TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Học viên: NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - Cao học K23
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS PHAN NHẬT TĨNH
Trang 2LOI CAM ON
Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo hướng dẫn PGS.TS
Phan Nhật Tĩnh Thầy đã giao đề tài, hướng dẫn em trong suốt quá trình
hồn thực hiện luận văn này
Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cơ khoa Tốn, Trường,
Trang 3
LOI MG DAU
Lý thuyết các điều kiện tối ưu trong tối ưu đơn mục tiêu và đa
tiêu trơn và khơng trơn đã và đang phát triển rất mạnh mẽ với nhiều kết
quả đẹp đẽ và phong phú Lý thuyết các điều kiện cấp 2 của bài tốn tối
ưu đa mục tiêu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu
Trong những năm qua, đã cĩ một sự quan tâm ngày càng nhiều về các
điều kiện cấp 2 của bài tốn tối ưu vì bên cạnh vai trị kiểm tra tính tối
cần ta cĩ được
ưu, đặc biệt khi khơng cĩ giả thiết lồi (từ các điều kiệ
tập các điểm dừng mà trong đĩ bao hàm các nghiệm của bài tốn tối ưu,
các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta tìm ra nghiệm của bài tốn
đĩ), các điều kiện cấp hai cịn là cơ sở cho việc thiết kế các thuật tốn tối
tu và đồng thời trợ giúp cho việc nghiên cứu tính nhạy cảm của nghiệm
tối ưu trong các bài tốn cĩ nhiễu
Vì những lí do trên, chúng tơi chọn đề tài cho luận văn cao học là “
Điều kiện tối ưu cấp hai của bài tốn tối ưu đa mục tiêu”
Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và
danh mục các tài liệu tham khảo
Chương 1: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu đa mục tiêu
Chương 2: Diều kiện cần tối ưu cấp hai của bài tốn tối ưu đa mục tiêu
khơng trơn với ràng buộc tập hợp
Chương 3: Điều kiện đủ tối ưu cấp hai của bài tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn với ràng buộc tập hợp và trường hợp khơng ràng buộc tập hợp
Trang 4
1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối wu đa mục tiêu 1 §1 Quan hệ thứ tự từng phần trong " 1 §2 _ Nghiệm cực tiểu, nghiệm cực tiểu yếu, nghiệm cực tiểu địa
phương của bài tốn tối ưu đa mục tiêu - 3
2_ Điều kiện cần tối ưu cấp hai của bài tốn tối ưu đa mục tiêu 8 §1 Tập tiếp xúc, Tập tuyến tính cấp 1 và cấp 2 8 §2 _ Điều kiện cần tối ưu cấp hai của bài tốn cĩ ràng buộc tập hop -— sees §3 Dinh ly Motzkin 18 §4 Ung dung dinh lý Motzkin vào điều kiện cần của bài tốn tối ưu cấp 2 cc 25 3 Điều kiện đủ tối ưu cấp hai của bài tốn tối ưu đa mục tiêu 28
$1 - Diều kiện đủ của bài tốn tối ưu cấp hai 29
Trang 5Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu đa mục tiêu
§1 Quan hệ thứ tự từng phần trong R”
Định nghĩa 1.1.1 Một quan hệ hai ngơi tren R™ là một tập hợp con khơng rỗng R của R" x R", khi đĩ ta oiết zRụ tới (x,y) € R
b) Một quan hệ hai ngơi < trên R"" được gọi là thứ tự từng phần nếu tới
moi x,y,2z,w € R™, cdc tinh chất sau được thỏa mãn:
i) « <x (Tinh phan 2a)
ii) x <y,y S232 <2 (Tinh bite cau)
ii) # < „0 < z => œ +10 < + z (Tính tương thích theo phép cộng) iv) x <y,a € Ry > ax < ay (Tinh twang thich theo nhân tử uơ hướng) ©) Thứ tự từng phần < trén R™ được gọi là phản đối xứng nếu:
V+,u€lR”,z <,U<+®+=
Trang 6Thứ tự từng phần trên R” mà ta gọi là thứ tự tự nhiên <„ được xác định bởi:
Xm= {(2,y) €R x R" |e; < ụ, Vi = 1 „m}
Định nghĩa 1.1.3 a) Một tập hợp Ở C R”" được gọi là lồi nếu uới mọi +, € € tà À € (0,1) fa cĩ Àz + (1— À)y € Ơ
b) Một tập hợp khơng réng K C R™ được gọi là nĩn nếu uới mọi điểm ke K vad >0, ta cb Kk E K, néu K là tập lồi thì nĩ sẽ được gọi là nĩn lơi
©) Nĩn K được gọi là nĩn nhọn nếu K đ\(—K) = {0}
Nhận xét: Trong khơng gian hữu hạn chiều JR”, mặt phẳng, đường thẳng, đoạn thẳng, tam giác, hình cầu cho ta các hình ảnh về tập lồi
Chú ý 1.1.4 i) Quan hệ thứ tự từng phân cĩ thể được mơ tả bởi một nĩn
lài Bất kỳ thứ tự từng phần < trên R" zác định một nĩn lồi:
K=zeRP"l0, <2}
Và bắt kỳ một nĩn lồi K C RR", cũng được gọi là nĩn thứ tự, xác định
Trang 7§2_ Nghiệm cực tiểu, nghiệm cực tiểu yếu, nghiệm
cực tiểu địa phương của bài tốn tối ưu đa mục
tiêu
2.1 Các khái niệm
Định nghĩa 1.2.1 Cho 7 là tập hợp khác rỗng của khơng gian tuyến
tính R"" được sắp thứ tự từng phần bởi một nĩn lồi K Điểm J € T được gọi là K-điểm cực tiểu của tập hợp T nếu: (j~K)nTCÿ+K (@) Nếu K nhọn thì (1) tương đương với: ÿ—k € ÿ+ = k =0 = ÿ—k =jÿ nên (j— K) NT = {7} f, f,
Hình 1.1: K-điểm cực tiểu g Điểm ÿ <x
Trang 8Định nghĩa 1.2.2 Một điển # € © được gọi là nghiệm cực tiểu (hoặc nghiệm hữu hiệu hoặc K-cực tiểu) của bài tốn tối ưu đa mục tiéu (MOP)
theo nĩn thứ tự K nếu ƒ(8) là K-điểm cực tiểu của tập hợp ƒ(©) (/#) = K)n ƒ(9) € ƒ(#) + K Chú ý 1.2.3 ¡) Tập hợp tắt cả các nghiệm cực tiểu theo nĩn K ký hiệu là M(ƒ(9), K) ii) Tập hợp ảnh của tập hợp các nghiệm cực tiểu ký hiệu là: z(/(9),K) = {f(a) |x € M(f(Q), K)}-
Khi đĩ e(ƒ(©), K) cịn gọi là tập giá trị hữu hiệu Mỗi điểm ÿ € e(ƒ(9) K)
được gọi là một giá trị K-cực tiểu (hau hữu hiệu theo nĩn K)
iii) Voi K = R™ thi K-điểm cực tiểu cịn được gọi là điểm cực tiểu
Edgeuorth-Pareto (EP-điểm cực tiểu)
iu) Hình 1.2 là uí dụ uề bài tốn tối ưu đa mmục tiêu tới số chiều n = 2 Tap hop 2 va ƒ(Q) cũng như nĩn nhọn thứ tự được chỉ ra Tập giá trị
Trang 9Định nghĩa 1.2.4 Cho K là một nĩn nhọn, lồi, tới inf(K) # Ú Điểm
#€© được gọi là nghiệm cực tiểu yếu của (MOP) theo K nếu:
Ứ(Œ) ~ int(K)) n /(9) = 0
Chú ý 1.2.5 ¡) Tập hợp tắt cả các nghiệm cực tiểu yếu theo nĩn K (cịn
gọi là K-điểm cực tiểu yếu) ký hiệu là M,.(f(Q), K)
ii) Tập hợp ảnh của tập hợp các điểm cực tiểu yếu là:
ewl S(O), K) = {ƒ(z)J# € Mu(ƒ(9), K)} tà được gọi là tập hợp giá trị hữu hiệu yếu theo nĩn K
iii) K-diém cực tiểu yếu chính là điểm cực tiểu theo nén int(K) U {Om},
do dé, My(f(Q), K) = M(f(Q), int(K) U {Om})-
Với bài tốn tối ưu đa mục tiêu, ta cĩ các khái niệm về cực tiểu địa
phương:
Định nghĩa 1.2.6 Cho K là một nĩn nhọn, lồi vdi int(K) 4 0
Điểm # € 9 được gọi là nghiệm cực tiểu địa phương của bài tốn tối
tu đa mục tiêu (MOP) theo nĩn thứ tự K nếu tồn tại lân cận U của # sao cho khơng cĩ ụ € Ƒ(QnU)\{ƒ(#)} tới ƒ(8) Ey + K
Điểm # € © được gọi là nghiệm cực tiểu yếu địa phương của bài tốn
tối ưu đa mục tiêu (MOP) theo nĩn thứ tự K nếu tồn tại lân cận U của
# sao cho khơng cĩ ụ € ƒ(QđU) uới ƒ(#) € + intK
Trang 10
2.2 Các tính chất Bồ đề 1.2.7 Cho Kì tà Kạ là nĩn lồi uới Ky C Kp Khi đĩ: M(f(Q), Ko) C M(ƒ(9), Kì) Chứng minh: VE € M(f(Q), Ke) thì (ƒ(#) — K›) n ƒ(9) C ƒ(#) + K Lấy y € (f(2) — Ki) f(Q) nen 3k € Ky sao cho: y = ƒ(#) — kị và y € f(Q) Vi Ky C Ko nén ky € Ky suy ra y = f(%) — ky € (f(®) — Ke) va y € f(O) Vay y € (f(€) — Ko) 0 f(Q) nen: (Œ) — Ki) 9 ƒ(9) € (F@) — Ka) đ ƒ(9) C ƒ(#) + K Do đĩ, # € M4(ƒ(9), Kì)
Kết quả được phát biểu tương tự với tập hợp các nghiệm cực tiểu yếu
Hệ quả 1.2.8 Cho K, va K: là nĩn lồi, nhọn, phần trong khác rỗng tà Kì C Ky Khi do:
Mu(f(Q), K2) C Mu(f(Q), A)
Chitng minh: Véi K; C Ky din dén int(Ky) C int(K2) khi d6: Mu(f (2), Ko) = M(f(Q), int(K2) U {Om}) € M(f(9),im(Ki)U {0„}) = Mu(7(9), Kì) Hệ quả 1.2.9 Cho K là nĩn lơi, nhọn, phần trong khác rỗng Khi đĩ: i) M(f(Q), K) C M„(ƒ(9) K) ii) e(f(Q), K) C e«(ƒ(9), K) Chứng mình: Do ¿n£(Ý) U {0„} C K nên:
M(f(Q), K) C M(f(Q), int(K) U {Om}) = Mu(f(Q), K) Do đĩ với e(ƒ(9), K) = {ƒ(z)|z e A4(/(9) K)} thì
e(f(Q), K) C ew(f(Q), K)
Trang 11
Dinh nghia 1.2.10 Cho A C R™ Diém y € R™ duoc goi là điểm biên ctia A néu vdi moi c > 0 thi Bly,c) 1A 40 va Bly.) A (R™\A) # 0
Tap hợp tắt cả điểm biên của A kí hiệu là OA
Định ly 1.2.11 Cho K là nĩn lồi, nhọn và K # {0„} Khi đĩ:
e(f(Q), K) C AF(Q)
Chứng minh: Tương tự cách chứng minh định lý 1.2.12
Dinh ly 1.2.12 Cho K là một nĩn nhọn, lồi va int(K) #0 Khi đĩ:
Ew(f(Q), K) c 8ƒ/(9) Chứng minh:
Trang 12Cho v € T(Q,2)- b) Tap tiếp xúc cấp hai parabolic vdi Q tại (#,) được định nghĩa là tập: 1 T?(Q,@,v) = {w € R"|Atn 4 0*, 3wn > w sao cho Et tavtztnwn <€9,vn eN} Hay nĩi cách khác: n Baty w ETO, 2,0) © 3h, > 0", 3x, ED sao cho @— Tw Bhi n 00 ?a
©) Tập tiếp xúc cấp hai asymtotic tới © tại (#,) được định nghĩa là tập:
Tỷ(O.Z,) = {w € R"|3t„ —> 0°, +„ —y ÚŸ, tuy —> w sao cho ¥,12 +0
va E+ tyv + Ynwn € ©,Vn € Đ}
d) Nĩn tiếp xúc phần trong vdi Q tại # được định nghĩa là tập::
TT(O,#) = {u € R*|Bồ > (0 sao cho 8+ € ©,Vt € (0,6), Vw € B(v, 6)}
Trang 13B _ tn Nếu —“— = — 4 0 voi + thu + tnsnwn € © thi w € T7(Q, #,) (2) » Sp NH0 đc Cứp Sn n vế ngĩ 2 0.8 ty = 2a — 2rw Khi do: B+twt sea tơn = E+ tyv + wee Dew, = E+ tad + tsp EQ Suy ra 2rw € T2(Q, 2,0) (3)
Tit (1) (2), (3) dẫn đến 72(O, , v) UTR(Q,2, v) £0
Mệnh đề 2.1.4 Cho Q C R" là tập hợp lồi và # € clQ, int A 0 Khi đĩ: IT(int9,8) = TT(Q,8) = cone; (intQ — 8) = int cone(9 — 8) Chứng minh:
ï) Ta chứng mình đẳng thức đầu tiên: 77(©, #) = IT(Q,2)
Lay u € IT(infQ,Z), khi đĩ 3ổ > 0 sao cho # + fø € int C 9,
Vt € (0,6] va Vw € B(u,ư) Do đĩ, IT(int9,#) C IT(O, 2)
Ngược lại, lấy œ € JT(Q,#) nên 3ổ > 0 sao cho # + tw € Q, Vt € (0,4)
va Vw € B(u,ơ) Đặt z¡ = # + tu € ©
Do ¿m© là trù mật trong © (nghĩa là Q C in#M) nên 3z; € infQ sao cho
|lri — z2|| = ||E + te — z2|| < é nên # + ti € B(2a,e) C int
Vậy IT(O, #) C IT(intO, #) nên IT(intO, 2) = IT(Q, 2)
ii) Chứng mình đẳng thức cuối: cone¿ (infQ — #) = int cone(Q — #)
Ta cĩ: cơne+ (infQ — #) = Ua»oa(intQ — #) là một tập mở chứa trong
cone(Q = 2)
Do dé, cone, (int — 2) C int(cone(Q = 2) Tiép theo, Lay v =
+—#) € cone(Q—#) với œ > 0 và z € 9 Cho e > 0,
Trang 14Suy ra, inf cone(Q — 2) C cone, (int = 2) Vay cone, (intQ — 2) = int cone(Q — 8)
iii) Cuối cùng, chứng minh: [T(Q, 2) = int(cone(Q — #))
Lay u € int(cone(Q—2)) C cone(Q— 2), khi d6 u = a(x —2) voia > 0
va x € Q Dat t= 8+ tu € 9 Vì vây, u € IT(O, #)
Ngược lại, lấy u € IT(Q, 2) = IT (int, 2) nén 35 > 0 sao cho
& + tw € intQ, Vt € (0,6) va Vw € B(u, 6)
Khi dé, u € B(w, 6), dat x = % + tw € intl vaa= ; > 0 Ta cé: +
w= = a(x — 2) € cone, (intQ = 2) = int cone(Q — 3)
Vay IT(intQ, 2) = IT(Q, 2) = cone, (int — 2) = int cone(Q = 2)
Chú ý 2.1.5 Với nĩn K = R? tà ụ = (MI.wa m) € PT", ta cĩ các
biểu thức đối uới tập tiếp xúc sau:
Trang 15c) Tập tuyến tính bậc 2 của © tại (#,0) được định nghĩa là tập: C?(Q,#,u) = {u € R" : g'(#) + g"(#)(e, o) € T?(Q ø(#), g'(8))} Chú ý: i) Néwv = 0 thi C2°(Q, 8,0) = C(Q, 8) (do TQ, 9(#), 0) = T(Q, 9(2)))- ii) Néu C2(Q,2,v) £0 thiv € C(Q,2) (ViT2(Q,9(2), 9'(B)v) 4 0 chi ra rằng g'()0 € T(Q.g())) B6 dé 2.1.7 Cho g : R" + RP la kha vi cap hai tai € QC R", v€T(Q,2) vaw € BR" Cho {tn} CR",t, 3 0° —#—t„U Te =w thi:
Mea) = OY tad" — yaw + g"@)(0,0 Mộ
“tit gid thiét lim w, = w va nooo
Trang 16Mệnh đề 2.1.8 Cho QC R", Q = g1(Q), # € 9 Từ cĩ: ï) T(9,#) C C(9,#) ii) T2(9.#,u) C C2(Q, 2, 0) Chứng minh: Ta chứng mình (ii) Lấy œ € 7?(Q,#,) thì 3f„ + 0* va x, € 9 = gˆ!(Q) sao cho: cà T lim = Ấp dụng Bổ đề 2.1.7, ta cĩ: lim 2%) = 9(@) — txg(8)0 " " T? atn =(Œ) + g"(@)(v,0) (3) Bằng định nghĩa của T7, ta cĩ: 3t„ —› 0° và g(z„) € Q nên: g'(@)w + 9" (@)(v,v) € T°(Q, 9(2), 9'(@)v) Do d6, w € C?(Q, Z, v)
i) Tit (ii) suy ra (i) khi cho v = 0
Dinh nghia 2.1.9 i) Néw ding thite T(Q,2) = C(Q,2) xấu ma, ta nĩi ring diéu kién Abadie (ACQ) théa tai 8
ii) Nếu đẳng thức T2(Q, #,v) = C2(Q,#,v) #0 xéy ra, ta nĩi rằng điều kiện bậc hai Abadie (SOACQ) théa tai (2,v)
Trang 17
§2_ Điều ki
cần tối ưu cấp hai của bài tốn cĩ
ràng buộc tập hợp
Cho ƒ : R" —› R” là một hàm khả vi cấp hai, R™ được sắp thứ tự bởi
một nĩn K lồi, nhọn, phần trong khác rỗng Cho © C R*, xét bài tốn tối ưu đa mục tiêu sau:
min f(x)
ren (MOP)
Nếu nĩn K = R? thì bài tốn (MOP) cịn được gọi là bài tốn tối ưu đa
mục tiêu Edgeworth-Pareto và K-điểm cực tiểu của bài tốn (MOP) cịn được gọi là EP-điểm cực tiểu
Cho # € Q,v € R", đặt I(Z,v) = {i € I: fi(Z)v = 0} trong đĩ,
T= {1,2, ,m}, f= (fis fos fn)
Định nghĩa 2.2.1 Cho # € O
a) Các tập hợp các hướng giảm của ƒ tại # được định nghĩa như sau:
Trang 18Dinh lý 2.2.2 Nếu # € Q la nghiệm cực tiểu yếu địa phương của bài tốn (MOP) thà: 7) T(9,#) n Œ(ƒ #) = 0 ii) T?(Q, 2, v) N CZF, ,v) = Ú, Yu e T(9,#) n [Œ(ƒ.#)\Cu(7.2)} Chứng minh: ii) Ta chứng minh phần (ii) trước Giả sử, 72(Q, #, ») n Cậ(ƒ,#,) # Ú nén Sw € T?(Q, #,v) C2(ƒ, #, 0) Khi đĩ, vì œ € 7?(Q, #,) nên 3t,, + 0* va x, € © sao cho: đạ — lim nà HỆ (4) Do w € C?(f, zu), dat: b= f'(@)w + f"(Z)(v,v) € —int(cone(K + f'(Z)v)) (5) Vì ƒ là khả vi bậc 2 tại #, với f„ —> 0* và từ (4) và bổ đề 2.1.7 của §1 “Ta cĩ: L(@n) = f(@) = taf'(@)v h — Đệ
Béi f'(z)v € —clK (với ị € C(ƒ.#)) Từ Mệnh đề 2.1.4 của §1 thì:
Trang 19'Từ (6) với e, sẽ tồn tại nọ € N sao cho: = ty f'(@v €0+ B(0,<),¥n > no (8) Do t, —> 0* nên ta giải sit ring: tạ € (0,£),Vn > nạ (9) Từ (S), điều này dẫn đến rằng: 16a) = J) € t,Jf()v + I0 + B0)
Từ (9) và (7) Ta cĩ: ƒ(#u) — ƒ(#) € —intK Điều này mâu thuẫn với
định nghĩa nghiệm cực tiểu yếu địa phương của Z
Do đĩ, 72(0,#,) n C2(ƒ,#,») = Ú Vị e T(9,#) n |C(ƒ.#)\€o(ƒ.2)) i) va tir (ii) suy ra (i) khi cho v = 0
Ap dung Dinh lý 3.2.2 đối với bài tốn đa mục tiêu Edgeworth-Pareto
(nĩn K = R), ta đi đến hệ quả tiếp theo
Hệ quả 2.2.3 (Điều kiện cần đối uới EP-cực tiểu) Giả sử K = R™
Nếu # là EP-nghiệm cực tiểu yếu địa phương của ƒ trên © thà uới mỗi
veTQ,2)N {ve X: fi(Z)v < 0,Vi = Tm va Fi: fi(Z)v = 0} thì hệ
dưới đây khơng cĩ nghiệm trong R"
+ € T2(Q,, 0)
(Œ) + ƒƒ(#)(0,0) < 0, Vi € T(#, 0) trong dé I(z,v) = {i € I: fi(B)v = 0} vdi I = {1,2, ,m}
Trang 20Định lý 2.2.4 Cho K = RƑ Nếu # € Q là EP-nghiệm cực tiểu địa phương của (MOP) thì uới mọi e € C\(ƒ,#) n1 T(9,#): xaax[fj(2)-v] > 0,Vw € T3(Q,z,v) (10) Chứng minh Giả sử rằng ƒ/(#) < Ú với mọi i € J và một số € C¡(ƒ, #) n 7(9,#) và w € T2(0, 2, v) Khi đĩ, tồn tại t, > 0*, y, > 0* va wp, —> œ sao cho: a B 0 va E+ tv + nn EO Từ ƒ, là kha vi bậc 2 nên ta cĩ: - (2 1 Wx 2
fi(Œn)— f(#) < Li(@) Anton 5fi (Z)(tnv+7nWn, tnV+7nWn)+en (11)
Với en > 0 khi n + +00, về phải (11), ta cĩ: ƒ
#).à < Ú nên fi(xn) < f⁄(#) với n bất kỳ đủ lớn Điều này mâu thuẫn do # là nghiệm cực tiểu
địa phương của (MOP)
Trang 21
§3 Dinh ly Motzkin
Cho tập hợp E cita R?, nén eve am cita E duge dinh nghia la:
E” = {we R?: (u,x) <0,Vz € E}
“Tương tự, nĩn cực dương của E được định nghĩa là: #* = — Xét các giả thiết ban đầu dưới đây: i) ii) B.C RP la tập lồi khác rỗng :R" —> RP Ia tuyén tinh va 29 € RP
iii) B 1a tap con cia R?, D C RP là nĩn lồi khác rỗng thỏa 8 + D C Ỡ
iv) 9: R" + R™ Ia tuyén tinh va yo € R” v) ŒC R”" là nĩn lồi với intŒ # 0
Khong gian đối ngẫu của R là RP, một phần tử / € R được xem như
hàm tuyến tính ø từ R? vào T8 riB la phan trong tương đối của B
øp là hàm giá của tập lồi B: øp(g) = suuep(/, b)
Bồ đề 2.3.1 Cho ¡ € RP, a €R, BC RP là một tập lồi, D C RP là
một nĩn lồi Khi đĩ:
a>Øp+p(u) ®u€ D~ tà œ 3 øn(p)
Chứng minh:
(=) Néu (1, d) > 0 voi d € D thi limp soo (u,b + td) = +00 va do dé gid
thiết là sai Vì vậy, € D~ Ta cĩ:
sup{ (u,b +d) :b € B,d € D} =sup{(y1,b):b€ B} (12) Bởi vì max{(w,d) : đ€ D} = 0 do p € D> Vi vay: a > onsp(u)
=> a > sup{(p,b)+(p,d) +b € B,d € D} = sup{ (u,b) : b € B} = op (yu)
Trang 22
(©) Từ (12) suy ra điều cần chứng minh, nghĩa là:
@ 2 Øn(p) = sup{(u,b) : b€ B} = sup{(w,b)+(u, độ :b€ B,d € D} = øn+p(H)- (Do max{(y,d) :d € D} =0 tit € D>)
Bồ đề 2.3.2 ¡) Với các giả thiét ban dau (i)-(ii), céc phat biéu dưới đây
là tương đương:
a) Khơng cé x € R” sao cho w(x) + 29 € riB b) Tén tai pw € RP, wp #0 sao cho:
pow =0, (1,2) > øp(H) tà (u, 20) > (yu, bp) vdi một phần tử bạ € B
nào đĩ
1) Giả sử thêm tào đĩ B là tập lồi đa diện Khi đĩ, các phát biểu dưới
đâu là tương đương:
a’) Khong c6 x € R" sao cho w(x) + 2 € B
b’) Tồn tại p € R?, p #0 sao cho: pow =0 va (pt, 20) > đn(n)
Chứng minh:
i) (a) > (6) Giả sử, tập lồi Ú(") + zo và r¿D là rời, (E") + zo là tập lồi đa diện Khi đĩ, áp dụng định lý 20.2 sách các bài tốn về điều kiện
tối ưu cấp 2 của Penot (1999), tồn tại / € RP, ø # 0, và œ € R sao cho:
(u,d) <a < (u, V(x) + 29), Vd € Dx ER" (*1) (1, do) < a, Vdg € D (*2) Tir (*1) diéu nay din dén pow = 0, khi đĩ (u,d) < (1, 29) với mọi d € D
nên op(H) < (p1, 29) va tit (*2), ta cĩ (, đụ) < (1, 20)-
(b) = (a), dit a = (1, 29), từ (*1) và (*2), dựa vào định lý 20.2, ta suy ra điều cần chứng minh
Trang 23
ii) Phần này ta chứng minh tương tự như phần (¡) khi tập lồi da dien D thay thế bởi #U(R”) + zo (trong đĩ ri(/(R") + zu) = 0(*) + zo)
Dinh ly 2.3.3 (Dinh ly Motzkin)
Với các giả thiét ban dau (i)-(v), xét cdc phat biéu dudi day: a) Khong 6 x € R" sao cho:
g(x) + yo € —intC va U(x) + € B (13)
b) Tồn tại (d,n) € R™ x RP sao cho:
AEC* AAI, WED (14)
Aog+oU=0 (15)
(A, yo) + (u, 20) > Zø(m) (16) Khi đĩ:
(i) (b) > (a) voi B= B+D
() Nếu một trong các điều kiện sau thỏa:
Sr € R" sao cho U(x) + % € ri(B + D) (17)
hoặc
B+ D la tap léi da dign va 3x € R" sao cho V(x) + 2 € B+ D (18) thi (a) > (b)
Chứng minh:
(0) Giả sử giả thiết (a) là sai, nghĩa là 3z € R" sao cho (13) thỏa với
Trang 24Từ (16) và „ € D~ thi:
(1, U(x) + 20) = (u,b +d) < (n,) € ao = (A, yo) + (H,20)- (20)
Tit (19) va (20), ta cĩ:
(A, p(a) + yo) + (1, Y(a) + 20) < ao
Điều này lại mâu thuẫn với (15)
(ii) Goi P = {x € R": U(x) + zụ € B+ D} Khi đĩ, T là tập lồi và F # Ø
(từ (17) hoặc (18)) Xét hệ phương trình:
v(x) + yo € —intC
(21)
(z)+zu€B+D
Hệ (21) là vơ nghiệm từ điều kiện (a) và giả thiết A(ii) Ta nĩi, hệ (21)
Trang 25A(x) > By = Bot + A(x) — đạt > 0 œ A(x, t) > 0 + —O(x,t) < 0 hay
~Ơ €Ê- với (z,t) € Ÿ
(*1) Gia sit 2 = Z thỏa (17), áp dụng hệ quả 16.3.2 trong [17] vào hàm tuyến tính ở và tập lồi eone;((B + D) x {1}) Ta cĩ:
Ủ(, 1) = (0(8) + 20,1) € cone, (ri(B + D) x {1})
= ri(cone,((B + D) x {1})) Khi do
To = [b*(cone,((B + D) x {1})|Ƒ = 6*|(eone+((B + Ð) x {1}))"]
= {(u,a) 00: (ua) € (cone, ((B + Ð) x {1}))*}
Khi d6, 3(y,a) € (cone, ((B + D) x {1}))~ = ((B + Ð) x {1})”
Do ~Ơ € Ê~ nên Ơ + (0, œ) e = 0 = A(x, t) + (4,0) 0 U(2,t) = 0
Với Ơ(z,t) + (u,a) 0 W(x, t) = A(x) — Bot + (H, a) © (W(x) + tzo, t)
= p(x) — (A, —yo)t + (4, d(x) + tz) + at
= Ap(x) + (A, yo)t + (H, U(x) + tao) + at = 0
Cho t = 0 thi Ag(x) + (u,u(x)) =O hay Aoy+pou=0
Nếu £ # 0, đặt (A, yo) + (uu, 2) = —a Do day (1,2) € ((B+D) x {1})~
nen V(b,d) € Bx D: (u,b +d) +a <0 (w,b+ đ) < -a
Vay, (A, yo) + (fH, z0) = —a < øp+p(H) = øn(0) (theo Bồ đề 2.3.1)
(*2) Bay giờ, ta giả sử (18) thỏa Khi đĩ, tồn tại ánh xạ tuyến tính:
¢:R" +R! vac € R! sao cho:
B+D={zER?:¢(z) <c} (25)
Tit (22), Xo v(x) — (A, —yo) 2 0 Ao v(x) + (A, yo) 2 0
Xét bài tốn lồi với hé rang bude Affine:
đý = inf{Ae g(x) + (A, w) + ((0(2) + z) — e < 0)
Trang 26
(Với v(x) + 29 € B + D) Từ (18) và (22) ta 6: 6%, > 0 Theo định lý 28.2 trong [17] Khi đĩ, 3u € R', v > 0 sao cho: 0< A = inf{Ao g(x) + (A, mo) + vlC(W(a) + 20) — 4:2 ERY = Ao g(x) + (A, yo) +060 W(x) + (v0, 20) — (v,€) > 0 Dat p= v0 Khi dé:
=> Ao g(x) + (A, yo) + #0 U(x) + Út, 20) — (v,e) 2 0 Do đĩ, Ào ¿+ wow =0 và (ø,e) < (A, yo) + (fH, 20)- Do v > 0 va (24) thi Vz € B+ D:
(C(z) — e) $ 0 (v0, z) — (v,c) <0 & (uz) < (u,€) voi w= v0
Suy ra øø+p(w) < (ø,e) Từ bổ đề 2.3.1 của §3 ta cĩ „ € D~ nên:
Øg+p(M) = Øg(M) € (0,e) < (A, yo) + (1, 20) (Vay định lý chứng mình xong)
Hệ quả 2.3.4 Cho gy: R" 3 R™, dy: R" > R’, Ya: R" > RY la dnh
xq tuyén tinh va (yo, 21,22) € R™ x R* x R’ Khi d6, céc phat biéu dưới
đâu là tương đương:
Trang 27i) (a) > (0) Vi B+ D la tap léi da dien va néu:
3r € R" sao cho W(x) + » € B+ D (29) Theo Định lý 2.3.3, tồn tại (A,/a,g;) € RZ x RL x BY, A 0 sao
cho (26) théa va a9 = (A, yo) + (H1, 21) + (02,22) > øp(u) = 0 (Do
B= {(0.,0,)})
Nếu (29) là sai thì theo bổ đề 2.3.2(i), tồn tại (w.¿) € RY x RY,
(0n, 02) # (0,0) sao cho ga e0 +ao1¿ = 0 va ag = (fr, Z1) -È (Ha, 22) > Øn+p(B)
“Từ bất đẳng thức này, bằng Bồ đề 2.3.1, ta cĩ: / € D~ và ay > øp(w) =
0
Cuối cùng, cho À = 0, thì tất cả điều kiện thỏa mãn
Trang 28§4 Ung dung dinh ly Motzkin vao diéu kién can
của bài tốn tối ưu cấp 2
Cho f :R" + R™ vag: R" > RP la cdc ham kha vi cp 2, R" duge sip
thứ tự bởi một nĩn K lồi, nhọn với phần trong khơng rỗng
Cho QC R?, 9= ø"1(Q) Xét bài tốn (MOP): min f(x)
<9
Dinh lý 2.4.1 (Quy tốc Lagrange)
Cho # là nghiệm cực tiểu yếu của bài tốn (MOP) và € Ơ(Q,#) đ
[CŒ.#)\Co(ƒ.#)Ì Giả sử, T(Q.g(#)) là lồi uà Q là T”-ổn định tại
(ø(#).g(#)0) Nếu (SOAOQ) thỏa tại (#, 0) thà uới mỗi tập con lồi 7(0)
khác rỗng của T®(Q g(8) g'(8)0) tồn tai (A, w) € R™ x RP, vdi (A, pe) # (0,0) sao cho: A€K*,ue N(Q.g(#)) (30) Ào ƒ(#) + e g(#) =0 (31)
(A,/7(#)(6,0)) + (e.g”(2)(6,9)) > sup (1,2) z€r(e) (32)
Trang 29hay
7(0) + T(T(Q, g(8)) g'(#)0) là tập lồi đa diện va
tén tai w € R” sao cho: (34)
g (Zw + g"(Z)(v,v) € r(v) + T(T(Q, 9(2)), 9'(@)v)
thi sé tén tai (A, pn) € R™ x RP, XZ 0 théa (30)-(32) Chiing minh: Dat:
yo = f"(@)(v,v), p(w) = f'(@)w,C = cone(K + f'(z)v)
20 = g"(@)(v,¥), (w) = 9 (@w B =7(),K = T(T(Q.g(2)) 9'(@v)
B =T?(Q.g(#).g'(8)0)
Rõ ràng rằng các giả thiết (A)(4)-(v) của phần 4 và điều kien (a) trong Định lý 2.3.3 là thỏa mãn, bởi vì xét hệ phương trình ở định lý 2.3.3 của §3: (37) ew) +y0€-intC (1) U(w) +» €B (2) nghĩa là: (8) + ƒ"(8)(0,u) € —intcone(K + ƒ'(E)0) 66) (2) + g"()(ø,u) € T®(Q.ø(3), g(8)9) Tit (1) > w € CFO, z,v)
Từ (2) = + € C2(Q, #,ø) = T2(9,#,ø) (do (SOACQ) tại (#,)) Vơ lý từ định lý 2.2.2 của §2 với # là nghiệm cực tiểu bài tốn thì
7(0.,») n C§( #,ø) = Ú nên hệ phương trình (36) vơ nghiêm
Trang 30
Nếu (33) IA sai, nghia IA khong c6 w € R" sao cho jJ(0) + zụ € ri(B + D) thi Ap dung Bé dé 2.3.2(i) của 83, tồn tai p € RP, 4 £ 0 sao cho pow = 0,
(u, 20) > Øn+p(H)-
Ap dụng bé dé 2.3.1 cita §3, x € D~ thi (y, 29) > op(u) va wou =0
tức là (1, 9"(2)(v,¥)) > supser(s) Ht, 2) voi B = 7(v) va po g(E) = 0
Với À = 0 thì điều kiện (30)-(32) là thỏa mãn vì:
D~ =T(f(Q.g(3)).g(8)0)” = {u € N(Q.g(8)) : (w.g'(#)0) = 0} (37) (Do g(Z)v € T(Q,g(z) nên p € D~ thì „ € T(Q,9(@)~ = N(Q,9(@)
với (,g'()0) = 0)
Chứng minh tương tự nếu + D là đa diện và (34) là sai
Vì vậy, giả sử (33) hoặc (34) là đúng Khi đĩ,áp dụng Định lý 2.3.3, tồn tai (A, 2) € R? x R’, \ £0 sao cho:
Trang 31Điều kiện đủ tối ưu cấp hai của bài tốn tối ưu đa mục tiêu
Các khái niệm, kết quả của chương này được trích dẫn từ bài báo [2] ở
mục tài liệu tham khảo
Xét bài tốn tối ưu đa mục tiêu (MOP) sau: min ƒ(z)
ren
Trong dé, f : R" + R” 1a ham kha vi cấp 2, R” được sắp thứ tự bởi
một nĩn K lồi, nhọn với phần trong khơng rỗng
Ở chương này, ta chỉ xét nĩn K = R'™, nhu vậy, bài tốn (MOP) cịn
được gọi là bài tốn tối ưu đa mục tiêu Edgeworth-Pareto và K-điểm cực
tiểu của bài tốn (MOP) cịn được gọi là EP-điểm cực tiểu
y= fie lL Ke
fm) Bay giờ, ta khảo sát điều kiện
Trang 32§1 Điều kiện đủ của bài tốn tối ưu cấp hai
Dinh ly 3.1.1 Cho # € Q Nếu uới mỗi hướng 0 # ð € C(ƒ,#) đ T(Q,2), diéu kien: max [//Œ)ae + £1(@)(v,»)] > 0 (38) iel(z, théa man vdi bat ky w € T?(Q,Z,v) sao cho (w,v) = 0 va diéu kiện: max [f{(2).w] > 0 (39) iel(2,v)
thỏa mãn tới bất kỳ 0 # + € Tậ(Q,#,) sao cho (w,v) = 0 thì # là
EP-nghiệm cực tiểu địa phương của (MOP) Chứng minh:
Giả sử # khơng là nghiệm cực tiểu địa phương của (MOP) Khi đĩ, tồn tại đây (zu) C © với z„ —> # sao cho ƒ(#u) # ƒ(#) và filtn) < fil®) voi mọi i € J
Đặt f„ = ||#„ — #|| và vp = ty \(a_ — #) Lấy dãy con thích hợp, ta cĩ:
tạ —> ÚŸ và uv, —> 0 (trong đĩ œ„ và ø là vectơ đơn vị do vu, = In Tn ca: Vi vay € 7(O, #) và dễ dàng thấy được rằng œ € C(ƒ, #) Tle» ai - Đạ —U Chọn sự = |oy — 0|| và tử; = theo như Mệnh đề 2.1.3 của §1 ở Chương 2, ta cĩ: #ụ = # + EU + faSut0, € Q vdi wy, + w vdi mot 86 w A 0 va s, > OF (ngoại trừ s„ = 0) Vay:
ty = sua, + suy ra |lop|l# = |lsmay +|Ê = [lol]2+ [Isnwrll?+2sn00
Trang 33Do wy = eo =a nên |lioa|[ — 1 và s„ = |l[0„ — vl] 4.0 (do vp > v) Khi d6: w.v = 0 Cho bat ky i € 1(#, 0), ta cĩ: 0 > 20,7 [fi(an) — fil®)] = Safi (B) Wnt Hi (B)(0,0) +28 nf (E)(v, wn) +25 fi! (E) (Wn, Wn) +En- (40) Với e„ —> ÚJ và s„ —> 0: Nếu f;„Ìs„ —› r với một số r > 0 khi n + +00 Từ (40), ta cĩ: 0> f(2).2r + ƒ'(#)(6,9) (41) Néu t's, + r thì theo Mệnh đề 2.1.3 của §1 ở Chương 2: 2ru € T2(Q,,#,)
Khi đĩ, (41) mâu thuẫn với giả thiết (38)
Nếu ty!sn — +00 thì a — Ú nên + € 7ÿ(O, #,) (theo Mệnh đề 2.1.3 của §1 ở Chương 2) `
Vì vậy từ (39) chỉ ra rằng ƒ/(#).4ø > 0 với một số ¡ € J(Z,) và vì vậy
tạ 1s, f/(#)-00„ —> +ee, điều này mâu thuẫn với (40)
Vậy # là nghiệm cực tiểu địa phương của (MOP)
Trang 34
§2_ Trường hợp bài tốn khơng ràng buộc tập hợp Định lý 3.1.1 cho ta điều kiện đủ của bài tốn EP-tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc Q C R* Giả sit, Q = R" thì bài tốn (MOP) trở thành bài
tốn tối tu khơng ràng buộc
Bay giờ, dựa vào Dịnh lý 3.1.1, ta khảo sát điều kiện đủ với bài tốn
EP-tối ưu đa mục tiêu khơng ràng buộc
Dinh lý 3.2.1 Lấy Q = R" sà # € IR" Nếu (38) thỏa với mỗi hướng
0#€ CI(ƒ.#) ồ bat kj w CR” sao cho wv = 0 thi E la EP-nghiệm
cực tiểu địa phương của (MOP)
Chứng mình:
Giả sử # khơng là nghiệm cực tiểu địa phương của (MOP) nên tồn tại
tn 9 0* va v, 9 v vi v £0 sao cho x, = # + tuy thỏa ƒ(#u) # ƒ(#)
va fi(an) < fi(Z) với mọi ¿ € 1 Vì vậy
0> 1z) — 6G] = /()tu + gi/7()(0u,ty) + giá, 9) Voi ck + 0 khi n —> +œ, ta cĩ: f' (Btn $0 > f'(@v <0 nen v € C(f,2) Do do tit gid thiét I(Z,v) # Ú Ta cĩ hệ: f!(@).w + f"(B)(v,v) < 0,4 € I(z, v) wv=0
Trang 35YS GA" @(v,v) > 0 (44) iel@v) Vii € 1(%,v) thi f{(Z)v = 0 nên: 0=0= 3` 0/0) i€IŒ») Suy ra đụ = 0, từ (43) ta cĩ: 3ˆ Ø,//(#) =0 i€l (zu) Vi vay, tit (42), nhan 2 vé cho 2f„ 1Ø, ta cĩ: 0> SO Gf! (@) (nt) + en iel(Zv) Cho n+ +00 w6i ek + 0thiO> S* Ø,ƒ”(#)(ø,0) ta suy ra điều mâu jel (Zu) thuẫn với (44)
Ở định lý 3.1.1, từ (38), ta thấy điều kiện # là nghiệm cực tiểu địa phương của (MOP) thỏa với điều kiện 0 # ø € Œ\(ƒ,#) n 7(9,#) và 0 4 w € T?(O,#,) Bây giờ, ta khảo sát sự mở rộng của định lý 3.1.1 trong trường hợp khơng ràng buộc © = R" qua mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 3.2.2 Cho một hướng 0 # ð € Œ\(ƒ.#) Nếu:
max(fi(z)w] > 0 (45)
théa vdi bat ky w € R" va điều kiện:
min f!(#)(v,v) > 0 (46)
i€l(,v)
thỏa tới ð, thà (38) thỏa uới ð tà bất kỳ t € R”
Chứng minh: Giả sử rằng, 3 € R" sao cho:
HB) + Jƒ()(w.5) <0
Trang 36théa véi bat ky i € I(z, ø) Từ (46) ta cĩ: ƒƑ'(#)(ø,) > 0 nên ƒ/(#)- < 0
với bất ky i € I(#, 0)
Nếu tập hợp này là tồn bộ I, thì rõ ràng # là mâu thuẫn với (45)
Mặt khác, nếu tập hợp này khơng là tồn bộ I, đặt:
Vì vậy, ð + ri khơng thỏa mãn (45), mẫu thuẫn với giả thiết Vi du 3.2.8 Xét bài tốn (MOP) oới n = 9, L= 9, 9 = RẺ tà:
Si(e1, x2) = 22, for, 22) = 2} — đa
Thật dễ dàng để kiểm tra rằng # = (0,0) là điểm vec-tơ cực tiểu Tuy nhiên, chọn bất kỳ ø z 0 với € R x {0}, điều kiện (46) trở thành:
min{0, 2v7} > 0
Rõ ràng điều này khơng thỏa do min{0,2đÿ} — 0 Ngược lại, xét (38) ta cĩ:
max{w, —w2 + 2u7} > Ú
cũng khơng thỏa với bất kỳ hướng giảm ø z 0 và bất ky w € R2
Vi du 3.2.4 Xét bài tốn (MOP) với n = 9, L = 3, Q = R? va:
fI(#i.#s) = # sinza, f2(#ì, #3) = #ì++Š, fã(#ì, #s) = —(sin #ị+sin #:) Vì ƒ¡ và ƒ; là âm và ƒ; là đồng nhất 0 dọc theo đường thẳng được mơ
tả bởi điểm a, = (—f,f) với f € (0,1) thì # = (0,0) là khơng phải cực
Trang 38
KET LUAN
1.Bài nghiên cứu trên thu được kết quả:
Chỉ ra được các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu đa mục tiêu
Chỉ ra được các mệnh đề, định lý, hệ quả liên quan đến điều kiện cần
và đủ tối ưu cấp hai của bài tốn tối ưu đa mục tiêu
Các mệnh đề, định lý, hệ quả trong bài luận văn được chứng minh một cách rõ ràng, chỉ tiết, cụ thể
Đưa ra được các ứng dụng vào các trường hợp đặc biệt từ điều kiện đủ tối ưu cấp hai của bài tốn tối ưu đa mục tiêu
2 Hạn chế của đề tài:
Chưa phát hiện ra điều mới về điều kiện cần và đủ của lý thuyết tối
tu đa mục tiêu do thời gian nghiên cứu cịn ngắn
Phần điều kiện đủ của lý thuyết tối ưu đa mục tiêu chỉ mới khảo sát
trong trường hợp khi cho nĩn K = RY 3 Hướng giải quyết đề tài:
Hy vọng trong thời gian nếu cĩ điều kiện nghiên cứu sâu hơn, em sẽ quay lại vấn đề này ở mức độ cao hơn
Do thời gian nghiên cứu cũng như năng lực cịn hạn chế nên nội dung
và hình thức của đề tài khơng tránh khỏi sai sĩt Kính mong quý thầy cơ và các bạn quan tâm, gĩp ý, bổ sung để hồn thiện hơn
Xin chân thành cảm ơn
Trang 39
[1] A.M.Geoffrion Proper efficiency and the theory of vector maximiza-
tion J.Math.Anal.Appl 22: 618-630, 1968
[2] Bigi G., On Sucient Second Order Optimality Conditions in Multiob- jective Optimization, Math Methods Oper Res., 63 (2006), 77-85 [3] Bigi G, Castellani M (2000) Second Order Optimality Conditions for
differentiable Multiobjective problems RAIRO Oper Res 34:411-426 [4] Bonnans J-F, Cominetti R, Shapiro A (1999) Second order optimal- ity conditions based on parabolic second order tangent sets SIAM J.Optim 9(2): 466-492
[5] C.D.Aliprantis, M Florenzano, V.F.Martins-da Rocha, and R.Tourky.Equilibrium analysis in financial Markets with count-
ably many securities J.Math.Econ., 40(6): 683-699, 2004
[6] Cominetti R (1990) Metric regularity, tangent sets, and second-order
optimality conditions Appl.Math,Optim 21(3): 265-287
[7] Craven B-D (1995) Control and optimization Chapman and Hall
Trang 40[8] DiS (1996) Classical optimality conditions under weaker assumptions SIAM J.Optim 6(1):178-197 |9] Flett T-M (1980) Differential analysis Cambridge University Press, Cambridge [10] Gabriele Eichfelder (2008), Adaptive Scalarization Methods in Mul- tiobjective Optimization, pp 3-20 [L1] Huỳnh Thế Phùng (2012) Cơ sở giải tích lồi - Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
(13 Jimenez B Novo V., Second order necessary conditions in set con- strained differentiable vector optimizaton, Math Meth.Oper.Res., 58 (2003), 299-317
[13] Kawasaki H (1988) Second-order necessary conditions of the Kuhn- Tucker type under new constraint qualifications.J.Optim Theory Appl 57(2): 253-264
(14] K Lowner Uber monotone Matrixfunktionen.Math.Z,38: 177-216, 1934
[15] Penot J-P (1999) Second-order conditions for optimization problems with constraints SIAM J Control Optim 37(1): 303-318
[16] Penot J-P (2000), Recent Advances on second-order optimality con-