Báo cáo nghiên cứu khoa học đề tài cấp cơ sở: Nghiên cứu tính tối ưu trong các bài toán kinh tế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCM

BÁO CÁO NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ

NGHIÊN CỨU TÍNH TỐI ƯU TRONG CÁC BÀI TOÁN KINH TẾ

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCM

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

NGHIÊN CỨU TÍNH TỐI ƯU TRONG CÁC BÀI TOÁN KINH TẾ

Mã số: Xác nhận của trường Đại học

Ngân hàng TPHCM Chủ nhiệm đề tài

TS Nguyễn Ngọc Giang

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, THÁNG 03 NĂM 2022

DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Ngọc Giang Thành viên: 1 TS Nguyễn Minh Hải

2 Th.S Nguyễn Huy Thao

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCM

Đơn vị: Bộ môn Toán Kinh tế

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Nghiên cứu tính tối ưu trong các bài toán kinh tế - Mã số:

- Chủ nhiệm: Nguyễn Ngọc Giang

- Cơ quan: Bộ môn Toán Kinh tế, Đại học ngân Hàng

- Thời gian thực hiện: 2021 - 2022

- Sáng tạo với bài toán tối ưu trong kinh tế

- Đóng góp các kết quả cho chủ đề nghiên cứu và một số kết quả được công bố ở tạp chí nước ngoài

3 Tính mới và sáng tạo:

Đề tài thu được các kết quả mới về các sáng tạo với bài toán tối ưu trong kinh tế Đề tài đưa ra cách phân loại và ứng dụng của toán cao cấp trong kinh tế có tính mới về mặt sư phạm Các kết quả thu được của đề tài là mới hoặc phát triển các kết quả đã có

4 Kết quả nghiên cứu:

Trong báo cáo này bằng nghiên cứu lí luận, chúng tôi đã đưa ra được một cách nhìn mới mang tính sư phạm về ứng dụng của toán cao cấp trong kinh tế Các kết quả được thiết kế phù hợp với xu hướng đổi mới toán gắn liền với việc ứng dụng trong thực tiễn Các bài toán toán học không chỉ là các bài toán thuần túy toán học mà cần được phát triển theo hướng thực tế Ngoài ra, báo

cáo còn đề cập đến việc sáng tạo một bài toán kinh tế như thế nào Đây cũng là một kết quả mới khác của báo cáo

5 Sản phẩm:

- Một bài báo đăng ở Tạp chí nước ngoài

6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:

- Góp phần xây dựng, thúc đẩy nâng cao trình độ của giảng viên ứng dụng toán trong kinh tế

- Đối với sự thay đổi chương trình dạy học của Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh hiện nay, yêu cầu gắn liền dạy toán cao cấp phải đi kèm với các bài toán kinh tế thì báo cáo giúp sinh viên có một tài liệu tham khảo thật sự cần và bổ ích

- Kết quả nghiên cứu được công bố trên tạp chí nước ngoài

TPHCM, tháng 02 năm 2022

Xác nhận của

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM

(ký, họ và tên, đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài

Nguyễn Ngọc Giang

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Những đóng góp mới của đề tài 3

6 Sản phẩm 4

CHƯƠNG 1 PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ 5

1.1 Các kiến thức liên quan 5

1.1.1 Khái niệm đạo hàm của hàm số một biến số 5

1.1.2 Đạo hàm trong kinh tế 5

1.1.3 Độ co giãn của hàm số một biến số 10

1.1.4 Tính địa phương, tính toàn cục và các quy tắc tính đạo hàm 12

CHƯƠNG II ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ 22

2.1 Các kiến thức liên quan 22

3.1 Các kiến thức liên quan 41

3.1.1 Hàm nhiều biến 41

3.1.2 Đạo hàm riêng cấp hai 44

3.1.3 Tối ưu không ràng buộc (cực trị tự do) 48

3.1.4 Tối ưu có điều kiện (cực trị ràng buộc) 50

3.2 Xây dựng thuật toán tìm nghiệm tối ưu cho một lớp các bài toán tối ưu về ứng dụng cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến trong kinh tế…… 53

3.3 Ứng dụng thuật toán tìm nghiệm tối ưu cho một lớp các bài toán tối ưu về ứng dụng cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến trong kinh tế…… 54

CHƯƠNG IV SÁNG TẠO VỚI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ 62KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Độ dốc (Nguồn: Michael Sampson) Error! Bookmark not defined.Hình 2.1 Tích hai ma trận (Nguồn: tác giả) 24Hình 4.1 Chi phí nhỏ nhất (Nguồn: tác giả) 62Hình 4.2 Diện tích bãi đất lớn nhất (Nguồn: tác giả) 65

PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài

Ngày nay, trong chương trình giảng dạy môn toán bậc đại học ở khối ngành kinh tế đã có nhiều sự thay đổi rõ rệt với trước đây Nhiều trường đại học trên thế giới thay vì tập trung vào đào tạo sinh viên các kiến thức thuần túy toán lí thuyết, ít liên hệ với thực tế thì các trường đại học đã nhấn mạnh vào yếu tố kinh tế trong dạy học Chính vì thế, việc đổi mới dạy học toán liên quan đến kinh tế nói chung và tính tối ưu nói riêng ở trường đại học thuộc khối ngành kinh tế ở Việt Nam càng tỏ ra cấp thiết và cần thiết

Trên thế giới đã có một số công trình đề cập về việc ứng dụng toán trong

kinh tế cũng như lí thuyết tối ưu trong kinh tế Trong cuốn sách An Introduction to Mathematical Economics Part 1, tác giả cuốn sách đã đưa ra cách tiếp cận

toán đại học bằng các ví dụ kinh tế Nội dung cuốn sách đề cập đến phương pháp toán học, đạo hàm, đạo hàm cấp hai, cực tiểu, cực đại, kinh tế lượng, tính lồi, giả lồi, lõm, giả lõm, hàm mũ, hàm logarith, đại số ma trận và phép tính vi phân hàm nhiều biến Những nội dung này được đề cập tương đối rõ ràng, mang tính sư phạm Các ví dụ minh họa được đan xen bằng ứng dụng trong kinh tế Nhược điểm của cuốn sách là không phải nội dung nào cũng được minh

họa bằng ví dụ kinh tế (Sampson, 2001) Trong giáo trình Applied Mathematics Business and for Economics, đại học Norton đã đưa ra một cách tiếp cận toán

kinh tế với các nội dung cụ thể sau Thứ nhất là khái niệm hàm số Khái niệm hàm số được minh họa bởi các ví dụ kinh tế khá đầy đủ Thứ hai là khái niệm đạo hàm Bài giảng đã cung cấp nhiều ví dụ ứng dụng trong thực tế đa dạng và phong phú Thứ ba là hàm nhiều biến và cuối cùng là quy hoạch tuyến tính Những ví dụ minh họa toán kinh tế ở bài giảng này phong phú hơn cuốn sách

Introduction to Mathematical Economics Part 1 nói trên Tuy nhiên, cuốn của

Sampson lại đưa ra nhiều kiến thức lí thuyết kinh tế sâu hơn mà cuốn sách này không có được Chẳng hạn như tính giả lồi, giả lõm, ma trân gần Hessian (Norton University, 2010)

Trong cuốn Introduction to Mathematical Economics, tác giả cuốn sách

đã trình bày 17 chương Các chương sách này xoay quanh các mạch kiến thức như phép tính vi phân hàm một biến, đại số ma trận và phép tính vi phân hàm nhiều biến Tuy nhiên, số lượng các ví dụ toán ứng dụng trong kinh tế không

nhiều Các ví dụ tập trung chủ yếu là các ví dụ thuần túy toán, thỉnh thoảng đan xen vào đó là các ví dụ toán kinh tế (Dowling, 2001) Trong cuốn sách

Essential Mathematics for Economics and Business, các tác giả đã xây dựng

kiến thức toán tập trung quanh các khái niệm đường thẳng, hệ phương trình, hàm phi tuyến, toán tài chính, đạo hàm, vi phân, tích phân, đại số tuyến tính và các ứng dụng trong kinh tế Cuốn sách này chỉ đề cập đến những ứng dụng cơ bản của toán giải tích và toán đại số tuyến tính trong kinh tế chứ không đi sâu so với cuốn của Sampson (Bradley et al., 2002)

Ở Việt Nam, cũng đã có một số công trình nghiên cứu toán ứng dụng

trong kinh tế cũng như lí thuyết tối ưu trong kinh tế Trong cuốn Giáo trình mô hình toán kinh tế, các tác giả tập trung giới thiệu toán lí thuyết của phép tính vi

tích phân, của đại số tuyến tính và quy hoạch tuyến tính Cuốn sách này khá nặng về lí thuyết (Nguyễn Quang Dong và các cộng sự, 2006) Trong tài liệu

Mô hình toán kinh tế, tác giả đã đưa ra các ứng dụng của toán trong kinh tế

Tuy nhiên, các kết quả khá rời rạc và tập trung vào một số chủ đề trọng điểm của toán kinh tế như đạo hàm, phép tính vi phân hàm nhiều biến (Nguyễn

Trung Đông, 2013) Trong tài liệu Toán dành cho kinh tế và quản trị, các tác

giả đã đưa ra những ứng dụng của toán giải tích trong kinh tế Các ví dụ được trình bày đa dạng và phong phú Tuy nhiên tính sư phạm của cuốn sách không cao (Nguyễn Huy Hoàng & Nguyễn Trung Đông, 2018) Ngoài các tác giả vừa đề cập thì còn có một số tác giả khác như Nguyễn Quốc Hưng (Nguyễn Quốc Hưng, 2009a, Nguyễn Quốc Hưng, 2009b), Trần Quang Phùng (Trần Quang Phùng, 1999, Ernest và các cộng sự (Ernest F et al., 2017) đề cập đến ứng dụng toán trong kinh tế trong các cuốn sách của họ Tuy nhiên, các cuốn sách này khá nặng về lí thuyết toán

Thực tiễn dạy học hiện nay của Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh cho thấy, khi bộ môn Toán kinh tế chuyển đổi từ việc dạy học tập trung vào kiến thức toán thuần túy hàn lâm sang kiến thức toán ứng dụng trong kinh tế đòi hỏi cần phải có một cuốn tài liệu về toán kinh tế nói chung và toán tối ưu trong kinh tế nói riêng biên soạn phù hợp với chuẩn đầu ra của sinh viên Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh

Mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu về toán ứng dụng trong kinh tế nhưng đề tài về nghiên cứu tính tối ưu trong các bài toán kinh tế còn là đề tài cần nghiên cứu về làm rõ thêm Ngoài ra, từ thực tiễn đổi mới dạy học môn

toán cao cấp ở trường đại học Ngân hàng thành phố Hồ Chí Minh hiện nay nên đề tài thật sự cần thiết Từ những lí do đó, chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu là

Nghiên cứu tính tối ưu trong các bài toán kinh tế

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu được thực hiện nhằm các mục đích sau:

 Giới thiệu khung lí thuyết và ứng dụng tính tối ưu của phép tính vi phân hàm một biến trong các bài toán kinh tế

 Giới thiệu khung lí thuyết và ứng dụng tính tối ưu của đại số ma trận trong các bài toán kinh tế

 Giới thiệu khung lí thuyết và ứng dụng tính tối ưu của phép tính vi phân hàm nhiều biến trong các bài toán kinh tế

 Sáng tạo với bài toán tối ưu trong kinh tế

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu: Tính tối ưu trong các bài toán kinh tế

 Phạm vi nghiên cứu: Chủ đề về toán cao cấp Giải tích và Đại số

tuyến tính ở trường Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh

4 Phương pháp nghiên cứu

 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về tính tối ưu trong các bài toán kinh tế

 Nghiên cứu thực tiễn: Phân tích chương trình, bài giảng toán cao

cấp trường Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh, tài liệu tham khảo trong và ngoài nước để đưa ra các ứng dụng của lí thuyết tối ưu trong các bài

toán kinh tế

5 Những đóng góp mới của đề tài

Trong báo cáo này bằng nghiên cứu lí luận, chúng tôi đã thiết kế một cách nhìn sư phạm mới phù hợp với chương trình giảng dạy của đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh Các kết quả được thiết kế phù hợp với xu hướng đổi mới toán gắn liền với việc ứng dụng trong thực tiễn Các bài toán toán học không chỉ là các bài toán thuần túy toán học mà cần được phát triển theo hướng thực tế

Báo cáo còn đưa ra một cách khai thác và sáng tạo bài toán tối ưu trong kinh tế Việc làm này giúp sinh viên có cách nhìn đa chiều đối với một bài toán kinh tế Thông qua cách khai thác, sinh viên sẽ phát triển năng lực sáng tạo và

giải quyết vấn đề - Một trong những năng lực quan trọng nhất mà hầu hết sinh viên viên ra trường đều cần

6 Sản phẩm

- Một bài báo đăng ở tạp chí nước ngoài

CHƯƠNG 1 PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

1.1 Các kiến thức liên quan

1.1.1 Khái niệm đạo hàm của hàm số một biến số 1.1.1.1 Độ dốc

 thì hàm số có độ dốc hướng lên sao cho việc tăng

(giảm) của x dẫn đến việc tăng (giảm) của y.

- Nếu y 0

 thì hàm số có độ dốc hướng xuống sao cho việc tăng

(giảm) của x dẫn đến việc giảm (tăng) của y.

Cách định nghĩa này hoàn toàn như cách chúng ta định nghĩa tương tự ở bậc phổ thông

1.1.1.2 Đạo hàm

Đạo hàm của hàm số y  f x( ), được kí hiệu là f x'( ) hay dy,

dx là giới hạn của độ dốc khi  x 0. Hay:

Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x

thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f x( ); số f x( ) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x

Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối

Trong kinh tế, các chủ doanh nghiệp, các nhà quản trị quan tâm đến các yếu tố như nguyên vật liệu, nhân công, giá mua, giá bán, sản lượng bán, chi phí, tiền lãi,…

Các yếu tố này được gọi chung là các biến kinh tế, chúng được chia làm hai loại:

- Biến nội sinh (biến phụ thuộc) là biến kinh tế mà doanh nghiệp có thể kiểm soát được;

- Biến ngoại sinh (biến độc lập) là biến kinh tế mà doanh nghiệp không thể kiểm soát được

(Nguyễn Quang Dong và các cộng sự, 2006) Người ta thường dùng các chữ cái viết hoa từ tiếng Anh để kí hiệu các biến kinh tế, ví dụ

TC Total Cost Tổng chi phí

TR Total Revenue Tổng doanh thu

FC Fix Cost Định phí = Chi phí cố định

VC Variable Cost Biến phí = Chi phí phụ thuộc vào sản phẩm (Nguyễn Quốc Hưng, 2009a)

1.1.2.2 Quan hệ hàm trong kinh tế

Trong hoạt động sản xuất kinh doanh, các nhà quản trị quan tâm đến doanh thu Giả sử sản phẩm được bán với giá bán P và khối lượng bán trong tháng là ,Q thì doanh thu là TR P Q Tức là, chúng ta tính doanh thu phụ thuộc vào giá và số lượng, bất cứ một thay đổi nào của giá cũng làm thay đổi doanh thu và có sự thay đổi số lượng cũng làm thay đổi doanh thu

Như vậy, khi tính một biến kinh tế này phụ thuộc vào một hay nhiều biến kinh tế khác, nghĩa là chúng ta đã xác lập một quan hệ hàm giữa các biến kinh tế

(Nguyễn Quốc Hưng, 2009a)

Hàm chi phí phụ thuộc vào đầu ra :Q TC TC Q Q( ),  0.

1.1.2.6 Hàm lợi nhuận (tổng lợi nhuận)

Hàm lợi nhuận  phụ thuộc đầu ra: ( )Q TR Q( ) TC Q( ).

1.1.2.7 Hàm chi tiêu

Chi tiêu C phụ thuộc thu nhập Y C: C Y Y( ), 0

1.1.2.8 Hàm tiết kiệm

Tiết kiệm S phụ thuộc thu nhập Y S:  S Y Y( ), 0

1.1.2.9 Hàm cung và hàm cầu một loại hàng hóa

Lượng cung và lượng cầu hàng hóa phụ thuộc và giá hàng hóa: + Hàm cung: QS S P P( ), 0;

+ Hàm cầu: QD  D P P( ),  0

(Nguyễn Huy Hoàng & Nguyễn Trung Đông, 2018)

1.1.2.10 Biên tế là gì?

Trong kinh tế, ta thường sử dụng từ biên tế (Margin) Ví dụ, sản lượng biên tế của lao động, khuynh hướng biên tế của tiêu thụ,… Khi chúng ta nĩi, sản lượng biên tế của lao động là ảnh hưởng của việc thêm một đơn vị lao động

L đối với sản lượng đầu ra Q Giải thích điều này trong tốn học như sau: nếu

ta viết hàm sản xuất là Q f L( ) thì sản lượng biên tế của lao động là ( 1) ( )

1.1.2.11 Đạo hàm như là tỉ số của sự thay đổi

Chúng ta đã làm quen với khái niệm đạo hàm là biên tế Trong kinh tế, chúng ta cịn làm quen với một khái niệm khác cũng chính là đạo hàm, đĩ là tỉ số của sự thay đổi

Giả sử y là hàm số của x, nghĩa là y  f x( ). Giả sử khi x thay đổi một đại lượng từ x đến x  x, thì y thay đổi một đại lượng

thay đổi của y ( ) ( )

thay đổi của x

(Ernest F Haeussler và các cộng sự, 2017)Khi  x 0 thì tỉ số của sự thay đổi trung bình dần tới một đại lượng gọi là tỉ số của sự thay đổi tức thời chính là đạo hàm f x'( ) hay dy.

dx Từ đây ta

cĩ định nghĩa tỉ số của sự thay đổi tức thời như sau

au xv xu xv xbu xv xu xv x

Chú ý 2

Các công thức trên có thể viết gọn là:

u xy

P được tính bằng dollar và đạo hàm dQ 2.

dP  

Nếu ta quyết định tính bằng cent, thì ta có $

PP  và

dP   Vậy sự thay đổi về đơn vị làm cho đạo hàm dQ

dL thay đổi từ 2 đến

Ở đây ta thấy 2 (đạo hàm dQ

dP tính bằng dollar) và

 liên hệ với nhau bởi công thức 2 2 100.

   Ở đây xuất hiện phần trăm Vậy nếu có khái niệm khắc phục được sự thay đổi trong một khoảng khi đổi đơn vị tính thì khái niệm ắt hẳn liên quan đến phần trăm?

Quả thuật trong kinh tế, người ta khắc phục sự thay đổi của đạo hàm trong một khoảng bằng thuật ngữ độ co giãn liên hệ mật thiết với khái niệm phần trăm Độ co giãn  định nghĩa bởi sự thay đổi về phần trăm của y là

(Sampson, 2001)

Nhận xét 1

Độ co giãn  bằng độ dốc yx

 nhân với .

y Đây là công thức tính độ co giãn thường được dùng trong kinh tế

Định nghĩa 1

Độ co giãn của hàm số y f x( ) tại x, được kí hiệu là ( )x được tính bởi công thức

( ) '( ) ( )

- Nếu ( )x 3 thì khi x tăng 1% dẫn đến y tăng 3% Nếu ( )x  3

thì khi x tăng 1% dẫn đến y giảm 3%

- Độ co giãn có thể được tính đối với bất kì hàm số y  f x( ) nào chứ không chỉ đối với các đường cong của hàm cầu

1.1.3.2 Hàm có độ co giãn là hằng số

Chúng ta vừa xét độ co giãn ( ) 3 ( 2)6 3

biến thiên theo x Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là, liệu có tồn tại một hàm

nào mà độ co giãn ( )x không thay đổi theo biến x hay không? Những hàm

như vậy rất hữu ích Nó giúp nhà kinh tế biết được đường cong của hàm cầu

Cũng quan niệm như vậy, chúng ta đến với định nghĩa khái niệm tính địa phương và toàn cục trong kinh tế như sau:

Định nghĩa 1 (Tính chất địa phương)

Ta nói f x( ) có tính chất địa phương tại x0 nếu tồn tại một lân cận rất bé xung quanh x0 thì f x( ) cũng có tính chất địa phương đó

Định nghĩa 3 (Tăng địa phương)

Nếu f x'( )0  0 thì hàm số tăng địa phương (có độ dốc hướng lên) tại

x x

Định nghĩa 4 (Tăng toàn cục)

Nếu f x'( )0 0 với mọi x trong miền xác định của f x( ) thì hàm số tăng toàn cục hay còn gọi là hàm số đơn điệu

Định nghĩa 5 (Giảm địa phương)

Nếu f x'( )0 0 thì hàm số giảm địa phương (có độ dốc hướng xuống) tại x  x0.

Định nghĩa 6 (Tăng toàn cục)

Nếu f x'( )0 0 với mọi x trong miền xác định của f x( ) thì hàm số giảm toàn cục hay còn gọi là hàm số đơn điệu

1.1.4.2 Khảo sát hàm trung bình (bình quân)

Cho hàm số y f x( ) với ,x y là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến độc lập x là biến đầu vào và biến phụ thuộc y là biến đầu ra)

Hàm số Ayy (x 0)

  được gọi là hàm trung bình (bình quân) Chúng ta sẽ khảo sát khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số này

Ta có

Tại điểm hàm trung bình đạt cực trị thì My Ay  0 My  Ay

(đường biên tế gặp đường trung bình tại điểm đường trung bình đạt cực trị) (Sampson, 2001)

d ydx hay

( '( ))

df x

dx là đạo hàm cấp một của f x'( ).

1.1.5.2 Tính lồi và tính lõm

Trong khi dấu của f x'( ) nói cho chúng ta biết hàm số có độ dốc hướng lên hay hướng xuống thì dấu của f ''( )x nói cho chúng ta biết hàm số là lõm hay lồi

Định nghĩa 2 (Tính lõm địa phương)

Hàm số f x( ) được gọi là lõm địa phương tại x0 nếu và chỉ nếu

Định nghĩa 4 (Tính lồi địa phương)

Hàm số f x( ) được gọi là lồi địa phương tại x0 nếu và chỉ nếu

Hàm số f x( ) được gọi là lồi toàn cục nếu và chỉ nếu f ''( )x 0 với mọi x thuộc miền xác định của hàm số f x( ).

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Chú ý 1

1) Giá trị cực đại (cực tiểu) f x( )0 của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D ; f x( )0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng ( ; )a b nào đó chứa điểm x0.

2) Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D Hàm số có thể không có cực trị trên một tập hợp số thực cho trước .

3) Đôi khi người ta cũng nói đến điểm cực trị của đồ thị

Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm ( ;x0 f x( ))0 được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

(Đoàn Quỳnh và các cộng sự, 2011)

y   x  x có đạo hàm bằng 0 tại x 1, nhưng

x không phải là điểm cực trị của hàm số

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm Chẳng hạn, ta xét hàm số y  f x( )| | x Hàm này xác định trên , có:

b) Nếu f x'( ) 0 với mọi x( ,a x0) và f x'( )0 với mọi x( , )x b0thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 (Nói cách khác, nếu f x'( ) đổi dấu từ

dương sang âm khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.

Quy tắc 1

- Tính f x'( )

- Tìm các điểm xi (i1, 2, ), mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0

hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu f x'( ). Nếu f x'( ) bị đổi dấu khi x đi qua xi thì có nghĩa là hàm số đạt cực trị tại xi.

x là một cực đại địa phương

+) Nếu f x'( )0 0 và f ''( ) 0x0  (nghĩa là f x( ) lồi địa phương) thì x0là một cực tiểu địa phương

Bước 4 Rút ra kết luận

Rút ra kết luận đối với bài toán ban đầu

1.3 Ứng dụng thuật toán tìm nghiệm tối ứu trong các bài toán về phép tính vi tích phân hàm một biến trong kinh tế

Bài toán 1

Cho hàm sản xuất có dạng 23

Q  L  L L  Hãy xác định mức sử dụng lao động để sản lượng đạt tối đa

Vì lượng lao động L0 nên ta có L0 120

Bước 3 Tính đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai

''( ) 360 6

Q L   L Vậy Q''(120) 360  6 120  320 0

60 , 0

Q  LL  và giá của một sản phẩm là P5USD, giá thuê một đơn vị lao động là PL 2USD. Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa

Lời giải

Bước 1 Lập hàm kinh tế

Hàm doanh thu:

TR Q  PQ  L Hàm chi phí:

C L  P  LL Hàm lợi nhuận

'( )L 200L 2 0 L 1000000

Ta lại có

43

Với một mức sản lượng ,Q để bán hết sản phẩm thì xí nghiệp cần phải

bán theo một đơn giá P sao cho QD Q Do đó, ta có

Q  Q    PQP Q Doanh thu của xí nghiệp là

TR Q   P QD Q  Q Q   QQ  Q

Tiền thuế của xí nghiệp:

T t  Q t Lợi nhuận thu được của xí nghiệp là

Vậy với sản lượng Q75, đơn giá P1725, lợi nhuận  11210,

tổng chi phí 95665 thì tiền thuế thu được nhiều nhất là 22500 và mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t 300

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ

2.1 Các kiến thức liên quan

2.1.1 Ma trận, định thức và ma trận nghịch đảo 2.1.1.1 Ma trận

a là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i cột j

Để kí hiệu ma trận người ta dùng hai dấu ngoặc vuông như ở trên hay hai dấu ngoặc tròn

Ma trận được gọi là ma trận nguyên (thực, phức) nếu các phần tử là các số nguyên (thực, phức) Trong toàn bộ quyển sách này ta chỉ xét ma trận thực

Định nghĩa 2

i) Đường chéo chứa các phần tử của ma trận vuông được gọi là đường chéo chính của ma trận A, đường chéo chứa các phần tử an1,a(n1) 2, , a1n được gọi là đường chéo phụ;

ii) Ma trận vuông cótất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận chéo, kí hiệu ;

iii) Ma trận chéo cấp n gồm các phần tử trên đường chéo chính bằng được gọi là ma trận đơn vị cấp kí hiệu hay đơn giản ;

iv) Ma trận vuông có tất cả phần tử nằm dưới (tương ứng phía trên) đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới);

v) Ma trận vuông có tất cả các cặp phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính bằng nhau được gọi là ma trận đối xứng

1 12 2

i k A B) ( + )= kA kB k+ ; Î ¡ ;

ii k h A) ( + ) = kA hA k h+ ; , Î ¡ ;

B

Tính chất 2

Định nghĩa 8

Xét ma trận A[aij m] n. Đổi hàng thành cột, cột thành hàng ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ,A kí hiệu là At.

Ta có At [aij n] m Ta thấy rằng nếu A có m hàng n cột thì A có n thàng m cột

ii) Nếu đổi chỗ hai dòng (hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu

Tính chất 5

i) Định thức có hai dòng (hoặc hai cột) giống nhau thì bằng không;

ii) Nếu nhân một dòng (hoặc một cột) với số thực k thì định thức tăng lên lần Do đó với là ma trận cấp

ii) Nếu định thức có một dòng (hay một cột) mà mỗi phần tử là tổng của hai số hạng thì ta có thể tách thành tổng của hai định thức;

iii) Nếu định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức đó bằng

iv) Định thức không đổi nếu ta cộng vào một dòng (hay một cột) với k lần dòng (hay cột) khác

Định lí 1 (Định lí Laplace về khai triển định thức)

Cho ma trận Gọi là phần bù đại số của Ta có khai triển Laplace như sau:

i) Công thức khai triển định thức của A theo cột thứ j

ii) Công thức khai triển định thức của A theo dòng thứ i

Phép biến đổi sơ cấp

Nhân một dòng với một số k 0 Định thức nhân với k

Đổi chỗ hai dòng Định thức đổi dấu

Cộng k lần dòng r vào dòng s Định thức không đổi

ii) Nếu khả nghịch thì cũng khả nghịch và iii) Nếu hoặc thì tồn tại và iv) Nếu khả nghịch thì cũng khả nghịch và

i) Các dòng bằng không ở phía dưới các dòng khác không;

ii) Phần tử cơ sở của một dòng bất kì nằm bên phải phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó

Các phép biến đổi sơ cấp dòng

i) Đổi chỗ 2 dòng cho nhau;

ii) Nhân một dòng cho một số khác

iii) Nhân một dòng cho một số bất kì rồi cộng vào dòng khác

Bằng cách thay dòng bằng cột ta có phép biến đổi sơ cấp trên cột

Nhận xét 7

i) Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận; ii) Một ma trận khác bất kì đều có thể đưa về dạng ma trân bậc thang sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp;

iii) Tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp: - Đưa ma trận cần tìm hạng về dạng bậc thang;

- Số dòng khác không của ma trận bậc thang chính là hạng của ma trận đã cho

2.1.2 Hệ phương trình tuyến tính

2.1.2.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính

Định nghĩa 1

Hệ m phương trình đại số bậc nhất đối với ẩn có dạng tổng quát

trong đó là các ẩn số, a là hệ số ở phương trình thứ i của ẩn ij

Khi đó hệ phương trình được viết dưới dạng

được gọi là nghiệm của hệ nếu q

   

   

  

   

   

   

(*) AB.

Quy ƣớc 1

Để cho gọn, ta viết nghiệm dưới dạng  ( , 1 2, ,n)

Điều kiện tồn tại nghiệm

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát Gọi là ma trận hệ số mở rộng được xác định như sau

Hệ phương trình AX B có nghiệm khi và chỉ khi ( )r A  r A( )

2.1.2.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a) Hệ Cramer

Định nghĩa 2

Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng với số ẩn và định thức của ma trận hệ số là khác không

Định lí 1 (Định lí Cramer)

Hệ Cramer () có nghiệm duy nhất là

trong đó nhận được bằng cách thay cột thứ j của ma trận bởi cột hệ số tự do

b) Giải hệ bằng phương pháp Gauss

,1, 2,,det

jj