, v ij ) = 0 Do đó, bất đẳng thức (2.18) trở thành α 1F 1 (x) + + α m F m (x) 6 α 1 F 1 (x) + + α m F m (x), và h α 1 ,F 1 (x) − F 1 (x) i + + h α m , F m (x) − F m (x) i > 0
Do α ∈ intR m , theo định nghĩa ta có x là nghiệm chính thường dương hữu hiệu vững của bài toán (RP) Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.4 Xét bài toán (RP) và điểm x ∈ F Giả sử (f, g) có tính chất lồi chặt suy rộng tại x Nếu tồn tại các nhân tử (α 1 , , α m ) ∈ R m + \ { 0 } và β ∈R |I| + thỏa các điều kiện (2.6) và (2.7), khi đó ta có x ∈ P(RP).
Chứng minh Giả sửx không là nghiệm hữu hiệu vững của bài toán (RP) Ta có x ˆ thuộc tập chấp nhận được, thỏa
Vì (f, g) là hàm lồi chặt nên ta có η ∈R n thỏa, với k ∈ { 1, , m }, f k (ˆ x, w kj ) − f k (x, w kj ) > h y kj ∗ , η i Lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 2.3, ta được h α 1 ,F 1 (ˆ x) − F 1 (x) i + + h α m , F m (ˆ x) − F m (x) i + X i∈I 1 (x) β i l i
Do đó, ta có α 1F 1 (x) + + α m F m (x) 6 α 1 F 1 (ˆ x) + + α m F m (ˆ x) vàbk ∈ { 1, , m } thỏa
Fb k (x) 0, ta có γL (RP) (x) ⊂ L (RP) (x)
Do đó, chúng tôi sẽ cố định phần tử α ∈ R m + \ { 0 } , và nghiên cứu tính giới nội của tập sau
Kết quả sau đây cho ta sự tồn tại và giới nội của tập nhân tử KKT. Định lý 3.1 Xét x ∈ LW(RP) và điều kiện (PLVCQ) thỏa tại x Nếu điều kiện (BCQ) thỏa tại x, thì tồn tại nhân tử α ∈R m + \ { 0 } đảm bảo tính chất sau tập nhân tử L (RP) (x, α) khác trống và bị chận.
Chứng minh Theo Định lý 2.1 tồn tại các nhân tử (α 1 , , α m ) ∈R m + \ { 0 } và β ∈R |I + | đảm bảo tập L (RP) (x, α) khác trống.
Bây giờ ta chứng minh tính giới nội của tập này bằng phản chứng Giả sử
L (RP) (x, α) không bị chận, nghĩa là ta tìm được dãy β s ∈L (RP) (x, α) sao cho k β s k → + ∞
Tồn tại phần tử y k ∗s thuộc tập conv ÄS w k ∈W k (x) ∂ x f k (x, w k )ọ với k ∈ { 1, , m }, và β i s ∈ R |I| + , l i s > 0 , β ij s > 0 với Pl i s j=1 β ij s = 1, w ij ∈ V i (x), và z ij ∗s ∈ ∂ x g i (x, w ij ), j ∈ { 1, , l i s } thỏa
Chia 2 vế cho ∆ s :=P i∈I 1 (x) β i s , ta được
Ta chứng minh k y k ∗s kbị chận Doy k ∗s thuộc conv ÄS w k ∈W k (x) ∂ x f k (x, w k )ọ
, nên tồn tại p ∈ N, λ 1 , , λ p ≥ 0 với Pp t=1 λ t = 1, và các véctơ w k(t) ∈ W k (x), và y k(t) ∗s ∈ ∂ x f k (x, w k(t) ), t ∈ { 1, , p }, thỏa tính chất y k ∗s =
Theo giả thiết (B1) và Mệnh đề 2.2.1 trong [12], ta có k y k(t) ∗s k6 L f k Điều này dẫn đến k y k ∗s k =
Do đó, ta có Pm k=1 α k
∆ s = 1 và 06 β ij s 6 1 với Pl s i j=1 β ij s = 1, không mất tính tổng quát chúng tôi có thể giả thiết β i s
∆ s → β i ∈ [0, 1] với P i∈I 1 (x) β i = 1, β ij s → β ij ∈ [0, 1] với Pl s i j=1 β ij = 1.
Do V i (x) là tập compact nên w ij → w ij ∈ V i (x) Đồng thời vì tập ∂ x g i (x, w ij ) compact nên z ∗s ij → z ∗ ij ∈ ∂g i (x, w ij ). Cho s → + ∞ in (3.1), ta được
∂ x g i (x, v i ) éé , điều này vi phạm điều kiện (BCQ) Ta có điều phải chứng minh
Chúng tôi sẽ minh họa Định lý 3.1 trong ví dụ sau
Ví dụ 3.1 Xét các hàm sô f 1 : R × W 1 → R, f 2 : R × W 2 → R, và g i : R 2 → R, với i thuộc tập I = [0, 1] được xác định bởi f 1 (x, w 1 ) = sin | x | + w 1 , w 1 ∈ W 1 = [ − 1, 0], f 2 (x, w 2 ) = − x 3 + x − 1 + cos w 2 , w 2 ∈ W 2 = [0, 2π], g 0 (x, v) = x(x + v), v ∈
Bằng tính toán trực tiếp, tập chấp nhận được F = [ − 1, 0] và x = 0 là nghiệm yếu hữu hiệu của (RP), đồng thời các giả thiết (A) và (B) thỏa x Ta tính toán được các tập sau
2 x, x 2 − 1, x o là ánh xạ Lipschitz tại x và thỏa điều kiện (PLVCQ).
∂ x f 1 (x, w 1 ) = [ − 1, 1] và ∂ x f 2 (x, w 2 ) = { 1 }, với v 0 ∈ [1/2, 1] và v 1 ∈ [0, 1], ta có
2 , 1 i , nghĩa là điều kiện (BCQ) thỏa tại x Lấy α 1 = 1, α 2 = 0 và β ∈R |I|
+ với β 0 = 1, β 1 = 0, β i = 0, i ∈ (0, 1), ta có β i sup v i ∈V i g i (x, v i ) = 0, i ∈ I và
Vậy kết luận trong Định lý 2.1 được thỏa.
Bây giờ chúng ta khảo sát tính bị chận của tập KKT Xét nhân tử sau α = (α 1 , α 2 ) = (1, 0) ∈R 2 + \ { (0, 0) } Tính toán trực tiếp, ta được tập nhân tử KKT là
™.Điều này dẫn đến06 β 0 6 2 and06 β 1 6 1 Vậy tập nhân tử L (RP) (x, α) bị giới nội. Định lý sau đây cho ta một mối quan hệ giữa tính giới nội của tập L (x, α)và điều kiện (BCQ). Định lý 3.2 Cho x ∈ LW(RP) và điều kiện (PLVCQ) đạt tại x Nếu tồn tại nhân tử α ∈ R m + \ { 0 } với β ∈ R |I|
+ sao cho L (RP) (x, α) là tập khác trống và bị chận, thì điều kiện (BCQ) thỏa tại x.
Chứng minh Do tính khác trống của tập L (x, α) , nên tồn tại nhân tử β ∈R |I| thỏa +
(3.2) Giả sử điều kiện (BCQ) không thỏa tại x Khi đó ta có β ˆ ∈R |I|
Từ tính chất này và (3.2), ta có, với mọi số tự nhiên n,
Mặt khác, ta lại có Äβ i + n β ˆ i ọg i (x, v i ) = β i g i (x, v i ) + n β ˆ i g i (x, v i ) = 0 với n ∈N Vì vây, ta được β + n β ˆ ∈L (RP) (x, α)
Có nghĩa là tập nhân tử L (RP) (x, α) không giới nội, điều này mâu thuẫn với giả thiết Ta có điều phải chứng minh
Kết luận Đề tài đã nghiên cứu các tính chất nghiệm của bài toán tối ưu vector có dữ liệu chứa yếu tố bất định, không chắc chắn Cụ thể, chúng tôi đã đạt được 2 kết quả chính:
• Thiết lập được điều kiện cần và đủ KKT cho các loại nghiệm hữu hiệu vững.
• Khảo sát được tính bị chận của tập nhân tử KKT thông qua các điều kiện chính quy.
Sản phẩm công bố khoa học đã đạt được so với yêu cầu trong thuyết minh đề tài.
Số lượng đăng ký Số lượng đạt được Báo cáo tổng kết 1 báo cáo 1 báo cáo
Bài báo khoa học 1 bài báo 1 bài ISI (IF=2.6, Q2)
[1] Ben-Tal A, El Ghaoui L, Nemirovski A: Robust Optimization Princeton: Princeton University Press (2009)
[2] Ben-Tal A, Nemirovski A: Selected topics in robust convex optimization. Math Program (SerB) 112:125–158 (2008)
[3] Ben-Tal A, Nemirovski A: Robust solutions to uncertain linear programs. Oper Res Lett 25:1–13 (1999)
[4] Bertsimas D, Brown DB: Constructing uncertainty sets for robust linear optimization Oper Res Lett 57:1483–1495 (2009)
[5] Bertsimas D, Brown DB, Caramanis C: Theory and applications of robust optimization SIAM Review 53:464–501 (2011)
[6] Birge JR, Louveaux, F: Stochastic Programming Springer, Berlin (1997) [7] Birge JR, Wets R: Stochastic programming I, II J.C Baltzer AG (1991)
[8] Bonnans JF, Shapiro A: Perturbation analysis of optimization problems. New York: Springer (2000)
[9] Chen J, K¨obis E, Yao JC: Optimality conditions and duality for robust nonsmooth multiobjective optimization problems with constraints J Optim Theory Appl 181:411–436 (2019)
[10] Chuong TD: Optimality and duality for robust multiobjective optimization problems Nonlinear Anal 134:127–143 (2016)
[11] Chuong TD: Robust optimality and duality in multiobjective optimization problems under data uncertainty SIAM J Optim 30:1501–1526 (2020)[12] Clarke FH: Optimization and nonsmooth analysis New York: Wiley (1983)[13] Craven BD, Islam SMN: Linear programming with uncertain data: Some ex- tensions to robust optimization J Optim Theory Appl 155:673–679 (2012)
[14] Durea M, Dutta J, Tammer, C: Bounded sets of Lagrange multipliers for vector optimization problems in infinite dimension J Math Anal Appl. 348:589–606 (2008)
[15] Dutta J, Lalitha CS: Bounded sets of KKT multipliers in vector optimiza- tion J Global Optim 36:425–437 (2006)
[16] Ehrgott M, Ide J, Schobel A: Minmax robustness for multi-objective opti- mization problems European J Oper Res 239:17–31 (2014)
[17] Gauvin J: A necessary and sufficient regularity condition to have bounded multipliers in nonconvex programming Math Program 12:136–138 (1977)
[18] Gauvin J, Tolle JW: Differential stability in nonlinear programming SIAM
[19] Goberna MA, Jeyakumar V, Li G, Lopez MA: Robust linear semi-infinite programming duality under uncertainty Math Program (Ser B) 139:185–
[20] Goberna MA, Jeyakumar V, Li G, Vicente-Perez J: Robust solutions of mul- tiobjective linear semi-infinite programs under constraint data uncertainty, SIAM J Optim 24:1402–1419 (2014)
[21] Goberna MA, Jeyakumar V, Li G, Vicente-Perez J: Robust solutions to multi-objective linear programs with uncertain data European J Oper Res. 242:730–743 (2015)
[22] Goberna MA, Jeyakumar V, Li G, Vicente-Perez J: Guaranteeing highly robust weakly efficient solutions for uncertain multi-objective convex pro- grams European J Oper Res 270:40–50 (2018)
[23] Hiriart-Urruty JB, Lemarechal C: Convex analysis and minimization algo- rithms Berlin-Heidelberg: Springer (1991)
[24] Ide J, Schobel A: Robustness for uncertain multi-objective optimization: A survey and analysis of different concepts OR Spectrum 38:235–271 (2016)
[25] Jeyakumar V, Li G: Strong duality in robust convex programming: complete characterizations SIAM J Optim 20:3384–3407 (2010)
[26] Jeyakumar V, Li G, Lee GM: Robust duality for generalized convex pro- gramming problems under data uncertainty Nonlinear Anal 75:1362–1373 (2012)
[27] Khanh PQ, Tung NM: Existence and boundedness of second-order Karush-Kuhn-Tucker multipliers for set-valued optimization with variable ordering structures Taiwanese J Math 22: 1001–1029 (2018)
[28] Khanh PQ, Tung NM: On the Mangasarian-Fromovitz constraint qualifica- tion and Karush-Kuhn-Tucker conditions in nonsmooth semi-infinite mul- tiobjective programming Optim Lett 14:2055–2072 (2020)
[29] Kouvelis P, Yu G: Robust Discrete Optimization and Its Applications. Kluwer Academic, Amsterdam (1997)
[30] Kuroiwa D, Lee GM: On robust multiobjective optimization Vietnam J Math 40:305–317 (2012)
[31] Kuroiwa D, Lee GM: On robust convex multiobjective optimization J Non- linear Convex Anal 15:1125–1136 (2014)
[32] Lee GM, Son PT: On nonsmooth optimality theorems for robust optimiza- tion problems Bull Korean Math Soc 51:287–301 (2014)
[33] Lee JH, Lee GM: On optimality conditions and duality theorems for robust semi-infinite multiobjective optimization problems Ann Oper Res 269:419–
[34] Mordukhovich BS: Variational analysis and generalized differentiation I: Basic theory., II: Applications Berlin: Springer (2006)
[35] Mordukhovich BS, Nam MN: An easy path to convex analysis and applica- tions Williston: Morgan & Claypool (2014)
[36] Pourkarimi L, Soleimani-damaneh M: Robustness in deterministic multi- objective linear programming with respect to the relative interior and angle deviation Optimization 65:1983–2005 (2016)
[37] Rockafellar RT: Convex analysis Princeton: Princeton University (1970) Press
[38] Rockafellar RT, Wets JB: Variational Analysis Berlin: Springer (1998)
[39] Tung NM, Duy MV: Constraint qualifications and optimality conditions for robust nonsmooth semi-infinite multiobjective optimization problems 4OR. 21:151-176 (2023)
[40] Tung NM, On robust Karush-Kuhn-Tucker multipliers rules for semi-infinite multiobjective optimization with data uncertainty Comput Appl Math. 42: no 2, Paper No 98, 20 pp (2023)
[41] Zamani M, Soleimani-damaneh M, Kabgani A: Robustness in nonsmooth nonlinear multi-objective programming European J Oper Res 247:370–378(2015)
[42] Wets JB: Stochastic programming Optimization, in G L Nemhauser, A H.
G Rinnooy, and M J Todd (Eds), Handbooks of Operations Research andManagement Science 1 (pp 573–629) Amsterdam: North-Holland (1989)
