NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAMTRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCMBÁO CÁO ĐỀ TÀINGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH THỜI GIAN HỮU HẠNCHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN THỨĐỀ TÀI KHOA HỌCCấp cơ sởChủ nhiệm đề
Cơ sở toán học
Không gian trọng số
1) I = [a,b]là khoảng đóng hữu hạn trênR + với(00,n∈ N Đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville của hàm f theo ζ với bậcα được định nghĩa như sau:
− 1 ζ ′ (x) d dx n Z b x ζ ′ (t)(ζ(t)−ζ(x)) n−α−1 f(t)dt, trong đón= [α] +1. Định nghĩa 1.3.3 Cho α >0,n∈ N và f,ζ ∈C n ([a,b], R )là hai hàm số sao choζ là hàm đơn điệu tăngζ ′ (x)̸=0, với mọix∈I Đạo hàm phân thứζ-Caputo bên trái của f với bậcα được cho bởi
1 ζ ′ (x) d dx n f(x) và đạo hàm phân thứζ-Caputo bên phải của f với bậcα được cho bởi
− 1 ζ ′ (x) d dx n f(x) trong đón= [α] +1vớiα ∈/ N vàn=α vàα ∈ N
RLD α;ζ b− g(x) = Γ(δ) Γ(δ−α)(ζ(b)−ζ(x)) α+δ −1 Định lý 1.3.1 Nếu f ∈C n [a,b]vàα >0, thì
Một vài bổ đề cần thiết
Định lý 1.4.1 Cho u,v là hai hàm khả tích và g là hàm số liên tục trên [a,b] Cho ζ ∈C 1 [a,b]là hàm đơn điệu tăng vàζ ′ (t)̸=0,∀t ∈[a,b] Giả sử rằng i) uvàvlà hai hàm không âm; ii) glà hàm không và không giảm
Hệ quả 1.4.1 Cho α >0 và f,ζ ∈C 1 ([a,b], R ) là hai hàm số sao cho ζ là hàm đơn điệu tăngζ ′ (t)̸=0với mọit ∈I Giả sửb⩾0vàvlà hai hàm không âm và khả tích địa phương trên[a,b], vàulà hai hàm không âm và khả tích địa phương trên[a,b] với u(t)⩽v(t) +b
Hệ quả 1.4.2 Dưới các giả thuyết của Định lý 1.4.1 Cho v là hàm không giảm trên [a,b] Khi đó, ta có u(t)⩽v(t)Eα(g(t)Γ(α)[ζ(t)−ζ(a)] α ),∀t ∈[a,b], trong đúE α (ã)là hàm Mittag-Leffler được định nghĩa như sau:E α (t) =∑ ∞ k=0 t k Γ(αk+1) vớiRe(α)>0.
Phương trình vi phân có trễ bậc phân thứ ζ −Caputo
Trong mục này, chúng tôi tiếp tục giới thiệu một kết quả quan trọng được sử dụng trong quá trình chứng minh của định lý trong chương 2 Bây giờ, ta xét bài toán sau:
(1.1) trong đóM:={1,2, ,m},α∈(0,1], and0=t 0 =s 0
