Báo cáo đề tài cấp cơ sở: Nghiên cứu định tính cho một số lớp phương trình vi phân không chắc chắn bậc phân thứ

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCM

Tp Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 11 năm 2021

LỜI CẢM ƠN

Trước khi vào nội dung báo cáo đề đề tài, tôi thay mặt nhóm nghiên cứu (gồm TS Hồ Vũ – Chủ nhiệm đề tài và ThS Ngô Văn Hoà – Thành viên) xin gửi lời cám ơn đến:

- BGH Nhà trường đã tạo tất cả các điều kiện tốt nhất để chúng tôi có thể hoàn thành đề tài này.

- Các Thầy cô trong Bộ môn đã hỗ trợ chúng tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện đề tại.

- Các Thầy cô thuộc Viện nghiên cứu khoa học và công nghệ ngân hàng đã hỗ trợ chúng tôi về mặt thủ tục hành chính trong khi hoàn thiện đề tài này.

TpHCM, ngày 20 tháng 11 năm 2021 Chủ nhiệm đề tài

TS Hồ Vũ

MỤC LỤC

Chương 1 Tổng quan vấn đề 3

Chương 2 Kiến thức chuẩn bị 7

Chương 3 Phương trình vi phân không chắc chắn bậc phân thứ

3 Phương trình vi phân không chắc chắn bậc phân thứ loại Caputo 11

3.1 Kết quả tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (3.1) 11

3.2 Tính phụ thuộc liên tục của nghiệm và -nghiệm xấp xỉ 12

4 Phương trình vi phân không chắc chắn bậc phân thứ loại Riemann-Liouville 13

4.1 Kết quả tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (4.1) 13

4.2 Tính phụ thuộc liên tục của nghiệm và -nghiệm xấp xỉ 14

5 Phương trình vi phân không chắc chắn bậc phân thứ loại Hadamard 15

5.1 Kết quả tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (4.1) 17

5.2 Tính phụ thuộc liên tục của nghiệm và -nghiệm xấp xỉ 17

Chương 4 Kết luận và kiến nghị 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

PHỤ LỤC 26

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu:

Đạo hàm phân thứ đã được giới thiệu bởi Leibniz trong năm 1695, trong một bức thư mà ông đã gửi cho L’Hôpital: Điều gì xảy ra khi với = ? Từ đó đến nay, việc nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng của đạo hàm phân thứ trở thành một nhánh riêng của giải tích toán học nói riêng và toán học nói chung Các nghiên cứu và phát triển đạo hàm phân thứ cũng đạt được các kết quả nhất định như: giải tích phân thứ đã được tổng quát hóa cho việc xây dựng đạo hàm, tích phân và cuối cùng là phương trình vi phân (viết gọn PTVP) với bậc không nguyên,…

PTVP chứa toán tử vi phân với bậc không nguyên được gọi là PTVP phân thứ Trong nhiều năm qua, nghiên cứu ứng dụng của giải tích phân thứ và PTVP phân thứ ngày càng được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm đến, bởi các nghiên cứu gần đây trong kỹ thuật, sinh học, vật lý,… cho thấy động lực của nhiều hệ thống có thể được miêu tả một cách chính xác bằng việc sử dụng PTVP với bậc không nguyên Những ứng dụng thành công của PTVP phân thứ trong những mô hình như: xác định tính nhớt của nghiệm trong các mô hình vật lý [50], điều khiển các hệ động lực dưới đạo hàm phân thứ [51], xử lý tín hiệu trong điện tử viễn thông [52],… Hiện tại chủ đề này đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng Các kết quả nền tảng của giải tích phân thứ, PTVP phân thứ và ứng dụng người đọc có thể tìm thấy ở sách chuyên khảo của Podlubny [20] và Kilbas và các cộng sự [32]

Lý thuyết tập không chắn chắn (hay còn được gọi là lý thuyết tập mờ) được Zadeh giới thiệu 1965, để khắc phục một vài hạn chế của lý thuyết tập hợp rõ Các nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng của tập hợp không chắc chắn ngày càng nhiều Người đọc có thể tìm thấy ở các tài liệu sau: bài báo [53] và sách chuyên khảo [54]

Do đó, nghiên cứu ứng dụng của "lý thuyết không chắc chắn" vào phương trình vi phân với bậc nguyên được xem là một trong những công cụ hiệu quả để mô hình hoá các hiện tượng trong tự nhiên Sự kết hợp 2 chủ đề nghiên cứu: giải tích phân thứ và PTVP không chắc chắn là một trong những hướng nghiên cứu hấp dẫn trong những năm gần đầy

Khái niệm đạo hàm phân thứ (đạo hàm không nguyên) trong môi trường không chắc chắn đã được giới thiệu Cụ thể, Agarwal [1, 2] và các cộng sự đã đề xuất khái niệm của nghiệm cho PTVP

phân thứ với giả thuyết không chắc chắn Sử dụng khái niệm khả vi Riemann-Liouville dạng mờ dựa vào khả vi Hukuhara để nghiên cứu và giải nghiệm của PTVP phân thứ Tiếp theo sau đó, Arshad và Lupulescu [8] đã chứng minh một vài kết quả cho tính chất tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp PTVP phân thứ dạng mờ dưới khái niệm khả vi phân thứ Riemann-Liouville bằng việc sử dụng đạo hàm Hukuhara Sử dụng khả vi Hukuhara tổng quát, Allahviranloo và cộng sự [5, 6] đã bước đầu tổng quát hóa những khái niệm khả vi bằng việc nghiên cứu và xây dựng khả vi phân thứ Riemann-Liouville và Caputo cho các hàm mờ Sau đó, các tác giả đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp bài toán PTVP thứ dạng mờ Mazandarani và các cộng sự [26] đã nghiên cứu nghiệm số cho lớp PTVP phân thứ dạng mờ dưới khả vi phân thứ Caputo mờ từ việc sử dụng phương pháp Euler Dưới khái niệm khả vi phân thứ Caputo mờ, Fard và cộng sự [15] đã mở rộng và thiết lập một vài kết quả về giải tích phân thứ mờ và cung cấp một vài điều kiện cần để thu được phương trình Euler-Lagrange phân thứ dạng mờ cho cả hai bài toán biến phân phân thứ mờ ràng buộc và không ràng buộc Malinowski [24] đã thiết lập một số khái niệm và kết quả về tích phân phân thứ dạng mờ nhằm nghiên cứu PTVP bậc phân thứ mờ ngẫu nhiên

2 Tính cấp thiết:

PTVP không chắc chắn bậc phân thứ đóng một vai trò quan trọng cho sự phát triển của những

mô hình hệ thống trong vật lý, kỹ thuật, sinh học, và kinh tế tài chính Đặc biệt khi một hệ động lực được mô hình hóa bằng PTVP mà thông thường chúng ta không thể chắc rằng những mô hình này là hoàn chỉnh với những thông tin đầu vào về hệ động lực thường không đầy đủ, không chính xác hoặc mơ hồ

Hiện nay, PTVP không chắc chắn bậc phân thứ đã và đang được nghiên cứu bởi nhiều nhà khoa học và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Nghiên cứu những dạng PTVP không

chắc chắn bậc phân thứ tạo nên sự thiết lập thích hợp cho những mô hình toán của thế giới thực dưới những thông tin không chắc chắn hoặc mơ hồ Trong đề tài này, việc nghiên cứu tính chất nghiệm cho lớp bài toán trên như tính tồn tại, duy nhất, ổn định, v.v và tìm một số ứng dụng cho một số lớp bài toán và thuật toán cho các lớp bài toán này thật sự cần thiết

3 Mục tiêu:

Trong đề tài này chúng tôi muốn xây dựng, phát triển và tổng quát hóa các khái niệm của giải tích phân thứ dạng mờ nhằm ứng dụng cho việc nghiên cứu sâu hơn các lớp bài toán phương trình

tích phân và vi phân không chắc chắn Bên cạnh đó, việc đề xuất, phát triển các phương pháp để giải lớp bài toán trên cũng sẽ được nghiên cứu

4 Cách tiếp cận: Chúng tôi cũng đã có một số kết quả khởi đầu trong lĩnh vực này Hiện nay, chúng

tôi đang phân tích từ một số kết quả đạt được trên thế giới nhằm để tập trung nghiên cứu thật sâu về lĩnh vực này

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Sưu tầm và nghiên cứu sách tài liệu, các bài báo liên quan đã được đăng - Tổ chức seminar theo nhóm

- Xây dựng và giải quyết mô hình lý thuyết trên - Giải quyết các vấn đề đặt ra

- Thảo luận kết quả

- Tham gia hội nghị trong nước để được đánh giá về kết quả - Xây dựng mô hình ứng dụng

- Tính toán, chạy số

- Gửi bài báo đến các tạp chí có uy tín

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu về tồn tại, duy nhất và ổn định của một số lớp

PTVP không chắc chắn bậc phân thứ dưới khái niệm của giải tích phân thứ mờ

7 Nội dung của báo đề tài:

Báo cáo của đề tài được viết dựa trên bài báo “A survey on the initial value problems of

fuzzy implicit fractional differential equations ” được đăng ở tạp chí Fuzzy Sets and Systems, số

400, năm 2020, trang 90–133 thuộc danh sách SCIE – Q1 (theo WoS)

1) Chương 1 Chúng tôi giới thiệu tổng quan về tình hình nghiên cứu trên thế giới

2) Chương 2 Chúng tôi trình bày một vài kết quả quan trọng trong lĩnh vực, để làm kiến thức

nền tảng cho các kết quả chính của đề tài

3) Chương 3 Các kết quả chính đạt được trong đề tài

CHƯƠNG 2

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi xin trình bày ngắn gọn một số định nghĩa, định lý, bổ đề,…là những công cụ toán học cần thiết, sử dụng cho các chứng minh kết quả chính trong chương tiếp theo Các chứng minh chi tiết của các định lý, độc giả có thể tìm thấy ở các tài liệu tham khảo [23-27]

Cho là không gian các số mờ, nghĩa là chuẩn, mờ lồi, nữa liên tục trên và có giá compact Với ∈(0,1], ký hiệu [ ] = { ∈ ℝ ∣ ( ) ≥ } and [ ] = { ∈ ℝ ∣ ( ) > 0} Thì, -tập mức của

, [ ] = [ ( ), ‾( )], là khoảng đóng và bị chặn với bất kỳ ∈ [0,1] Vơi ∈ , chúng ta định nghĩa đường kính của -tập mức của là ([ ] ) = ‾( ) − ( )

Định nghĩa 2.1 Cho , " ∈ Nếu tồn tại # ∈ sao cho = " + #, thì # được gọi là hiệu Hukuhara của và ", và được ký hiệu là ⊖ "

Định nghĩa 2.2 Cho , " ∈ Khoảng cách Hausdorff giữa và " được xác định bởi & [ , "] = sup

Ký hiệu

- ?([0, 1], ) là không gian tất cả các hàm mờ liên tục

- @?([0, 1], ) là không gian tất cả các hàm mờ liên tục tuyệt đối [0, 1] với giá trị trong - A[0, 1] là không gian tất cả các hàm thực bị chặn, khả tích trên [0, 1]

- A([0, 1], ) là tập tất cả các hàm mờ : [0, 1] → sao cho 3 ↦ & [ (3), 0ˆ] thuộc A[0, 1]

Định nghĩa 2.5 [2] Cho hàm mờ ∈ A([0, 1], ), tích phân phân thứ Riemann-Liouville bậc C > 0 của được định nghĩa như sau:

DℑFHG I(3) = Γ(C) K  1

F (3 − L)HM (L) L, 3 ∈ (0, 1] trong đó Γ(C) là hàm Gamma

Định nghĩa 2.6 Cho ∈ A([0, 1], ), tích phân phân thứ Hadamard bậc C > 0 của được định nghĩa như sau:

D :ℑFHG I(3) = Γ(C) K  1

F (ln 3 − ln L)HM (L) LL , 3 ∈ (0, 1].

Chú ý 2.1 Nếu , " ∈ A([0, 1], ) và C, P > 0, thì ta có (i) ℑFHGℑFQG (3) = ℑFHRQG (3), for 3 ∈ (0, 1];

(ii) ℑFHG( + ")(3)=ℑFHG (3)+ℑFQG"(3), với 3 ∈ (0, 1]; (iii) :ℑFHG :ℑFQG (3) = :ℑFHRQG (3), for 3 ∈ (0, 1]

(iv) :ℑFHG( + ")(3) = :ℑFHG (3) + :ℑFHG"(3), for 3 ∈ (0, 1]

Định nghĩa 2.7 Đạo hàm phân thứ Hukuhara tổng quát loại Liouville (or

Riemann-Liouville S;-đạo hàm phân thứ) bậc C ∈ (0,1) của được định nghĩa D TUVFHG I(3): = DℑFMHG I4(3)

nếu S;-đạo hàm 4MH(3) tồn tại với 3 ∈ (0, 1), trong đó

Định nghĩa 2.9 Đạo hàm phân thứ Hukuhara tổng quát loại Hadamard (hoặc Hadamard gH-đạo hàm

phân thứ) bậc C ∈ (0,1) của tại 3 ∈ (0, 1) được định nghĩa D :VFHG I(3): = 3D :ℑFMHG I4(3), nếu S;-đạo hàm D :ℑFMHG I4(3) tồn tại với 3 ∈ (0, 1)

Mệnh đề 2.3 Cho ∈ A([0, 1], ) và C, P ∈ (0,1), thì với mọi 0 < C < P < 1, ta có D :VFHG:ℑFHG I(3) = (3), 3 ∈ (0, 1]

3 Phương trình vi phân không chắc chắn bậc phân thứ loại Caputo

Trong mục này, chúng tôi xét phương trình vi phân không chắc chắn loại Caputo với điều kiện đầu như sau:

XVFHG (3) = ^D3, (3), XVFHG (3)I, (0) = , 3 ∈ (0, 1] (3.1) Hàm số : [0, 1] → được gọi là nghiệm của bài toán (3.1) nếu là hàm liên tục, (0) = , vàXVFHG (3) = ^ _3, , XVFHG (3)` , 3 ∈ (0, 1]

Định lý 3.1 Cho ^: (0, 1] × × → sao cho 3 ↦ ^(3, , ") thuộc ?([0, 1], ), với mọi , " ∈

Thì hàm mờ d-đơn điệu ∈ ?([0, 1], ) là nghiệm của bài toán (3.1) nếu và chỉ nếu u thoả mãn phân

trình tích phân

(3) ⊖9: = b(C) K  1

F (3 − L)HM ^DL, (L), XVFHG (L)I L, 3 ∈ (0, 1]

(3.2)

và hàm mờ 3 ↦ ℑFHGc(3) là d- hàm tăng trên (0, 1], trong đó c(3): = ^D3, , XVFHG I

3.1 Kết quả tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (3.1)

Ký hiệu d?([0, 1], ) là không gian của tất cả các hàm bị chặn và liên tục từ [0, 1] vào , và d( , e) = {" ∈ ∣ & [", ] ≤ e}

Cho hàm số ^: (0, 1] × × → thoả mãn các giả thiết sau:

(A1) Hàm số : ↦ ^(3, , #) và #: ↦ ^(3, , #) là các hàm số liên tục trên d?([0, 1], ) với , # ∈d?([0, 1], ) và 3 ∈ [0, 1];

(A2) Tồn tại một số dương g sao cho với mỗi , # ∈ và với 3 ∈ [0, 1] & [^(3, , #), 0ˆ] ≤ g

(A3) Tồn tại một hàm thực liên tục : [0, 1] → ℝR và hằng số A ∈ (0,1) sao cho với mỗi 3 ∈ [0, 1], và mọi , , # , # ∈ , ta có

& [^(3, , # ), ^(3, , # )] ≤ (3)& [ , ] + A& [# , # ]

Định lý 3.2 Giả sử các giả thuyết (@1) − (@3) thoả mãn Thì, bài toán (3.1) có nghiệm duy nhất

3.2 Tính phụ thuộc liên tục của nghiệm và i-nghiệm xấp xỉ

Trong mục này, chúng tôi chứng minh được sự phụ thuộc của nghiệm của bài toán (3.1) vào các điều kiện ban đầu, hàm bên vế phải của bài toán toán (3.1) và nhiễu tham số

Xét các bài toán sau:

XVFHG (3) = ^ D3, (3), XVFHG (3), j I, (0) = (3.6) và

XVFHG"(3) = ^ D3, "(3), XVFHG"(3), j I, "(0) = " (3.7) trong đó ^ , ^ : (0, 1] × × × → và j , j là các tham số mờ

Định lý 3.3 Cho ^ , ^ : (0, 1] × × × → thoả mãn các giả thiết sau:

(i) & Y^ D3, (3), XVFHG (3), j I, ^ (3, (3), XVHH (3), j )[ ≤ , trong đó là hằng số dương

⎛& [ , " ] + (3 − 0)

(1 − A)b(C + 1)+(1 − A)b(C + 1) &o(3 − 0)H [j , j ]

⎠⎟⎞

với điều kiện đầu (0) = , được gọi -nghiệm xấp xỉ của bài toán (3.1)

Định lý 3.4 Giả sử rằng ^: [0, 1] × × → thoả mãn các giả thiết (A2) Cho , " be x, ynghiệm xấp xỉ của bài toán (3.1) tương ứng với các điều kiện đầu , " Thì, ta có đánh giá sau:

-& [ (3), "(3)] ≤ z-& [ , " ] +( x+ y)(3 − 0)H

(1 − A)b(C + 1) { H, s1 − A (3 − 0)t Hu

trong đó t = v0w{ (3): 3 ∈ [0, 1]}

4 Phương trình vi phân không chắc chắn bậc phân thứ loại Riemann-Liouville

Trong mục này, chúng tôi xét phương trình vi phân với đạo hàm phân thức loại Riemann-Liouville

trong môi trường không chắc chắn dạng sau:

TUVFHG (3) = ^D3, (3), TUVFHG (3)I, ℑFMHG (0R) = , 3 ∈ (0, 1], (4.1) trong đó ℑFMHG (0R) có giới hạn tại tất cả các điểm thuộc lân cận phải (0, 0 + ), > 0 của 0

Định lý 4.1 Ký hiệu |(3) = [(3 − 0)HM /b(C)] . Cho ^: (0, 1] × × → thuộc ?([0, 1], ),

với mọi , " ∈ Cho là hàm mờ sao cho DℑFMHG I(3) ∈ @?([0, 1], ) và DℑFMHG I(3) là − đơn

điệu trên [0, 1] Thì, là nghiệm của bài toán (4.1) nếu và chỉ nếu thoả mãn phương trình tích

phân sau:

(3) ⊖9: (3 − 0)b(C)HM = b(C) K  1

F (3 − L)HM ^DL, (L), TUVFHG (L)I L, 3 ∈ (0, 1], (4.2)

với điều kiện ([ (3)] ) − ([|(3)] ) là hằng số đổi dấu trên (0, 1]

Chú ý 4.1 Dựa vào phương trình (4.2) và giả thiết - đơn điệu của hàm mờ MH(3) trên (0, 1] trong Định lý 4.1, chúng ta thấy rằng:

+ Nếu MH(3) là -đơn điệu tăng (0, 1], thì phương trình (4.2) có thể viết thành (3) =(3 − 0)Γ(C)HM +Γ(C) K  1

F (3 − L)HM ^DL, (L), TUVFHG (L)I L + Nếu MH(3) là -đơn điệu giảm trên (0, 1], thì phương trình (4.2) có thể viết thành

(3) = (3 − 0)Γ(C)HM ⊖(−1)Γ(C) K  

F (3 − L)HM ^DL, (L), TUVFHG (L)I L

4.1 Kết quả tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (4.1)

Cho € ∈ (0,1), ký hiệu ?•([0, 1], ), là không gian các hàm mờ liên tục được định nghĩa như sau: ?•([0, 1], ) = { (3): (3 − 0) M• (3) ∈ ?([0, 1], )},

với &•[ , 0ˆ] = sup ∈[F,‚] & Y(3 − 0) M• (3), 0ˆ[ Ký hiệu d?•([0, 1], ) là không gian các hàm liên tục và bị chặn được định nghĩa như sau:

d?•([0, 1], ) = {": [0, 1] → : (3 − 0) M•"(3) ∈ d?([0, 1], )}

Định lý 4.2 Giả sử ^: (0, 1] × × → thoả mãn các giả thiết sau:

(B1) Hàm số : ↦ ^(3, , ") và ": ↦ ^(3, , ") là các hàm liên tục trên d?•([0, 1], ) for 3 ∈ [0, 1];

(B2) Tồn tại hàm thực liên tục : [0, 1] → ℝR và hằng số A ∈ (0,1) sao cho mỗi 3 ∈ [0, 1], và mọi , , " , " ∈ , ta có

& MH[^(3, , ), ^(3, " , " )] ≤ (3)& MH[ , " ] + A& MH[ , " ]

Đặt ƒ = v„ =1, …( MU)†( H)T†(H) ‡ /H + 0ˆ, thì bài toán (4.1) có nghiệm duy nhất trên [0, ƒ], trong đó t = v0w{ (3): 3 ∈ [0, 1]}

4.2 Tính phụ thuộc liên tục của nghiệm và i-nghiệm xấp xỉ

Tương tự như mục 3.2, chúng ta xét các bài toán sau:

TUVFHMQG (3) = ^ D3, (3), TUVFHMQG (3), j I, ℑFMHRQG (0R) =

TUVFHGAV0HR"(3) = ^ D3, "(3), TUVFHG"(3), j I, ℑFMHG "(0R) = " (4.15)

trong đó j , j là các tham số mờ, P > 0 thoả mãn 0 < C − P < C < 1

Định lý 4.3 Giả sử ^ , ^ : (0, 1] × × × → thoả các giả thiết sau:

(i) Tồn tại các hằng số dương , ˜ sao cho với mỗi ∈ với 3 ∈ [0, 1] và j ∈

& Y^ D3, (3), TUVFHMQG (3), j I, ^ D3, (3), TUVFHMQG (3), j I[ ≤& Y^ D3, (3), TUVFHMQG (3), j I, ^ D3, (3), TUVFHG (3), j I[ ≤ ˜

(ii) Tồn tại hàm thực liên tục : [0, 1] → ℝR và hằng số A ∈ (0,1) sao cho với mỗi 3 ∈ [0, 1], và mọi , # ∈ , ta có

& Y^∗D3, (3), TUVFHMQG (3), j I, ^∗D3, #(3), TUVFHMQG #(3), j I[≤ (3)& [ , #] + A& Y TUVFHMQG

‹, TUVFHMQG #[

trong đó ^∗ là ký hiệu ^ , ^

(iii) Tồn tại hàm thực liên tục k: [0, 1] → ℝRsao cho với mỗi ∈ và với mọi 3 ∈ [0, 1]

& Y^∗D3, (3), TUVFHMQG (3), j I, ^∗D3, (3), TUVFHMQG (3), j I[ ≤ k(3)& [j , j ]