Báo cáo đề tài nghiên cứu khoa học cấp cơ sở: Nghiên cứu tính ổn định thời gian hữu hạn cho phương trình vi phân bậc phân thứ

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAMTRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCM

BÁO CÁO ĐỀ TÀI

NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH THỜI GIAN HỮU HẠNCHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN THỨ

ĐỀ TÀI KHOA HỌCCấp cơ sở

Chủ nhiệm đề tài: TS Hồ VũThư ký đề tài: ThS Nguyễn Phương

Thành viên tham gia: ThS Nguyễn Ngọc Phụng

TPHCM - 2023

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM

TRƯỜ G ĐẠI HỌC GÂ HÀ G TP.HCM

BỘ MÔ TOÁ KI H TẾ

CỘ G HÒA XÃ HỘI CHỦ GHĨA VIỆT AM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

THUYẾT MI H

ĐỀ TÀI GHIÊ CỨU KHOA HỌC

I Thông tin chung về đề tài:

1 Tên đề tài (tiếng Việt): ghiên cứu tính ổn định thời gian hữu hạn cho phương trình vi phân bậc phân thứ Tên đề tài (tiếng Anh): The study for finite time stability of fractional differential equation

Mã số (do Viện CKH và C ghi):

gành khoa học: c(Theo danh mục Giáo dục – đào tạo cấp IV trình độ đại học ban hành kèm

theo Thông tư số 24/2017/TT-BGDĐT ngày 10 / 10 / 2017 của Bộ Giáo dục – Đào tạo)

Chức danh khoa học, học vị: Tiến sĩ am : ; ữ: Chức vụ hành chính hiện tại:

Cơ quan công tác và địa chỉ: Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Tên Khoa/Phòng ban/Bộ môn: Bộ môn Toán Kinh tế

Điện thoại: Điện thoại di động: 098 504 1780

5 Tổ chức chủ trì đề tài: Trường Đại học Ngân hàng TPHCM

II Mục tiêu, nội dung, phương pháp, kế hoạch thực hiện đề tài: 7 Ý tưởng khoa học:

8 Loại đề tài:

Đề tài mang tính phát hiện, khám phá lần đầu:

Đề tài tiếp tục các nghiên cứu chuyên sâu đã và đang được thực hiện:

Đề tài mang tính liên ngành, đa ngành:

9 Sự cần thiết tiến hành nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết định tính của hệ động lực là một nhánh nghiên cứu quan trọng có nhiều trong thực tế, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học Trong đó, nghiên cứu tính ổn định của hệ động lực là một chủ đề hấp dẫn, nó được nghiên cứu đầu tiên bởi nhà toán

học người Nga A M Lyapunov trong luận án tiến sĩ có nhan đề “Bài toán tổng quan về tính

ổn định của chuyển động” tại trường Đại học tổng lợp Kharkov năm 1892

- Khi phân tích hay thiết kế hệ thống kỹ thuật và hay dùng các mô hình toán học mô hình hoá các hiện tượng trong tự nhiên (như Kinh tế, Sinh học, Vật lý,…) người ta rất quan tâm đến tính ổn định của hệ thống hay mô hình đó Vì vậy, ngày nay tính ổn định được nghiên cứu và phát triển thành một nhánh lý thuyết toán học độc lập và có rất nhiều ứng dụng trong Kinh tế, Kỹ thuật, Sinh học, …

Hình 1: Mô tả hệ thống động lực

Nguồn : https://www.anylogic.fr/blog/system-dynamics-and-dynamic-systems-is-the-just-published-ch/- Năm 1953, nhà toán học người Nga G Kamenkov đã giới thiệu khái niệm ổn định thời gian hữu hạn (FTS) của hệ động lực học (xem [2]) Từ đó đến nay, các nghiên cứu liên quan đến FTS được các nhà nghiên cứu quan tâm mạnh mẽ như: Dorato [3], Poter [4], …và áp dụng trong thực tế

- Khái niệm FTS được hiểu như sau: “Một hệ động lực được gọi là FTS nếu khi ta đưa ra một

giới hạn cho điều kiện ban đầu, trạng thái của hệ không vượt khỏi ngưỡng đã giới hạn trong suốt khoảng thời gian đã cho” Nó khác so với khái niệm ổn định tiệm cận cho Lyapunov đề

xuất (xem Amoto và các cộng sự [1])

- Trong những năm 70 của thế kỷ trước, lý thuyết giải tích phân thứ đã được nghiên cứu và phát triển, nhưng tương đối chậm so với các nhánh toán học khác do các nhà khoa học chưa thấy nghĩa về mặt hình học hoặc vật lý của toán tử đạo hàm phân thứ Nhưng năm gần đây cùng với sự phát triển của máy tính và phương pháp tính, người ta phát hiện rằng giải tích phân thứ có nhiều ưu thế hơn so với phép tính vi- tích phân cổ điển trong mô phỏng các vật liệu và quá trình có trí nhớ ở các lĩnh vực Kỹ thuật, Kinh tế, Sinh học, … Một trong những sách chuyên khảo về giải tích tích phân thứ đầu tiên được viết bởi K Oldham và J Spenier [5] Nó được trình bày một cách có hệ thống từ ý tưởng, phương pháp và ứng dụng của giải tích phân thứ Tiếp đến, Miller và Ross [6] đã giới thiệu sách chuyên khảo về “Giải tích phân thứ và phương trình vi phân bậc phân thứ”, sách đã giới thiệu một cách cơ bản về các nghiên cứu định tính về lý thuyết phương trình vi phân bậc phân thứ

- Trong nhưng năm gần đây, các nhà nghiên cứu cho thấy việc dùng phương trình vi phân bậc phân thứ để mô hình hoá các hệ động lực có nhiều ưu điểm việc hơn so với phương trình vi phân thường Thí dụ: trong lĩnh vực Kinh tế (Johansyah và cộng sự [7]; Constantinescu và các cộng sự [8]), trong Vật lý (Elina Shishkina và Sergei Sitnik [9]),…

- Theo hiểu biết của chúng tôi, nghiên cứu định tính về lý thuyết phương trình vi phân bậc phân thứ đến nay còn khác khiêm tốn so với nghiên cứu định tính về lý thuyết phương trình vi phân thường Trong đó, nghiên cứu tính ổn định, đặc biệt là tính ổn định thời gian hữu hạn

cho một lớp phương trình vi phân bậc phân thứ cụ thể vẫn còn là một bài toán mở Vì vậy, trong đề tài này, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính ổn định hữu hạn cho lớp phương trình vi phân bậc phân thứ có trễ dưới xung không tức thời

Tài liệu tham khảo

[1] F Amato, R Ambrosino, M Ariola, C Cosentino, G D Tommasi, Finite–time Stability and Control, Lecture Notes in Control and In Information Sciences, 453, Springer London, 2014

[2] G Kamenkov, On stability of motion over a finite interval of time, Journal of Applied Math and Mechanics, 17(1953), 529–540

[3] P Dorato, Short time stability in linear time–varying systems, In Proc IRE Int Convention Record, Part 4(1961), 83–87

[4] Michel, D Porter, Practical stability and finite–time stability of discontinuous systems, IEEE Trans Circuit Theory, CT-19(1972), 123–129

[5] K.B Oldham, J Spanier The Fractional Calculus Academic Press, New York,1974 [6] K.S Miller, B Ross An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations John Wiley & Sons Inc., New York, 1993

[7] M D Johansyah, A K Supriatna, E Rusyaman, J Saputra Application of fractional differential equation in economic growth model: A systematic review approach AIMS Mathematics, 2021, 6(9): 10266-10280

[8] Constantinescu, C.D., Ramirez, J.M & Zhu, W.R An application of fractional differential equations to risk theory Finance Stoch 23, 1001–1024 (2019)

[9] E Shishkina, S Sitnik, Transmutations, Singular and Fractional Differential Equations with Applications to Mathematical Physics, Mathematics in Science and Engineering, 2020

10 Tính mới, tính sáng tạo của đề tài:

- Xây dựng bất đẳng thức bậc phân thứ

- Chứng minh bài toán đặt ra có duy nhất nghiệm

- Chứng minh nghiệm của bài toán ổn định thời gian hữu hạn - Cung cấp một vài ví dụ minh hoạ có kết quả lý thuyết đạt được

11

Mục tiêu, nội dung, phương pháp nghiên cứu:

- Mục tiêu của đề tài : Dựa vào bất đẳng thức bậc phân thứ, chúng tôi sẽ chứng minh

bài toán đặt ra có duy nhất nghiệm và nghiệm của bài toán ổn định thời gian hữu hạn

- Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng các công cụ giải tích phân thứ đã được phát triển

bởi các nhà nghiên cứu đi trước để giải quyết vấn đề đặt ra

12 Các hoạt động phục vụ nội dung nghiên cứu của đề tài:

- Tham gia báo cáo tại hội thảo khoa học - Báo cáo seminar cấp bộ môn

13 Ý nghĩa khoa học và lợi ích của đề tài:

- Kết quả nghiên cứu đóng góp một phần nhỏ trong lĩnh vực nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho một lớp phương trình vi phân bậc phân thứ cụ thể

- Kết quả dự kiến được xuất bản ở một tạp chí khoa học chuyên ngành, góp phần vào thành tích nghiên cứu của nhà Trường

- Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên sau đại học cùng hướng nghiên cứu

14 Kế hoạch thực hiện: êu rõ kế hoạch thực hiện các nội dung nghiên cứu, phân công trách

nhiệm của các thành viên

TT ội dung công việc Thời gian thực hiện Kết quả dự kiến Thành viên thực hiện

6 Chỉnh sửa và hoàn thành báo cáo đề tài

4 tháng Hoàn thành báo cáo đề tài

Vũ + Phụng + Phương 7 Báo cáo đề tài trước

hội đồng

Vũ + Phụng + Phương

III Dự kiến kết quả đề tài:

2 Bài báo công bố trên tạp chí khoa học chuyên ngành trong nước hoặc quốc tế (bắt buộc) 1

ĐỀ CƯƠ G CHI TIẾT

Bảng ký hiệu Mục lục Lời mở đầu

Chương 1 Kiến thức chuvn bị

1 Giải tích phân thứ 1.1 Đạo hàm phân thứ 1.2 Tích phân phân thứ 1.3 Hàm Mittag-Leffler 1.4 Bất đẳng thứ Gronwall 1.5 Ổn định Lyapunov 1.6 Ổn định thời gia hữu hạn 2 Phương trình vi phân bậc phân thứ

Chương 2 Ổn định thời gian hữu hạn cho nghiệm của phương trình vi phân bậc phân thứ có trễ dưới xung không tức thời

2.1 Bài toán

2.2 Các bổ đề liên quan

2.3 Tính ổn định thời gian hữu hạn của bài toán

Chương 3 Kết luận và Kiến nghị

3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị

Phụ lục

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Lãnh đạo bộ môn Toán kinh tế,trường Đại học Ngân hàng thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện về cơ sơ vật chất vàtinh thần cho tôi có thể hoàn thành đề tài này.

Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô, đồng nghiệp đã hỗ trợ và động viêntôi trong quá trình hoàn thành đề tài này.

Tp Hồ Chí Minh, ngày 2 tháng 7 năm 2023

Chủ nhiệm đề tài

TS Hồ Vũ

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU .9

Chương 1.Cơ sở toán học .11

1.1.Không gian trọng số .11

1.2.Tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville .11

1.3.Đạo hàm phân thứ ζ − Caputo .12

1.4.Một vài bổ đề cần thiết .14

1.5.Phương trình vi phân có trễ bậc phân thứ ζ −Caputo .15

1.6.Ổn định trong thời gian hữu hạn .15

Chương 2.Tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho phương trình vi phân bậc phânthứ có trễ dưới đạo hàm Caputo tổng quát với xung không tức thời18Chương 3.Các ví dụ minh hoạ .26

KẾT LUẬN .33

Tài liệu tham khảo .34

PHỤ LỤC .36

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích phân thứ (GTPT) là một chủ đề nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực toánhọc liên quan đến đạo hàm và tích phân bậc phân thứ (hay nói cách khác là bậc tuỳý) Nó có nhiều ứng dụng trong khoa học kỹ thuật, kinh tế và rất nhiều lĩnh vực khác.GTPT còn được biết với tên gọi khác như phép tính vi tích phân tổng quát GTPT là sựmở rộng rất tự nhiên của giải tích bậc nguyên Vào năm 1695, nhà toán học L’Hopitalđã đặt câu hỏi với nhà toán học Leibniz (người đã có công tìm ra ý nghĩa của đạo hàmbậc nguyên) để hỏi về ý nghĩa của đạo hàm bậc n = 1

2 Tháng 09/1695, trong bức thưtrả lời của Leibniz cho L’Hopital, ông đã đưa ra một số khả năng nghiên cứu vi phân vàđạo hàm bậc 1

2 Kể từ đó, vấn đề này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toánhọc như Euler, Fourier, Laplace, Riemann, Liouville, (xem [12]) Trong những nămđầu, GTPT được phát triển chứ yếu về mặt lý thuyết toán học thuần tuý Tuy nhiên, trongnhững thập niên gần đây, cùng với sự phát triển của máy tính có tốc độ xử lý cao và cácphương pháp số, người ta phát hiện ra ngày càng nhiều ứng dụng hữu ích của giải tíchphân thứ trong các bài toán thực tế cũng như trong nhiều ngành khoa học khác như: Kinhtế [13,14], Tài chính [15], Kỹ thuật [16],

Cùng với sự phát triển của các nghiên cứu về GTPT, thì nghiên cứu lý thuyết phươngtrình vi phân bậc phân thứ được phát triển theo một cách rất tự nhiên và trở thành mộtlĩnh vực nghiên cứu rất sôi động trong năm gần đây thu hút sự quan tâm của nhiều nhàtoán học trong và ngoài nước Ví dụ như: Niamsup và đồng nghiệp [8], Cong và đồngnghiệp [9], Abbas [10], Cermak và đồng nghiệp [11], Trong đó, nghiên cứu tính chấtổn định là một chủ đề nghiên cứu quan trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình viphân bậc phân thứ, nhất là đối vế các hệ không có trễ và có trễ thời gian (xem Chen vàđồng nghiệp [17], .) Kết quả nghiên cứu đầu tiên về tính ổn định của hệ phân thứ tuyếntính theo nghĩa Lyapunov được giới thiệu bởi Matignon [18] vào năm 1997 Tiếp sau đó,bằng cách sử dụng các cách tiếp cận khác nhau như bất đẳng thức ma trận tuyến tính(LMI), phương pháp hàm Lyapunov, nhiều tiêu chuẩn cho tính ổn định của nhiều lớphệ phân thứ khác nhau (xem [19,20]).

Song song với tính chất ổn định Lyapunov, tính ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS)là một khái niệm nghiên cứu quan trọng với nhiều ứng dụng hữu ích trong thực tế và lýthuyết điều khiển Được giới thiệu từ những năm 1950, nó khác biệt với khái niệm ổnđịnh cổ điển ở hai khía cạnh Trước tiên, tính ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS) tậptrung vào các hệ động lực có hoạt động giới hạn trong một khoảng thời gian cụ thể, chứkhông phải xác định tính ổn định dài hạn của hệ thống Mục tiêu là đảm bảo sự ổn địnhtrong một khoảng thời gian xác định trước đó Thứ hai, tính ổn định trong thời gian hữuhạn (FTS) yêu cầu quy định các giới hạn cho các biến của hệ thống Điều này đảm bảorằng các biến quan trọng không vượt quá các giới hạn đã xác định trong suốt quá trìnhhoạt động Nhờ tính linh hoạt và ứng dụng rộng rãi này, tính ổn định trong thời gian hữu

hạn (FTS) đóng một vai trò quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn và tronglý thuyết điều khiển.

Tính ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS) và ổn định tiệm cận Lyapunov là hai kháiniệm hoàn toàn độc lập Trong bài toán ổn định Lyapunov, hàm Lyapunov phải có đạohàm xác định âm hoặc nửa xác định âm Tuy nhiên, trong bài toán ổn định trong thờigian hữu hạn (FTS), không áp dụng yêu cầu này Do đó, một hệ có thể ổn định trong thờigian hữu hạn (FTS) nhưng không ổn định tiệm cận Lyapunov, và ngược lại.

Nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS) cho hệ phương trình vi phânphân thứ tuyến tính có trễ được bắt đầu bởi Lazarevic [21], sử dụng bất đẳng thức Gron-wall cho hệ phân thứ Đối với bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ tuyến tínhphân thứ, Y Ma và đồng nghiệp [22] đã tiến hành nghiên cứu ban đầu Sau đó, các kỹthuật khác nhau đã được áp dụng, bao gồm biến đổi Laplace, bất đẳng thức Gronwall mởrộng và bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI), để nghiên cứu tính ổn định trong thờigian hữu hạn và bị chặn trong thời gian hữu hạn cho nhiều lớp hệ khác nhau như hệ phânthứ phi tuyến, hệ chuyển mạch phân thứ, hệ nơron phân thứ Những kết quả từ nhữngnghiên cứu này có tính quan trọng trong lĩnh vực điều khiển hệ thống phức tạp.

Tuy nhiên, cho đến nay tính ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS) cho các hệ độnglực phân thứ vẫn chưa phát triển đầy đủ, đặt biệt là các hệ động lực có xung không tứcthời Vì vậy, trong đề tài này chúng tôi nghiên tính ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS)cho phương trình vi phân bậc phân thứ có trễ dưới đạo hàm Caputo tổng quát với xungkhông tức thời

Trong đề tài này có 3 chương:

- Chương 1 Kiến thức cơ sở: Chúng tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa và tínhchất giải tích phân thứ và tính ổn định của một hệ động lực Ngoài ra, chúng tôicũng giới thiệu một số bổ đề có liên quan được sử dụng xuyên suốt trong quá trìnhchứng minh các kết quả chính của đề tài.

- Chương 2 Chúng tôi chứng minh bài toán đặt có nghiệm duy nhất liên tục trên từngđoạn (Định lý 2.0.1) và nghiệm của bài toán là ổn định trong thời gian hữu hạn(Định lý2.0.2).

- Chương 3 Chúng tôi cung cấp hai ví dụ để minh hoạ cho các kết quả chính của đềtài.

Kết quả đạt được của đề tài này là bài báo đăng trên tạp chí Mathematical Methods inthe Applied Sciences, số 9, Vol 45, thuộc danh sách SCI-E, Q1, IF 2.9

Chương 1

Cơ sở toán học1.1.Không gian trọng số

1) I = [a, b] là khoảng đóng hữu hạn trênR+ với (0 < a < b < ∞).

2) C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b] với chuẩn của f ∈ C[a, b] được xácđịnh bởi:

∥ f ∥C[a,b] = max

t∈[a,b]| f (t)|.

3) Cn[a, b] là không gian các hàm liên tục và khả vi n lần trên [a, b].

4) ACn[a, b] là không gian các hàm liên tục tuyệt đối và khả vi n lần trên [a, b] được địnhnghĩa như sau:

ACn[a, b] =nf : [a, b] →R; f(n−1)∈ AC([a, b])o.

1.2.Tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville

Định nghĩa 1.2.1 Tích phân phân thứ Riemann-Liouville với bậc α > 1, lần lượt bên

trái và bên phải, được định nghĩa như sau:RLIα

a+f(x) := 1Γ(α )

(x − t)1−αdt, x > avà

Ib−α f(x) := 1Γ(α )

(t − x)1−αdt, x < b.

Định nghĩa 1.2.2 Cho (a, b) ⊂Rand f (x) ∈ ACn(a, b) và n − 1 < α < n, n ∈N0 Đạohàm phân thứ Riemann-Liouville với bậc α > 1, lần lượt bên trái và bên phải, được địnhnghĩa như sau:

a+f(x) = ddx

Γ(n − α ) d

dxnZ x

(x − t)n−α−1f(t)dt,

Dαb−f(x) = (−1)n ddx

= (−1)nΓ(n − α )

 ddx

nZ bx

(t − x)n−α−1f(t)dt.

1.3.Đạo hàm phân thứ ζ − Caputo

Định nghĩa 1.3.1 Cho α > 0 Cho ζ : (a, b] →R+ là hàm đơn điệu tăng trên (a, b], vàcó đạo hàm liên tục ζ′(x) trên (a, b) Tích phân phân thứ (bên trái và bên phải) của hàm

f theo ζ trên I được định nghĩa như sau:Ia+α ;ζ f(x) = 1

Γ(α )

ζ′(t)(ζ (x) − ζ (t))α −1f(t)dt

Ib−α ;ζ f(x) = 1Γ(α )

ζ′(t)(ζ (t) − ζ (x))α −1f(t)dt.

Chú ý 1.3.1 Mối liên hệ giữa tích phân phân thứ của hàm f theo ζ với một số tích phân

phân thứ Riemann-Liouville, Riemann, Liouville, Hadamard, Katugampola 1) Nếu ta lấy ζ (x) = x trong Định nghĩa1.3.1, thì ta có

Ia+α ;xf(x) = 1Γ(α )

(x − t)α −1f(t)dt =RLIαa+f(x),

trở thành tích phân phân thứ Riemann-Liouville.

2) Nếu ta lấy ζ (x) = x và a = −∞ trong Định nghĩa1.3.1, thì ta cóIa+α ;xf(x) = 1

Γ(α )

(x − t)α −1f(t)dt =LIα+f(x),

tích phân phân thứ Liouville.

3) Nếu ta lấy ζ (x) = x và a = 0 trong Định nghĩa1.3.1, thì ta cóIa+α ;xf(x) = 1

Γ(α )

(x − t)α −1f(t)dt =RI+αf(x),

trở thành tích phân phân thứ Riemann.

4) Nếu ta lấy ζ (x) = ln x trong Định nghĩa1.3.1, thì ta cóIa+α ;ln xf(x) = 1

Γ(α )

tα −1

a+f(x),trở thành tích phân phân thứ Hadamard.

5) Nếu ta lấy ζ (x) = xρ trong Định nghĩa1.3.1, thì ta có1

ραIa+α ;xρ f(x) = ρ1−αΓ(α )

tρ −1(xρ− tρ)α −1f(t)dt

=ρIαa+f(x)trở thành tích phân phân thứ Katugampola

Bổ đề 1.3.1 Cho α > 0 và β > 0 Thì ta có tính chất sau:

Ia+α ;ζIa+β ;ζf(x) = Ia+α +β ;ζ f(x)và

Γ(n − α )

nZ xa

ζ′(t)(ζ (x) − ζ (t))n−α−1f(t)dt

Dα ;ζb− f(x) =

− 1ζ′(x)

Γ(n − α )

− 1ζ′(x)

nZ bx

ζ′(t)(ζ (t) − ζ (x))n−α−1f(t)dt,

trong đó n = [α] + 1.

Định nghĩa 1.3.3 Cho α > 0, n ∈N và f , ζ ∈ Cn([a, b],R) là hai hàm số sao cho ζ làhàm đơn điệu tăng ζ′(x) ̸= 0, với mọi x ∈ I Đạo hàm phân thứ ζ -Caputo bên trái của fvới bậc α được cho bởi

Dα ;ζa+ f(x) = Ia+n−α;ζ

và đạo hàm phân thứ ζ -Caputo bên phải của f với bậc α được cho bởiC

Dα ;ζb− f(x) = Ib−n−α;ζ

− 1ζ′(x)

nf(x)trong đó n = [α] + 1 với α /∈Nvà n = α và α ∈N.

f(x) −n−1

k!(ζ (x) − ζ (a))kf[k]ζ (a)

CDα ;ζb− f(x) =RLDα ;ζb− f(x)"

f(x) −n−1

k!(ζ (b) − ζ (x))kf[k]ζ (b)

1.4.Một vài bổ đề cần thiết

Định lý 1.4.1 Cho u, v là hai hàm khả tích và g là hàm số liên tục trên [a, b] Cho

ζ ∈ C1[a, b] là hàm đơn điệu tăng và ζ′(t) ̸= 0, ∀t ∈ [a, b] Giả sử rằng

i) u và v là hai hàm không âm;

ii) g là hàm không và không giảm

u(t) ⩽ v(t) + g(t)

ζ′(τ)(ζ (t) − ζ (τ))α −1u(τ)dτ,

u(t) ⩽ v(t) +

[g(t)Γ(α)]kΓ(α k) ζ

′(τ)[ζ (t) − ζ (τ)]α k−1v(τ)dτ, ∀t ∈ [a, b].

Hệ quả 1.4.1 Cho α > 0 và f , ζ ∈ C1([a, b],R) là hai hàm số sao cho ζ là hàm đơnđiệu tăng ζ′(t) ̸= 0 với mọi t ∈ I Giả sử b ⩾ 0 và v là hai hàm không âm và khả tích địaphương trên [a, b], và u là hai hàm không âm và khả tích địa phương trên [a, b] với

u(t) ⩽ v(t) + b

Zta

1.5.Phương trình vi phân có trễ bậc phân thứ ζ −Caputo

Trong mục này, chúng tôi tiếp tục giới thiệu một kết quả quan trọng được sử dụngtrong quá trình chứng minh của định lý trong chương 2 Bây giờ, ta xét bài toán sau:

CDα ;ζ0+ u(t) = p(t, u(t)), t ∈ (sk,tk+1] , k∈ M0 := M ∪ {0}u(t) = qk t, u tk+

, t ∈ (tk, sk] , k∈ M,

u(0) = u0 ∈R,

trong đó M := {1, 2, , m}, α ∈ (0, 1], and 0 = t0= s0< t1≤ s1≤ t2< < tm≤ sm<tm+1= T là các số thực cố định, p : [0, T ] ×R→Rlà hàm liên tục, qk: [tk, sk] ×R→R

là hàm liên tục xung không tức thời ∀k ∈ {1, 2, , m}.

Bổ đề 1.5.1 Cho α ∈ (0, 1] Giả sử rằng h : [0, T ] →Rlà hàm liên tục và qk : [tk, sk] ×

R→Rlà hàm liên tục ∀k ∈ M Khi đó, hàm u ∈ PC([0, T ],R) là nghiệm của bài toánsau:

u(t) = (ζ (t) − ζ (0))α −1

Γ(α ) u0+ 1Γ(α )

ζ′(s) ζ (t) − ζ (s)
α −1h(s)ds, t ∈ (0,t1] ,u(t) = qk t, u tk+

, t ∈ (tk, sk] , k∈ M,

u(t) =

ζ (t) − ζ (0)ζ (sk) − ζ (0)

α −1

qk sk, u tk+

− 1Γ(α )

ζ′(sk) ζ (sk) − ζ (s)
α −1h(s)ds

+ 1Γ(α )

ζ′(s) ζ (t) − ζ (s)
α −1h(s)ds, t ∈ (sk,tk+1] , k∈ M,

(1.2)nếu và chỉ nếu u thoả mãn bài toán xung không tức thời sau:

CDα ;ζa+u(t) = h(t), t ∈ (sk,tk+1] , k∈ M0u(t) = qk t, u tk+

, t ∈ (tk, sk] , k∈ M,u(0) = u0 ∈R.

Chứng minh. Chứng minh Bổ đề 1.5.1tương tự như chứng minh Bổ đề 1 trong Hoa vàO’Regan [7].

1.6.Ổn định trong thời gian hữu hạn

Nghiên cứu tính ổn định của hệ động lực là chủ đề quan trọng trong nghiên cứu lýthuyết định tính của hệ động lực, nhằm đảm bảo sự hoạt động hiệu quả của hệ độnglực Nó được nghiên cứu đầu tiên bởi nhà toán học Nga A M Lyapunov trong nhữngnăm cuối thế kỷ thứ XIX Sau đó, tính ổn định được nghiên cứu và phát triển như mộtlý thuyết toán học độc lập và là nền móng cho việc phân tích các hệ động lực trong Kỹthuật, Kinh tế, Sinh học,

Xét một hệ động lực được mô tả bởi hệ phương trình vi phân sau:˙

x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, x(0) = x0, (1.3)

Định nghĩa 1.6.2 Cho trước thời điểm ban đầu t0, số dương T , X0 là tập ban đầu và Xtlà tập biến thiên theo thời gian, hệ (1.3) được gọi là FTS theo (t0, T, X0, Xt) nếu

x0∈ X0=⇒ x(t) ∈ Xt,t ∈ [t0,t0+ T ] ,

Điểm chính của định nghĩa trên là: Hệ (1.3) được gọi là ổn định nếu với mỗi giá trị cốđịnh của ε, hệ có thể xây dựng một quả cầu trong bán kính δ sao cho khi ta nhiễu điềukiện ban đầu ở bên trong quả cầu này, quỹ đạo của hệ bắt đầu từ x0không chệch ra khỏimột quả cầu bao ở bên ngoài nó bán kính ε và tính chất này được đảm bảo với mọi t nằmgiữa t0 và ∞.

x0 x(t)

Hình 1.1: Ổn định Lyapunov

Chú ý 1.6.1 1) Tính ổn định Lyapunov của hệ mang tính chất định tính, nghĩa là các

quả cầu (bên trong hoặc bên ngoài) đều không xác định về số lượng Do đó, ổn địnhLyapunov được coi là một thuộc tính có cấu trúc: một hệ thống có thể ổn định hoặckhông ổn định.

2) Trở lại Định nghĩa1.6.2, ta thấy rằng hệ (1.3) FTS nếu quỹ đạo của hệ bắt đầu trongtập ban đầu X0 thì quỹ đạo này không vượt qua tập Xt biến thiên theo thời gian Từđây ta nói FTS và ổn định Lynapunov là tương đối giống nhau, điểm khác nhau biệtlà đối với FTS thì hệ chỉ ổn định trên môt khoảng thời gian hữu hạn.

3) Một điểm đáng lưu ý của FTS là một khái niệm mang tính chất định lượng, nó sẽ chỉđúng cho các trường hợp cụ thể hoặc tổng quát Bởi vậy, cùng một hệ, nhưng hệ nàysẽ ổn định trên tập X0, Xt và T được chọn trước và có thể không ổn định nếu chọn cáctập khác và tham số khác.

Chương 2

Tính ổn định trong thời gian hữu hạn chophương trình vi phân bậc phân thứ có trễdưới đạo hàm Caputo tổng quát với xungkhông tức thời

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS)cho phương trình vi phân bậc phân thứ có trễ dưới đạo hàm Caputo tổng quát với xungkhông tức thời Nội dung của chương này được trình bày dựa trên bài báo [1].

Chúng tôi xét phương trình vi phân bậc phân thứ như sau:

CDα ;ψa+ u(t) = Au(t) + Bu(t − τ(t)) + Dv(t) + f (t, u(t), u(t − τ(t)), v(t)),

t ∈ (sk,tk+1] , k ∈ M0 := M ∪ {0},u(t) = qk t, u tk−

, t ∈ (tk, sk] , k ∈ M,

(2.1)trong đó

• α ∈ (0, 1), M := {1, 2, , m} và 0 = t0= s0< t1≤ s1≤ t2< < tm≤ sm≤ tm+1=T là các thời điểm cố định;

• τ(t) là hàm số liên tục và thoả mãn 0 ≤ τ(t) ≤ τ, với mọi t ∈ (sk,tk+1] , k ∈ M0;• v(t) ∈Rd

là véc tơ nhiễu;

• f : (sk,tk+1] ×Rn×Rn×Rd →Rn là hàm số liên tục và thoả mãn f (t, 0, 0, 0) = 0;• qk : (tk, sk] ×Rn → Rn là các hàm số liên tục xung không tức thời và thoả mãn

qk(t, 0) = 0;

• A, B ∈Rn×n, D ∈Rn×d là các ma trận hằng;• ϕ : [−τ, 0] →Rn là hàm liên tục.

F (t) = Au(t) + Bu(t − τ(t)) + Dv(t) + f (t,u(t),u(t − τ(t)),v(t)).

Khi đó, bài toán (2.1) được viết thành

CDα ;ζa+ u(t) =F (t), t ∈ (sk,tk+1] , k ∈ M0:= M ∪ {0},u(t) = qk t, u tk−

, t ∈ (tk, sk] , k ∈ M,

u(t) = ϕ(0) + 1Γ(α )

Zt0 Kζ

α −1(t − s)F (s)ds, t ∈ (0,t1] ,

u(t) = qk t, u tk−

, t ∈ (tk, sk] , k ∈ M,u(t) = qk sk, u tk−

− 1

Γ(α )

Zsk0 K ζ

α −1(sk− s)F (s)ds+ 1

Γ(α )

Zt0 K ζ

α −1(t − s)F (s)ds, t ∈ (sk,tk+1] , k ∈ M,(2.3)trong đó

1Γ(1 − α )

Zt2t1 K ζ

−α(t2− s) ds ≥ 1Γ(1 − α )

Zt1a hK ζ

−α(t1− s) −K ζ

−α(t2− s)ids.Vì w là hàm tăng trên [a, b], ta được

1Γ(1 − α )

Zt2t1 K ζ

−α(t2− s) w(s)ds ≥ 1Γ(1 − α )

Zt1a hK ζ

−α(t1− s) −K ζ

−α(t2− s)iw(s)ds.Từ đánh giá trên, ta suy ra

W1−α(t2) −W1−α(t1)

Γ(1 − α )

Zt2a K ζ

−α(t2− s) w(s)ds − 1Γ(1 − α )

Zt1a K ζ

−α(t1− s) w(s)ds

Γ(1 − α )

Zt2t1 K ζ

−α(t2− s) w(s)ds − 1Γ(1 − α )

Zt1a hK ζ

−α(t1− s) −K ζ

−α(t2− s)iw(s)ds≥ 0.

Điều này có nghĩa làW1−α(t) là hàm tăng trên [a, b] Trong trường hợp Wα(t) ta chứngminh tương tự với β = 1 − α.

Bổ đề 2.0.2 Cho α ∈ (0, 1), ζ ∈K ,G,C1,C2 là các hằng số dương, và F : [a, b] →R+là hàm khả tích Nếu

F(t) ≤ G + C1Γ(α )

Zta K ζ

α −1(t − ξ )F(ξ )dξ + C2Γ(α )

Zsa K ζ

α −1(s − ξ )F(ξ )dξ , (2.4)trong đó s ∈ [a,t] là hằng số cho trước, thì

Γ(α )

Zta K ζ

α −1(t − ξ )F(ξ )dξ + C2Γ(α )

Zsa K ζ

α −1(s − ξ )F(ξ )dξ (2.7)

Lấy đạo hàmCDα ;ζa+ (·) hai vế phương trình (2.7) theo biến t, ta đượcC

Dα ;ζa+ H(t) ≤ C1F(t) ≤ C1H(t).Do đó, có một hàm không âm H∗(t), với mọi t ∈ [a, b], thoả mãn

CDα ;ζa+ H(t) = C1H(t) − H∗(t) (2.8)

Lấy tích phân Iaα ;ζ+ (·) hai về phương trình (2.8), ta được

H(t) = H(a) + 1Γ(α )

Zta K ζ

α −1(t − ξ ) [C1H(ξ ) − H∗(ξ )] dξ (2.9)Để tìm nghiệm chính xác của (2.9), ta sử dụng phương pháp xấp xỉ bằng cách đặt H0(t) =H(a) và

Hn(t) = H0(t) + 1Γ(α )

Zta K ζ

α −1(t − ξ ) [C1Hn−1(ξ ) − H∗(ξ )] dξ (2.10)Khi đó, nghiệm chính xác của bài toán (2.10) có dạng như sau:

H(t) = H(a)Eα ,1C1(ζ (t) − ζ (a))α

Zta K ζ

α −1(t − ξ )Eα ,α(C1(ζ (t) − ζ (ξ ))α) H∗(ξ )dξ Vì (ζ (t) − ζ (ξ ))α −1, Eα ,α(C1(ζ (t) − ζ (ξ ))α) và H∗(ξ ) là các hàm không âm, nên tacó

H(t) ≤ H(a)Eα ,1(C1(ζ (t) − ζ (a))α) (2.11)

Từ (2.4), (2.7) và (2.11), ta có đánh giá sau:

F(t) ≤ H(a)Eα ,1(C1(ζ (t) − ζ (a))α) (2.12)

trong đó H(a) được định nghĩa như sau Từ (2.7), ta cóH(a) = G + C2

Γ(α )

Zsa K ζ

α −1(t − ξ )F(ξ )dξ Kết hợp với (2.12), ta suy ra

H(a) ≤ G + H(a) C2Γ(α )

Zsa Kζ

α −1(t − ξ )Eα ,1(C1(ζ (ξ ) − ζ (a))α) dξ

≤ G +C2H(a)(ζ (s) − ζ (a))αEα ,α +1(C1(ζ (s) − ζ (a))α) (2.13)

Từ (2.13) và điều kiện 0 ≤L := C2(ζ (s) − ζ (a))αEα ,α +1(C1(ζ (s) − ζ (a))α) < 1, tacó đánh giá

H(a) ≤ G1 −L.Khi đó, từ (2.12) ta suy ra

F(t) ≤ GEα ,1(C1(ζ (t) − ζ (a))α)

Hơn nữa, nếu s = a, thì L = 0 và ta sẽ có đánh giá (2.6).

Ký hiệu PC ([0, T ],Rn) là không gian các hàm u : [0, T ] →Rnsao cho u ∈ C ((tk,tk+1] ,Rn),và tồn tại u tk−
, u t+

k
, trong đó k ∈ M, với u t−

k
= u (tk).

Trong không gian PC ([0, T ],Rn), ta định nghĩa ∥u∥PC= sup{∥u(t)∥ : t ∈ [0, T ]}.

Định nghĩa 2.0.1 Cho δ , ε là các số thực không âm Bài toán (2.1) thoả mãn điều kiệnđầu u(t) = ϕ(t), ∀t ∈ [−τ, 0], được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS) đốivới bộ {0, [0, T ], δ , ε, τ}, trong đó δ < ε, nếu và chỉ nếu supt∈[−τ,0]∥ϕ(t)∥ ≤ δ suy ra∥u(t)∥PC≤ ε.

Để xét tính ổn định trong thời gian hữu hạn của nghiệm của bài toán (2.1), ta giả sửrằng các giả thiết bên dưới thoả mãn.

(A1) Tồn tại một hằng số η > 0 sao cho nhiễu v(t) trong bài toán (2.1) thoả mãn điềukiện: ∥v(t)∥ ≤ η, ∀t ∈ (sk,tk+1].

(A2) Có các hằng số L > 0, Qk > 0 sao cho ∀t ∈ (sk,tk+1], và ∀ (z1, z2, z3) , (w1, w2, w3) ∈

Định lý 2.0.1 Giả sử rằng giả thiết (A2) thoả Thì bài toán (2.1) nó nghiệm duy nhất,liên tục từng đoạn.

Chứng minh. Cho u(t) và ¯u(t) là hai nghiệm bất kỳ của bài toán (2.1) trên [0, T ] vớinhiễu v(t) Đặt

Zt0 K ζ

α −1(t − s)[(a + L)w(s) + (b + L)w(s − τ(s))]ds (2.14)Cho w∗(t) = supξ ∈[−τ ,t]w(ξ ), ∀t ∈ (0,t1] thì ta thấy rằng w∗(t) là hàm tăng theo t, và tachú ý rằng

w(t − τ(t)) ≤ w∗(t) và w(t) ≤ w∗(t) (2.15)Hơn nữa, ta cũng có w(s − τ(s)) ≤ w∗(s), ∀s ∈ [0,t] Do đó, từ đánh giá (2.14) ta suy ra

w(t) ≤ w(0) + 1Γ(α )

Zt0 Kζ

α −1(t − s)(a + b + 2L)w∗(s)ds (2.16)Từ Bổ đề2.0.1, ta thấy rằng vế phải của đánh giá (2.16) tăng theo biến t và vì vậy

w(ξ ) ≤ w(0) + cΓ(α )

Zt0 Kζ

α −1(t − s)w∗(s)ds (2.17)với mọi ξ ∈ [0,t] Khi đó, ta có

w∗(t) = supξ ∈[−τ ,t]

w(ξ ) ≤ max(

supξ ∈[−τ ,0]

∥w(ξ )∥, supξ ∈[0,t]

∥w(ξ )∥)

≤ w(0) + cΓ(α )

Zt0 K ζ

α −1(t − s)w∗(s)ds (2.18)Áp dụng Hệ quả1.4.2, ta có

w(t) ≤ w∗(t) ≤ w(0)Eα ,1 c(ζ (t1) − ζ (0))α
(2.19)+ Với t ∈ (t1, s1], ta có

w(t) ≤ Q1w t1−
Thì từ (2.19) ta suy ra

w(t) ≤ Q1w(0)Eα ,1 c(ζ (t1) − ζ (0))α
+ Với t ∈ (s1,t2], ta có

w(t) ≤ Q1w t1−
+Z s10

α −1(s1− s)

Γ(α ) [(a + L)w(s) + (b + L)w(s − τ(s))]ds+

K ζ

α −1(t − s)

Γ(α ) [(a + L)w(s) + (b + L)w(s − τ(s))]ds.

Thực hiện tương tương tự trong trong trường hợp t ∈ (0,t1], ta cũng có đánh giá sau:

w∗(t) ≤ Q1w(0)Eα ,1 c(ζ (t1) − ζ (0))α
+ cΓ(α )

Zs10 K ζ

α −1(s1− s) w∗(s)ds

+ cΓ(α )

Zt0 K ζ

α −1(t − s)w∗(s)ds,trong đó t ∈ (s1,t2] và w∗(t) = supξ ∈[−τ ,t]w(ξ ).

Theo Bổ đề2.0.2, ta được

w(t) ≤ w∗(t) ≤ Q1w(0)Eα ,1 c(ζ (t1) − ζ (0))α

× Eα ,1 c(ζ (t2) − ζ (0))α

QiEα ,1 c(ζ (ti) − ζ (0))α

Qk1 − c (ζ (sk−1) − ζ (0))αEα ,α +1 c(ζ (sk−1) − ζ (0))α
 + Với t ∈ (tk, sk] , ∀k ∈ {3, 4, , m}, ta được

w(t) ≤ Qkw tk−
Thì từ đánh giá2.21ta suy ra rằng

w(t) ≤ Qkw(0)Λk.

+ Với t ∈ (sk,tk+1] , ∀k ∈ {3, 4, , m}, ta có

w(t) ≤ Qkw tk−
+ 1Γ(α )

Zsk0 Kζ

α −1(sk− s) [(a + L)w(s) + (b + L)w(s − τ(s))]ds

Γ(α )

Zt0 K ζ

Định lý 2.0.2 Giả sử rằng các giả thiết (A1) và (A2) thoả Thì nghiệm của bài toán (2.1)ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS) đối với bộ {0, [0, T ], δ , ε, τ} nếu thoả mãn các

điều kiện sau: Λk≤ ε, trong đó k = 2, 3, , m,

Λk = Qk−1Λk−1+ 2(d + L)η(ζ (tk) − ζ (0))αΓ(α + 1)

× Eα ,1 c(ζ (tk) − ζ (0))α

1 − c (ζ (sk−1) − ζ (0))αEα ,α +1 c(ζ (sk−1) − ζ (0))α
(2.23)

δ + (d + L)η(ζ (t1) − ζ (0))αΓ(α + 1)

[(a + L)u(s) + (b + L)u(s − τ(s))]ds+ (d + L)η(ζ (t1) − ζ (0))

αΓ(α + 1)

Thực hiện các bước tính toán như trong chứng minh Định lý2.0.1, ta được∥u(t)∥ ≤∥ϕ(0)∥ + (d + L)η(ζ (t1) − ζ (0))

αΓ(α + 1)

× Eα ,1 c(ζ (t1) − ζ (0))α
≤ Λ1 (2.24)+ Với t ∈ (t1, s1], theo giả thiết (A2), ta có

∥u(t)∥ ≤ Q1u t1−
Thì từ đánh giá (2.24) ta suy ra

∥u(t)∥ ≤ Q1Λ1.

+ Với t ∈ (s1,t2], ta có

∥u(t)∥ ≤Q1 u t1− + 1Γ(α )

Zs10 K g

α −1(s1− s) [(a + L)∥u(s)∥ + (b + L)∥u(s − τ(s))∥]ds+ 2(d + L)η(g (t2) − g(0))

αΓ(α + 1)

Γ(α )

Zt0 K g

α −1(t − s)[(a + L)∥u(s) + (b + L)∥u(s − τ(s))∥]ds.

Thực hiện các bước tính toán tương tự như trong chứng minh Định lý2.0.1, ta được đánhgiá sau:

∥u(t)∥ ≤

Q1Λ1+ 2(d + L)η(g (t2) − g(0))αΓ(α + 1)

× Eα ,1 c(g (t2) − g(0))α

1 − c (g (s1) − g(0))αEα ,α +1 c(g (s1) − g(0))α
=: Λ2

Theo phương pháp quy nạp, ta giả sử rằng bất đẳng thức sau đây thoả mãn với t ∈(sk−1,tk] , ∀k ∈ {3, 4, , m} :

∥u(t)∥ ≤ Λk,trong đó

Λk = Qk−1Λk−1+ 2(d + L)η(g (tk) − g(0))αΓ(α )

× Eα ,1 c(g (tk) − g(0))α

1 − c (g (sk−1) − g(0))αEα ,α +1 c(g (sk−1) − g(0))α
+ Với t ∈ (tk, sk] , ∀k ∈ {3, 4, , m}, ta có

∥u(t)∥ ≤ Qk u tk−

Thì từ đánh giá trên, ta được

∥u(t)∥ ≤ QkΛk.+ Với t ∈ (sk,tk+1] , ∀k ∈ {3, 4, , m},

∥u(t)∥ ≤Qk u tk− + 1Γ(α )

Zsk0 K g

α −1(sk− s) [(a + L)∥u(s)∥ + (b + L)∥u(s − τ(s))∥]ds+ 2(d + L)η(g (tk+1) − g(0))

αΓ(α + 1)

Γ(α )

Zt0 K g

α −1(t − s)[(a + L)∥u(s)∥ + (b + L)∥u(s − τ(s))∥]ds.

Theo Bổ đề2.0.2, ta có đánh giá sau:∥u(t)∥ ≤

QkΛk+ 2(d + L)η(g (tk+1) − g(0))αΓ(α + 1)

× Eα ,1 c(g (tk+1) − g(0))α

1 − c (g (sk) − g(0))αEα ,α +1 c(g (sk) − g(0))α
=: Λk+1 (2.25)

Do đó, từ điều kiện Λk ≤ ε, ∀k ∈ M, ta suy ra rằng ∥u(t)∥PC≤ ε, ∀t ∈ [0, T ].

Chương 3

Các ví dụ minh hoạ

Trong chương này, chúng tôi cho hai ví dụ để minh hoạ cho các kết quả chính củađề tài Nghiệm xấp xỉ của các bài toán được tính toán bằng phương pháp số Adams-Bashforth-Moulton.

Ví dụ 3.0.1 Cho α ∈ (0, 1), ζ ∈K sao cho ζ(0) = 0 Ta xét bài toán sau:

!v(t),t ∈ (0, 0.1] ∪ (0.2, 0.3],u(t) = −3 0

0 −3!

u t1−
,t ∈ (0.1, 0.2],

u(t) = ϕ(t) =5 + (ζ (t + 0.1) − ζ (0)), −5 + (ζ (t + 0.1) − ζ (0))T

,t ∈ [−0.1, 0],trong đó u(t) = (u1(t), u2(t))T, v(t) = (ζ (t) − ζ (0))5, τ = 0.1 và 0 = t0= s0< t1= 0.1 <s1= 0.2 < t2= 0.3 là các thời điểm cố định.

Từ bài toán trên, ta dễ thấy rằng a = 0.7, b = 0.7, d = 4.1231, L = 0 và Q1= 3 Ta giảsử rằng

∥ϕ(t)∥ ≤ δ ,trong đó δ > 0 là hằng số cho trước.

Để kiểm tra tính hiệu quả của Định lý2.0.2với tính ổn định trong thời gian hữu hạn(FTS) của nghiệm bài toán trên, ở ví dụ này, ta giả sử rằng α = 0.75 và các giá trị củahàm g ∈K như sau: ζ(t) = t,ζ(t) = log(t + 1),ζ(t) = t2 và ζ (t) = sin(t).

C := c(ζ (S1) − ζ (0))αEα ,α +1 c(ζ (S1) − ζ (0))α
,trong đó c := (a + b + 2L) Thì ta có

+ Nếu ζ (t) = t thì η = 0.0024 và thoả mãn điều kiện sau:0 <C = (a + b)0.20.75E0.75,1.75

+ Nếu ζ (t) = t2thì η = 5.9049 × 10−6 và thoả mãn điều kiện sau:

0 <C = (a + b)0.040.75E0.75,1.75

Hình 3.1: Quỹ đạo của nghiệm của bài toán (3.0.1) với ζ (t) = t Đường màu xanh và màu tím nhạt biểu diễn lầnlượt u1(t) và u2(t).

Dựa vào điều kiện (2.23) của Định lý2.0.2, nghiệm của bài toán trên là FTS đối với0, [0, 0.3], δ , ε, 0.05 nếu

Λ2 = 3Λ1+ 2(d + L)η[ζ (0.3)]0.75Γ(1.75)

E0.75,1 1.4[ζ (0.3)]0.75
1 −C < ε,trong đó

Λ1 =

δ + (d + L)η[ζ (0.1)]0.75Γ(1.75)

Bảng 3.1: Chặn của nghiệm của (3.0.1) dựa vào Định lý2.0.2với δ = 6.