Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Học viên: NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - Cao học K23 Cán hướng dẫn: PGS.TS PHAN NHẬT TĨNH “Thừa Thiên Huế, năm 2017 ĐIỀU KIEN TOI UU CAP CUA BÀI TOÁN TOI UU DA MỤC TIÊU LOI CAM ON Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Phan Nhật Tĩnh Thầy giao đề tài, hướng dẫn em suốt q trình hồn thực luận văn Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn đến thầy khoa Tốn, Trường, Dai Học Sư Phạm Huế dạy học giúp đỡ em thời gian qua Thừa Thiên Huế, tháng 12 năm 2017 Học viên Nguyễn Ngọc Uyển Nhi Nguyễn Ngọc Uyén Nhi-Luan vin Thac sj 2017 ĐIỀU KIEN TOI UU CAP CUA BÀI TOÁN TOI UU DA MỤC TIÊU LOI MG DAU Lý thuyết điều kiện tối ưu tối ưu đơn mục tiêu đa tiêu trơn không trơn phát triển mạnh mẽ với nhiều kết đẹp đẽ phong phú Lý thuyết điều kiện cấp toán tối ưu đa mục tiêu phận quan trọng lý thuyết tối ưu Trong năm qua, có quan tâm ngày nhiều điều kiện cấp tốn tối ưu bên cạnh vai trị kiểm tra tính tối ưu, đặc biệt khơng có giả thiết lồi (từ điều kiệ cần ta có tập điểm dừng mà bao hàm nghiệm toán tối ưu, điều kiện đủ tối ưu cấp cho phép ta tìm nghiệm tốn đó), điều kiện cấp hai cơsở cho việc thiết kế thuật toán tối tu đồng thời trợ giúp cho việc nghiên cứu tính nhạy cảm nghiệm tối ưu tốn có nhiễu Vì lí trên, chọn đề tài cho luận văn cao học “ Điều kiện tối ưu cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu” Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Các khái niệm lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Chương 2: Diều kiện cần tối ưu cấp hai tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn với ràng buộc tập hợp Chương 3: Điều kiện đủ tối ưu cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu không trơn với ràng buộc tập hợp trường hợp không ràng buộc tập hợp Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận uăn Thạc sỹ 2017 Mục lục Các khái niệm lý thuyết tối wu đa mục tiêu §1 Quan hệ thứ tự phần " §2 _ Nghiệm cực tiểu, nghiệm cực tiểu yếu, nghiệm cực tiểu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu 2_ Điều kiện cần tối ưu cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu §1 Tập tiếp xúc, Tập tuyến tính cấp cấp §2 _ Điều kiện cần tối ưu cấp hai tốn có ràng buộc tập hop -— sees §3 Dinh ly Motzkin 18 §4 Ung dung dinh lý Motzkin vào điều kiện cần toán tối ưu cấp cc 25 Điều kiện đủ tối ưu cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu 28 $1 - Diều kiện đủ toán tối ưu cấp hai §2 _ Trường hợp tốn khơng ràng buộc tập hợp 29 31 Chương Các khái niệm lý thuyết tối ưu đa mục tiêu §1 Quan hệ thứ tự phần R” Định nghĩa 1.1.1 Một quan hệ hai tren R™ tập hợp không rỗng R R" x R", ta oiết zRụ tới (x,y) € R b) Một quan hệ hai < R"" gọi thứ tự phần tới moi x,y,2z,w € R™, cdc tinh chất sau thỏa mãn: i) « iel(z, (38) théa man vdi bat ky w € T?(Q,Z,v) cho (w,v) = va diéu kiện: max [f{(2).w] > iel(2,v) (39) thỏa mãn tới # + € Tậ(Q,#,) cho (w,v) = # EP-nghiệm cực tiểu địa phương (MOP) Chứng minh: Giả sử # không nghiệm cực tiểu địa phương (MOP) Khi đó, tồn (zu) C © với z„ —> # cho ƒ(#u) # ƒ(#) filtn) < fil®) voi i € J Đặt f„ = ||#„ — #|| vp = ty \(a_ — #) Lấy dãy thích hợp, ta có: tạ —> ÚŸ uv, —> (trong œ„ ø vectơ đơn vị vu, = In Tn ca: Tle» Vi vay - € 7(O, #) dễ dàng thấy œ € C(ƒ, #) Chọn = |oy — 0|| tử; = Đạ —U theo Mệnh đề 2.1.3 §1 Chương 2, ta có: #ụ = # + EU + faSut0, € Q vdi wy, + w vdi mot 86 w A va s, > OF (ngoại trừ s„ = 0) Vay: ty = sua,+ suy |lop|l# = |lsmay +|Ê = [lol]2+ [Isnwrll?+2sn00 Do tm va ø véc-tơ đơn vị (||oz|| = |le|| = 1) nên: to = —5s/|leu|l: Nguyễn Ngọc Uuển Nhỉ-Luận uăn Thạc sỹ 2017 29 ĐIỀU KIEN TOI UU CAP CUA BÀI TOÁN TOI UU DA MỤC TIÊU Do wy = eo=a nên |lioa|[ — s„ = |l[0„— vl] 4.0 (do vp > v) Khi d6: w.v = Cho bat ky i € 1(#, 0), ta có: > 20,7 [fi(an) — fil®)] = Safi (B) Wnt Hi (B)(0,0) +28 nf (E)(v, wn) +25 fi! (E) (Wn, Wn) +En- (40) Với e„ —> ÚJ s„ —> 0: Nếu f;„Ìs„ —› r với số r > n + +00 Từ (40), ta có: 0> f(2).2r + ƒ'(#)(6,9) (41) Néu t's, + r theo Mệnh đề 2.1.3 §1 Chương 2: 2ru € T2(Q,,#,) Khi đó, (41) mâu thuẫn với giả thiết (38) Nếu ty!sn — +00 a — Ú nên + € 7ÿ(O, #,) (theo Mệnh đề 2.1.3 §1 Chương 2) ` Vì từ (39) ƒ/(#).4ø > với số ¡ € J(Z,) tạ 1s, f/(#)-00„ —> +ee, điều mâu thuẫn với (40) Vậy # nghiệm cực tiểu địa phương (MOP) Nguyễn Ngọc Uuển Nhỉ-Luận uăn Thạc sỹ 2017 30 ĐIỀU KIEN TOI UU CAP CUA BÀI TỐN TOI UU DA MỤC TIÊU §2_ Trường hợp tốn khơng ràng buộc tập hợp Định lý 3.1.1 cho ta điều kiện đủ toán EP-tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc Q C R* Giả sit, Q = R" tốn (MOP) trở thành tốn tối tu khơng ràng buộc Bay giờ, dựa vào Dịnh lý 3.1.1, ta khảo sát điều kiện đủ với tốn EP-tối ưu đa mục tiêu khơng ràng buộc Dinh lý 3.2.1 Lấy Q = R" sà # € IR" Nếu (38) thỏa với hướng 0#€ CI(ƒ.#) oà bat kj w CR” cho wv = thi E la EP-nghiệm cực tiểu địa phương (MOP) Chứng mình: Giả sử # khơng nghiệm cực tiểu địa phương (MOP) nên tồn tn 0* va v, v vi v £0 cho x, = # + thỏa ƒ(#u) # ƒ(#) va fi(an) < fi(Z) với ¿ € Vì 0> 1z) — 6G] = /()tu + gi/7()(0u,ty) + giá, 9) Voi ck + n —> +œ, ta có: f' (Btn $0 > f'(@v cho: 3” 9,//(#) + 0ạu =0 iel(Œ») Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận uăn Thạc sỹ 2017 (43) 31 ĐIỀU KIEN TOI UU CAP CUA BÀI TOÁN TOI UU DA MỤC TIÊU YS GA" @(v,v) > iel@v) (44) Vii € 1(%,v) thi f{(Z)v = nên: 0=0= 3` 0/0) i€IŒ») Suy đụ = 0, từ (43) ta có: 3ˆ Ø,//(#) =0 i€l (zu) Vi vay, tit (42), nhan vé cho 2f„ 1Ø, ta có: 0> SO Gf! (@) (nt) + en iel(Zv) Cho n+ +00 w6i ek + 0thiO> S* Ø,ƒ”(#)(ø,0) ta suy điều mâu jel (Zu) thuẫn với (44) Ở định lý 3.1.1, từ (38), ta thấy điều kiện # nghiệm cực tiểu địa phương (MOP) thỏa với điều kiện # ø € Œ\(ƒ,#) n 7(9,#) w € T?(O,#,) Bây giờ, ta khảo sát mở rộng định lý 3.1.1 trường hợp không ràng buộc © = R" qua mệnh đề sau đây: Mệnh đề 3.2.2 Cho hướng # ð € Œ\(ƒ.#) Nếu: max(fi(z)w] > (45) théa vdi bat ky w € R" va điều kiện: f!(#)(v,v) > i€l(,v) (46) thỏa tới ð, (38) thỏa uới ð tà t € R” Chứng minh: Giả sử rằng, € R" cho: HB) + Jƒ()(w.5)