Tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho hệ vi phân chứa trễ

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN 978 604 82 2548 3 151 TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO HỆ VI PHÂN CHỨA TRỄ Nguyễn Văn Đắc1, Nguyễn Như Quân2 1 Trường Đại học Thủy lợi,[.]

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO HỆ VI PHÂN CHỨA TRỄ Nguyễn Văn Đắc , Nguyễn Như Quân2 Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn Trường Đại học Điện lực, email: quan2n@epu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Trong báo này, xét hệ sau:  u (t)  Au(t)  F(t,u t ), t  [0,T]  t  [  h, 0]  u(t)  (t), (1.1) (1.2) Phần lại báo xếp sau: Trước hết nhắc lại số kiến thức chuẩn bị, nêu kết tồn nghiệm Tiếp theo, chúng tơi đưa điều kiện đủ cho tính hút nghiệm tầm thường cho hệ (1.1)-(1.2) Cuối Ví dụ minh họa cho kết lí thuyết với u lấy giá trị không gian Banach X , A tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh {S(t): t  0}, u t hàm trễ hàm u PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU F(t, u t )  co{f1 (t, u t ); f (t,u t ); ; f n (t,u t )} với hàm đơn trị fi (t,u t ), i  1, ,n xác định [0,T]  C([-h, 0]; X) tăng trưởng tuyến tính Hàm  cho trước, kiện đầu Sự tồn nghiệm [1], mục đích chúng tơi nghiên cứu tính hút nghiệm khoảng thời gian hữu hạn Tính ổn định nghiệm khoảng thời gian hữu hạn nghiên cứu rộng rãi hai thập kỉ gần đây, khái niệm tính ổn định nghiệm đoạn compact khái niệm tính hút nêu có nhiều ý nghĩa lí thuyết điều khiển (xem [3]) Định nghĩa Giả sử  : [0,T]  X nghiệm hệ (1.1)-(1.2) Nghiệm  gọi hút [0,T] tồn số  > cho: ‖u T  T ‖Ch ‖  ‖Ch Sử dụng phương pháp nửa nhóm, phương pháp ước lượng tiên nghiệm KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 Kiến thức chuẩn bị Cho E không gian Banach Các không gian hàm: C([0; T];E ), L1 (0, T; E) không gian hàm liên tục khả tích Bochner Ngồi ra, chúng tơi cần khái niệm sau nửa nhóm (xem [2]) Định nghĩa Cho {S(t)}t 0 C0 -nửa nhóm E Nó gọi là: i) ổn định mũ tồn số không âm M, cho:‖S(t)‖ Me t ,  t  0; ii) compact S(t) toán tử compact với t  ; iii) liên tục theo chuẩn t a S(t) liên tục L (E) với t  Để thu tồn nghiệm tích phân, đặt với   B () ‚ {}  Ch u  S( ) J  [0, T], Ch  C([ h, 0];X), Trong định nghĩa trên, || x || C hiểu h C  {v  C(J; X) : v(0)  (0)},  Ch Với v  C , hàm v[]  C([  h,T];X) xác chuẩn phần tử C([0; T];E ) ; S( ) tập nghiệm hệ (1.1) - (1.2) với điều kiện định sau v[](t )   v(t) if t  [0,T],  đầu   (t ) if t  [ h,0] 151 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 Ta giả thiết: (A) Nửa nhóm S() sinh A liên tục theo chuẩn và‖S(t)x‖ M‖x‖, x  X (F) Các ánh xạ fi : J  Ch  X, i  1, n, thỏa mãn: (1) fi (, x) đo mạnh với x  Ch fi (t, ) liên tục với hầu khắp t  J ; Chứng minh Theo Định lí 1,  Ch , tồn nghiệm u hệ (1.1)-(1.2) Mục tiêu chứng minh‖u T‖Ch ‖‖ Ch Thật vậy, ta có || u T ||  sup ‖u(T  )‖ [ h ,0] Từ T  h , ta thấy T    Nên, từ công (2) Tồn hàm m  L1 (J; ¡  ) hàm thực thức nghiệm hệ ta thu được: liên tục không giam  cho T  u(T  )  S(T  )(0)   ‖fi (t, x)‖ m(t) (‖x‖Ch ), x  Ch ; S(T    s)f (s)ds Do đó, (3) Nếu nửa nhóm S() khơng có tính (T ) ‖(0)‖ compact tồn hàm k  L1 (J; ¡  ) cho ‖u(T  )‖ N e T  (T  s) (fi (t, B))  k(t) sup  (B()) , với tập bị  N e m(s)‖u s‖Ch ds  [ h,0] chặn B  Ch  Ne Tiếp theo định nghĩa nghiệm (xem [1]) Định nghĩa Hàm liên tục u : [ h,T]  X gọi nghiệm tích phân (1.1) - (1.2) u(t)  (t) với t  [ h,0] tồn f  PF (u |[0,T] ) cho: (T h) ‖(0)‖ T  N  e (T h s) m(s)‖us ‖Ch ds Từ đó, ta T e ‖u T‖Ch  N eh‖(0)‖ T  N eh  es m(s)‖u s‖Ch ds t u(t)  S(t) (0)   S(t  s)f (s)ds , t  [0,T] 0 Sử dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích Định lí (xem [1]) Giả sử (A) (F) thỏa mãn, hệ (1.1)-(1.2) có nghiệm tích phân phân, ta có T eT‖u T‖Ch  N eh ‖(0)‖exp( N eh  m(s)ds) có R  cho R  M ‖(0)‖‖m‖‖ ( ‖Ch  R ) Bất đẳng thức cuối suy ‖u T‖Ch  e (T  h) N ‖(0)‖exp( N eh ‖m‖) 3.2 Tính hút [0; T] nghiệm tầm thường h‖m‖  N ‖(0)‖e T h  N e Kết hợp giả thiết ‖(0)‖‖‖Ch ta Nhằm thu tính hút nghiệm tầm thường [0, T], ta cần giả thiết sau điều phải chứng minh (A*) Nửa nhóm S(t),t  liên tục theo 3.3 Ví dụ chuẩn ổn định mũ, tức là: Cho   ¡ n miền bị chặn với biên ‖S(t)‖ N et ,  t  0, trơn  Chúng ta xét tốn sau đây: N  1,  u (F*) Các hàm phi tuyến fi thỏa mãn (t, x)  u(t, x)  u(t, x)  f (t, x), t (F) (1)- (F) (3) với  ‖ ( x‖ Ch ) ‖x‖Ch x  , t  [0,T], Chú ý: Từ (F*) , ta thấy F(t,0)  Tức f (t, x)  co {f%i (t, u(t  h, x)) : i  1, 2, , m} hệ có nghiệm tầm thường u(t, x)  0, x  , t  0, Định lí Giả sử (A*) (F*) thỏa mãn, u(s, x)  (x, s), x  , s  [ h,0], nghiệm tầm thường (1.1) - (1.2) Trong 0 hút [0,T] nếu: % fi : J  ¡  ¡ ,i  1, 2, , m , hàm liên tục, ln N   h  N eh | | m ||  T 152 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 Do F có giá trị compact nên bao hàm thức m %  %% % co f1,f 2, ,fm  i fi : i  0, 1 2  m 1 vừa thu đảm bảo F(t, ) nửa liên i 1  tục Như vậy, (F)(1) kiểm tra Đặt X  C0 ( )  {v  C( ) : v   0}, với Tiếp theo, lấy z  F(t,v) , từ (P)   chuẩn sup:‖v‖ sup | v(x) | Kí hiệu A1   cơng thức xác định F ta có x m | z(x) |   i | f%i (t, v(h, x)) |  m(t) | v( h,x) | với: D(A1 )  {v  C0 ()  H10 () : v  C0 ( )} , i 1 Ch  C([  h,0];C0 ( )) Khi đó, A1 tốn tử sinh nửa nhóm co, compact X Đặt A  A1   I , A sinh nửa nhóm compact S(t) , từ (F)(3) thỏa mãn Hơn S(t)  etA ổn định mũ, ‖S(t)‖ e t , t  Vì vậy, ta có giả thiết (A*) với    N  Về hàm phi tuyến % fi , ta giả thiết (P) Mỗi hàm % fi , i  1, m , thỏa mãn fi (, z) hàm đo với z  ¡ ; (1) % % fi (t, ) hàm liên tục với t  J ; (2) | f%i (t,z) | m(t) | z | với (t,z)  J  ¡ , m  L1 (J, ¡  ); Cho fˆi : J  Ch  X hàm xác định fˆi (t, v)(x)  % fi (t, v( h, x)) Đặt F(t, v)  co{fˆi (t, v) : i  1, 2, ,m} Khi F : J  Ch  P (X) hàm đa trị với giá trị lồi, đóng Mặt khác, với (t, v) cố định, F(t, v) tập bị chặn không gian hữu hạn chiều span{fˆ , fˆ , , fˆ }  X , m F có giá trị compact Tiếp theo, chúng tơi F(t, ) nửa liên tục Thật vậy, lấy {vn }  Ch hội tụ đến v Khi đó, theo fi , ta tính liên tục hàm % fˆi (t, v n )  fˆi (t, v) X Với ò  , tồn N  ¥ cho ˆf (t,v )  fˆ (t, v)  òB [0,1], n  N;i  1,2, ,m i n i X Suy F(t, v n )  F(t, v)  ịBX [0,1], n  N Khi đó‖z‖ m(t)‖v( h, )‖ m(t )‖v‖ Ch Nghĩa là: ‖F(t, v)‖ m(t)‖v( h, )‖ m(t)‖v‖ Ch Suy (F)(2) thỏa mãn với  (z)  z Điều dẫn đến F(t,0)  Như (F*) thỏa mãn Ngoài ra, điều kiện bất đẳng thức Định lí thỏa mãn chọn || m || đủ nhỏ Theo Định lí 2, nghiệm tầm thường toán hút mũ [0, T] với T  h KẾT LUẬN Sử dụng phương pháp ước lượng tiên nghiệm, tính hút mũ hệ (1.1)-(1.2) với số giả thiết chấp nhận TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N.V Dac (2017), Sự tồn nghiệm bao hàm thức vi phân với phần phi tuyến tăng trưởng tuyến tính, Tuyển tập hội nghị khoa học thường niên Đại học Thủy lợi 105-107 [2] M Kamenskii, V Obukhovs kii and P Zecca (2001), Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach spaces, Walter de Gruyter, Berlin [3] T.D Ke and T.V Tuan (2018), Finite-Time Attractivity for Semilinear Fractional Differential Equations Results Mathematics 153 ... tích Định lí (xem [1]) Giả sử (A) (F) thỏa mãn, hệ (1.1)-(1.2) có nghiệm tích phân phân, ta có T eT‖u T‖Ch  N eh ‖(0)‖exp( N eh  m(s)ds) có R  cho R  M ‖(0)‖‖m‖‖ ( ‖Ch  R ) Bất đẳng... e (T  h) N ‖(0)‖exp( N eh ‖m‖) 3.2 Tính hút [0; T] nghiệm tầm thường h‖m‖  N ‖(0)‖e T h  N e Kết hợp giả thiết ‖(0)‖‖‖Ch ta Nhằm thu tính hút nghiệm tầm thường [0, T], ta cần giả... bị chặn không gian hữu hạn chiều span{fˆ , fˆ , , fˆ }  X , m F có giá trị compact Tiếp theo, F(t, ) nửa liên tục Thật vậy, lấy {vn }  Ch hội tụ đến v Khi đó, theo fi , ta tính liên tục hàm