Cơ sở toán học
Không gian trọng số
1) I = [a,b]là khoảng đóng hữu hạn trênR + với(00,n∈ N Đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville của hàm f theo ζ với bậcα được định nghĩa như sau:
− 1 ζ ′ (x) d dx n Z b x ζ ′ (t)(ζ(t)−ζ(x)) n−α−1 f(t)dt, trong đón= [α] +1. Định nghĩa 1.3.3 Cho α >0,n∈ N và f,ζ ∈C n ([a,b], R )là hai hàm số sao choζ là hàm đơn điệu tăngζ ′ (x)̸=0, với mọix∈I Đạo hàm phân thứζ-Caputo bên trái của f với bậcα được cho bởi
1 ζ ′ (x) d dx n f(x) và đạo hàm phân thứζ-Caputo bên phải của f với bậcα được cho bởi
− 1 ζ ′ (x) d dx n f(x) trong đón= [α] +1vớiα ∈/ N vàn=α vàα ∈ N
RLD α;ζ b− g(x) = Γ(δ) Γ(δ−α)(ζ(b)−ζ(x)) α+δ −1 Định lý 1.3.1 Nếu f ∈C n [a,b]vàα >0, thì
Một vài bổ đề cần thiết
Định lý 1.4.1 Cho u,v là hai hàm khả tích và g là hàm số liên tục trên [a,b] Cho ζ ∈C 1 [a,b]là hàm đơn điệu tăng vàζ ′ (t)̸=0,∀t ∈[a,b] Giả sử rằng i) uvàvlà hai hàm không âm; ii) glà hàm không và không giảm
Hệ quả 1.4.1 Cho α >0 và f,ζ ∈C 1 ([a,b], R ) là hai hàm số sao cho ζ là hàm đơn điệu tăngζ ′ (t)̸=0với mọit ∈I Giả sửb⩾0vàvlà hai hàm không âm và khả tích địa phương trên[a,b], vàulà hai hàm không âm và khả tích địa phương trên[a,b] với u(t)⩽v(t) +b
Hệ quả 1.4.2 Dưới các giả thuyết của Định lý 1.4.1 Cho v là hàm không giảm trên [a,b] Khi đó, ta có u(t)⩽v(t)Eα(g(t)Γ(α)[ζ(t)−ζ(a)] α ),∀t ∈[a,b], trong đúE α (ã)là hàm Mittag-Leffler được định nghĩa như sau:E α (t) =∑ ∞ k=0 t k Γ(αk+1) vớiRe(α)>0.
Phương trình vi phân có trễ bậc phân thứ ζ −Caputo
Trong mục này, chúng tôi tiếp tục giới thiệu một kết quả quan trọng được sử dụng trong quá trình chứng minh của định lý trong chương 2 Bây giờ, ta xét bài toán sau:
(1.1) trong đóM:={1,2, ,m},α∈(0,1], and0=t 0 =s 0
