Báo cáo nghiên cứu khoa học đề tài cấp cơ sở: Nghiên cứu tính tối ưu trong các bài toán kinh tế

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCMBÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG NGHIÊN CỨU TÍNH TỐI ƯU TRONG CÁC BÀI TOÁN KINH TẾ Mã số: Xác nhận của t

Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu được thực hiện nhằm các mục đích sau:

 Giới thiệu khung lí thuyết và ứng dụng tính tối ưu của phép tính vi phân hàm một biến trong các bài toán kinh tế

 Giới thiệu khung lí thuyết và ứng dụng tính tối ưu của đại số ma trận trong các bài toán kinh tế

 Giới thiệu khung lí thuyết và ứng dụng tính tối ưu của phép tính vi phân hàm nhiều biến trong các bài toán kinh tế

 Sáng tạo với bài toán tối ưu trong kinh tế.

Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu : Tính tối ưu trong các bài toán kinh tế

 Phạm vi nghiên cứu : Chủ đề về toán cao cấp Giải tích và Đại số tuyến tính ở trường Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh.

Phương pháp nghiên cứu

 Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu lí luận về tính tối ưu trong các bài toán kinh tế

 Nghiên cứu thực tiễn : Phân tích chương trình, bài giảng toán cao cấp trường Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh, tài liệu tham khảo trong và ngoài nước để đưa ra các ứng dụng của lí thuyết tối ưu trong các bài toán kinh tế.

Những đóng góp mới của đề tài

Trong báo cáo này bằng nghiên cứu lí luận, chúng tôi đã thiết kế một cách nhìn sư phạm mới phù hợp với chương trình giảng dạy của đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh Các kết quả được thiết kế phù hợp với xu hướng đổi mới toán gắn liền với việc ứng dụng trong thực tiễn Các bài toán toán học không chỉ là các bài toán thuần túy toán học mà cần được phát triển theo hướng thực tế

Báo cáo còn đưa ra một cách khai thác và sáng tạo bài toán tối ưu trong kinh tế Việc làm này giúp sinh viên có cách nhìn đa chiều đối với một bài toán kinh tế Thông qua cách khai thác, sinh viên sẽ phát triển năng lực sáng tạo và

4 giải quyết vấn đề - Một trong những năng lực quan trọng nhất mà hầu hết sinh viên viên ra trường đều cần.

Sản phẩm

- Một bài báo đăng ở tạp chí nước ngoài

PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Các kiến thức liên quan

1.1.1 Khái niệm đạo hàm của hàm số một biến số

1.1.1.1 Độ dốc Định nghĩa 1 (Định nghĩa về độ dốc) Độ dốc của f x( ) tại x đối với sự thay đổi theo x là x được định nghĩa bởi y x

 thì hàm số có độ dốc hướng lên sao cho việc tăng (giảm) của x dẫn đến việc tăng (giảm) của y

 thì hàm số có độ dốc hướng xuống sao cho việc tăng (giảm) của x dẫn đến việc giảm (tăng) của y

Cách định nghĩa này hoàn toàn như cách chúng ta định nghĩa tương tự ở bậc phổ thông

1.1.1.2 Đạo hàm Đạo hàm của hàm số y  f x( ), được kí hiệu là f x'( ) hay dy, dx là giới hạn của độ dốc khi  x 0 Hay:

1.1.2 Đạo hàm trong kinh tế

Trong chương trình toán Trung học phổ thông, chúng ta đã biết được định nghĩa của hàm số:

Cho một tập hợp khác rỗng D

Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f x( ); số f x( ) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x

Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f. Để chỉ rõ kí hiệu biến số, hàm số f còn được viết là y  f x( ), hay đầy đủ hơn là:

 Trong kinh tế, các chủ doanh nghiệp, các nhà quản trị quan tâm đến các yếu tố như nguyên vật liệu, nhân công, giá mua, giá bán, sản lượng bán, chi phí, tiền lãi,…

Các yếu tố này được gọi chung là các biến kinh tế, chúng được chia làm hai loại:

- Biến nội sinh (biến phụ thuộc) là biến kinh tế mà doanh nghiệp có thể kiểm soát được;

- Biến ngoại sinh (biến độc lập) là biến kinh tế mà doanh nghiệp không thể kiểm soát được

(Nguyễn Quang Dong và các cộng sự, 2006) Người ta thường dùng các chữ cái viết hoa từ tiếng Anh để kí hiệu các biến kinh tế, ví dụ

C Cost Chi phí - tiêu dùng

TC Total Cost Tổng chi phí

TR Total Revenue Tổng doanh thu

K Labour Lao động, nhân công

FC Fix Cost Định phí = Chi phí cố định

VC Variable Cost Biến phí = Chi phí phụ thuộc vào sản phẩm

1.1.2.2 Quan hệ hàm trong kinh tế

Trong hoạt động sản xuất kinh doanh, các nhà quản trị quan tâm đến doanh thu Giả sử sản phẩm được bán với giá bán P và khối lượng bán trong tháng là ,Q thì doanh thu là TR P Q Tức là, chúng ta tính doanh thu phụ thuộc vào giá và số lượng, bất cứ một thay đổi nào của giá cũng làm thay đổi doanh thu và có sự thay đổi số lượng cũng làm thay đổi doanh thu

Như vậy, khi tính một biến kinh tế này phụ thuộc vào một hay nhiều biến kinh tế khác, nghĩa là chúng ta đã xác lập một quan hệ hàm giữa các biến kinh tế

1.1.2.3 Hàm sản xuất ngắn hạn

Hàm sản xuất ngắn hạn:

Hàm doanh thu phụ thuộc vào sản lượng:

TR  P Q TR Q Q P là giá hàng hóa);

1.1.2.5 Hàm chi phí (tổng chi phí)

Hàm chi phí phụ thuộc vào đầu ra :Q TC TC Q Q( ),  0.

1.1.2.6 Hàm lợi nhuận (tổng lợi nhuận)

Hàm lợi nhuận  phụ thuộc đầu ra: ( )Q TR Q( ) TC Q( ).

Chi tiêu C phụ thuộc thu nhập Y C: C Y Y( ), 0

Tiết kiệm S phụ thuộc thu nhập Y S:  S Y Y( ), 0

1.1.2.9 Hàm cung và hàm cầu một loại hàng hóa

Lượng cung và lượng cầu hàng hóa phụ thuộc và giá hàng hóa:

(Nguyễn Huy Hoàng & Nguyễn Trung Đông, 2018)

Trong kinh tế, ta thường sử dụng từ biên tế (Margin) Ví dụ, sản lượng biên tế của lao động, khuynh hướng biên tế của tiêu thụ,… Khi chúng ta nói, sản lượng biên tế của lao động là ảnh hưởng của việc thêm một đơn vị lao động

L đối với sản lượng đầu ra Q Giải thích điều này trong toán học như sau: nếu ta viết hàm sản xuất là Q f L( ) thì sản lượng biên tế của lao động là

Do đó, sản lượng biên tế của lao động chính là độ dốc: Q

Trong kinh tế học, người ta muốn có các công cụ của phép toán vi tích phân để tùy ý sử dụng Từ lí do này, người ta sử dụng đạo hàm sẽ tiện lợi hơn nhiều so với độ dốc để đo sản lượng biên tế của lao động Bởi thế, thay vì đặt

 ta cho  L 0 và sử dụng đạo hàm dQ '( ). dL  f L

Ngày nay, khái niệm biên tế được sử dụng theo nghĩa đạo hàm này

1.1.2.11 Đạo hàm như là tỉ số của sự thay đổi

Chúng ta đã làm quen với khái niệm đạo hàm là biên tế Trong kinh tế, chúng ta còn làm quen với một khái niệm khác cũng chính là đạo hàm, đó là tỉ số của sự thay đổi

Giả sử y là hàm số của x, nghĩa là y  f x( ) Giả sử khi x thay đổi một đại lượng từ x đến x  x, thì y thay đổi một đại lượng

     Kết quả tỉ số của sự thay đổi trung bình của y đối với x là tỉ số sai phân

  thay đổi của y ( ) ( ) số của sự thay đổi trung bình = thay đổi của x

(Ernest F Haeussler và các cộng sự, 2017) Khi  x 0 thì tỉ số của sự thay đổi trung bình dần tới một đại lượng gọi là tỉ số của sự thay đổi tức thời chính là đạo hàm f x'( ) hay dy. dx Từ đây ta có định nghĩa tỉ số của sự thay đổi tức thời như sau

Nếu y f x( ), thì tỉ số của sự thay đổi tức thời của y đối với x chính là đạo hàm f x( ) Nghĩa là

Tỉ số của sự thay đổi tức thời = '( ) dy. f x  dx

(Ernest F Haeussler và các cộng sự, 2017)

1.1.2.12 Các quy tắc tính đạo hàm Để tiện cho việc diễn đạt, kể từ bài này, ta sẽ sử dụng kí hiệu J để chỉ tập con của gồm một khoảng hay hợp của nhiều khoảng a) Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số Định lí 1

Nếu hai hàm số u u x( ) và v v x( ) có đạo hàm trên J thì hàm số

( ) ( ) y u x v x và y u x( )v x( ) cũng có đạo hàm trên J và ,

Các công thức trên có thể viết gọn là:

Có thể mở rộng định lí vừa nêu cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số: Nều các hàm số u v, , ,w có đạo hàm trên J thì trên J ta có:

(Đoàn Quỳnh và các cộng sự, 2011) b) Đạo hàm của tích hai hàm số Định lí 2

Nếu hai hàm số u u x( ) và v v x( ) có đạo hàm trên J thì hàm số

( ) ( ) y u x v x cũng có đạo hàm trên J và ,

 u x v x ( ) ( ) '  u x '( ) ( ) v x u x( ) '( );v x Đặc biệt, nếu k là hằng số thì  ku x ( ) '   ku x '( ).

Các công thức trên có thể viết gọn là:

(Đoàn Quỳnh và các cộng sự, 2011) c) Đạo hàm của thương hai hàm số Định lí 3

Nếu hai hàm số u u x( ) và v v x ( ) có đạo hàm trên J và v x( )0 với mọi xJ thì hàm số ( )

 v x cũng có đạo hàm trên J và ,

   ) b Nếu hàm số v  v x( ) có đạo hàm trên J và v x( )0 với mọi x thuộc J thì trên J ta có:

Công thức thứ hai trong hệ quả 1 có thể viết gọn là:

(Đoàn Quỳnh và các cộng sự, 2011)

1.1.3 Độ co giãn của hàm số một biến số

1.1.3.1 Hàm có độ co giãn bất kì

Trong hai khái niệm đạo hàm và độ co giãn thì ở một số trường hợp, các nhà kinh tế làm việc với độ co giãn nhiều hơn là làm việc với đạo hàm Vì sao vậy? Chúng ta hãy xét ví dụ để đi tìm câu trả lời cho câu hỏi này

Giả sử ta có đường cong cầu

Q   P trong đó P được tính bằng dollar và đạo hàm $ dQ 2. dP  

Nếu ta quyết định tính bằng cent, thì ta có $

Vậy sự thay đổi về đơn vị làm cho đạo hàm dQ dL thay đổi từ 2 đến

100 Ở đây ta thấy 2 (đạo hàm dQ dP tính bằng dollar) và 2

100 liên hệ với nhau bởi công thức 2

    Ở đây xuất hiện phần trăm Vậy nếu có khái niệm khắc phục được sự thay đổi trong một khoảng khi đổi đơn vị tính thì khái niệm ắt hẳn liên quan đến phần trăm?

Quả thuật trong kinh tế, người ta khắc phục sự thay đổi của đạo hàm trong một khoảng bằng thuật ngữ độ co giãn liên hệ mật thiết với khái niệm phần trăm Độ co giãn  định nghĩa bởi sự thay đổi về phần trăm của y là y 100% y

  chia cho sự thay đổi về phần trăm của x là x 100%. x

Nhận xét 1 Độ co giãn  bằng độ dốc y x

 nhân với x. y Đây là công thức tính độ co giãn thường được dùng trong kinh tế Định nghĩa 1 Độ co giãn của hàm số y f x( ) tại x, được kí hiệu là ( )x được tính bởi công thức

Ứng dụng thuật toán tìm nghiệm tối ứu trong các bài toán về phép tính

vi tích phân hàm một biến trong kinh tế

Cho hàm sản xuất có dạng Q 360L 2  L L 3 , 0 Hãy xác định mức sử dụng lao động để sản lượng đạt tối đa

Bước 1 Lập hàm kinh tế

Ta có hàm sản xuất có dạng Q 360L 2  L L 3 , 0.

Bước 2 Tính đạo hàm bậc nhất

Vì lượng lao động L0 nên ta có L 0 120

Bước 3 Tính đạo hàm cấp hai

Vậy khi lao động là 120 thì sản lượng tối đa là max (120) 3456000

Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn

Q  L L  và giá của một sản phẩm là P5USD, giá thuê một đơn vị lao động là P L 2USD Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa

Bước 1 Lập hàm kinh tế

TR Q  PQ  L Hàm chi phí:

Bước 2 Tính đạo hàm bậc nhất

Bước 3 Tính đạo hàm cấp hai

Vậy L1000000 thì lợi nhuận tối đa là

Cho hàm tổng chi phí TC Q( ) Q 3 200Q 2 15000 , (Q Q 0) Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí trung bình nhỏ nhất

Bước 1 Lập hàm kinh tế

Hàm chi phí trung bình là

Bước 2 Tính đạo hàm bậc nhất Đạo hàm cấp 1:

Bước 3 Tính đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp 2:

Vậy khi Q 100 thì chi phí trung bình đạt giá trị nhỏ nhất là min (100) 5000.

Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm Biết hàm cầu

Q   P với P là giá sản phẩm và hàm tổng chi phí

TC Q Q  Q  Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được thuế nhiều nhất từ xí nghiệp

Bước 1 Lập hàm kinh tế

Với một mức sản lượng ,Q để bán hết sản phẩm thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn giá P sao cho Q D Q Do đó, ta có

Q D  Q    P Q P Q Doanh thu của xí nghiệp là

Tiền thuế của xí nghiệp:

T t  Q t Lợi nhuận thu được của xí nghiệp là

Bước 2 Tính đạo hàm bậc nhất Đạo hàm cấp một

Khi đó tiền thuế xí nghiệp phải nộp là

Ta cần xác định t  0 sao cho T t( ) đạt cực đại

Bước 3 Tính đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai T t''( )  2 0 nên T t( ) đạt giá trị lớn nhất tại 300. t 

Vậy với sản lượng Q75, đơn giá P1725, lợi nhuận  11210,tổng chi phí 95665 thì tiền thuế thu được nhiều nhất là 22500 và mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t 300.

ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ

Các kiến thức liên quan

2.1.1 Ma trận, định thức và ma trận nghịch đảo

Một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng n cột

A = được gọi là một ma trận cấp mn a là phần tử của ma trận ij A nằm ở giao điểm của hàng i cột j Để kí hiệu ma trận người ta dùng hai dấu ngoặc vuông như ở trên hay hai dấu ngoặc tròn

Ma trận được gọi là ma trận nguyên (thực, phức) nếu các phần tử là các số nguyên (thực, phức) Trong toàn bộ quyển sách này ta chỉ xét ma trận thực Để nói A là ma trận cấp m n có phần tử nằm ở hàng i cột j là a ij , ta viết

- Khi mn, bảng số thành vuông, ta có A là ma trận vuông với n hàng n cột, ta gọi nó là ma trận cấp n:

- Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng không, kí hiệu

- Tập hợp tất cả các ma trận cấp được kí hiệu là

- Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệuM n

(Nguyễn Đình Trí và các cộng sự, 2016)

23 Định nghĩa 2 i) Đường chéo chứa các phần tử của ma trận vuông được gọi là đường chéo chính của ma trận A, đường chéo chứa các phần tử a n 1 ,a ( n  1) 2 , , a 1 n được gọi là đường chéo phụ; ii) Ma trận vuông cótất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận chéo, kí hiệu ; iii) Ma trận chéo cấp n gồm các phần tử trên đường chéo chính bằng được gọi là ma trận đơn vị cấp kí hiệu hay đơn giản ; iv) Ma trận vuông có tất cả phần tử nằm dưới (tương ứng phía trên) đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới); v) Ma trận vuông có tất cả các cặp phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính bằng nhau được gọi là ma trận đối xứng Định nghĩa 3

Hai ma trận A và B gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các phần tử cùng vị trí bằng nhau, tức là

2.1.1.2 Các phép toán trên ma trận Định nghĩa 4

Cho hai ma trận cùng cấp và B [ ]b ij m  n Tổng AB là ma trận cấp mn xác định bởi tức là

Cho và số , ta định nghĩa

A a  B  b  trong đó số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B Ta gọi tích AB là ma trận C [ ]c ij m  n gồm m hàng n cột mà phần tử c được tính bởi công ij thức

p ij i j i j ip pj ik kj k c a b a b a b a b

Cách tính c ij có thể hình dung bằng sơ đồ

Hình 2.1.Tích hai ma trận (Nguồn: tác giả) và có thể nói tắt c ij bằng hàng i của A nhân với cột j của B

Chú ý 1 Điều kiện phép nhân thực hiện được là một số cột của ma trận (ma trận trước) bằng số dòng của ma trận (ma trận sau)

Nhận xét 3 i) Tích của hai ma trận khác không có thể là ma trận không; ii) Phép nhân hai ma trận không có tính giao hoán

= ờ ỳộ ựở ỷ i k A B) ( + )= kA kB k+ ; ẻ Ă ; ii k h A) ( + ) = kA hA k h+ ; , ẻ Ă ;

Giả sử là các ma trận với số cột và số dòng thích hợp để các phép toán sau thực hiện được, khi đó ta có các đẳng thức:

(tính phân phối trái của phép nhân đối với phép cộng);

(tính phân phối phải của phép nhân đối với phép cộng); iv) Với mọi với Định nghĩa 7

Cho ma trận Lũy thừa của ma trận được định nghĩa quy nạp như sau:

Nếu khác ma trận và tồn tại sao cho thì được gọi là ma trận lũy linh Số bé nhất sao cho được gọi là cấp của ma trận lũy linh

Tính chất 2 iv) Nếu thì Định nghĩa 8

Xét ma trận A[a ij m ]  n Đổi hàng thành cột, cột thành hàng ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của A kí hiệu là , A t

Ta có A t [a ij n ]  m Ta thấy rằng nếu A có m hàng n cột thì A t có n hàng m cột

) ( ) ii A B C+ = AB AC+ iii B C A) ( + ) = BA CA+

Nếu A là ma trận đối xứng thì Định nghĩa 9

Cho ma trận i) Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm trên giao của dòng và cột của được gọi là ma trận con cấp của ii) Ma trận có cấp thu được từ bằng cách bỏ đi dòng thứ và cột thứ được gọi là ma trận con của ứng với phần tử

(Đỗ Công Khanh và các cộng sự, 2016)

2.1.1.3 Định thức Định nghĩa 10 Định thức của ma trận , kí hiệu là hay , là một số thực được định nghĩa quy nạp theo n như sau: i) Nếu thì ii) Nếu thì iii) Nếu thì trong đó

) det n 1, det 0; i I    ii) Quy tắc tam giác (chỉ dùng cho ma trận cấp 3)

27 ii) Nếu đổi chỗ hai dòng (hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu

Tính chất 5 i) Định thức có hai dòng (hoặc hai cột) giống nhau thì bằng không; ii) Nếu nhân một dòng (hoặc một cột) với số thực k thì định thức tăng lên lần Do đó với là ma trận cấp

Khi các phần tử của một dòng (cột) có thừa số chung thì ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài

Tính chất 6 i) Định thức có ít nhất một dòng (hay một cột) bằng thì bằng Định thức có dòng (hoặc cột) tỉ lệ với nhau thì bằng ii) Nếu định thức có một dòng (hay một cột) mà mỗi phần tử là tổng của hai số hạng thì ta có thể tách thành tổng của hai định thức; iii) Nếu định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức đó bằng iv) Định thức không đổi nếu ta cộng vào một dòng (hay một cột) với k lần dòng (hay cột) khác

Chú ý 3 i) Dòng (hay cột) mà ta muốn thay đổi thì không được nhân với bất kì số thực nào khác ii) Các định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo Định lí 1 (Định lí Laplace về khai triển định thức)

Cho ma trận Gọi là phần bù đại số của

Ta có khai triển Laplace như sau: i) Công thức khai triển định thức của A theo cột thứ j ii) Công thức khai triển định thức của A theo dòng thứ i k det(kA)= k n detA A n q 0

A = a A ij = - ( 1) i j + det M ij a ij j j nj nj

Phép biến đổi sơ cấp

Biến đổi sơ cấp Tác dụng

Nhân một dòng với một số k 0 Định thức nhân với k Đổi chỗ hai dòng Định thức đổi dấu

Cộng k lần dòng r vào dòng s Định thức không đổi

Nếu là các ma trận vuông cấp n thì

(Nguyễn Đình Trí và các cộng sự, 2016)

2.1.1.4 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa 11

Ma trận vuông được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cùng cấp sao cho

Ma trận ở định nghĩa trên nếu tồn tại thì duy nhất Ta gọi ma trận này là ma trận nghịch đảo của kí hiệu Lúc này A gọi là khả đảo Định lí 2

Ma trận khả nghịch khi và chỉ khi (ta nói A không suy biến) Định nghĩa 12

Cho ma trận , ma trận , trong đó là các phần bù đại số, được gọi là ma trận phụ hợp của A Định lí 3

Nếu khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của được tính bởi công thức

  và Khi đó i i in in

29 ii) Nếu khả nghịch thì cũng khả nghịch và iii) Nếu hoặc thì tồn tại và iv) Nếu khả nghịch thì cũng khả nghịch và

2.1.1.5 Hạng của ma trận Định nghĩa 13

Cho ma trận Định thức của ma trận con cấp được gọi là định thức con cấp của Định lí 4

Nếu ma trận có tất cả các định thức con cấp đều bằng 0 thì các định thức con cấp cao hơn cũng bằng 0 Định nghĩa 14

Cấp cao nhất của định thức con khác của ma trận được gọi là hạng của ma trận kí hiệu là hay rank( )A

Nếu là ma trận thì ta quy ước

Tính chất 7 i) ii) Nếu thì iii) Nếu là ma trận vuông cấp thì Định nghĩa 15

Trong một ma trận, phần tử khác đầu tiên từ trái sang phải của một dòng được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó Định nghĩa 16

Ma trận bậc thang là ma trận khác không có cấp thỏa hai điều kiện sau: i) Các dòng bằng không ở phía dưới các dòng khác không; ii) Phần tử cơ sở của một dòng bất kì nằm bên phải phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó

Các phép biến đổi sơ cấp dòng i) Đổi chỗ 2 dòng cho nhau; ii) Nhân một dòng cho một số khác iii) Nhân một dòng cho một số bất kì rồi cộng vào dòng khác

Bằng cách thay dòng bằng cột ta có phép biến đổi sơ cấp trên cột

Nhận xét 7 i) Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận; ii) Một ma trận khác bất kì đều có thể đưa về dạng ma trân bậc thang sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp; iii) Tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp:

- Đưa ma trận cần tìm hạng về dạng bậc thang;

- Số dòng khác không của ma trận bậc thang chính là hạng của ma trận đã cho

2.1.2 Hệ phương trình tuyến tính

2.1.2.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa 1

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN ỨNG DỤNG

3.1 Các kiến thức liên quan

3.1.1.1 Đại cương hàm nhiều biến Để biểu diễn hàm n biến chúng ta thường kí hiệu y  f x x( , 1 2 , , x n ) hay ở dạng vắn tắt y  f x( ) Cách viết này trông giống như hàm một biến nhưng thực tế ở đây, chúng ta hiểu là một vectơ kích thước n1

Nền tảng của giải tích nhiều biến là đạo hàm riêng Cho hàm n biến

( , , , n ) y  f x x x thì sẽ có n đạo hàm riêng, mỗi đạo hàm riêng cho một số trong số n biến x i Việc tính đạo hàm riêng cũng không khó hơn việc tính đạo hàm trong giải tích hàm một biến số Định nghĩa 1

Cho hàm số y  f x x( , 1 2 , , x n ), đạo hàm riêng theo biến x i kí hiệu bởi

  là đạo hàm thông thường của hàm y  f x x( , 1 2 , , x n ) theo biến x i , có được bằng cách xem các biến còn lại x j (j i) là những hằng số

Chúng ta viết tất cả n đạo hàm riêng của hàm f x x( , 1 2 , , x n ) thì thường rất dài dòng Khi đó, chúng ta có thể viết hàm f x x( , 1 2 , , x n ) như ( ) f x với x là một vectơ kích thước n1 Chúng ta có thể sử dụng đại số ma trận để diễn đạt những kí hiệu một cách cô đọng hơn bằng cách đặt mỗi một đạo hàm riêng trong số n đạo hàm riêng thành một vectơ kích thước n1, gọi là gradient Ta có Định nghĩa 2

Cho hàm số y  f x( ) trong đó x là một vectơ kích thước n1, đường dốc của nó (gradient) là một vectơ kích thước n1 của các đạo hàm riêng, được kí hiệu bởi: f x( ) hay ( ) f x : x

Cho ngọn núi trong không gian 3 chiều biểu diễn bởi hàm số f x x( , 1 2 ). Khi chúng ta leo núi, chúng ta quan sát xung quanh để tìm ra được hướng mà ở đó ngọn núi dốc nhất hay hướng mà ở đó việc trèo lên là khó khăn nhất Lúc này, chúng ta sẽ thấy hướng đó sẽ trùng với hướng của vectơ gradient

Vectơ gradient f x( ) chỉ ra hướng mà ở đó hàm số dốc nhất

3.1.1.4 Ý nghĩa của đạo hàm riêng Đạo hàm riêng có thể xem như là kinh nghiệm kiểm soát được một vấn đề nào đó trong cuộc sống, tự nhiên hay xã hội Giả sử, chúng ta muốn biết vitamin C ảnh hưởng như thế nào đến cuộc sống của loài gặm nhấm Theo kinh nghiệm, chúng ta sẽ giữ tất cả các biến là hằng số ngoại trừ vitamin C, theo dõi sự tiêu thụ của vitamin C và quan sát xem chuyện gì xảy ra với cuộc sống của loài gặm nhấm Nếu chúng ta thấy loài gặm nhấm tiêu thụ lượng vitamin C nhiều hơn sẽ sống lâu hơn (hoặc ngắn hơn) thì bạn có thể kết luận ở đây có tồn tại một mối quan hệ “dương” (hoặc “âm”) giữa vitamin C và tuổi thọ của loài gặm nhấm

Giả sử chúng ta có hàm nhiều biến y  f x x( , 1 2 , , x n ), trong đó y là triển vọng sống và x i là sự tiêu thụ vitamin C Chúng ta muốn biết x i ảnh hưởng như thế nào đến y Theo kinh nghiệm, ta sẽ tính đạo hàm riêng

 Dấu đạo hàm riêng sẽ cho chúng ta biết được mối quan hệ giữa x i và y Cụ thể như sau: Định lí 2

 thì y là hàm tăng theo x i , nghĩa là khi tăng (hoặc giảm) biến x i trong khi giữ cố định tất cả các biến khác x thì sẽ tăng (hoặc giảm) j y Định lí 3

 thì y là hàm giảm theo x i , nghĩa là khi tăng (hoặc giảm) biến x i trong khi giữ cố định tất cả các biến khác x thì sẽ giảm (hoặc tăng) j y

Trong giải tích nhiều biến, các tính chất trên có thể hiểu hoặc có tính địa phương hoặc có tính toàn cục Nếu ( )

 vói mọi x trong miền xác định, ta nói y là hàm tăng toàn cục theo các biến x i Nếu ( )

 chỉ tại một điểm, ta nói y là hàm tăng địa phương theo các biến x i Đạo hàm riêng cũng cho ta thấy những thông tin có tính định lượng về mối quan hệ giữa y và x i Cụ thể như sau: Định lí 4

Cho hàm số y  f x x( , 1 2 , , x n ), nếu x i thay đổi một lượng x i trong khi các biến khác x được giữ cố định thì sự thay đổi của j y có thể được xấp xỉ bằng 1 2

 trong đó xấp xỉ trên càng tốt hơn nếu x i càng nhỏ

3.1.1.5 Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm riêng

QQ P P P P Y trong đó P là giá chính, P P 1 , 2 , , P n là giá của các hàng hóa liên quan khác và

Giả sử ta muốn đường cong cầu có độ dốc đi xuống Điều này có ý nghĩa gì?

Trong kinh tế, nghĩa là chúng ta muốn nói rằng đường cong cầu có độ dốc đi xuống nếu tăng ,P trong khi giữ nguyên P P 1 , 2 , , P n và Y thì kết quả

Bằng biểu diễn toán học, ta nói rằng, đường cong cầu sẽ dốc xuống nếu

Một trong những lí do làm đơn giản vấn đề hơn nữa là thay vì nói “tất cả các biến khác giữ nguyên là hằng số” thì ta viết  thay cho d để biểu diễn điều này

Tương tự, nếu ta muốn nói hàng hóa ở đây “tốt” thì ta viết Q 0.

 Điều này thay cho việc giới thiệu định nghĩa rằng hàng hóa “tốt” nếu tăng Y trong khi giữ nguyên P P P, 1 , 2 , , P n dẫn đến Q tăng

Nếu chúng ta muốn hàng hóa “kém”, ta viết Q 0.

Nếu ta nói hàng hóa i là hàng thay thế thì ta viết 0. i

Nếu ta nói hàng hóa j là hàng bổ sung thì ta viết 0. j

Tất cả những điều trên cũng được áp dụng tương tự cho đường cong cung, hàm chi phí hay những vấn đề khác trong kinh tế Định nghĩa 3

Trong kinh tế, khái niệm “biên” đồng nghĩa với đạo hàm riêng

3.1.2 Đạo hàm riêng cấp hai

Chúng ta sử dụng đạo hàm riêng cấp hai khi chúng ta nghiên cứu về tính lồi, lõm và điều kiện bậc hai của hàm nhiều biến

Cho hàm y  f x x( , 1 2 , ., x n ), thì đạo hàm riêng theo biến x i và x là j

- Nếu có n biến x i thì sẽ có n đạo hàm riêng cấp một và n 2 đạo hàm riêng cấp hai Ví dụ hàm y  f x x( , 1 2 ) có hai đạo hàm riêng cấp 1 nhưng có tới 2 2  4 đạo hàm riêng cấp hai

- Kí hiệu trên thường sẽ hơi khác khi chúng ta đạo hàm hai lần theo cùng một biến Trong trường hợp này, ta thường viết

Cho hàm y  f x x( , 1 2 , , x n ), việc lấy đạo hàm theo x i trước rồi lấy theo x sẽ cho kết quả tương tự như việc lấy đạo hàm theo j x trước rồi lấy j x i , nghĩa là:

(Lê Quang Hoàng Nhân & Hoàng Đức Hải, 2008)

Một hàm nhiều biến y  f x x( , 1 2 , , x n ) có số lượng các đạo hàm riêng cấp hai rất lớn Cách tốt nhất là sắp xếp n 2 đạo hàm riêng cấp hai đó trong một

46 ma trận kích thước nn được gọi là ma trận Hessian, như định nghĩa dưới đây: Định nghĩa 2

Cho hàm số y  f x x( , 1 2 , , x n ) f x( ) trong đó x là ma trận kích thước n1, ma trận Hessian là

Theo định lí Young, ta có

Vậy các phần tử nằm phía trên đường chéo bằng các phần tử nằm ở vị trí tương ứng bên dưới đường chéo Hay ta có Định lí 2

Ma trận Hessian H x x( , 1 2 , , x n ) là một ma trận đối xứng hay

Nhận xét 2 Định lí Young giúp ta giảm số lượng các đạo hàm riêng cấp hai khác nhau Thay vì phải tính n 2 phần tử trong ma trận Hessian thì ta chỉ cần tính

2 n n  các phần tử nằm ngay trên và bên trên đường chéo Ví dụ với n  4 thay vì phải tính 4 2 16 đạo hàm riêng cấp hai thì ta chỉ cần tính

  các đạo hàm riêng cấp hai khác nhau Định nghĩa 3 (Tính lõm)

Hàm số y  f x x( , 1 2 , , x n ) là lõm nếu ma trận Hessian

H x x x là ma trận xác định âm (Ma trận xác định âm là ma trân có tất cả các định thức con chính cấp chẵn dương và cấp lẻ âm)

Hàm số y  f x x( , 1 2 , , x n ) là lồi nếu ma trận Hessian

H x x x là ma trân xác định dương (Ma trận xác định dương là ma trân có tất cả các định thức con chính đều dương)

Cũng như ở các chương trước, chúng ta phân biệt tính lồi, lõm địa phương và tính lồi, lõm toàn cục Định nghĩa 5 (Lõm địa phương)

Hàm số y  f x x( , 1 2 , , x n ) là lõm địa phương tại điểm  x 1 0 , x 0 2 , , x 0 n  nếu ma trận Hessian của nó tính tại điểm  x 1 0 , x 2 0 , , x n 0  hay ma trận

H x x x là ma trận xác định âm Định nghĩa 6 (Lồi địa phương)

Hàm số y  f x x( , 1 2 , , x n ) là lồi địa phương tại điểm  x 1 0 , x 0 2 , , x 0 n  nếu ma trận Hessian của nó tính tại điểm  x 1 0 , x 2 0 , , x n 0  hay ma trận

H x x x là ma trận xác định dương Định nghĩa 7 (Lõm toàn cục)

Hàm số y  f x x( , 1 2 , , x n ) là lõm toàn cục nếu ma trận Hessian của nó

H x x x xác định âm với mọi x x 1 , 2 , , x n nằm trong miền xác định của f x x( , 1 2 , , x n ) Định nghĩa 8 (Lồi toàn cục)

Hàm số y  f x x( , 1 2 , , x n ) là lồi toàn cục nếu ma trận Hessian của nó

H x x x xác định dương với mọi x x 1 , 2 , , x n nằm trong miền xác định của f x x( , 1 2 , , x n ). Định lí 3

Hàm sản xuất Cobb-Doughlas dạng

F L K  L K   với   0 và   0 sẽ lõm toàn cục khi và chỉ khi   1 Định lí 4

Hàm f x x( , 1 2 , , x n ) là lõm (lồi) toàn cục khi và chỉ khi hàm

48 là lồi (lõm) toàn cục Định lí 5

Nếu hàm f x x( , 1 2 , , x n ) là lõm (lồi) toàn cục và hàm g x x( , 1 2 , , x n ) cũng lõm (lồi) toàn cục thì hàm

( , , , n ) ( , , , n ) ( , , , n ) h x x x  f x x x  g x x x cũng lõm (lồi) toàn cục

3.1.3 Tối ưu không ràng buộc (cực trị tự do) Định lí 1

Nếu x 1 * , x 2 * , , x n * là điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm

Chúng ta có thể biểu diễn điều kiện bậc nhất một cách ngắn gọn hơn bằng cách sử dụng gradient ( )

 tính tại x * , nghĩa là Định lí 2

Nếu vectơ x * kích thước n1 là điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm

 trong đó 0 là ma trận 0 kích thước n1

Nhận xét 1 Điều kiện bậc nhất đối với cực đại và cực tiểu liên quan đến n phương trình với n ẩn số x 1 * , x * 2 , , x n * Nếu bài toán “đẹp” thì ta có thể giải được n phương trình trên đối với n ẩn số x 1 * , x 2 * , , x n * Ngay cả khi ta không thể giải một cách rõ ràng thì ta cũng có thể biết được một số kết quả về bản chất của nghiệm bằng cách kiểm tra điều kiện bậc nhất

Phương pháp triển khai điều kiện bậc nhất

1 Tính n đạo hàm riêng bậc nhất ( , 1 2 , , ) n , i f x x x x

2 Đặt dấu * trên tất cả các biến x i và cho tất cả các đạo hàm riêng cấp một bằng 0

3 Nếu có thể giải được nghiệm x 1 * , x 2 * , , x * n hoặc nếu không xem xét được điều kiện bậc nhất, chúng ta có thể biết được các giá trị tối ưu

Một nghiệm  x 1 * , x * 2 , , x * n  thỏa mãn điều kiện bậc nhất có thể hoặc là cực đại hoặc là cực tiểu Rõ ràng, chúng ta muốn biết điều này Ví dụ, nếu ta quan tâm đến vấn đề lợi nhuận cực đại thì chúng ta sẽ không muốn biết điểm làm lợi nhuận cực tiểu

Trong giải tích hàm một biến, điều kiện bậc hai dựa trên thực tế là cực đại xuất hiện tại đỉnh của ngọn núi (tính lõm) trong khi cực tiểu xuất hiện tại đáy của thung lũng (tính lồi) Do đó, ta sử dụng ma trận của đạo hàm cấp hai hay ma trận Hessian H x x( , 1 2 , , x n ) để xác định xem điểm x 1 * , x * 2 , , x * n là cực đại hay cực tiểu Điều kiện về tính lõm (tính lồi) càng yếu thì kết quả về tính cực đại hay cực tiểu càng yếu trong khi điều kiện về tính lõm (tính lồi) càng mạnh thì kết quả về tính cực đại hay cực tiểu càng mạnh Ta có Định lí 2 (Cực đại địa phương)

Nếu x 1 * , x 2 * , , x * n thỏa điều kiện bậc nhất và hàm f x x  1, 2, , x lõm n  địa phương tại x 1 * , x 2 * , , x n * sao cho ma trận Hessian H x  1 * , x * 2 , , x * n  xác định âm thì x 1 * , x * 2 , , x * n là cực đại địa phương của hàm f x x( , 1 2 , , x n ) Định lí 3 (Cực tiểu địa phương)

SÁNG TẠO VỚI BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ 62 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

TRONG KINH TẾ Bài toán 1 (Trần Quang Phùng, 1999)

Một hãng sản xuất cần thuê một bãi đất trống sát biển để chứa nguyên liệu nhập Họ được thuê 100 000m 2 và bãi có dạng hình chữ nhật Chi phí thuê là C 5000x 2000y theo đơn vị tiền nào đó

Hình 4.1 Chi phí nhỏ nhất

Vì xy 10000 nên ta có ( , )x y  xy 1000000 và hàm Lagrange là

L x y   x  y  xy  Đạo hàm cấp một là

Vậy điểm nghi ngờ cực trị là (500, 200,10) Đạo hàm cấp hai là

Với điểm nghi ngờ cực trị là (500, 200, 10), thì ta có

Kết luận a) x200 (đơn vị tiền) thì có C min b) C min 5000 200  2000 500 1000000 1000000 2000000 (đơn vị tiền)

Trước tiên, ta tìm thêm một số cách giải khác của bài toán

Gọi x y, lần lượt là chiều rộng và chiều dài của bãi đất hình chữ nhật

Từ đây, ta rút ra

 x   a) x200 (đơn vị tiền) thì có C min b) C min  2000000 (đơn vị tiền)

Gọi x y, lần lượt là chiều rộng và chiều dài của bãi đất hình chữ nhật

Gọi a là chiều dài ngắn nhất của bãi đất, ta có

     a) x200 (đơn vị tiền) thì có C min b) C min  2000000 (đơn vị tiền)

Gọi x y, lần lượt là chiều rộng và chiều dài của bãi đất hình chữ nhật

Từ đây, ta rút ra

C  x  a) x200 (đơn vị tiền) thì có C min b) C min  2000000 (đơn vị tiền)

Ta lật ngược vấn đề, phát biểu bài toán dưới dạng sau

Người ta dùng x m chiều rộng và y m chiều dài để rào một bãi đất thành hình chữ nhật sát biển (nghĩa là mặt này không phải rào) Biết rằng chiều rộng và chiều dài được rào khác nhau Chi phí rào 1m chiều rộng là

5000 đơn vị tiền, chi phí rào 1m chiều dài là 1000 đơn vị tiền và tổng chi phí

65 hết 2000000 đơn vị tiền Hỏi diện tích bãi đất lớn nhất mà người đó rào được là bao nhiêu?

Hình 4.2 Diện tích bãi đất lớn nhất (Nguồn: tác giả)

Gọi x y, lần lượt là chiều rộng và chiều dài của bãi đất hình chữ nhật

Ta có ( , )x y 5x 2y  20000 và hàm Lagrange là

L x y   xy  x y  Đạo hàm cấp một

Vậy điểm nghi ngờ cực trị là (500, 200,100) Đạo hàm cấp hai là

Với điểm nghi ngờ cực trị là (500, 200,100), thì ta có

Ta tìm thêm một số cách giải khác của bài toán

Gọi x y, lần lượt là chiều rộng và chiều dài của bãi đất hình chữ nhật

Từ đây, ta rút ra

Gọi x y, lần lượt là chiều rộng và chiều dài của bãi đất hình chữ nhật

S  xy thỏa mãn 5000x2000y 20000005x 2y 2000 Gọi S 0 là diện tích lớn nhất có thể của bãi đất, ta có

Gọi x y, lần lượt là chiều rộng và chiều dài của bãi đất hình chữ nhật

Gọi S 0 là diện tích lớn nhất có thể của bãi đất, ta có

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Nghiên cứu đã giới thiệu cơ sở lí thuyết của phép tính vi phân hàm một biến ứng dụng trong kinh tế Cụ thể là đề cập đến các khái niệm đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, độ co giãn của hàm một biến, tính địa phương, tính toàn cục và cực trị Đặc biệt trong chương này, chúng tôi tập trung vào việc nghiên cứu các bài toán tối ưu mà để giải quyết chúng, chúng ta phải vận dụng đến phép tính vi phân hàm một biến Ngoài ra, nghiên cứu còn đề cập đến đại số ma trận Đó là các bài toán về ma trận nghịch đảo, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ và ứng dụng của chúng trong kinh tế Thêm vào đó, nghiên cứu còn đề cập đến việc vận dụng phép tính vi phân bao gồm các kiến thức đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp hai trong các bài toán tối ưu không ràng buộc, tối ưu có ràng buộc Đây đều là những kiến thức trọng tâm về lý thuyết tối ưu mà bất cứ làm việc với toán kinh tế đều phải gặp

Một kết quả đáng lưu ý của nghiên cứu là chúng tôi đưa ra một cách khai thác và sáng tạo bài toán tối ưu Tư duy sáng tạo thể hiện tính biện chứng giúp sinh viên có cách nhìn đa chiều về sự vật và hiện tượng Sinh viên sẽ hình thành và phát triển tư duy sáng tạo qua các bài toán tối ưu Tư duy này thật sự rất cần thiết cho sinh viên khi ra trường Các đơn vị, doanh nghiệp không ngừng đòi hỏi nhân viên phải sáng tạo Chính vì thế việc trang bị tư duy sáng tạo trong nghiên cứu này thật sự bổ ích và cần thiết

Một hạn chế trong nghiên cứu là chúng tôi chưa đưa được ứng dụng của công nghệ thông tin đối với các bài toán tối ưu trong kinh tế Hướng nghiên cứu này chắc sẽ dành vào một đề tài khác trong tương lai