MỤC LỤC
Bên cạnh lớp hàm tuyến tính và hàm lồi, các hàm Lipschitz có ứng dụng rất phong phú trong toán học, và được nghiên cứu rất nhiều trong những thập niên gần đây. Tài liệu [12] là một trong những quyển sách kinh điển về giải tích Lipschitz được viết bởi nhà toán học nổi tiếng F.H. (i) f được gọi là hàm Lipschitz trên Rn nếu có một số thực L >0 sao cho với mọi x, y ∈Rn thì bất đẳng thức sau thỏa.
(ii) f được gọi là hàm Lipschitz địa phương tại x nếu có một số thực L >0 và lân cận U của x sao cho với mọi x, y ∈U thì bất đẳng thức sau thỏa. (i) Đạo hàm theo hướng theo nghĩa cổ điển của f tại x theo hướng d, kí hiệu f′(x, d), xác định bởi công thức sau. (ii) Đạo hàm theo hướng theo nghĩa Clarke của f tại x theo hướng d, kí hiệu f0(x, d), xác định bởi công thức sau.
Với các hàm số không trơn (không khả vi Frechet), việc nghiên các dưới vi phân đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát các tính chất của hàm và các ứng dụng. Đối với lớp các hàm lồi, chúng ta có dưới vi phân lồi được đề xuất bởi 2 nhà toán học Rockafellar và Moreau (xem [37]). Với các hàm Lipschitz địa phương, nhà toan học Clarke đã xây dựng nên một lý thuyết hoàn chỉnh về dưới vi phân cho các hàm Lipschitz (xem [12]).
Định lý sau đây cho ta một cách tính đơn giản và hữu hiệu cho dưới vi phân Clarke. Sau đây, chúng tôi sẽ hệ thống lại các tính chất quan trọng của dưới vi phân theo nghĩa Clarke (xem [12]). Cho f, g :Rn →R là các hàm Lipschitz địa phương tại x∈Rn với hằng số L và hướng d∈Rn.
(v) Nguyên lý cực trị Fermat: Nếux∈Rn là cực tiểu (hoặc cực đại) địa phương của hàm số f trên Rn, thì ta có bao hàm thức sau. Định lý giá trị trung bình sau đây đóng vai trò quan trọng trong các chứng minh về sau.
Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu định nghĩa nghiệm hữu hiệu vững theo hướng thứ (iii). (i) x là nghiệm hữu hiệu địa phương có tính chất vững của (RP), được ký hiệu x∈LP(RP), nếu có một lân cận U của x thỏa tính chất. (ii) x là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương có tính chất vững của (RP), được ký hiệu x∈LW(RP), nếu có một lân cận U của x thỏa tính chất.
(iii) x là nghiệm chính thường dương địa phương có tính chất vững của (RP), được ký hiệux∈LPos(RP), nếu có một lân cậnU củaxvàλ= (λ1,. Nếu lân cận U = Rn, thì các khái niệm trên sẽ thành các nghiệm toàn cục tương ứng. Các điều kiện chính quy cho các ràng buộc (hay còn được gọi là định tính ràng buộc) đóng vai trò quan trọng trong việc thiết lập các điều kiện tối ưu.
Sau đây, một số điều kiện chính quy cho bài toán (RP) sẽ được nghiên cứu. (iii) Điều kiện chính quy kiểu Pshenichnyi-Levin-Valadire (PLVCQ) thỏa tại giá trị x nếu hàm G có tính chất Lipschitz địa phương tại x và. Việc tính toán dưới vi phân Clarke của ánh xạ Gi có vai trò quan trọng trong nhiều nghiên cứu.
Đặc biệt là ứng dụng trong điều kiện tối ưu và khảo sát tính ổn định vi phân. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày một ước lượng trên cho dưới vi phân Clarke của ánh xạ Gi.
Đặc biệt khi fk và gi là các hàm khả vi liên tục, ta có. • phát triển từ bài toán tối ưu vô hướng sang bài toán tối ưu vector;. Bên cạnh nghiệm yếu, thì các nghiệm chính thường cũng được quan tâm trong các nghiên cứu về tối ưu vector.
Chúng tôi sẽ trình bày định lý sau về điều kiện cần cho nghiệm chính thường dương. Kết quả này mạnh hơn kết quả ở định lý 2.1 ở chỗ: các nhân tử của hàm mục tiêu đều thật sự dương.
Do α ∈intRm, theo định nghĩa ta có x là nghiệm chính thường dương hữu hiệu vững của bài toán (RP). Tính chất của tập nhân tử Karush-Kuhn-Tucker (KKT) là một chủ đề rất được quan tâm trong tối ưu, nó có ứng dụng để khảo sát việc xây dựng các thuật toán tìm nghiệm. Có nhiều tính chất được nghiên cứu về tập nhân tử KKT như tính đóng, tính bị chận (giới nội), tính liên thông,.
Trong đề tài, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính bị chận của tập nhân tử KKT. Kết quả sau đây cho ta sự tồn tại và giới nội của tập nhân tử KKT. Định lý sau đây cho ta một mối quan hệ giữa tính giới nội của tập L(x, α)và điều kiện (BCQ).
Có nghĩa là tập nhân tử L(RP)(x, α) không giới nội, điều này mâu thuẫn với giả.